Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Математика 6 класс
  • Алгебра 8 класс
  • Математика 5 класс
  • Русский язык 6 класс
  • Русский язык 7 класс
  • Алгебра 7 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Деление и дроби
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Окружность и круг
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Какое действие в полученном выражении делается первым, умножение или деление? Выполняем слева направо: умножение, деление, затем — вычитание. Получилось:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 18 : 2 = 10 + 6 = 16.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (7 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 16.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 24, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Еще больше практики — в детской школе Skysmart. Ученики занимаются на интерактивной платформе, в комфортном темпе и с поддержкой внимательных учителей.

Чтобы ребенок занимался математикой в удовольствие и чувствовал себя увереннее в школе, запишите его на бесплатный вводный урок. Познакомим с форматом и вдохновим на учебу!

Урок 10. порядок выполнения действий в числовых выражениях — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №10. Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях без скобок?

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях со скобками?

Глоссарий по теме:

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку: слева направо.

Если в выражение без скобок входят не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то сначала выполняются по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание также по порядку.

Если в выражение есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а затем в установленном порядке сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 24.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 15.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выполним вычисления устно и расставим значения выражений в порядке возрастания.

Подсказка: Он должен быть в доме, в шкафу, на столе и даже в портфеле ученика.

В результате вычислений получилось:

Действительно во всём должен быть порядок и в математике тоже.

Выполняя задания, мы пользуемся законами и правилами математики. Эти правила и законы и поддерживают математический порядок.

Выполняя устные вычисления, мы выполняли действия по порядку. В выражениях использовали действия умножения и деления.

Рассмотрим выражения:

6 ∙ 3 + 4 : 2; 27 : 3 — 2 ∙ 2; 2 ∙ (5 + 4).

Это числовые выражения. Для их составления использовали числа и знаки действий.

Использовали не только умножение и деление, но и сложение, вычитание. В каком порядке будем выполнять действия?

В выражении 76 – 27 + 9 – 10 использовали знаки сложения и вычитания. Выполнять действия нужно по порядку: слева направо.

В выражении 80 : 8 ∙ 2 использовали знаки умножения и деления. Выполнять действия нужно также по порядку: слева направо.

Вывод: Если в выражениях только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

Выражения могут содержать сложение и вычитание, и умножение, и деление. В этом случае сначала выполняются деление и умножение по порядку. В математике эти действия считаются сильными. А затем сложение и вычитание тоже по порядку.

В математике есть способ, который позволяет выделить какое-то действие. Это постановка скобок. Скобки показывают, что действие внутри них, выполняется в первую очередь.

Действия в числовых выражениях выполняются в следующем порядке:

1. Действия записанные в скобках;
2. Умножение иделение по порядку: слева направо;
3. Сложение и вычитание по порядку: слева направо.

Знания этих математических правил позволит правильно находить значения выражений и не нарушать порядок.

Порядок действий в выражениях особый. 
И в каждом случае, помните, он свой. 
В порядке все действия выполняйте.

Сначала в скобках все посчитайте.

Потом чередом, умножайте или делите.

И, наконец, вычитайте или сложите.

Тренировочные задания.

1. Выберите действие, которое будет в выражение первым.

38 + 4 ∙ 7 + 19

Правильный ответ: умножение.

2. Выберите действие, которое в выражение будет последним.

40 : 5 + 12 – 8 : 2

Правильный ответ: вычитание.

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1)      действия, заключенные в скобках;

2)      умножение и деление;

3)      сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Основные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по математике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по математике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной математике.

Изучать основные формулы по школьной математике онлайн:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Точка входа: математика. «Главные правила: быть последовательным и смелым»

Как под­сту­пить­ся к ма­те­ма­ти­ке, если вы ни­че­го о ней не помни­те из школь­ной про­грам­мы? Се­го­дня в «Точ­ке вхо­да» Ами­ра Шихи рас­ска­зы­ва­ет, что чи­тать, смот­реть и слу­шать, что­бы за­но­во от­крыть для себя «ца­ри­цу наук».

