Математика для чайников емелин александр: kekolab александр емелин высшая математика для чайников

kekolab александр емелин высшая математика для чайников

Ссылка:

http://ihulikok.sabemo.ru/4/64/aleksandr-emelin-vysshaya-matematika-dlya-chaynikov


александр емелин высшая математика для чайников Высшая математика для чайников.
Предел функции. Виосагмир И.А. Интернет-издание, 2011. — 88 с. Так чем же моя книга отличается от всех других . Высшая математика — просто и доступно! . Помимо «математики для чайников» разбираются и более трудные .. С уважением, Александр Емелин. Высшая математика — просто и доступно! . Помимо «математики для чайников» разбираются и более трудные .. С уважением, Александр Емелин. Приветствую тех, кто зашёл с поисковика – меня зовут Александр Емелин, я преподаватель математики. Я постарался сделать высшую математику ещё доступнее,. Воспитание детей для чайников. Сандра . Математика. Наталья Боброва Монтессори у вас . Как институты определяют нашу жизнь Александр Аузан [email protected] -emelin.ru г. Москва, Пресненская наб., д. 12, эт. 34. Эксперт Емелин Александр Сергеевич продемонстрировал высочайший уровень профессионализма, нестандартный подход и оперативность в решении задач.. Для того, чтобы НАУЧИТЬСЯ решать задачи по высшей математике нужно. . С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин.
Высшая математика . 11 авг 2014 . Видеокурс Высшая математика с нуля рассчитан на студентов высших учебных заведений, обучающихся на нематематических . Как объяснить ребенку математику. . Александр Аузан. Эта книга о работе . Испанский язык для чайников, 2-е издание (+аудиокурс) Сюзанна Вальд . Высшая математика — просто и доступно! . Помимо «математики для чайников» разбираются и более трудные .. С уважением, Александр Емелин. По высшей математике и физике .. Предвосхищаю вопрос от чайников: « Почему здесь деление на ноль? На ноль же .. Автор: Емелин Александр.

fynesog высшая математика производная александр емелин 10 апреля 2017 года

высшая математика производная александр емелин 10 апреля 2017 года 10 сильных целей на год — видео, транскриб.
Новая студийная версия. 23.03.2017: Формула продажи Название: Интенсивные курсы Емелина Александра Автор: Емелин Александр. Интенсивный курс «Частные производные». Экстремально короткий курс «Горячие интегралы». Создатель: Емелин Александр. Высшая математика для заочников и не только лишь . Как можно отблагодарить создателя? 4 дн. назад . Пушкарь Дмитрий Юрьевич – это имя известно не только в кругу врачей, но и среди многочисленных пациентов, которые были . Как найти производную ? Производная сложной функции. Доброго времени суток! Добро пожаловать на сайт mathprofi.ru – Высшая математика – просто и доступно! С уважением, Александр Емелин. 30 лет работал учителем математики , немецкого языка и черчения. . процессы; высшая и прикладная математика ; высшая математика и основы . Автор: Александр Емелин Высшая математика для чайников 5 дн. назад . Гороскоп ОВЕН — благоприятный день для творчества. Окрепнет баланс между чувствами и поступками, вы заметите явный прогресс во . Приветствую тех, кто зашёл с поисковика – меня зовут Александр Емелин, я преподаватель математики.
Я постарался сделать высшую математику ещё доступнее,. С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин Высшая математика – просто и доступно! Автор: Емелин Александр Александр емелин . 31 год, г. Сызрань (Самарская область), РоссияПоследний визит: 6 июн 2015. 5 дн. назад . Гороскоп ОВЕН — благоприятный день для творчества. Окрепнет баланс между чувствами и поступками, вы заметите явный прогресс во . Высшая математика – просто и доступно! Интенсивный курс «Как найти производную ?» Данная методичка позволяет в кратчайшие сроки (буквально часы) научиться дифференцировать (находить производные) функции одной Автор: Александр Емелин. Пример 10 . Найти производную функции. Смотрим на данную функцию. Автор: Емелин Александр . Высшая математика для заочников и не только . (Переход на главную страницу). 5 дн. назад . С 10 апреля 2017 года будет возможно заключение сделок с отдельными ценными бумагами в Режимах торгов РЕПО с ЦК и РПС с . Итоги выборов в Южной Осетии и другие события дня — в подборке РИА Новости. — Читайте материалы на эту тему на сайте РИА Новости. задача научиться решать производные, а не разбираться в теории. Пример 7: Пример 9: Пример 11: Пример 13: Автор: Емелин Александр Высшая математика . и т.д. В этот день прием вели депутаты Курганской городской Думы Емелин Александр Сергеевич и Галиаскаров Наркис Юсупович . 5 апреля 2017 года с 10:00 до 12:00 в Региональной общественной приемной Председателя Партии «Единая Россия» Д.А. 4 дн. назад . Пушкарь Дмитрий Юрьевич – это имя известно не только в кругу врачей, но и среди многочисленных пациентов, которые были . высшая математика александр емелин. Оценить эту запись. Апрель 2017. Вс. Пн. Производные высших порядков. Меня зовут Александр, профессиональный математик и веб мастер, 30 + лет, закончил физико-математический факультет по.

высшая математика производная александр емелин 5 22 января 2017 года lyfytop

Ссылка:

http://oviheryb.sabemo.ru/6/64/vysshaya-matematika-proizvodnaya-aleksandr-emelin-5-22-yanvarya-2017-goda

высшая математика производная александр емелин 5 22 января 2017 года Высшая математика — производные Этот сайт также умеет решать . высшая математика производная александр емелин Емелин Александр . 2011 год Виосагмир И.А. Предел функции 2011 год Высшая математика для чайников. . В 2007 году Емелин перешёл в казанский «Ак Барс», за который выступал следующие четыре сезона в Суперлиге и 31 октября 2013 года подписал с «Канадиенс» новый 4-летний контракт до конца сезона 2017/18 на сумму $16,4 млн.[3][4]. 22 декабря 2016 родилась дочь Елизавета. 27.03.2017 : Математик играет на фондовой бирже. Название: Интенсивные курсы Емелина Александра Автор: Емелин Александр. Интенсивный курс «Учимся решать пределы». Интенсивный курс «Как найти производную?» По высшей математике и физике . На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является . Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции: .. Автор: Емелин Александр. Высшая . Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Александров: Вы знаете лучший отель? Александров: спецпредложения отелей! Высшая математика для чайников. Производные и дифференциалы. 2011 год . Глава 1. Производная функции. Содержание: 1) Самое главное о производной. Протокол № 6 от 31 января 2013 г. Заведующий кафедрой высшей математики . логарифмическую производную: Автор: Емелин Александр Высшая математика для. По высшей математике и физике . На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является . Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции: .. Автор: Емелин Александр. Высшая . Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Полный комплект материалов на весь учебный год! 2011 год Виосагмир И.А. Предел функции 2011 год Высшая математика для чайников. Производные и дифференциалы. 2011 год 1 Глава 1. Производная функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Калькулятор ЛовиОтвет: поэтапные решения одним кликом! Скачай бесплатно! высшая математика и производная. От 200 р. Срок от 4 часов! Сборник задач по высшей математике Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. Высшая математика – просто и доступно! Интенсивный курс «Как найти производную?» Автор: Александр Емелин. Оглавление. y. = نههو. — 1ط 22 (2x -1)2. = -1ط. Логарифмическая производная . Если планка окажется слишком высока , то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Автор: Емелин Александр . Высшая математика для заочников и не только . «90 дней дневника», идет первое января 2017. У меня много лет было то же самое — какая-то неперивариваемая каша в голове из мыслей про круги и.

Графики и свойства элементарных функций

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций.

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики
Графики для чайников? Можно сказать и так.

Начнём.


Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Чертить всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны быть похожи на бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси. Не забываем подписывать оси.

3) Задаем размерность по осями: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Я рекомендую Вам по возможности всегда придерживаться именно такой размерности. Но, время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда размерность уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа).
Редко-редко, но бывает, что размерность чертежа приходиться уменьшать (или увеличивать) еще больше.

НЕ НУЖНО по осям проставлять все значения: …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Лобачевскому, а студент – не голубь. Ставим ноль идве единицы по осям. Как говорят математики, это необходимо и достаточно.  Размерность можно задать и произвольно, например, поставить 0 и – 1, –1 – по осям, но существуют некоторые стандарты, которых целесообразно придерживаться.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами ,  , , то совершенно понятно, что популярная размерность 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку  – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж  не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем меньшую размерность 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали  и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Немецкое качество.

Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урокаЛинейные неравенства.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось  – направлена вверх, ось  – направлена вправо, ось  – влево вниз  строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем размерность по осям. Размерность по оси  – в два раза меньше, чем размерность по другим осям. Также обратите, внимание, что на правом чертеже размерность я задал нестандартно – по оси  двойкой, а не единицей. С моей точки зрения, так точнее, и, главное, быстрее и удобнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клеточки.

При выполнении трехмерного чертежа опять же желательно придерживаться размерности 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева).

Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.


Графики и основные свойства элементарных функций

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то 

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то 

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

 
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:


При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

 
Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых  ,  или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида  () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись  следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись  следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде  или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.


График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции  () представляет собой параболу. Рассмотрим канонический случай: 

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси  мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через  или . Буква  обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс»  (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).    

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае:  – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через  или .

Функция  является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо  подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция  является четной.

Функция  не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси  (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх  на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения:  – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока обэкстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке 

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция  – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком». Возможно, не все врубаются в суть челнока, тогда для сравнения напоминаю известную телепередачу «туды-сюды с Анфисой Чеховой».

Выполним чертеж:


Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции  () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.


Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:


Перечислим основные свойства функции 

Область определения – любое действительное число:.

Область значений – любое действительное число:.

Функция  является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»: 
, значит, функция  является нечетной.

