Извлечение квадратного корня «вручную». Метод Герона.

Метод Герона

        Для начала давайте научимся вычислять квадратный корень (т.е. решать простейшие квадратные уравнения) с помощью арифметических действий. Метод, который мы изложим, был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Герон жил в I веке н.э. и описал в своих книгах закон отражения света, формулу вычисления площади треугольника по трём сторонам, многочисленные механизмы. Интересно, что и в наше время метод Герона используется некоторых вычислительных машинах (может быть, и в вашем калькуляторе!). Обратимся к тексту самого Герона. Он объясняет свой метод на примере: пусть надо найти корень из 720.

Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем корень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как ближайший к 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, то раздели 720 на 27. Получается .

. Разделим результат на 2, получим . Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим . Погрешность составляет 1/36 единицы. Но при желании погрешность может быть и меньшей. Для уменьшения величины погрешности процедуру следует проделать ещё и ещё раз с вновь полученой величиной. В нашем случае с числом .

В этом тексте Герона содержатся три идеи:

1) как выбирать начальное приближение;
2) как производить уточнение;
3) процесс можно повторять (итерировать).

        Начнём со второй идеи. Пусть нам надо вычислить . Если выбранное нами приближение x

0 меньше истинного значения корня, то число — больше, и наоборот.
Поэтому их полусумма будет ближе к искомому корню, чем . Обозначим её за .

      Теперь третья идея: если полученной точности нам недостаточно, то можно повторить весь процесс уточнения, начиная уже с величины :            .
     Уточнения можно повторять и дальше, пока мы не достигнем нужной точности. Видим, что для достижения результата нужно проводить вычисления по одной и той же формуле. Такие однотипные вычисления называются итерациями. Если значение корня стремится к некоторому числу , то говорят, что итерационный процесс сходится к числу .

     Наконец, первая идея: Герон предлагает выбирать в качестве число с ближайшим к a квадратом. Но его можно выбирать и из каких-то других соображений. Более того, если вы выбрали x₀>0 неудачно — далеко от корня, то процесс всё равно будет сходиться к корню, только потребуется больше шагов.

Замечательное замечание.  Не трудно придумать аналог метода Герона для поиска кубических корней числа:

.

Итерационная формула Герона — это… Что такое Итерационная формула Герона?

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

,

где a — фиксированное положительное число, а — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе быстро сходится к величине (квадратный корень из числа), то есть

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения .

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно, одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• http://www.mathpages.com/home/kmath290.htm
• http://books.google.ru/books?id=raKRY3KQspsC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=heron+formula

Итерационная формула Герона — Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

xn+1=12 (xn+axn) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ },

где a — фиксированное положительное число, а x1{\displaystyle x_{1}} — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x1{\displaystyle x_{1}} быстро сходится к величине a{\displaystyle {\sqrt {a}}} (квадратный корень из числа), то есть

limn→∞xn=a{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a−x2=0{\displaystyle a-x^{2}=0}.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения 25{\displaystyle {\sqrt {25}}} будет значение 3.

n	xn{\displaystyle x_{n}}	xn+1=12 (xn+axn) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }	Приблизительное значение xn+1{\displaystyle x_{n+1}}
1	3	12 (3+253) {\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\ }	12 (3+8.33)=12⋅11.33≈5.67{\displaystyle {\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67}
2	5.67	12 (5.67+255.67) {\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\ }	12 (5.67+4.41)=12⋅10.08=5.04{\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04}
3	5.04	12 (5.04+255.04) {\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\ }	12 (5.04+4.96)=12⋅10=5{\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}
4	5	12 (5+255) {\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\ }	12 (5+5)=12⋅10=5{\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• http://www.mathpages.com/home/kmath290.htm
• https://books.google.ru/books?id=raKRY3KQspsC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=heron+formula

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

Итерационная формула Герона — Википедия. Что такое Итерационная формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

xn+1=12 (xn+axn) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ },

где a — фиксированное положительное число, а x1{\displaystyle x_{1}} — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x1{\displaystyle x_{1}} быстро сходится к величине a{\displaystyle {\sqrt {a}}} (квадратный корень из числа), то есть

limn→∞xn=a{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a−x2=0{\displaystyle a-x^{2}=0}.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения 25{\displaystyle {\sqrt {25}}} будет значение 3.

