Математические методы исследования

Суть и определение математических методов исследования экономики

Определение 1

Экономико-математическое моделирование — это концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения управляемой системы в математической форме.

На сегодняшний день существует целый ряд видов и модификаций методов экономико-математического моделирования. В системе управления инновационным развитием промышленного предприятия применяется значительное их количество. Рассмотрим основные классификационные подходы к методам моделирования.

По отрасли и целью использования методы экономико-математического моделирования различают на:

1. теоретико-аналитические — анализируют общие свойства и закономерности;
2. прикладные — применяются при решении конкретных экономических задач анализа и управления.

Готовые работы на аналогичную тему

Классификация методов моделирования

По типу подхода к социально-экономическим системам: дескриптивные модели — предназначены для описания и объяснения явлений, которые фактически наблюдаемых или для прогноза этих явлений; нормативные модели — показывает развитие экономической системы в разрезе влияния определенных критериев.

По способу отражения реальных объектов: функциональные модели — субъект моделирования пытается достичь сходства модели и оригинала только в понимании того, что они выполняют те же функции; структурные модели — субъект моделирования пытается воссоздать внутреннюю построение моделируемой, и за счет более точного отображения структуры получить более точное отображение функции.

По учету фактора времени: статические модели — все зависимости относятся к одному моменту времени; динамические модели — описывают экономические системы в развитии. По типу используемой в модели: аналитические модели — задаются на основе априорной информации, строятся с учетом существующих закономерностей, записанных в формально-теоретическом виде; модели, идентифицируются — построены на результатах наблюдений за объектами.

По ступеням использования типовых элементов: модели с фиксированной структурой — процесс моделирования сводится к подбору и настройке значений параметров типовых блоков; модели с переменной структурой — структура модели создается при моделировании и не является типичной.

По характеристике математических объектов, включенных в модели (особенности каждого вида обусловлены типом математического аппарата, используемого в модели): матричные модели; структурные модели; сетевые модели; модели линейного и нелинейного программирования; факторные модели; комбинированные; модели теории игр и т.д.

По способу представления или описания модели: модели, представленные в аналитической форме — модели подаются на языке математики; модели, представленные в виде алгоритма — реализуются численно или с помощью программного обеспечения; имитационные модели — численная реализация соотношений, составляющих модель, осуществляется без предварительных преобразований, в процессе имитации алгоритм расчетов воспроизводит логику функционирования объекта-оригинала.

По ожидаемым результатом: модели, в которых минимизируются затраты — ожидаемый конечный результат опирается на минимизацию затрат; модели, в которых минимизируется конечный результат — модели, в которых целью поставлено уменьшение показателей, характеризующих объект исследования (если эти показатели направлены до максимума) или увеличить значение показателей (если эти показатели направлены в минимизации).

Место математических методов исследования в управлении предприятием

При изучении методов экономико-математического моделирования в разрезе прогнозирования инновационного развития промышленных предприятий возникает необходимость их адаптации к реальным экономическим условиям современности, выдвигает рыночную среду и основы стратегического маркетингового управления. Так, формализованные методы прогнозирования целесообразно сочетать с аналитическими методами, которые могут качественно охватить всю проблематику рыночной среды.

Замечание 1

Экономико-математические модели оптимизации включают одну целевую функцию, формализует критерий оптимальности, по которому среди допустимых планов выбирается наилучший, а ограничения по переменных определяют множество допустимых планов.

Так, составным элементом текущего плана предприятия является план производства или производственная программа, включает систему плановых показателей производства по объему, ассортименту и качеству продукции. Ведь важным этапом разработки производственной программы является формирование оптимальной структуры портфеля продукции предполагает определение такого объема, номенклатуры и ассортимента продукции, которые бы обеспечили предприятию эффективное использование имеющихся ресурсов и получения удовлетворительного финансового результата.

Утверждение портфеля продукции и ресурсов на ее изготовление происходит благодаря применению экономико-математических методов, к которым предъявляются определенные требования. Прежде всего, они должны быть тождественными внешним условиям рынка, а также учитывать разнообразие путей достижения главной цели предприятия — максимизации прибыли.

Методы математического анализа — Энциклопедия по экономике

Прежде чем применить методы математического анализа для вычисления параметров уравнения тренда, необходимо выявить тип тенденции, а эта задача не является чисто математической. Наличие колебаний уровней крайне усложняет выявление типа тенденции и требует всестороннего подхода к этой проблеме, прежде всего качественного изучения характера развития объекта. При этом нужно дать ответ на такие вопросы  [c.321]

Методы математического анализа Дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление и др.  [c.430]

Решение этого комплекса задач осуществляется на единой математической основе. Помимо сетевых моделей при расчете календарно-плановых нормативов использованы методы математического анализа, комбинаторно-эвристические процедуры и теория математической статистики.  [c.45]

Данная глава посвящена моделированию фактического распределения сделок с помощью регулируемого распределения, то есть поиску функции и ее подходящих параметров, которые моделируют фактическую функцию плотности вероятности торговых P L с двумя точками перегиба. Вы можете использовать уже известные функции и методы, например, полиномиальную интерполяцию или экстраполяцию, интерполяцию и экстраполяцию рациональной функции (частные многочленов), или использовать сплайн-интерполяцию. После того как теоретическая функция найдена, можно определить ассоциированные вероятности тем же методом расчета интеграла, который использовался при поиске ассоциированных вероятностей регулируемого распределения, или рассчитать интеграл с помощью методов математического анализа.

Одна из целей этой книги — позволить трейдерам, использующим немеханические системы, применять те же методы управления счетом, что и трейдерам, использующим механические системы. Регулируемое распределение требует расчета параметров, они относятся к первым четырем моментам распределения. Именно эти моменты — расположение, масштаб, асимметрия и эксцесс — описывают распределение. Таким образом, кто-либо, торгующий по немеханическому методу, например по волнам Эллиотта,  [c.141]

Первоначально, когда еще в природе не существовало компьютерной техники, а методы математического анализа в силу сложности расчетов никто не пытался применить для анализа динамики цен, трейдеры вручную, используя лишь логарифмические линейки, рисовали графики, на которых откладывали прямые линии. Позже были найдены закономерности в соотношении этих линий и графиков цен. Так возникли трендовые линии, модели и фигуры.  [c.35]

Исторически классический технический анализ развивался следующим образом. Первоначально, когда еще в природе не существовало компьютерной техники, а методы математического анализа в силу сложности расчетов никто не пытался применять для анализа динамики цен, трейдеры вручную, ис-  [c.243]

Методы математического анализа  [c.140]

Использование методов математического анализа для управления производством сводится в основном к отысканию максимумов (или минимумов) различных функциональных зависимостей, которые имеются на предприятии. Если имеется функциональная зависимость общего вида у=-рО ), то точка экстремума должна удовлетворять условию g — 0. Иными словами, необходимо сначала продифференцировать функцию, затем приравнять ее к нулю, затем определить соответствующее значение х. Например, имеем зависимость  [c.140]

Следует помнить, что если функция имеет несколько минимумов или максимумов, то методы математического,. анализа не дают гарантии нахождения самой максимальной или самой минимальной точки.  [c.141]

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.  [c.14]

Наличие функциональных зависимостей социально-экономических явлений позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. Поэтому необходимо познакомиться с ними. Это знакомство мы начнем со способов задания функции.  [c.22]

Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента  [c.94]

В последнее время стали применяться методы математического анализа работы энергосистем на электронно-счетных машинах. Такой анализ в первую очередь производится в объединенных и крупных энергосистемах и позволяет выявить резервы дальнейшего снижения себестоимости энергии.  [c.405]

Иными словами, методика программирования — это одна из глав прикладной математики. Другими главами являются методика применения теории вероятностей, теория сложных систем, теория численных методов математического анализа, методика решения некорректно поставленных задач 7 и многие другие.  [c.5]

Буржуазным экономистам нельзя верить ни в одном слове, раз речь заходит об общей теории политической экономии 2. Исследования буржуазных ученых могут представлять определенный интерес лишь со стороны использования статистических материалов, некоторых методов математического анализа, данных отраслевых и специальных экономик о технико-экономических сдвигах в хозяйстве.  [c.541]

Еще до официального признания в рамках государственной политики необходимости перехода от планово-распределительной системы с командно-административными принципами управления к рыночным отношениям было известно, что дать полное формализованное описание системы управления для сложных систем практически невозможно. Причиной этому являются протекающие в управляемой системе (или внешней для нее среде) процессы, при описании которых не удается воспользоваться информацией об их внутренней структуре или принципах формирования, а также недоступность информации и чрезмерные затраты на ее получение. Это особенно характерно для рыночной экономики и при ее формировании. Поэтому в настоящей работе наибольшее внимание уделено методикам, которые позволяют принимать и обосновывать решения при неопределенности экономических данных и ситуаций, недостатке фактической информации об окружающей среде, ее перспективах, что вызывает наибольшие затруднения у специалистов в условиях рыночных отношений. Это вариантные методы математического анализа возможных линий поведения и связанных с ними исходов. Среди них в настоящей главе рассмотрены теория игр, разновидность имитационной модели, теория графов, эвристические методы при использовании методов экспертных оценок, теория вероятностей в сочетании с другими методами. В составе аналитических расчетов задействованы также приемы факторного анализа, балансовых методов и др.  [c.55]

Применяя методы математического анализа и математической статистики, можно заранее рассчитать репрезентативность выборки информации и ее соответствие генеральной совокупности.  [c.546]

Многообразие и сложность проблемы пропорций нашли свое отражение в различных подходах к исследуемой проблеме. Большинство авторов используют в работе метод математического анализа, иногда полностью отвлекаясь от назначения изделия, законов формирования его материальной структуры. Этот метод позволяет выявить наличие пропорций, но не объясняет, к сожалению, как и почему применена именно эта пропорция и какой художественный эффект при этом был достигнут. Отсюда ограниченность математических методов и ошибочность вывода о том, что достаточно установить строгую пропорциональность, как сразу изделие приобретает гармоничную завершенность и эстетическую выразительность.  [c.190]

Вывод. Для проведения сравнительной оценки семи предприятий использовано пять оценочных показателей. Расчеты, проведенные с использованием метода математического анализа, показали, что более точное распределение мест дал метод Дельфи, где учтена значимость показателей, используемых для сравнительной оценки предприятий.  [c.288]

Обработка прогнозных данных не требует от риск-менеджера фундаментальных знаний различных методов математического анализа. Это позволит оптимизировать структуру подразделения по управлению риском предприятия, распределив нагрузку между специалистами различного профиля (финансистами, математиками, юристами), и оптимизировать затраты на содержание данного подразделения.  [c.581]

Математический анализ. Математический анализ подразумевает вычисление теоретических ранних и поздних дат начала и завершения всех работ проекта без учета ограничений со стороны набора ресурсов. В результате получается не расписание, а скорее показатель количества временных периодов, в рамках которых работа должна быть запланирована с данными ресурсами и прочими известными ограничениями. Наиболее известны следующие методы математического анализа  [c.73]

Кроме балансового в плановой работе используются и другие методы экономического анализа и синтеза, прямого счета, расчета по факторам, экстраполяции и итерации, экономико-математические методы (линейного программирования, динамического программирования, матричный и др.), метод экономико-математического моделирования.  [c.72]

При современных масштабах производства эффективная работа по плановому руководству отдельными предприятиями и отраслью немыслима без широкого внедрения математических методов в анализ и планирование и без электронно-вычислительной техники. В настоящее время ведутся исследования и разрабатывается теория планирования, в основе которой лежат балансовый метод, метод моделирования и метод выбора оптимального варианта производственной программы. В частности, благоприятные перспективы имеет матричный (балансовый) метод планирования деятельности предприятий, основанный на применении матричной алгебры.  [c.129]

Курс Оценка стоимости предприятия (бизнеса) имеет связь с такими дисциплинами, как «Теория и практика оценочной деятельности», «Правовые основы оценочной деятельности», «Математические методы оценки» » Анализ финансовой отчетности», «Бухгалтерский учет», «Микро и макроэкономика», «Бизнес-планирование».  [c.311]

Критерии и способы оценки сравнительной экономической эффективности проектов детально излагаются в главе 5. Однако вопросы, рассматриваемые на стадии ТЭО, настолько широки и разноплановы, что одних экономических критериев здесь явно недостаточно. Формальные методы математической оптимизации здесь играют подчиненную роль. А главное внимание обращено на творческую проработку ft анализ имеющихся альтернатив. Оценку их эффективности дают с помощью целой группы экономических, социальных, экологических, технико-технологических, а нередко — и международных аспектов. Наиболее удачный вариант проектных решений принимают к осуществлению и утверждают в виде «Технического задания на разработку проекта строительства предприятия» (ТЗ).  [c.55]

Кроме метода элиминирования, для определения характера и степени зависимости технико-экономических показателей от различных факторов в процессе анализа используют методы математической статистики, в частности, корреляционный метод, требующий современные средства вычислительной техники.  [c.389]

Чем удачнее подобрана модель, тем точнее она отражает характерные черты анализируемого процесса, тем достовернее полученные результаты. К построению моделей подходят по-разному используют методы математического программирования (линейное, динамичное, выпуклое, стохастическое), сетевого и матричного планирования, математической статистики (дисперсионный и регрессионный анализы, группировка совокупностей по статистическим критериям) и т.д.  [c.33]

При анализе фактических и расчетных показателей эффективности организационно-технических мероприятий обычно применяют методы математической статистики (уравнения корреляции, дисперсионный анализ, теорию вероятностей, законы больших чисел, метод полного факторного анализа, метод наименьших квадратов, математической обработки динамических рядов и т. д.). Следует иметь в виду, что математические методы и ЭВМ следует использовать при качественном анализе основных критериев и показателей эффективностей, выявлении взаимообусловленных связей и зависимостей.  [c.98]

В связи с различиями в структурности проблем в планировании существуют различные методы разработки и обоснования оптимальности планов. К ним относятся методы экономического анализа балансовый технико-экономических расчетов, системного анализа, экономико-математические методы, экспертные (оценочные).  [c.143]

В последнее время особое значение придается применению различных экономико-математических методов для анализа показателей, характеризующих развитие экономики, в том числе для анализа себестоимости.  [c.23]

Одновременно с этим методом в нефтяной промышленности применим метод индексного анализа себестоимости, а также трансцендентная кинетическая производственная функция как экономико-математическая модель [28]. Одним из главных условий получения хороших результатов является правильный выбор исходных статистических показателей, от которых зависит в значительной степени точность расчетов.  [c.23]

При наличии такого согласованного набора показателей нашей небольшой группе уже не нужно было разводить долгих философских дискуссий о том, к какому из характерных регионов США следует отнести тот или иной город, или о том, что в таком-то районе экономика вообще развита хорошо, и поэтому наши продажи должны здесь пойти вверх. Подобные обсуждения заменил математический анализ. Членам группы оставалось только сравнить коэффициент эффективности любого города с показателями других городов и с наличием или отсутствием маркетинговой активности в этих городах. Самое главное, они получили метод экстраполяции потенциального объема продаж в таких городах, где до сих пор никаких маркетинговых мероприятий еще не проводилось. В результате оказалось, что многие небольшие города имеют весьма неплохие перспективы.  [c.47]

В число основных традиционных способов и приемов экономического анализа входят исчисление относительных и средних величин сравнение группировка индексный метод метод цепных подстановок балансовый метод. К математическим методам экономического анализа можно  [c.14]

Для решения данной задачи использованы методы математической статистики, в частности, корреляционно-регрессионный анализ.  [c.104]

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся отдельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.  [c.98]

Ряд экономических задач в области проектирования и эксплуатации оборудования, используемого в газоразделении, может с успехом решаться обычными методами классического анализа (выбор оптимальной толщины изоляции, оценка сравнительной экономической эффективности различных типов теп-лообменных аппаратов, выбор оптимального размера предприятий и пр.). Приведем пример использования метода математического анализа при решении экономической задачи (выбор оптимальной толщины изоляции агрегатов глубокого охлаждения).  [c.198]

С начала XX в. в учебных курсах микроэкономического анализа изме] лось и понимание метода экономической теории. Менялись и взгляды методику ее преподавания. В 40—50-е гг. главной задачей преподавания с ло внедрение методов математического анализа. Об этом свидетельствует ник Гарвардского университета, написанный Дж. Хендерсоном и Р Кн н том в 1958 г. Он был высоко оценен такими выдающимися исследователя как Э. Хансен, У. Баумоль, Э. Чемберлин. Вучебнике излагается куре мик экономического анализа для неэкономических специальностей, полност переложенный на язык математики. Повсеместное внедрение математик ких методов как в научные исследования, так и в изложение учебного мл» риала, позволило более строго и стройно изложить основные теоретическ положения, проверить теоретические системы навнутреннююлогику, обл чило проверку теорий с помощью статистических данных.  [c.362]

Целевая функция / может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа.  [c.84]

Неоптимизационные точные методы элементарной математики классические методы математического анализа эконометричес-кие методы.  [c.219]

В прогнозировании можно идти двумя путями. Первый — попытаться причинно-следственный механизм, т.е. найти факторы, опреде-поведение прогнозируемого показателя, прогноз по которым либо известен, либо его дать несложно. Этот путь приводит к экономико-математическому моделированию, построению модели поведения экономического объекта. В настоящее время данный путь широко используется при прогнозировании природопользования. Второй путь — не вдаваясь в механику движения, попытаться предсказать будущее положение, анали-временной ряд изолированно. В современной практике прогнозиро-природопользования такие методы изолированного анализа и про-почти не применяются, но преимущество этих методов диктует необходимость их более широкого применения.  [c.31]

Из различных возможных направлений развития отрасли необходимо отобрать наилучшие с учетом имеющихся возможностей. С этой целью составленные прогнозы подвергают тщательному анализу. Значительное количество неопределенностей обусловли-ваег вероятностный характер прогнозов. В случае, если предвидение будущего выполняется с помощью статистических методов, вероятность осуществления прогноза определяется с помощью методов математической статистики. На основе статистических методов находят верхнюю и нижнюю границы значения прогнозируемых параметров (например, производительность труда, себестоимость продукции).  [c.90]

Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных

Наследов А. Д. «Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных». СПб.: Речь, 2006. 2-е изд., испр. и доп.

Актуальность. Использование математических методов — непременное условие проведения большинства психологических исследований в наши дни. Данная книга помогает специалистам, не имеющим основательной математической подготовки, представить результаты своей работы в виде, максимально отвечающем требованиям современной психологической науки.

Социальная, научная и практическая значимость. «Исследование в любой области, в том числе и в психологии, предполагает получение результатов — обычно в виде чисел. Однако просто собрать данные недостаточно. Даже объективно и корректно собранные данные ничего не говорят. Исследователю необходимо умение организовать их, обработать и проинтерпретировать, что невозможно без применения математических методов. Конечно, можно сослаться на наличие современных компьютерных программ, применение которых сейчас становится нормой для исследователя. Но любая программа обработки данных переводит один набор чисел в другой набор чисел. При этом предлагается богатый набор способов такого преобразования, замечательным образом расширяющий возможности анализа данных. И для использования этих возможностей психолог должен уметь: а) организовать исследование так, чтобы его результаты были доступны обработке в соответствии с проблемами исследования; б) правильно выбрать метод обработки; в) содержательно интерпретировать результаты обработки. Эти умения не заменят ни компьютерная программа, ни «живой» математик — ее создатель. Таким образом, применение математики как общенаучного метода, наряду с экспериментом, неизбежно приобретает в психологии свои особенности, связанные со спецификой предмета. Неотъемлемой частью подготовки полноценного специалиста-психолога является изучение не только экспериментальной психологии, но и математических методов психологического исследования». Книга рекомендована Ученым советом факультета психологии СПбГУ к использованию в качестве учебного пособия.

Значение для развития психологии. «…Психология в любых ее приложениях — и практических, и теоретических, может развиваться только на основе количественных исследований, связывающих теорию и практику с фактами».

Цели. «Жанр книги по первоначальному замыслу — учебное пособие для студентов факультета психологии. Но в процессе работы над книгой источником идей являлась не только практика преподавания, но и опыт участия в многочисленных исследованиях в роли руководителя или консультанта. В итоге появились основания надеяться, что книга станет не только учебником для студентов, но будет полезна для широкого круга исследователей — как справочник и практическое руководство по анализу и интерпретации данных. Справочному назначению книги способствует предметный указатель и англо-русский терминологический словарь, а практическое руководство воплощено в пошаговых инструкциях по применению каждого из методов. Назначение книги — формирование умений самостоятельно анализировать и, главное, интерпретировать эмпирические данные — результаты исследований».

Аудитория, на которую рассчитан проект. Книга полезна для самых разных групп читателей: для начинающих психологов, для студентов-выпускников психологических и педагогических специальностей, для психологов-исследователей, для преподавателей психологии, читающих соответствующие курсы или руководящих дипломными и диссертационными проектами.

Основное содержание работы (или ее этапы). «Структура книги соответствует стремлению представить множество математических методов в виде упорядоченной, логически и иерархически взаимосвязанной системы. Во вступлении дано общее описание этой системы и ее частей (модели измерения, описания и статистического вывода). Основной материал книги изложен в трех частях. В первой части даны элементарные основы применения математических методов. Ее назначение — подготовка читателя к восприятию основного материала книги. Этому способствуют задачи и упражнения в конце глав. Вторая часть включает в себя детальное описание основных методов статистического вывода. Их изложение предваряется классификацией, которая позволяет выбрать метод в зависимости от исследовательской ситуации — от исходных данных и задач исследования. При изложении каждого метода особое внимание уделяется границам его применения, возможным альтернативам, технике вычислений («вручную» и на компьютере), особенностям интерпретации результатов. Третья часть содержит описание самых распространенных многомерных методов. Применение этих методов возможно только с использованием специальных компьютерных программ. Поэтому их математические основы и порядок вычислений даются лишь в самых общих чертах, а основное внимание уделяется назначению, содержательной интерпретации результатов и, конечно, компьютерной обработке».

