ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΠ°ΡΠ³Π°Π»ΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π² 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅
Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π²Π°Ρ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ


Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»(ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²), ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logab) β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ a, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ b, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ b > 0, a > 0, Π° 1.
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ logab = x, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ax = b, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ logaax = x.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
log28 = 3, Ρ.ΠΊ. 23 = 8
log749 = 2, Ρ.ΠΊ. 72 = 49
log51/5 = -1, Ρ.ΠΊ. 5-1 = 1/5
ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ 10. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ lg.
lg100 = 2
log10100 = 2, Ρ.ΠΊ. 102 = 100
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π½ΠΎ ΡΠΆΠ΅ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅ (Π΅ = 2,71828β¦ β ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ). ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΆΠ΅Π»Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π· ΠΎΡΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ .
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ
a logab = b
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² loga (bc) = logab + logac
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
loga (b/c) = logab β logac
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° logab m = mlogab
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° loganb =1/n*logab
Π΅ΡΠ»ΠΈ m = n, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ loganb n = logab
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
log49 = log223 2 = log23
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
logab = logcb/logca,
Π΅ΡΠ»ΠΈ c = b, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ logbb = 1
ΡΠΎΠ³Π΄Π° logab = 1/logba
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΡΡΡΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ.
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ: https://reshit.ru/formuly-logarifmov-logarifmy-primery-resheniya
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ: ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ? ΠΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π°Ρ : l o g.Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΡΠΈΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ. ΠΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°) ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π±ΡΠΊΠ² (Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°).
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΠΎΠ²Π°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ (Ρ.ΠΊ. ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 81.
Π ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ), Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ (Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ Π²ΡΠ»ΡΡ , Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΡΡΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-ΡΠΎ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ³Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΠΌ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ): ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π· Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 27. ΠΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: Π² ΠΊΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ 3 (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ β ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 27 (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ»Π΅Π²Π° β Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°). ΠΠ΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ?
ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°):
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ (ΠΊΠΎΠΌΡ-ΡΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡ): Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° Β«bΒ» ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Β«aΒ» ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ Β«cΒ». Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π±Π΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«bΒ», ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«aΒ» Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Β«cΒ». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ.
Π£ ΠΎΡΡΠ° log Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½Π°: ln ΠΈ lg. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠΎΠΌ (ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ), ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ).
ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΠΌΠ°Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π² ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ . Π ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ Π² Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Π΅ Π΄ΡΡΠΈ Π½Π°ΡΠΎΠ΄ Π»Π΅Π½ΠΈΠ²ΡΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π±Ρ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ Π½Π΅ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ?
Π§ΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ: ln β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ e ( e β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, e = 2,7182β¦, ΠΌΠΎΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½Π°, ΠΊΡΡΠ°ΡΠΈ, β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ 11 ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Ρ ΠΆΠ΄Π°ΡΡ Π·Π²ΠΎΠ½ΠΊΠ°).
Π lg β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 (10Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΡ ΠΆΠΈΠ²Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅Π² Π½Π° ΡΡΠΊΠ°Ρ Ρ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ 10 β ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ 9, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° 1 Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅).
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π±Π΅Π· Π΅Π΄Ρ, Π²ΠΎΠ΄Ρ, ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠ°β¦ Π’Π°ΠΊ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΠΠ.
ΠΡΠ΅Π³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ:
Β«ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ?Β» β ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅. Π‘ΠΎΠ²Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ.
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅:
Π ΠΊΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ½Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ (Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°).
ΠΠ²Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 16.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 4.
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ: https://ik-study.ru/ege_math/logharifmy
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ: ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ :
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΅ΠΌΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΄Π°. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Π»ΡΠ±Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΡΠΊΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ Π±Π΅ΡΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² XVI Π²Π΅ΠΊΠ°. Β«Π ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ?Β» β ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°Π»ΠΈ Π²Ρ.
ΠΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΠΈ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π½Π°ΡΠΊΒ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΡΡΠ΅Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ».
