Методы решения линейных уравнений – Еще про методы решения систем линейных алгебраических уравнений / Habr

Содержание

7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений

7.3.4.1. Метод простых итераций

Допустим, имеется система линейных алгебраических уравнений:

.

При решении этой системы точным методом корень получают сразу (xточн,yточнна рис. 44). При подстановке корня в исходную систему получают тождество.

К приближенным методам относятся итерационные методы решения систем. При решении системы приближенным методом корень получают поэтапно, путем повторения ряда действий (итераций).

Итерационнымпроцессом называется повторяющийся процесс вычислений искомой величины по её значению на предыдущем шаге.

Сначала задают начальное приближение (x0,y0), затем через эти значения находят следующую точку приближения к решению (x1,y1), через неё (x2,y2) и т. д. При подстановке полученного корня (

x*,y*) в исходную систему получают приближенное равенство.

Рис. 44. Приближенное решение

Для построения итерационных процессов решения линейных систем уравнений последние надо приводить к нормальному виду.

Вид называется каноническим видом, вид– нормальным.

Если в правую часть системы, записанной в нормальном виде, подставить какое-либо значение вектора , то при известных значениях матрицLиможно подсчитать новое значение, подставить его снова в правую часть системы и т. д.

Полученную последовательность векторов

,называютитерационной последовательностью.

Если последовательность сходится, т. е. имеет предел, то этот предел будет решением исходной системы уравнений.

Для организации приближенного вычисления корней системы линейных уравнений необходимо выполнить следующие действия:

    1. привести систему к нормальному виду;

    2. определить условие сходимости последовательности по коэффициентам системы, приведенной к нормальному виду;

    3. построить итерационный процесс;

    4. определить достижение заданной степени точности решения, т. к. точное решение может быть получено при бесконечном итерационном процессе.

Рассмотрим систему линейных уравнений 3-го порядка:

(43)

Нормальный вид системы (43):

(44)

Существует бесконечное множество способов приведения системы (43) к виду (44). Среди них всегда найдется такой, при котором будет выполняться условие сходимости итерационной последовательности ,к соответствующему пределу.

Рассмотрим возможные варианты вычислений ijиiна конкретном примере:

(45)

Вариант 1. Представим систему (45) в следующем виде:

или

где

Вариант 2. Для приведения системы к нормальному виду все члены левой части первого уравнения, кроме члена, содержащего а11, перенесем в правую часть и разделим уравнение на а

11. Для второго уравнения все члены левой части перенесем также в правую часть, кроме члена, содержащего а22, и разделим уравнение на а22. Для третьего уравнения все члены левой части перенесем в правую часть, кроме члена, содержащего а33, и разделим уравнение на а33. Приведенная система будет иметь вид:

(46)

где

Условием сходимости последовательности к пределу является выполнение следующего требования:

для всех

или (47)

для всех

то есть необходимо, чтобы сумма модулей коэффициентов нормальной системы уравнений по строкам или столбцам была меньше 1.

Для построения итерационной процедуры необходимо выбрать первоначальное значение x1(0), x2(0), .Рекомендуется в качестве этих значений выбирать либо 0, либо значения свободных членов.

Формульная запись метода простых итераций имеет вид:

,(48)

В приближенных методах задается степень точности получения решения (рис. 44).

Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующего неравенства:

. (49)

Поскольку точное решение нам неизвестно, то воспользоваться условием (49) практически невозможно. На практике можно использовать другое условие, эквивалентное (49):

. (50)

Таким образом, условием нахождения вектора неизвестных является выполнение условия:

для всех

Лекция № 4

Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).

1. Системой m линейных уравнений с nнеизвестными называется система уравнений вида:

2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x1, x2, … , xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

3. Система уравнений (1) называется совместной

, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.

5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).

К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:

1. Отбрасывание нулевых строк.

2. Изменение порядка строк.

3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.

Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.

1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.

Матрица коэффициентов перед переменными:

X = ‒ матрица переменных.

В = ‒ матрица свободных членов.

Тогда система (2) примет вид:

A×X = B ‒ матричное уравнение.

Решив уравнение, получим:

X = A-1×B

Пример:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0

матрицаА-1 существует.