Ами­ра Шихи, за­кон­чи­ла фа­куль­тет фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ских и есте­ствен­ных наук РУДН, пре­по­да­ёт ма­те­ма­ти­ку так дол­го, что уже не пом­нит сколь­ко (прим.ред. — с 2005 года)

Ма­те­ма­ти­ка — пред­мет, до­став­ля­ю­щий мак­си­маль­ное стра­да­ние школь­ни­кам. Это что-то фун­да­мен­таль­ное и по­сто­ян­но усколь­за­ю­щее: про­бо­лел одну тему — и даль­ше ни­че­го не по­ни­ма­ешь. Даже у взрос­ло­го мо­жет по­явить­ся ощу­ще­ние, что ты слиш­ком мал и глуп, что­бы быть пол­но­цен­ной ра­бо­чей еди­ни­цей в этой на­у­ке (при­вет мат­фа­ку): так мно­го все­го нуж­но дер­жать в го­ло­ве, так юве­лир­но точ­но под­го­нять ку­соч­ки тео­рии, и не ина­че как с по­мо­щью чёр­ной ма­гии при­ме­нять это всё в жиз­ни. Тем не ме­нее, здесь есть два глав­ных пра­ви­ла игры: быть по­сле­до­ва­тель­ным и сме­лым. Если вы хотя бы в ка­кой-то мере по­сле­до­ва­тель­ны и хоть один раз в жиз­ни про­яв­ля­ли сме­лость — вы го­ди­тесь для за­ня­тий ма­те­ма­ти­кой, а ма­те­ма­ти­ка под­хо­дит для вас.

1. Что по­чи­тать

Ма­те­ма­ти­ка — это люди

Могу по­спо­рить, что очень мно­гое из школь­ной ал­геб­ры дав­но за­бы­то, но вот фор­му­ла кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния на­дёж­но упа­ко­ва­на в го­ло­ву боль­шин­ства. И, зна­е­те, это род­нит вас с ма­те­ма­ти­ка­ми древ­не­го Ва­ви­ло­на, Ин­дии, Гре­ции, не го­во­ря о Сред­не­ве­ко­вье и Но­вом вре­ме­ни.

«Ма­те­ма­ти­ка име­ет дол­гую и по­сту­па­тель­ную ис­то­рию. С той поры, как древ­ние ва­ви­ло­няне на­учи­лись ре­шать квад­рат­ные урав­не­ния, — а про­изо­шло это, ве­ро­ят­но, око­ло 2000 г. до н. э., хотя пер­вые до­ка­за­тель­ства да­ти­ру­ют­ся при­мер­но 1500 г. до н. э., — их ре­зуль­тат не уста­рел. Он был ве­рен, и ва­ви­ло­няне по­ни­ма­ли по­че­му. Оста­ёт­ся вер­ным он и се­го­дня».

Я ре­ко­мен­дую про­чи­тать «Зна­чи­мые фи­гу­ры. Жизнь и от­кры­тия ве­ли­ких ма­те­ма­ти­ков» Иэна Стю­ар­та.

Вы, без­услов­но, не най­дё­те дру­гой кни­ги, где ма­те­ма­ти­ки раз­ных вре­мён так пе­ре­ме­ша­ны, и чи­та­те­ля не за­гру­жа­ют тя­же­ло­вес­ной тео­ри­ей. Уви­дев свя­зи меж­ду со­вер­шен­но раз­ны­ми эпо­ха­ми че­рез ма­те­ма­ти­ку, вы про­ник­ни­тесь иде­ей о том, что она — куль­тур­ная уни­вер­са­лия.

До­бав­лю, что мож­но чи­тать даль­ше все осталь­ное ав­тор­ства Стю­ар­та и по­лу­чать удо­воль­ствие.

Ма­те­ма­ти­ка is love

«Ка­кие три сло­ва жаж­дут услы­шать ма­те­ма­ти­ки? Ко­неч­но, нам тоже гре­ет душу фра­за „Я люб­лю тебя“, но в дан­ном слу­чае речь идет о за­вет­ном „quod erat demon­stran­dum“ (лат. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать)».

Эдвард Шейнерман

Это ци­та­та из кни­ги Эд­вар­да Шей­нер­ма­на «Пу­те­во­ди­тель для влюб­лен­ных в ма­те­ма­ти­ку»: здесь ос­нов­ные све­де­ния про чис­ла, пра­виль­ное ко­ли­че­ство ин­те­рес­ной гео­мет­рии и немно­го тео­рии игр. Кста­ти, в по­пу­ляр­ной те­ма­ти­че­ской кни­ге за­про­сто мо­жет ока­зать­ся то, про что и про­фес­си­о­наль­ный ма­те­ма­тик ни­ко­гда не слы­шал. Я вот так про­чи­та­ла про тео­ре­му Эр­роу и па­ра­докс Нью­ко­ма (в уни­вер­си­те­те тео­рия игр про­шла мимо меня — и та­кое тоже бы­ва­ет).

