Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью – 8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

Пусть K, M и N данные точки.

Возможны три случая:

1) Точки K, M, N расположены так, что MN || DC и KM || MN. Тогда плоскость, проходящая через точки K, M и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые KM и MN параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересекала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.

Тогда четырехугольник KMNO искомое сечение.

2) Точки K, M, N располагаются так, что КМ || ВС, но MN не параллельно DC. Тогда через точки M и N проведем прямую а, которая пересекает прямую DC в некоторой точке S.

Тогда S принадлежит сечению. Через точку S проведем прямую b || KM. Тогда b принадлежит сечению и b || BC, т.к. b || KM и КМ || ВС. Тогда АВ пересекает прямую b в некоторой точке X. Тогда Х принадлежит сечению.

А также можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А1А в некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А значит, четырехугольник OKMN это искомое сечение.

Общий случай:

3) Когда точки К, M, N располагаются так, что MN не параллельно DC и KМ не параллельно MN. Тогда прямая MN пересечет прямую DC в некоторой точке F, прямая МК пересечет прямую ВС в некоторой точке X. Точки X и F принадлежат плоскости ABCD, а также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пересекаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА1В1В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА1 в точке О. Так что MNOK искомое сечение.

5terka.com

Необходимо решить задачу № 8 Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью Погорелов ГДЗ 11 класс Геометрия

Решение задачи №8 :
Пусть К, М и N — данные точки.
Возможны три случая:
1)    Точки К, Μ, N расположены так, что
MN || DC и КМ || MN. Тогда плоскость, про-
ходящая через точки К, М и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые КМ и MN
параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она
будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересе-
кала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.
Тогда четырехугольник KMNO — искомое сечение.
 
2)    Точки К, Μ, N располагаются
так, что KM || ВС, но MN не парал-
лельно DC. Тогда через точки М и N
проведем прямую а, которая пересе-
кает прямую DC в некоторой точке S.
Тогда S принадлежит сечению. Че-

рез точку S проведем прямую b || КМ.
Тогда b принадлежит сечению и b|| ВС,
т.к. b || КМ и КМ || ВС. Тогда АВ пере-
секает прямую b в некоторой точке X.
Тогда X принадлежит сечению. А так-
же можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А1А в
некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А
значит, четырехугольник OKMN—это искомое сечение.
 
Общий случай:
3)    Когда точки К, М, N распо-
лагаются так, что MN не парал-
лельно DC и КМ не параллельно
MN. Тогда прямая MN пересечет
прямую DC в некоторой точке F,
прямая МК пересечет прямую ВС в
некоторой точке X Точки X и F
принадлежат плоскости ABCD, а
также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пере-
секаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе
эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в
точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА1В1В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА1 в точке О.
Так что MNOK — искомое сечение.

 
 

class.rambler.ru

Задание №981. Тип задания 14. ЕГЭ по математике (профильный уровень)

а) По условию ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} — правильная призма, это означает, что основание ABCD — квадрат и боковые грани — равные прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма с квадратным основанием и равными боковыми гранями

Так как плоскость сечения проходит через точки M и D параллельно диагонали AC, то для её построения в плоскости A_{1}AC через точку M проведём отрезок MN параллельный AC. Получим AC \parallel (MDN) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Плоскость MDN пересекает параллельные плоскости A_{1}AD и B_{1}BC, тогда, по свойству параллельных плоскостей, линии пересечения граней A_{1}ADD_{1} и B_{1}BCC_{1} плоскостью MDN параллельны.

Проведём отрезок NE параллельно отрезку MD.

Четырехугольник DMEN — искомое сечение.

б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость основания по некоторой прямой p, проходящей через точку D. AC \parallel MN, следовательно, AC \parallel p (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой). BD \perp AC как диагонали квадрата, значит, BD \perp p. BD — проекция ED на плоскость ABC, тогда по теореме о трех перпендикулярах ED \perp p, следовательно, \angle EDB — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Установим вид четырехугольника DMEN. MD \parallel EN, аналогично ME \parallel DN, значит, DMEN — параллелограмм, а так как MD=DN (прямоугольные треугольники MAD и NCD равны по двум катетам: AD=DC как стороны квадрата, AM=CN как расстояния между параллельными прямыми AC и MN), следовательно, DMEN — ромб. Отсюда, F — середина MN.

По условию AM:MA_{1}=2:3, тогда AM=\frac{2}{5}AA_{1}=\frac{2}{5} \cdot 5\sqrt{6}=2\sqrt{6}.

AMNC — прямоугольник, F — середина MN, O — середина AC. Значит, FO\parallel MA,  FO \perp AC,  FO=MA=2\sqrt{6}.