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

Итерационная формула Герона Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

xn+1=12 (xn+axn) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ },

где a — фиксированное положительное число, а x1{\displaystyle x_{1}} — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x1{\displaystyle x_{1}} быстро сходится к величине a{\displaystyle {\sqrt {a}}} (квадратный корень из числа), то есть

limn→∞xn=a{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a−x2=0{\displaystyle a-x^{2}=0}.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения 25{\displaystyle {\sqrt {25}}} будет значение 3.

n	xn{\displaystyle x_{n}}	xn+1=12 (xn+axn) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }	Приблизительное значение xn+1

Герон — Википедия

Герон Александрийский
др.-греч. Ήρων ο Αλεξανδρεύς
Дата рождения	прибл. 10[1]
Место рождения
Дата смерти	прибл. 75[2]
Место смерти
Научная сфера	геометрия, механика, инженерное дело, геодезия, оптика и математика
Медиафайлы на Викискладе

Геро́н Александри́йский (др.-греч. Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς) — греческий математик и механик.

Время жизни отнесено ко второй половине I века н. э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н. э. Подробности его жизни неизвестны.

Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства: вал со штырьками с намотанной на него верёвкой.^[4]

Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: «Метрика», «Пневматика», «Автоматопоэтика», «Механика» (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), «Катоптрика» (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака.

Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке). Одна из копий его книг, сделанная в XVI веке, содержится в Оксфордском Университете.

В средние века многие из его изобретений были отвергнуты, забыты или не представляли практического интереса.

Механика[править | править код]

Паровая турбина Герона

В трактате «Механика» (Μηχανική), состоящем из трёх книг, Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. Герон установил «золотое правило механики», согласно которому выигрыш в силе при использовании простых механизмов сопровождается потерей в расстоянии.

В трактате «Пневматика» (Πνευματικά) Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. На иллюстрации представлен эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара. Также Герон изобрёл автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В книге «Об автоматах» (Αυτόματα) также описаны различные автоматические устройства.

В трактате «Беллопоэтика» (Βελοποιητικά) Герон описал различные военные метательные машины.

Геодезия[править | править код]

В книге «О диоптре» (Περὶ διόπτρας) описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Этот прибор представляет собой линейку с двумя смотровыми отверстиями, которую можно поворачивать в горизонтальной плоскости и при помощи которой можно визировать углы.

Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В предложении 15 описывается, как строится геодезическое обоснование при прокладке тоннеля сквозь гору, когда работы ведутся одновременно с обоих его концов.

В предложении 34 описан одометр — прибор для измерения расстояния, пройденного повозкой. В предложении 38 описывается сходное устройство, позволяющее определять расстояние, пройденное кораблём.

Оптика[править | править код]

В «Катоптрике» (κατοπτρικά) Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Он приводит доказательство закона отражения, основанное на предположении о том, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных (частный случай принципа Ферма). Исходя из этого принципа, Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.

Математика[править | править код]

«Метрика» (Μετρική) Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

В основном изложение в математических трудах Герона догматично: правила часто не выводятся, а только показываются на примерах.

Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

Годы жизни Герона в XX веке стали предметом дискуссии. Согласно античным источникам, он жил после Архимеда, но перед Паппом, то есть где-то между 200 годом до н. э. и 300 годом н. э. Некоторые историки XVIII—XIX веков указывали более конкретные даты в этом интервале, например, Бальди помещает Герона под 120 годом до н. э.

[5], а в ЭСБЕ указан год рождения Герона — 155 год до н. э.^[6].

В 1938 году Отто Нойгебауэр предположил, что Герон жил в I веке н. э. Это предположение было основано на том, что в его книге «О диоптре» упоминается лунное затмение, которое было замечено за 10 дней до весеннего равноденствия. Его указание, что оно произошло в Александрии в 5 часов ночи, однозначно указывает в интервале между 200 до н. э. и 300 н. э. на лунное затмение от 13 марта 62 года (юлианская дата). В последнее время датировка Нойгебауера была подвергнута критике Натаном Сидоли (Nathan Sidoli)^[7].

• мультфильм «Герон», 1979 год, «Экран».

• документальный фильм «Древние открытия: удивительные машины. Герон Александрийский».
• Технологии древних цивилизаций. Герон Александрийский. Серия 1, эпизод 3] History Channel, 2003.

В 1976 г. Международный астрономический союз присвоил имя Герона кратеру на обратной стороне Луны.