2) AT= ;

3)

à =

4) А-1 =

× Ã =;

Х = А-1 × B

Ответ:

2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.

Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:

Решим эту систему методом подстановки:

Из первого уравнения следует:

Подставив во второе уравнение, получим:

Подставляем значение в формулу для, получим:

=

Определитель Δ — определитель матрицы системы;

Δ x1 — определитель переменной x1;

Δ x2 — определитель переменной x2;

Формулы:

x 1 =;x 2 =;…,xn = ;Δ  0;

‒ называются формулами Крамера.

При нахождении определителей неизвестных х1, х2,…, хnзаменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.

Пример: Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:

Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где Δ 1, Δ 2, Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Лекция № 5

Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему:

Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.

При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n) форме.

Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.

5.4. Методы решения линейных уравнений узловых напряжений

системы (5.27), вычислим первые приближения искомых напряжений U1,1, U2,1, U3,1. Проделанное вычисление соответствует первому шагу итерационного процесса. Далее вычислительная процедура повторяется: первые приближения напряжений U1,1, U2,1, U3,1 подставляются в правые части системы (5.27) и вычисляются вторые приближения напряжений U1,2, U2,2, U3,2. Таким образом, используя значения напряжений, полученных на предыдущем i-м шаге U1,i, U2,i, U3,i, вычисляются новые приближения напряжений U1,i+1, U2,i+1, U3,i+1 на (i+1)-м шаге:

U1,i+1=Y12'U2,i

+Y13'U3,i

+J1';

 

U2,i+1=Y21'U1,i

+Y23'U3,i

+J2';

(5.28)

U3,i+1=Y31'U1,i +Y32'U2,I +J3'.

 

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности.

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Как и в методе простой итерации, дадим начальные приближения искомым напряжениям U1=U1,0, U2=U2,0, U3=U3,0. Идея метода заключается в том, что найденное по первому уравнению системы (5.27) первое приближение напряжения U1,1 используется во втором уравнении при вычислении первого приближения напряжения U2,1. Далее первые приближения напряжений U1,1 и U2,1 используются в третьем уравнении при вычислении первого приближения U3,1.

Вычислительную процедуру метода Зейделя на произвольном (i+1)-м шаге можно записать системой уравнений

U1,i+1=Y12'U2i +Y13'U3i +J1';

 

U2,i+1=Y21'U1,i+1+Y23'U3i +J2';

(5.29)

U3,i+1=Y31'U1,i+1+Y32'U2,i+1+J3'.

 

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности.

Метод Зейделя, как правило, надежнее и быстрее сходится до требуемой точности, чем метод простой итерации. Простота алгоритма метода Зейделя обусловила его преимущественное использование при практических расчетах установившихся режимов.

5.5. Методы решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Рассмотренные выше методы решения линейных уравнений узловых напряжений (методы Гаусса, Зейделя, простой итерации) применимы и для систем нелинейных уравнений. Однако для систем нелинейных уравнений вычислительная эффективность этих методов мала. Наиболее

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

2.1. Системы линейных алгебраических уравнений (слау): понятие, определения.

Системы линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ) используются во многих областях прикладной математики.

В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными записывается так:

(1)

Уравнения системы считаются пронумерованными: первое, второе, …, m-ое. Числа называютсянеизвестными системы; -коэффициентами при неизвестных системы.

Коэффициент при неизвестном вi-ом уравнении обозначается через .

Например, коэффициентa23 находится во втором уравнении системы при неизвестном x3.

Числа называютсясвободными членами системы.

Решением СЛАУ (1) называется любая совокупность чисел , которая, при подстановке на место неизвестныхв уравнения данной системы, обращает все эти уравнения в тождества.

СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет решение. Если СЛАУ не имеет решения, то она называется несовместной (или противоречивой). Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется определенной, если имеет одно единственное решение, и неопределенной, если имеет больше одного решения.

Всюду далее будем рассматривать СЛАУ, имеющие единственное решение.

Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Элементарными преобразованиями СЛАУ, переводящими ее в эквивалентную СЛАУ, являются:

  1. перестановка двух уравнений системы;

  2. умножение обеих частей уравнения системы на любое отличное от нуля число;

  3. прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

2.2. Характеристика методов решения слау.

Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные (повторяющиеся).