Вос­хи­ти­тель­ный ол­дскул

Прак­ти­че­ски все взрос­лые ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рых я знаю, и очень мно­го лю­дей дру­гих про­фес­сий, ко­то­рым ин­те­рес­на ма­те­ма­ти­ка, чи­та­ли кни­ги Яко­ва Ис­и­до­ро­ви­ча Пе­рель­ма­на. И де­ла­ли страш­ные гла­за, ко­гда узна­ва­ли, что я ещё нет. Ис­пра­ви­ла это толь­ко на тре­тьем кур­се уни­вер­си­те­та, и очень жа­ле­ла, что в школь­ные годы это про­шло мимо меня.

А вот Мар­ти­на Гард­не­ра (ма­моч­ки, он на­пи­сал бо­лее 100 книг и де­ся­ти­ле­тия вёл раз­дел ма­те­ма­ти­че­ских игр в Sci­en­tific Amer­i­can) я чи­та­ла до­воль­но мно­го и в шко­ле, и сей­час про­дол­жаю — по ра­бо­чей на­доб­но­сти учи­те­ля в веч­ном по­ис­ке идей.

«Ма­те­ма­ти­че­ские но­вел­лы», «Ма­те­ма­ти­че­ские го­ло­во­лом­ки и раз­вле­че­ния», «Кре­сти­ки- но­ли­ки», «А ну-ка, до­га­дай­ся», «От мо­за­ик Пе­н­ро­уза к на­деж­ным шиф­рам», «Этот пра­вый, ле­вый мир» — не про­сто кни­ги, это путь к твор­че­ству че­рез по­ни­ма­ние глу­бо­ких ма­те­ма­ти­че­ских идей.

По­да­рок от рус­ских ма­те­ма­ти­ков

Я люб­лю сайт «Ма­те­ма­ти­че­ские этю­ды» с ви­зу­а­ли­за­ци­ей за­дач. Его мно­го мно­го лет де­ла­ет ла­бо­ра­то­рия по­пу­ля­ри­за­ции и про­па­ган­ды ма­те­ма­ти­ки Ма­те­ма­ти­че­ско­го ин­сти­ту­та им. В. А. Стек­ло­ва РАН.

Даже и до­ба­вить нече­го!

2. Что по­слу­шать

Под­ка­сты есть про всё на све­те

В том чис­ле, про ис­то­рию ма­те­ма­ти­ки. Мой лю­би­мый — 10 эпи­зо­дов, за­пи­сан­ных Мар­ку­сом дю Со­той, про­фес­со­ром Окс­форд­ско­го уни­вер­си­те­та: https://​​​​www.bbc.co.uk/​​​​pro­grammes/​​​​b00s­rz5b/​​​​episodes/​​​​player

Ско­рее все­го по­сле того, как вы их про­слу­ша­е­те, у вас по­явит­ся лю­би­мый ма­те­ма­тик. В 17 лет моим ге­ро­ем был Эва­рист Га­луа. Ещё бы — вун­дер­кинд, ре­во­лю­ци­о­нер; на­уч­ное со­об­ще­ство его не при­зна­ва­ло; де­вуш­ка, в ко­то­рую он был влюб­лён, его от­верг­ла; а го­су­дар­ство неод­но­крат­но са­жа­ло в тюрь­му. По­гиб на ду­э­ли. Чест­но го­во­ря, до сих пор имею crush)

3. Что по­смот­реть

А филь­мы есть?

Во­об­ще, есть. Лич­но я не по­лу­чи­ла удо­воль­ствия ни от од­но­го из них, глав­ная поль­за — транс­ля­ция кон­крет­но­го ма­те­ма­ти­че­ско­го пер­со­на­жа в мас­со­вую куль­ту­ру.

Но, на­при­мер, фильм «Игры ра­зу­ма» не рас­ска­зы­ва­ет о Джоне Нэшэ прак­ти­че­ски ни­че­го. Очень жаль, по­то­му что ши­зо­фре­ния — не то, что опре­де­ля­ет лич­ность. И во­об­ще, та ра­бо­та, за ко­то­рую ему была при­суж­де­на Но­бе­лев­ская пре­мия в об­ла­сти эко­но­ми­ки, — это при­мер­но 5% от его сла­вы внут­ри ма­те­ма­ти­че­ско­го со­об­ще­ства.

Оста­вать­ся со­всем без филь­мов нель­зя, по­это­му ин­те­ре­су­ю­щи­е­ся ма­те­ма­ти­кой и вой­ной мо­гут по­смот­реть «Игру в ими­та­цию» — про ещё од­но­го мо­е­го лю­би­мо­го ма­те­ма­ти­ка — Ала­на Тью­рин­га (надо бу­дет при­смот­реть­ся, есть ли у меня лю­би­мые учё­ные не тра­ги­че­ской судь­бы). Глав­ную роль иг­ра­ет Бе­не­дикт Кам­бер­бетч. Я всё ска­за­ла!

