Логарифмы

Логарифмы изучаются в старших классах и считаются достаточно сложными для понимания. На самом же деле, ничего сложного здесь нет — надо только начать изучение.

По существу, нахождение логарифма — это операция, обратная возведению в степень. Отсюда возникают все свойства и ограничения логарифма.

Логарифмические функции часто попадаются на экзаменах в виде уравнений и неравенств. Поэтому умение работать с логарифмами и твердое знание их свойств совершенно необходимы.

Глава 1.

Понятие логарифма

§ 1.

Что такое логарифм

§ 2.

Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)

§ 3.

Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)

§ 4.

Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)

§ 5.

Основные свойства логарифмов

Глава 2.

Логарифмические уравнения

§ 1.

Простейшие логарифмические уравнения — первые шаги

§ 2.

Логарифмические уравнения: комплект видеоуроков для изучения

§ 3.

Уравнения, квадратные относительно логарифма, и другие нестандартные ситуации

§ 4.

Решение логарифмических уравнений — заключительный комплект видеоуроков

Глава 3.

Логарифмические неравенства

§ 1.

Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием

§ 2.

Логарифмические неравенства с переменным основанием

§ 3.

Логарифмические неравенства, сводящиеся к квадратным

§ 4.

Неравенства, квадратные относительно логарифма

§ 5.

Дробно-рациональные неравенства с логарифмами

§ 6.

Сложные логарифмические неравенства

Глава 4.

Что такое логарифм

Глава 5.

Свойства логарифмов

Глава 6.

Логарифмические выражения

Глава 7.

Логарифмическая функция

§ 10.

Логарифм с переменным основанием и метод рационализации

§ 18.

Решение сложных логарифмических неравенств разными способами

§ 19.

Совмещение метода рационализации и метода интервалов

§ 20.

Подробное решение логарифмического неравенства методом рационализации

§ 21.

Метод рационализации логарифмических неравенств

www.berdov.com

45. Понятие логарифма и его свойства

Логарифмом числа B (B > 0) По основанию а (А > 0, А ¹ 1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число А, чтобы получить число B:

(6.1)

Формулу (6.1) называют Основным логарифмическим тождеством

.

Логарифм числа B по основанию 10 называется Десятичным логарифмом И обозначается

Логарифм по основанию E (E = 2,71828…) называется Натуральным логарифмом и обозначается

Свойства логарифмов

Пусть Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Тогда и только тогда, когда

12) тогда и только тогда, когда

13) тогда и только тогда, когда

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и – выражения с переменной. Тогда:

3*) где

4*) где

5*) где

6*) где

З а м е ч а н и е 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм

З а м е ч а н и е 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т. е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= |по основному логарифмическому тождеству|

|по свойству 10|

Тогда

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| =

|по свойству 8|

Таким образом:

З а м е ч а н и е 3. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Пример 2. Вычислить

Решение. Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2| =

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3–5:

Тогда получаем:

З а м е ч а н и е 4. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно приведено исходя из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3. Прологарифмировать по основанию 10 выражение

Решение. Замечаем, что сделать это можно, если Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

Решение. Используем свойства логарифмов 3–5 («справа–налево»):

Получаем ответ:

Пример 5. Выразить через и

Решение.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

   

то

   

   

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

   

ОДЗ:

   

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

   

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

   

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

   

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

   

тогда

   

   

   

Обратная замена:

   

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

   

   

Ответ: 1; 27.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

   

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

   

   

Пусть

   

тогда

   

   

Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

   

Ответ: 1/4; 8.

   

ОДЗ:

   

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Обратная замена

   

   

   

Ответ:

   

   

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

Показатель степени вынесем за знак логарифма

   

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

www.logarifmy.ru