Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с основаниСм 10: Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” ВикипСдия – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ° для этого Π² 10 классС

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ° для этого Π² 10 классС

БСгодня ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ познакомились с понятиСм Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ рассмотрСли основныС свойства ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ сСбС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ согласно основным свойствам Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ для вас, сначала всС свойства.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π° основС этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»(свойств), ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π° основании Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b ΠΏΠΎ основанию a (обозначаСтся logab) β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ b, ΠΏΡ€ΠΈ этом b > 0, a > 0, Π° 1.

Богласно опрСдСлСния logab = x, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ax = b, поэтому logaax = x.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

log28 = 3, Ρ‚.ΠΊ. 23 = 8

log749 = 2, Ρ‚.ΠΊ. 72 = 49

log51/5 = -1, Ρ‚.ΠΊ. 5-1 = 1/5

ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” это ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π² основании ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ находится 10. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, Ρ‚.ΠΊ. 102 = 100

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ с основаниСм Π΅ (Π΅ = 2,71828… β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число). ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ понадобятся Π½Π°ΠΌ Π² дальнСйшСм ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство
a logab = b
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² loga (bc) = logab + logac
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного Ρ€Π°Π²Π΅Π½ разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
loga (b/c) = logab β€” logac
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Бвойства стСпСни Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа logab m = mlogab

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

Ссли m = n, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ loganb n = logab

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

log49 = log223 2 = log23

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию
logab = logcb/logca,

Ссли c = b, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ logbb = 1

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° logab = 1/logba

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ слоТны ΠΊΠ°ΠΊ каТутся. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрСв ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ логарифмичСским уравнСниям.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: https://reshit.ru/formuly-logarifmov-logarifmy-primery-resheniya

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ: Ρ‡Ρ‚ΠΎ это? ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ уравнСния ΠΈ нСравСнства

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

БСйчас Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Ρ…: l o g.Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² нашСм Π±Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ просто Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ индСкс β€” число снизу (основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°) ΠΈ число послС Π±ΡƒΠΊΠ² (Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°).

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ подводящих ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с этим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ³ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ (Ρ‚.ΠΊ. ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ) ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ само Π½Π° сСбя, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 81.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

А этот ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ (Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ), Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ провСсти Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ с самим собой (Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ вслух, я ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ это Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡƒΠ³Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΠΌ с самим собой): сколько Ρ€Π°Π· Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ число 3 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ само Π½Π° сСбя, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 27. ΠŸΠΎΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли Π΄Π΅Π»ΠΎ касаСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти 3 (число снизу β€” ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 27 (число слСва β€” Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°). НС Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ стоящий ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π² этом ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ основная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°):

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ (ΠΊΠΎΠΌΡƒ-Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚): Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа Β«bΒ» ΠΏΠΎ основанию Β«aΒ» Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ΅Ρ‚ся числу Β«cΒ». Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π±Π΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число Β«bΒ», трСбуСтся число Β«aΒ» Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Β«cΒ». Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” это дСйствиС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ возвСдСнию Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

Π£ ΠΎΡ‚Ρ†Π° log Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… сына: ln ΠΈ lg. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‹Π½ΠΎΠ²ΡŒΡ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ возрастом (ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ максимальной точности), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ эти Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ основаниСм (числовым индСксом снизу).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ для упрощСния записи. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ основанию Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…. А ΠΌΡ‹ всС Π² Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π΅ Π΄ΡƒΡˆΠΈ Π½Π°Ρ€ΠΎΠ΄ Π»Π΅Π½ΠΈΠ²Ρ‹ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹ сСбС Тизнь Π½Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ?

Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ: ln β€” ΡΡ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ основанию e ( e β€” это число Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, e = 2,7182…, ΠΌΠΎΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π°, кстати, β€” это послСдниС 11 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ числа Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π²ΠΎΠ½ΠΊΠ°).

А lg β€” ΡΡ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10 (10ая систСма β€” это систСма счислСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΆΠΈΠ²Π΅ΠΌ, ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π΅Π² Π½Π° Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… Ρƒ срСднСго Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ 10 β€” это ΠΊΠ°ΠΊ 9, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° 1 большС).