Зная, что диагональ квадрата равна a\sqrt{2}, где a — сторона квадрата, получим BD=4\sqrt{2}. OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

В прямоугольном треугольнике FOD\enspace tg \angle FDO=\frac{FO}{OD}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}. Следовательно, \angle FDO=60^\circ.

academyege.ru

Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки M, N,O.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую NO, принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки N и O лежат в основании призмы, прямая NO также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую BA, и определить точку пересечения BA и NOP. Точка P принадлежит плоскости грани AA_1B_1B, поскольку прямая AB принадлежит ей.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Точки P и M можно соединить прямой. Прямая PM пересечет ребро AA_1 в точке Q. Проводим прямую ED в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой NO – точку R.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через точки Q и N проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани AA_1F_1F, поэтому обязательно пересечется с прямой F_1F этой плоскости – в точке S. Точка S лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка S, благодаря принадлежности прямой F_1F, также принадлежит и плоскости грани FF_1E_1E, а в этой плоскости у нас имеется точка – точка O.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки S и O прямой. Эта прямая пересечет ребро EE_1 в точке T.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка R принадлежит прямой ED, а следовательно, лежит в плоскости грани EE_1D_1D, таким образом, ее можно соединить с точкой T этой же плоскости прямой RT. Эта прямая пересечет ребро DD_1 в точке U. Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую PM

до пересечения с прямой A_1B_1. Отметим точку V.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Проведем прямую E_1D_1, принадлежащую грани EE_1D_1D

, и найдем точку ее пересечения с прямой RT – точку W. Тогда точки V и W принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой VW с ребрами B_1C_1 и C_1D_1 – точки X

и Y.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

сечение шестиугольной призмы

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

сечение шестиугольной призмы

Окончание построения

 

Задача 2. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1

плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проведем прямую PQ. Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую CA

. Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее S.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично поступим с точками Q и R: проводим прямую QR и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости U, одновременно лежащая в нижнем основании.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую SU, точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую AB. Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых AB и SU, таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим прямую VP в плоскости боковой грани AA_1B_1B и отыскиваем точку пересечения ею ребра BB_1 – точку W.

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре DD_1, и пару точек в плоскости основания.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямые AF и DE в плоскости основания. Они пересекут прямую SV секущей плоскости в точках Y и Z.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Точки P и Y принадлежат плоскости грани AA_1F_1F, проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро FF_1 – точку M. Точки Z и R лежат в плоскости грани EE_1D_1D. Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром DD_1N.

 

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

сечение шестиугольной призмы

Задача 2. Шаг 7.

Окончательный вид построенного сечения:

сечение шестиугольной призмы

Окончательный вид построенного сечения

 

Задача 3. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Дано

Шаг 1. Проводим прямую PR секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания AR. Прямая CD принадлежит плоскости основания и пересечет прямую AR в точке S. Заметим, что точка S не является точкой секущей плоскости.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Из точки S проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой AR), его пересечение с прямой PR – точка V – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани CDD_1C_1.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Соединим точки V и Q. Прямая VQ пересечет ребро призмы DD_1 в точке X.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Заполучив точку X, можем провести отрезок RX. Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань  AA_1B_1B  параллельна грани EE_1D_1D, то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна RX. Вот и проведем через P такую параллельную прямой RX прямую. Она пересечет ребро A_1B_1 в точке Y.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем также через точку P прямую, параллельную прямой VQ. Это можно сделать, так как грань CC_1D_1D параллельна грани AA_1F_1F. Прямая эта пересечет ребро AF в точке M.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид:

сечение шестиугольной призмы

Задача 3. Окончательный вид

 

 

Задача 4. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки S, T, U.

сечение шестиугольной призмы

Задача 4. Дано

Шаг 1. Через точки S и U проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – A_1D_1 на верхнее, и AD – на нижнее. Точки пересечения прямой SU с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая SU прошьет в точке V, а нижнее – в точке W. Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

сечение шестиугольной призмы

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Точки T и V принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку X, в которой она пересечет ребро A_1F_1, и точку Y, в которой она пересечет ребро C_1D_1.

Шаг 3. Приобретя точку X в грани AA_1F_1F, проведем прямую SX. Она пересечет ребро AF в точке Z.

сечение шестиугольной призмы

Задача 4. Шаги 2-3.

Шаг 4.  Проведем через точку Z в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой VT (или можно провести через точки Z и W). Эта прямая пересечет ребро CD в точке M.

сечение шестиугольной призмы

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

сечение шестиугольной призмы

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид:

сечение шестиугольной призмы

Окончательный вид сечения

easy-physic.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о