Результаты, выводы. С конца XIX века «возможность применения математических методов в психологии перестает вызывать сомнения. Но вопрос о необходимости их применения до сих пор вызывает дискуссии. Между тем, проблема может быть решена признанием того, что психология — это и наука и искусство. Действительно, искусству практического консультирования или терапии вряд ли необходимо математическое обеспечение. Другое дело область познания, в том числе — того, что лежит в основе различных практических приемов. И здесь уже недостаточно обыденного понимания на уровне здравого смысла, необходим особый инструмент — научный метод, опирающийся на «количественные определения»». «…Необходимо помнить, что качество любого исследования определяется прежде всего соответствием исходных данных той реальности, которая является предметом изучения. Если исследователь понимает, какое отношение имеют его данные к действительности (что они отражают), если он уверен в соответствии данных тому, что изучается, и способен это обосновать, то … Ответы на остальные вопросы исследования читатели найдут в этой книге».

НАСЛЕДОВ АНДРЕЙ ДМИТРИЕВИЧ — СПбГУ, ф-т психологии, доцент кафедры педагогики и педагогической психологии, канд. психол. наук «Психологические особенности технически-опосредованного педагогического общения»

Математическое моделирование и вычислительная математика

April 10, 2017 9:16am

Математик Александр Шапеев о методах оптимизации, численном оценивании неопределенностей и быстрых алгоритмах решения

---

Что такое моделирование? Моделирование — это создание модели, то есть отражения реальности, более простого, чем реальность. Либо это упрощение другой, более сложной модели: моделью человека может быть рисунок человека, может быть манекен, может быть мышь. Разные модели в разных случаях могут быть более или менее полезны. Например, если дизайнер сделал новый пиджак и хочет понять, хорош он или плох, он использует манекен в качестве модели человека. Если биолог проверяет новое лекарство, то он использует мышь как первую модель человека. Это примеры нематематических моделей. Интересующей нас математической моделью будет либо трехмерная геометрия человека, если речь идет о дизайне одежды, либо дифференциальные уравнения, которые будут описывать эволюцию концентрации лекарства в организме человека или мыши. 

С моей точки зрения, человеком, внесшим наибольший вклад в математическое моделирование, был сэр Исаак Ньютон. Он предложил первые модели, которые используются до сих пор и которые похожи на математические модели, используемые сейчас в науке. Например, известные законы движения, когда Ньютон сказал, что, моделируя любое тело как точку, имеющую массу, мы можем посчитать ускорение, если мы знаем силу, которая действует на эту точку. Зная ускорение, мы знаем скорость; зная скорость, мы можем посчитать траекторию. Это были математические модели, очень похожие на те, которые мы используем сейчас. В молекулярном моделировании мы решаем те же самые уравнения Ньютона, которые были придуманы почти 400 лет назад. Также Ньютон придумал математический аппарат, дифференциальные уравнения и описание всех этих явлений гладкими функциями.

Давайте рассмотрим пример моделирования упругого материала ― возьмем линейку. Если мы можем сделать модель линейки, мы надавливаем на нее, и тогда линейка будет отклоняться, мы можем предсказывать форму отклонения этой линейки. Линейка описывается обычной функцией отклонения ее от вертикального положения. При этом, если подумать, модель дифференциального уравнения есть упрощение реальности, хотя первокурсники, возможно, со мной не согласятся. Но если мы рассмотрим пластиковую линейку, то она состоит из органических полимеров ― цепочек углерода, водорода, связанных между собой ковалентными связями, и это очень сложно описать. Зато очень просто описать линейку как непрерывную функцию. При этом линейку из любого материала мы можем описывать теми же самыми уравнениями. В линейке из стали металлические связи, ее структура совершенно другая, но описывается она теми же уравнениями упругости.

После того как мы написали уравнения, мы написали модель, и на этом наша задача математического моделирования выполнена. Если это простые уравнения, мы их можем решить и точно сказать, что формой линейки будет либо парабола, либо полином третьей степени. Но когда это более сложная система (мост), на нем случайным образом расположены машины, мы уже не можем точно написать формулу, какая у этого моста будет упругая деформация. Но мы все равно хотим предсказать, упадет мост или нет, и это делали еще за 100 лет до возникновения компьютеров. Это делали средствами математического анализа, то есть выписывались уравнения, мы их не могли решить, но доказывали свойства про решение этого уравнения ― например, что напряжения в мосте будут меньше пороговых значений.

Пятьдесят лет назад, когда появились первые вычислительные машины, правила игры поменялись. Теперь уравнения, эти математические модели мы можем решать на компьютере, и это дает нам огромные преимущества. Мы можем очень быстро решать для какого-то дизайна моста, какие в нем будут напряжения, и делать выводы о том, хороший это дизайн или плохой.

Вернемся к простой модели линейки. Если в математической модели она описывается непрерывной функцией, то в компьютере — системой точек и отрезков между ними. При этом точки оказывают сопротивление изгибам отрезков, за счет чего моделируется упругое сопротивление материала. Когда мы дискретизировали модель, перешли к модели дискретных точек, мы, с одной стороны, несколько усложнили модель. Но с другой стороны, теперь эти точки мы можем представить на компьютере. Если у нас линейку представляют 9 точек, то дифференциальные уравнения становятся системой линейных уравнений 9 на 9, которую мы можем легко решить на компьютере. На современных компьютерах мы можем легко решать системы с миллионом или даже миллиардом неизвестных. Это меняет правила игры в том смысле, что мы теперь проводим не натурные эксперименты моста, а делаем дизайн моста на компьютере, проводим численный эксперимент, дальше смотрим, какие у нас напряжения, и пытаемся что-то оптимизировать.

Я упомянул три элемента математического моделирования в вычислительной математике, которые сейчас идут рука об руку: собственно математическое моделирование — построение модели, дискретизация и линейная алгебра, которая позволяет решать дискретные системы уравнений. Четвертая часть — это оптимизация. Методы оптимизации позволяют нам полностью доверить компьютеру, вместо того чтобы руками исправлять дизайн моста, доводить мост до нужных параметров и потом пытаться минимизировать его стоимость. Мы начинаем с того, что делаем дизайн моста, и компьютер нам выдает уже оптимальное решение по напряжениям в мосте и его стоимости.

Про вычислительный эксперимент, который я сейчас описал, говорят, что он стал ни много ни мало третьим способом познания мира. Если первыми двумя были теория и эксперимент, которые еще восходят как минимум к древним грекам, то теперь появилось численное моделирование, которое не является, строго говоря, ни тем ни другим. Теория дает нам математическую модель, и мы как будто делаем эксперимент на компьютере. У нас есть ошибки, погрешности, как и в численных экспериментах, есть знания о том, как этот численный эксперимент провести. Те данные, которые мы получаем, лежат между тем и другим, но ни тем ни другим не являются.

Численное моделирование становится все более важной частью современных технологий производства. Особенно это касается нового технологического уклада, в котором изделия проектируются за несколько часов на компьютере, а не на бумаге и чертежах, после этого эти изделия можно распечатать на 3D-принтере и тут же отвезти заказчику или проверить, как они работают. Простые изделия вроде украшений или элементов интерьера уже могут разрабатываться дизайнером, который находится в своем доме на курорте Краснодарского края. Утром, пока вода еще не согрелась, он делает дизайн предмета интерьера, на который получил заказ, и отправляет в соответствующий город, в Воронеж, молодым ребятам, которые напечатают его ночью в гараже на 3D-принтере, и уже утром заказчик получит изделие.

Вычислительные методы при этом играют следующую роль: тест на прочность или другие тесты можно провести прямо на компьютере у дизайнера автоматически. Для этого не нужно будет изготавливать изделие и его тестировать, и работа идет в этом направлении. Даже с такими сложными изделиями, как машины, вагоны, все равно нужно проводить натурные эксперименты, но сейчас тенденция идет к тому, чтобы большую часть экспериментов по тестированию и сертифицированию проводить на компьютере. Это сокращает время тестирования и производства данных изделий.

Задачи, о которых я рассказывал, например проектирование изделий, были в области вычислительной науки, а стали вычислительными технологиями ― вполне стандартной вещью, которой пользуются инженеры. Акцент в научных разработках сместился в соседнюю область. Например, сейчас активно разрабатываются вычислительные методы для uncertainty quantification, численное оценивание неопределенностей. Это направление о том, что даже если все технологические процессы выдержаны, то изделия, которые получаются, все равно разные, и нужно оценивать то, как эти разные изделия повлияют на работу системы в целом, чтобы быть уверенными, что система даже с изделиями, которые чуть-чуть разные и являются элементами этой системы, работает так, как надо.

Еще одно направление ― это многомасштабное моделирование, и оно заключается в том, что кроме моделирования изделия в целом мы моделируем его микроструктуру. Опять вернемся к линейке. Если мы точно знаем, из какого полимера она состоит, как волокна этого полимера друг на друга зацеплены, то мы можем узнать упругие свойства этой линейки. В отношении линейки это нам не очень интересно, но для современных композитных материалов это очень важно уметь рассчитывать. В современных производственных технологиях стирается разница между материалом и изделием, у нас уже умеют печатать на 3D-принтере изделия из композитных материалов. Композитный материал — это армирующие волокна, матрица. Если мы посмотрим в микроскоп или даже в увеличительное стекло на материал, то мы увидим там много неоднородностей. Если мы хотим это моделировать классическими способами, то для каждого нового такого материала нужно проводить эксперимент, чтобы узнать, какие параметры нужно вставлять в модель. Но с многомасштабным моделированием мы можем моделировать и рассчитывать эту микроструктуру, после чего сразу рассчитывать поведение изделия в целом. Таким образом, для этих новых материалов нам необязательно проводить много экспериментов.

Еще одно направление ― это быстрые солверы, или быстрые алгоритмы решения. В качестве примера можно привести приложение персонализированной медицины. Когда компания Siemens изготавливает аппарат для МРТ головного мозга, она в своем дата-центре рассчитывает его параметры и вместе с этим аппаратом поставляет софт, которым он пользуется, для того чтобы обработать данные МРТ. Софт делается для среднего человека, и он не совсем оптимален. Сейчас существуют подходы, которые, я думаю, появятся через 3–5 лет, когда катушки, которые создают магнитное поле, будут подстраиваться под пациента. Это, например, может сокращать время исследования с 45 минут до 10, что очень здорово. Но для этого нужно рассчитывать, как система с подвинутыми катушками влияет на головной мозг в данном случае. Если у нас будут более быстрые алгоритмы, то мы можем это рассчитывать прямо на ходу. И может быть, даже мы сможем дойти до такого состояния, когда мы можем очень точно составлять карту головного мозга отдельного человека и проводить диагностику его способностей просто по магнитно-резонансной томографии.

Александр Шапеев
PhD in Mathematics, доцент Центра по научным и инженерным вычислительным технологиям для задач с большими массивами данных Сколковского института науки и технологий (Сколтех)

    

Источник: postnauka.ru

Electoral Politics

Н.В.Гришин , В.В.Михайлов , А.Ю.Бузин , Ю.Г.Коргунюк , Д.Л.Коган , А.Шень , Н.Е.Шалаев , С.А.Шпилькин , К.Калинин , Б.В.Овчинников , И.А.Шукшин

Аннотация

Политологи и математики обсуждают возможности математических методов по выявлению электоральных фальсификаций. Дискутируются вопросы соответствия итогов голосования распределению Гаусса; критериев, которым должны удовлетворять методы выявления аномалий; надежности методов количественной оценки фальсификаций; различение аномалий, вызванных фальсификациями и естественными факторами; реакции государственных органов на сообщения об аномалиях, выявленных математическими методами.

Ключевые слова: электоральные фальсификации, итоги голосования, распределение гаусса, математическая статистика

---

От редакции

Дискуссия по поводу математических методов выявления фальсификаций имеет в России давнюю историю. Первые публикации на эту тему А.А.Собянина и В.Г.Суховольского в 1994–1995 гг. [38; 37; 36] были встречены критикой как со стороны официальных лиц, так и со стороны ряда правоведов и политологов [19; 27; 35]. Дискуссия возобновилась с новой силой в 2008 г. [18; 16; 22; 24; 26; 39; 43], и с того времени она обостряется после каждого цикла федеральных голосований.

При этом обычно повторяется стандартный сценарий. Приверженцы математических методов публикуют свой анализ уровня фальсификаций на прошедших выборах. В ответ их критики стараются доказать, что используемые методы не имеют научной основы. Критикуемые иногда вяло отвечают. Последним примером такой дискуссии является доклад РОИИП, выпущенный в сентябре 2020 г. [13], и его критическая оценка А.Ю.Бузиным [14] и А.Х.Шенем [42].

Однако, как отметил еще в 2008 г. А.Ю.Бузин [18], «спорщики не только говорят на разных языках, но еще и находятся в разных помещениях». Впрочем, в 2018 г. были две попытки собрать оппонентов за одним круглым столом, но полноценной дискуссии не получилось [25; 28].

Редакция журнала «Электоральная политика» хотела бы продолжить эту дискуссию и придать ей по возможности научный характер. В связи с этим мы обратились к большому числу политологов и социологов, использующих математические методы анализа, а также математиков, применяющих свои знания для анализа электоральной статистики в качестве гражданских активистов. Мы задали шесть групп вопросов, которые обычно обсуждаются в ходе подобных дискуссий.

Мы получили ответы от 11 исследователей. Среди них нет явных противников использования математических методов выявления фальсификаций. Тем не менее у каждого свой взгляд, и знакомство с различными ответами дает достаточно ясную картину состояния дел и мнений в данной сфере.

На этом дискуссию, безусловно, нельзя считать завершенной. Мы готовы ее продолжить и предоставить возможность высказать свое мнение оппонентам.

Вопрос 1. Поддаются ли итоги голосования на выборах математическому анализу? Существуют ли закономерности, которым эти итоги удовлетворяют?

Михайлов В.В.

Нет никакого сомнения, что итоги подчиняются определенным статистическим закономерностям и их анализ полезен для проверки чистоты выборов. Многие параметры в итоговом протоколе служат материалом для поиска различных новых связей, которые особенно ярко проявляются при сравнении результатов в разных УИК и ТИК одного региона или разных регионов. Электоральная статистика оперирует законами статистической науки и при этом учитывает этнические, политические, социальные и другие особенности.

Гришин Н.В.

Математические методы могут играть вспомогательную роль в оценке результатов голосования. Вероятно, математически можно выявить только некоторые эффекты, возникающие при подсчете официальных результатов голосования. О том, какие именно эффекты могут свидетельствовать о массовых нарушениях и фальсификациях и о том, как их отличить от статистических эффектов обобщения больших данных, могут судить только математики.

Шалаев Н.Е.

Разумеется, вполне поддаются. Прежде всего, по крайней мере в странах Восточной Европы, мы можем наблюдать стабильное воспроизведение колоколообразной формы распределения участков по уровням явки (и избирателей по уровням явки). Это не вполне нормальное распределение, но и не сильно от него отличающееся: унимодальное, с высокой степенью симметрии. Находит своё подтверждение и гипотеза о равенстве пропорций, в которых распределяется между участниками выборов поддержка электората на разных уровнях явки. Эти свойства воспроизводятся из года в год, в разных странах, на разных типах выборов [40].

Коргунюк Ю.Г.

Разумеется, поддаются! Раз это цифры, имеющие определенную логику, значит, они должны поддаваться математическому анализу. Настораживать должно как раз отсутствие выраженных закономерностей. Этого не может быть, если цифры «настоящие». Отсутствие закономерностей – один из признаков фальсификации данных.

Думаю, этих закономерностей достаточно много, но я остановлюсь на тех, которыми занимаюсь сам, то есть тех, которые касаются электоральных размежеваний. Если данные не фальсифицированы, то факторный анализ результатов участников (в моем случае партий) в разных территориальных единицах должен выявлять размежевания, которые можно проинтерпретировать политически и социально. Я вслед за А.С.Ахременко называю их электоральными размежеваниями, но на самом деле точнее будет называть их факторами территориального разброса результатов различных участников.

Шпилькин С.А.

Поскольку количественного анализа без математических методов не существует, ответ на первую часть вопроса, безусловно, утвердительный. Что касается закономерностей, то цель анализа, собственно, состоит в двух вещах: применении к результатам выборов известных математических фактов и в выявлении эмпирических закономерностей, относящихся конкретно к явлению выборов, в том числе конкретно к российским выборам.

Популярная среди противников математического исследования выборов идея, что «поведение людей не описывается математикой», если ее принять, делает невозможным существование опросной социологии, которая полностью опирается на методы математической статистики и традиционно использует выборки размером с типичный избирательный участок.

Шень А.Х.

Математическая статистика полезна для анализа разных природных и общественных явлений, и выборы тут не исключение. В частности, изучая результаты выборов, можно отвергнуть некоторую гипотезу или класс гипотез, если простое или указанное до начала исследования событие, которому все гипотезы этого класса приписывают малую вероятность, произошло [20: приложение 1]. Кроме того, математическая обработка результатов и их графическое представление могут быть полезны для более подробного изучения общественных явлений (скажем, изменение результатов со временем или географическое распределение результата).

Овчинников Б.В.

Да, поддаются. Помимо простых «арифметических» закономерностей (вроде равной вероятности появления последних цифр в абсолютных или относительных результатах), есть и закономерности статистические. Во-первых, результаты голосования по участкам являются суммой индивидуальных решений многих сотен людей, на каждого из которых в свою очередь влияет огромное количество факторов, что делает большое отклонение результатов голосования на участке от средних по городу/стране менее вероятным, чем маленькое отклонение. Во-вторых, предпочтения избирателей достаточно устойчивы во времени – соответственно, следует ожидать небольшие и согласованные между похожими участками изменения уровня их оппозиционности/лояльности власти от выборов к выборам.

Шукшин И.А.

Бесспорно, итоги голосования поддаются анализу. Люди голосуют независимо, и сложение миллионов случайно определённых голосов, где каждый зависит от тысяч причин, распределяется, как и полагается случайной величине, устремляясь к нормальному распределению в пределе. Но закономерностям подвержены не только результаты голосования, но и привычки людей выбирать время для голосования. Например, в последние часы дня голосования в России обычно голосуют наименее активно, и когда избирком Приморья в 2018 г. отчитывается о 309 голосующих за 10 часов дня голосования и 833 за последние 2 часа, как это было на УИК № 1944, это практически официальное приглашение следователя к обыску у всех членов комиссии.

Бузин А.Ю.

Вопрос «Поддаются ли итоги голосования на выборах математическому анализу?» представляется мне сродни вопросу: можно ли итоги голосования описывать русским или испанским языком?

Математика не является наукой об отдельных природных явлениях (включая и явления социальные, поскольку их тоже можно рассматривать как часть природы), а представляет собой язык, инструментарий описания природы (включая социальные явления). Математика – это просто язык, на котором с той или иной степенью точности описываются природные явления.

Конечно, у каждого языка есть определенный арсенал слов, средств. В африканских языках нет слова «снег», зато одно негритянское племя имеет сотни слов для обозначения коричневого цвета, поскольку оно живет в коричневой пустыне. Также и разные математические модели в той или иной степени могут быть удобны для описания разных явлений. Например, математические модели «теории игр» появились только в связи с математическим описанием социальных процессов.

Более определенно вопрос может быть поставлен так: какие математические модели в большей степени описывают итоги голосования и могут быть наилучшим образом использованы для исследования этих итогов? При этом надо понимать, что никакие математические модели не идентичны природным явлениям, в том числе выборам.

Калинин К.О.

В основе исследований фальсификаций лежит идея об искажающем эффекте манипуляций в отношении официальных данных голосования. Вследствие него данные перестают следовать определенным математическим принципам и при статистическом анализе проявляются в виде разнообразных аномалий. Природа искажений лежит в плоскости человеческой психологии – люди не способны интуитивным образом генерировать случайные числа.

Коган Д.Л.

Разумеется. Математическому анализу поддаются все явления, имеющие числовое измерение. Но задача разделения сигнала (реального волеизъявления граждан) и шума (фальсификаций) имеет существенное отличие от обычных задач такого рода в матстатистике и бизнесе – мощность шума может значительно превосходить мощность сигнала, и он не вполне случайный.

Для итогов выборов известны три главные закономерности.

1. Распределение голосов за главных кандидатов по избирательным участкам унимодально.

2. Результаты главных кандидатов не зависят от явки.

Эти две закономерности типичны, но не абсолютны. Их нарушения являются аномалиями, которые могут быть вызваны как искусственными (фальсификации), так и естественными причинами (этническая или религиозная неоднородность и т.д.). Каждая такая аномалия является поводом для детального исследования ее причин.

3. Распределения голосов на уровне страны или крупного региона являются непрерывными, то есть гладкими и не содержащими больших групп участков с одинаковыми результатами.

Эта закономерность абсолютна. Ее нарушение не может быть вызвано никакими естественными причинами.

Вопрос 2. Насколько итоги голосования соответствуют нормальному распределению Гаусса? Используется ли распределение Гаусса (или близкое к нему распределение Стьюдента) либо какое-то иное из классических распределений вероятности в социологических исследованиях, в частности для определения необходимого размера выборки и оценки погрешности метода? Могут ли отклонения от нормального распределения быть основанием для выявления аномалий?

Михайлов В.В.