Как ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΅Π΄Ρ‹, Π²ΠΎΠ΄Ρ‹, интСрнСта…  Π’Π°ΠΊ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π΅ прСдставляСт своС сущСствованиС Π±Π΅Π· ΠžΠ”Π—.

ВсСгда, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° сущСствуСт Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ:

Β«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Ρ‚Π°ΠΊ?Β» β€” это ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ вопрос, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ я ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽ Ρ‚Π΅Π±Π΅. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” это ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ дСйствиС ΠΎΡ‚ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ  Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅:

Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π΄Π²Π° (число Π² основании), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ (Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π”Π²Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ само Π½Π° сСбя, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 16.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: https://ik-study.ru/ege_math/logharifmy

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹: ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, основныС свойства ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ :

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° дСйствий с Π½ΠΈΠΌΠΈ достаточно Π΅ΠΌΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ простыС. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ составит Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ всС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², любая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ знакомство с этой Ρ‚Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ скучным ΠΈ бСссмыслСнным, Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² XVI Π²Π΅ΠΊΠ°. «О Ρ‡Π΅ΠΌ это?Β» β€” ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ Π²Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«Ρ†Π°Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°ΡƒΠΊΒ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсСн Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ, Π½ΠΎ ΠΈ простым ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ срСдних школ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

НачнСм с опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Как гласят ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ: Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа b ΠΏΠΎ основанию a (logab) являСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ число с, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выполняСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ равСнство: b=ac.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, говоря простыми словами, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” опрСдСлСнная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ основаниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число. Но Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° logab ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ: a>0; a β€” число, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ 1; b>0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ основанию

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом Π² основании. Но Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ сущСствуСт Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π°: Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹:

  • ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с основаниСм Π΅ (Π΅ β€” число Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, числСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ равняСтся 2,7, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ для ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = ex), обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ ln a = logea;
  • ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с основаниСм 10, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ log10a = lg a.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с основным логарифмичСским тоТдСством: alogab=b, Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

  • loga1 = 0 β€” Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любоС число Π² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1;
  • logaa = 1.

Благодаря ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° для нас Π½Π΅ составит Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ любоС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ нСльзя Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. НапримСр: 5Ρ… = 9, Ρ… = log59 (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ… для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ сущСствуСт).

ДСйствия с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

  • loga(x Β· y) = logax+ logay β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ сомноТитСлСй. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹. Если Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
  • loga xy = logax β€” logay β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ дСлитСля. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: основания Ρƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈ записи Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ вычитания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
  • logakxp = (p/k)*logax β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Π² Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ ΠΈ основании Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° стоят стСпСни, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
  • logax = logac xc β€” частный случай ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.
  • logax = (logbx)(logba) β€” Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° привСдСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ основанию.
  • logax = 1/logxa β€” частный случай ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°, смСна мСст основания ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ВсС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎ говоря, пСрСворачиваСтся, ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм оказываСтся Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ возникновСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π’ XVI Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ провСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² астрономии (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ полоТСния судна ΠΏΠΎ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π°ΠΌ).

Π­Ρ‚Π° ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ быстро росла ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ создавало ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл. И ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ НСпСр ΠΏΡ€ΠΈ тригономСтричСских расчСтах Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ΅ΠΌΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ слоТСниС, сопоставив для этого Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ прогрСссии.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, замСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½Π΅Π΅ β€” Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, Π° Π΄Π°Π±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° n. РСшСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ явно ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π»ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΈ НСпСра Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ писал ΠΎΠ± этом Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ своСй ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ «Рабдология»:

Π― всСгда старался, насколько позволяли ΠΌΠΎΠΈ силы ΠΈ способности, ΠΎΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ людСй ΠΎΡ‚ трудности ΠΈ скуки вычислСний, Π΄ΠΎΠΊΡƒΡ‡Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΏΡƒΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ изучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

НазваниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» сам НСпСр, ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ совмСщСния грСчСских слов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² сочСтании ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ β€œΡ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉβ€.

ОснованиС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π²Π²Π΅Π» Π‘ΠΏΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Π». Π•Π³ΠΎ заимствовал Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎ стСпСнях ΠΈ пСрСнСс Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ логарифмирования стало извСстным благодаря КоппС Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅. А использованиС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ… обозначСния появились благодаря Коши.

