calcsbox.com

Уравнения с одной переменной

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.

Уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х₁ = i, х₂ = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.

Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.

Определим, равносильны ли уравнения:

а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8

1. Решим первое уравнение

х + 2 = 5

х = 5 – 2

х = 3

2. Решим второе уравнение

х + 5 = 8

х = 8 – 5

х = 3

Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.

б) x² + 1 = 0 и 2x² + 5 = 0

Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.

в) х – 5 = 1 и x² = 36

1. Найдем корни первого уравнения

х – 5 = 1

х = 1 + 5

х = 6

2. Найдем корни второго уравнения

x² = 36

х₁ = 6, х₂ = -6

Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x² = 36 неравносильны.

При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.

Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x² + 2 = 3х равносильно уравнению x² + 2 – 3х = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x² – 1)/3 = 2х равносильно уравнению x²

Линейным уравнением с одной переменной  называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.

Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.

1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).

2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.

3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).

В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.

Решим уравнения

а) (1/5)х + 2/15= 0

1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.

2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

3х = -2

х = -2/3.

Т.о., корень уравнения равен -2/3.

б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1

1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:

12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12

10 + х = 5х – 12

2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:

10 +12 = 5х – х

22 = 4х

х = 22/4

х = 5,5

Т.о., корень уравнения равен 5,5.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения с одной переменной

Уравнение — это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.

Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$

Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение — означает найти все его корни либо доказать, что их нет.

Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.

При решении равнений используют такие свойства:

1. Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
3. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Уравнение вида $ax=b,$ где $a$ и $b-$некоторые числа, $x-$переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.

Возможны такие решения линейного уравнения:

Если $b\ne 0,\ \ c\ne 0,\ $ то квадратное уравнение называется полным.

Если $a=1,\ $то квадратное уравнение называется сведенным, если $a\ne 1,$ — несведенным. Несведенное квадратное уравнение всегда можно сделать сведенным, разделив обе части его на первый коэффициент $a\ne 0.$

Сведенные квадратные уравнения обычно записывают в виде $x^2+px+q=0.$

Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена.

Если второй коэффициент $b$ либо свободный член $c$ равняется нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0\ $называется неполным.

Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле

Выражение $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если $D

Если $D > 0,$ то уравнение имеет два действительных корня.

Если $D=0,$ то уравнение имеет один действительный корень.

В случае, когда $D=0,$ иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение $D=b^2-4ac$, можно переписать формулу в виде

Если $b=2k,\ $то формула принимает вид

Значит, $x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$

Уравнения с параметрами

Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:

1. При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$

Имеем два случая:

1. При $b=0$ корнем будет любое число
2. При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
2. При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$

Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.

Пример 4

Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.

Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:

Сведем подобные слагаемые

Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:

Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;

Если $a\ne 0,$ то $x=2.$

Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$

spravochnick.ru

Уравнение с одной переменной

Уравнение – это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.
Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели. Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.

Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи.
Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?

Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком. Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,
2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной. Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.

Что такое корень уравнения?

То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем. А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней. Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.

Как решать уравнения с одной переменной?

Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.

Сразу скажем про 2 свойства уравнений:

1. Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.

2X – 20 = 720

Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:

2X = 720 + 20.  Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.

Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи. В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.

Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

740-20 = 720

720 = 720.

Все верно.

Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.

Что означает привести уравнение к линейному уравнению?

Рассмотрим такое уравнение:

5X — 2X + 10 = 59 — 7X +3X.

Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.

Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые  — в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.

5X — 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.

А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.
 
То есть X = 49:7 = 7.

Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.

1. Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
2. Привести подобные слагаемые.
3. Привести уравнение к виду ax = b.
4. Найти корни по формуле x = b:a.

Дата публикации: 04.09.2014 11:04 UTC

Теги: алгебра :: 7 класс :: уравнения

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

Предыдущие статьи:

• Математика, 4 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2007
• Математика, 3 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2006
• Математика, 2 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2006
• Порядок выполнения арифметических действий

nashol.com

Конспект урока по алгебре на тему «Понятие линейного уравнения с одной переменной» (7 класс)

Алгебра 7

Урок 12. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения (22 часа)

Тема: Понятие линейного уравнения с одной переменной.