Мой краткий ответ: итоги голосования хорошо, но не точно, соответствуют распределению Гаусса. Значительные отклонения от него указывают на давление и фальсификации.

Гришин Н.В.

Вероятно, об этом могут свидетельствовать не отклонения как таковые, а масштаб этих отклонений.

Коргунюк Ю.Г.

Если речь идет о явке, то нормальное распределение – это то, чего и следует ожидать. Наоборот, появление всяких вторых «горбов» – очевидный показатель ненормальности. Если почему-то обнаруживается кластер территорий, где при отсутствии независимого наблюдения вдруг резко подскакивают и явка, и голосование за власть, это не может не вызывать подозрений. Во всяком случае это уже повод для того, чтобы повнимательнее разобраться с организацией процедуры голосования на этих территориях.

Вполне может оказаться, что в этих территориях всё было нормально, и жители просто голосовали за популярного начальника. Но чтобы это доказать, нужно привести какие-то веские аргументы: например, видеозапись в режиме нон-стоп процесса как самого голосования, так и подсчета голосов и т.п.

Шпилькин С.А.

Итоги голосования – это многомерный набор целых чисел. Применение к нему некоторых типовых процедур обработки данных (например, построение гистограммы голосов по явке) действительно приводит к наборам чисел, напоминающим нормальное распределение, иногда почти до неразличимости в пределах статистической погрешности (например, распределение голосов по явке на выборах в Москве в 2013 г. для общегородских участков). В то же время применимость нормального распределения к таким ситуациям не постулируется (для этого нет достаточных оснований) и не используется при анализе выборов (хотя можно представить себе процедуру обработки, в которой нормальное распределение было бы полезной аппроксимацией). На практике речь идет о том эмпирическом факте, что распределение голосов по явке в ситуациях, которые не вызывают подозрения в фальсификациях, как правило, является простым одногорбым (унимодальным), для чего достаточно значительно более слабых условий, чем для применимости центральной предельной теоремы, ведущей к распределению Гаусса. Надо подчеркнуть, что унимодальность распределения явки – это не закон природы, а эмпирическое правило, с одной стороны, имеющее под собой разумное обоснование, а с другой – неоднократно подтвержденное опытом на примерах разных стран. Отклонения от этого правила тоже существуют, и они имеют под собой понятные материальные объяснения; как правило, это наличие единичного сильнодействующего фактора, превосходящего по силе суммарное действие остальных влияющих на явку факторов: например, резкое разделение участков по национальному признаку (курдские районы в Турции).

В современных российских условиях, как показывает опыт, практически единственным сильнодействующим фактором, способным нарушить унимодальность распределения голосов по явке, является манипуляция голосами избирателей при подсчете, подтверждаемая как математическими (вероятностные индикаторы вроде «пилы Чурова» или распределения последних цифр), так и нематематическими (сообщения наблюдателей, просмотр видеозаписей) методами. Поэтому отклонение распределения голосов по явке от простой колоколообразной формы на российских выборах – это «красный флаг», с большой вероятностью указывающий на фальсификации.

Овчинников Б.В.

Требовать точного соответствия результатов голосования нормальному распределению нельзя: для этого нет теоретических оснований. Но можно ожидать унимодальное распределение, как правило, с примерной симметрией (в логарифмической шкале) между левой и правой частями «колокола». Почему? Именно в силу приведенного выше (и более подробно изложенного в [34]) соображения об обратной зависимости вероятности появления результата от масштаба его отклонения от моды.

При этом сам факт наличия отклонений от унимодальности не является еще безусловным свидетельством фальсификаций. Если эти отклонения устойчивые во времени (проявляются постоянно на всех голосованиях) и имеют явно выраженную «географию» (сконцентрированы в одной части территории или на типологически похожих участках), то тогда уже надо проверять возможные социологические объяснения таких отклонений. Но факторы, способные сместить результаты голосования на участке на 10 и более процентов, будут достаточно заметными и легко выявляемыми вдумчивым исследователем.

Шалаев Н.Е.

Вопрос о точной характеризации типа распределения на данном этапе изученности проблемы я бы назвал несколько несвоевременным. По сравнению с другими аспектами электоральных исследований, вопрос о свойствах распределений даже наиболее известных показателей в электоральной статистике практически не изучен, во всяком смысле в общемировой перспективе.

Однако имеющиеся фрагментарные сведения всё-таки наводят на мысль о том, что отклонения от околонормальной формы распределения – это скорее редкость, чем обыденное явление. В этом смысле, конечно, подобного рода наблюдение может являться поводом для пристального изучения соответствующего случая. Однако нет и оснований автоматически связывать любое наблюдение такого рода с искусственным искажением «естественных» результатов голосования. Мы по-прежнему можем предложить несколько вполне природных сценариев голосования, которые приведут к аналогичным свойствам распределения (например, бимодальности), и без изучения свойств электората исключить эти альтернативные объяснения представляется едва ли возможным делом. Словом, аномалией это будет являться безусловно, а вот будет ли это аномалией искусственного происхождения – отдельный вопрос.

Шень А.Х.

Некоторые простые модели голосования (скажем, все голосуют независимо с одной и той же вероятностью) приводят к распределению, близкому к нормальному. Нет никаких оснований ожидать, что эти модели близки к реальности. Практика показывает, что во многих случаях результаты нефальсифицированного голосования можно приблизить нормальным распределением, а во многих случаях они существенно от него отклоняются. Поэтому сами по себе отклонения от нормального распределения без дополнительной информации не являются признаками фальсификации результатов. Что касается применения статистических методов (скажем, оценка необходимого размера случайной выборки при опросе), то математические результаты тут используются (в том числе и упоминающие нормальное распределение).

Шукшин И.А.

Отклонение от нормального распределения – это просто тревожный звоночек, а не готовое доказательство, но этот звоночек – самый важный, потому что он показывает, что всё может быть плохо не в одном месте, не на паре участков, а в целом по региону, в котором проходят выборы. Выявление фальсификаций в странах с устоявшейся культурой электорального беззакония, как и любой исследовательский или научный труд, – это целое искусство. Но мне кажется, что использование распределений Гаусса и Стьюдента для оценки погрешности подходит скорее для демократических стран, где они будут использоваться как доказательство, что выборы прошли честно или с небольшими нарушениями. Для авторитарных стран отклонения настолько графически очевидны, что до расчёта оценки погрешности просто не доходит дело.

Коган Д.Л.

Распределения голосов по кандидатам и явке, вообще говоря, не описываются ни одним аналитическим распределением, поэтому сравнивать их для поиска аномалий бесполезно. Все статистические критерии, опирающиеся на предположение о нормальности, могут применяться только для грубых оценок погрешности. Предпочтение следует отдавать критериям, инвариантным к виду распределения, например, хи-квадрат для проверки корреляции величин по их таблице сопряженности. Определение минимального размера выборки (power analysis) обычно тоже опирается на несмещенность оценки и нормальность ошибки и поэтому ненадежно, теоретическая оценка погрешности может рассматриваться только как ее нижний порог. На практике мы в основном имеем дело с большими выборками, и статистические выводы для них достаточно хорошо обусловлены. Но единственным надежным критерием точности метода является его практическая проверка – например, сравнение с результатами независимых наблюдателей.

Калинин К.О.

В исследованиях фальсификаций, особенно при создании математических моделей, распределение Гаусса служит в качестве эталонного, но оно, конечно, не единственное. Помимо нормального распределения, может использоваться, к примеру, биномиальное или какое-то иное. Как правило, распределение Гаусса подходит при допущении о существовании большого числа факторов, оказывающих равное по силе воздействие на голосование на отдельно взятых участках.

К примеру, в статистических моделях П.Климека и У.Мебейна чистые итоги голосования теоретически следуют гауссовскому распределению. Если же говорить о графиках плотности или гистограммах для явки и голосования, которые используются С.Шпилькиным, то, пожалуй, правильнее говорить не о распределении Гаусса, а об унимодальном (одногорбом), не имеющего точного математического описания. При допущении, что чистые данные должны следовать унимодальному распределению, наличие дополнительных «горбов» на графиках будет свидетельствовать об аномалиях, возможно связанных с фальсификациями. И, наоборот, в случае неоднородных данных, для которых несвойственно допущение Гаусса или одногорбости, говорить об аномалиях применительно к фальсификациям можно только после тщательного исследования альтернативных объяснений.

В ситуации хронической нехватки данных и невозможности исследовать природу наблюдаемой неоднородности интерпретация аномалий может во многом зависеть от личных установок и предпочтений исследователя.

Бузин А.Ю.

Для начала надо понимать, что итоги голосования – это выборка из дискретных величин, поэтому, недолго думая, можно ответить: непрерывному гауссовому распределению они соответствовать не могут. Наши оппоненты всегда могут сослаться на этот незатейливый аргумент, и они будут правы, если речь идет о небольших выборах. Правда, в ответ мы можем говорить, что мы говорим не про гауссово распределение, а про биномиальное.

Однако сделав модельное допущение о том, что мы описываем генеральную совокупность итогов голосования как бесконечно большую, можно ставить исследовательский вопрос о проверке гипотезы с некоторым уровнем значимости о том, удовлетворяет ли выборка определенного электорального показателя предположению, что она – из генеральной совокупности с нормальным распределением. Для проверки этой гипотезы (впрочем, как и для проверки предположений о других распределениях), используются критерии хи-квадрат и Колмогорова [29].

В подавляющем большинстве случаев и даже тогда, когда распределение электоральной величины похоже на распределение Гаусса, реальные итоги голосования не удовлетворяют гипотезе о нормальном распределении с приемлемым уровнем значимости (я проводил проверку по критерию хи-квадрат).

Тем не менее во многих случаях (не во всех!) можно говорить о том, что распределение некоторых электоральных показателей при соответствующем шаге агрегирования является достаточно симметричным и унимодальным, близким к нормальному (такое распределение было бы правильно называть квазинормальным или квазигауссовым).

Последний факт является совершенно естественным (в силу центральной предельной теоремы), если предполагать независимость голосования от места голосования. Однако, как только такая зависимость появляется (она существует в реальности), появляются и отклонения от квазинормального распределения. Более того, фальсификации и принуждение к голосованию также сильно отклоняют такие распределения от квазинормального [15]. Поэтому отклонения от квазинормального распределения могут быть основанием для выявления аномалий и даже фальсификаций в том случае, когда выборка достаточно велика.

При этом размер необходимой выборки можно оценить, исследуя выборы на данной территории в исторической ретроспективе. Если распределение ранее было квазинормальным, то резкая его трансформация возможна только при резких изменениях социально-политических условий, а некоторые трансформации возможны только путем фальсификаций.

Что же касается распределений социологических показателей вообще, то многие из них хорошо описываются (точнее, приближаются) гауссовым распределением (например, распределение выпускников по оценкам ЕГЭ в некоторые годы) и пуассоновским (например, распределение больных по территории). Кстати, последнее непосредственно относится к выборам: при отсутствии фальсификаций и «протестного голосования» примерно пуассоновское распределение имеют показатели голосования «на дому» и доли недействительных бюллетеней.

Вопрос 3. Каким принципам и критериям должен удовлетворять метод выявления аномалий? Какие математические методы наиболее пригодны для выявления аномалий? Насколько эти методы наглядны и понятны широкой публике?

Гришин Н.В.

Учитывая качественное разнообразие массовых нарушений (от прямого подлога документов до различных форм принуждения и оказания давления на избирателей), единые математические методы едва ли возможно применять для охвата всего этого многообразия.

Коргунюк Ю.Г.

Думаю, методы могут быть самыми разными, и чем их больше, тем лучше. Думаю, пригодных методов выявления аномалий более чем достаточно. Другое дело, что широкой публике они могут быть понятны только в случае повышения общего уровня математического образования населения. Да и здесь нет никаких гарантий. Проблема ведь не в самих методах, а в том, кому население больше доверяет – независимым экспертам или начальству. Если человеку хочется думать определенным образом, он будет думать именно так, несмотря на любые аргументы.

Овчинников Б.В.

Не готов дать универсальный ответ. Потому что он будет разным для методов, нацеленных на доказательство наличия фальсификаций, на оценку масштаба фальсификаций и на выявление и описание характера и географии фальсификаций.

Шпилькин С.А.

Метод должен быть надежным (с низким уровнем ложноположительных результатов). Что касается понятности для широкой публики: есть методы более (диаграмма Габдульвалеева) или менее (распределения последних цифр) наглядные, но наглядность не связана напрямую ни с математической доказательной силой метода, ни, например, с его способностью давать количественные оценки.

Михайлов В.В.

Существует много разных методов: графики «явка – голосование за кандидата» как у Собянина и Суховольского [32: 61–70; 31: 184–191], неоднородности коэффициента переориентации избирателей в двухтуровых выборах 1996 г. [30; 32: 32–49], анализ недействительных бюллетеней и голосования «против всех», применявшийся А.Мятлевым и мною [32: 57–61; 31: 333–340], метод распределения явки и голосования, развитый С.Шпилькиным [43; 44], частотность последних цифр в официальных результатах, пики на отметках, кратных 5 и 10… Некоторые вполне понятны для публики. Многое зависит от грамотно организованной подачи материала для популяризации.

При выборе метода из множества возможных следует учесть, что требование наглядности является важнейшим в государстве, где власти без стеснения используют административный ресурс во время подсчета бюллетеней и подведения итогов. Простота интерпретации и наглядность являются для избиркомов, судов и исполнительной власти препятствием, хотя часто преодолимым, для отказа разбирать найденные фальсификации. Одновременно наглядность предоставляет возможность широкому кругу людей узнать реальное положение на выборах, стимулирует их интерес к участию. Тонкие математические методы всегда уместны, но они будут понятны экспертам и продвинутым читателям. Именно эта узость круга посвященных дает шанс власти под видом обсуждения релевантности результатов завязать длинную дискуссию и «слить» суть фальсификаций. Сказанное не означает, что следует сокращать арсенал методик, но надо помнить, что эффективность работы по очищению выборов от фальсификаций прямо зависит от понятности и легкости восприятия результатов.

Коган Д.Л.

Как любой математический метод, выявление аномалий должно быть объективно (нельзя опираться на произвольные предположения) и корректно (нужно использовать адекватный математический аппарат). Дополнительными требованиями являются убедительность и наглядность, поскольку результаты методов предъявляются обществу и государственным структурам и должны быть интуитивно понятны обычным людям. В этом смысле метод последних цифр представляет только академический интерес. Наиболее убедительные методы верификации:

· поиск совпадений, повторов и пиков на круглых процентах;

· диаграмма Габдульвалеева;

· диаграмма рассеяния по явке.

Бузин А.Ю.

Статистический метод выявления аномалий:

· должен основываться на официальной статистике;

· должен содержать описание метода и быть воспроизводимым;

· может быть использован для большого числа выборов;

· должен иметь ясные обоснования и интерпретацию выводов, сделанных на его основе.

Для выявления аномалий в настоящее время, помимо простейшего построения гистограмм электоральных показателей и выявления ярко выраженных аномалий, наиболее убедительными представляются:

· сравнительный анализ распределений электоральных показателей на одной территории;

· метод Шпилькина для больших выборов;

· модифицированный метод Собянина-Суховольского [17].

Гистограммы (в том числе – гистограммы Габдульвалеева) понятны и наглядны. Метод Шпилькина достаточно нагляден, но не понятен гуманитариям.

Шукшин И.А.

Для выявления аномалий пригодны любые релевантные математические методы. Только не все из них наглядны. Метод анализа частотности последней цифры даёт хорошую возможность оценивать искусственность результатов, однако он недостаточно наглядный. Гистограммы результатов кандидатов, искажённые фальсификациями, я полагаю более наглядными и довольно понятными публике, особенно когда там присутствуют пики на процентах, кратных 5. Самым наглядным методом я полагаю кластерный анализ, когда двумодальность распределения на графике «кандидат–явка» чётко очерчивает как честный кластер, так и кластер (кластеры), сформированный сообществом фальсификаторов.

Шень А.Х.

Оценка гипотез должна проводиться методами, принятыми в математической статистике, и выполняться корректно. Продемонстрировали свою полезность метод оценки пиков в гистограммах («круглые проценты»), анализ последних цифр, анализ недействительных бюллетеней, представление в координатах «явка – результат лидера», сравнение данных разных лет, сравнение с результатами наблюдения (непосредственного и видео) и другими статистическими данными, сравнение распределений для разных кандидатов и др., см. обзор [41]. Что касается понимания «широкой публикой», то, с одной стороны, для понимания большинства результатов не требуется глубокого знания статистики и достаточно уверенно оперировать с дробями, процентами и графическим представлением данных. Не нужно быть профессиональным математиком, чтобы понять, что когда в г. Клинцы участки с нечётными номерами имеют явку 90,0%, а с чётными 91,0% (с тремя исключениями из 28 участков), то это нельзя объяснить случайным совпадением. С другой стороны, очень многие люди не могут понять и оценить результаты в силу занимаемой должности, отсутствия желания или недостаточной квалификации (или комбинации перечисленных факторов), см., например, [13].

Шалаев Н.Е.

За неимением всеобъемлющей теории электорального поведения, которая могла бы предсказать свойства интересующих нас распределений, исходя из каких-то фундаментальных и легко устанавливаемых свойств электората, видимо, нужно ориентироваться на внешнюю валидацию методов через результаты классического наблюдения за выборами. В таком случае наиболее перспективными методами будут те, которые выявят аномалии в тех же случаях, что и наблюдатели на местах, и не дадут ложных срабатываний в противном случае. С практической точки зрения, наилучшим методом будет тот, который будет требовать менее разнообразных данных (не всегда и не везде можно полагаться на доступность электоральной статистики по всем вообразимым показателям), и не полагаться на специфические дополнительные данные.

С точки зрения наглядности наиболее понятными представляются, пожалуй, два направления разработки методов: ориентированные на изучение «срезов» электоральной поддержки (равенства пропорций) и на изучение географической компоненты. Идея о том, что «народ» должен примерно равным образом распределить свою поддержку между кандидатами вне зависимости от того, сколько избирателей решили прийти на выборы, является довольно понятной на уровне здравого смысла – в отличие от апелляций к свойствам распределений случайных величин. Аналогично и отсылка к «соседям», которые едва ли будут массово голосовать совершенно противоположным образом без очевидных на то причин, должна быть интуитивно понятна широкой публике. К сожалению, географическая составляющая по-прежнему является скорее достоянием публицистического дискурса, нежели научного, да и учитывая характер публикации электоральных данных – трудно поддаётся обработке.

Калинин К.О.

Идеальный метод выявления фальсификаций должен удовлетворять целому ряду важных критериев [5]. Во-первых, он должен быть чувствителен к аномалиям, давая возможность минимизации ложноотрицательных результатов. Во-вторых, в случае отсутствия аномалий он должен выдавать нулевые результаты, минимизируя тем самым число ложных срабатываний. В-третьих, метод должен охватывать как можно больше электоральных данных и желательно на уровне участков. В-четвертых, метод должен способствовать географическому анализу аномалий в увязке с различными политическими, культурными или этническими факторами. В-пятых, метод должен снабжать нас оценками неопределенности, способными к донесению до экспертного сообщества и общественности степени уверенности в наших выводах. Наглядность и понятность метода для широкой публики, конечно, довольно важный принцип, но я бы не стал его включать в этот список, так как в данном случае речь скорее идет о валидности метода, а не его популяризации.

Хотя область исследований фальсификаций сравнительно молодая, существует множество зарекомендовавших себя методов, результаты расчетов которых все чаще включаются в разнообразные статистические и эконометрические модели. К основным наиболее популярным методам можно отнести следующие: тесты значащих цифр в числах проголосовавших избирателей [1; 2; 6], корреляционно-регрессионные методы [36], непараметрические методы с использованием гистограмм [44] или графиков плотности [10; 11], параметрические методы, основанные на различных моделях фальсификаций [7; 4; 9], а также полевые эксперименты [3; 12; 23]. Этот список можно расширить за счет включения разнообразных эвристических методов, заточенных на поиск аномалий в рамках отдельных территорий. Все эти методы рассматривают различные срезы данных и по-разному квантифицируют чистое голосование, поэтому зачастую их выводы относительно аномалий могут друг от друга отличаться. Основные сложности с использованием этих методов касаются желательного использования данных на уровне участков (математический анализ итогов голосования наиболее эффективен на низком уровне данных), а также требования больших вычислительных мощностей при применении параметрических методов анализа данных.

Вопрос 4. Существуют ли надежные методы для количественной оценки фальсификаций?

Бузин А.Ю.

Методов точных количественных оценок «на кончике пера» нет. Приблизительные и предварительные оценки можно получать многими методами.

Коргунюк Ю.Г.

Надежность методов никогда не может быть абсолютной. Тут ведь важно, насколько корректно их применяют.

Шалаев Н.Е.

На данном этапе – пожалуй, нет, если иметь в виду высокую надежность и при этом высокую универсальность метода. Исследования подобного рода всё равно вынуждены прибегать к экспертному знанию относительно специфики электората исследуемых стран или регионов или же опираться на дополнительные данные, состав которых часто специфичен для того или иного случая.

Михайлов В.В.

Полагаю, что математических методов для точной количественной оценки фальсификаций не существует, но точность до 2–3 процентов для многих случаев достижима. Для большей уверенности желательно использовать несколько методов в комплексе. Сравнение многих регионов может существенно повышать надежность оценки фальсификаций.

Шень А.Х.