Π’ 1614 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π”ΠΆΠΎΠ½ НСпСр ΠΈΠ·Π΄Π°Π» Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ сочинСниС «ОписаниС ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²Β». Π’Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ описаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» ΠΈ ΠΈΡ… свойств. Π’Π°ΠΊ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Β«Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ» утвСрдился Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ….

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ логарифмирования ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΉ появилось благодаря Валлису ΠΈ Π˜ΠΎΠ³Π°Π½Π½Ρƒ Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ, Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ установлСна ΠΎΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

ИмСнно заслуга Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π² распространСнии логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = logax Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ XVIII Π²Π΅ΠΊΠ° Π²Ρ‹ΡˆΠ»Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° Β«Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· бСсконСчных», Π³Π΄Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ соврСмСнныС опрСдСлСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ЛогарифмичСская функция

Ѐункция Π²ΠΈΠ΄Π° y = logΠ°Ρ… (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли: Π° > 0, Π° β‰  1).

ЛогарифмичСская функция опрСдСляСтся мноТСством всСх ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ запись logΠ°Ρ… сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии β€” Ρ… > 0;.

Данная функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ всС значСния ΠΈΠ· мноТСства R (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ всякого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ x, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ равСнство logaΡ… = b, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” Ρ… = Π°b (слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ logaab= b).

Ѐункция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ a>0, Π° ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ 01.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = logΠ°Ρ… ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1;0), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ logΠ° 1 = 0. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° изобраТСниях, функция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ чСтности ΠΈΠ»ΠΈ нСчСтности, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° свСрху ΠΈΠ»ΠΈ снизу.

ЛогарифмичСская функция y = logΠ°x ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция y = aΡ…, Π³Π΄Π΅ (Π°>0, Π°β‰ 1), Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, содСрТащСй Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹, основано Π½Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ… Π² стандартный Π²ΠΈΠ΄ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Или ΠΆΠ΅ стоит ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм, ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ дальнСйшиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ выраТСния.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΈΠ΅ тонкости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ стоит Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ:

  • ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСравСнств, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ части стоят ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ основаниСм, Π½Π΅ ΡΠΏΠ΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠΎΡ‚Π±Ρ€Π°ΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ» Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… монотонности логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Ссли основаниС большС 1 (случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция возрастаСт) β€” Π·Π½Π°ΠΊ нСравСнства останСтся Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° основаниС большС 0 ΠΈ мСньшС 1 (случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚) β€” Π·Π½Π°ΠΊ нСравСнства измСнится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ;
  • НС Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: logΠ°Ρ… = b, Π°>0, Π°β‰ 1 ΠΈ Ρ…>0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π΅ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠžΠ”Π— (ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) сущСствуСт практичСски для всСх слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ рСкомСндуСтся ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прСобразованиями. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ прСобразования, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ способны привСсти ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ Π±Π°Π½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹Π΅ ошибки, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ поиска Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° для задания. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, поэтому эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ стоит Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Данная Ρ‚Π΅ΠΌΠ° с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ взгляда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ слоТной ΠΈ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΎΠΉ, Π½ΠΎ, исслСдуя Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅ ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΡˆΡŒ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° просто заканчиваСтся, Π° слоТностСй Ρ‚Π°ΠΊ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π»ΠΎ. ΠœΡ‹ рассмотрСли всС свойства, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ошибки, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². УспСхов Π² ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ!

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: https://www.syl.ru/article/407401/logarifmyi-pravila-osnovnyie-svoystva-i-formulyi

Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b ΠΏΠΎ основанию a (a>0, a Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число с, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,aβ‰ 1,b>0)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² основании Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. НапримСр, Ссли ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ -2 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ число 4, Π½ΠΎ это Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию -2 ΠΎΡ‚ 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2.

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство

a log a b =b (a>0,a≠1) (2)

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ области опрСдСлСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ частСй этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ b>0, a>0 ΠΈ a β‰  1. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом b, Π° ΠΎΡ‚ a Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅ зависит. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ основного логарифмичСского «тоТдСства» ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ измСнСнию ΠžΠ”Π—.

