Геометрическая прогрессия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1{\displaystyle b_{1}}, b2{\displaystyle b_{2}}, b3{\displaystyle b_{3}}, …{\displaystyle \ldots } (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (называемое знаменателем прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1{\displaystyle b_{1}}, b2=b1q{\displaystyle b_{2}=b_{1}q}, b3=b2q{\displaystyle b_{3}=b_{2}q}, …{\displaystyle \ldots }, bn=bn−1q{\displaystyle b_{n}=b_{n-1}q}^[1].

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

bn=b1qn−1.{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b1>0{\displaystyle b_{1}>0} и q>1{\displaystyle q>1}, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1{\displaystyle 0<q<1}, — убывающей последовательностью, а при q<0{\displaystyle q<0} — знакочередующейся^[2], при q=1{\displaystyle q=1} — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

|bn|=bn−1bn+1,{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата ^[3]:8—9.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi } — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -2.
• 1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -1.

• Формула знаменателя геометрической прогрессии:

q=bn+1bn{\displaystyle q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Доказательство

log⁡(bn)=log⁡(b1qn−1)=log⁡(b1)+(n−1)⋅log⁡(q){\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)} Формула общего члена арифметической прогрессии: an=a1+(n−1)⋅d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}.
В нашем случае
a1=log⁡(b1){\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})},
d=log⁡(q){\displaystyle d=\log(q)}.

• bn2=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}, если 1<i<n{\displaystyle 1<i<n}.

Доказательство

bn2=bnbn=b1qn−1b1qn−1=b1qn−1−ib1qn−1+i=bn−ibn+i.{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  Pn=(b1⋅bn)n2.{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}.}

Доказательство

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  Pk,n=PnPk−1.{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

Доказательство

Pk,n=∏i=knbi=∏i=1nbi∏j=1k−1bj=PnPk−1.{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

• Сумма n{\displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии

  Sn={∑i=1nbi=b1−b1qn1−q=b1(1−qn)1−q,if q≠1nb1,if q=1{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}

Доказательство

• Сумма всех членов убывающей прогрессии:

|q|<1{\displaystyle \left|q\right|<1}, то bn→0{\displaystyle b_{n}\to 0} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }, и

Sn→b11−q{\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }.

Доказательство

Арифметико-геометрическая прогрессия — Википедия

Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел un{\displaystyle u_{n}}, задаваемая рекуррентным соотношением un+1=qun+d{\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d}, где q{\displaystyle q} и d{\displaystyle d} — константы^[1]. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при q=1{\displaystyle q=1}) и геометрическая прогрессия (при d=0{\displaystyle d=0}).

Рассмотрим исходное соотношение: un+1=qun+d{\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d} при n=1,2,…{\displaystyle n=1,2,…}

Пусть в этом соотношении q≠1{\displaystyle q\neq 1} и d≠0{\displaystyle d\neq 0}. Прибавив к обеим частям выражение dq−1{\displaystyle {\frac {d}{q-1}}}, получаем

un+1+dq−1=q(un+dq−1){\displaystyle u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}

un+dq−1=q(un−1+dq−1){\displaystyle u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}

…{\displaystyle \ldots }

u3+dq−1=q(u2+dq−1){\displaystyle u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}

u2+dq−1=q(u1+dq−1){\displaystyle u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

un+1=qn(u1+dq−1)−dq−1{\displaystyle u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1}})-{\frac {d}{q-1}}}

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

un+1=(q+1)un−qun−1{\displaystyle u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}}

• Разность d{\displaystyle d} арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

d=un2−un−1un+1un−un−1{\displaystyle d={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}}

• Последовательность an=un+1−un{\displaystyle a_{n}=u_{n+1}-u_{n}} является геометрической прогрессией с тем же знаменателем q{\displaystyle q}.

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

Sn+1=(q+2)Sn−(2q+1)Sn−1+qSn−2{\displaystyle S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}}

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.

1. ↑ Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39.

Обобщённая арифметическая прогрессия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 января 2019; проверки требуют 2 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 января 2019; проверки требуют 2 правки.