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 425-426.
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.
• Гаврильчик М. В., Смирнова Г. С. Задачи неопределённого анализа у Герона Александрийского. Историко-математические исследования, 6(41), 2001, с. 319—329.
• Дильс Г. Античная техника. М.-Л.: ГТТИ, 1934.
• Зверкина Г. А. О трактате Герона Александрийского «О диоптре». Историко-математические исследования, 6(41), 2001, с. 330—346.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Зворыкин А.А., Осьмова Н.И., Чернышев В.И., Шухардин С.В. История техники. — М.: Наука, 1962. С.58.
• Храмов Ю. А. Герон Александрийский (Heronus Alexandrinus) // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и дополн. —
  М.: Наука, 1983. — С. 81. — 400 с. — 200 000 экз. (в пер.)
• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. М., 1883 г. Гл. 1, n. 16 в Викитеке.
• Щетников А. И. Формула Герона: читаем древний математический текст // Математика. — 2006. — № 20 (610). — С. 27—28.
• Bruins E. M. The icosahedron from Heron to Pappus. Janus, 46, 1957, p. 173—183.
• Curchin L., Herz-Fishler R. Hero of Alexandria’s numerical treatment of division in extreme and mean ratio and its applications. Phoenix, 35, 1981, p. 129—133.
• Drachmann A. G. Ktesibios, Philon, and Heron, a study in ancient pneumatics. Copenhagen: Munksgaard, 1948.
• Drachmann A. G. Heron and Ptolemaios. Centaurus, 1, 1950, p. 117—131.
• Drachmann A. G. Fragments from Archimedes in Heron’s Mechanics. Centaurus, 8, 1963, p. 91-146.
• Keyser P. A new look at Heron’s «steam engine». Archive for History of Exact Sciences, 44, 1992, p. 107—124.
• Smyly J. G. Square roots in Heron of Alexandria. Hermathena, 63, 1944, p. 18-26.

Итерационная формула Герона — Википедия (с комментариями)

Ты — не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: «Истинное обустройство мира».
http://noslave.org

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете [http://o-ili-v.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0&action=edit отредактировать] эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.

[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.)]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.)]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.)]]Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.Итерационная формула ГеронаОшибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.Итерационная формула ГеронаОшибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.Итерационная формула ГеронаИтерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ ,

где a — фиксированное положительное число, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_1  — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_1 быстро сходится к величине Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{a} (квадратный корень из числа), то есть

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a — x^2 = 0 .

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{25} будет значение 3.

n	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_n	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\	Приблизительное значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_{n+1}
1	3	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67
2	5.67	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04
3	5.04	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5
4	5	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Напишите отзыв о статье «Итерационная формула Герона»

Литература

• http://www.mathpages.com/home/kmath290.htm
• http://books.google.ru/books?id=raKRY3KQspsC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=heron+formula

Отрывок, характеризующий Итерационная формула Герона

Вот так тихо-мирно «беседуя» с дедушкой, я совершенно не заметила, как та же самая миниатюрная старушка подошла ко мне и села рядышком на небольшой пенёк. Как долго она со мной так просидела – не знаю. Но когда я вернулась в «нормальную реальность», то увидела ласково смотревшие на меня лучистые, совсем не старческие, голубые глаза, которые будто спрашивали, не нужна ли мне какая-то помощь…
– Ой, простите меня, бабушка, я и не заметила когда вы подошли! – сильно смутившись, сказала я.
Обычно ко мне трудно было подойди незамеченным – всегда срабатывало какое-то внутреннее чувство самозащиты. Но от этой тёплой, милой старушки исходило такое безграничное добро, что видимо, все мои «защитные инстинкты» затормозились…
– Вот разговариваю с дедушкой… – смущённо проговорила я.
– А ты не стыдись, милая, – покачала головой старушка, – у тебя душа-дарительница, это счастье большое и редкое. Не стыдись.
Я смотрела во все глаза на эту щупленькую и очень необычную старушку, совершенно не понимая, о чём она говорит, но почему-то чувствуя абсолютное и полное к ней доверие. Она подсела рядышком, ласково обняла меня своей, по-старчески сухой, но очень тёплой рукой и неожиданно очень светло улыбнулась:
– Ты не волнуйся, милая, всё будет хорошо. Только не торопись узнать на всё ответы… для тебя это ещё слишком рано, потому что, для того, чтобы получить ответы, сперва ты должна знать правильные вопросы… А они, пока что, у тебя ещё не созрели…
Только через много лет мне удалось понять, что по-настоящему хотела сказать эта странная мудрая старушка. Но тогда я лишь очень внимательно её слушала, стараясь запомнить каждое слово, чтобы позже ещё не один раз «прокрутить» в своей памяти всё непонятое (но, как я чувствовала – очень для меня важное) и постараться уловить хотя бы крупицы того, что могло бы мне помочь в моём вечно продолжавшимся «поиске»…