Функция  не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: , 

Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью Анфисы Чеховой алгоритма «челнока»:

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении  уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов.

График любого многочлена третьей степени  () принципиально имеет следующий вид:


В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:


Эти знания полезны при исследовании графиков функций.


График функции 

Выполним чертеж:


Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция  не ограничена сверху. Или с помощью предела: 

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:


На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде  приходиться строить значительно чаще. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе.


График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

Запись  обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке  функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью одностороннихпределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность,бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось  является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы ,  говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить  по оси  влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близкоприближаться к оси .

Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция  является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида  () представляют собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях(см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы 

Используем поточечный метод построения, при этом, значения  выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:


Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.


График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что  – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции  пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Область определения:  – любое «икс».

Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси  вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на  по оси  . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при   

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой для графика функции, если .

Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , ,  будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть .Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой  – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статьеПостроение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций ,  и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.


График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, отсылаю вас к школьным учебникам, академик Холмогоров свой хлеб все-таки не зря ест.

Основные свойства функции :

Область определения

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось  является вертикальной  асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , ,  (десятичный логарифм по основанию 10) и т. д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай  рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде  в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция  и логарифмическая функция  – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.


Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции 

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция  является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке . 
Такого не бывает:  или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится: 

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:
,  Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции 

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси  на  влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси  , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции 


Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения:  – все действительные числа, кроме …  , , , … и т. д. или коротко: , где  – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция  не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически:
 – если мы приближаемся по оси  к значению  справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте .
 – если мы приближаемся по оси  к значению  слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:


Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.


Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса 


Перечислим основные свойства функции :

Область определения: , не существует значений вроде  или 

Область значений: , то есть,  функция  ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.

Построим график арккосинуса 


Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности  и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой».

Построим график арктангенса 

Всего лишь перевернутая ветка тангенса. 
Перечислим основные свойства функции :

Область определения

Область значений: , то есть,  функция  ограничена.
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: , .

Арктангенс – функция нечетная: .

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , .

К графику арккотангенса  приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу,  что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики.

Ну что, смертнички, полетаем? =)

Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

Карта сайта mathprofi.ru (карта высшей математики): ilyachalov — LiveJournal

Начало:
1. Вспоминаю высшую математику
2. Вспоминаю высшую математику 2
3. Структура статей на сайте mathprofi. ru

Если на сайте очень много статей и рост их количества ничем не ограничен, то составление карты сайта становится бессмысленным.

В качестве примера можно взять википедию. Статьи на сайт википедии может писать кто угодно, количество статей ничем не ограничено. Для работы с википедией я пользуюсь или поисковыми системами вроде «Google» и «Яндекса», или внутренним поиском википедии. Карта сайта википедии не нужна.

В случае обучающего сайта о высшей математике (тем более, авторского) ситуация другая. Вообще статей по высшей математике и ее применениях можно написать сколько угодно, но в случае обучения авторы учебных пособий стараются ограничивать объем материала. В разных вузах дают примерно один и тот же ограниченный список тем. Таким образом, для обучающего сайта по высшей математике составление карты сайта возможно. Лично я считаю, что даже необходимо: это удобно для обучающегося, можно видеть фронт работ (или масштаб бедствия, кому как :), сколько уже выучено и сколько осталось выучить.

В идеале должна быть одна небольшого размера страница (карта сайта), на которой в некоем строгом порядке размещены ссылки на все статьи курса, посвященного высшей математике в вузах. Хотелось бы, чтобы на этой странице связи между темами были бы показаны визуально, чтобы обучающийся видел, какие темы ему нужно будет изучить, чтобы начать читать тему, которая его интересует в данный момент. Также хотелось бы, чтобы обучающийся мог бы делать на этой карте сайта отметки о том, какие темы он уже изучил (эта информация, по идее, должна сохраняться в файле на компьютере пользователя, если он этого пожелает).

На сайте mathprofi.ru, как я уже писал в предыдущих постах, есть организационные страницы и блоки (список статей курса в колонке слева на главной странице и других; карта сайта, представляющая собой узкую неудобную страницу, которую нужно довольно долго прокручивать вниз и которая не дает возможности охватить всю картину одним взглядом; другие страницы и поиск), но все они недостаточно хороши в качестве карты сайта.

Я составил свой вариант карты сайта mathprofi.ru:

https://textpub.neocities.org/e/emelin/mathmap.html

В ЖЖ его публиковать неудобно из-за ограничений шаблонов страниц ЖЖ (нужен контроль над шириной страницы, чтобы вместить как можно больше ссылок, а ЖЖ вставляет по бокам страницы колонки).

При разрешении экрана 1280 х 1024 карта выглядит примерно так:


Предполагается, что название каждой статьи должно помещаться на одной строке, без перехода на другую строку. На меньшем экране это условие будет нарушаться и карта будет выглядеть не так красиво и компактно. (Исправил 06.03.2021 г., теперь при уменьшении размеров окна браузера ширина колонок не уменьшается, появляется горизонтальный ползунок. При уменьшении ширины окна меньше, чем 600 пикселей, колонки выстраиваются стопкой (попытка адаптивного веб-дизайна).)

Визуализацию связей между статьями и пометку изученного я пока не придумал как сделать. Но общую картину в моем варианте карты сайта уже можно охватить одним взглядом.

Как оказалось, в интернете существуют десятки онлайн-сервисов по составлению карты сайта (хоть в XML, хоть в HTML). Но все эти сервисы слишком примитивны или заточены под другое.

Что такое производная? Определение и смысл производной функции

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных.

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции, и, в особенности, бесконечно малые величины. Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной, где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики», пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции, а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние, мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение, которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то.

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и:. Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет. То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние, в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным: метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции:, то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения.

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение, тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение, которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю:. Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю:, то есть сделать его бесконечно малым.

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.

Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По аналогии с непрерывностью, «раскрутка» производной начинается с её изучения в отдельно взятой точке:

Производная функции в точке

Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку, принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение:

Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке. Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции.

Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:

(малиновый отрезок)

В данном случае, поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.

Давайте сразу возьмём на заметку, что нарисовалось в результате проделанных действий. Ну, конечно же, в глаза бросается секущая (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник.

Угол наклона секущей к оси я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями. Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол. Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при. Или коротко:

Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке. А то, что в львиной доле случаев предел существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем.

И, конечно же, не забываем о важнейшей особенности предела, как такового: ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно малА, но не равна нулю!

Геометрический смысл производной

Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой.

Да-да – приложите прямо к экрану монитора, не комплексуйте =) Вместо линейки можно использовать тетрадку, лист бумаги или даже руку.

Теперь, согласно определению производной, медленно двигаем линейку влево к точке, уменьшая тем самым приращение. При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке, но уже по графику функции (синей линии).

В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке. Искомая касательная изображена зелёным цветом.

Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:

Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.

Вот что матан животворящий делает =)

Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.

В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения и нахождения предела) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов:. В итоге:

Вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке:.

А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:

В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Учитывая полученное равенство, перепишем уравнение в виде.

Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась.

Существование производной в точке и непрерывность функции

По определению:, следовательно, существование производной в точке тесно связано с существованием предела в данной точке.

Я изо всех сил пытался отсрочить этот момент, чтобы не путать посетителей сайта, но рассказать всё равно придётся…. В определении производной ВАЖНЕЙШИМ является тот факт, что приращение аргумента задаётся и в другую сторону. Возьмите карандаш и листок бумаги (не ленимся – так будет в 10 раз понятнее!!!! ). Изобразите координатные оси, примерно такой же график функции и точки.

Отложите на чертеже небольшой отрезок слева от точки. При этом точка расположится левее точки, а точка – ниже точки. Теперь проведите секущую графика функции и начните мысленно уменьшать приращение вправо к точке. В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой «зелёной» касательной!

Примечание: приращение с левой стороны осуществляется «против оси абсцисс» и поэтому отрицательно:. Заметьте, что всё остаётся корректным, так, в нашем случае соответствующее приращение тоже меньше нуля, и по этой причине левосторонний предел таки будет положительным, корректно показывая (как и его правосторонний коллега) рост функции в точке. Односторонние пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего предела, производной и единой касательной.

Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ в данной точке.

Очевидно, что функция не дифференцируема в точках разрыва. Во-первых, она может быть не определена в такой точке, следовательно, приращение задать невозможно (на нет и суда нет). А во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела (по причине различных «нехорошестей» с односторонними пределами). Читатели, насмотревшиеся графиков разрывных функций (это намёк;-) =)), легко представят проблему с общей касательной.

Вывод: из дифференцируемости функции в точке необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.

Однако обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда! Классический пример, функция в точке (чертёж есть в Примере 24 урока о геометрических преобразованиях графика). Если рассмотреть приращение справа, то правосторонний предел будет равен, и, соответственно, получаем касательную, совпадающую с правой частью графика. Если же придать приращение аргументу влево, получается совсем другой результат: и другая касательная, которая совпадает с левой частью графика. Печалька. Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция хоть и непрерывна в точке, но не дифференцируема в ней! Подробное аналитическое доказательство проводится по шаблону Примера 11 статьи Производная по определению. Ещё один типичный образец есть в Примере 6 урока Непрерывность функции, где кусочно-заданная функция непрерывна на. Однако не всё так безоблачно – она не дифференцируема в точках «стыка» графика.

В заключение параграфа немного об особых случаях.

Когда предел равен «плюс» или «минус бесконечности», то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельная оси. Например, касательной к графику функции (см. чертёж Примера 6 урока Методы решения определённых интегралов) в точке является сама ось ординат. Более того, если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная всё равно существуют! Пожалуйста: квадратный корень из модуля «икс» в той же точке.

За более детальной и подробной информацией по сабжу можно обратиться, например, к первому тому Фихтенгольца. НедУрно издание 1962 года, закачивается без проблем.