Если говорить об оценке с точностью до процентов или долей процента, то нет. Во-первых, во многих случаях шум полностью заглушает сигнал, поэтому разницу оценить сложно. Во-вторых, оценка с такой точностью невозможна без учёта неоднородности разных участков, для оценки которых требуется значительное количество наблюдений и статистических данных, а этого нет. С другой стороны, чтобы сказать, что нарисованные голоса в ходе «одобрения поправки в Конституцию» (2020) составляют не доли процента и не единицы процентов, а десятки процентов, достаточно изучить гистограмму и двумерное представление официальных результатов [8].

Шукшин И.А.

Во-первых, всё зависит от количества точек, взятых для оценки, то есть от количества УИКов, на которых проходят выборы. По сути важно, чтобы достоверность определения фальсификаций оказалась выше шума, выше погрешности, выше трёх сигм.

Во-вторых, масштаб фальсификаций тоже должен быть выше погрешности, не всякие фальсификации легко поймать, если это, например, небольшое накручивание бесспорного победителя с 49 до 51% для ухода от второго тура.

В-третьих, всё зависит от того, ограничиваемся ли мы только исследованием цифр, или же берём во внимание и свидетельства с мест, сообщения о нарушениях или прямых фальсификациях на участках. Для российских выборов федерального уровня как правило хватает данных даже без свидетельств с мест. Для региональных выборов одних лишь цифр хватает только для электоральных султанатов.

Овчинников Б.В.

Вопрос в том, что понимать под «надежностью».

Если говорить о методах, которые из раза в раз дают в целом по стране и по большинству регионов оценки, не противоречащие другим известным фактам и оценкам по очередному голосованию, то такие методы есть. В первую очередь это «модель Шпилькина», а точнее обе части его подхода – колокол и центр кластера.

Если же говорить о методах, для которых возможно посчитать доверительный интервал и математически доказать их совпадение с реальными результатами, то таких методов нет и не может быть. Хотя бы потому, что никто не знает истинных результатов.

Шпилькин С.А.

Существуют методы, позволяющие с высокой надежностью диагностировать факты фальсификаций на целых группах участков и в масштабах страны в целом, а также давать надежные количественные оценки снизу для числа фальсифицированных участков. Так, анализ «пилы Чурова» в масштабах страны позволяет утверждать, что результаты фальсифицируются на тысячах участков на каждых федеральных выборах. Эти выводы о фальсификациях математически совершенно надежны в силу того, что опираются на минимальные предположения, но именно поэтому выявляют лишь малую долю фальсификата (впрочем, вполне достаточную для масштабных юридических расследований и организационных выводов).

Подходы, направленные на оценку всего объема фальсификата, требуют более сильных предположений о характеристиках электората и потому менее надежны в математическом смысле, но полученные с их помощью результаты подтверждаются независимыми методами: анализ думских выборов в Москве в 2011 г. [3], опубликованные и затем удаленные данные опроса ФОМ по Москве на думских выборах в 2016 г., результаты просмотра видеозаписей, например [21].

Коган Д.Л.

Для оценки вбросов и приписок таких методов два: метод Шпилькина, основанный на гипотезе независимости результата от явки, и метод Мятлева, основанный на факте зависимости числа недействительных бюллетеней от явки. Для учета региональных различий эти методы надежнее применять отдельно к каждому крупному региону. Оба метода дают достоверные оценки нижнего порога фальсификаций, поскольку учитывают только масштабные вбросы и не учитывают перекладку бюллетеней между кандидатами. Для оценки перекладок надежных методов не существует, но масштаб этого явления обычно значительно меньше.

Калинин К.О.

На сегодняшний день существуют три метода количественной оценки электоральных аномалий: модель П.Климека, байесовская конечная смешанная модель У.Мебейна (данный вариант модели представляет собой обновленную версию конечной смешанной модели, описание которой печаталось в данном журнале [23]) и непараметрический метод С.Шпилькина. Ни один из методов не гарантирует стопроцентной надежности количественного анализа. Все методы в той или иной степени строятся на допущении о наличии «чистого горба», служащего эталоном при расчетах общего масштаба аномалий. Параметрические методы, в число которых входят модели П.Климека и У.Мебейна, позволяют воспроизвести модель гипотетического механизма фальсификаций с возможным включением контрольных переменных и на выходе оценить вероятности фальсификаций, числа украденных голосов в разрезе участков. В отличие от параметрического подхода, непараметрический метод С.Шпилькина строится на гистограммах с использованием особого алгоритма расчетов, результаты которого агрегированы на уровне гистограмм. Несмотря на сильную корреляцию между расчетами У.Мебейна и С.Шпилькина, параметрический метод последователен в своих более консервативных оценках по сравнению с непараметрическим, но он выдает результаты на уровне участков. И конечно же, ни один из приведенных методов не претендует на универсальность, не доказывает существование фальсификаций.

Гришин Н.В.

Точная количественная оценка уровня фальсификаций при помощи математических методов – дело сомнительное. Эта задача скорее ориентирована на медийный эффект. Для ее решения нет достаточных данных и инструментария. Ориентирами для отчета выступают данные с некоторых избирательных участков, которые сами, в свою очередь, могут быть недостоверными. В условиях массовых нарушений, когда мы не знаем, какие именно данные можно рассматривать в качестве достоверных, эта проблема, возможно, не решаема. Существует риск, что в качестве ориентира выступают не участки с достоверными данными, а участки, в которых нарушения происходят более равномерно и не сопровождаются математическими аномалиями.

По моему мнению, предпринимаемые попытки количественно измерить уровень фальсификаций приукрашивают картину. Итоговые расчеты об уровне фальсификаций не только не являются достаточно обоснованными, но и занижают уровень фальсификаций.

Вопрос 5. Можно ли путем математического анализа отличить аномалии, связанные с фальсификациями и другими преступными действиями, от аномалий, вызванных естественными факторами (территориальная неоднородность, социальный состав избирателей и т.п.)?

Бузин А.Ю.

В общем случае – нет.

Коргунюк Ю.Г.

Повторю: сам по себе математический анализ не способен ни на что. Это всего лишь инструмент, который нужно еще уметь использовать. В любом случае результаты голосования должны интерпретироваться специалистами по выборам: политологами-регионалистами, социологами, политическими географами и т.п. Только они и смогут отделить агнцев от козлищ.

Шалаев Н.Е.

Ответ на этот вопрос прямо зависит от того, на какие именно данные допустимо опираться исследователям. Если задача ставится так, что данные должны быть минимальны, например, строго данные электоральных архивов, без привлечения сторонних сведений, то едва ли. В то же время, если допускается привлечение дополнительных сведений, то её решить можно – и чем шире спектр дополнительных данных, тем с большей вероятностью. Так, например, отличным подспорьем могут быть данные об итогах голосования прошлых лет для тех же территориально-учётных единиц (участок, район) в совокупности с разумным предположением об относительном постоянстве основных характеристик электората (например, маловероятно, что люди, годами показывающие высокий уровень абсентеизма, в одночасье поменяют своё отношение к выборам и массово решат проголосовать).

Шпилькин С.А.

В большинстве случаев – да. Явления, связанные с естественными факторами, как правило, носят долгосрочный характер (прослеживаются на протяжении многих выборных циклов), имеют понятные и поддающиеся изучению причины и подчиняются законам математики. Аномалии, связанные с действиями фальсификаторов, как правило, не имеют рациональных объяснений и/или нарушают базовые статистические принципы (рисованные результаты в Саратове и Тюмени на думских выборах 2016 г., в Ставропольском крае на президентских выборах 2018 г., в Приморском крае на губернаторских выборах 2018 г. и т.д.).

Овчинников Б.В.

Да, безусловно, если говорить не строго про математический анализ, а шире – про анализ результатов голосования. Вызванные естественными факторами аномалии будут устойчивыми во времени и/или «градиентными» в пространстве – то есть будут проявляться не только на самом аномальном участке, но и в сглаженной форме на соседних участках. Могут быть, конечно, и разовые локальные (ограниченные одним участком) аномальные отклонения, но общая логика и эмпирические данные показывают, что такие отклонения скорее будут носить протестный характер. И в любом случае это могут быть единичные исключения, а не множество похожих отклонений в разных концах города.

Коган Д.В.

Да. Для этого используется аналог кросс-валидации. Например, участки разбиваются на теоретически однородные группы: скажем, отдельно город и отдельно деревня – и к каждой группе применяется тот же метод. Если внутри каждой группы тоже выявляются аналогичные аномалии, то с большой вероятностью они являются фальсификациями.

Шень А.Х.

Да, именно для этого и нужно использовать перечисленные методы (собственно говоря, понятие «аномалии» является внутренним для этих методов – в каждом из них «аномалии» понимаются по-разному).

Калинин К.О.

Последовательное исключение альтернативных объяснений – довольно трудоемкая исследовательской задача, без решения которой нельзя говорить о наблюдаемых аномалиях как о научно доказанных фальсификациях. К сожалению, данная задача требует привлечения большого объема данных, доступ к которому может быть ограничен или попросту невозможен из-за их отсутствия. Даже при наличии подобных данных не каждый метод подразумевает включение контрольных переменных – эта задача эффективно решается в основном с помощью параметрических методов.

Михайлов В.В.

Территориальная, этническая неоднородность, неоднородность села и города – все это существует. Различие имеется. Но эта достаточно сложная картина дополнительно загрязнена разным административным давлением, неоднородными (!) фальсификациями и покрыта толстым слоем мифов типа: вот здесь в этой республике на селе ментальность такая: как скажет старший, так они все и голосуют. Я раньше рассматривал неоднородность между столицей региона и районными центрами, между районными центрами и деревнями, и, наконец, между деревнями, удаленными от райцентра и лежащими рядом. И во всех трех случаях обнаруживал неоднородность. Она существует потому, что в дальних селах народ более бесправен, у него нет мотивации бороться за честные выборы, за свои права, так как в таких условиях жили деды и отцы. Часто они даже не понимают, что такое «честные, свободные, справедливые выборы». Часто соседние районы по разные стороны границы между регионами, например, Кировской областью, Удмуртией и Татарстаном, имеют разные результаты на выборах. Например, на выборах президента 2012 г. соседние ТИК трех субъектов РФ имели:

· Балтасинская, Татарстан – явка 97,6% и за Путина 91,5%;

· Кукморская, Татарстан – 97,2% и 95,0%

· Кизнерская, Удмуртия – 62,5% и 75,9%;

· Малмыжская, Кировская обл. – 64,1% и 55,9%.

Это не потому, что это этнически разные районы (в Малмыжском районе треть населения – татары и шестая часть – марийцы), а потому, что в Татарстане административное давление на выборах и во время голосования заметно больше, чем у соседей. Местный информационный фон у них разный, но федеральные каналы общие.

Аккуратное применение статистики поможет оценить долю, получаемую за счет фальсификаций и давления.

Гришин Н.В.

По моему мнению, при математическом анализе результатов выборов существуют сложности в различении аномалий, связанных с фальсификациями и другими преступными действиями, и аномалий, вызванных естественными факторами. Устойчивые территориальные различия электорального поведения могут быть вызваны такими причинами, как этнический и конфессиональный состав населения, доля городских жителей (и «фактор людности»), профессиональный состав населения и т.д. В рамках методов математического анализа выборов эти «естественные электоральные аномалии» не могут быть не только разъяснены, но даже приняты во внимание (в качестве каких-то переменных и т.д.). На практике аналитики, применяющие математические методы, также не учитывают их в своих исследованиях и выводах (если не ошибаюсь). Это может быть причиной серьезных ошибок в изучении электорального поведения и уже сейчас способствует распространению мифов (в частности, о том, что любые значительные отклонения обязательно связаны с фальсификациями и нарушениями).

Совмещение математических методов анализа результатов выборов с задачами изучения групповых различий электорального поведения – сложная работа в плане методологии и поиска конкретных методов. Решение этой задачи необходимо, если мы хотим продвинуться в изучении электорального поведения и в уточнении наших знаний об уровне фальсификаций. В настоящее время эта задача не решается.

Вопрос 6. Как должны реагировать государственные органы, заинтересованные в борьбе с электоральными преступлениями, на сообщения об аномалиях, выявленных математическими методами?

Бузин А.Ю.

Они должны давать объяснения.

Гришин Н.В.

Аномалии, выявленные математическими методами, должны быть причиной общественной дискуссии и разбирательства. Формально они не могут быть поводом для каких бы то ни было действий со стороны органов государственной власти. Тем не менее, правоохранительные органы могут начать дополнительную проверку в случае наличия вопиющих и заведомо неправдоподобных электоральных аномалий.

Шпилькин С.А.

Если эти органы заинтересованы в выявлении и расследовании нарушений, они могут существенно сузить «круг подозреваемых» и тем самым повысить эффективность такой работы, опираясь на результаты анализа выборной статистики.

Шень А.Х.

Когда/если государственные органы заинтересованы в борьбе с электоральными преступлениями, значительные проблемы возникают редко: у государственных органов много возможностей (в том числе законодательных прав), и достаточно направить усилия на предотвращение преступлений, а не на их совершение. Но в переходный период математические методы могут быть использованы для выявления тех участков и территорий, где необходима более подробная проверка (пересчёт, опрос наблюдателей и пр.).

Шалаев Н.Е.

Я полагаю, что, хотя мы пока и не располагаем 100% точными инструментами для выявления результатов фальсификаций, но и имеющийся инструментарий вполне позволяет выявлять подозрительные результаты и локации. И чем большее количество методов бьют тревогу в одно и то же время в одном и том же месте, тем больше сомнений должно возникать. Соответственно, и реакция должна быть адекватной: подобного рода сообщения должны рассматриваться всерьез и проверяться по существу. По сути тут нет принципиальной разницы с жалобами очевидцев: чем большее количество людей заявляют о правонарушениях, тем больше оснований провести расследование обстоятельств, хотя и люди, и математические методы не являются совершенно надёжными индикаторами.

Коган Д.Л.

При обнаружении надежных маркеров фальсификаций, то есть повторов, совпадений, пиков на круглых процентах, результаты выборов должны немедленно отменяться. В случае длинной «бороды Чурова», то есть если оценка фальсификаций по методу Шпилькина дает миллионы голосов, тоже. Во всех остальных случаях необходима дополнительная проверка.

Калинин К.О.

Государственные органы, заинтересованные в борьбе с электоральными преступлениями, должны позитивно реагировать на сообщения о статистических аномалиях, так как данные методы позволяют выявить и изучить возможные источники фальсификаций. Основная проблема сводится к неоднозначности интерпретации аномалий и ограниченности доказательств их фальсификационной природы из-за недостаточности данных. При этом до конца остается неясным, кто же должен взять на себя бремя доказательства: исследователи, усматривающие в статистических аномалиях фальсификации, или госорганы, объясняющие аномалии неоднородностью данных. Теоретически в случае обнаружения аномалий учеными, изучающими фальсификации, и представителями госорганов должна быть проведена совместная исследовательская работа, направленная на поиск источников. В случае обнаружения электоральных преступлений должна быть дана надлежащая правовая оценка с привлечением к ответственности всех причастных.

Шукшин И.А.

При переходе от авторитаризма и беззакония к демократии и законности власти должны взять курс на транспарентность и перестроить работу так, чтобы аномалии могли быть прозрачно проверены.

Например, законодатели могут обеспечить предоставление полного доступа ко всем видеозаписям с выборов всем желающим в течение как минимум всего срока давности по данным преступлениям. Для естественного ограничения потока желающих и ботов можно организовать всё по аналогии с доступом в ГАС «Правосудие», куда можно войти через Госуслуги.

Но для борьбы с преступлениями мало одной прозрачности, нужна неотвратимость наказания, то есть нужно, чтобы каждое найденное нарушение заканчивалось последствиями для нарушителей.

Коргунюк Ю.Г.

Уж точно они не должны занимать позицию «А вы докажите!» и «Не пойман – не вор!». Такая позиция оправдана в судебном процессе над мелким жуликом, но не в случае с ответственными за организацию выборов. Здесь доказывать должны те, кого подозревают.

Любая аномалия должна быть поводом для специальных разбирательств, в том числе с привлечением независимых экспертов. Предоставлять доказательства должны организаторы выборов на местах. В случае непредоставления таковых комиссии должны расформироваться, набираться из новых людей (в том числе из представителей независимой общественности), а выборы проводиться повторно с соблюдением всех формальностей: присутствием независимых наблюдателей (в том числе привлеченных из-за пределов данной территории), круглосуточной видеосъемкой, в том числе процесса подсчета голосов, и т.п.

Михайлов В.В.

Основной вопрос «как может быть полезна математика для выборов?» был поставлен в статье [33]. В ней обосновывается необходимость отказаться от формального юридического подхода: если есть письменная жалоба с участка, то нужно рассмотреть по процедуре, по закону; если нет – то и рассматривать нечего. Это долгий путь. Жалоб на выборах в наших условиях бывает на два-три порядка меньше, чем фактических нарушений, а избиркомы и суды уже научились гасить те, которые дошли до них. Кроме того, существуют нарушения, которые никто из участников голосования и наблюдения на участке не замечает, а статистика их показывает. В Татарстане часто жалоб не было, а статистика полыхала от аномалий.

Мои советы ниже даются для будущего времени, когда государство откажется от политики потворства фальсификациям, будет бороться с использованием административного ресурса, отделит исполнительную власть от существенной работы в избиркомах, оставив лишь функции материальной поддержки и снабжения. Или когда оно начнет двигаться в этом направлении.

Страна поражена привычкой фальсифицировать и принуждениями к фальсификациям, и это в один момент не кончится. Тень от них равномерно покрывает все избирательные участки, включая и честные. Есть все возможности быстро, в течение двух-трех дней определить локальные аномалии и направлять туда независимых инспекторов для пересчета бюллетеней, связываться с местными независимыми наблюдателями. Принципиально это несложно, и должно быстро приносить плоды. Экспертные группы математиков можно создать в Москве, Петербурге и в других региональных центрах.

Возможно, будет полезно публично отмечать те УИК, в которых нарушений не замечено и независимыми наблюдателями, и статистической проверкой.

Более основательный, менее срочный анализ покажет региональные тенденции и временную динамику, и его результаты также можно использовать для очищения российских выборов.

Поступила в редакцию 29.10.2020, в окончательном виде 05.11.2020.

