Лінійне рівняння — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Графічне зображення лінійних рівнянь.

Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд

a⋅x=b{\displaystyle a\cdot x=b}

Числа а і b є коефіцієнтами лінійного рівняння: а — коефіцієнт при змінній, b — вільний член.

Отримали назву лінійних через те, що визначають лінію на площині або в просторі.

У загальному випадку лінійним рівнянням є рівняння, що має наступну форму:

a1x1+⋯+anxn+b=0,{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}

де x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} — змінні (невідомі або невизначені) рівняння, а b,a1,…,an{\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}} — коефіцієнти, що як правило є дійсними числами. Коефіцієнти можна розглядати як параметри рівняння, і можуть задаватися як довільні вирази

[en], які не повинні мати ніяких змінних.

Розв’язком такого рівняння будуть такі значення, які можна підставити замість невідомих, так що рівність стане істиною.

Властивості лінійних рівнянь[ред. | ред. код]

• Якщо a≠0{\displaystyle a\neq 0}, рівняння має єдиний розв’язок:

x=ba{\displaystyle x={\frac {b}{a}}}

• Якщо тільки a=0{\displaystyle a=0}, рівняння не має жодного кореня:

x⋅0=b{\displaystyle x\cdot 0=b}

• Якщо ж і a=0{\displaystyle a=0} і b=0{\displaystyle b=0}, рівняння має безліч коренів:

x⋅0=0{\displaystyle x\cdot 0=0}

Спрощення рівняння до лінійного[ред. | ред. код]

Виконувати в такій послідовності:

1. Позбутись знаменників, якщо вони є.
2. Розділити рівняння на лінійні, якщо воно подане у вигляді рівного нулю добутку сум.
3. Розкрити дужки, якщо вони є. Якщо після цього утворилось багато членів в будь-якій його частині, то доцільно спочатку звести подібні доданки, а потім виконувати переноси.
4. Перенести члени зі змінними в ліву частину, а числа — в праву.
5. Звести подібні доданки.
6. Знайти корені.

Алгебраїчні рівняння/Лінійні рівняння — Вікіпідручник

Означення[ред.]

Лінійне рівняння — рівняння вигляду ax=b{\displaystyle ax=b}, де:

• a{\displaystyle a} — коефіцієнт при змінній x{\displaystyle x};
• b{\displaystyle b} — вільний член.

Розв’язки[ред.]

Проаналізуємо розв’язки лінійного рівняння. Якщо a≠0{\displaystyle a\neq 0}, то наше рівняння називатиметься рівнянням першого степеня з однією змінною. Його розв’язок x=ba{\displaystyle x={\frac {b}{a}}}.

Якщо ж a=0{\displaystyle a=0}, то матимемо два випадки:

• b=0{\displaystyle b=0}. У цьому випадку наше лінійне рівняння виглядає так: 0x=0{\displaystyle 0x=0}. Розв’язків матимемо нескінченно багато.
• b≠0{\displaystyle b\neq 0}. Утворене рівняння 0x=b{\displaystyle 0x=b} коренів не має, оскільки на нуль ділити не можна.

Рівняння, що зводяться до лінійних[ред.]

Такі рівняння, як

7x−5=2x+10(1){\displaystyle 7x-5=2x+10(1)},

23−5×2=8−11×5(2){\displaystyle {\frac {23-5x}{2}}={\frac {8-11x}{5}}(2)} ,

|5x+10|=20(3){\displaystyle |5x+10|=20(3)}

до лінійних не відносяться, але можуть такими стати. Розглянемо це на прикладах.

Приклад 1[ред.]

Розв’язати рівняння (1){\displaystyle (1)}.5-4х>=2х-19

Розв’язання[ред.]

Зведемо подібні доданки. Отримаємо рівняння 5x=15{\displaystyle 5x=15}. А таке рівняння має розв’язок x=3{\displaystyle x=3}.

Відповідь. x=3{\displaystyle x=3}5-4х>=2х-19

Приклад 2[ред.]

Розв’язати рівняння (2){\displaystyle (2)}.

Розв’язання[ред.]

Знайдемо НСК (2;5). НСК (2;5) = 2 • 5 = 10. Перший дріб помножимо на 5 (10 : 2 = 5), а другий — на 2. Отримаємо рівняння

115−25×10=16−22×10{\displaystyle {\frac {115-25x}{10}}={\frac {16-22x}{10}}}.