Обобщённая арифметическая прогрессия — множество чисел или элементов произвольной группы G{\displaystyle G}, представимое в виде

{a+∑i=1kλidi : 0≤λi<ni, i=1,…,k}{\displaystyle \left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{i},\ i=1,\dots ,k}\right\rbrace }

для некоторых d1,…,dk,n1,…,nk{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k},n_{1},\dots ,n_{k}}.^[1]

Прогрессия называется собственной если все числа вида a+∑i=1kλidi{\displaystyle a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}} различны, то есть она содержит n1⋅…⋅nk{\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}} элементов.

Рангом (или размерностью) прогрессии называется количество слагаемых в представении каждого элемента (в обозначениях выше число k{\displaystyle k}).

При n1=⋯=nk=2{\displaystyle n_{1}=\dots =n_{k}=2} обобщённую арифметическую прогрессию также называют^[2]d{\displaystyle d}-мерным кубом (поскольку в него существует линейное отображения из {0,1}d{\displaystyle \left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}}).

При k=1{\displaystyle k=1} множество представляет собой обычную арифметическую прогрессию.

Обобщённые арифметические прогрессии представляют собой конструкцию менее структурированную чем обычная арифметическая прогрессия, но тем не менее всё же имеющую нетривиальную структуру (когда размер прогрессии велик, а ранг мал). Это делает их удобным инструментом для изучения и обобщения теорем арифметической комбинаторики, связанных с выводом структуры из численных характеристик множества, таких как аддитивная энергия, коэффициент удвоения и т. д.^[3]

Некоторые структурные теоремы аддитивной комбинаторики доказывают существование обобщённой арифметической прогрессии достаточно малого ранга и большого размера в достаточно упорядоченных множествах или возможность покрытия такого множества обобщённой арифметической прогресссий небольшого ранга и небольшого же (ограниченного некоторой формулой от размера множества) размера.

Обобщённые арифметиеские прогрессии могут использоваться для доказательства теоремы Рота.^[4]

Вообще доказать присутствие во множестве обобщённых арифметических прогрессий, исходя из каких-то известных фактов об этом множестве, часто легче, чем доказать присутствие обычных арифметических прогрессий.

• Рональд Грэхем. Начала теории Рамсея. — М.: Мир, 1984.

Прогрессии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Арифметические прогрессии из простых чисел — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогрессии.

Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности (см. теорема Грина — Тао).

Примеры простых чисел в арифметической прогрессии

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
5	6	5, 11, 17, 23, 29
6	30	7, 37, 67, 97, 127, 157
7	150	7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
10	210	199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089
12	13860	110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897
13	30030	14933623, 14963653, 14993683, 15023713, 15053743, 15083773, 15113803, 15143833, 15173863, 15203893, 15233923, 15263953, 15293983

По состоянию на 2016 год, самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 26, например:

43142746595714191 + 5283234035979900 · n, где n = 0 … 25.^[1]

Можно потребовать, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, то есть чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел.

Примеры простых чисел в арифметической прогрессии без пропусков

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
4	6	251, 257, 263, 269
5	30	9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
6	30	121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.

По состоянию на 2017 год известны всего 2 такие последовательности^[2]:

1 180 477 472 752 474 · 193# + x₇₇ + 210n, для n=0..9 (93 цифры),

507 618 446 770 482 · 193# + x₇₇ + 210n, для n=0..9 (93 цифры),

где

x₇₇ = 54 538 241 683 887 582 668 189 703 590 110 659 057 865 934 764 604 873 840 781 923 513 421 103 495 579 — 77-значное простое число,

a 193#  — праймориал числа 193, то есть произведение простых 2⋅3⋅5⋅…⋅193{\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot 193}.

1. ↑ AP26 Statistics (неопр.). www.primegrid.com. Дата обращения 30 марта 2018.
2. ↑ Jens Kruse Andersen. The Largest Known CPAP’s (неопр.). primerecords.dk. Дата обращения 12 апреля 2017.