---

Список литературы

1. Beber B., Scacco A. What the Numbers Say: A Digit-Based Test for Election Fraud. – Political Analysis. 2012. Vol. 20. No. 2. P. 211–234.
2. Cantu F., Saiegh, S.M. Fraudulent Democracy? An Analysis of Argentina’s Infamous Decade Using Supervised Machine Learning. – Political Analysis. 2011. Vol. 19. No. 4. P. 409–433.
3. Enikolopov R., Korovkin V., Petrova M., Sonin K., Zakharov A. Field experiment estimate of electoral fraud in Russian parliamentary elections. – PNAS. 2013. Vol. 110. No. 2. P. 448–452. Доступ: https://www.pnas.org/content/110/2/448 (проверено 28.10.2020). — https://www.pnas.org/content/110/2/448
4. Ferrari D., McAlister K., Mebane W.R., Jr. Developments in Positive Empirical Models of Election Frauds: Dimensions and Decisions. – Paper prepared for presentation at the 2018 Annual Meeting of the Society for Political Methodology, Provo, UT, 2018, July 16–18.
5. Hicken A., Mebane W.R., Jr. A Guide to Election Forensics. – Working paper for IIE/USAID subaward #DFG-10-APS-UM, “Development of an Election Forensics Toolkit: Using Subnational Data to Detect Anomalies”. 2015. P. 38.
6. Kalinin K., Mebane W.R., Jr. Understanding Electoral Frauds through Evolution of Russian Federalism: The Emergence of Signaling Loyalty. – Paper prepared for the Annual Meeting of Midwest Political Science Association, Chicago, 2013.
7. Klimek P., Yegorov Y., Hanel R., Thurner S. Statistical Detection of Systematic Election Irregularities. PNAS. 2012. Vol. 109. No. 41. P. 16469–16473.
8. Kobak D., Shpilkin S., Pshenichnikov M. Suspect peaks in Russia’s «referendum» results. – Significance. 2020. Vol. 17. No. 5. P. 8–9.
9. Mebane W.R., Jr. Eforensics: A Bayesian Implementation of a Positive Empirical Model of Election Frauds. 2019.
10. Myagkov M., Ordeshook P.C., Shakin D. The Forensics of Election Fraud: Russia and Ukraine. New York: Cambridge University Press. 2009. 289 p.
11. Rozenas A. Detecting Election Fraud from Irregularities in Vote-Share Distributions. R package version 1.1. 2016. Доступ: https://CRAN.R-project.org/package=spikes (проверено 28.10.2020). — https://CRAN.R-project.org/package=spikes
12. Sjoberg F.M. Autocratic Adaptation: The Strategic Use of Transparency and the Persistence of Election Fraud. – Electoral Studies. 2014. Vol. 33. P. 233–245.
13. Борисов И.Б., Задорин И.В., Игнатов А.В., Марачевский В.Н., Федоров В.И. Математические инструменты делегитимации выборов. Доклад РОИИП. М., 2020. Доступ: http://www.roiip.ru/images/data/gallery/0_299_Matematicheskie_instrumenti_delegitimatsii_viborov.pdf (проверено 28.10.2020). — http://www.roiip.ru/images/data/gallery/0_299_Matematicheskie_instrumenti_delegitimatsii_viborov.pdf
14. Бузин А. Рецензия на доклад Российского общественного института избирательного права «Математические инструменты делегитимации выборов». – Сайт Межрегионального объединения избирателей, 15.09.2020. Доступ: http://votas.ru/ROIPP2020.html (проверено 28.10.2020). — http://votas.ru/ROIPP2020.html
15. Бузин А.Ю. Влияние территориальных неоднородностей и фальсификаций на электоральные показатели. – Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2014. № 2. С. 72–80.
16. Бузин А.Ю., Любарев А.Е. Преступление без наказания: Административные избирательные технологии федеральных выборов 2007–2008 годов. М.: ЦПК «Никколо М»; Центр «Панормама», 2008. 284 с.
17. Бузин А.Ю. Модификация метода Собянина-Суховольского. – Электоральная политика. 2019. № 1. Доступ: http://electoralpolitics.org/ru/articles/modifikatsiia-metoda-sobianina-sukhovolskogo/ (проверено 28.10.2020). — http://electoralpolitics.org/ru/articles/modifikatsiia-metoda-sobianina-sukhovolskogo/
18. Бузин А.Ю. Может ли российская власть изменить закон Ньютона? – Независимая газета, 01.04.2008. Доступ: https://www.ng.ru/ng_politics/2008-04-01/17_newton.html (проверено 28.10.2020). — https://www.ng.ru/ng_politics/2008-04-01/17_newton.html
19. Веденеев Ю.А., Лысенко В.И. Выборы-93: уроки и альтернативы. – Бюллетень ЦИК РФ. 1994. № 7. С. 18–30.
20. Верещагин Н.К., Успенский В.А., Шень А. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность. М.: МЦНМО, 2013. 575 с.
21. Габдульвалеев А. Турнир городов. Краткие итоги исследования видеозаписей с выборов 18 марта 2018 года. – Сайт Ассоциации наблюдателей Татарстана, 07.06.2020. Доступ: https://tatobservers.ru/2020/06/07/turnir-gorodov-kratkie-itogi-issledo/ (проверено 28.10.2020). — https://tatobservers.ru/2020/06/07/turnir-gorodov-kratkie-itogi-issledo/
22. Григорьев М.С. Теоремы недоброжелателя, или Гороскоп Ньютона. – Независимая газета, 20.05.2008. Доступ: https://www.ng.ru/ng_politics/2008-05-20/17_newton.html (проверено 28.10.2020). — https://www.ng.ru/ng_politics/2008-05-20/17_newton.html
23. Калинин К. Валидация конечной смешанной модели с использованием квазиэкспериментальных и географических данных. – Электоральная политика. 2019. № 1. Доступ: http://electoralpolitics.org/ru/articles/validatsiia-konechnoi-smeshannoi-modeli-s-ispolzovaniem-kvazieksperimentalnykh-i-geograficheskikh-dannykh/ (проверено 28.10.2020). — http://electoralpolitics.org/ru/articles/validatsiia-konechnoi-smeshannoi-modeli-s-ispolzovaniem-kvazieksperimentalnykh-i-geograficheskikh-dannykh/
24. Любарев А.Е. И не физика, и не лирика. – Независимая газета, 03.06.2008. Доступ: https://www.ng.ru/ng_politics/2008-06-03/20_maths.html (проверено 28.10.2020). — https://www.ng.ru/ng_politics/2008-06-03/20_maths.html
25. Любарев А. Круглый стол в СПЧ по вопросам электоральной статистики. – ЖЖ Любарева, 06.03.2018. Доступ: https://lyubarev.livejournal.com/38896.html (проверено 28.10.2020). — https://lyubarev.livejournal.com/38896.html
26. Любарев А. Недобросовестная критика – тоже реклама (о газетной критике книги «Преступление без наказания»). – Сайт Межрегионального объединения избирателей, 29.03.2009. Доступ: http://votas.ru/kritika.html (проверено 28.10.2020). — http://votas.ru/kritika.html
27. Малютин М. Фальсификация закончена: забудьте… – Новая ежедневная газета, 11.05.1994.
28. Математика и выборы: работают ли формулы, проверят общественные наблюдатели. – Сайт Общественной палаты РФ, 28.02.2018. Доступ: https://www.oprf.ru/press/news/2018/newsitem/44277 (проверено 28.10.2020). — https://www.oprf.ru/press/news/2018/newsitem/44277
29. Минько А.А. Статистический анализ в MS Excel. М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. С. 299–306.
30. Михайлов В.В. Количество демократии (Анализ выборов Президента РФ 1996 г. в регионах). – Армагеддон, книга 3 (май–июнь). М., 1999. С. 134–153.
31. Михайлов В.В. Республика Татарстан: Демократия или суверенитет?. М., 2004. 466 с.
32. Михайлов В. Демократизация России: различная скорость в регионах (Анализ выборов 1996 и 2000 гг. Место Татарстана среди субъектов РФ). – Особая зона: выборы в Татарстане. Ульяновск: КОМПА, 2000. С. 25–84. — http://www.democracy.ru/library/articles/tatarstan/page3.html
33. Михайлов В. Статистический анализ результатов выборов: необходимость включения в правовое поле. – Российское электоральное обозрение. 2010. № 1. С. 20–30. — http://vibory.ru/analyt/REO-5/Mikhailov.pdf
34. Овчинников Б. Ответ Е.Галицкому. – Фейсбук, 27.03.2018. Доступ: https://www.facebook.com/boris.ovchinnikov/posts/10155389079107304 (проверено 28.10.2020). — https://www.facebook.com/boris.ovchinnikov/posts/10155389079107304
35. Рябов Н.Т. Из выступления на заседании ЦИК 12 июля 1994 года. – Бюллетень ЦИК РФ. 1994. № 8. С. 4–7.
36. Собянин А.А., Суховольский В.Г. Демократия, ограниченная фальсификациями. Выборы и референдумы в России в 1991–1993 гг. М.: Проектная группа по правам человека, 1995. 267 с.
37. Собянин А., Суховольский В. В королевстве кривых зеркал. – Сегодня, 10.03.1994.
38. Собянин А., Суховольский В. Итоги выборов 12 декабря 1993 года и будущий федеральный закон о выборах. – Конституционное право: восточноевропейское обозрение. 1994. № 1(6). С. 2–10.
39. Чуров В.Е., Арлазаров В.Л., Соловьев А.В. Итоги выборов. Анализ электоральных предпочтений. – Труды Института системного анализа РАН. 2008. Т. 38. С. 6–22.
40. Шалаев Н.Е. Электоральные аномалии в постсоциалистическом пространстве: опыт статистического анализа. – Диссертация на соискание ученой степени кандидата политических наук. СПб: Санкт-Петербургский государственный университет, 2016. 191 с.
41. Шень А. Выборы и статистика: казус «Единой России» (2009–2020). 2020. 76 с. Доступ: https://arxiv.org/pdf/1204.0307v4.pdf (проверено 28.10.2020). — https://arxiv.org/pdf/1204.0307v4.pdf
42. Шень А. Как доклад РОИИП делегитимирует выборы. – Троицкий вариант – Наука, 22.09.2020. № 313. С. 5. Доступ: https://trv-science.ru/2020/09/kak-doklad-roiip-delegitimiruet-vybory/ (проверено 28.10.2020). — https://trv-science.ru/2020/09/kak-doklad-roiip-delegitimiruet-vybory/
43. Шпилькин С. Обработка данных результатов федеральных выборов 2007–2008 годов. – Выборы Президента России 2008. Доклад Ассоциации «ГОЛОС». М., 2008. С. 94–102.
44. Шпилькин С. Статистика исследовала выборы. – Газета.ру, 10.12.2011. Доступ: https://www.gazeta.ru/science/2011/12/10_a_3922390.shtml (проверено 28.10.2020). — https://www.gazeta.ru/science/2011/12/10_a_3922390.shtml

ПРЕДИСЛОВИЕ

%PDF-1.5 % 2 0 obj > /Metadata 4 0 R /Outlines 5 0 R /PageLayout /OneColumn /Pages 6 0 R /StructTreeRoot 7 0 R /Type /Catalog >> endobj 4 0 obj > stream 2018-02-09T22:07:17+07:002012-03-20T14:42:12+02:002013-09-03T16:23:51+03:00Acrobat PDFMaker 10.1 for Worduuid:862fe725-1dd6-4196-b7ae-4d6b723942d4uuid:d3b49999-8e8e-fa40-af0d-7bf2f2b5b6ec

57

application/pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

Виктор Георгиевич

Adobe PDF Library 10.0D:20100727055026Дом endstream endobj 3 0 obj > stream xڭ͒%Y8r;8p@כidAe+4″Q[lOOz! [! }{4btWu:=U:,|1!e_.3|TQ=~TQG5|TQG5|TQG5j>zEH癏j>棚j>棚G5|TQ=~TQG5|TQG,:|TQGj>?uW癏j>*+,ᚏ».,zQBXQG5|TQG5|ʰG5j>z棚Yjfً棙f>h棙G3|4x|4G3|4f>h?h棙f>Zdy3|4G3f>h%g>h棙f>h棙f>Z

от учебного класса до реального мира

MATHEMATICAL MODELING: FROM CLASSROOM TO THE REAL WORLD

Denise Helena Lombardo Ferreira, Otavio Roberto Jacobini

Pontifícia Universidade Católica de Campinas

Аннотация: В этой статье мы подходим к математическому моделированию как методологический вариант для дисциплины линейного программирования. Деятельность по математическому моделированию позволила установить взаимосвязь между математическим содержанием, приближенным к дисциплине, с некоторыми проблемами, связанными с реализацией студентов. В этой статье мы поставили перед собой задачу проанализировать возможность педагогического вклада при использовании такой связи между содержанием учебной программы и применением математического моделирования при поддержке технологий в повседневной жизни студента, особенно когда такие ситуации связаны с их текущей или будущей профессиональной деятельности. В качестве основных результатов мы подчеркиваем восприятие учениками относительно актуальности дисциплины, будь то для их интеллектуального образования или для их профессиональной валоризации и применимости технологии, а также совместной среды, построенной среди студентов, которая способствовала их взаимодействию в группе назначений и обмена академическим и профессиональным опытом.

Ключевые слова: математическое моделирование, линейное программирование, сотрудничество.

1. Введение

Для студентов колледжей обычно довольно сложно проявлять трудности, когда речь идет о таких дисциплинах, как математика, даже для тех, кто учился на курсах точной науки. С одной стороны, такие трудности могут ухудшиться, если ученики не смогут представить себе, что они изучают, и, как правило, они учатся только для продвижения по курсу. С другой стороны, участие студентов может происходить более глубоко, если изучаемое содержание предметов, связанных с математикой, напрямую связано с субъектами выбранного курса. Мы заметили существование этих двух ситуаций в дисциплинах, которые мы преподаем.

Большинство учеников предпочли бы посещать математические классы, которые представляют определенный уровень связи с реальностью. Для таких студентов эта связь позволит более осмысленных и менее подчеркнув обучения. Подходя к перспективам, которые определяют концепции математической грамотности, экстраполируя традиционную концепцию, связанную с способностями к вычислению и решению проблем и расширяя горизонты ее значения, Jablonka (2003) утверждает, что приведение в класс математики, используемой в рабочей среде, способов связать внеклассную математику с содержанием учебной программы и, следовательно, показать математическую практическую полезность. Эта ассоциация, способствуя значимости преподавательской деятельности для студентов, помимо сокращения так называемого математического беспокойства по изучению понятий и обработки чисел и алгоритмов, позволяет установить связь между академическим и профессиональным обучением, оценивая разнообразие культуры (математики), присутствующих на рабочих местах.

Однако много раз связать математические методы, используемые на рабочем месте в учебной математике, довольно сложно, потому что, помимо жесткости, которая обычно характеризует учебный план курсов, значимая концепция в этом случае должна быть релятивизирована таким образом, то, что может иметь смысл для одного ученика, может быть не для другого. Кроме того, в большинстве случаев связь между математикой и реальностью требует от студентов большего количества усилий и приверженности, чем традиционные классы, ориентированные на лекции преподавателей. Это также требует времени от студентов для исследований и других задач вдали от класса. Эта ситуация хуже для заочного класса, где большинство студентов работают в дневное время и не имеют свободного времени для занятий вне класса, необходимого для выполнения таких задач.

С задачей помочь студентам в понимании дисциплины линейного программирования, первый автор этой статьи провел педагогический опыт с использованием математического моделирования математического моделирования на ее занятиях для студентов курсов информационных систем в ночную смену частной школы Кампинас Сити в Бразилии. Эти студенты, как правило, профессионально работают в сфере деятельности, связанной с полем обработки данных.

Поэтому, основываясь на таком опыте, мы ставим перед собой цель оценить возможности обучения и обучения математическому содержанию в курсах обучения, когда математическое моделирование математического моделирования используется при поддержке технологии, основанной на проблемах, связанных с повседневная жизнь студентов, главным образом, когда такие ситуации связаны с их профессиональной деятельностью, текущими или будущими.

Далее, в этой статье, сразу после некоторых размышлений над математическим моделированием, мы подходим к методологии, используемой в исследовании, представляем построенную среду и обсуждаем достигнутые результаты.

2. Некоторые размышления над математическим моделированием в классе

Идея создания моделей для понимания и изучения широкого спектра явлений очень старая, так как человек во времени использовал представления реального мира, чтобы получить решение для построенной модели. Валидация таких моделей осуществляется путем анализа, размышлений и обсуждений по достигнутым результатам (в Интернете есть много научных форумов, которые обсуждают эти модели).

Математические модели представляют собой математические выражения, представляющие интерес для исследуемой проблемы, и могут быть сформулированы «[…] с использованием численных выражений или формул, диаграмм, графиков или геометрических представлений, алгебраических уравнений, таблиц и т.д.» (BIEMBENGUT; HEIN , 2000, стр. 12). Мы подчеркиваем, что одна модель с небольшими изменениями может представлять множество приложений. Это очень полезно как для профессионального моделирования, так и для моделирования в классе, поскольку оно позволяет использовать одну модель для решения различных ситуаций.

Математика и реальность могут быть связаны посредством моделирования. Это интерактивное соединение осуществляется с использованием известного математического процесса с целью изучения, анализа, объяснения, прогнозирования реальных повседневных жизненных ситуаций вокруг нас (CAMPOS, 2007).

Математическое моделирование в направлении, являющемся важным прикладным математическим инструментом для решения реальных проблем, также создает необходимость сбора данных и упрощения реальных ситуаций. В этом же направлении математическое моделирование математического моделирования способствует построению среды, где учащиеся могут выполнять моделирование и аналогию, считая, что одна и та же модель может быть полезна при представлении многих разных ситуаций, помогая учащимся в идентификации приложений в других областях знаний и в разных средах.

Во втором направлении математическое моделирование идентифицирует себя с педагогической перспективой, сосредоточенной на построении гражданства и социально-политической совестью студента, который стремится оценить свои индивидуальные способности, необходимые для эффективного участия в демократическом обществе, и, аналогично к мышлению Skovsmose (1996), подчеркивая критическую оценку практик, связанных с математикой, с учетом культурной среды, к которой относятся все ученики. Эта идентификация понимает, что центральное ядро ​​математической грамотности обращено к социальным изменениям, так как предлагает Яблонке (2003), направленную на формирование критически настроенного гражданина, с полномочиями спорить и, как заявили Якобини и Водевоцки (2006), заинтересованные в допросе социальные проблемы, имеющие отношение к сообществу.

В третьем направлении мы рассматриваем роль технологии обработки данных как незаменимого актера для работы с математическим моделированием, являясь им как оперативным вспомогательным инструментом или инструментом, который служит для преодоления многих проблем, часто встречающихся в традиционных классах, таких как студенты испытывают недостаток интереса или отсутствия необходимых способностей для рабочей среды. Мы подчеркиваем, что мы не одиноки в валидации роли технологии обработки данных, учитывая, что в настоящее время большинство исследователей, интересующихся математическим моделированием, считают в своих исследованиях необходимым наличие такой технологии.

3. Методология

Стремясь создать условия для анализа связи между содержанием учебного плана и применения математического моделирования при поддержке технологий в повседневных жизненных ситуациях студентов, первый автор этой статьи во втором полугодии 2007 года провел педагогический эксперимент по линейной программе дисциплина, которая является частью курса информационных систем в частном колледже в Кампинасе, Бразилия, где ученикам было предложено работать в реальных ситуациях. В этом опыте, как ранее говорилось, мы попытались подчеркнуть построение знаний и сделать учащихся более критичными и с более высоким спорным умением.

Дисциплина линейного программирования преподаётся на третьем курсе информационных систем, и в этот момент студенты обычно работают, а не как стажеры, а скорее как обычные сотрудники. Таким образом, время, затрачиваемое на школьные мероприятия, очень низкое, главным образом для математических дисциплин, которые рассматриваются как вспомогательные предметы, относящиеся к обучению студентов. Эта ситуация ухудшается, так как студенты не могут визуализировать немедленное использование для деятельности, которая в настоящее время разрабатывается в компаниях, в которых они работают. Мы считаем, что это основная причина трудностей, с которыми сталкиваются студенты в дисциплине линейного программирования, и такая ситуация создает дискомфорт как для студентов, так и для учителя. Часто студенты зависят только от этой дисциплины, чтобы окончить курс и, следовательно, получить лучшие возможности в Компании. Кроме того, требование для знания линейной алгебры создало дискомфортные моменты для многих студентов, которые к тому времени, когда они посещали такую ​​дисциплину, не только представляли трудности в понимании понятий, которые в целом абстрактны, но и некоторые из них, потерпели неудачу в этой дисциплине.

В последнее время он является частью процесса оценки этой дисциплины, развития заданий, связанных с практическим применением изучаемых предметов. При таких заданиях учащиеся (группы из двух) выбрали проблемы, связанные с тем, чему учат в дисциплине, ищут данные, моделируют проблемы, т. Е. Пытаются математически представлять ее, решать проблемы с использованием необходимого программного обеспечения, анализировать и проверять, когда это возможно, найденное решение. Поскольку большинство студентов работают профессионально, вполне обычным является то, что они собирают данные из компаний, для которых они работают, а на следующем этапе представляют математическую формулировку в представлении линейного программирования. Однако мы также обнаружили, что студенты не заинтересованы в том, чтобы работать с реальными проблемами из своей повседневной жизни из-за, в основном, сложности, требуемой для сбора данных и информации, а также математического представления, они скорее будут работать с проблемами, доступными в тексте книг.

В любой ситуации, собирающей реальные данные или используя данные из текстовых книг, от студентов требуется использовать программное обеспечение для решения проблемы, представленной как линейное программирование. Они могут запрашивать у поставщика программного обеспечения лицензию на использование определенного инструмента, такого как LINGO — Language for Interactive Optimizer, или использовать ресурсы, доступные в Microsoft Office Excel.

К концу семестра мы просим учащихся представить задание, разработанное для их одноклассников. Двойники представляют проблему, формулировку линейного программирования, обоснование переменных, целевую функцию и ограничения. В последовательности они представляют решение, к которому они пришли, и его интерпретацию, и, наконец, некоторые симуляции, связанные с теорией, преподаваемой в классе. В некоторых случаях приводятся упрощения и аналогия. Стоит отметить, что некоторые из заданий предусматривают программирование целых чисел или нелинейное программирование для обработки его приложений.

Оценка проекта составляет 20% от итогового уровня учащихся, и для такой оценки он учитывает: а) сложность выбранной проблемы; б) математическая формулировка, а также обоснование целевой функции, ограничений и переменных; c) программные симуляции для проверки теории и анализа чувствительности.

4. Среда моделирования, построенная во втором полугодии 2007 г.

Мы рассматривали учебную среду как образовательное пространство, созданное учителем, направленное на развитие его педагогической деятельности. Экзоположительный класс, на котором учитель сосредотачивает на себе задание на преподавание, работу с совместным обучением или в небольших группах на основе ситуаций, вызванных учителем, поисковые работы с использованием технологии обработки данных, обучение на основе решения проблем, посредством этно-математики, математическое моделирование математического моделирования или работа с проектами — вот некоторые примеры обучения. (JACOBINI; WODEWOTZKI, 2006).

С точки зрения математического моделирования математического моделирования в качестве методологии обучения мы считаем адекватным концептуализировать его как учебную среду (которая будет построена в классе), на которой ученики приглашаются (учителем) для изучения, посредством математики и с помощью поддержка технологий, ситуационная проблема, вызванная повседневной жизнью студентов, особенно когда такие ситуации связаны с их профессиональной деятельностью, текущими или будущими.

Создание педагогического сценария, когда ученики подстрекаются к расследованию реальных ситуаций, связанных с повседневной жизнью Компании, и, основываясь на содержании учебного материала, изучаемом в классе, поиск решений проблем, возникающих в этих ситуациях, является, следовательно, учебной средой , По сценарию, который мы построили на курсе «Информационные системы», названном средой моделирования, мы рассмотрели математическое моделирование математического моделирования педагогических предположений. Мы видели сходство между такой средой и сценариями исследования, предложенными Skovsmose (2008).

В этой среде, в начале занятий, ученикам было сообщено, что они должны выполнить практическое задание с реальной проблемой, решение которой должно быть получено на основе содержания, изученного в рамках Линейного программирования. Они также были проинформированы о том, что такое назначение потребуется по окончании курса и представлено их сверстникам. Мы оставили ученикам решение выбрать проблему. Решение проблемы в целом сложное, что нужно преодолеть, потому что ученики не знакомы с идеей создания собственных проблем, учитывая, что обычно они формулируются и предлагаются учителем.

Кроме того, как показано в некоторых исследованиях (CROUGH; HAINES (2004), GALGRAITH, STILMAN (2006)), переход реальных проблем к математическим моделям является еще одной трудностью для студентов. Например, Crouch and Haines (2004) заявляют, что инженеры-студенты, наука и техника в целом несут свое резюме, деятельность, выполняемую в рамках исследований и проектов, и, хотя используются для работы с математическими моделями, на курсах такого характера, студенты представляли серьезные трудности при выполнении обоих переходов, от реального мира до математической модели и от математического решения, найденного в реальной ситуации, из которой была извлечена проблема. Чтобы справиться с такими трудностями, еще одна задача для учителя, который выбирает моделирование как педагогическое действие.