Прибираємо знаменники й отримуємо: 115x−25x=16−22x{\displaystyle 115x-25x=16-22x}. Далі розв’язуємо, як описано у прикладі 1.

99=3x{\displaystyle 99=3x}

x=33{\displaystyle x=33}

Відповідь. x=33{\displaystyle x=33}.

Приклад 3[ред.]

Розв’язати рівняння </math>(3)Неможливо розібрати вираз (синтаксична помилка): {\displaystyle === Розв’язання === Згідно з означенням модуля (а рівняння з модулем) ліва частина рівняння, узята без модуля, дорівнює або 20, або -20. Таким чином, треба розв’язати два лінійних рівняння. ==== 1-е рівняння ==== <math>5 x + 10 = 20}

5x=10{\displaystyle 5x=10}

x=2{\displaystyle x=2}

2-е рівняння[ред.]

5x+10=−20{\displaystyle 5x+10=-20}

5x=−30{\displaystyle 5x=-30}

x=−6{\displaystyle x=-6}

Відповідь. x=2;x=−6{\displaystyle x=2;x=-6}.

Розглянемо складніший випадок.

Завдання 4[ред.]

Розв’язати рівняння: |5x−4|=|17−2x|{\displaystyle |5x-4|=|17-2x|}

.

Розв’язання[ред.]

У цьому рівнянні можливі два випадки: або знаки обох сторін рівняння збігаються (в обох «плюс» або «мінус»), або різняться (в одному «плюс», а в іншому — «мінус», і навпаки). Отже, як і в прикладі 3, нам треба розв’язати два рівняння.

1-е рівняння[ред.]

5x−4=17−2x{\displaystyle 5x-4=17-2x}

7x=21{\displaystyle 7x=21}

x=3{\displaystyle x=3}

2-е рівняння[ред.]

5x−4=−(17−2x){\displaystyle 5x-4=-(17-2x)}

5x−4=2x−17{\displaystyle 5x-4=2x-17}

3x=−13{\displaystyle 3x=-13}

x=−133{\displaystyle x=-{\frac {13}{3}}}

Відповідь. x=3;x=−413{\displaystyle x=3;x=-4{\frac {1}{3}}}

Завдання[ред.]

1. Розв’язати рівняння:

5x−2x=25−4;{\displaystyle 5x-2x=25-4;}   7x−2=3x;{\displaystyle 7x-2=3x;}   6x+25=x;{\displaystyle 6x+25=x;}   7|x|=35;{\displaystyle 7|x|=35;}

|7−3x|=|5x+10|;{\displaystyle |7-3x|=|5x+10|;}   |3x−5|=25{\displaystyle |3x-5|=25}

2. На обох причепах піску порівно. Коли з першого взяли 7 кг піску, а в другий насипали 13 кг, то на першому причепі стало у 5 разів менше піску, ніж на другому. По скільки кілограмів піску було на кожному причепі спочатку?

3. Я загадав два числа. Друге число у 5 разів менше від першого. Якщо до другого числа додати 13, то воно стане у півтора раза більше від першого. Які числа я загадав?

4. Зі сталою швидкістю автомобіль доїде з пункту А до пункту В за 1 год 15 хв. Якщо автомобіль їхатиме з тією ж швидкістю 2 год, то потрапить до пункту С, який знаходиться далі від В на 4,5 км. Визначте швидкість автомобіля.

5. Зараз брат старший від сестри на 5 років. 5 років тому він був старший від сестри у 3 рази. Скільки зараз років його сестрі?

6*. Батько старший від сина у стільки років, скільки батьку років. Скільки років сину?

Лінійні рівняння і нерівності | Cubens

Лінійні рівняння

Означення: Лінійне рівняння з однією змінною

— рівняння вигляду де — дійсні числа.

Якщо , то лінійне рівняння називається також рівнянням першого степеня.

 

Приклад розвязування лінійного рівняння

 

тоді

При — єдиний корінь

При ( — нескінченна множина коренів)

Лінійні нерівності

Означення: Лінійна нерівність з однією змінною — нерівність вигляду , де — дійсні числа.

Якщо

, то лінійна нерівість називається також нерівністю першого степеня.

 

Приклад розвязування лінійної нерівності

тоді

При

При (при —

будь-яке число, при — розвязків немає. будь-яке число.)