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΊ Π³Π»Π°ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (logab) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: b=ac.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° logab ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ: a>0; a β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ 1; b>0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π°: Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ:
- ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅ (Π΅ β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 2,7, ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ex), ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln a = logea;
- ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ log10a = lg a.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ: alogab=b, Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
- loga1 = 0 β ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1;
- logaa = 1.
ΠΠ»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: 5Ρ = 9, Ρ = log59 (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ).
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ:
- loga(x Β· y) = logax+ logay β ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
- loga xy = logax β logay β ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ. ΠΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
- logakxp = (p/k)*logax β ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
- logax = logac xc β ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΡΡ.
- logax = (logbx)(logba) β ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
- logax = 1/logxa β ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΡΠΌΠ΅Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅.
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
Π XVI Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΈ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΄Π½Π° ΠΏΠΎ Π‘ΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π°ΠΌ).
ΠΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ»Π° ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Π»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π ΡΡΠ΅Π½ΡΠΉ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΡΠ΄ΠΎΠ΅ΠΌΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΈ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½Π΅Π΅ β Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π° Π΄Π°Π±Ρ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ n-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° n. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ²Π½ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π»ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ° Π² Π½Π°ΡΠΊΠ΅.
ΠΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΏΠΈΡΠ°Π» ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Β«Π Π°Π±Π΄ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΒ»:
Π― Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΡΠ°ΡΠ°Π»ΡΡ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΈ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ ΠΎΡ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΊΡΠΊΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄ΠΎΠΊΡΡΠ»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡΠΏΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» ΡΠ°ΠΌ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ, ΠΎΠ½ Π±ΡΠ» ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ βΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉβ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²Π²Π΅Π» Π‘ΠΏΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Π». ΠΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΈΠΌΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π» ΠΠΉΠ»Π΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½Π΅Ρ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΠΠΎΠΏΠΏΠ΅ Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΠΠΎΡΠΈ.
Π 1614 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ ΠΈΠ·Π΄Π°Π» Π½Π° Π»Π°ΡΡΠ½ΠΈ ΡΠΎΡΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²Β». Π’Π°ΠΌ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². Π’Π°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Β«Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΒ» ΡΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ»ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ .
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΠΠ°Π»Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΠΎΠ³Π°Π½Π½Ρ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ, Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ»Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠΎΠΌ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅.
ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠ»ΡΠ³Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° Π² ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = logax Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ. Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ XVIII Π²Π΅ΠΊΠ° Π²ΡΡΠ»Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° Β«ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ Β», Π³Π΄Π΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° y = logΠ°Ρ (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ», ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ: Π° > 0, Π° β 1).
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ logΠ°Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ β Ρ > 0;.
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° R (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ x, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ logaΡ = b, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ β Ρ = Π°b (ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ logaab= b).
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ a>0, Π° ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ 01.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = logΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ (1;0), ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ logΠ° 1 = 0. ΠΡΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logΠ°x ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = aΡ , Π³Π΄Π΅ (Π°>0, Π°β 1), Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅. ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ½ΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΡΡ:
- ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π½Π΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ Β«ΠΎΡΠ±ΡΠ°ΡΡΠ²Π°ΡΡΒ» Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 1 (ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ) β Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 0 ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 1 (ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ) β Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ;
- ΠΠ΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: logΠ°Ρ = b, Π°>0, Π°β 1 ΠΈ Ρ >0, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π΅ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΠ (ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π±ΡΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΡΠΎ Π±Π°Π½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅, Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΠΆ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ° Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΎΠΉ, Π½ΠΎ, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ Π΅Π΅ Π³Π»ΡΠ±ΠΆΠ΅ ΠΈ Π³Π»ΡΠ±ΠΆΠ΅, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΠΊ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠ·Π²Π°Π»ΠΎ. ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². Π£ΡΠΏΠ΅Ρ ΠΎΠ² Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ!
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ: https://www.syl.ru/article/407401/logarifmyi-pravila-osnovnyie-svoystva-i-formulyi
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (a>0, a Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ, ΡΡΠΎ ac = b: log a b=cβ a c =b (a>0,aβ 1,b>0)
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ -2 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 4, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ -2 ΠΎΡ 4 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ
a log a b =b (a>0,aβ 1) (2)
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ b>0, a>0 ΠΈ a β 1. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ b, Π° ΠΎΡ a Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Β«ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°Β» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠ.