На этом этапе задания ученики теряются в зависимости от того, какой путь взять, и в большинстве случаев они начинают искать в Интернете и / или через текстовые книги, рекомендованные учителем. Эта фаза очень интересна, потому что она привлекает потребность в исследованиях по многим источникам, а не только к традиционным дидактическим материалам, предоставляемым учителем.

Моделирование окружающей среды

В среде моделирования, о которой идет речь в этой статье, учащиеся имели возможность узнать множество примеров применения линейного программирования в реальных ситуациях с надлежащей математической формулировкой. Многие из этих примеров иллюстрировали приложения в отрасли, и некоторые из них ссылались на ситуации, которые испытывал преподаватель в качестве консультанта в компании по оптимизации. Такие проблемы были связаны с оптимизированным планированием лесов, оптимизированным планированием производства птицы. Во время презентации таких проблем было подчеркнуто, что для достижения решения путем математического лечения требуется упрощение. Мы воспользовались этим моментом, чтобы показать студентам, что много раз один и тот же математический инструмент используется для решения различных задач; например, модель, используемая для решения проблемы состава корма, может быть адаптирована для решения проблем смешивания соков, стали и т. д.

Во время обсуждения фазы выбора заданий многие студенты предпочли работать над проектами, связанными с реальными проблемами, большинство из которых напрямую связано с ситуациями, возникающими на их рабочих местах. Обычно в компаниях профессиональная деятельность, связанная с проблемами оптимизации, решаемая с помощью ресурсов линейного программирования, находится в отделах, связанных с контролем производства и планированием. Таким образом, в рабочей среде требование о знании таких ресурсов, хотя и поверхностно, оправдано, главным образом, из-за применения теоретических концепций в процессе принятия решений. Взаимодействующая в школе возможность практического применения представляет собой важный мотивационный фактор в процессе обучения и обучения. О взаимосвязи между профессиональной математикой и математикой класса D’Ambrósio (2002), правильно, напоминает нам, что факты реальной жизни помогают нам в приобретении знаний.

Однако из-за сложности этих проблем некоторые студенты вскоре отказались от такого выбора, а скорее следуют за конструкциями более простых проблем, которые потребуют от них меньше усилий. Студенты, которые проявляли интерес к проблемам со своих рабочих мест, чтобы представить их как линейное программирование, должны были делать упрощения на фазе сбора данных, а также во время формулировки ограничений для построения математической модели. Это имело смысл для них, поскольку они могли реализовать реальное требование упрощения первоначальных условий, которые окружают проблему интереса, чтобы получить возможное и жизнеспособное решение.

Дискуссии в учебной среде, построенные в классе, в большинстве случаев производили упрощения и переформулировки, а в некоторых других случаях — отказ от выбранного субъекта и обмен на другой. Позже студенты были ориентированы на использование программного обеспечения для решения проблем. Из-за простоты загрузки данных часть студентов выбрала программное обеспечение LINGO — Language for Interactive General Optimizer. Из-за знакомства остальные ученики выбрали Microsoft Spreadsheet Software Excel.

Студенты, в общем, представляли некоторые трудности во время интерпретации результатов, предоставляемых программным обеспечением, как в определении оптимального решения и ценности целевой функции, при понимании значения слабых и избыточных переменных, а также двойного цена. Эта проблема была частично решена, когда на основе обсуждений в классе студенты перечислили решения, найденные с концепциями, изученными в ходе курса. В качестве примера можно упомянуть педагогический момент, когда ученики заметили применение многих понятий, рассматриваемых в классе, как те, которые связаны с слабыми и избыточными переменными, а также с теорией анализа чувствительности. Использование программных пакетов для выполнения многих симуляций, которые способствовали пониманию теории, изученной в дополнение к сравнению с сопоставлением пакетов программного обеспечения.

Трудности в понимании понятий, связанных с теорией анализа чувствительности, были частично решены, поскольку учащиеся, основанные на симуляциях, выполненных при поддержке LINGO или Excel, могли понять практичность такой теории. Это было подробно обсуждено во время презентаций из парных разрядов, когда результаты моделирования можно было сравнить с результатами, найденными в теории.

Как уже упоминалось ранее, к концу курса группы (два студента) представили в классе результаты. Эта процедура была очень значительной, поскольку она позволяла с одной стороны каждой группе представлять в класс все этапы проблемы, непосредственно связанные с линейным программированием. И, с другой стороны, все это может визуализировать множество приложений в разных областях. Во многих случаях учителю приходилось проводить промежуточное обсуждение, рассказывая студентам о том, чему учили в классе. Мы можем упомянуть, например, момент, когда некоторые из парных в своих презентациях подходили к необходимости упрощения исходной задачи, чтобы ее можно было сформулировать как линейное программирование.

Мы заметили в этих презентациях, а также прочитали текст, что немногие из парных вернулись к реальной ситуации, чтобы проверить найденное решение. Уметь достичь решения уже считалось удовлетворительным с точки зрения ученика. Как это происходит во многих назначениях моделирования, достижение цели — это цель, которую нужно выполнить. В этих обсуждениях, связанных с надежностью и адаптируемостью полученных результатов или связанных с ее значением и его последствиями (социальной, культурной, экономической, экологической и т. д.) Повседневной жизни, откуда возникли эти проблемы, большую часть времени, откладывать в сторону. Во время презентаций заданий мы пытались подойти к таким аспектам.

Среди всех заданий, выполненных в среде, мы изначально выделяем то, что было разработано индивидуально студентом, который ранее провалил эту дисциплину, и воспользовался этой возможностью, выбрал для решения проблему, с которой он столкнулся в компании, в которой он работал для. Эта проблема была связана с процессом резки двумерных деревянных досок для производства мебели. Используя испытуемые, изученные в классе, а также некоторую дополнительную помощь преподавателя и рассчитывая на поддержку Microsoft Excel, он мог бы уменьшить потери при резке деревянных досок. Выполнение такого практического задания, помимо обеспечения применимости школьного обучения в его рабочей среде, также способствовало успеху ученика преодолеть его трудности с дисциплиной и, как следствие, получить в нем одобрение. Кроме того, презентация лучших решений на его рабочем месте способствовала его профессиональному росту.

Другие двойники также выбрали свое задание на основе требований компании, в которой работал один из участников. Назначения этих удвоений связаны с (1) оптимизацией производственной линии на автозаводе; (2) исследование расширения текстильной компании; (3) оптимизация распределения сотрудников в компании колл-центра и (4) оптимизация процесса резания стального рулона.

Помимо студентов, которые выбрали для разработки проектов, непосредственно связанных с их рабочей средой, некоторые другие создали фиктивные проблемы, но связаны с их профессиональными областями. Мы включили в эти проекты проекты, связанные с

(1) оптимизацией количества пользователей Интернета для достижения рекламы продукта; 

(2) оптимизацией распределения проектов от компании-производителя программного обеспечения и 

(3) оптимизацией наемных работников для компании по обработке данных.

Другие двойники скорее создавали бы модели, подобные примерам, представленным в классе, но определенным образом связанным с их интересом, такими как, например, проекты, связанные с 

(1) оптимизацией при изготовлении химического удобрения;

(2) оптимизацией производства шоколада; 

(3) проблема с диетой; 

(4) оптимизацией ресурсов, используемых в ферме, и 

(5) оптимизацией при выборе автомобиля на основе его потребления топлива.

5. Результаты

Разработанные задания позволили свести к минимуму рубок отсутствия релевантности в отношении этой дисциплины, поскольку они могли визуализировать многие приложения, где Линейное программирование может помочь в решении проблем и в процессе принятия решений по проблемам с их рабочих мест или в их ежедневной жизни. Помимо этого, среди студентов было интенсивное сотрудничество, позволяющее улучшить взаимодействие, что очень важно, поскольку встречи для обмена идеями и опытом очень сложны, поскольку они уже работают профессионально. Дискуссии в этой среде были о том, что студенты нашли в учебниках и о своих трудностях в интерпретации результатов программного обеспечения.

Использование программных пакетов в решении проблем, вызванных учащимися, позволило обеспечить большее взаимодействие между ними, породило больше знаний и показало им возможность визуализировать взаимосвязь между математикой (через содержимое, связанное с линейным программированием), реальным проблемы и технологии. Мы рассматривали осмысленное восприятие такой визуализации, поскольку студенты, как правило, жалуются именно на класс, преподаваемый в традиционной форме, где отношения между тем, что они изучают, и их реальной профессиональной жизнью в области обработки данных не воспринимаются. Мы видели наличие технологии как важного инструмента для совместной работы в математическом классе, поскольку она позволяет обрабатывать реальные ситуации, которые связаны с различными уровнями алгебраической сложности, в основном для студентов курсов информационных систем, для которых технология является обычным явлением в школы и / или профессиональной повседневной жизни. Текстовые книги, такие как Winston et al (1997), Hillier e Lieberman (2006), Colin (2007), в своем подходе к линейному программированию связывают примеры реальных приложений и использования вычислительных ресурсов.

Математическое моделирование математического моделирования представляет собой педагогическую стратегию, которая дополняет эту связь между реальным применением и использованием вычислительных ресурсов, поскольку она предусматривает создание благоприятных условий для студентов, чтобы они могли выбирать интересующие их проблемы, собирать собственные данные и участвовать в исследованиях, анализе, обсуждениях и размышлениях.

Блюм (1995) показывает пять аргументов в пользу включения такой стратегии в школьную среду: мотивация, упрощение обучения, подготовка к использованию математики в разных областях, развитие общих способностей для исследования и понимания математической роли в общество. В этой же строке, Zbiek and Conner (2006), выделите некоторые цели, которые должны быть достигнуты при работе с математическим моделированием. Математическое моделирование в классе, такое как подготовка учеников к профессиональной работе с моделированием, мотивирует учащихся, показывая им применимость математических идей в реальном мире и предоставить студентам возможность интегрировать математику с другими областями знаний.

Заявления ученика, некоторые из которых показаны ниже, оценивают профессиональные возможности, предоставляемые выполненной работой. Они также показывают важность обучения и обучения обучению на основе этой связи математического моделирования математического моделирования, основанного на реальных проблемах, связанных с рабочим миром, и использовании вычислительных ресурсов.

Такие заявления также подтверждают, что участие в учебном наполнении с математикой в ​​повседневной жизни (посредством математического моделирования) помогает не только продемонстрировать практическую полезность математики и актуальность ее обучения, но также уменьшить стрессовые чувства и страх к ней.

«Я нашел очень интересным приложение Excel для решения проблемы, я узнал немного больше об этом программном обеспечении, я даже не мог подумать, что у него такой инструмент».

«Эта дисциплина очень важна для меня, для решения проблем из моей повседневной жизни, и я также предвижу применение ее содержания во многих ситуациях в компании, в которой я работаю».

«Я применяю линейное программирование для лучшего решения проблемы в компании, в которой я работаю».

«Среди всех предметов курса это был тот, который стоял».

«Я был очень доволен, когда я мог решить свою проблему, я боялся этой темы, потому что все говорят, что ее очень трудно получить».

«В настоящее время я зарабатываю деньги на линейном программировании».

6. Окончательные соображения

Из этого опыта мы оценили, что математическое моделирование Математическое моделирование, предоставляя студентам возможности для выявления и изучения проблемной ситуации из их профессиональных реалий или интересов и создания возможностей для построения более критического и рефлексивного знания, представляет собой адекватный педагогический способ обучения и обучения, связанный с линейным программированием. Мы также оценили этот опыт с математическим моделированием. Математическое моделирование способствует сотрудничеству между участниками групп (или удваивается в этом случае) и среди всех студентов, когда возникают вопросы, связанные с использованием программного обеспечения, или в интерпретации полученных результатов.

Мы также подчеркиваем важность в созданной среде взаимодействия между учащимися и преподавателем либо посредством обмена электронными сообщениями, либо путем переговоров в классе, поскольку это, обеспечивая более тесную близость между всеми игроками, способствует, с одной стороны, ожидания и вопросы от студентов, чтобы их легко обсуждать и разъяснять. И, с другой стороны, облегчить выполнение задания и обмен опытом. Поскольку ученик видит учителя и его сверстников в качестве соавторов, он (она) может видеть, как классная комната и рабочее место закрываются, и, как следствие, он ассоциирует знания, полученные в результате педагогического процесса, с его (ее) профессионалом требования. Таким образом, ученик может увидеть практическое значение того, что он (она) учит в школе.

Наконец, мы подчеркиваем прогресс, связанный с знаниями доступных ресурсов на используемом программном обеспечении (Excel и LINGO). Такие успехи в равной степени упоминаются исследователями, интересующимися математическим моделированием Математическое моделирование как педагогическая стратегия. На упомянутой здесь работе студенты сначала представили некоторые трудности с использованием программного обеспечения, поскольку ранее не проводилась определенная деятельность. С течением времени классные классы преподавались и в основном с участием среди них, а некоторые помогали другим, трудности преодолевались. Это также способствовало расширению использования программного обеспечения в результате многих исследований в Интернете, где ученики обучали руководствам пользователей и предоставлялись всем участникам. Борба и др. (Borba et al., 2007) подчеркнули сотрудничество как часть интерактивного процесса, в котором преподаватели и ученики выступают в качестве партнеров в процессе обучения.

Мы завершаем эту статью двумя соображениями, связанными с математическим моделированием, средой, созданной в дисциплине линейного программирования. С одной стороны, мы подчеркиваем, с одной стороны, восприятие учениками актуальности дисциплины, поскольку это как для их интеллектуального образования, так и для их профессиональной валоризации, а также применимость технологии посредством использования конкретных пакетов программного обеспечения в математическая дисциплина, преподаваемая на полевой информационной системе. Мы считаем, что курс пробудил у студентов интерес к обучению и, несмотря на короткий контакт с теорией e с приложениями, представленными в классе, также сотрудничал таким образом, что они могут продолжать самостоятельно в применении и решении другие проблемы, от простой повседневной жизни до более сложных на рабочих местах. И, с другой стороны, окружающая среда, построенная среди студентов, способствовала взаимодействию в заданиях в группе и в моменты обмена профессиональным и академическим опытом.

Во-вторых, мы подчеркиваем, что вариант практики, который отличает себя от общего пути в классе, характеризуется главным образом предсказуемыми действиями и выполнен с единственной целью передачи информации, присущей программному контенту, требует больших усилий и самоотдачи от учитель. Таким образом, работы такого характера несовместимы с доценальной повесткой дня, полной классов или многих видов деятельности.

Использованные источники

1. BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. S.P.: Contexto, 2000.

2. BLUM, W. Applications and Modeling in mathematics teaching and mathematics education – some important aspects of practice and of research. In: SLOYER, C. et al (Eds.). Advances and perspectives in the teaching of Mathematical modeling and Applications. Yorklyn, DE: Water Street Mathematics, 1995, p. 1- 20.

3. BORBA, M. C.; MALHEIROS, A. P. S.; ZULATTO, R. B. A. Educação a Distância online. 1 ed. Belo Horizonte: Autêntica, v. 1, 2007.

4. CAMPOS C. R.  A Educação Estatística:  uma investigação acerca dos aspectos relevantes à didática da Estatística em cursos de graduação. Tese (Doutorado em Educação Matemática). 242 f. Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007.

5. COLIN, E. C. Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro: LTC. 2007.

6. CROUCH, R.; HAINES, C. Mathematical modeling: transitions between the real world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology; v. 35 (2), p. 197-206, 2004.

7. D’AMBRÓSIO, U. Matemática nas escolas. Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 9, n. 11, p. 29-33, 2002.

8. GALGRAITH, P.; STILMAN, G. A framework for identifying student blockages during transitions in the modeling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38 (2), p. 143-162, 2006.

9. HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. Tradução  A. Griesi; Revisão técnica J. Chang Junior. São Paulo: McGraw-Hill, 8ª ed. 2006.

10. JACOBINI, O. R. A modelagem matemática em sua dimensão crítica: novos caminhos para conscientização e ação políticas. V Conferência Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática. Ouro Preto. Brasil. 2007.

11. JACOBINI, O. R.; WODEWOTZKI, M. L. L. Mathematical modelling: a path to political reflection in the mathematics class. Teaching Mathematics and Its Applications. Oxford Journals. v. 35, p. 33 a 42. Publicação on line. 2006.

12. JABLONKA, E. Mathematical Literacy. In: Second International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht, NL: Kluber Academic Publishers, 2003.

13. SKOVSMOSE, O. Critical mathematics education: some philosophical remarks. In: INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICS EDUCATION, 8., 1996, Selected lectures. Sevilha: S. A. E. M., 1996. p. 413 – 425.

14. WINSTON, W. L., ALBRIGHT, S. C., BROADIE, M. Management Science: spreadsheet modeling and applications. USA: Wadsworth Publishing Company. 1997. 796 p.

15. ZBIEK, R. M., CONNER, A. Beyond Motivation: exploring mathematical modeling mathematical modeling as a context for deepening students’ understanding of curricular mathematics. Educational Studies in Mathematics. v. 63, n. 1, p. 89- 112, 2006.
    

Математический метод — обзор

8.1.1 Численные методы для линейной системы уравнений

Линейные системы уравнений связаны со многими проблемами инженерии и науки, а также с приложениями математики к общественным наукам и количественным исследованием деловые и экономические проблемы. Рассмотрим решение линейной системы AX = B :

A = [a11a12… a1na21a22… a2na31… a32 … …… a3n… an1an2… ann], X = [x1x2x3 ⋮ xn], B = [b1b2b3 ⋮ bn]

, где A — это матрица n × n , X и B — оба вектора-столбца n × 1, соответственно.Определитель A обозначается как det A или | A |, который обеспечивает результаты существования и единственности для линейных систем, когда | A | ≠ 0.

Существует множество численных методов решения линейных систем уравнений, таких как исключение Гаусса, стратегии поворота, обращение матриц, матричная факторизация, итерационные методы и т. Д. В качестве примера мы представляем матричную факторизацию, используемую в этой книге для иллюстрации приложений, и другие методы можно найти в любом учебнике численного анализа.

Метод исключения Гаусса — основной инструмент прямого решения линейных систем уравнений. Из исследования метода элементов исключения Гаусса для Ax = b , мы знаем, что сущность процесса исключения состоит в том, чтобы выполнить n2 (n − 1) последовательных преобразований элементарной строки на матрице коэффициентов A для преобразования матрицу в верхнюю треугольную матрицу. Если исключение Гаусса может быть выполнено в линейной системе AX = B без перестановок строк, то матрица A может быть разложена на произведение нижнетреугольной матрицы L и верхнетреугольной матрицы U .Факторизация особенно полезна, когда она имеет вид A = LU , где L — нижний треугольник, а U — верхний треугольник, определяемый следующим образом:

L = [1l211l31l321 ……… ln1ln2 …… lnn −11] и U = [u11u12u13… u1nu22u23… u2nu33… u3n …… unn],

, затем

(8.1) aij = ∑k = 1nlikukj = {∑k = 1i − 1likukj + uijj≥i∑k = 1j − 1likuk + lijujjj

Для i = 1, a _{1 j} = u _{1 j} , j = 1, 2 ,…, n ; и для j = 1, a _{i 1} = l _{i 1} u ₁₁ , i = 2, 3,…, n

We получить

(8.2) u1j = a1j, j = 1,2,…, n,

(8.3) li1 = ai1 / u11, i = 2,3,…, n,

(8.4) uij = aij − ∑k = 1i −1likukj, i≤j,

(8.5) lij = (aij − ∑k = 1j − 1likukj) / ujj, i> j,

Факторизацию матрицы можно разделить на два вида: текущая нижняя треугольная матрица — единица треугольной матрицы, известной как разложение Дулитла; и когда единица находится на верхней треугольной матрице, это называется разложением Краута.

Математические методы колебаний и волн | Математические и вычислительные методы и моделирование

Основываясь на простых и знакомых физических задачах, автор дает целенаправленное введение в математические методы в повествовательной и структурированной манере.Решение обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных, линейная алгебра, векторное исчисление, комплексные переменные и численные методы — все это вводится и имеет отношение к широкому кругу физических проблем. Расширенные и новые применения этих методов подчеркивают их полезность в менее знакомых областях и рекламируют те области, которые станут более важными по мере продолжения учащимися. Это подчеркивает как полезность каждого метода в решении задач возрастающей сложности, так и позволяет учащимся увидеть, как упрощенная задача становится «повторно сложной».Расширенные темы включают нелинейные уравнения в частных производных, а также релятивистские и квантово-механические варианты задач, такие как гармонический осциллятор. Студенты-физики, математики и инженеры найдут 300 сложных задач, которые будут решаться сложным образом. Выводы, полученные в результате лечения Франклина, делают его ценным обучающим ресурсом.

• Применяет новаторский подход к обучению математическим методам — ​​структурированный костяк связанных физических проблем с вспомогательными методами и примерами.
• Для одной и той же проблемы предлагается несколько решений, а инструкторам доступно руководство по решениям.
• Вездесущая проблема гармонического осциллятора используется для представления методов как проблемы, которая является одновременно важной и управляемой.