Фильм «Че­ло­век, ко­то­рый по­знал бес­ко­неч­ность» — про ин­дий­ско­го ма­те­ма­ти­ка Ра­ма­нуд­жа­на (не по­ве­ри­те, но опять ге­ни­аль­ность и тра­ги­че­ская судь­ба). Я пока не смот­ре­ла, но очень за­ин­те­ре­со­ва­на.

Num­ber­phile — Youtube-ка­нал о чис­лах, 3 мил­ли­о­на под­пис­чи­ков. Чест­ное сло­во, од­на­жды я пре­одо­лею мою лень и за­ня­тость, что­бы до­ба­вить рус­ские суб­тит­ры к этим жи­вым и бле­стя­щим ви­део (их огром­ное ко­ли­че­ство, эк­ви­ва­лент мно­го­се­зон­но­му се­ри­а­лу), смот­ри­те на ночь.

Вот, на­при­мер, ви­део, где чис­ло pi вы­чис­ля­ет­ся с по­мо­щью пи­ро­гов — школь­ни­ки счи­та­ют, что это са­мый луч­ший спо­соб (и это точ­но).

«Так я ни­че­го не пом­ню из школь­ной про­грам­мы!»

Я ни­че­го не ска­за­ла о том, что де­лать, что­бы вспом­нить школь­ную про­грам­му, — про­сто по­то­му, что её мож­но не вспо­ми­нать! За пре­де­ла­ми шко­лы есть очень мно­го дру­гой ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рая вам по­нра­вит­ся.

Упорядочивание математических операций, BODMAS | SkillsYouNeed

Для вычисления, которое включает только одну математическую операцию с двумя числами, это простой случай сложения, вычитания, умножения или деления, чтобы найти свой ответ.

А что делать, если есть несколько номеров и разные операции? Может быть, вам нужно делить и умножать или складывать и делить. Что вы делаете тогда?

К счастью, математика — дисциплина, основанная на логике.Как это часто бывает, есть несколько простых правил, которые помогут вам определить порядок выполнения расчетов. Они известны как «Порядок операций» .

Правила упорядочивания в математике — BODMAS

BODMAS — полезная аббревиатура, которая сообщает вам порядок, в котором вы решаете математические задачи. Важно, чтобы вы следовали правилам BODMAS, потому что без них ваши ответы могут быть неправильными.

Аббревиатура BODMAS означает:

• B ракетки (части расчета внутри скобок всегда идут на первом месте).
• O rders (числа, содержащие степени или квадратные корни).
• D ivision.
• M Ультипликация.
• A доп.
• S убирание.

BODMAS, BIDMAS или PEMDAS?

Вы можете часто видеть BIDMAS вместо BODMAS. Они точно такие же. В BIDMAS буква «I» относится к индексам, которые аналогичны заявкам. Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу «Специальные числа и понятия».

PEMDAS

PEMDAS обычно используется, в США он работает так же, как BODMAS. Акроним PEMDAS:

P аренцев,

E xponents (степени и корни),

M ultiplication и D ivision,

A ddition и S ddition.

Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны

Навыки, которые вам нужны. Руководство по счету

Это руководство из четырех частей познакомит вас с основами математики от арифметики до алгебры с остановками на дробях, десятичных дробях, геометрии и статистике.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь детям в учебе, эта книга для вас.

Использование BODMAS

Кронштейны

Начните с скобок , начиная слева направо.

Пример:

4 × (3 + 2) =?

Вам нужно выполнить операцию, сначала в скобках 3 + 2, а затем умножить ответ на 4.

3 + 2 = 5.
4 × 5 = 20

Если вы проигнорируете скобки и произведете расчет слева направо 4 × 3 + 2, вы получите 14.Вы можете видеть, как скобки влияют на ответ.

Заказы

Далее выполните все, что связано со степенью или квадратным корнем (они также известны как приказы ), снова работая слева направо, если их больше одного.

Пример:

3 ² + 5 =?

Прежде чем прибавить 5, необходимо вычислить мощность.

3 ² = 3 × 3 = 9
9 + 5 = 14

Деление и умножение

После того, как вы выполнили какие-либо части вычислений с использованием скобок или степеней, следующим шагом будет деление и умножение .

Умножение и деление ранжируются одинаково, поэтому вы работаете с суммой слева направо, выполняя каждую операцию в том порядке, в котором она появляется.

Пример:

6 ÷ 2 + 7 × 4 =?

Сначала вам нужно выполнить деление и умножение, но у вас есть по одному.

Начните слева и двигайтесь вправо, что означает, что вы начинаете с 6 ÷ 2 = 3. Затем выполните умножение, 7 × 4 = 28.