Π”Π²Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слСдствия опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

log a a=1 (a>0,a≠1) (3) log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ числа a Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС число, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a bβˆ’ log a c (a>0,aβ‰ 1,b>0,c>0) (6)

Π₯ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ школьников ΠΎΡ‚ Π±Π΅Π·Π΄ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ примСнСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΡ… использовании «слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΒ» происходит суТСниС ΠžΠ”Π—, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ частного β€” Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠžΠ”Π—.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log a (f(x)g(x)) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… случаях: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x) ΠΈ g(x) ΠΎΠ±Π΅ мСньшС нуля.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² сумму log a f(x)+ log a g(x) , ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ случаСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x)>0 ΠΈ g(x)>0. Налицо суТСниС области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° это катСгоричСски нСдопустимо, Ρ‚. ΠΊ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Аналогичная ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° сущСствуСт ΠΈ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (6).

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ аккуратности. Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях f(Ρ…), ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ f(x)>0! Вынося ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΌΡ‹ вновь суТаСм ΠžΠ”Π—. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ВсС эти замСчания относятся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ стСпСни 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ любой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Π’ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠžΠ”Π— Π½Π΅ измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. Если Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ основаниС с (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1), Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ бСзопасной.

Если Π² качСствС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ основания с Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ число b, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

ДСсятичным Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа x называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10. ДСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ довольно часто, поэтому для Π½ΠΈΡ… Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: log10x = lg x. ВсС пСрСчислСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². НапримСр, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа x (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ lnx) называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Ρ… ΠΏΠΎ основанию e. Число e β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2,71. НапримСр, ln e = 1. ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (8), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ любой Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ свСсти ΠΊ дСсятичным ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,aβ‰ 1,b>0)

НСсколько простых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ВычислитС: lg2 + lg50. РСшСниС. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ΠœΡ‹ воспользовались Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ суммы Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² (5) ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ВычислитС: lg125/lg5. РСшСниС. lg125/lg5 = log5125 = 3. ΠœΡ‹ использовали Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)
log a a=1 (a>0,a≠1)
log a 1=0 (a>0,a≠1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b c = log a bβˆ’ log a c (a>0,aβ‰ 1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html

Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°-ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ° свойств, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа β€“ это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅.

Если число b Π² стСпСни y равняСтся x:

by = x

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа x ΠΏΠΎ основанию b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ y:

y = logb(x)

НапримСр:

24 = 16

log2(16) = 4

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ обратная функция ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ЛогарифмичСская функция y = logb(x) являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x = by.

Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ вычислим ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ… (Ρ… > 0), получится:

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Или Ссли ΠΌΡ‹ вычислим Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ…:
f -1(f (x)) = logb(bx) = x

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (ln)

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ – это Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию Π΅.

ln(x) = loge(x)

Число e – это константа, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

Число e Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ:

Число e Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ) числа n – это число, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ основанию a Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу n.

ant logan = an

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

НиТС прСдставлСны основныС свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

Бвойство Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСствоalogab = b2log28 = 8
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСнияlogb(x βˆ™ y) = logb(x) + logb(y)log10(3 βˆ™ 7) = log10(3) + log10(7)
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ дСлСнияlogb(x / y) = logb(x) β€” logb(y)log10(3 / 7) = log10(3) β€” log10(7)
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ стСпСниlogb(x y) = y βˆ™ logb(x)log10(28) = 8βˆ™ log10(2)
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ корняЧисло e Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· прСдСлЧисло e Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°logb(c) = 1 / logc(b)log2(8) = 1 / log8(2)
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½Π° основаня Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°logb(x) = logc(x) / logc(b)log2(8) = log10(8) / log10(2)
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°f (x) = logb(x)β‡’ f β€˜ (x) = 1 / ( x ln(b) )
Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°βˆ«logb(x) dx = x βˆ™ ( logb(x)β€” 1 / ln(b)) + C∫log2(x) dx = x βˆ™ ( log2(x)β€” 1 / ln(2)) + C
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числаlogb(x) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½, ΠΏΡ€ΠΈ x≀ 0
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа 0logb(0) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа 1logb(1) = 0log2(1) = 0
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ основаниюlogb(b) = 1log2(2) = 1
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ бСсконСчностиlim logb(x) = ∞, ΠΏΡ€ΠΈ xβ†’βˆž