Подробнее

Обзоры и подтверждения

методы гармонического осциллятора и волновых уравнений.Изучение математических методов мотивировано разнообразными, но связанными физическими проблемами. Уровень этой презентации подходит для студентов-второкурсников, изучающих физику и математику… Более 80 графиков поддерживают повествование и делают его более доступным. Приблизительно 300 упражнений интересны, часто сложны и служат для усиления дискуссии ». Д. П. Тернер, выбор

Отзывы клиентов

Еще не рассмотрено

Оставьте отзыв первым

Отзыв не размещен из-за ненормативной лексики

×

Подробнее о продукте

• Дата публикации: март 2020 г.75кг
• содержит: 88 ч / б илл.
• наличие: Есть в наличии

Содержание

Предисловие
1. Гармонический осциллятор
2. Затухающий гармонический осциллятор
3. Связанные осцилляторы
4. Волновое уравнение
5. Интегрирование
6. Волны в трех измерениях
7. Другие волновые уравнения
8. Численные методы
Приложение A. Решение ODE: дорожная карта
Приложение B. Векторное исчисление: криволинейные координаты
Список литературы
Указатель.

Автор

Джоэл Франклин , Рид-колледж, Орегон
Джоэл Франклин — профессор физического факультета Рид-колледжа, штат Орегон. Его исследования сосредоточены на математических и вычислительных методах с приложениями к классической механике, квантовой механике, электродинамике, общей теории относительности и модификациям общей теории относительности. Он также является автором Advanced Mechanics and General Relativity (Cambridge, 2010), Computational Methods for Physics (Cambridge, 2013) и классической теории поля (Кембридж, 2017).

Математические методы в физике: уравнения в частных производных, Фури

Содержание

Ряд Фурье
Периодические процессы и периодические функции
Формулы Фурье
Ортогональные системы функций
Сходимость рядов Фурье
Ряд Фурье для непериодических функций
Разложения Фурье на интервалах произвольной длины
Ряды Фурье в косинусах или орбитах
Комплексная форма ряда Фурье
Комплексный обобщенный ряд Фурье
Ряд Фурье для функций нескольких переменных
Равномерная сходимость ряда Фурье
Феномен Гиббса
Полнота системы тригонометрических функций
Общие системы функций: равенство Парсеваля и полнота приближения
Функции в среднем
Ряд Фурье функций, заданных в дискретных точках
Решение дифференциальных уравнений с использованием рядов Фурье
Преобразование Фурье
Интеграл Фурье
Задачи
Теория Штурма-Лиувилля
Теория Штурма-Лиу Задача Вилля
Смешанные граничные условия
Примеры задач Штурма-Лиувилля
Задачи
Одномерные гиперболические уравнения
Вывод основных уравнений
Граничные и начальные условия
Другие граничные задачи: продольные колебания тонких колебаний стержня
упругий цилиндр
акустические волны
волны в мелком канале
электрические колебания в цепи
бегущие волны: метод Даламбера
полубесконечные колебания струны и использование свойств симметрии
конечные интервалы: метод Фурье для одномерной волны Уравнения
Обобщенные решения Фурье
Энергия струны
Задачи
Двумерные гиперболические уравнения
Вывод уравнений движения
Колебания прямоугольной мембраны
Применение метода Фурье к малым поперечным колебаниям круглой мембраны 9017 blems
Одномерные параболические уравнения
Физические задачи, описываемые параболическими уравнениями: краевые задачи
Принцип максимума, правильность и обобщенное решение
Метод разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводности
Теплопроводность в бесконечный стержень
Тепловое уравнение для полубесконечного стержня
Задачи
Параболические уравнения для многомерных задач
Теплопроводность в более чем одном измерении
Теплопроводность в конечной прямоугольной области
Теплопроводность в круговой области
Задачи
Эллиптические уравнения
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными и связанные с ними физические задачи
Краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области
Уравнения Лапласа и Пуассона для двумерных областей с круговой симметрией
Уравнение Лапласа в цилиндрической Координаты
Задачи
Функции Бесселя
Граничные задачи, ведущие к функциям Бесселя
Функции Бесселя первого рода
Свойства функций Бесселя первого рода: Jn (x)
Функции Бесселя второго рода
Функции Бесселя третьего рода Тип
Модифицированные функции Бесселя
Влияние границ на функции Бесселя
Ортогональность и нормализация функций Бесселя
Ряд Фурье-Бесселя
Дополнительные примеры разложений в ряды Фурье-Бесселя
Сферические функции Бесселя
Гамма-функция
Задачи Краевые задачи, ведущие к полиномам Лежандра
Производящая функция для полиномов Лежандра
Рекуррентные отношения
Ортогональность полиномов Лежандра
Мультипольное разложение в электростатике
Ассоциированные функции Лежандра P m (x)
n
Ортогональность и норма ассоциированных функций Лежандра
Ряды Фурье-Лежандра по полиномам Лежандра
Ряды Фурье-Лежандра по ассоциированным функциям Лежандра
Уравнение Лапласа в сферических координатах и ​​сферических функциях
Вспомогательные функции для различных типов граничных условий
Задача Штурма-Лиувилля и уравнение Лапласа
Векторное исчисление
Как использовать программное обеспечение, связанное с этой книгой
Обзор программы
Примеры использования программы TrigSeries
Примеры использования программы Waves
Примеры Использование программы Heat
Примеры использования программы Laplace
Примеры использования программы FourierSeries

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки вашего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

математических методов | Школа государственной политики им. Харриса Чикагского университета

Обзор

Цель программы «Математические методы» — изучить и развить большую часть математических дисциплин, которые будут использоваться во время основных курсов программ PhD и MACRM.

Все поступающие студенты Harris PhD и MACRM должны участвовать в программе математических методов. Другие магистранты очной формы обучения, заинтересованные в прохождении курсовой работы на уровне доктора философии в рамках получения степени, могут подать заявку на участие в программе.Обработка тем будет полужесткой: в курсовой работе студенты будут доказывать более простые результаты, но не более сложные. Студенты не будут получать официальную оценку за этот курс, но будут проходить тесты на протяжении всего курса.

Студенты должны просмотреть текст Реальный и выпуклый анализ перед входом в программу. Этот текст является основным справочником по курсу и может быть бесплатно загружен с сайта Springer.

Регистрация

Хотя программа обязательна для всех студентов PhD и MACRM, им необходимо зарегистрироваться.Регистрация откроется весной 2021 года.

График

Программа «Математические методы» будет проходить с 31 августа по 17 сентября 2021 года. Курсовая работа будет запланирована на будние дни, каждый день будет включать в себя лекционные обзоры математических понятий и сеанс декламации.

В 2021 году мы будем предлагать участникам как личные, так и виртуальные возможности, за исключением изменений требований общественного здравоохранения. Расписание будет состоять из ежедневных лекций и занятий.При регистрации участники выберут один из двух вариантов:

• Секция 1, лично: с 9:00 до 10:30 по чикагскому времени (лекция) и с 8:00 до 21:00 по чикагскому времени (декламация)
• Раздел 2, только виртуальный: 9: 00–10: 30 по чикагскому времени (лекция) и с 8: 00–21: 00 по чикагскому времени (сеанс чтения) — виртуальный раздел будет полностью проходить через Zoom.

Сеанс лекции и декламации каждый день будет происходить в гибридной форме, с возможностью для студентов Раздела 1 участвовать лично, в то время как студенты Раздела 2 участвуют виртуально через собрание Zoom.Место в Секции 1 будет ограничено, чтобы обеспечить надлежащее социальное дистанцирование в классах.

Студенты, заинтересованные в участии в Разделе 1 (очно) программы математических методов, должны пройти полную вакцинацию от COVID-19 и предоставить доказательство вакцинации до 1 августа в университет. Невакцинированные учащиеся с утвержденным исключением или находящиеся в процессе полной вакцинации, будут проходить еженедельное тестирование, и от них может потребоваться принятие дополнительных мер по смягчению последствий. Студенты, которые не смогли пройти вакцинацию из-за ограниченного количества вакцины в их родных странах, смогут пройти вакцинацию в кампусе.Ответы на вопросы о требованиях к вакцинации можно найти в разделе часто задаваемых вопросов о вакцинации от COVID-19 Калифорнийского университета в Чикаго.

Определения учебного режима:

• Гибрид: объединяет личных и виртуальных участников в одной синхронной среде. Что касается Jumpstart, студенты Раздела 1 будут находиться в классе с инструктором во время лекции по математике, а студенты Раздела 2 войдут в систему через Zoom, чтобы принять участие в той же лекции.
• Личное: обучение и участие как вживую, так и в классе.
• Только виртуальный: обучение и участие происходят полностью удаленно и через Zoom.

Дополнительные ориентировочные программы также будут предложены во время программы, чтобы обеспечить плавный переход участников в Harris.

Подробное расписание будет выпущено летом 2021 года.

Новый математический метод выявляет структуру нейронной активности в мозге — ScienceDaily

Недавно разработанный математический метод позволяет обнаружить геометрическую структуру нейронной активности в мозге.«Раньше, чтобы понять эту структуру, ученым нужно было связать нейронную активность с некоторыми конкретными внешними стимулами», — сказал Владимир Ицков, доцент математики Пенсильванского государственного университета. «Наш метод является первым, способным выявить эту структуру, не зная заранее внешнего стимула. Теперь мы показали, что наш новый метод позволит нам исследовать организационную структуру нейронов, не зная заранее их функции».

«Традиционные методы, используемые исследователями для анализа взаимосвязи между активностями нейронов, были заимствованы из физики, — сказала Карина Курто, доцент математики Университета Пенсильвании, — но данные нейробиологии не обязательно подчиняются тем же правилам, что и данные. из физики, поэтому нам нужны новые инструменты.Наш метод — первый шаг к разработке нового математического инструментария для раскрытия структуры нейронных цепей мозга с неизвестной функцией ».

Метод — топология клики — был разработан междисциплинарной группой исследователей из Университета Пенсильвании, Университета Пенсильвании, Медицинского института Говарда Хьюза и Университета Небраски-Линкольн. Метод описан в статье, которая будет опубликована в раннем онлайн-выпуске журнала Proceedings of the National Academy of Sciences в течение недели, закончившейся 23 октября 2015 года.

«Мы переняли подходы из области алгебраической топологии, которые ранее использовались в основном в области чистой математики, и применили их к экспериментальным данным об активности клеток места — специализированных нейронов в части мозга, называемой гиппокампом. которые определяют положение животного в окружающей его среде «, — сказал Курто.

Исследователи измерили активность клеток места в головном мозге крыс в трех различных экспериментальных условиях.Затем они проанализировали попарные корреляции этой активности — как возбуждение каждого нейрона связано с возбуждением каждого другого нейрона.

В первом случае крысам позволяли свободно перемещаться по окружающей среде — поведение, при котором активность клеток места напрямую связана с местонахождением животного в окружающей среде. Они искали данные, чтобы найти группы нейронов или «клик», в которых активность всех членов клики была связана с активностью всех остальных членов.Их анализ этих клик с использованием методов алгебраической топологии выявил организованную геометрическую структуру. Удивительно, но исследователи обнаружили аналогичную структуру в активности ячеек места в двух других условиях, которые они тестировали, — беге колеса и сне, где не ожидается, что ячейки места имеют геометрическую организацию.

«Поскольку структура, которую мы обнаружили, была похожа во всех трех экспериментальных условиях, мы думаем, что улавливаем фундаментальную организацию клеток места в гиппокампе», — сказал Ицков.

Помимо Ицкова и Курто, в исследовательскую группу входят Чад Джусти из Пенсильванского университета и Ева Пасталкова из Медицинского института Говарда Хьюза.

Исследование было поддержано Национальным научным фондом (номера грантов DMS 1122519, DMS 122566 и DMS 1537228), Фондом Альфреда П. Слоана, Премия молодых преподавателей Агентства перспективных исследовательских проектов Министерства обороны (номер гранта W911NF-15-1-0084 ) и Медицинский институт Говарда Хьюза.

История Источник:

Материалы предоставлены Penn State . Примечание: содержимое можно редактировать по стилю и длине.

epi Информация | Патентование математических методов в EPO

---

Д-р Д. Херрманн (Германия), Редакционный комитет

---

ЕПВ только что полностью пересмотрело свои Руководства по экспертизе, касающиеся «математических методов» (EPO GL 2018, G-II, разделы 3.3–3.3.2), которые особенно применимы к симуляциям, проектам, моделям и искусственному интеллекту. Эти существенные изменения в основном основаны на решениях T 1227/05 и T 1358/09 Апелляционных советов ЕПВ и сопровождаются другими недавними решениями. Здесь анализируются пересмотренные Руководящие принципы ЕПВ и несколько решений. Теперь ЕПВ определило обстоятельства, при которых характеристики математического метода считаются «техническими характеристиками» и, следовательно, важны для оценки изобретательского уровня.В ЕПВ, похоже, вырисовывается общая тенденция, которую призвано учесть в новом Руководстве ЕПВ по экспертизе. Эта тенденция в основном соответствует практике Федерального суда юстиции Германии. Основа этой тенденции сейчас находится под угрозой из-за направления G 1/19, ожидающего рассмотрения в Расширенном апелляционном совете ЕПВ, которое может изменить патентный ландшафт в этих областях технологии.

Математические методы играют важную роль во многих различных областях техники: моделирование, проектирование, моделирование или управление техническими устройствами или процессами, улучшение или анализ мультимедиа, распознавание речи, шифрование / дешифрование данных, анализ ДНК и медицинские приложения — это лишь некоторые из них. Примеры.Искусственный интеллект и машинное обучение основаны на вычислительных моделях и алгоритмах классификации, кластеризации, регрессии и уменьшения размерности, таких как нейронные сети, генетические алгоритмы, вспомогательные векторные машины, k-средние, ядерная регрессия и дискриминантный анализ. Такие вычислительные модели и алгоритмы имеют математическую природу. Следовательно, нижеследующее также обычно относится к таким появляющимся технологиям.

Согласно ст. 52 (2) a), (3) EPC и установившаяся практика ЕПВ, математические методы как таковые не считаются техническими и, таким образом, исключаются из патентоспособности.Однако это исключение применяется только в том случае, если формула изобретения касается чисто абстрактного математического метода, то есть если формула не требует каких-либо технических средств, таких как компьютер. Если формула касается предмета, включающего использование технических средств, то этот предмет имеет технический характер в целом и, таким образом, не исключен из патентоспособности в соответствии со ст. 52 (2), (3) EPC. Как только будет установлено, что заявленный объект в целом не исключен из патентоспособности и, таким образом, является изобретением в смысле искусства.52 (1) EPC, заявленный предмет исследуется на предмет других требований законодательства, в частности новизны и изобретательского уровня.

Давно установившаяся стандартная практика ЕПВ требует, чтобы заявленный объект, для того чтобы задействовать изобретательский уровень, решал техническую проблему с помощью технических средств неочевидным образом.

Что касается патентоспособности математических методов, это означало и по-прежнему означает, что признаки формулы изобретения, которые относятся к математическому методу, например вычисления или операции алгоритма, анализируются, чтобы определить, в контексте заявленного объекта -вопросы технического характера, т.е.е. если они способствуют достижению технического эффекта . Если они не вносят такой технический вклад, они не принимаются во внимание при оценке изобретательского уровня в соответствии с подходом к экспертизе широко известного решения COMVIK T 641/00 Апелляционных советов ЕПВ, и, следовательно, не может служить подтверждением наличия изобретательского уровня. Обычно ЕПВ добавляет такие нетехнические особенности к формулировке объективной технической проблемы, которую необходимо решить, которая ставится перед квалифицированным специалистом как своего рода желаемая цель, начиная с ближайшего уровня техники.

При рассмотрении математических методов особенно актуальным является вопрос, каким критериям должно соответствовать утверждение, относящееся к математическому методу, для того, чтобы особенности математического метода были признаны «техническими характеристиками», которые способствуют техническому характеру заявленного объекта. -материал, поэтому его следует учитывать при оценке изобретательского уровня.

В пересмотренных Руководящих принципах ЕПВ, по-видимому, имеет намерение переформулировать требование о техническом эффекте, указав, что вклад, вносимый особенностями математического метода в технический характер заявленного объекта, должен оцениваться путем принятия принять во внимание, соответствуют ли эти характеристики в контексте претензии одному из следующих двух альтернативных требований:

• функции служат технической цели , их применение в области техники ,

  и / или

• функции адаптированы к конкретной технической реализации .

I. «Техническое назначение / Применение»

Вышеупомянутая первая альтернатива обсуждается в этом разделе I. Техническая цель или применение могут сделать характеристики, относящиеся к математическому методу, техническими и, следовательно, значимыми для оценки изобретательского уровня. Однако ЕПВ подчеркивает в пересмотренных Руководящих принципах, что общей цели, такой как «моделирование или управление технической системой», недостаточно для придания технического характера математическому методу, а скорее, что техническая цель должна быть конкретной.Более того, простого факта, что математический метод может служить технической цели, также недостаточно. То есть претензия должна быть функционально ограничена конкретной технической целью , явно или неявно, что основано на решении T 1227/05 Правления 3.5.01 (см. Сноску и причины 3.1 в нем) . Это соответствует общему пониманию ЕПВ, а именно, что технический эффект должен быть объективно, надежно и причинно связан с заявленным признаком (EPO GL 2018, G-II, разделы 3.3.2 и 3.7), даже несмотря на то, что в решении Апелляционных советов ЕПВ об этом не говорится точно.

В соответствии с пересмотренными Рекомендациями ЕПВ, это функциональное ограничение конкретной технической цели может быть достигнуто путем установления достаточной связи между технической целью и этапами математического метода, например, путем определения того, как ввод и вывод последовательности математических этапов относится к технической цели, поэтому математический метод причинно связан с техническим эффектом.

Как это можно сделать на практике, показано на примере T 1227/05 , который также обсуждается в Руководстве ЕПВ (см. EPO GL 2018, G-VII, раздел 5.4.2.4).

I.1 Решение

T 1227/05

Целью заявки на патент, лежащей в основе этого решения, было моделирование или моделирование характеристик схемы под влиянием шума 1 / f, и предлагаемое решение было основано на представлении о том, что шум 1 / f может быть смоделирован путем подачи подходящих случайных сигналов. числа в схемную модель.

Была подана апелляция на решение отдела экспертизы отклонить заявку с претензией, направленной на метод с математическими шагами для моделирования схемы, подверженной шуму 1 / f, на том основании, что метод моделирования по пункту 1 в его нынешнем виде , представляет собой мысленный акт или математический метод как таковой и поэтому исключен из патентоспособности в соответствии со статьей 52 (2) ЕПК как не изобретение.

В приложении к повестке Правление отметило, что реализованный на компьютере вариант способа преодолеет возражение, не связанное с изобретением (ст.52 (2), (3) EPC). Однако оценка изобретательского уровня могла учитывать только те особенности, которые способствовали техническому характеру метода моделирования. Поэтому особенно необходимо было изучить, могут ли математические формулы в независимых пунктах формулы внести вклад в технический характер.

Говоря упрощенно, пункт 1 этого дела был следующим (см. EPO GL 2018, G-VII, раздел 5.4.2.4 и раздел III документа T 1227/05 ):

Реализуемый на компьютере метод численного моделирования (работы) электронной схемы, подверженной 1 / f-шуму, при этом:

(a) схема описывается моделью с входными каналами, входными каналами шума и выходными каналами;

(b) производительность входных и выходных каналов описывается системой стохастических дифференциальных уравнений;

(c) выходной вектор вычисляется для входного вектора, присутствующего во входных каналах, и для вектора шума y случайных чисел с распределением 1 / f, присутствующих во входных каналах шума; и

(d) вектор шума y генерируется следующими шагами:

(d1) установка количества n случайных чисел, которые должны быть сгенерированы;

(d2) генерируют вектор x длины n случайных чисел с распределением по Гауссу;

(d3) генерирует вектор y путем умножения вектора x на матрицу L, определенную согласно уравнению E1 *.

Уравнение E1 прямо указано в формуле изобретения.

В качестве исходной информации (см. EPO GL 2018, G-VII, 5.4.2.4), это утверждение относится к способу, выполняемому компьютером для численного моделирования (производительности) электронной схемы, подверженной шуму 1 / f. , который является одним из основных источников шума в электронных схемах. Элементы (a) — (c) определяют математическую модель, используемую в численном моделировании. Он включает в себя вектор шума y из случайных чисел с распределением 1 / f, т.е.е. случайные числа, обладающие определенным статистическим свойством, типичным для реального (физического) шума 1 / f. Шаги (d1) — (d3) определяют математический алгоритм, используемый для генерации этих случайных чисел. Согласно описанию, этот математический алгоритм особенно эффективен с точки зрения времени вычислений и ресурсов хранения, необходимых для генерации случайных чисел, необходимых для моделирования.

Совет также был убежден, что заявленные характеристики, относящиеся к математическому методу, позволят проводить моделирование с эффективным использованием ресурсов.Однако Комиссия отметила, что нельзя признать техническое преимущество на основании простого наблюдения, что заявленный метод работает быстрее, чем «мыслимый» эталонный метод. Поскольку всегда можно представить себе более медленный эталонный метод, простое сравнение скорости не будет подходящим критерием для различия между техническими и нетехническими этапами процедуры (причины 3.2.5). Этот комментарий Правления является спорным и, очевидно, трудным для понимания программистами.

Правление утверждало, что помимо реализации, процедурный шаг может способствовать техническому характеру метода только в той степени, в которой он служит адекватно определенной технической цели метода (причины 3.1).