Теперь ваш расчет 3 + 28.

Завершите вычисление сложения, чтобы найти ответ: 31 .

Смотрите наши страницы: Умножение и Деление для получения дополнительной информации.

Сложение и вычитание

Последний шаг — вычислить любое сложение или вычитание . Опять же, вычитание и сложение равны, и вы просто работаете слева направо.

Пример:

4 + 6-7 + 3 =?

Вы начинаете слева и продвигаетесь вперед.

4 + 6 = 10
10-7 = 3
3 + 3 = 6
Ответ: 6 .

См. Наши страницы: Сложение и Вычитание для получения дополнительной информации.

Собираем все вместе

Этот последний рабочий пример включает все элементы BODMAS.

Пример:

4 + 8 ² × (30 ÷ 5) =?

Начнем с расчета в скобках.

30 ÷ 5 = 6
Это дает вам 4 + 8 ² × 6 =?

Затем рассчитайте заказы — в данном случае квадрат 8.

8 ² = 64
Теперь ваш расчет 4 + 64 × 6

Затем переходим к умножению 64 × 6 = 384

Наконец, выполните сложение. 4 + 384 = 388

Ответ: 388 .

Контрольные вопросы BODMAS

Правила BODMAS легче всего понять с помощью некоторой практики и примеров.

Попробуйте эти вычисления самостоятельно, а затем откройте окно (щелкните символ + слева), чтобы увидеть работу и ответы.

3 + 20 × 3

В этом расчете нет скобок или порядков.

1. Умножение предшествует сложению, поэтому начните с 20 × 3 = 60.
2. Расчет теперь показывает 3 + 60

Следовательно, ответ 63 .

25-5 ÷ (3 + 2)

1. Начать с скобок.(3 + 2) = 5.
2. Расчет теперь показывает 25-5 ÷ 5
3. Деление предшествует вычитанию. 5 ÷ 5 = 1.
4. Расчет теперь показывает 25 — 1

Следовательно, ответ 24 .

10 + 6 × (1 + 10)

1. Начать с скобок. (1 + 10) = 11.
2. Расчет теперь показывает 10 + 6 × 11
3. Умножение предшествует сложению.6 × 11 = 66.
4. Расчет теперь показывает 10 + 66.

Следовательно, ответ 76 .

5 (3 + 2) + 5 ²

Если в этом вычислении нет знака, подобного этому, оператор представляет собой умножение, то же самое, что и запись 5 × (3 + 2) + 5 ² .

1. Сначала завершите расчет в скобках: (3 + 2) = 5.
2. Это дает вам 5 × 5 + 5 ² .
3. Следующий шаг — заказы, в данном случае квадрат. 5 ² = 5 × 5 = 25. Теперь у вас 5 × 5 + 25.
4. Деление и умножение предшествуют сложению и вычитанию, поэтому следующий шаг — 5 × 5 = 25. Теперь вычисление показывает 25 + 25 = 50.

Ответ: 50 .

(105 + 206) — 550 ÷ 5 ² + 10

В этом есть все! Но не паникуйте.BODMAS по-прежнему применяется, и все, что вам нужно сделать, это отменить расчет.

1. Начать с скобок. (105 + 206) = 311.
2. Расчет теперь показывает 311-550 ÷ 5 ² + 10
3. Далее, приказы или полномочия. В данном случае это 5 ² = 25.
4. Расчет теперь показывает 311-550 ÷ 25 + 10
5. Далее, деление и умножение. Умножения нет, но деление 550 ÷ 25 = 22.
6. Теперь расчет показывает 311 — 22 + 10.
7. Хотя у вас все еще осталось две операции, сложение и вычитание имеют одинаковый ранг, поэтому вы просто идете слева направо. 311 — 22 = 289 и 289 + 10 = 299.

Ответ: 299 .

7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7-7 =?

Подобные проблемы часто появляются на сайтах социальных сетей с такими заголовками, как «90% людей ошибаются». Просто следуйте правилам BODMAS, чтобы получить правильный ответ.

1. Здесь нет скобок или порядков, поэтому начните с деления и умножения.
2. 7 ÷ 7 = 1 и 7 × 7 = 49.
3. Расчет теперь показывает 7 + 1 + 49-7
4. Теперь выполните сложение и вычитание. 7 + 1 + 49 = 57-7 = 50

Следовательно, ответ 50 .

Как у вас дела?

Надеюсь, вам удалось правильно ответить на все вопросы. Если нет, вернитесь и проверьте, где вы ошиблись, и еще раз прочтите правила.