Раз пошла такая пьянка… :

Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл

Дифференциалом функции в точке называют главную линейную часть приращения функции (строго говоря, его следовало обозначить или). На чертеже дифференциал в точке равен длине отрезка.

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую. Двигая линейку влево к точке, уменьшаем приращение. Впрочем, и сам выполню несколько засечек:

По рисунку хорошо видно, что с уменьшением уменьшается и приращение функции (малиновые линии). При этом отрезок занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции, а наш дифференциал – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом дифференциал стремится к полному приращению функции: (соответственно отрезок будет бесконечно малым).

Нетрудно вывести формулу для приближенных вычислений с помощью дифференциала. Рассмотрим прямоугольный треугольник и тангенс угла наклона касательной. Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке корректнее через, и учитывая, что, получаем:

То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой и отрезка. К слову, отрезок на главном чертеже существенно «не достаёт» до полного приращения, и это не случайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал большое значении, чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение меньше – тем дифференциал лучше «дотянется» до полного приращения функции (см. маленький рисунок), и тем точнее сработает формула.

Провернём ещё один неожиданный фокус с полученным равенством. Предельно малое значение часто обозначают через, поэтому формула принимает вид. Скинем в знаменатель противоположной части:

Понятие производной функции

До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке. Но ведь в качестве можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала!

Из этих соображений в равенстве проведём замену и получим. А это не что иное, как обозначение производной, о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на:

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция, которая называется производной функцией (или просто производной).

Производная характеризует скорость изменения функции. Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции. Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если, то функция возрастает в точке. И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку, на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если, то функция убывает в точке. И существует интервал, содержащий точку, на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если, то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию, мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции. А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции.

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:

Рассмотрим закон изменения координаты тела, зависящий от времени, и функцию скорости движения данного тела. Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени:. Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому:. Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных? Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле:. И как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас.

Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =)

Пример 1

Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.

Функция-константа имеет вид, и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему.

Изобразим, например, график функции:

Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим произвольное значение, в котором, понятно,. Придадим аргументу приращение:. Функция всё время постоянна, поэтому и приращение функции:. По определению производной в точке:

Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число, равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.

Поскольку в качестве точки можно взять любое «икс», то проведём замену и получим:.

Пример 2

Найти производную функции по определению.

Рассмотрим произвольное значение, в котором.

Зададим аргументу приращение и вычислим соответствующее значение функции: (обычная алгебра – в функцию вместо «икса» подставили и раскрыли скобки).

Вычислим приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве можно взять любое значение, то.

О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение будет неизменным:

Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:

Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл полученного результата.

Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции равна её угловому коэффициенту:.

В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции и найдём их производные:

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут «снизу вверх»). Кроме того, не забываем, что производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку, то функция растёт быстрее (причём, значительно) функции, и, соответственно, график намного более крут.

Факт тривиален, но озвучу: касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.

Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся непонятки:

Пример 3

Поскольку в качестве можно рассмотреть любую точку области определения функции, то проведём замену и получим.

Проверим результат «лёгким» способом:

Исходная функция и её производная – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь:

На интервале производная отрицательна: (красная линия), что говорит об убывании функции на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале производная положительна: (зелёная линия), значит, функция растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.

При производная равна нулю:. Найденное значение показывает, что скорость изменения функции в точке равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.

Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции!

И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной:

Таким образом, в точке функция убывает, в точке сохраняет скорость постоянной, а в точках – растёт. Причём, поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа! ), что в окрестности точки график функции идёт вверх круче, чем вблизи точки.

Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю формулу четыре раза:

Вот так вот изящно производная характеризует свою функцию.

Наше увлекательное путешествие подошло к концу, и возникает вопрос: в каком направлении двигаться дальше? Это зависит от ваших сегодняшних потребностей:

– Можно потренироваться в нахождении производной по определению. И смех, и грех, но для применения формулы опять же совсем не обязательно понимать, что это производная =)

– Можно отработать и окончательно уяснить геометрический смысл производной на уроке Уравнения касательной и нормали.

– И, наконец, можно перейти в следующий раздел – к статье об экстремумах функции, из-за которой на сайте, собственно, и появилась теория.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Автор24 – быстрая и бюджетная помощь по любому предмету

Поделиться ссылкой:

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Похожее

Повторные пределы — Drift igri

Этот тип предела мы определим для случая функции двух переменных.

Определение. Пусть функция определена на множестве, и пусть для каждого существует предел.

Если существует предел, то он называется повторным пределом и обозначается как.

Другой повторный предел получается, если предельные переходы произвести в обратном порядке.

Из существования повторных пределов, вообще говоря, не следует существования предела по совокупности переменных, что видно из следующего примера.

Пример 5. Рассмотрим функцию, определенную при. Нетрудно убедиться в существовании повторных пределов:, аналогично.

Предела же при не существует (пример 2).

Можно показать также, что повторные пределы не обязательно равны и не обязательно существуют при существования предела по совокупности переменных. Однако связь между ними есть. Докажем следующую теорему.

Теорема. Если существует (конечный) двойной предел, и при любом существует (конечный) простой предел по, то существует повторный предел.

Доказательство. Фиксируем произвольное и выберем так, чтобы из того, что и следовало бы. Переходя в этом неравенстве к пределу при, получим.

Следовательно,.

Аналогичная теорема верна и для другого повторного предела.

Повторные пределы. Примеры решений

Помимо общего предела функции двух переменных, в некоторых задачах математического анализа рассматриваются так называемые повторные пределы, которым и будет посвящена эта небольшая статья. Что такое повторные пределы? Во-первых, на корню развею распространённое заблуждение начинающих: повторные пределы – это НЕ методы решения общего предела. Общий предел – это общий предел, а повторные пределы – это повторные пределы. Однако между этими понятиями существует взаимосвязь, о которой мы тоже поговорим на сегодняшнем уроке. И в этой связи я рекомендую предварительно изучить пределы функций двух переменных, если вы ещё не успели этого сделать.

В целях простоты изложения рассмотрим функцию, которая непрерывна на всей плоскости, за исключением, возможно, точки (как вы знаете, понятие предела не требует того, чтобы функция была определена в предельной точке).

Теперь задумаемся над записью и термином «повторный предел». Нетрудно догадаться, что для вычисления такого предела сначала нужно найти, а затем уже «внешний» предел от некоего полученного результата. Повторный – один за другим.

Признаюсь честно, объяснять тяжеловато, поэтому придётся привлечь на помощь не только Фредди, но и его многочисленных друзей =) В добрый путь:

«Внутренний» предел зависит только от переменной «икс», а значит, при различных значениях «игрек» мы будем бесконечно близко приближаться к прямой в разных местах (чёрные стрелки на чертеже). При этом Фредди и полчища его друзей будут бесконечно близко приближаться по поверхности к голубой кривой:

Таким образом, рассматриваемый предел равен не просто числу, а целой функции, которая, очевидно, зависит только от «игрек»:

Подставим полученный результат во внешний предел:

Ну а он совсем прост. Стремление означает, что мы подходим к точке по прямой (малиновые стрелки), и соответствующие значения функции приближаются по кривой к красной точке. Пусть она расположена на высоте, тогда:

Таким образом, повторный предел существует и равен -му:

Второй повторный предел определяется «зеркальным» образом. Если, то при различных значениях «икс» мы будет подходить к прямой в разных местах (чёрные стрелки), и предел будет равен функции, которая уже зависит только от «икс» (голубая линия на поверхности):

Теперь вычислим. Стремление означает, что мы приближаемся к точке по прямой (малиновые стрелки), и Фредди со своим товарищем в свою очередь приближаются по голубой кривой к той же самой красной точке (жёлтые стрелки):.

Таким образом, второй повторный предел:

Легко понять, что в точке существует и общий предел, равный тому же значению:.

Однако то был демонстрационный пример, и такая идиллическая картина не должна усыплять бдительность! В общем случае повторные пределы не равны друг другу:

И, более того, один из них или даже оба могут вовсе не существовать! Согласитесь, не всегда же и не везде можно куда-то подойти.

Освоим технику решения повторных пределов на конкретных примерах:

Пример 1

Найти повторные пределы для функции

Решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Вычислим.

Сначала разберёмся с внутренним пределом. И главный вопрос: что делать с «игреком»? Всё очень просто – с «игреком» нужно временно обращаться, как с константой. По существу, мы решаем обычный предел функции одной переменной, причём его простейший вид:

Таким образом:

2) Вычислим.

Как и в предыдущем пункте, начинаем с внутреннего предела:. Теперь временно «замораживается» «икс»:

Тут получилось, что «иксы» вообще сократились, и внешний предел становится чистой формальностью, ибо предел любой константы равен самой константе:

В результате:

Ответ:

Пожалуйста, посмотрите на схематический чертёж и постарайтесь ещё раз осмыслить найденные повторные пределы по образцу моих объяснений:

А теперь немного о взаимосвязи с общим пределом: из того, что повторные пределы различны, следует, что общего предела не существует. Желающие могут убедиться в этом с помощью стандартного алгоритма, рассмотренного на уроке Пределы функций нескольких переменных.

Но с другой стороны, если повторные пределы равны, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что существует общий предел. Так, например, для функции повторные пределы совпадают:

однако в Примере №1 предыдущего урока мы выяснили, что предела не существует.

Интересно отметить, что если один или оба повторных предела НЕ существуют, то общий предел может существовать! И такой пример будет в конце урока.

А пока разогреваемся:

Пример 2

Найти повторные пределы, если

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Фактически мы имеет дело с «обычными» пределами и естественно, что в ходе их решения приходится устранять различные неопределённости:

Пример 3

Вычислить повторные пределы функции при.