В этом контексте Комиссия отметила, что метаспецификация (неопределенной) технической цели (имитация «технической системы») не будет считаться адекватной. Однако правление было убеждено, что подчеркнутая выше цель метода, а именно моделирование схемы, подверженной 1 / f-шуму, составляет адекватно определенную техническую цель для компьютерно-реализуемого метода, при условии , что метод функционально ограничен для этой технической цели (см. причины 3.1 и заголовок). В случае этого решения заявленная цель — моделирование схемы, подверженной 1 / f-шуму, — была установлена ​​на дальнейших этапах заявленного метода. На основе физических и математических выводов, указанных в описании, можно было проверить, что случайные числа, сгенерированные в соответствии с формулой изобретения, действительно вносят шум 1 / f в моделирование схемы. Поэтому правление было убеждено, что независимые формулы метода, помимо простого ограничения цели, функционально ограничены численным моделированием схемы, подверженной шумам (причины 3.1.2).

Поскольку алгоритм, определенный этапами (d1) — (d3), требует меньше компьютерных ресурсов, чем другие известные алгоритмы, в контексте заявленного способа, функционально ограниченного численным моделированием схемы, подверженной шумам, это приводит непосредственно к уменьшению вычислительных ресурсов, необходимых для заявленной технической цели, а именно численного моделирования электронной схемы, подверженной 1 / f-шуму, что является достигаемым техническим эффектом. В соответствии с Руководством (см. EPO GL 2018, G-VII, раздел 5.4.2.4), следует отметить, что если бы заявка не ограничивалась численным моделированием электронной схемы, подверженной шуму 1 / f, математический алгоритм, определенный этапами (d1) — (d3), не может считаться обслуживающим какие-либо технические средства. цель и, таким образом, не может рассматриваться как способствующая техническому характеру претензии, поскольку требует меньших компьютерных ресурсов, чем другой математический алгоритм сам по себе недостаточен в этом отношении в соответствии с вышеприведенным комментарием Совета в T 1227/05 (причины 3.2.5).

Интересно, что Совет также отметил, что, хотя изобретению может предшествовать мысленный или математический акт, заявленный результат не должен приравниваться к этому действию. Вышеупомянутое утверждение скорее относится к методу моделирования, который не может быть выполнен чисто умственными или математическими средствами, а не к мыслительному процессу, который привел к этому методу моделирования (причины 3.2.1).

Более того, Правление сделало важные замечания в отношении программного обеспечения для моделирования (и проектирования или моделирования), которое, особенно сегодня, обычно применимо к патентованию математических методов.

Комиссия отметила, что имитация выполняет технические функции, типичные для современных инженерных работ. Он обеспечивает реалистичное прогнозирование характеристик спроектированного устройства, такого как схема, и, таким образом, в идеале позволяет разработать его настолько точно, чтобы можно было оценить шансы на успех прототипа до его создания. Техническая значимость этого результата возрастает с увеличением скорости метода моделирования, так как это позволяет виртуально протестировать широкий спектр конструкций и проверить их пригодность до того, как начнется процесс изготовления дорогостоящих устройств.Без технической поддержки предварительное тестирование и / или квалифицированный выбор из многих проектов были бы невозможны или, по крайней мере, не в разумные сроки (см. Причину 3.2.2, заголовок). Таким методам моделирования также нельзя было отказать в техническом эффекте только на том основании, что они еще не включают физический конечный продукт (см. Заголовок).

По этим вышеупомянутым причинам, по мнению Совета, все этапы, относящиеся к моделированию схемы, включая математически выраженные признаки формулы изобретения, вносят вклад в технический характер заявленного метода моделирования и должны приниматься во внимание при оценке изобретательского уровня в особая неочевидность (причины 3.2.4 и 4).

С одной стороны, решение T 1227/05 было подтверждено в нескольких решениях Апелляционных советов ЕПВ, таких как T 1784/06 и T 988/12 .

Приложение, лежащее в основе T 988/12 , относилось к методу моделирования и анализа одного или нескольких сценариев развертывания широкополосной услуги 4G, и в решении подчеркивалось, что эта цель будет охватывать как бизнес-сценарии, так и технические сценарии и, таким образом, будет неадекватно определенная техническая цель, которая не обязательно обеспечивает технические характеристики, относящиеся к моделированию.

С другой стороны, в нескольких решениях ставился под сомнение, достаточно ли того, чтобы техническая цель была «адекватно определена» и требование ограничивалось этой целью, как, по-видимому, предполагает T 1227/05 . Такие сомнения высказывались в Т 1630/11 (пункт 7.1 причин), Т 1265/09 (пункт 1.13 причин, предпоследний абзац) и Т 531/09 (пункт 3 причин). В этом контексте, однако, важно отметить, что T 1227/05 , по-видимому, не предполагает, что достаточно простого ограничения технической цели в формуле изобретения.Напротив, заявленные операции должны достоверно привести к заявленной технической цели. Однако в случае T 1630/11 этот вопрос был оставлен открытым, поскольку Комиссия посчитала, что техническая цель заявленного моделирования в любом случае не была определена должным образом. Пункт 1 касался моделирования только постольку, поскольку в нем указывалось выполнение многопроцессорной спецификации, разработанной как графическая программа. Согласно Правлению, претензия не касалась «моделирования» какого-либо конкретного такого процессора или какого-либо конкретного класса процессоров.

Патентные практики, таким образом, могут сделать вывод из решения T 1227/5 и обсуждения в Руководстве ЕПВ, что формула метода, направленная на математический метод, должна содержать адекватно определенную техническую цель и что математический метод должен быть функционально ограничен этой целью. Благодаря этому функциональному ограничению технической цели особенности, относящиеся к математическому методу, вносят вклад в технический характер заявленного предмета изобретения и становятся важными для оценки изобретательского уровня.

I.2 Примеры в Руководстве ЕПВ для технических целей / приложений

В пересмотренных Руководящих принципах ЕПВ предоставляет список примеров технических приложений, обеспечивающих такие технические цели для функций, относящихся к математическому методу:

• управление определенной технической системой или процессом, например рентгеновский аппарат или процесс охлаждения стали;
• определение на основе измерений необходимого количества проходов уплотнительной машины для достижения желаемой плотности материала;
• улучшение или анализ цифрового звука, изображения или видео, e.грамм. шумоподавление, обнаружение людей на цифровом изображении, оценка качества передаваемого цифрового аудиосигнала;
• разделение источников в речевых сигналах; распознавание речи, например отображение речевого ввода на текстовый вывод;
• кодирование данных для надежной и / или эффективной передачи или хранения (и соответствующего декодирования), например кодирование данных с исправлением ошибок для передачи по зашумленному каналу, сжатие аудио, изображения, видео или данных датчиков;
• шифрование / дешифрование или подпись электронных сообщений; генерация ключей в криптографической системе RSA;
• оптимизация распределения нагрузки в компьютерной сети;
• определение расхода энергии субъектом путем обработки данных, полученных с физиологических датчиков; определение температуры тела субъекта из данных, полученных от датчика температуры уха;
• обеспечивает оценку генотипа на основе анализа образцов ДНК, а также предоставляет доверительный интервал для этой оценки, чтобы количественно оценить ее надежность;
• обеспечение медицинского диагноза с помощью автоматизированной системы обработки физиологических измерений;
• моделирование поведения должным образом определенного класса технических элементов или конкретных технических процессов в технически значимых условиях

В пересмотренном Руководстве ЕПВ подчеркивается, что то, служит ли математический метод технической цели, в первую очередь определяется прямой технической значимостью результатов , которые он предоставляет.

Пересмотренные Руководящие принципы ЕПВ также снова напоминают, что технический характер данных или параметров, используемых для математического метода, не обязательно означает, что математический метод способствует техническому характеру заявленного предмета ( T 2035/11 , Т 1029/06 , Т 1161/04 ).

Однако в пересмотренном Руководстве ЕПВ также указывается, что в контексте автоматизированного проектирования конкретного технического объекта (продукта, системы или процесса) определение технического параметра, который неразрывно связан с функционированием технического объекта, где определение основано на технических соображениях, является техническим назначением ( Т 471/05 , Т 625/11 ).

В соответствии с примером, приведенным в пересмотренных Руководящих принципах ЕПВ, в компьютерном методе проектирования оптической системы используется конкретная формула для определения технических параметров, таких как показатели преломления и коэффициенты увеличения, для заданных входных условий, чтобы получение оптимальных оптических характеристик вносит технический вклад. В качестве другого примера, определение с помощью итеративного компьютерного моделирования максимального значения, которое рабочий параметр ядерного реактора может принимать без риска разрыва муфты из-за напряжения, вносит технический вклад.

Напротив, если компьютерное определение технических параметров зависит от решений, которые должны быть приняты пользователем-человеком, а технические соображения для принятия таких решений не указаны в формуле изобретения, технический эффект улучшенной конструкции не может быть признан, поскольку такие эффект не будет причинно связан с признаками претензии ( T 835/10 ).

Согласно другим примерам, приведенным в пересмотренных Рекомендациях ЕПВ, если реализованный на компьютере метод приводит просто к абстрактной модели продукта, системы или процесса, e.грамм. набор уравнений, это само по себе не считается техническим эффектом, даже если моделируемый продукт, система или процесс являются техническими ( T 49/99 , T 42/09 ). Например, логическая модель данных для семейства конфигураций продукта не имеет внутреннего технического характера, и метод, просто определяющий, как действовать для достижения такой логической модели данных, не внесет технический вклад, помимо его компьютерной реализации. Точно так же метод, просто определяющий, как описать многопроцессорную систему в среде графического моделирования, не вносит технического вклада, помимо его компьютерной реализации.

I.3

T 0489/14 — Направление в Расширенный апелляционный совет (G 1/19)

В случае, лежащем в основе T 0489/14 , формулы основного запроса были направлены на реализованный на компьютере метод моделирования движения пешеходов в среде, в которой среда не была дополнительно указана, а претензия была сосредоточена на операциях моделирование движения пешеходов по окружающей среде.

С одной стороны, Совет был склонен рассматривать особенности, относящиеся к моделированию, как мысленные действия и, следовательно, как нетехнические особенности, а компьютерную реализацию моделирования как единственный технический аспект заявленного метода, который, однако, мог бы , сделать заявленный предмет очевидным на компьютере общего назначения (см. причины 5-8, 12 и 17).В частности, Правление утверждало, что технический эффект потребует прямой связи моделирования с физической реальностью, такой как изменение или измерение физического объекта (причины 11 и 23).

С другой стороны, Правление также признало выводы T 1227/05 и пришло к выводу, что функции, относящиеся к моделированию, будут техническими, если следовать T 1227/05 (см. Причины 13-15 из T 0489 / 14 ).

Однако Правление не было полностью убеждено в рассуждениях, приведенных в документе T 1227/05 , который изложен в разделе I.1 выше, и рассматривал компьютерное моделирование как инструмент, только помогающий инженеру в познавательном процессе проверки конструкции схемы, что, по мнению Совета директоров, было бы принципиально нетехническим процессом. Кроме того, Правление в T 0489/14 уделяло много внимания аргументу о том, что метод компьютерного моделирования обеспечит большую скорость тестирования проектов, при этом утверждая, что любой компьютерный алгоритм будет быстрее, чем мысленное выполнение ( см. причины 15).

В целом, Правление пришло к выводу, что как вопрос о патентоспособности методов моделирования будет иметь фундаментальное значение, так и предполагаемое отклонение Правления от интерпретации и объяснений EPC, приведенных в T 1227/05 , будет оправдывать направление из следующих вопросов в Расширенную апелляционную комиссию, которая в настоящее время находится на рассмотрении по делу № G 1/19:

1. При оценке изобретательского уровня может ли компьютерное моделирование технической системы или процесса решить техническую проблему путем создания технического эффекта, который выходит за рамки реализации моделирования на компьютере, если компьютерное моделирование заявлено как таковое ?
2. Если ответ на первый вопрос положительный, каковы соответствующие критерии для оценки того, решает ли компьютерная симуляция, заявленная как таковая, техническую проблему? В частности, является ли достаточным условием, что моделирование основано, по крайней мере частично, на технических принципах, лежащих в основе моделируемой системы или процесса?
3. Каковы ответы на первый и второй вопросы, если компьютерное моделирование заявлено как часть процесса проектирования, в частности, для проверки проекта?
   Для патентной практики будет очень важно, а также интересно с юридической точки зрения проследить, как Расширенный совет будет рассматривать обращение как таковое, аргументация, представленная в T 0489/14 (особенно в отношении Т 1227/05 ) и поставленные выше вопросы.

II. «Технические реализации»

Вышеупомянутая вторая альтернатива обсуждается в этом разделе II. В пересмотренном Руководстве ЕПВ описывается альтернативный путь, согласно которому математический метод может также способствовать техническому характеру изобретения независимо от какого-либо технического применения, когда формула изобретения направлена ​​на конкретную техническую реализацию математического метода и математического Метод , в частности, адаптирован для этой реализации, поскольку его конструкция мотивирована техническими соображениями внутреннего функционирования компьютера, который основан на T 1358/09 от Совета 3.5.07 (см. Причины 5 в нем). Согласно единственному примеру, приведенному в пересмотренных Руководящих принципах, адаптация алгоритма полиномиального сокращения для использования сдвигов размера слова, согласованного с размером слова аппаратного обеспечения компьютера, основана на таких технических соображениях и может способствовать достижению технического эффекта эффективного аппаратная реализация указанного алгоритма.

II.1 Решение

T 1358/09

Изобретение приложения, лежащего в основе этого решения, связано с компьютеризированной классификацией текстовых документов.Для этого сначала создается «модель классификации», а затем документы классифицируются с использованием этой модели классификации. Модель классификации строится на основе набора документов, которые ранее были классифицированы по ряду предопределенных классов. В частности, после построения модели классификации неклассифицированный документ классифицируется, представляя его как вектор в том же векторном пространстве и определяя подпространство, которому принадлежит вектор. Затем документ классифицируется в класс, соответствующий этому подпространству ( T 1316/09 , причины 3).

Правление утверждало, что классификация текстовых документов, безусловно, была бы полезной, поскольку она может помочь найти текстовые документы с релевантным когнитивным содержанием, но, по мнению Правления, это не квалифицируется как техническая цель в смысле раздела I выше. Вопрос о том, принадлежат ли два текстовых документа по своему текстовому содержанию к одному и тому же «классу» документов, не является технической проблемой, и Совет также сослался на решение T 1316/09 , которое постановило, что методы классификации текста сами по себе не являются произвести соответствующий технический эффект или предоставить техническое решение любой технической проблемы.

В T 1358/09 Совет согласился с заявителем в том, что человек не будет применять заявленный метод классификации для выполнения задачи классификации текстовых документов. Совет также согласился с тем, что предлагаемый компьютеризированный метод может быть быстрее, чем методы классификации, известные из предшествующего уровня техники.

Интересно, что Правление подчеркнуло, что не все аспекты эффективности алгоритма по определению не имеют отношения к вопросу о том, обеспечивает ли алгоритм технический вклад.В этом контексте данное решение уточняет вышеупомянутые (см. Раздел I) заявления, сделанные по причинам 3.2.5 решения T 1227/05 . Если алгоритм особенно подходит для выполнения на компьютере в том смысле, что разработка алгоритма была мотивирована техническими соображениями внутреннего функционирования компьютера, его можно, вероятно, рассматривать как технический вклад в изобретение, и Совет также сослался на решение T 258/03 (причины 5.8), которое ссылается на решение T 769/92 (заголовок I).Однако такие технические соображения должны выходить за рамки простого поиска компьютерного алгоритма для выполнения некоторых процедур, и Правление также сослалось на решение G 3/08 (причины 13.5 и 13.5.1), в котором комментировалось решение T 769/92. и Т 258/03 .

В данном случае, T 1358/09 , Комиссия считает, что такие технические соображения отсутствуют. По мнению Совета, заявленный алгоритм не выходит за рамки конкретной математической постановки задачи классификации документов.Очевидно, что цель этой формулировки состоит в том, чтобы позволить компьютеру выполнять эту задачу, но Правление не может признать дальнейшее рассмотрение внутреннего функционирования компьютера.

Важным для практикующих патентоведов является также замечание Совета, согласно которому детерминированным алгоритмам было бы неотъемлемым свойством обеспечивать надежные и объективные результаты, и что сам факт того, что алгоритм приводит к воспроизводимым результатам, не означает, что он делает технические вклад (причины 5.6).

Согласно Правлению, единственными особенностями реализации, указанными в иске по этому делу, являются ссылки на метод, который «компьютеризирован», и текстовые документы «представлены в цифровом виде на компьютере». Однако Правление обнаружило, что эти технические реализации математического алгоритма очевидны.

Решение T 1358/09 было поддержано другими решениями, такими как T 2418/12 и T 22/12 , в котором последнее перефразировало вышеуказанное условие, заявив, что если разработка алгоритма была мотивирована проблема, связанная с внутренней работой компьютера, например.грамм. если бы он был адаптирован к определенной компьютерной архитектуре, его, возможно, можно было бы считать техническим (причины 2.8).

В целом, кажется более трудным выполнить требование «технических реализаций», потому что преимущества алгоритмов обычно заключаются в конкретном задействованном кодировании, которое, однако, может и должно выполняться таким же образом на любом компьютере, который может быть одной из причин, почему в Руководстве отсутствуют примеры этого требования.

III. Параллели с прецедентным правом Федерального суда в Германии

Вышеупомянутая тенденция апелляционных советов ЕПВ согласуется с решением Федерального суда правосудия Германии (X ZB 1/15 — Flugzeugstand, 2015) по математическим методам.

Дело, лежащее в основе решения Федерального суда, касалось отклонения заявки на патент Германии, независимое требование которой касалось метода определения состояния самолета.Состояние было положением, скоростью и положением самолета. В независимой формуле изобретения дополнительно определены несколько математических операций, включая определение ряда измеренных значений, относящихся к состоянию самолета, и обработку измеренных значений определенным образом с использованием фильтра Калмана для оценки состояния самолета. Решающим аспектом изобретения был выбор и вычисление данных, которые подавались на фильтр Калмана, причем фильтр Калмана преимущественно подавался меньшим числом значений, поскольку это сокращает время, необходимое для обработки данных.

Суд начинает анализ с общепринятого требования о том, что особенности математического метода, как и любые другие заявленные особенности, должны способствовать техническому решению конкретной технической проблемы, чтобы быть патентоспособной (см. Заголовок а), и причины III.1 к III.2.а)). Суд также отметил, что техническая деятельность предполагает работу с силами природы, при этом законы природы обычно описываются математическими методами. По мнению Суда, применение таких математических методов для достижения определенного технического успеха или результата будет техническим, и математический метод может считаться нетехническим только в том случае, если в контексте заявленного предмета этот метод не относится к любые преднамеренно применяемые природные силы (см. сноску b) и причины III.2.b)).

Суд установил, что заявленные математические операции, которые не были раскрыты в предшествующем уровне техники, будут в достаточной мере относиться к преднамеренно приложенным естественным силам, поскольку повышенная скорость обработки данных, полученных с помощью этих функций, будет служить цели для более надежной оценки состояния самолет и, следовательно, будет напрямую влиять на функционирование системы, которая используется для оценки состояния самолета (см. сноску c) и рассуждения III.3.a)). В этом контексте Суд также подчеркнул, что нельзя отказываться от изобретательского уровня только на том основании, что невозможно выявить никаких преимуществ, т.е.е. что изобретение является простой альтернативой по сравнению с предшествующим уровнем техники (см. заголовок d) и причины III.3.b)).

Таким образом, Федеральный суд Германии также рассмотрел преимущества, предоставляемые математическими операциями, и были ли эти преимущества напрямую переведены на технический эффект, в данном случае на другое функционирование технической системы, которая оценивает состояние самолета. Хотя терминология, используемая Федеральным судом в Германии и Апелляционными советами ЕПВ для их оценки технического вклада математических методов, различается, Суд и коллегии, как показано в T 1227/05 , навязывают довольно схожие требования к формулировке формулы для того, чтобы особенности математических методов считались техническими и, следовательно, значимыми для оценки изобретательского уровня.

IV. Выводы

Таким образом, если математический метод не служит технической цели и если заявленная техническая реализация не выходит за рамки общей технической реализации, ожидается, что математический метод не будет способствовать техническому характеру изобретения (EPO GL 2018 , раздел 3.3).

Таким образом, практикующие специалисты по патентам должны адаптировать свои формулировки формулы изобретения, которые содержат особенности, относящиеся к математическому методу, либо путем включения адекватно определенной технической цели, либо путем включения адаптации математического метода к конкретной технической реализации (например, «отпечаток пальца» лежащего в основе аппаратные средства в математическом методе).Для адекватно определенной технической цели может быть недостаточно просто включить ограничение цели, относящееся к моделированию (конкретного) технического устройства, но заявленная цель также должна быть установлена ​​на дальнейших этапах заявленного способа, так что функциональное ограничение для этой технической цели заслуживает доверия. Преимущество, связанное с математическим методом, может тогда, возможно, напрямую привести к техническому эффекту.

Пересмотренное руководство указывает на уточнение или даже ужесточение критериев, применяемых ЕПВ, которым должны соответствовать характеристики, относящиеся к математическому методу, чтобы их можно было рассматривать как технические характеристики и, следовательно, уместные для оценки изобретательского уровня.Несмотря на то, что используемая терминология отличается, прецедентное право Апелляционных советов, которое привело к пересмотру Руководящих принципов, и решения Федерального суда в Германии формулируют аналогичные критерии для патентования математических методов. Основа этих критериев сейчас находится под угрозой из-за направления G 1/19, ожидающего рассмотрения в Расширенной апелляционной коллегии ЕПВ. В случае, если G 1/19 приводит к более строгому правовому мнению, отклоняющемуся от T 1227/05 , тогда заявители могут рассмотреть возможность подачи меньшего количества патентных заявок на компьютерные методы моделирования или проектирования в ЕПВ и могут предпочесть вместо этого выбрать GPTO.

---

Комментарии

.