При

Системи лінійних рівнянь | Cubens

Поняття системи та її розвязків

Означення: Лінійні рівняння з двома змінними — це рівняння типу , де  і — змінні,

— задані числа, для рівняння.

Розв’язком рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, яка перетворює рівняння в правильну числову рівність. Ця пара значень змінних називається розв’язком рівняння.

Якщо два невідомі значення зв’язані не одним, а двома рівняннями, то ці рівняння — система лінійних рівнянь з двома змінними.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називається пара чисел, при яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну числову рівність.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними можна розв’язати трьома способами:

1. Графічнии спосіб розвязування систем лінійних рівнянь — в одній системі координат будуються графіки двох рівнянь, і координати точки перетину графіків відповідають кореням рівнянь. Найбільш наочний спосіб, але має й найбільші похибки при обчисленнях, оскільки точність визначення координат точки залежить від масштабу зображення. Особливо складним є розв’язування систем, коли коефіцієнти або корені рівнянь — дробові числа.
2. Спосіб підстановки — найбільш універсальний з усіх способів розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними. Він використовується практично для всіх типів систем рівнянь.  Спосіб підстановки полягає в тому, що з кожного рівняння одне з невідомих виражається через друге невідоме, і так доти, доки не одержимо результуюче рівняння, у якому буде лише одне невідоме.
3. Спосіб алгебраїчного додавання часто використовується тоді, коли коефіцієнти при одному з невідомих чисельно рівні або їх можна звести до однакової числової величини в рівносильному рівнянні без складних обчислень. Спосіб алгебраїчного додавання полягає в одержанні рівносильного рівняння з одного із даних лінійних рівнянь. Додаючи два рівняння здійснюємо перехід до одного рівняння з одним невідомим.

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Приклад: Розвяжіть рівняння:

Розвязування:

Будуємо графіки на площині:  

Побудувавши графіки систем лінійних рівнянь, побачимо, що графіки перетинаються в точці А 

Відповідь:

Спосіб підстановки для розв’язування систем лінійних рівнянь

Приклад: Розвяжіть рівняння:

Розв’зування:

З першого рівняння виражаємо

А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:

Одержане значення підставляємо у вираз

Відповідь:

Спосіб додавання для розв’язування систем лінійних рівнянь

Приклад: Розвяжіть рівняння:

Розвязання:

Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на , а друге – на .

Почленно додаємо лінійні рівняння і одержуємо:

Знаходимо значення з першого рівняння системи:

Відповідь:

Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на від’ємні.

Також Ви можете ознайомитись з інформацією про системи лінійних рівнянь тут

 

Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь

Поняття системи та її розвязків

Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.

Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.

Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.

Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.

Приклади систем

 

— система двох рівнянь з двома змінними

Пара тобто —розвязок системи

— система трьох рівнянь з трьома змінними

Трійка тобто — один із розвязків системи

Схема розвязування систем рівнянь

Графічний метод

1. Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
2. Будуємо графіки.
3. Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.

Метод підстановки

1. З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
2. Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
3. Розвязуємо одержане рівняння
4. Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.

Метод додавання

1. Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
2. Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
3. Розвязуємо одержане рівняння.
4. Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.

Приклади розвязування систем рівнянь

 

Розвязування графічним методом

Приклад 1

Розвяжіть рівняння:

Розвязання:

Будуємо графіки

Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці

Відповідь:

 

Розвязування методом підстановки

Приклад 2

Розвяжіть рівняння:

Розвязання:

З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:

Одержане значення підставляємо у вираз

Відповідь:

 

Розвязування методом додавання

Приклад 3

Розвяжіть рівняння:

Розвязання:

Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.

Додаємо почленно рівняння і одержуємо:

Знаходимо значення з першого рівняння системи:

Відповідь:

 

Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.

Яким способом розвязувати систему рівнянь вирішувати тільки Вам.