Решение: бесконечности, так бесконечности:

Поскольку во внутреннем пределе «динамической» переменной является «икс», то имеет место следующая неопределённость:

которая раскрывается по классике жанра – делением числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени, причём делить можно прямо под синусом. Не забываем, что «игрек» на данном этапе «заморожен»:

…мда, замёрз в вечной мерзлоте =) Если не очень понятно, почему, мысленно подставьте вместо «игрека» какое-нибудь конкретное число (хотя с содержательной точки зрения, это, конечно, не совсем корректно).

И формальная подстановка константы во внешний предел:

2) Вычислим

Этот предел ещё проще. Так как роль константы теперь выполняет «икс», то под синусом уже нет неопределённости:

Самая что ни на есть борода для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить повторные пределы функции, если.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего особенного, главное, чётко представлять, где и какая переменная находится вне игры. В самих же методах решения какой-то новизны нет:

Пример 5

Решение шаблонно:

1) Вычислим

Во внутреннем пределе вопрос решается прямой подстановкой:

А вот на завершающем этапе возникают два бублика. Тригонометрическая формула и замечательный предел, думаю, не нуждаются в представлении:

2) Второй повторный предел «симметричен». К слову, когда внутренний предел не слишком наворочен, то решение сподручнее записать «одной строкой»:

Два примера для самостоятельного решения. Попроще:

Пример 6

И позабористей:

Пример 7

Пожалуй, достаточно, ни вижу смысла дублировать материал темы Предел функции одной переменной. Давайте лучше рассмотрим обещанный случай, где оба повторных предела не существуют, но общий таки живёт-здравствует. Хрестоматийный пример, который можно найти во многих источниках информации:

Для данной функции не существует повторного предела поскольку, при фиксированном значении «игрек» у множителя нет предела.

Примечание: график функции одной переменной при «петляет» вдоль оси ординат и бесконечно близко приближается к ней, при этом расстояние между «волнами» синусоиды становиться всё меньше и меньше. Таким образом, предела не существует. В нашем же примере имеет место пространственный аналог этой ситуации: т. к. значение может быть любым, то «петлять» будет уже синусоидальная поверхность вдоль плоскости, бесконечно близко приближаясь к ней.

По аналогичной причине не существует и второго повторного предела. Однако, общий предел всё же существует и равен нулю:

Кстати, не нужно думать, что в этом есть что-то удивительное: если к точке нет подхода со стороны координатных осей, то это ещё не значит, что к ней нельзя подойти по другим направлениям.

И в заключение будет небольшой оффтопик, где я расскажу ещё об одном методе решения предела функции двух переменных. Он основан на так называемой теореме о промежуточном значении. Краткая суть состоит в следующем: если для некоторой функции удаётся подобрать функцию – такую, что:, то из того, что следует, что и.

В рассмотренном примере ввиду ограниченности тригонометрических функций, для всех «икс» и «игрек» справедливо следующее неравенство:, и поскольку (проверьте это самостоятельно), то.

Данный метод обычно используют, чтобы избавиться от «нехороших» синусов и косинусов, вот ещё один пример такого рода:.

Так как для всех «икс» и «игрек», то:. А из очевидного предела, следует что и наш предел.

Но иногда сравнение применяют для других функций, докажем, например, предел, который мы вычислили в Примере №2 предыдущего урока «обычным» способом. Альтернативный путь элементарен: дробь положительна и, кроме того, при любых не превосходит единицы (проанализируйте, почему), поэтому справедливо следующее:

И, так как, то и.

Просто и корректно! Но, конечно, такую возможность нужно ещё увидеть, и для этого требуется некоторый опыт.

Возвращаясь к теме повторных пределов, сделаем следующий вывод: из существования общего предела ЕЩЁ НЕ СЛЕДУЕТ существование повторных пределов. А о том, что ещё в этом случае нужно для их существования, можно узнать из соответствующей теоремы математического анализа. Формулировки не будет… надо же мне вас чем-то заманивать на страницы учебников по математическому анализу =)

Понятие повторных пределов распространяется и на функции бОльшего количества переменных, но из соображений практической целесообразности я ограничусь рассмотренными примерами.

Спасибо за внимание! Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету –

Поделиться ссылкой:

Похожее

(PDF) Прогнозирование оценок по элементарной математике по когнитивным способностям

Конвей, А. Р.А., Коуэн, Н., Бантинг, М.Ф., Террио, Д.Дж., и Минкофф, С.Р.Б. (2002).

Анализ скрытых переменных объема рабочей памяти, объема кратковременной памяти,

скорости обработки и общего подвижного интеллекта. Интеллект, 30 (2), 163–183.

Крэгг, Л., и Гилмор, К. (2014). Навыки, лежащие в основе математики: роль исполнительной функции

в развитии математических навыков.Тенденции в неврологии и

образование, 3 (2), 63-68.

Кроун, Э.А., Венделкен, К., Донохью, С., Ван Лейенхорст, Л., и Бунге, С.А. (2006).

Нейрокогнитивное развитие способности манипулировать информацией в рабочей

памяти. Труды Национальной академии наук, 103 (24), 9315–9320.

Дэвидсон, М. К., Амсо, Д., Андерсон, Л. К., и Даймонд, А. (2006). Развитие

когнитивного контроля и исполнительных функций в возрасте от 4 до 13 лет: данные

манипуляций с памятью, торможением и переключением задач.Нейропсихология, 44(11),

2037–2078.

Дири, И. Дж., Иган, В., Гибсон, Г. Дж., Остин, Э. Дж., Бранд, Ч. Р., и Келлаган, Т. (1996).

Интеллект и гипотеза дифференциации. Разведка, 23(2), 105–132.

Дер, Г. и Дири, И. Дж. (2003). IQ, время реакции и гипотеза дифференциации.

Разведка, 31(5), 491–503.

Энгл, Р. В., Тухольски, С. В., Лафлин, Дж. Э., и Конвей, А. Р. (1999).Рабочая память,

кратковременная память и общий подвижный интеллект: латентно-вариативный подход.

Журнал экспериментальной психологии: Общие сведения, 128 (3), 309–331.

Факон, Б. (2006 г.). Ослабляет ли возраст влияние IQ на дифференциацию

когнитивных способностей в детстве? Разведка, 34 (4), 375–386.

Филелла, Дж. Ф. (1960). Образовательные и половые различия в организации способностей 90 003 90 002 студентов технических и академических специальностей в Колумбии, Южной Америке.Генетическая психология

Монографии, 61, 115–163.

Еджин Чой

Символическая хрупкость в моделях последовательностей: о систематическом обобщении в символической математике
Шон Веллек, Питер Уэст, Джизе Цао, Еджин Чой
AAAI 2022

🍷 MERLOT: Мультимодальные модели знаний нейронных сценариев
Роуэн Зеллерс*, Симинг Лу*, Джек Хессель*, Ёнджэ Ю, Джэ Сун Пак, Джизе Цао, Али Фархади, Еджин Чой
NeurIPS 2021, Оральный (1%)

МАУВЕ: Измерение разрыва между нейронным текстом и человеческим текстом с использованием границ расхождения
Krishna Pillutla, Swabha Swayamdipta, Rowan Zellers, John Thickstun, Yejin Choi, Zaid Harchaoui
NeurIPS 2021, Oral (1%) — Выдающаяся работа Award

Границы расхождения для генеративных моделей: сложность выборки, уровень квантования и граничный интеграл
Ланг Лю, Кришна Пиллутла, Шон Веллек, Севунг О, Еджин Чой, Заид Харчауи
NeurIPS 2021

NaturalProofs: Доказательство математических теорем на естественном языке
Шон Веллек, Цзячэн Лю, Ронан Ле Бра, Ханнане Хаджиширзи, Еджин Чой, Кёнхён Чо
NeurIPS 2021 Datasets and Benchmarks Track, Oral (1%)

Здравый смыслQA 2. 0: Раскрытие возможностей ИИ с помощью геймификации
Алон Талмор, Ори Йоран, Ронан Ле Бра, Чандра Бхагаватула, Йоав Голдберг, Еджин Чой, Джонатан Берант
Отслеживание наборов данных и контрольных показателей NeurIPS 2021

CLIPScore: Безреференсная оценочная метрика для субтитров к изображениям
Джек Хессель, Ари Хольцман, Максвелл Форбс, Ронан Ле Бра и Еджин Чой
ЕМСЛП 2021

Моральные истории: Обучение рассуждениям о нормах, намерениях, действиях и их последствиях на основе коротких рассказов
Денис Емелин, Ронан Ле Бра, Йена Д.Хван, Максвелл Форбс и Еджин Чой
ЕМСЛП 2021

Разговорное многошаговое рассуждение с нейронным здравым смыслом и правилами символической логики
Форуг Арабшахи, Дженнифер Ли, Антуан Босселют, Еджин Чой и Том Митчелл
ЕМСЛП 2021

Контрастные объяснения интерпретируемости модели
Алон Джакови, Свабха Сваямдипта, Шаули Равфогель, Янаи Элазар, Еджин Чой и Йоав Голдберг
ЕМСЛП 2021

Конкурс поверхностных форм: почему ответ с наибольшей вероятностью не всегда правильный
Ари Хольцман*, Питер Уэст*, Веред Шварц, Еджин Чой и Люк Зеттлемойер
EMNLP 2021

proScript: генерация частично упорядоченных сценариев
Кейсуке Сакагучи, Чандра Бхагаватула, Ронан Ле Бра, Никет Тандон, Питер Кларк и Еджин Чой
Выводы ЕМСЛП 2021 г.