ΠΠ²Π° ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
log a a=1 (a>0,aβ 1) (3) log a 1=0 (a>0,aβ 1) (4)
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,aβ 1,b>0,c>0) (5)
log a b c = log a bβ log a c (a>0,aβ 1,b>0,c>0) (6)
Π₯ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΡ Π±Π΅Π·Π΄ΡΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΡΠΈ ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Β«ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΒ» ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ, Π° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ β ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log a (f(x)g(x)) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ : ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x) ΠΈ g(x) ΠΎΠ±Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠΌΠΌΡ log a f(x)+ log a g(x) , ΠΌΡ Π²ΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x)>0 ΠΈ g(x)>0. ΠΠ°Π»ΠΈΡΠΎ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎ, Ρ. ΠΊ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6).
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
log a b p =p log a b (a>0,aβ 1,b>0) (7)
Π Π²Π½ΠΎΠ²Ρ Ρ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠΈΠ·Π²Π°ΡΡ ΠΊ Π°ΠΊΠΊΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
log a (f (x) 2 =2 log a f(x)
ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ f(Ρ ), ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ β ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ f(x)>0! ΠΡΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΌΡ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΡΡΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΠΠ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
log a b= log c b log c a (a>0,aβ 1,b>0,c>0,cβ 1) (8)
Π’ΠΎΡ ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΠΠ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1), ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8):
log a b= 1 log b a (a>0,aβ 1,b>0,bβ 1) (9)
ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10. ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: log10x = lg x. ΠΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡΡ Π°ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ lnx) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ e. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e β ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2,71. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ln e = 1. ΠΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (8), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,aβ 1,b>0)
ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg2 + lg50. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ΠΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (5) ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg125/lg5. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg125/lg5 = log5125 = 3. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (8).
a log a b =b (a>0,aβ 1) |
log a a=1 (a>0,aβ 1) |
log a 1=0 (a>0,aβ 1) |
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,aβ 1,b>0,c>0) |
log a b c = log a bβ log a c (a>0,aβ 1,b>0,c>0) |
log a b p =p log a b (a>0,aβ 1,b>0) |
log a b= log c b log c a (a>0,aβ 1,b>0,c>0,cβ 1) |
log a b= 1 log b a (a>0,aβ 1,b>0,bβ 1) |
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ: http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html
ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°-ΡΠΏΠ°ΡΠ³Π°Π»ΠΊΠ° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ², ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ y ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ x:
by = x
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ y:
y = logb(x)
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
24 = 16
log2(16) = 4
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logb(x) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ x = by.
Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Ρ (Ρ > 0), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ:
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
ΠΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ
:
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (ln)
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΅.
ln(x) = loge(x)
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e β ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½ΡΠΈΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ) ΡΠΈΡΠ»Π° n β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΈΡΠ»Ρ n.
ant logan = an
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ | Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° | ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ |
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ | alogab = b | 2log28 = 8 |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ | logb(x β y) = logb(x) + logb(y) | log10(3 β 7) = log10(3) + log10(7) |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ | logb(x / y) = logb(x) β logb(y) | log10(3 / 7) = log10(3) β log10(7) |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ | logb(x y) = y β logb(x) | log10(28) = 8β log10(2) |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ | ![]() | ![]() |
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° | logb(c) = 1 / logc(b) | log2(8) = 1 / log8(2) |
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° | logb(x) = logc(x) / logc(b) | log2(8) = log10(8) / log10(2) |
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° | f (x) = logb(x)β f β (x) = 1 / ( x ln(b) ) | |
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° | β«logb(x) dx = x β ( logb(x)β 1 / ln(b)) + C | β«log2(x) dx = x β ( log2(x)β 1 / ln(2)) + C |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° | logb(x) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½, ΠΏΡΠΈ xβ€ 0 | |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° 0 | logb(0) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ | |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° 1 | logb(1) = 0 | log2(1) = 0 |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ | logb(b) = 1 | log2(2) = 1 |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ | lim logb(x) = β, ΠΏΡΠΈ xββ |
microexcel.ru
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ f(x)=loga(x) β ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ a. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ a>0, aβ 1.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΠΊΠ°) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ², Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a:
- a > 1
- 0 < a < 1
ΠΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ ΠΠΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΠΠ-Π‘ΡΡΠ΄ΠΈΡ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2x = 8. Π’Π°ΠΌ Π²ΡΡ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΡΠ½ΠΎ: x = 3.