Прямые методы

Итерационные методы

Дают решение после выполнения конечного числа операций.

Используют последовательные приближения (итерации) к искомому результату.

«+»

Достаточно универсальны, всегда дают результат, причем за конечное, заранее известное, число шагов.

«+»

Позволяют получить решение с любой заданной точностью.

«-»

Нет сведений о точности полученного решения.

«-»

При их использовании заранее неизвестно количество предстоящих итераций.

В некоторых случаях вообще не дают решения.

2.3. Прямые методы решения слау: метод Гаусса.

Рассмотрим СЛАУ (2), состоящую из n уравнений с n неизвестными:

(2)

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных наиболее распространенный из точных (прямых) методов решения СЛАУ.

Прямой ход приводит систему (2) к эквивалентной ей системе вида (2).

()

Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и последующих уравнений и так далее. Таким образом, в последнем уравнении остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют следующие известные правила:

- любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;

- можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо одного из этих уравнений.

Переход от системы (2) к системе () возможен при выполнении следующих преобразований. Пусть (если это не так, то можно поменять местами два уравнения системы). Разделим все члены первого уравнения системы (2) на, все члены второго уравнения на, третьего – на, и так далее. Если какой-то из этих коэффициентов равен нулю, то соответствующее уравнение не преобразовывается. Затем вычтем из второго, третьего , …,n-ого уравнения соответствующие части первого, получим

Первое уравнение оставим без изменений, а оставшиеся преобразуем аналогично. Так последовательно систему (2) приводим к виду ().

Обратный ход: последовательно вычисляют значения всех неизвестных, начиная с последнего.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Решение. Прямой ход.

Разделим все члены первого уравнения на 8, получим: .

Вычтем из второго и третьего уравнений первое: .

Разделим все члены второго уравнения на , а третьего – на, получим

.

Вычтем из третьего уравнения второе:

Прямой ход завершен.

Обратный ход: выразим из последнего уравнения системы .

.

Из второго уравнения выразим .

Из первого уравнения выразим .

Получаем следующее решение системы: .

Убедимся, что найдено верное решение системы, подставив его в исходную систему уравнений:

.

Численное решение уравнений — Википедия

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.

Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:

f(x1,x2,…,xn)=0{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}

или

{f1(x1,x2,…,xn)=0…fn(x1,x2,…,xn)=0{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&0\\\ldots &&\\f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.}

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.

Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен, и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципе сжимающего отображения. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.

Сжимающее отображение[править | править код]

Определим терминологию:

Говорят, что функция φ{\displaystyle \varphi } осуществляет сжимающее отображение на [a,b]{\displaystyle [a,\;b]}, если

  1. ∀x∈[a,b]:φ(x)∈[a,b]{\displaystyle \forall x\in [a,\;b]:\varphi (x)\in [a,\;b]}
  2. ∃α<1:∀x1,x2∈[a,b]||φ(x1)−φ(x2)||≤α||x1−x2||{\displaystyle \exists \alpha <1:\forall x_{1},x_{2}\in [a,\;b]\quad ||\varphi (x_{1})-\varphi (x_{2})||\leq \alpha ||x_{1}-x_{2}||}

Тогда справедлива следующая основная теорема:

Из последнего пункта теоремы вытекает, что скорость сходимости любого метода на основе сжимающих отображений не менее линейной.

Поясним смысл параметра α{\displaystyle \alpha } для случая одной переменной. Согласно теореме Лагранжа имеем:

φ(x)∈C1[a,b].∀x1,x2∈(a,b),x1<x2∃ξ∈(x1,x2):φ′(ξ)(x2−x1)=φ(x2)−φ(x1){\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}[a,\;b].\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}<x_{2}\quad \exists \xi \in (x_{1},\;x_{2}):\quad \varphi '(\xi )(x_{2}-x_{1})=\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}

Отсюда следует, что α≈|φ′(ξ)|{\displaystyle \alpha \approx |\varphi '(\xi )|}. Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы ∀x∈[a,b]|φ′(x)|≤1.{\displaystyle \forall x\in [a,\;b]\quad |\varphi '(x)|\leq 1.}

