Логарифмы с дробями – Свойства логарифмов и примеры решений — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 30.04.201821.12.2019 by alexxlab

Содержание

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство a^x=b . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть

переменная

может принимать любое действительное значение, тогда на переменные

накладываются такие ограничения: a>o

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное

, то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

$x=log_{a}b$

Итак,

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

( a>o a>o , a<>1 a>o , b>0 a>o , a>o , d<>1 a>o

1. $a^{log_{a}b}=b$

2. $log_{a}a=1$

3. $log_{a}1=0$

4. $log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c$

5. $log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c$

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6. $log_{a}b^n=nlog_{a}b$

7. $log_{a^k}b={1/k}log_{a}b$

8. $log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b$

9. $log_{a^n}b^n=log_{a}b$

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. $log_{a}b={log_{d}b}/{log_{d}a}$

11. $log_{a}b=1/{log_{b}a}$

12. (следствие из свойства 11)

${log_{a}b}*{log_{b}a}=1$

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. $a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}$

14. $a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}$

15. $a^{sqrt{log_{a}b}}=b^{sqrt{log_{b}a}}$

Частные случаи:

$log_{10}a=lg(a)$ — десятичный логарифм

$log_{ e}(a)=ln(a)$ — натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

$2^{log_{sqrt{2}}2,5}-7^{log_{343}{{(7,25)}^3}}+3^{4log_9{2,5}}$

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

${log_{sqrt{2}}2,5}$ = ${log_{{2}^{1/2}}2,5}$ =(по свойству 7) ${2log_{2}2,5}$ a>o =(по свойству 6) ${log_{2}{{2,5}^2}}$ a>o = ${log_{2}{6,25}}$

${log_{343}{{(7,25)}^3}}={log_{7^3}{{(7,25)}^3}}={1/3}{log_{7}{{(7,25)}^3}}={3/3}{log_{7}{(7,25)}}={log_{7}{(7,25)}}$

${4log_9{2,5}}={4log_{3^2}{2,5}}={4/2}log_{3}{2,5}={2}log_{3}{2,5}=log_{3}{{2,5}^2}=log_{3}{6,25}$

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

$2^{log_{2}{6,25}}-7^{log_{7}{(7,25)}}+3^{log_{3}{6,25}}=6,25-7,25+6,25=5,25$

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

${log_6{30}}/{log_{30}6}-{log_6{180}}/{log_5{6}}$

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

${log_6{30}}*{log_{6}{30}}-{log_{6}{180}}*{log_6{5}}$

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

${log_{6}{(5*6)}}*{log_{6}{(5*6)}}-{log_{6}{({6^2}*5})}*{log_{6}{5}}$

Применим свойства 4 и 6:

${(log_{6}5+log_{6}6)}*{(log_{6}5+log_{6}6)}-{(2log_{6}6+log_{6}5)}*{log_{6}5}=$ $({log_{6}5+1})*{(log_{6}5+1)}-{(2+log_{6}5)}*{log_{6}5}$

Введем замену ${log_{6}5}=t$

$({t+1})*{(t+1)}-{(2+t)}*{t}=(t+1)^2-(2+t)t$

Получим:

Ответ: 1 a>o

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.

Теория

Конспект урока

На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.

Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для . То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1) , так как .

2) , так как .

3) , так как .

4), так как .

Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: .

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием (напомним, что ). Он обозначается следующим образом: .

Исходя из определения логарифма , легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: .

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов ().

1) (т.к.

5) Формула перехода к новому основанию:

6) (т.к. )

7) (т.к. )

На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.

В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма»

2) Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма. Простейшие задачи»

3) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного»

4) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм степени»

5) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Решение более трудных задач»

6) Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма»

7) Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма. Решение задач»

interneturok.ru

Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач

Теорема

Если , , – положительные числа, причем a и c отличны от 1, то имеет место равенство: – формула перехода к новому основанию

Доказательство

Преобразуем данное равенство, домножив левую и правую часть на знаменатель правой части:

Далее возведем в степень левой и правой части:

Преобразуем левую часть, применив свойство степеней:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Таким образом:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Следовательно:

Мы получили равенство, которое верно по основному логарифмическому тождеству. То есть:

Что и требовалось доказать.

1. Первое следствие мы вывели попутно, доказывая формулу перехода:

2. Подставим в предыдущую формулу :

Доказательство

Докажем третье следствие из формулы перехода к новому основанию

, при ;

Доказательство

Прологарифмируем данное равенство по основанию :

В правой и левой части вынесем степень за знак логарифма:

Так как , то:

Согласно второму следствию из формулы перехода к новому основанию , следовательно:

Домножим левую и правую часть на знаменатель правой части:

Равенство верное, следовательно:

Что и требовалось доказать.

Вычислите:

Решение

Разность логарифмов с одинаковым основанием – это логарифм частного, а сумма логарифмов с одинаковым основанием – логарифм произведения. А у нас в числителях и знаменателях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями.