microexcel.ru

ЛогарифмичСская функция

Ѐункция, которая ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ f(x)=loga(x) – это логарифмичСская функция с основаниСм a. ΠŸΡ€ΠΈ этом a>0, aβ‰ 1.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΠΊΠ°) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ², Π² зависимости ΠΎΡ‚ значСния основания a:

  • a > 1Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° с основаниСм большС 1
  • 0 < a < 1Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° с основаниСм ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π•Π“Π­-Бтудия

ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… уравнСниях ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ с уравнСния 2x = 8. Π’Π°ΠΌ всё Π±Ρ‹Π»ΠΎ ясно: x = 3.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 7.

По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 2x ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ СдинствСнный.


Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 22 = 4, 23 = 8). Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π΅ являСтся Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Ρ‚. Π΅. Π½Π΅ прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ чувствуСм лишь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ мСньшС 3, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ обозначаСтся log27 (читаСтся: Β«Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ сСми ΠΏΠΎ основанию Π΄Π²Π°Β». Он являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Ρ‚. Π΅. бСсконСчной нСпСриодичСской дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚: log27 = 2,807354922057604107…

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, нашС число log27 β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 7.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ a > 0 ΠΈ a β‰  1 (условия Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для основания ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b ΠΏΠΎ основанию a (обозначаСтся logab) β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ b.

Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами,

НапримСр:

  Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ  

, Ρ‚Π°ΠΊ как 

  Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ  ;

, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ  .

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с основаниСм 10 называСтся дСсятичным ΠΈ обозначаСтся lg. ΠΠ°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = βˆ’2.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с основаниСм e называСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ обозначаСтся ln.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ лишь ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. НапримСр, число log2(βˆ’4) Π½Π΅ сущСствуСт: Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π±Ρ‹ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ Π½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ 2, ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ βˆ’4.

НС Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎ ограничСния Π½Π° основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: 0 < a < 1 ΠΈΠ»ΠΈ a > 1.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, logab β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти число a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число b:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) называСтся основным логарифмичСским тоТдСством.
Π’ΠΎΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ записи основного логарифмичСского тоТдСства:

logaax=x.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Они ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ простыми слСдствиями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» дСйствия со стСпСнями. ВсС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния β€” это сумма Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²:

loga(bc) = logab + logac.(2)

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного β€” это Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²:

(3)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа «спрыгиваСт» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ:

(4)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ «спрыгиваСт», Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа:

(5)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (4) ΠΈ (5) вмСстС Π΄Π°ΡŽΡ‚:

log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b(6)

Π’ частности, Ссли m = n, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b(7)

 

НапримСр, log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b.

НаконСц, ваТнСйшая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию:

log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b(8)

Π’ частности, Ссли c = b, Ρ‚ΠΎ logbb = 1, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b(9)

 

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈΠ· Π±Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.
1. log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2) суммы Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²).

2. log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ основноС логарифмичСскоС тоТдСство(1))

3. (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (4).

4. (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (9), пСрСйдя ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию 0,8).

5. (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (3) разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²)

НСмного истории

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ поняли, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Но для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ всё-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹? Или это просто такая матСматичСская ΠΈΠ³Ρ€ΡƒΡˆΠΊΠ° с Ρ…ΠΈΡ‚Ρ€ΠΎΠΉ инструкциСй ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ?

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ логарифмичСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ появились Π² 17 Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎ.

Π­Ρ‚ΠΎ Π² наши Π΄Π½ΠΈ вычислСния Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° β€” Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€. А ΠΊΠ°ΠΊ считали Π² Β«Π΄ΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅Β» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π°?

Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π° счётах, Π° Π²ΠΎΡ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Β«Π² столбик» β€” ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ.

