Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом

  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

egemaximum.ru

Трапеция

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

 

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

 

Теоремы: свойства трапеции

 

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).

 

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

 

Доказательство

1) Т.к. \(AD\parallel BC\), то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\), следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

 

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}\]

 

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

 

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем параллельность.

 

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN’\parallel AD\) (\(N’\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN’\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N’\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N’\) совпадут.

 

2) Докажем формулу.

 

Проведем \(BB’\perp AD, CC’\perp AD\). Пусть \(BB’\cap MN=M’, CC’\cap MN=N’\).

 

Тогда по теореме Фалеса \(M’\) и \(N’\) — середины отрезков \(BB’\) и \(CC’\) соответственно. Значит, \(MM’\) – средняя линия \(\triangle ABB’\), \(NN’\) — средняя линия \(\triangle DCC’\). Поэтому: \[MM’=\dfrac12 AB’, \quad NN’=\dfrac12 DC’\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB’, CC’\perp AD\), то \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B’M’=M’B\). Значит, \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M’N’=B’C’=BC\).

 

Таким образом:

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

 

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

 

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

 

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

 

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

 

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

 

2)

 

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

 

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

 

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).

 

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

 

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

 

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).

 

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

 

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

 

shkolkovo.net

Запоминаем и применяем свойства трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k².
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180⁰: α + β = 180⁰  и γ + δ = 180⁰.
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90⁰ , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180⁰ – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S_АМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180⁰ — МЕТ = 180⁰ — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150⁰ с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180⁰. Поэтому КАН = 30⁰ (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30⁰. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S_АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см².

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM. 
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны. 
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований. 

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

 

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции,  одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ: 16 см

Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h² + (24 — a)² = (5√17)²
и
h² + (24 — b)² = 13²

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h² + (24 — 16 + b)² = 425
h²  = 425 — (8 + b)²

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b)² + (24 — b)²  = 169
-(64 + 16b + b)² + (24 — b)² = -256
-64 — 16b — b² + 576 — 48b + b²  = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h²  = 425 — (8 + b)² = 425 — (8 + 12)² = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см²

Ответ: площадь трапеции равна 80 см².

 Трапеция (задачи про основания) | Описание курса | Прямоугольная трапеция 

   

profmeter.com.ua

Конспект «Трапеция и её свойства»

«Трапеция и её свойства»

---

---

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).

Трaпеция встречается впервые у греческого математика Посидония (I в.). О том, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, было известно еще древним египтянам (не позже II в. до н.э.).
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».

Свойства и признаки трапеции

Свойства трапеции:
1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.

Признак трапеции:
Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.

Дополнительные свойства:
1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.

---

Это конспект по теме «Трапеция и её свойства». Выберите дальнейшие действия:

 

uchitel.pro

Свойства трапеции, с примерами

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются ее боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (равнобедренной) трапецией. Трапеция, у которой при одной боковой стороне прямые углы называется прямоугольной.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
3. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
4. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные:

      

5. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие:

      

6. Если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны.
7. Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
8. Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
9. Площадь трапеции вычисляется по формуле

      

   где – основания трапеции, – высота трапеции.

10. Если в трапецию вписана окружность радиуса и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка длины и , то .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Трапеция. Свойства и элементы трапеции

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d₁, d₂ — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

1. Через полусумму оснований a, b и высоту h: S = \frac{a + b}{2}\cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
3. Через диагонали d₁, d₂ и угол (\sin \varphi) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ}:

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB, которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2}.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O.

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

academyege.ru