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 7.
ΠΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = 2x ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ.
Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ β Π½Π΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 22 = 4, 23 = 8). ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, Ρ. Π΅. Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ. ΠΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΌΡ ΡΡΠ²ΡΡΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 3, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ log27 (ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ: Β«Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π²Π°Β». ΠΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, Ρ. Π΅. Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΡ. ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π°ΡΡ: log27 = 2,807354922057604107β¦
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ log27 β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ 2, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 7.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΡΡΡ a > 0 ΠΈ a β 1 (ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logab) β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ a, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ b.
ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ,
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
β ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ β
, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊβ
β ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ β
;
, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ β
.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ lg. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = β2.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ e Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ln.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠΈΡΠΈΠ½Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ log2(β4) Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ: Π² ΠΊΠ°ΠΊΡΡ Π±Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ Π½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ 2, ΠΌΡ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ β4.
ΠΠ΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: 0 < a < 1 ΠΈΠ»ΠΈ a > 1.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, logab β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b:
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (1) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ.
ΠΠΎΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
logaax=x.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²:
loga(bc) = logab + logac. | (2) |
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ β ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²:
(3) |
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Β«ΡΠΏΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΒ» ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ:
(4) |
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠΆΠ΅ Β«ΡΠΏΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΒ», Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°:
(5) |
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4) ΠΈ (5) Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π΄Π°ΡΡ:
![]() | (6) |
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ m = n, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
![]() | (7) |
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, .
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
![]() | (8) |
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ c = b, ΡΠΎ logbb = 1, ΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π°:
![]() | (9) |
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· Π±Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.
1. (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (2) ΡΡΠΌΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²).
2. (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ(1))
3. (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4).
4. (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (9), ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Ρ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 0,8).
5. (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3) ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²)
ΠΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ. ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΡ-ΡΠ°ΠΊΠΈ Π½ΡΠΆΠ½Ρ? ΠΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ³ΡΡΡΠΊΠ° Ρ Ρ ΠΈΡΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ?
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² 17 Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΎ Π² Π½Π°ΡΠΈ Π΄Π½ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΡΡΠ΄Π° β Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ. Π ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π² Β«Π΄ΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅Β» Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π°?
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π° ΡΡΡΡΠ°Ρ , Π° Π²ΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Β«Π² ΡΡΠΎΠ»Π±ΠΈΠΊΒ» β ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ.
Π 15β17 Π²Π΅ΠΊΠ°Ρ , Π² ΡΠΏΠΎΡ Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΠΉ, ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π»Ρ, ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠΊΠ°. Π’ΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΠ»ΠΈ: ΡΠ°ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ, Π° ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ β Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ β Π½ΡΠΆΠ½Π° Π±ΡΠ»Π° Π²ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π±ΡΠ» ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΡΡΠΊΠΎΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡΡ, ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ b ΠΈ c β Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ. ΠΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°ΠΌ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» b ΠΈ c, ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΡ (Π½Π° ΡΡΡΡΠ°Ρ ) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: lgb + lgc = lg(bc).
Π Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ΅Π» b ΠΈ c.
ΠΠ΅Π΄Π°ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΈ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ΄Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ»ΠΎ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° (ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π΄ΠΎ 70-Ρ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄Π²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ°) Π±ΡΠ»Π° Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ.
ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π²ΡΡ! ΠΡ Π½Π΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈΡΡ Π±Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π»ΠΈΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ, Β«ΠΌΡΠ·Π΅ΠΉΠ½ΡΡΒ» ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ. Π Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π² ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ
ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ
ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ: Ρ
= β5/6. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2Ρ
= 3, ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ
Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ. ΠΠ΅Π»ΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3 Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2 ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ , Π³Π΄Π΅ m ΠΈ n β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π±ΡΠ»ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ n, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 2m = 3n. ΠΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π²Π°Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, Π° ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ β Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = 2x ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y = 3, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°: Β«ΠΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ?Β» ΠΈ Β«ΠΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ?Β».
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a (a > 0, a β 1), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logab.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2Ρ = 3:
Ρ = loga3
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ax = b ΠΈ x = logab, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ a, b ΠΈ x. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π°) 2x = 64; Π±) ; Π²)
; Π³) 4x = 0; Π΄) 7x = β12.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΌ. ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ: 2 (Π²), ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° 5. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2 (Π²) ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2x = 3. ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ 3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° 2 ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Π½Π΅ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠ°Π»ΡΡΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ 3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 2r , Π³Π΄Π΅ r = m/n.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ:
β ΠΠ°ΠΊ Π²Ρ Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 3 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ? ΠΡΠ²Π΅Ρ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΡΠΉΡΠ΅. [ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = 2x ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Ρ = 3, ΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ.]β Π§ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ax = b, Π³Π΄Π΅ Π° > 0 ΠΈ Π° β 1? ΠΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ b ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ?
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π° ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΈΠ½Ρ
ΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΆΠ΅ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2Ρ
= 3: Ρ
= loga3 ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ°Π±ΠΎΡ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ x ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° y = logax, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ x = ay. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ x = ay, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ax ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y = x.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ x = ay ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ y ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ x, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ y = logax, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ x.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = ax ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logax ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ. Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = logax, a > 0, a β 11:
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logax ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
- ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = logax β ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
- ΠΡΠΈ 0 < a < 1 ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logax ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ; ΠΏΡΠΈ a > 1 ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = logax ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
- ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = logax ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ (1; 0).
- ΠΡΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ β Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = loga.

ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡΠ±Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ. 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎ-ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ 10β11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ³Π»ΡΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» Π² Π½Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ. ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ Π³Π»Π°Π²Π° Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΎΠΉ, Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ Π³Π»Π°Π²Ρ β ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ (ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ) ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΡΠΈΡ Β«Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΒ» ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π² Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΏΠΈΡΡΠ Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΡ ΠΎΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 3, ΠΌΡ ΡΡΡΠ»Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = log3 log0,5(2x + 1) ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π΅Π΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x, Π° Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log0,5(2x + 1). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅-ΡΠ°ΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ x ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = log3 log0,5(2x + 1), ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ 2x + 1, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ log0,5(2x + 1) ΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
Π‘Π²ΡΠ·Ρ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ a, b ΠΈ x (ΡΠ΅ΡΡ ΠΎ ax = b ΠΈ x = logab) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: axay. ΠΡΡΡΡ a x = b ΠΈ a y = c. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅: x = logab ΠΈ y = logac, ΡΠΎΠ³Π΄Π° bc = a logab Γ a logac = a logab + logac. ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° bc = a logab + logac ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
loga(bc) = logab + logac
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΈ b ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
loga(bc) = loga|b| + loga|c|
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
- Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ loga (bc) = loga |b| + loga |c|
- Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
- Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ logabp = p loga|b|
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΡΡΡΡ logab = x. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ax = b. ΠΡΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ c, Ρ.Π΅. Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ c ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ
ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°: logcax = logcb. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ x logca = logcb ΠΈΠ»ΠΈ , ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°
.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ
ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ:
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° Β«ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡΒ», ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π² Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΌΡΡΠ».
Π§ΡΠΎ Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ?
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π½Π° ΠΠΠ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΠΠ: ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ (ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 15), ΡΠ°ΠΊ ΠΈ, ΡΠ΅ΠΆΠ΅, Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· Π°ΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ β ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ² ΠΌΠΎΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠΈ Π΄Π΅ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ . ΠΠ½Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΎΡΠΊΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΠΠ, ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ Π·Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ (ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½Π° ΠΠΠ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ)
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ log3(x+1)2 + log3|x+1| = 6 . ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ log3|x+1| ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ 2 ΠΈ β3.
log3|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = β10 β ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: β10.
ΠΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ (Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π° ΠΠΠ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ)
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΠ: x > 0, x β 1. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10:
;
;
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° 2, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΉΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°:
;
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ: 2/3, 3, Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ x, Π½ΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° 1.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:

ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°Ρ . 7-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ. Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅
ΠΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΈ, Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, Π½Π°ΡΠ°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ 7-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², Π°Π±ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ, ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ, ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌ.
ΠΡΠΏΠΈΡΡΠΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ (Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π½Π° ΠΠΠ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ)
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ a, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ b ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Ρ
ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 1/3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΠΠ:
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
,
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ .
ΠΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = t2 β bt β 2a.
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΈ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π²Π²Π΅ΡΡ , Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ b > 0, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π²Π΅ΡΠ²Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΅ t = 0, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ t = 0 y < 0. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ β2a < 0 a > 0.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: a > 0.
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Β«ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡΠ±Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ. 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡΒ» ΡΡ ΠΎΠΆ ΠΏΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ. ΠΡΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π°ΠΏΡΠΎΠ±ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Β«5 ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎΒ». ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π² ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ΅. ΠΡΠΈΠ³Π»Π°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΡΡΡΡ Π²Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π½ΡΠ»ΡΡΠΈΠΉ.
#ADVERTISING_INSERT#
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 β Ρ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΠΈΠΉ
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡΡ :
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 β β [Π.Π.Π‘ΡΠΌΠ΅Π½ΠΊΠΎ. ΠΠ½Π³Π»ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΌ. Π.: ΠΠ Π¦ΠΠΠΠ‘, 2003.] Π’Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ EN logarithm to base 10logarithm to the base 10 β¦ Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΡΠΈΠΊΠ°
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 2 β β [Π.Π.Π‘ΡΠΌΠ΅Π½ΠΊΠΎ. ΠΠ½Π³Π»ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΌ. Π.: ΠΠ Π¦ΠΠΠΠ‘, 2003.] Π’Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ EN base 2 logarithmic representation β¦ Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΡΠΈΠΊΠ°
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π, Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ (ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°) Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² 1614 Π³. ΠΠΆΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΠΠΠΠ ΠΠ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΠ΅Π½ΡΠΈ ΠΡΠΈΠ³Π³ΡΠΎΠΌ (1561 1631). ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° ( ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (Ρ ), Π²β¦ β¦ ΠΠ°ΡΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β (logarithm) Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ»ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ 1, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ ΠΎΡ z, ΡΠΎ z=Ρx. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΡΡΠΎ β¦ ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β (ΠΎΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ logos ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) ΡΠΈΡΠ»Π° N ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (O β¦ Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β (ΠΎΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ logos ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) ΡΠΈΡΠ»Π° N ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (O β¦ ΠΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° β¦ ΠΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρβ¦ β¦ ΠΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΠ΅ΡΠ°
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΡΠΈΡΠ»Π° N ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ m, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π° (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π.), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ N; ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logaN. ΠΡΠ°ΠΊ, m = logaN, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°ΠΌ = N. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, log10 100 = 2; log2 1/32 = 5; loga 1 = 0, Ρ. ΠΊ. 100 = 102, 1/32 β¦ ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β ΡΠΈΡΠ»Π° NΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ, Π² ΠΊ ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π.), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ N;ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logaN, Ρ. Π΅. m=logaN, Π΅ΡΠ»ΠΈ am=N. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉβ¦ β¦ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΠΠΠΠ ΠΠ€Π β [ΠΎΡ Π³ΡΠ΅Ρ. logos ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ, Π·Π΄Π΅ΡΡ (ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos ΡΠΈΡΠ»ΠΎ] ΡΠΈΡΠ»Π° N ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ, Π² ΠΊ ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ N; ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ logΠ°N. Π’. ΠΎ., Ρ = logaN, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°Ρ = N (ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π° > 0, Π° Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1).β¦ β¦ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