Чем больше вы практикуетесь, тем легче становится БОДМА, и в конечном итоге вам даже не придется об этом думать.

Порядок действий: PEMDAS

Purplemath

Если вас просят упростить что-то вроде «4 + 2 × 3», естественно возникает вопрос: «Как мне это сделать? Потому что есть два варианта!» Я мог бы добавить первым:

4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18

…или я мог сначала умножить:

4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10

Какой ответ правильный?

MathHelp.com

Кажется, ответ зависит от того, как вы смотрите на проблему.Но у нас не может быть такой гибкости в математике; математика не будет работать, если вы не можете быть уверены в ответе или если можно вычислить одно и то же выражение, чтобы вы могли прийти к двум или более различным ответам.

Чтобы устранить эту путаницу, у нас есть некоторые правила приоритета, установленные, по крайней мере, еще в 1500-х годах, которые называются «порядком операций». «Операции» — это сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и группирование; «порядок» этих операций указывает, какие операции имеют приоритет (о которых позаботятся) перед другими операциями.

Распространенным методом запоминания порядка действий является сокращение (или, точнее, «акроним») «PEMDAS», которое превращается в мнемоническую фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли». Эта фраза означает «круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание» и помогает запомнить их порядок. Этот список показывает вам ранги операций: скобки опережают показатели, которые превосходят умножение и деление (но умножение и деление находятся в одном ранге), а умножение и деление превосходят сложение и вычитание (которые вместе находятся в нижнем ранге).Другими словами, приоритет:

1. Круглые скобки (внутри них упростить)
2. Экспоненты
3. Умножение и деление (слева направо)
4. Сложение и вычитание (слева направо)

Когда у вас есть несколько операций одного ранга, вы просто действуете слева направо. Например, 15 ÷ 3 × 4 не 15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12, а скорее (15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4, потому что, двигаясь слева направо, вы попадаете в разделение подпишитесь первым.

Если вы не уверены в этом, проверьте это на своем калькуляторе, который был запрограммирован с иерархией порядка операций. Например, набрав указанное выше выражение в графическом калькуляторе, вы получите:

Используя приведенную выше иерархию, мы видим, что в вопросе «4 + 2 × 3» в начале этой статьи ответ 2 был правильным, потому что мы должны выполнить умножение, прежде чем выполнять сложение.

(Примечание: носители британского английского часто вместо этого используют аббревиатуру «BODMAS», а не «PEMDAS». BODMAS означает «скобки, порядки, деление и умножение, а также сложение и вычитание». и «порядки» совпадают с показателями, два акронима означают одно и то же. Кроме того, вы можете видеть, что буквы «M» и «D» перевернуты в британо-английской версии; это подтверждает, что умножение и деление того же «звания» или «уровня».Канадцы, говорящие по-английски, разделяют разницу, используя BEDMAS.)

Порядок операций был определен, чтобы предотвратить недопонимание, но PEMDAS может создать свою собственную путаницу; некоторые студенты иногда склонны применять иерархию, как будто все операции в задаче находятся на одном «уровне» (просто идут слева направо), но часто эти операции не «равны». Во многих случаях это помогает решать проблемы изнутри, а не слева направо, потому что часто некоторые части проблемы находятся «глубже», чем другие части.Лучший способ объяснить это — привести несколько примеров:

Мне нужно упростить термин с показателем, прежде чем пытаться добавить 4:

Я должен упростить в круглых скобках, прежде чем я смогу провести экспоненту. Только после этого я смогу добавить 4.

4 + (2 + 1) ² = 4 + (3) ² = 4 + 9 = 13

• Упростить 4 + [–1 (–2 — 1)]

  ² .

Я не должен пытаться делать эти вложенные круглые скобки слева направо; этот метод слишком подвержен ошибкам. Вместо этого я постараюсь работать изнутри. Сначала я упрощу внутри фигурных скобок, затем упрощу внутри квадратных скобок и только потом займусь квадратом. После этого я наконец могу добавить 4:

4 + [–1 (–2 — 1)] ²

= 4 + [–1 (–3)] ²

= 4 + [3] ²

= 4 + 9

= 13

Использование квадратных скобок («[» и «]» выше) вместо круглых не имеет особого значения.Скобки и фигурные скобки (символы «{» и «}») используются, когда есть вложенные круглые скобки, как помощь в отслеживании того, какие круглые скобки к которым идут. Различные символы группировки используются только для удобства. Это похоже на то, что происходит в электронной таблице Excel, когда вы вводите формулу, используя круглые скобки: каждый набор скобок имеет цветовую кодировку, поэтому вы можете определить пары:

• Упростить 4 (

  ^–2 / ₃ + ⁴ / ₃ ).