Лінійні рівняння | Тест з алгебри – «На Урок»

Запитання 1

Скільки розв’язків має рівняння 0х=0

А один

Б. два

В жодного

Г безліч

варіанти відповідей

Запитання 2

Вибрати лінійні рівняння

А 2Х+4=6

Б 7Х²=0

В 4+Х=0

Г 15/Х=3

варіанти відповідей

Запитання 3

Графік лінійного рівняння, який зображений на малюнку

варіанти відповідей

Запитання 4

Розв’язати рівняння 5х=х+8

А 4

Б 2

В 5

Г 9

варіанти відповідей

Запитання 5

Коренем лінійного рівняння 2(х-4)=10 є

А 7

Б 8

В 9

Г 10

варіанти відповідей

Запитання 6

Для того, щоб побудувати графік лінійного рівняння достатньо взяти

А одну точку

Б дві точки

В три точки

Г чотири точки

варіанти відповідей

Г чотири точки

Створюйте онлайн-тести
для контролю знань і залучення учнів
до активної роботи у класі та вдома

Створити тест

Натисніть «Подобається», щоб слідкувати за оновленнями на Facebook

Рівняння з параметрами Лінійні рівняння

Рівняння з параметрами

Лінійні рівняння

Означення. Рівняння вигляду х+с=о, де і с – деякі вирази, що залежать лише від параметрів, х-невідома змінна, називається лінійним рівнянням з параметрами.

Це рівняння зводиться до вигляду х= і при ≠0 має єдиний розв’язок х= при кожній допустимій системі значень параметрів. При =0 і =0 розв’язком рівняння є будь-яке число, а при =0, ≠0 рівняння розв’язків не має.

Приклад 1. Розв’язати рівняння ²х +1 = х +.

Розв’язання. Запишемо це рівняння у вигляді:

²х-х=-1; х(²-1) = -1;

х(-1)(+1) = -1. Якщо ≠±1, то х=.

Якщо =1, то рівняння має безліч розв’язків. При =-1 з рівняння отримуємо рівність 0=-2, яка неправильна, тобто рівняння розв’язків не має.

Відповідь: якщо ≠ ±1, то х =; якщо =1, то рівняння має безліч розв’язків; якщо = -1, то рівняння розв’язків не має.

Приклад2. За яких значень параметра рівняння 2 (-2)х = -2 має безліч розв’язків.

Розв’язання. Спершу розглянемо ті значення параметра а , при яких коефіцієнт біля х дорівнює 0, тобто =0 і =2. При =0 рівняння набуває вигляду 0^.х = -2. Це рівняння не має коренів. При =2 одержимо рівняння 0^.х =0, коренем якого є будь-яке дійсне число. При ≠0 і ≠2 одержимо х = , звідки х =. Отже, рівняння має безліч розв’язків при =2

Відповідь: =2

Приклад 3. За яких значень параметра рівняння

2(-2х) = х +3 не має розв’язків?

Розв’язання. Перетворимо рівняння, розкривши дужки і перегрупувавши доданки:

2 — 4х — х — 3=0; х(-4 — ) = 3 -2.

Це рівняння не має розв’язків за умови -4-=0, тобто при = -4

Відповідь: = -4 .

Приклад 4. Визначити, при яких значеннях рівняння (х-1)( -2) =1 буде мати розв’язки, які знаходяться на інтервалі від 1 до 2.

Розв’язання. Якщо =2 рівняння розв’язків не має.

При ≠2 маємо х-1=; х =.

За умовою 1<х <2, тобто 1< <2, звідси >3

Відповідь: >3.

Приклад 5. При яких натуральних значеннях рівняння

х =+х+1 має парні корені.

Розв’язання.

х =+х+1; х –х =+1;

х(-1) =+1; х = ; х =1+.

Отже, х – парне число, якщо дріб — непарне число.

Це можливо при =3

Відповідь: =3.

Приклад 6. Знайдіть усі значення параметра , при яких рівняння |х+1|+|х-2| = має два розв’язки.

Вказівка. Розглянути дві функції:

у₁= |х+1|+|х-2| та у₂ =.

Побудувати графік функції

у₁= |х+1|+|х-2|, тобто

у₁=

Розглянути різні випадки розташування прямої у₂= відносно графіка функції у₁, від чого і залежить кількість розв’язків рівняння.

при <3 рівняння коренів немає;

при =3: х є [-1;2];

при >3 рівняння має два корені.

Відповідь: при >3 рівняння має два розв’язки.

Приклад 7. При якому значенні параметра в пряма у=3х+в проходить через точку А(-1;5)?

Розв’язання. Якщо пряма проходить через деяку точку, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння прямої, тому підставимо координати точки А(-1;5) замість х і у в рівняння прямої. Отримаємо таку рівність відносно в:

5=3(-1)+в.

Отже, в =8.

Відповідь: при в =8.