Общий алгоритм последовательных приближений[править | править код]
  1. Уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} преобразуется к уравнению с тем же корнем вида x=φ(x){\displaystyle x=\varphi (x)}, где φ(x){\displaystyle \varphi (x)} — сжимающее отображение.
  2. Задаётся начальное приближение и точность x0,ε,i=0{\displaystyle x_{0},\quad \varepsilon ,\quad i=0}
  3. Вычисляется очередная итерация xi+1=φ(xi){\displaystyle x_{i+1}=\varphi (x_{i})}
    • Если ||xi+1−xi||>ε{\displaystyle ||x_{i+1}-x_{i}||>\varepsilon }, то i=i+1{\displaystyle i=i+1} и возврат к шагу 3.
    • Иначе x=xi+1{\displaystyle x=x_{i+1}} и остановка.

Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений или методом простой итерации. Однако уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} можно преобразовывать к сжимающему отображению x=φ(x){\displaystyle x=\varphi (x)}, имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.

Применительно к СЛАУ[править | править код]

Рассмотрим систему:

{a11x1+…+a1nxn=b1…an1x1+…+annxn=bn{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\\ldots &&\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

(x1x2⋮xn)i+1=(a11+1a12…a1na21a22+1…a2n⋮⋮⋱⋮an1an2…ann+1)(x1x2⋮xn)i−(b1b2⋮bn){\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)^{i+1}=\left({\begin{array}{cccc}a_{11}+1&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}+1&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)^{i}-\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)}

Метод будет сходится с линейной скоростью, если ‖a11+1…a1n⋮⋱⋮an1…ann+1‖<1{\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы.

{\displaystyle \left\ Решение уравнения cos(x)=x по методу простой итерации, очередная итерация: xn+1=cos xn, начальное приближение: x1 = −1 {\displaystyle \left\ Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x1=a.

Метод Ньютона (метод касательных)[править | править код]

Одномерный случай[править | править код]

Оптимизация преобразования исходного уравнения f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} в сжимающее отображение x=φ(x){\displaystyle x=\varphi (x)} позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.

Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x∗{\displaystyle x^{*}} выполнялось φ′(x∗)=0{\displaystyle \varphi '(x^{*})=0}. Будем искать решение данного уравнения в виде φ(x)=x+α(x)f(x){\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)}, тогда:

φ′(x∗)=1+α′(x∗)f(x∗)+α(x∗)f′(x∗)=0{\displaystyle \varphi '(x^{*})=1+\alpha '(x^{*})f(x^{*})+\alpha (x^{*})f'(x^{*})=0}

Воспользуемся тем, что f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}, и получим окончательную формулу для α(x){\displaystyle \alpha (x)}:

α(x)=−1f′(x){\displaystyle \alpha (x)=-{\frac {1}{f'(x)}}}

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

φ(x)=x−f(x)f′(x){\displaystyle \varphi (x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} сводится к итерационной процедуре вычисления:

xi+1=xi−f(xi)f′(xi){\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}}
Многомерный случай[править | править код]

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Выбирая некоторое начальное приближение x→[0]{\textstyle {\vec {x}}^{[0]}}, находят последовательные приближения x→[j+1]{\displaystyle {\vec {x}}^{[j+1]}} путём решения систем уравнений:

fi+∑k=1n∂fi∂xk(xk[j+1]−xk[j])=0,i=1,2,…,n{\displaystyle f_{i}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x_{k}^{[j+1]}-x_{k}^{[j]})=0,\quad i=1,2,\ldots ,n},

где x[j]=(x1[j]…xk[j]…xn[j]),j=0,1,2,…{\displaystyle x^{[j]}=\left(x_{1}^{[j]}\ldots x_{k}^{[j]}\ldots x_{n}^{[j]}\right),\quad j=0,1,2,\ldots }.

  1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
  2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  3. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
  4. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
  5. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

Система уравнений — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

{F1(x1,x2,…,xM)=0F2(x1,x2,…,xM)=0…FN(x1,x2,…,xM)=0{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.}

Фигурная скобка означает, что решение (x1,x2,…,xM){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})} должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

  • Алгебраические уравнения:
  • Дифференциальные уравнения:

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

  • Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме fi(x)=0{\displaystyle f_{i}(x)=0}, возвести их в квадрат и сложить.
  • Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о