Применяя эти свойства, получаем:

Согласно формуле перехода к новому основанию :

Следовательно:

Из основания логарифма показатель степени выносится за знак логарифма как , а из подлогарифмического выражения – как , то есть:

Следовательно:

Ответ: .

Вычислите:

Решение

Нам известно следствие из формулы перехода к новому основанию:

С помощью этой формулы преобразуем показатель степени в данном выражении:

Таким образом:

Ответ: .

Вычислите:

Решение

Преобразуем показатель степени, избавившись от минус первой степени:

Приведем всё к одному основанию (в данном случае к 5), воспользовавшись следствием из формулы перехода к новому основанию

Домножим числитель и знаменатель на :

Следовательно:

Применим основное логарифмическое тождество:

Ответ: 5.

Известно, что , ; . Вычислить:

Решение

Существует два способа решения этой задачи.

1. Перейдем в логарифмах (в выражении, которое нам необходимо вычислить) к одному основанию – . Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

а)

Так как:

interneturok.ru

Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:

То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.

Рассмотрим конкретный пример: .

Рис. 1. График уравнения

По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.

Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:

Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.

Теорема 1:

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Здесь

Доказательство:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.

Пример 1 – вычислить:

а)

Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:

б)

Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:

Комментарий: в ходе решения была применена формула

Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.

Доказать:

Здесь

Доказательство:

Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:

Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к следующей формуле.

Дано:

Доказать:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Пример 2 – вычислить:

а)

Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:

б)

Аналогично предыдущему примеру:

Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Webmath.ru (Источник).
Berdov.com (Источник).
Ru.onlinemschool.com (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 506;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

interneturok.ru

Решение логарифмических уравнений

20 мая 2014

Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.

В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.

О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:

log_a (fg) = log_af + log_ag

Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.

До тех пор, пока в виде переменных a, f и g выступают обычные числа, никаких проблем не возникает. Данная формула работает прекрасно.

Однако, как только вместоf и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:

fg > 0

А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:

f > 0

g > 0

Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f < 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg > 0 выполняется).

Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.

Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.

Итак, первая задача:

[Подпись к рисунку]

Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:

[Подпись к рисунку]

Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:

a = log_bb^a

Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:

log₄ (x− 5)₂ = log₄ 1

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:

(x− 5)² = 1

|x − 5| = 1

Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:

[Подпись к рисунку]

Затем решаем классическое уравнение с модулем:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x₁ = 5 − 1 = 4; x₂ = 5 + 1 = 6

Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!

Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:

(x− 5)² > 0

Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.

Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:

х (х − 5) > 0

Решать будем с помощью метода интервалов:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:

[Подпись к рисунку]

На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.

Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.

Переходим ко второму логарифмическому уравнению:

[Подпись к рисунку]

Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx— это просто десятичный логарифм, мы можем записать:

lgx = log₁₀x

Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

t + 1/t = 2;

t + 1/t− 2 = 0;

(t² − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1)²/t = 0.

Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

(t− 1)² = 0; t ≠ 0

Решаем первое уравнение:

t− 1 = 0;

t = 1.

Это значение удовлетворяет второму требованию. Следовательно, можно утверждать, что мы полностью решили наше уравнение, но только относительно переменной t. А теперь вспоминаем, что такое t:

[Подпись к рисунку]

Получили пропорцию:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx− lgx = −1

lgx = −1

Приводим это уравнение к канонической форме:

lgx = lg 10⁻¹

x = 10⁻¹ = 0,1

В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.

Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.

Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).

С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.

Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.

Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!

Когда вы нашли значение t, необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного.

Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида log_af(x) = b, то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b:

b = log_aa^b

Заметьте: a^b— это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f(x). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

log_af(x) = log_aa^b

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

f(x) = a^b

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f(x) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

log₂ (1 + 3 log₂x) = 2

Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f(x) выступает конструкция 1 + 3 log₂x, а в роли числа b выступает число 2 (в роли aтакже выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:

2 = log₂ 2²

Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log₅ 5². В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

log₂ (1 + 3 log₂x) = log₂ 4

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

1 + 3 log₂x = 4

Отсюда легко находится 3 log₂x:

3 log₂x = 3

log₂x = 1

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

1 = log₂ 2¹ = log₂ 2

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

log₂x = log₂ 2

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

х = 2

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

log₂ (log_1/2 (2x− 1) + log₂ 4) = 1

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f(x), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log₂ 2¹ = log₂ 2.

Переписываем наше большое уравнение:

log₂ (log_1/2 (2x − 1) + log₂ 4) = log₂ 2

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log₂ 4 = 2:

log_1/2 (2x− 1) + 2 = 2

log_1/2 (2x− 1) = 0

Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида log_af(x) = b. Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log_1/2 (1/2)0 = log_1/2 1.

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

log_1/2 (2x− 1) = log_1/2 1

2x − 1 = 1

2х = 2

х = 1

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log₂x, то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Случаи разного основания

Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.