Применение понятия «прогрессия» в жизни

Применение понятия «прогрессия» в жизни

Черенкова Ю.С. 1

---

1МБОУ СОШ № 16

Драйцель И.В. 1

---

1МБОУ СОШ № 16

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого в школьном курсе математики, материала с жизнью. В 9 классе мы сталкиваемся с темой «Прогрессии», даем определение термину, также используем основные формулы прогрессии для решения задач. В заданиях ОГЭ используются задачи на применение основных формул прогрессий, но как эти понятия связаны с жизнью. В заданиях ЕГЭ по математике также есть задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.

Цель работы:

1. Выяснить, имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни.

Объект исследования:

1. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования:

1. Практическое применение прогрессий в жизни.

Результаты анкетирования

С целью выявления наиболее правильно ответа на наш основной вопрос «Знаете ли вы как применить свойства прогрессии в повседневной жизни?», мы провели анкетирование среди учащихся 10 – го класса и членов моей семьи.

(см. Приложение 1)

Результаты анкетирования оказались неоднозначными. Всего было опрошено 35 человек, из них 31 % ответили на вопрос положительно, а 69 % не знают, как применять свойства прогрессии в жизни.

Также мы провели еще одно анкетирование и выяснили, что большая часть опрошенных (83 %) хотела бы узнать о необычном применении прогрессии в жизни. В связи с этим, мы считаем, что данная тема является интересной для изучения на сегодняшний день.

Определения и формулы

Арифметическая прогрессия

— это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.

Число d называется разностью прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

an = a1 + d (n – 1)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Геометрическая прогрессия

— это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q.

Число q называется знаменателем прогрессии.

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn = b1 * qn — 1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Зная эти формулы можно решить большое количество интересных задач: литературного, исторического и практического содержания.

Историческая справка

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий ученый Архимед (287–212 гг. до н. э). Для нахождения площадей и объемов фигур он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.

Термин “прогрессия” (от латинского progression, что означает движение вверх) был введен римским автором Боэцием (в VI веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).

Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Древняя Греция

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Германия

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве проявлял выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Задача – легенда:

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. два зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и так далее до 64 – ой клетки.

Царь был удивлен, когда узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Применение прогрессий в жизни

1. Финансовая пирамида.

Разберёмся в механизмах этих организаций.

Финансовая пирамида – способ обеспечения дохода участникам структуры за счет постоянного привлечения денежных средств. Доход первым участникам пирамиды выплачивается за счет вкладов последующих участников. В большинстве случаев истинный источник получения дохода скрывается, а декларируется вымышленный или малозначимый. Подобная подмена является мошенничеством.

Как правило, в финансовой пирамиде обещается высокая доходность, которую невозможно поддерживать длительное время, а погашение обязательств пирамиды перед всеми участниками является заведомо невыполнимым. Закономерным итогом такой ситуации является банкротство проекта и убытки последних инвесторов.

Человек собирается организовать финансовую пирамиду.

Представим, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. В первом кругу участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, на четвертом – 15 000, на пятом – 75 000, на шестом – 375 000, на седьмом – 1 875 000, на восьмом – 9 375 000, на девятом – 46 875 000, на десятом – 234 375 000 человек.

Численность населения Воронежа составляет 1 039 801 человек (данные 2018 года). Следовательно, на седьмом кругу количество участников финансовой пирамиды превысит численность населения нашего города.

Численность населения России составляет 146 877 088 человек (данные 2018 года). Можно заметить, что на десятом кругу количество участников значительно превышает численность населения страны.

Так что участник, включившийся на седьмом или десятом круге, уже ничего не получит.

Такая закономерность чисел, также является геометрической прогрессией

2. «Сложные проценты»

В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.

Применение понятия на практике

Воспользуемся конкретным примером. Размер материнского капитала составляет 453 000 р. Можно ли вложить такую сумму в банк под выгодный процент и к совершеннолетию ребенка приобрести ему квартиру?

Решение:

Самый выгодный вклад, отвечающий нашим условиям, является вклад «Сохраняй» в Сбербанке России под 5 % годовых.