Цель: Закрепить понятие уравнения, его корня, свойства, равносильность уравнения. Формирование понятий линейного уравнения с одной переменной, количества корней, в зависимости от коэффициентов; формирование умений учащихся решать линейные уравнения с одной переменной.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний.

1. Что такое уравнение? Приведите примеры уравнений.

2. Что значит решить уравнение?

3. Что называется корнем (решением) уравнения?

4. Какие уравнения называются равносильными? Как проверить являются ли уравнения равносильными?

5. Сформулируйте основные свойства уравнений.

6. Приведите пример уравнения, не имеющего корня.

7. Приведите пример уравнения, имеющего множество корней.

4. Решение упражнений.

1. Найдите значение выражения 0,7(3b – 11) – 0,3(8b – 6), если b= –21.

0,7(3b – 11) – 0,3(8b – 6) = 2,1b – 7,7 – 2,4b + 1,8 = – 0,3b –5,9 если b=-21, то –0,3∙(–21) – 5,9 = 6,3 – 5,9 = 0,4.

Уч.с.27 № 113 (а,в). Является ли корнем уравнения х(х – 5) = 6 число:

а) х = 1; в) х = 6.

а) х(х – 5) = 6, х = 1, то

1 ∙ (1 – 5) = 6,

–4 ≠ 6, значит х = 1 – не является корнем;

в) х(х – 5) = 6, х = 6, то

6 ∙ (6 – 5) = 6,

6 = 6, значит х = 6 – является корнем.

Уч.с.27 № 116. Докажите, что:

а) корнем уравнения 1,4(у + 5) = 7 + 1,4у является любое число;

б) уравнение у – 3 = у не имеет корней.

а) 1,4(у + 5) = 7 + 1,4у,

1,4у + 7 = 7 + 1,4у,

0 ∙ х = 0, то корнем уравнения является любое число.

б) у – 3 = у,

0 ∙ у = 3, то уравнение не имеет корней.

5. Объяснение нового материала. Видеоурок (6 мин 05 с)

Запись в тетрадь.

Определение. Уравнение вида ax = b – линейное уравнение, где х – переменная, a и b – некоторые числа.

Количество корней линейного уравнения:

1) а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень.

2) а = 0, b ≠ 0, то уравнение не имеет корней.

3) а = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней.

Пример 1. Сколько корней имеет уравнение:

а) –12х = 93, т.к. а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень;

б) 0 ∙ х = 14, т.к. а = 0, b ≠ 0, то уравнение не имеет корней;

в) 0 ∙ х = 0, т.к. а = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней.

6. Решение упражнений.

1. Назовите коэффициенты a и b линейного уравнения ax = b. Сколько корней имеет уравнение (объясните почему?):

а) , а = 3, b = 12, т.к. а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень;

б) , а = – 3, b = 18, т.к. а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень;

в) , а = , b = – 14, т.к. а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень;

г) , а = 0, b = , т.к. а = 0, b ≠ 0, то уравнение не имеет корней;

д) , а = 0, b = 0, т.к. а = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней;

е) , а = – 18, b = – 2, т.к. а ≠ 0, то уравнение имеет 1 корень.

2. Решите уравнение.

а) , б) , в) ,

. . .

Ответ: – 3. Ответ: . Ответ: .

г) , д) , е) ,

. . .

Ответ: . Ответ: . Ответ: .

ж) , з) , и) ,

. . .

Ответ: 36. Ответ: . Ответ: – 9.

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание. п. 7(выучить теорию), № 123(прокомментировать), 126, 127.

(на следующем уроке с/р)

Урок 12. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема: Понятие линейного уравнения с одной переменной.

Алгебра 7

Урок 12. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема: Понятие линейного уравнения с одной переменной.

infourok.ru

Как решать линейное уравнение с одной переменной?

☰

Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
ax + b = 0.
Здесь x — это переменная, a и b – коэффициенты. По-другому a называют «коэффициент при неизвестной», b – «свободный член».

Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение — это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x, чтобы 3x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3x = 6
x = 2

Таким образом выражение 3x – 6 = 0 верно при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.

Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.

Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.

Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.

Если же ни a, ни b не равны нулю, то уравнение ax + b = 0 преобразовывается к виду
x = –b / a.
Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x. Например,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.

Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

Далее надо привести подобные члены:
–0.2x – 16.8 = 0

Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

scienceland.info