Сначала я упрощу внутри скобок:

Итак, мой упрощенный ответ

На следующей странице есть еще примеры отработанных примеров ….

URL: https: // www.purplemath.com/modules/orderops.htm

Порядок операций — PEMDAS

Операции

«Операции» означают такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д. Если это не число, это, вероятно, операция.

Но, когда вы видите что-то вроде …

7 + (6 × 5 ² + 3)

… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?

Начать слева и пойти направо?
Или идти справа налево?

Предупреждение: вычисляйте их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!

Итак, давным-давно люди согласились соблюдать правила при расчетах, а это:

Порядок действий

Действия, указанные в скобках, сначала

Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием

Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием

В противном случае просто идите слева направо

Как я все это помню…? ПЕМДАС!

Разделение и Умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).

Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)

Так сделай так:

После того, как вы сделали «P» и «E», просто идите слева направо, выполняя любую «M» или «D», как вы их найдете.

Затем идите слева направо, выполняя любую букву «A» или «S», когда найдете их.

Примечание: в Великобритании говорят BODMAS (скобки, заказы, деление, умножение, сложение, вычитание), а в Канаде говорят BEDMAS (скобки, экспоненты, разделить, умножить, сложить, вычесть). Все это означает одно и то же! Неважно, как вы это запомните, главное, чтобы вы все поняли правильно.

Примеры

Пример: как вы работаете

M ultiplication до A ddition:

Сначала 6 × 2 = 12 , затем 3 + 12 = 15

Пример: как вычислить

P первая цифра:

Сначала (3 + 6) = 9 , затем 9 × 2 = 18

Пример: как вы работаете

M ultiplication и D ivision ранжируются одинаково, поэтому просто идите слева направо:

Сначала 12/6 = 2 , затем 2 × 3 = 6 , затем 6/2 = 3

Практический пример:

Пример: Сэм бросил мяч прямо вверх со скоростью 20 метров в секунду, как далеко он улетел за 2 секунды?

Сэм использует эту особую формулу, которая учитывает эффекты гравитации:

высота = скорость × время — (1/2) × 9.8 × время ²

Сэм устанавливает скорость 20 метров в секунду и время 2 секунды:

высота = 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Теперь о расчетах!

Начать с: 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Сначала скобки: 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 2 ²

Тогда экспоненты (2 ² = 4): 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 4

Затем умножается: 40 — 19,6

Вычесть и СДЕЛАНО! 20.4

Мяч достигает 20,4 метра за 2 секунды

Показатели степени …

А как насчет этого примера?

4 ^{3 2}

Показатели — особые: идут сверху вниз (сначала экспонента сверху). Итак, вычисляем так:

Итак 4 ^{3 2} = 4 ^{(3 2 )} , а не (4 ³ ) ²

И, наконец, как насчет примера с самого начала?

Начать с: 7 + (6 × 5 ² + 3)

Скобки сначала , а затем Показатели : 7 + (6 × 25 + 3)

Затем Умножить : 7 + (150 + 3)

Затем Добавьте : 7 + (153)

Круглые скобки завершены: 7 + 153

Последняя операция: Добавить : 160

Сначала умножить или сложить? Порядок обучения Правилам операций

Когда ученики 3-х классов и выше учатся складывать, вычитать, умножать, делить и работать с основными числовыми выражениями, они начинают с выполнения операций над двумя числами.Но что происходит, когда выражение требует нескольких операций? Например, вы сначала складываете или умножаете? А как насчет умножения или деления? В этой статье объясняется, в каком порядке выполняются операции, и приводятся примеры, которые вы также можете использовать со студентами. Он также содержит два урока, которые помогут вам представить и развить концепцию.

Ключевой стандарт:

• Выполнять арифметические операции, включая сложение, вычитание, умножение и деление в обычном порядке, независимо от того, присутствуют ли скобки или нет.(3 класс)

Порядок операций — это пример очень процедурной математики. Легко ошибиться, потому что это не столько концепция, которую вы усвоили, сколько список правил, которые вам нужно запомнить. Но не обманывайтесь, думая, что процедурные навыки не могут быть глубокими! Он может представлять сложные проблемы, подходящие для старших школьников и созревшие для обсуждения в классе:

• Меняется ли правило слева направо, когда умножение подразумевается, а не прописано? (Например, \ (3g \) или \ (8 (12) \) вместо \ (3 \ times g \) или \ (8 \ cdot 12 \).)
  
• Где факториал попадает в порядок операций?
• Что произойдет, если вы возведете показатель степени в другой показатель, но скобок нет? (Обратите внимание, что в этот урок не входят экспоненты, хотя, если учащиеся готовы, вы можете расширить свой урок, включив их.)