Анализ появления здравого смысла в маломощных моделях знаний
Джефф Да, Ронан Ле Бра, Симинг Лу, Еджин Чой, Антуан Босселют
AKBC 2021

DExperts: Контролируемая генерация текста на лету с помощью экспертов и антиэкспертов
Алиса Лю, Маартен Сап, Симинг Лу, Свабха Сваямдипта, Чандра Бхагаватула, Ной Смит и Еджин Чой
ACL 2021

ПОРОСЕНОК: Языковое заземление через нейросимволическое взаимодействие в трехмерном мире
Роуэн Зеллерс, Ари Хольцман, Мэтью Питерс, Рузбе Моттаги, Анируддха Кембхави, Али Фархади и Еджин Чой
ACL 2021

TIMEDIAL: Временные рассуждения здравого смысла в диалоге
Ляньхуэй Цинь, Адитья Гупта, Шьям Упадхьяй, Лухенг Хе, Еджин Чой и Манаал Фаруки
ACL 2021

Рефлективное декодирование: Помимо однонаправленной генерации с готовыми языковыми моделями
Питер Уэст, Симин Лу, Ари Хольцман, Чандра Бхагаватула, Джена Д.Хван и Еджин Чой
ACL 2021

Фреймы понимания отредактированных медиа: рассуждения о намерениях и последствиях визуальной дезинформации
Джефф Да, Максвелл Форбс, Роуэн Зеллерс, Энтони Чжэн, Джена Д. Хван, Антуан Босселут и Еджин Чой
ACL 2021

Модуляция внимания «на лету» для нейронной генерации
Юэ Донг, Чандра Бхагаватула, Симинг Лу, Джена Д. Хван, Антуан Босселют, Джеки Чи Кит Чунг и Еджин Чой
ACL 2021 Findings

Иди к черту: метаоценка фактичности в обобщении
Саадия Габриэль, Асли Челикилмаз, Рахул Джа, Еджин Чой и Цзяньфэн Гао
ACL 2021. Выводы

VinVL: Обеспечение важности визуальных представлений в моделях языка зрения
Пэнчуань Чжан*, Сюцзюнь Ли*, Сяовэй Ху, Цзяньвэй Ян, Лэй Чжан, Лицзюань Ван, Еджин Чой, Цзяньфэн Гао
CVPR 2021

TuringAdvice: Генеративная и динамическая оценка использования языка
Роуэн Зеллерс, Ари Хольцман, Элизабет Кларк, Ляньхуэй Цинь, Али Фархади, Еджин Чой
NAACL 2021
*Страница проекта

Нейрологическое декодирование: (не)контролируемая генерация нейронного текста с предикатными логическими ограничениями
Симинг Лу, Питер Уэст, Роуэн Зеллерс, Ронан Ле Бра, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой
NAACL 2021

«Я не сумасшедший»: здравый смысл отрицания и противоречия
Ливэй Цзян, Антуан Босселют, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой
НААКЛ 2021

Дискурсивное понимание и фактическая непротиворечивость в абстрактном обобщении
Саадия Габриэль, Антуан Босселют, Джефф Да, Ари Хольцман, Ян Байс, Кайл Ло, Асли Челикилмаз, Еджин Чой
ЕАСЛ 2021

Проблемы автоматического устранения предвзятости для обнаружения токсичных языков
Сюхуэй Чжоу, Маартен Сап, Свабха Сваямдипта, Ной А. Смит и Еджин Чой
ЕАСЛ 2021

(Comet-) Atomic 2020: О символических и нейронных графах знаний здравого смысла
Джена Хван*, Чандра Бхагаватула*, Ронан Ле Брас, Джефф Да, Кейсуке Сакагучи, Антуан Босселут, Еджин Чой
AAAI 2021

🦄 Единорог на радуге: Универсальная модель рассуждений на основе здравого смысла на новом тесте многозадачности
Николас Лурье, Ронан Ле Брас, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой
AAAI 2021

Построение динамического нейросимволического графа знаний для ответов на вопросы здравого смысла с нулевым выстрелом
Антуан Босселу, Ронан Ле Бра, Еджин Чой
AAAI 2021

Обучение рационализации немонотонных рассуждений с дистанционным наблюдением
Фаэзе Брахман, Веред Шварц, Рэйчел Рудингер, Еджин Чой
AAAI 2021

Преобразователи здравого смысла на уровне абзаца с рекуррентной памятью
Саадия Габриэль, Чандра Бхагаватула, Веред Шварц, Ронан Ле Брас, Максвелл Форбс, Еджин Чой
AAAI 2021

MultiTalk: испытательный полигон с большим числом ветвей для разнообразных диалогов
Яо Доу, Максвелл Форбс, Ари Хольцман, Еджин Чой
AAAI 2021

Scruples: Корпус этических суждений сообщества о 32 000 анекдотов из реальной жизни
Николас Лурье, Ронан Ле Брас, Еджин Чой
AAAI 2021

🔮 Социальная химия 101: Учимся рассуждать о социальных и моральных нормах
Максвелл Форбс, Джена Д. Хван, Веред Шварц, Маартен Сап и Еджин Чой
EMNLP, 2020 г.

Назад в будущее: Неконтролируемое декодирование на основе обратного распространения для контрфактических и абдуктивных рассуждений на основе здравого смысла ( DeLorean )
Ляньхуэй Цинь, Веред Шварц, Питер Уэст, Чандра Бхагаватула, Джена Д. Хван, Ронан Ле Бра, Антуан Босселут и Еджин Чой
EMNLP, 2020 г.

PowerTransformer: неконтролируемая контролируемая версия для исправления языковых ошибок
Синьяо Ма, Маартен Сап, Ханна Рашкин и Еджин Чой
EMNLP, 2020 г.

Картография набора данных : отображение и диагностика наборов данных с помощью обучающей динамики
Свабха Сваямдипта, Рой Шварц, Николас Лурье, Ичжун Ван, Ханнане Хаджиширзи, Ноа А.Смит и Еджин Чой
EMNLP, 2020 г.

PlotMachines: генерация с условием контура с динамическим отслеживанием состояния графика
Ханна Рашкин, Асли Челикилмаз, Еджин Чой и Цзяньфэн Гао
EMNLP, 2020 г.

Неконтролируемый ответ на здравый смысл с помощью внутреннего разговора
Веред Шварц, Питер Уэст, Ронан Ле Бра, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой
EMNLP, 2020 г.

Мышление как скептик: Опровержимый вывод на естественном языке
Рэйчел Рудингер, Веред Шварц, Джена Д.Хван, Чандра Бхагаватула, Максвелл Форбс, Ронан Ле Бра, Ноа А. Смит и Еджин Чой
. Выводы EMNLP, 2020 г.

RealToxicityPrompts: Оценка нейронной токсической дегенерации в языковых моделях
Сэмюэл Гехман, Сучин Гуруранган, Маартен Сап, Еджин Чой и Ноа А. Смит
Выводы EMNLP, 2020 г.
*Демо

Обоснование естественного языка с полным набором визуальных рассуждений: от пикселей к семантическим фреймам и графикам здравого смысла
Ана Марасович, Чандра Бхагаватула, Джэ Сон Пак, Ронан Ле Бра, Ноа А.Смит и Еджин Чой
Выводы EMNLP, 2020 г.

CommonGen: Задача генерации текста с ограничениями для генеративных рассуждений на основе здравого смысла
Юйчен Линь, Ванчуньшу Чжоу, Мин Шен, Пей Чжоу, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой, Сян Рен
Выводы EMNLP, 2020 г.
*Страница проекта

Увеличение генеративных данных для рассуждений на основе здравого смысла
Ибен Янг, Чайтанья Малавия, Джаред Фернандес, Свабха Сваямдипта, Ронан Ле Брас, Цзи-Пинг Ван, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой и Дуг Дауни
Выводы EMNLP, 2020 г.

Visual Comet: Рассуждения о динамическом контексте неподвижного изображения
Джэ Сон Пак, Чандра Бхагаватула, Рузбех Моттаги, Али Фархади, Еджин Чой
ECCV, 2020 г.
*Страница проекта

Оскар : Предварительная подготовка, согласованная с семантикой объекта, для задач на зрение и язык
Xiujun Li, Xi Yin, Chunyuan Li, Pengchuan Zhang, Xiaowei Hu, Lei Zhang, Lijuan Wang, Houdong Hu, Li Dong, Furu Wei, Yejin Choi, Jianfeng Gao
ECCV, 2020

Состязательные фильтры предвзятости набора данных
Ронан Ле Брас, Свабха Сваямдипта, Чандра Бхагаватула, Роуэн Зеллерс, Мэтью Э.Питерс, Ашиш Сабхарвал, Еджин Чой
ICML, 2020 г.

Фреймы социальных предубеждений: Рассуждения о социальных и властных последствиях языка
Maarten Sap, Saadia Gabriel, Lianhui Qin, Dan Jurafsky, Noah A Smith & Yejin Choi
ACL, 2020
*Страница проекта

Воспоминание против воображения: изучение человеческой памяти и познания с помощью моделей нейронного языка
Маартен Сап, Эрик Хорвиц, Еджин Чой, Ноа А. Смит и Джеймс В. Пеннебейкер
ACL, 2020
*Страница проекта

Процедурное понимание прочитанного с контекстным потоком с учетом атрибутов
Аида Амини, Антуан Босселут, Бхавана Далви Мишра, Еджин Чой, Ханнанэ Хаджиширзи
AKBC, 2020 — номинация на лучшую работу
Ари Хольцман, Ян Байс, Ли Ду, Максвелл Форбс, Еджин Чой
ICLR, 2020

Похищение Здравый смысл
Чандра Бхагаватула, Ронан Ле Брас, Чайтанья Малавия, Кейсуке Сакагучи, Ари Хольцман, Ханна Рашкин, Дуг Дауни, Вен-тау И и Йеджин Чой
ICLR, 2020

WinoGrande: Состязательный вызов схемы Винограда в масштабе
Кейсуке Сакагучи, Ронан Ле Брас, Чандра Бхагаватула, Еджин Чой
AAAI, 2020 — Награда за выдающуюся статью (вручается единственной лучшей статье)
* Доска лидеров, Объявление

PIQA: Рассуждения о физическом здравом смысле на естественном языке
Йонатан Биск, Роуэн Зеллерс, Ронан Ле Бра, Цзяньфэн Гао, Еджин Чой
AAAI, 2020
*Таблица лидеров

Завершение базы знаний здравого смысла со структурным и семантическим контекстом
Чайтанья Малавия, Чандра Бхагаватула, Антуан Босселут, Еджин Чой
AAAI, 2020 г.