Первоначально вложено 453 000 р. через год сумма возрастет на 5% составит 105% от 453 000 р.

453 000 * 1, 05 (сумма составит через год)

453 000; 453 000 * 1, 05; 453 000 * 1, 05²; 453 000 * 1, 05³; 453 000 * 1, 05⁴

Последовательность имеет вид геометрической прогрессии, где

b₁ = 453 000; g = 1, 05

453 000 * 1, 05¹⁸ = 1, 0902 * 10⁶ = 1090200 р.

Вывод:

Учитывая, что средняя стоимость однокомнатной квартиры в г. Воронеже составляет 1900000 р., на сумму 1090200 приобрести жилище не возможно, но подобное вложение денежных средств является достаточно выгодным.

Справка:

В XIII веке в Англии ростовщики давали деньги под 50% годовых. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

3. Изменение массы радиоактивного вещества со временем — еще один пример геометрической прогрессии.

Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T –период полураспада. Массы нераспавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

4. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

5. Прогрессии в природе

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.

Бактерии.

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения называется поколением.

Справка:

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Справка:

Интенсивность размножения бактерий использую в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

6. Прогрессии — оправдание войн

Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Мальтус считал, для того, чтобы избавиться от лишнего населения, необходимы войны.

8. Наследство

Человек получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

9. Прогрессии в музыке

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.

10. Прогрессии в литературе

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Вспомним строки из «Евгения Онегина».

…Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб — это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8…

Хорей — это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7… С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7…

Заключение.

Как вы могли заметить, исходя из вышеизложенного материала, что зная основные формулы геометрической и арифметической прогрессий, можно решить большое количество интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики.

На сегодняшний день, изучение происхождения и использования в жизни геометрической и арифметической прогрессий является актуальной и важной задачей для современных ученых.

Данное исследование позволило углубиться в изучение загадочного понятия «прогрессия», а также расширить кругозор знаний учащихся.

Список литературы

Дэвисон Р. К. Прогрессии / Р. К. Дэвисон. — М. Мир Урании 2016г. 328 стр.

Рассел Д. Геометрическая прогрессия / Д. Рассел. — Издательство: «VSD» (2012)

Рассел Д. Арифметическая прогрессия / Д. Рассел. — Издательство: VSD, 2012 г.

Интернет – ресурсы

Википедия — свободная энциклопедия. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/

Вся элементарная математика. – Режим доступа: http://www.bymath.net- math34.ru

Математический портал. – Режим доступа: http://www.webmath.ru- astro-online.ru

Российский федеральный образовательный портал. – Режим доступа: http://www.edu.ru/

Приложение 1

Анкета для учащихся 10 — го класса.

№ п/п	Содержание вопроса	Ответ на поставленный вопрос
1	Знаете ли Вы как применить свойства прогрессии в повседневной жизни?
2	Интересно ли Вам узнать об этом?

Просмотров работы: 700

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях^[1] — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

∑n∈A1n=∞{\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty },

то есть A{\displaystyle A} — большое множество (англ.)русск., то A{\displaystyle A} содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы^[2], по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США^[3].

Следствия из гипотезы[править | править код]

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд ∑n=1∞1kn=1k(∑n=1∞1n){\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)} расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма ∑p1p{\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}, где суммирование ведётся по простым числам, также расходится^[4]).

Утверждения, из которых следует гипотеза[править | править код]

Ввиду эквивалентности расхождению ∑t=1∞ak(4t){\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}}, гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что ∀k≥3: ∀ε>0: ak(N)=O(1(log⁡N)1+ε){\displaystyle \forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)}.

Однако на данный момент доказано только^[5], что ak(N)=O(1(log⁡log⁡n)ck){\displaystyle a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)}, где ck=2−2k+9{\displaystyle c_{k}=2^{-2^{k+9}}}, а также, в частном случае k=3{\displaystyle k=3}, что a3(N)=O(log⁡log⁡Nlog⁡N){\displaystyle a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)}.

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. DOI:10.1007/BF02579174
• И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — DOI:10.4213/rm5293.