Π’ 15–17 Π²Π΅ΠΊΠ°Ρ…, Π² эпоху Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… гСографичСских ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΉ, стали Π±ΡƒΡ€Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ торговля, экономика ΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠ°. ВрСбования ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ росли: расчёты ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТными, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ β€” Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° всё Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокая.

НСобходим Π±Ρ‹Π» инструмСнт, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ расчёты, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ инструмСнтом явились Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ b ΠΈ c β€” большиС числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ. ПоявлСниС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с основаниСм 10) сущСствСнно упростило эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ достаточно Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ дСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ чисСл b ΠΈ c, ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… (Π½Π° счётах) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния: lgb + lgc = lg(bc).

А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ само ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл b ΠΈ c.

НСдаром французский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈ астроном Лаплас сказал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ»ΠΎ Тизнь вычислитСлСй. ЛогарифмичСская Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρ‹ пользовались Π΄ΠΎ 70-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ°) Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ прогрСссивным ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ соврСмСнный ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€.

Но это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ всё! ΠœΡ‹ Π½Π΅ занимались Π±Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ лишь ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, Β«ΠΌΡƒΠ·Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽΒ» Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. О Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… примСнСниях Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΌΡ‹ расскаТСм Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, посвящённой логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ школС

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ удаСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²Π° стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: Ρ… = βˆ’5/6. Однако, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, казалось Π±Ρ‹, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2Ρ… = 3, ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ оказываСтся нСдостаточно. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число 3 Π½Π΅Π»ΡŒΠ·Ρ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни с ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2 ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли Π±Ρ‹ равСнство , Π³Π΄Π΅ m ΠΈ n β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ, возвСдя Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ n, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство 2m = 3n. Но ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ равСнство Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ лСвая Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом, Π° ΠΏΡ€Π°Π²Π°Ρ β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ .

Рисунок 1

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 2x пСрСсСкаСтся с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ y = 3, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ стоят Π΄Π²Π° вопроса: «Как Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ этот ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ?Β» ΠΈ Β«ΠšΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ?Β».

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти число a (a > 0, a β‰  1), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число b, называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ a ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ся logab.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния 2Ρ… = 3:

Ρ… = loga3

РавСнства ax = b ΠΈ x = logab, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… число a ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, число b ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами a, b ΠΈ x. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ равСнство Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ основноС логарифмичСскоС тоТдСство.

Рисунок 1

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π² ΠΌΠ΅Ρ‚одичСском пособии

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π°) 2x = 64; Π±) Рисунок 1; Π²) Рисунок 1; Π³) 4x = 0; Π΄) 7x = βˆ’12.

ПослС ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ прСдлагаСтся ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ показалось ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ. ВСроятный ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2 (Π²), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΊ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ числа 5. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ школьникам прСдлагаСтся Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ с Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2 (Π²) трудности уравнСния 2x = 3. На ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни числа 2 ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π΅Ρ‚ся.

Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° проводится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Ρ класса рассматриваСтся ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚риваСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прСдставлСния 3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 2r , Π³Π΄Π΅ r = m/n.

ПослС этого Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ с ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

β€” ΠšΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 3 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ обоснуйтС. [Если ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = 2x ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Ρƒ = 3, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ пСрСсСкутся Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.]
β€” Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ уравнСния ax = b, Π³Π΄Π΅ Π° > 0 ΠΈ Π° β‰  1? ΠŸΡ€ΠΈ всСх Π»ΠΈ значСниях b ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вводится ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° числа b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π° ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся основноС логарифмичСскоС тоТдСство Рисунок 1. ΠŸΡ€ΠΈ этом выписываниС равСнства происходит синхронно с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ опрСдСлСния Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, порядкС. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния 2Ρ… = 3: Ρ… = loga3 ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ школьникам ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚.