Преодолевают ли модели нейронного языка предвзятость в отчетах?
Веред Шварц и Еджин Чой
КОЛИНГ, 2020 г.

Защита от Neural Fake News (Гровер)
Роуэн Зеллерс, Ари Хольцман, Ханна Рашкин, Йонатан Биск, Али Фархади, Франциска Рознер, Еджин Чой
NeurIPS, 2019
*Блог! (с дополнительными экспериментами и анализом)
*Grover Demo!
*Страница проекта

BottleSum: Обобщение предложений без присмотра и самоконтроля с использованием принципа информационного узкого места

Cosmos QA: Понимание машинного чтения с контекстуальным здравым смыслом
Лифу Хуан, Ронан Ле Бра, Чандра Бхагаватула и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2019 г.
*Страница проекта и таблица лидеров

Контрфактуальность Обоснование и создание историй
Ляньхуэй Цинь, Антуан Босселют, Ари Хольцман, Чандра Бхагаватула, Элизабет Кларк и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2019 г.
*Код и данные

Социальный IQa: Рассуждения здравого смысла о социальных взаимодействиях
Маартен Сап, Ханна Рашкин, Дерек Чен, Ронан Ле Бра и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2019 г.
*Страница проекта и таблица лидеров

Надежная навигация с предварительным обучением языку и стохастической выборкой
Сюцзюнь Ли, Чуньюань Ли, Цяолинь Ся, Йонатан Биск, Асли Челикилмаз, Цзяньфэн Гао, Ноа А.Смит и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2019 г.

Early Fusion for Goal Directed Robotic Vision
Аарон Уолсман, Йонатан Биск, Саадия Габриэль, Дипендра Мишра, Йоав Арци, Еджин Чой, Дитер Фокс
Международная конференция по интеллектуальным роботам и системам (IROS), 2019 г. — номинация на лучшую статью

Изучают ли представления нейронного языка физический здравый смысл?
Максвелл Форбс, Ари Хольцман, Еджин Чой
Конференция Общества когнитивных наук (CogSci), 2019 г.
*Страница проекта

COMET: преобразователей здравого смысла для построения графа знаний
Антуан Босселют, Ханна Рашкин, Маартен Сап, Чайтанья Малавия, Асли Челикилмаз и Еджин Чой
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , 2019
*Демо

Hellaswag: Может ли машина Действительно Закончить предложение?
Роуэн Зеллерс, Ари Хольцман, Йонатан Биск, Али Фархади и Еджин Чой
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , 2019
*Страница проекта и таблица лидеров
Показан в ZdNet: «Нет, этот ИИ не может закончить ваше предложение»

Риск расовой предвзятости при обнаружении языка ненависти
Маартен Сап, Даллас Кард, Саадия Габриэль, Еджин Чой и Ноа А.Смит
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , 2019 г. — номинация на лучшую статью

Разговор посредством чтения: содержательная нейронная беседа с машинным чтением по требованию
Ляньхуэй Цинь, Мишель Галлей, Крис Брокетт, Сяодун Лю, Сян Гао, Билл Долан, Еджин Чой и Цзяньфэн Гао
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , 2019
*Код и данные

От узнавания к познанию: визуальное рассуждение на основе здравого смысла (VCR)
Роуэн Зеллерс, Йонатан Биск, Али Фархади, Еджин Чой.
Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) ,
2019 г. *Страница проекта и таблица лидеров

Тактическая перемотка назад: самокоррекция с помощью возврата в зрительно-языковую навигацию
Лииминг Кэ, Сюцзюнь Ли, Йонатан Биск, Ари Хольцман, Чжэ Ган, Цзинцзин Лю, Цзяньфэн Гао, Еджин Чой и Сиддхартха Шриниваса
Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) , 2019 г.
*Демо-видео

ATOMIC : Атлас машинного здравого смысла для If-Then Reasoning
Maarten Sap, Ronan LeBras, Emily Allaway, Chandra Bhagavatula, Nicholas Lourie, Hannah Rashkin, Brendan Roof, Noah A Smith and Yejin Choi
Association for the Advancement искусственного интеллекта (AAAI), 2019.
*Демонстрация на AI2, *Страница проекта в UW

MathQA На пути к решению интерпретируемых математических задач с помощью формализмов, основанных на операциях
Аида Амини, Саадия Габриэль, Шаньчуань Лин, Рик Кончел-Кедзиорски, Еджин Чой и Ханнанэ Хаджиширзи.
Североамериканское отделение Ассоциации компьютерной лингвистики (NAACL), 2019
*Страница проекта и таблица лидеров

Сравнительный анализ знаний иерархических сценариев
Йонатан Биск, Ян Байс, Карл Пичотта и Еджин Чой.
Североамериканское отделение Ассоциации компьютерной лингвистики (NAACL), 2019

DREAM : набор данных и модели задач для понимания прочитанного на основе диалога
Кай Сун, Дайан Ю, Цзяньшу Чен, Донг Ю, Еджин Чой, Клэр Карди
Сделки Ассоциации компьютерной лингвистики (TACL), 2019.
*Таблица лидеров

SWAG: Крупномасштабный состязательный набор данных для обоснованного вывода на основе здравого смысла
Роуэн Зеллерс, Йонатан Биск, Рой Шварц и Йеджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2018.
*Страница проекта *Таблица лидеров

QuAC: Ответы на вопросы в контексте
Ынсол Чой, Хе Хе, Мохит Ийер, Марк Ятскар, Вен-тау Йи, Еджин Чой, Перси Лян и Люк Зеттлемойер
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2018 г.
*Таблица лидеров

Обнаружение нейронных метафор в контексте
Ге Гао, Юнсол Чой, Йеджин Чой и Люк Зеттлемойер
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), короткая статья, 2018.

Моделирование наивной психологии персонажей в простых историях, основанных на здравом смысле
Ханна Рашкин, Антуан Босселют, Маартен Сап, Кевин Найт и Еджин Чой
Ассоциация вычислительной лингвистики (ACL), 2018.
*Страница проекта (с онлайн-браузером наборов данных!)

Обучение письму с кооперативными дискриминаторами
Ари Хольцман, Ян Байс, Максвелл Форбс, Антуан Босселют, Дэвид Голуб и Еджин Чой
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL), 2018.

Event2Mind: Здравый смысл в отношении событий, намерений и реакций
Ханна Рашкин, Маартен Сап, Эмили Аллауэй, Ноа А. Смит и Еджин Чой
Ассоциация вычислительной лингвистики (ACL), 2018.
*Страница проекта (с онлайн-браузером наборов данных!)

Ультраточное типирование сущностей
Эунсол Чой, Омер Леви, Еджин Чой и Люк Зеттлемойер
Ассоциация вычислительной лингвистики (ACL), 2018.
*Страница проекта

Sound Board: ориентированный на пользователя и ориентированный на контент социальный чат-бот
Хао Фан, Хао Ченг, Маартен Сап, Элизабет Кларк, Ари Хольцман, Еджин Чой, Ноа А.Смит и Мари Остендорф
Североамериканское отделение Ассоциации вычислительной лингвистики (NAACL), демонстрационный документ , 2018 г.

Нейронные вознаграждения с учетом дискурса для генерации связного текста
Антуан Босселут, Асли Челикилмаз, Сяодун Хэ, Цзяньфэн Гао, По-сен Хуан и Еджин Чой
Североамериканское отделение Ассоциации вычислительной лингвистики (NAACL), 2018.

Агенты глубокого общения для абстрактного обобщения
Асли Челикилмаз, Антуан Босселут, Сяодун Хе и Еджин Чой
Североамериканское отделение Ассоциации вычислительной лингвистики (NAACL), 2018.

Neural Poetry Translation
Marjan Ghazvininejad, Yejin Choi, and Kevin Knight
Североамериканское отделение Ассоциации вычислительной лингвистики (NAACL), короткая статья, 2018.

Нейронные мотивы: Анализ графа сцены с глобальным контекстом
Роуэн Зеллерс, Марк Ятскар, Сэм Томсон и Йеджин Чой
Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) , 2018

Моделирование динамики действий с помощью сетей нейронных процессов
Антуан Босселют, Омер Леви, Ари Хольцман, Корин Эннис, Дитер Фокс и Еджин Чой
Международная конференция по обучающим представлениям (ICLR), 2018.
[Подкаст]

Обучение интерпретируемым пространственным операциям в богатом трехмерном мире блоков
Йонатан Биск, Кевин Дж. Ши, Еджин Чой и Даниэль Марку
Ассоциация развития искусственного интеллекта (AAAI), 2018.

Объединение HMM и RNN посредством архитектурных преобразований
Ян Байс, Йонатан Биск, Еджин Чой
IRASL Workshop @ NeurIPS, 2018.

Распознавание действий Zero-Shot с индукцией атрибутов глагола
Роуэн Зеллерс и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2017.
*Страница проекта

Динамические представления сущностей в моделях нейронного языка
Янфэн Цзи, Ченхао Тан, Себастьян Мартшат, Еджин Чой и Ноа А. Смит
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2017.