Что является первым в порядке действий?

Со временем математики согласовали набор правил, называемый порядком операций , чтобы определить, какую операцию выполнить в первую очередь.Когда выражение включает только четыре основных операции, вот правила:

1. Умножайте и делите слева направо.
2. Сложить и вычесть слева направо.

При упрощении выражения, такого как \ (12 \ div 4 + 5 \ times 3-6 \), сначала вычислите \ (12 \ div 4 \), поскольку порядок операций требует сначала оценки любого умножения и деления (в зависимости от того, что произойдет первый) слева направо перед вычислением сложения или вычитания. В данном случае это означает сначала вычисление \ (12 \ div 4 \), а затем \ (5 \ times 3 \).После того, как все умножение и деление будут завершены, продолжайте, добавляя или вычитая (в зависимости от того, что наступит раньше) слева направо. Шаги показаны ниже.

Рассмотрим в качестве примера другое выражение:

Иногда мы можем захотеть убедиться, что сначала выполняется сложение или вычитание. Группировка символов , таких как круглые скобки \ (() \), скобки \ ([] \) или фигурные скобки \ (\ {\} \), позволяют нам определять порядок, в котором выполняются определенные операции. выполнено.

Порядок операций требует, чтобы операции внутри символов группировки выполнялись перед операциями вне их.Например, предположим, что выражение 6 + 4 заключено в круглые скобки:

Обратите внимание, что выражение имеет совершенно другое значение! Что, если вместо этого мы заключим скобки вокруг \ (7 — 3 \)?

Этот набор скобок дает еще один ответ. Итак, когда используются круглые скобки, правила порядка операций следующие:

1. Операции в скобках или групповые символы.
2. Умножайте и делите слева направо.
3. Сложить и вычесть слева направо.

Основные математические правила

Дополнительные правила

Правило 1:

Положительное + Положительное = Добавить

Результат будет положительным

Пример:

2 + 1 = 3

Правило 2:

Отрицательный + Отрицательный = Добавить

Результат будет быть отрицательным

Пример:

-3 + (-5) = -8

Правила вычитания

Правило 1:

Отрицательное + Положительное = Вычесть

Взять знак числа с наибольшим абсолютным значением

Пример:

-3 + 5 = 2

Правило 2:

Положительное + Отрицательное = Вычесть

Знак числа с наибольшим абсолютным значением

Пример:

3 + (-5) = -2

Правила умножения

Правило 1:

Положительное x Положительное = Положительное

Пример:

3 x 5 = 15

Правило 2:

Пример:

(-3) x (-5) = 15

Правило 2:

Положительное x Отрицательное = Отрицательное

Пример:

3 x (-5) = -15

Правило 2:

Отрицательное x Положительное = Отрицательное

Пример:

-3 x 5 = -15

Правила Дивизиона

Правило 1:

Положительное ÷ Положительное = Положительное

Пример:

20 ÷ 4 = 5

Правило 2:

Пример:

(-20) ÷ (-4) = 5

Правило 2:

Положительное ÷ Отрицательное = Отрицательное

Пример:

20 ÷ (-4) = -5

Правило 2:

Отрицательное ÷ Положительное = Отрицательное

Пример:

-20 ÷ 4 = -5

Правила экспонент

Правило 1:

x ^м ⋅ x ⁿ = x ^{m + n}

Пример:

3 ⁴ ⋅ 3 ⁵ = 3 ^{4 + 5} 23

4 ⋅ 3 ⁵ = 3 ⁹

Правило 2:

x ^м ÷ x ⁿ = x ^mn

Пример:

3 ⁷

5 ÷ 3 = 3 ^7-5

3 ⁷ ÷ 3 ⁵ = 3 ²

Правило 3:

(x ^m ) ⁿ = x ^mn

(3 ² ) ⁴ = 3 ^{(2) (4)}

(3 ² ) ⁴ = 3 ⁸

Правило 4:

(xy) ^{(xy) м} = x ^м ⋅ y ^м

Пример:

(3 ⋅ 5) ² = 3 ² ⋅ 5 ²

(3 ⋅ 5) ² = 9 ⋅ 25

(3 ⋅ 5) ² = 225.

Правило 5:

(x / y) ^м = x ^м / y ^м

Пример:

(3/5) ² = 3 ² /5 ²

(3/5) ² = 9/25

Правило 6:

x ^-м = 1 / x ^м

Пример:

3 ^-2 = 1 / 3 ²

3 ^-2 = 1/9

Правило 7:

x ⁰ = 1

Пример:

3 ⁰ = 1