ЛогарифмичСская функция

Рисунок 2

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ x ΠΈΠ· Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²Π° y = logax, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ x = ay. ПослСднСС равСнство Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ x = ay, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ симмСтричСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = ax ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой y = x.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция x = ay являСтся ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ значСния y ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ значСниям x, Π½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y = logax, Π² ΡΠ²ΠΎΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция y = ax ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„мичСская функция y = logax ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Бравнивая ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС свойства логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = logax, a > 0, a β‰  11:

  1. Ѐункция y = logax ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = logax β€” мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  3. ΠŸΡ€ΠΈ 0 < a < 1 Ρ„ункция y = logax являСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ; ΠΏΡ€ΠΈ a > 1 Ρ„ункция y = logax являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.
  4. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = logax ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1; 0).
  5. Ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = loga.
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-мСтодичСский комплСкс ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 10–11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅. ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π² Π½Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. КаТдая Π³Π»Π°Π²Π° Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ домашнСй ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ, Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ β€” ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ вопросами ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ соотвСтствуСт Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ государствСнному ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ стандарту срСднСго (ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ) ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ образования, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³Ρ€ΠΈΡ„ Β«Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΒ» ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Π² Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ².

ΠšΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ

РСшСниС логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π² Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ свойств логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ОсвобоТдаясь ΠΎΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ основаниС 3, ΠΌΡ‹ ΡΡΡ‹Π»Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° соотвСтствуСт большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния, стоящСго ΠΏΠΎΠ΄ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. Однако слСдуСт ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = log3 log0,5(2x + 1) ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ логарифмичСской, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x, Π° Π²ΡΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log0,5(2x + 1). Если ΠΆΠ΅ всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ x ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = log3 log0,5(2x + 1), Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π° функция окаТСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ значСния x ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния 2x + 1, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния log0,5(2x + 1) ΠΈ, соотвСтствСнно, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ самой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Бвязь Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ записи ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами a, b ΠΈ x (Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΎ ax = b ΠΈ x = logab) позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… свойствах стСпСнСй.

Рассмотрим, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм: axay. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x = b ΠΈ a y = c. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„мичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅: x = logab ΠΈ y = logac, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° bc = a logab Γ— a logac = a logab + logac. ΠžΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ равСнства bc = a logab + logac ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„мичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

loga(bc) = logab + logac

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ числа a ΠΈ b ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

loga(bc) = loga|b| + loga|c|

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π° свойства для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² частного ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.

  • Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния loga (bc) = loga |b| + loga |c|
  • Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ
  • Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ стСпСни logabp = p loga|b|

ПослСднСС свойство Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вывСсти Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ основаниСм Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ основаниСм.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ logab = x. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ax = b. ΠŸΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это равСнство ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ c, Ρ‚.Π΅. Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ c ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй этого равСнства: logcax = logcb. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° стСпСни, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ x logca = logcb ΠΈΠ»ΠΈ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ

ПолСзно Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ являСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ:

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ

РассмотрСнныС свойства ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° Β«Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚Β», ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС входящиС Π² Π½ΠΈΡ… выраТСния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысл.

Π§Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ?

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π½Π° Π•Π“Π­

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π•Π“Π­: ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части (ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, это Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 15), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ, Ρ€Π΅ΠΆΠ΅, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части. Задания ΠΈΠ· Π°Ρ‚тСстации β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π² ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…. Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΎΡΠΊΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ заданию Π•Π“Π­, ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ нСсколько Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.

Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части (ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π° Π•Π“Π­ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня)

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ log3(x+1)2 + log3|x+1| = 6 . Если ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ нСсколько, ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ наимСньший ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

РСшСниС. РСшаСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ log3|x+1| ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π•Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 2 ΠΈ βˆ’3.

log3|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = βˆ’10 β€” это наимСньший ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’10.

Из Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части (логарифмичСскоС нСравСнство Π½Π° Π•Π“Π­ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня)

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСравСнство ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ.

РСшСниС. ΠžΠ”Π—: x > 0, x β‰  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ 10:

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ;

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ;

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°:

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ;

Нули числитСля: 2/3, 3, с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ x, Π½ΡƒΠ»ΡŒ замСняСтся Π½Π° 1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 класс. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ

АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС

АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС

ПособиС содСрТит Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ школьного курса Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° тСория ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. ПособиС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ учащимся 7-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², Π°Π±ΠΈΡ‚ΡƒΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ, студСнтам, учитСлям ΠΈ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Слям.

ΠšΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ
Из Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части (логарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π½Π° Π•Π“Π­ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня)

НайдитС всС значСния a, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ b ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, мСньшС 1/3.