Правда разных оттенков: о проверке политических фактов и фейковых новостях
Ханна Рашкин, Ынсол Чой, Джин Йеа Джанг, Светлана Волкова и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), короткая статья, 2017 г.
*Страница проекта

Коннотативные рамки свободы действий и власти в современных фильмах
Маартен Сап, Марселла Синди Прасеттио, Ариэль Хольцман, Ханна Рашкин и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), короткая статья, 2017.
*Страница проекта *Демонстрационная страница

Neural AMR : модели последовательностей для синтаксического анализа и генерации
Иоаннис Констас, Сринивасан Айер, Марк Ятскар, Еджин Чой и Люк Зеттлемойер
Ассоциация вычислительной лингвистики (ACL), 2017.
*Страница проекта

Verb Physics : относительное физическое знание действий и объектов
Maxwell Forbes and Yejin Choi
Association for Computational Linguistics (ACL), 2017.
*Страница проекта

Многоязычные коннотативные фреймы: тематическое исследование социальных сетей для Целевой анализ настроений и прогноз
Ханна Рашкин, Эрик Белл, Еджин Чой и Светлана Волкова
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , короткая статья, 2017.
*Страница проекта

Влияние различных письменных заданий на лингвистический стиль: пример ROC Story Close Task
Рой Шварц, Маартен Сап, Яннис Констас, Ли Зиллес, Еджин Чой и Ноа А. Смит
Конференция по вычислительным естественным Language Learning (CoNLL) , 2017.

Story Cloze Task: UW NLP System
Roy Schwartz, Maarten Sap, Yannis Konstas, Li Zilles, Yejin Choi and Noah A. Smith
Общая задача LSDSem 2017 (лучшая система) , 2017.

Генерация глобально согласованного текста с использованием нейронных моделей контрольных списков
Хлоя Киддон, Люк Зеттлемойер и Еджин Чой
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2016.

Создание актуальной поэзии
Марьян Газвининежад, Син Ши, Еджин Чой и Кевин Найт
Конференция по эмпирическим методам обработки естественного языка (EMNLP), 2016.

Коннотативные фреймы: исследование на основе данных
Ханна Рашкин, Самир Сингх и Еджин Чой
Ассоциация компьютерной лингвистики (ACL) , 2016.
*Project Page

Сборная России, скорее всего, получит юношеский импульс

Сборная России должна быть сильной, глубокой, трудолюбивой командой, которая будет хорошо противостоять любому соревнованию и иметь хорошие шансы на победу в турнире.

Вот как мог бы выглядеть состав сборной России в Торонто (в алфавитном порядке по позициям): 

НАПАДНЫЕ  

Артем Анисимов, Чикаго Блэкхокс, C — Надежный двусторонний центровой, который придаст команде России глубину в середине Анисимов немного травмирован.Когда он здоров, он может быть полезен по обе стороны льда; он значительно улучшил свои защитные навыки. 27-летний уроженец Ярославля надежен, дисциплинирован и имеет большой опыт международных игр (два выступления на чемпионате мира среди юниоров, три выступления на чемпионате мира, Олимпиада-2014 в Сочи).

Павел Дацюк, Детройт Ред Уингз, C — У 37-летнего 37-летнего хоккеиста, возможно, лучшие руки в хоккее за последнее десятилетие. защитные инстинкты.Если он здоров, он станет одним из ключевых орудий мощного нападения России.

Евгений Кузнецов, «Вашингтон Кэпиталз», C — 23-летний игрок значительно улучшил свою игру в этом сезоне и временами может быть совершенно ослепительным благодаря своему элитному обращению с шайбой и игровым навыкам. Его динамичный набор навыков сделает сборную России опасной в нападении. Он может быть ключом к тому, чтобы помочь Овечкину, его товарищу по команде «Кэпиталз», преуспеть на международной арене.

Видео: [email protected]: Кузнецов использует скорость и мастерство на ОТ -3, 195 фунтов), ослепительное умение обращаться с шайбой и элитное видение льда. Он считается одним из лучших игроков НХЛ. 29-летний Малкин, несомненно, станет фаворитом сборной России в Торонто.

Илья Ковальчук, СКА Санкт-Петербург (КХЛ), LW — Ковальчук – настоящий бомбардир, который может прорваться в любой момент. Редкое сочетание мастерства, скорости и силы. 32-летний Ковальчук трижды представлял Россию на Олимпийских играх, включая сборную, завоевавшую бронзовые медали в Солт-Лейк-Сити в 2002 году, девять чемпионатов мира, один чемпионат мира среди юниоров и чемпионат мира 2004 года. .Он будет стремиться произвести впечатление и стереть плохие воспоминания об Олимпийских играх 2010 года в Ванкувере и 2014 года в Сочи.

Николай Кулемин, «Нью-Йорк Айлендерс», LW — 29-летний Кулемин, крепкий, разносторонний, ориентированный на оборону форвард, очень подвижный фигурист с острым чувством предвкушения. Он ответственно принимает решения с шайбой, усердно работает в углах и обладает сильной трудовой этикой. Ему будут даны ключевые оборонительные обязанности против лучших противников.

Алекс Овечкин, «Вашингтон Кэпиталз», LW — Один из самых влиятельных игроков НХЛ за последнее десятилетие и совсем недавно пополнивший клуб, забивший 500 голов, Овечкин не добился такого успеха на международной арене.Капитану «Кэпиталз» и лучшему российскому бомбардиру в истории НХЛ предстоит многое доказать в сентябре. Тренеру сборной России Олегу Знароку предстоит определить лучших партнеров по линии, чтобы он мог воспользоваться своими элитными голевыми способностями.

Артемий Панарин, «Чикаго Блэкхокс», LW — Новичок адаптировался к игре НХЛ быстрее, чем ожидалось, и стал серьезным голевым игроком. Пасы Панарина, владение шайбой и видение на льду феноменальны. Он является ведущим кандидатом на получение Колдер Трофи как новичок года.

Никита Кучеров, Tampa Bay Lightning, RW — 22-летний нападающий из Москвы — абсолютная динамо-машина со своей скоростью, мастерством и хоккейным чутьем. Продолжающийся рост Кучерова в прошлом году просто выдающийся. Он быстро стал одним из шести лучших нападающих «Лайтнинг» и часто помогал им в решающие моменты.

Валерий Ничушкин, «Даллас Старз», RW — 20-летнего Ничушкина с большими размерами (6-4, 210) и мастерством можно сравнить с Овечкиным и Малкиным.Он отличный фигурист с быстротой, ловкостью, опасным броском и хорошими игровыми способностями. Он сыграл восемь матчей в сезоне 2014/15 из-за операции на бедре, но сейчас он восстанавливает свое техническое мастерство и имеет потенциал войти в шестерку лучших нападающих.

Александр Радулов, ЦСКА Москва (КХЛ), RW — Если говорить о профессиональных хоккеистах за пределами НХЛ, 29-летний Радулов – один из лучших. Он является ветераном международных игр с юниорского уровня, выиграв серебряную медаль на чемпионатах мира среди юниоров 2005 и 2006 годов.Его взрывной, физический стиль в сочетании с его скоростью и умением забивать делает его тем, о ком придется беспокоиться противникам.

Владимир Тарасенко, «Сент-Луис Блюз», RW — У Тарасенко потрясающий быстрый бросок с превосходной точностью. С момента подписания восьмилетнего контракта с «Сент-Луисом» в июле он не поддался давлению и продолжает работать. 24-летний Тарасенко может стать одним из элитных игроков ЧМ-2016. 

ЗАЩИТНИКИ  

Антон Белов, СКА Санкт-Петербург.Петербург (КХЛ) — Бывший защитник «Эдмонтон Ойлерз» принесет свои габариты (6-4, 218 фунтов) и прочность. Считающийся одним из лучших защитников, не играющих в НХЛ, он способен сдерживать лучших форвардов и может дать сборной России глубину в исполнении пенальти. В прошлом сезоне он помог своей команде выиграть свой первый Кубок Гагарина в качестве чемпиона Континентальной хоккейной лиги.

Алексей Емелин, «Монреаль Канадиенс» — Емелин известен своим жестким стилем игры, который, безусловно, может использовать сборная России.Он зарекомендовал себя как солидный игрок в обороне «Канадиенс», часто играя с соотечественником Андреем Марковым. Емелин, 29 лет, склонен к травмам, потому что он много жертвует своим телом, нанося удары и блокируя удары. Если он останется здоровым, он будет ценным активом.

Дмитрий Куликов, «Флорида Пантерз» — Большой бросок с точки — один из ключевых активов 25-летнего Куликова. Он также выдающийся, разносторонний фигурист с отличной подвижностью. Ему нравится вмешиваться и принимать участие в наступательных вещах.Он привнесет глубину и маневренность в синюю линию сборной России.

Видео: [email protected]: Куликов побеждает Шнайдера с круга курсирует между НХЛ и Американской хоккейной лигой. Он играет уверенно, может сделать отличный первый пас из зоны защиты и хорошо выходит на огневые рубежи, чтобы блокировать удары.

Андрей Марков, «Монреаль Канадиенс» — Марков, один из запасных капитанов «Канадиенс», станет ключевым игроком сборной России в большинстве; он часто отвечает за игровые обязанности с преимуществом перед игроком. Он преодолел множественные травмы колена и в свои 37 лет продолжает оставаться одним из двух лучших защитников «Монреаля».

Никита Нестеров, Тампа-Бэй Лайтнинг — 22-летний Нестеров, владеющий шайбой, обладает очень хорошим хоккейным чутьем и может присоединиться к атаке. Он также может быть полезен при игре в большинстве и обеспечивать агрессивное физическое присутствие в задней части. Его главный недостаток на данный момент — отсутствие последовательности, которая приходит с опытом.

Дмитрий Орлов, «Вашингтон Кэпиталз» — Мобильный и агрессивный Орлов демонстрирует на льду всестороннее мастерство. Орлов может показать солидные атакующие показатели, а также вести физическую игру сзади. Он без колебаний поразит соперников на открытом льду. Орлов способен сыграть одну из ключевых ролей в обороне сборной России.

ВРАТАРИ  

Сергей Бобровский, «Коламбус Блю Джекетс» — Единственный россиянин, выигравший «Везина Трофи», 27-летний Бобровский зарекомендовал себя как лучший вратарь страны. Он тяжело пережил сезон из-за травм, но, как известно, быстро возвращается в форму. Есть шанс, что к началу турнира Бобровский вернется на вершину своей игры.

Семен Варламов, «Колорадо Эвеланш» — После сильного сезона 2013/14, когда он установил рекорд «Эвеланш» по количеству побед (41), 27-летний Варламов временами испытывал трудности в прошлом сезоне, а «Колорадо» пропустил плей-офф Кубка Стэнли. Но он пришел в норму и проводит хороший сезон, пытаясь помочь Avalanche вернуться в охоту за плей-офф.

Андрей Василевский, «Тампа-Бэй Лайтнинг» — Самый талантливый молодой вратарь России, 21-летний игрок имеет немало громких игр в своем международном послужном списке, в основном на чемпионате мира среди юниоров. В этом сезоне Василевский послужил надежной поддержкой Бену Бишопу. Он станет третьим вратарем в «Торонто», который поможет ему в дальнейшем развитии.

Популяционные циклы, болезни и сети экологических знаний в JSTOR

Абстрактный

Популяции диких животных в северных районах земного шара уже давно колеблются или периодически цикличны, за резким ростом следует катастрофическое исчезновение.Сосредоточившись на ранних работах Чарльза С. Элтона, в этой статье анализируется, как исследования популяционных циклов повлияли на развитие англо-американской экологии животных в 1920–1930-х годах. Цикличность населения выявила закономерности, которые бросили вызов представлениям о «балансе» природы; стимулировали усилия по количественной оценке данных о населении; и привел экологию животных в диалог с интеллектуальными дебатами о естественном отборе. Элтон использовал проблему понимания циклов популяций диких животных, чтобы исследовать центральное противоречие в экологической мысли: относительное влияние местных условий (обеспеченность пищей, хищничество) и универсальных сил (таких как изменение климата и естественный отбор) на регулирование популяций диких животных.Он также искал покровительства и создавал исследовательскую практику и влиятельное Бюро популяции животных по вопросам регулирования популяции в 1930-х годах. Сосредоточив внимание на болезни как на локальном регуляторе популяции, который может взаимодействовать с глобальными климатическими влияниями, Элтон способствовал междисциплинарному и популяционному подходу к ранней экологии животных. Элтон создал сеть эпидемиологов, защитников природы, патологоанатомов и математиков, которые внесли свой вклад в исследования популяционного цикла.Я утверждаю, что, хотя эти люди часто оставались периферийными по отношению к экологии, их идеи сформировали молодую дисциплину. Особенно важными были понятия изобилия, плотности и болезней; и взаимодействия между этими факторами и естественным отбором. Однако опора Элтона на зависимость от плотности невольно помогла создать условия, благоприятствующие развитию противоречий в экологии животных в последующие годы. Хотя экологи не пришли к единому мнению об основных причинах популяционных циклов, это явление стало важным ранним катализатором развития теории и практики экологии животных.

Информация о журнале

Журнал истории биологии посвящен истории биологических наук с дополнительным интересом и заботой о философских и социальных проблемах, с которыми сталкивается биология. Хотя приветствуются все исторические эпохи, в последние годы особое внимание уделялось событиям, происходившим в девятнадцатом и двадцатом веках. Журнал предназначен как для работающих биологов, которым необходимо полное понимание исторических и философских основ области, так и для историков биологии, интересующихся развитием биологических наук.

Информация об издателе

Springer — одно из ведущих международных научных издательств, выпускающее более 1200 журналов и более 3000 новых книг ежегодно, охватывающих широкий круг предметов, включая биомедицину и науки о жизни, клиническую медицину, физика, инженерия, математика, информатика и экономика.

%PDF-1.5 % 1 0 объект > эндообъект 4 0 объект (Введение) эндообъект 5 0 объект > эндообъект 8 0 объект (Обзор) эндообъект 9 0 объект > эндообъект 12 0 объект (Структура диссертации) эндообъект 13 0 объект > эндообъект 16 0 объект (Часть I — Математические предварительные занятия) эндообъект 17 0 объект > эндообъект 20 0 объект (Часть II — Квазивариационные процессы подметания на функциях ограниченной вариации) эндообъект 21 0 объект > эндообъект 24 0 объект (Часть III. Вариационный подход к дважды нелинейным дифференциальным включениям) эндообъект 25 0 объект > эндообъект 28 0 объект (Математические предварительные занятия) эндообъект 29 0 объект > эндообъект 32 0 объект (Выпуклый анализ) эндообъект 33 0 объект > эндообъект 36 0 объект (Выпуклые множества) эндообъект 37 0 объект > эндообъект 40 0 объект (Проекция на выпуклые множества в гильбертовых пространствах) эндообъект 41 0 объект > эндообъект 44 0 объект (Выпуклые функции) эндообъект 45 0 объект > эндообъект 48 0 объект (Максимальные монотонные операторы и вариационные понятия сходимости) эндообъект 49 0 объект > эндообъект 52 0 объект (Классические функциональные пространства и теория интегрирования) эндообъект 53 0 объект > эндообъект 56 0 объект (Классические функциональные пространства: BV, G и S) эндообъект 57 0 объект > эндообъект 60 0 объект (Интеграл Курцвейла-Хенстока) эндообъект 61 0 объект > эндообъект 64 0 объект (Теория меры для банаховых пространств) эндообъект 65 0 объект > эндообъект 68 0 объект (Векторные меры) эндообъект 69 0 объект > эндообъект 72 0 объект (Измеримость функций со значениями в банаховом пространстве) эндообъект 73 0 объект > эндообъект 76 0 объект (Теория молодой меры в банаховых пространствах) эндообъект 77 0 объект > эндообъект 80 0 объект (неравенство Гронуолла) эндообъект 81 0 объект > эндообъект 84 0 объект (Квазивариационные процессы заметания на функциях ограниченной вариации) эндообъект 85 0 объект > эндообъект 88 0 объект (Введение и основные результаты) эндообъект 89 0 объект > эндообъект 92 0 объект (Процесс зачистки) эндообъект 93 0 объект > эндообъект 96 0 объект (Расширение процесса подметания на BV) эндообъект 97 0 объект > эндообъект 100 0 объект (квазивариационные процессы подметания) эндообъект 101 0 объект > эндообъект 104 0 объект (Квазивариационные процессы подметания с полиэдральными характеристиками) эндообъект 105 0 объект > эндообъект 108 0 объект (Основной результат) эндообъект 109 0 объект > эндообъект 112 0 объект (Глобальная липшицева непрерывность полиэдрального процесса заметания) эндообъект 113 0 объект > эндообъект 116 0 объект (Единственность и неединственность квазивариационного процесса заметания) эндообъект 117 0 объект > эндообъект 120 0 объект (Квазивариационные процессы подметания с гладкими характеристиками) эндообъект 121 0 объект > эндообъект 124 0 объект (Введение основного результата) эндообъект 125 0 объект > эндообъект 128 0 объект (Статическое квазивариационное неравенство) эндообъект 129 0 объект > эндообъект 132 0 объект (Разность проекций на два выпуклых множества) эндообъект 133 0 объект > эндообъект 136 0 объект (Существование и единственность статического квазивариационного неравенства) эндообъект 137 0 объект > эндообъект 140 0 объект (Существование и единственность решения для очень малых скачков) эндообъект 141 0 объект > эндообъект 144 0 объект (оценка за один шаг) эндообъект 145 0 объект > эндообъект 148 0 объект (Экскурсия: Локальная липшицева непрерывность процесса заметания) эндообъект 149 0 объект > эндообъект 152 0 объект (Доказательство теоремы 8. 19) эндообъект 153 0 объект > эндообъект 156 0 объект (Доказательство теоремы 8.3) эндообъект 157 0 объект > эндообъект 160 0 объект (При условии прыжка) эндообъект 161 0 объект > эндообъект 164 0 объект (Вариационные методы для дважды нелинейных эволюционных уравнений) эндообъект 165 0 объект > эндообъект 168 0 объект (Введение) эндообъект 169 0 объект > эндообъект 172 0 объект (Двойственно нелинейные дифференциальные включения) эндообъект 173 0 объект > эндообъект 176 0 объект (Представительские функции) эндообъект 177 0 объект > эндообъект 180 0 объект (Двойственно нелинейные эволюционные уравнения как задачи минимизации) эндообъект 181 0 объект > эндообъект 184 0 объект (Примечание к обозначениям) эндообъект 185 0 объект > эндообъект 188 0 объект (Приближение максимальных монотонных операторов на рефлексивных банаховых пространствах) эндообъект 189 0 объект > эндообъект 192 0 объект (Основные предположения) эндообъект 193 0 объект > эндообъект 196 0 объект (Основной результат) эндообъект 197 0 объект > эндообъект 200 0 объект (Аргумент выбора мер Янга) эндообъект 201 0 объект > эндообъект 204 0 объект (Доказательство основного результата) эндообъект 205 0 объект > эндообъект 208 0 объект (Аппроксимация потенциалов диссипации на нерефлексивных банаховых пространствах) эндообъект 209 0 объект > эндообъект 212 0 объект (базовая постановка задачи) эндообъект 213 0 объект > эндообъект 216 0 объект (Вложение пространства состояний и метрических производных) эндообъект 217 0 объект > эндообъект 220 0 объект (результат вложения рефлексивных банаховых пространств) эндообъект 221 0 объект > эндообъект 224 0 объект (метрические производные) эндообъект 225 0 объект > эндообъект 228 0 объект (Сходимость Моско в нерефлексивных банаховых пространствах) эндообъект 229 0 объект > эндообъект 232 0 объект (формулировка основного результата) эндообъект 233 0 объект > эндообъект 236 0 объект (Доказательство основной теоремы) эндообъект 237 0 объект > эндообъект 240 0 объект (Случай пределов, не зависящих от скорости) эндообъект 241 0 объект > эндообъект 244 0 объект (Библиография) эндообъект 245 0 объект > эндообъект 248 0 объект > ручей xڕVKs6WHT(

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.