РСшСниС. НайдСм ΠžΠ”Π—: АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС

Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию

АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС,

АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС.

Оно Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ АлгСбра Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…. 7-11классы. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = tβ€” bt β€” 2a.

Π’Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ b > 0, располоТСна Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ полуплоскости. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ пСрСсСкаСт ось абсцисс ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ t = 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ t = 0 y < 0. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ βˆ’2a < 0 a > 0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: a > 0.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ «АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡΒ» схоТ ΠΏΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π΅ с ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ уровня, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ большС часов Π½Π° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ издания Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π°ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прямо сСйчас, воспользовавшись Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Β«5 ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² бСсплатно». ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ пособиС прСдставлСно Π² ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ доступС. ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π°ΠΌΠΈ экспСртов ΠΈ ΠΏΠΎΡ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ вас Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… трансляций.


#ADVERTISING_INSERT#


Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10 β€” с английского Π½Π° русский

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… словарях:

  • Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10 β€” β€” [Π›.Π“.Π‘ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΊΠΎ. Англо русский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌ тСхнологиям. М.: Π“ΠŸ ЦНИИБ, 2003.] Π’Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ EN logarithm to base 10logarithm to the base 10 …   Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ тСхничСского ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΊΠ°

  • Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 2 β€” β€” [Π›.Π“.Π‘ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΊΠΎ. Англо русский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌ тСхнологиям. М.: Π“ΠŸ ЦНИИБ, 2003.] Π’Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ EN base 2 logarithmic representation …   Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ тСхничСского ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΊΠ°

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ, Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°) для произвСдСния вычислСний, Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² 1614 Π³. Π”ΠΆΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΠ•ΠŸΠ•Π ΠžΠœ ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ впослСдствии английским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π“Π΅Π½Ρ€ΠΈ Бриггсом (1561 1631). Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа ( ) являСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни (Ρ…), в… …   Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” (logarithm) Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ слуТащСС основаниСм число, большСС 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Если Ρ… являСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ с основаниСм Ρƒ ΠΎΡ‚ z, Ρ‚ΠΎ z=Ρƒx. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ свойство, Ρ‡Ρ‚ΠΎ …   ЭкономичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” (ΠΎΡ‚ грСчСского logos ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos число) числа N ΠΏΠΎ основанию a (O …   БоврСмСнная энциклопСдия

  • Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” (ΠΎΡ‚ грСчСского logos ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos число) числа N ΠΏΠΎ основанию a (O …   Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа …   ВикипСдия

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” число, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ позволяСт ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ слоТныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. ИспользованиС Π² вычислСниях вмСсто чисСл ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² позволяСт Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ слоТСния, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒβ€¦ …   ЭнциклопСдия ΠšΠΎΠ»ΡŒΠ΅Ρ€Π°

  • Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€”         Ρ‡ΠΈΡΠ»Π° N ΠΏΠΎ основанию Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни m, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ слСдуСт возвСсти число Π° (основаниС Π›.), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ N; обозначаСтся logaN. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, m = logaN, Ссли Π°ΠΌ = N. НапримСр, log10 100 = 2; log2 1/32 = 5; loga 1 = 0, Ρ‚. ΠΊ. 100 = 102, 1/32 …   Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” числа NΠΏΠΎ основанию Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Ρ‚, Π² ΠΊ Ρ€ΡƒΡŽ слСдуСт возвСсти число (основаниС Π›.), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ N;обозначаСтся logaN, Ρ‚. Π΅. m=logaN, Ссли am=N. ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу соотвСтствуСт ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ основании СдинствСнный Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉβ€¦ …   ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия

  • Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ β€” [ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π΅Ρ‡. logos слово, здСсь (ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ arithmos число] числа N ΠΏΠΎ основанию Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Ρ‚, Π² ΠΊ Ρ€ΡƒΡŽ слСдуСт возвСсти Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ N; обозначаСтся logΠ°N. Π’. ΠΎ., Ρ‚ = logaN, Ссли Π°Ρ‚ = N (прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π° > 0, Π° Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1).… …   Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ энциклопСдичСский политСхничСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *