Методы решения системы линейных алгебраических уравнений: Элементы высшей математики: Решение систем линейных уравнений — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 13.11.197102.01.2022 by alexxlab

Содержание

СЛАУ примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\Delta=\left|\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end{array}\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end{array}\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end{array}\right)$$

От четвертой строки отнимем $$\frac{4}{3}$$ третьей и третью строку умножим на $$\frac{1}{3}$$ :

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \\ -2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ 3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right.

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Здесь $x_{2}, x_{4}$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1},x_{3},x_{5}$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3-2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки).

В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что $x_{1}=12,x_{3}=-5,x_{5}=6$ , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right.$ $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Pers.

narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения СЛАУ:
    Метод Крамера
    Метод обратной матрицы
    Метод Гаусса
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем:
    Метод простой итерации или метод Якоби
    Метод Гаусса – Зейделя

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи ( по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.

Постановка задачи

Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:

где , , .

A – матрица системы, – вектор правых частей, – вектор неизвестных.

При известных A и требуется найти такие , при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы решения СЛАУ

Метод Крамера

При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера

для решения СЛАУ:

(i = 1, 2, …, m). Эти формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц A_i, полученных из A заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном столбцом свободных членов. Так А₁ получается из матрицы А заменой первого столбца на столбец правых частей f.

Например, для системы двух линейных уравнений

Размерность системы (т. е., число m) является главным фактором, из–за которого формулы Крамера не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При непосредственном раскрытии определителей решение системы с m неизвестными требует порядка m!*m

арифметических операций. Таким образом, для решения системы, например, из m = 100 уравнений потребуется совершить 10¹⁵⁸вычислительных операций (процесс займёт примерно 10¹⁹лет), что не под силу даже самым мощным современным ЭВМ

Метод обратной матрицы

Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица . Тогда решение СЛАУ записывается в виде: . Следовательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на и исключим x₁ из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим

Если , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

Из нее в обратном порядке находим все значения x_i:

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁ был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁ из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

В первом уравнении коэффициент при =0, во втором = 1 и в третьем = -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент в третьем уравнении. Поэтому переставим третье и первое уравнение:

Исключим из второго и третьего уравнений с помощью первого. Во втором уравнении исключать не надо. Для исключения из третьего уравнения умножим первое на 0.5 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при в третьем. Поэтому поместим его на место второго:

Исключим из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

Обратный ход: .

Проверка: 0.5*8+0=4, -3+8-0=5, -2*(-3)+0=6.

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы которые являются слабо заполненными, т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Например, метод прогонки, который мы рассмотрим позже при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации или метод Якоби

Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

(1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

(2)

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или

Условие окончания итерационного процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Пример.

Решить систему линейных уравнений с точностью :

	8	4	2		10		x₁
=	3	5	1	=	5	=	x₂
	3	–2	10		4		x₃

Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: , , .

Приводим систему уравнений к виду (1):

Начальное приближение . Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

k	x₁	x₂	x₃	точность
0	0	0	0
1	1. 250	1.000	0.400	1.2500
2	0.650	0.170	0.225	0.8300
3	1.109	0. 565	0.239	0.4588
	………
4	0.908	0.287	0.180	0. 2781
5	1.061	0.419	0.185	0.1537
6	0.994	0.326	0.165	0.0931
7	1. 046	0.370	0.167	0.0515
8	1.023	0.594	0.160	0.2235
9	0.913	0. 582	0.212	0.1101
10	0.906	0.505	0.242	0.0764
11	0.937	0.495	0. 229	0.0305
12	0.945	0.516	0.218	0.0210
	……
13	0. 937	0.523	0.220	0.0077

Здесь

И т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что произойдет на 13 – ой итерации.

Следовательно, приближенное решение имеет вид:

Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т. е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

k	x1	x2	x3	точность
0	0	0	0
1	1. 250	0.250	0.075	1.2500
2	1.106	0.321	0.132	0.1438
3	1.056	0. 340	0.151	0.0500
4	1.042	0.344	0.156	0.0139
5	1.039	0.346	0. 157	0.0036

Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva. ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений / / Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ.

*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наличие решений.

*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная… Обратная матрица и ее нахождение.

Вы сейчас здесь: Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение. Характеристическое уравнение матрицы. Подпространство собственных векторов.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим.

Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.

Описанные выше прямые методы решения СЛАУ не очень эффективны при решении систем большой размерности (т.е. когдо значение n достаточно велико). Для решения СЛАУ в таких случаях больше подходят итерационные методы

Итерационные методы решения СЛАУ (их второе название — методы последовательного приближения к решению) не дают точного решения СЛАУ, а дают только приближение к решению, причем каждое следующее приближение получается из предыдущего и является более точным, чем предыдущее (при условии, что обеспечена сходимость итераций). Начальное (или, так называемое, нулевое) приближение выбирается вблизи предполагаемого решения или произвольно (в качестве его можно взять вектор правой части системы). Точное решение находится как предел таких приближений при стремлении их количества к бесконечности. Как правило, за конечное число шагов (т.е. итераций) этот предел не достигается. Поэтому, на практике, вводится понятие точности решения, а именно задается некоторое положительное и достаточно малое число e и процесс вычислений (итераций) проводят до тех пор, пока не будет выполнено соотношение .

Здесь — приближение к решению, полученное после итерации номер n, а — точное решение СЛАУ (которое заранее неизвестно). Число итераций n=n(e), необходимое для достижения заданной точности для конкретных методов можно получить из теоретических рассмотрений (т. е. для этого имеются расчетные формулы). Качество различных итерационных методов можно сравнить по необходимому числу итераций для достижения одной и той же точности.

Для исследования итерационных методов на сходимость необходимо уметь вычислять нормы матриц. Норма матрицы — это некая числовая величина, характеризующая величину элементов матрицы по абсолютной величине. В высшей математике имеется несколько различных видов норм матриц, которые, как правило, являются эквивалентными. В нашем курсе мы будем пользоваться только одной из них. А именно, под нормой матрицы мы будем понимать максимальную величину среди сумм абсолютных величин элементов отдельных строк матрицы. Для обозначения нормы матрицы — ее название заключается в две пары вертикальных черточек. Так, для матрицы A под ее нормой будем понимать величину

. (3.1)

Так, к примеру, норма матрицы А из примера 1 находится следующим образом :

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A^-1 · B, где A^-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A^-1 — матрицу, обратную к матрице A: A^-1 (AX) = A^-1B

Так как A^-1A = E, получаем X = A^-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Процедура решения системы ЛАУ [c.229]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяют на две группы прямые и итерационные. В прямых методах решение находят за конечное число действий, зависящее от числа неизвестных N, и это решение было бы точным, если бы при выполнении арифметических операций не было погрешностей округления, т. е. если бы действия проводились с неограниченным числом знаков. [c.10]

Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является. метод последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента. Расчет по формулам этого метода требует примерно арифметических операций, поэтому при достаточно больших N потребуются значительные затраты машинного времени. Заметим, что при решении задачи по явной схеме число арифметических операций вычисления разностного решения на каждом временном слое по формуле (3.27) пропорционально N. [c.96]

Необходимым условием сходимости итеративного метода решения систем линейных алгебраических уравнений является следующее сумма коэффициентов при неизвестных переменных в каждом уравнении не должна превышать единицу. Системы уравнений (4-10) и (4-14) этому условию удовлетворяют. [c.46]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [c. 106]

Здесь нужно отметить два обстоятельства. Во-первых, система уравнений остается симметричной — факт, облегчающий применение обычных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (гл. 20),- Во-вторых, на диагонали матрицы появляются нули, что иногда затрудняет получение решения. [c.49]

Анализ прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ показывает, что они имеют различные возможности и потенциальные преимущества [c.125]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Довольно часто различного рода задачи математической физики сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. В силу этого весьма полезно, хотя бы вкратце, изложить основные вопросы, связанные с методами их решения. Начнем рассмотрение с бесконечных систем (см. [17]). Пусть имеем систему [c.183]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации.

Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Обращение матриц — одна из наиболее распространенных операций задач строительной механики и других наук. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу л, т.е х = Е1х Эту процедуру выполняет функция шу(л ), которая вычисляет элементы обратной матрицы для исходной квадратной матрицы х. Выдается предупреждающее сообщение, если матрица л плохо масштабирована или близка к вырожденной. На практике вычисление обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще обращение применяют для решения систем линейных алгебраических уравнений вида ах = Ь. Один из путей решения этой системы — л = inv(a) Ь, хотя лучше использовать метод исключения Гаусса без формирования обратной матрицы, например х = а Ь или х = Ыа. [c.250]

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса [c.258]

Применение этого метода к минимизации квадратичной функции (5.4) дает метод наискорейшего спуска решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами [c. 142]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Наиболее эффективные из этих методов сводят решение соответствующих краевых задач к решению систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому ознакомление с основами аппарата линейной алгебры является необходимым для успешного изучения методов математического модели рования. [c.16]

При использовании численных методов в расчетах оболочек возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений высоких порядков. Методы решения систем уравнений [89] подразделяются на прямые и итерационные. Эффективность выбранного для решения систем алгебраических уравнений блочного метода Гаусса определяется следующими достоинствами [c.180]

Замечания. 1. Заключительный этап применения метода — решение системы линейных алгебраических уравнений, заменяющей ГИУ. Обычно возникают системы с заполненной матрицей. Их решение при большом числе уравнений сопряжено с определенными трудностями по сравнению с решением систем ленточного типа, с которыми имеют дело в методе конечных элементов. Мы не будем останавливаться на этом вопросе. Ограничимся несколькими замечаниями. [c.197]

В работах [1, 21 исследовалось течение вязкой несжимаемой жидкости в расширяющемся двумерном канале, стенки которого становятся параллельными на большом расстоянии вверх и вниз по потоку (ширина канала на выходе в два раза превосходила ширину яа входе). Для расчетов использовался численный метод, основанный на введении в уравнения малого параметра, сводящего численную процедуру в конечном счете к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге итерации. Расчеты показали, что при числе Рейнольдса Не, вычисленном по ширине входной части и равном 8я, возникают возвратные течения небольшой [c.235]

Вообще говоря, выбор между вариантами замены дифференциальных уравнений конечно-разностными зависимостями (с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений) и замены производных в функционалах конечными разностями с применением затем методов поиска экстремума весьма зависит от того, на каких ЭЦВМ предполагается реализовать счет и какие отлаженные подпрограммы для решения систем линейных алгебраических уравнений и поиска экстремума имеются, каковы быстродействие и объем оперативной и внешней памяти машины. Здесь специфические вопросы решения линейных алгебраических систем и поиска экстремума не рассматриваются, хотя многие из этих методов имеют свои особенности из-за специфики, которую накладывает несжимаемость. Ограничимся приведением примеров, в которых применены отработанные алгоритмы. [c.196]

Метод сопряженных градиентов является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений [46]. Однако при решении упомянутых систем уравнений на ЭВМ этот метод ведет себя как итерационный. Это связано с нарушением ортогональности некоторых векторов вследствие ошибок округления. Рассматривая метод сопряженных градиентов как итерационный метод для решения больших систем уравнений с редкой матрицей, можно обнаружить некоторые полезные свойства. Так, например, быстрая сходимость для хорошо обусловленных задач позволяет получать с достаточной точностью итерационное решение за сравнительно небольшое число итераций. Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов без непосредственной сборки глобальной матрицы системы уравнений приводит к исключительно простой вычислительной процедуре. [c.134]

Таким образом, математическое описание механического поведения ансамбля дисков в рассматриваемой модели сводится к последовательному составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений. Метод исследования состоит в выполнении численных экспериментов с помощью ЭВМ. [c.33]

Вычисление приведенных разрешающих коэффициентов производится в два этапа. На первом этапе методом Монте-Карло определяются обобщенные угловые коэффициенты излучения. На втором этапе путем решения систем линейных алгебраических уравнений лучистого теплообмена рассчитываются коэффициенты/у-. Отметим, что коэффициенты/,у могут учитывать и рассеянную частицами в объеме среды часть потока излучения по разработанным ранее алгоритмам. [c.159]

Существуют различные варианты этого метода, но для всех них характерны значительные затраты времени счета и машинной памяти, в первую очередь, за счет введения матриц [Р Р2] и [ 1 2]. Разложение по сингулярным числам является самым надежным способом определения ранга матрицы [Я] и решения систем, элементы которых подвержены ошибкам [53]. Вообще говоря, вопрос о выборе метода решения системы линейных алгебраических уравнений должен решаться с учетом конкретных особенностей задачи. Некоторые оценки эффективности используемых алгоритмов и программ содержатся в гл. 4—6. [c.50]

Уравнения (7.38) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых функций в узлах [Фь Ф2,…, Фр]. Таким образом, в методе конечных элементов решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений. [c.203]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

По этому методу уравнения баланса тепла и теплопередачи аналитически дефференцируются по переменным величинам. В результате для всего парогенератора получается система дифференциальных уравнений. При получении этой системы принимается такой шаг дифференцирования, т. е. такие изменения, при котором коэффициенты системы постоянны. Производные рассматриваются как искомые переменные, и для их определения используются численные методы решения систем линейный алгебраических уравнений. При больших изменениях коэффициенты дифференциальных уравнений переменны, тогда процесс составления и решения этих уравнений является многошаговым. [c.55]

Глобальная матрица жесткости делится на квадратные или прямоугольные блоки, каждый из которых запоминается отдельно на устройстве внешней памяти с прямым доступом. Очень эффективный фронтальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений используется в комплексе FEMLIB-80. [c.59]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.

17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций, итерационные дают лишь последовательность приближений к решению. Свойства симметрии и положительной определенности матрицы жесткости предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-кого или его разновидности — метода LDL -факторизации. Эффективная программная реализация различных вариантов мбтода Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в работе 13]. [c.34]

Занятия по теме Методы решения задач на ЭВМ для преподавателей механики проводятся в виде курса лекщ1й, в котором излагаются численные методы, наиболее часто использующиеся в задачах теоретической механики. К ним относятся методы решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения корней функций, вычисления определенных интегралов, решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1,2]. [c.20]

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) AV = B применяют диакоптический вариант метода Гаусса, основанный на приведении матрицы коэффициентов к блочно-диагональному виду с окаймлением (БДО). При анализе электронных схем этот вариант называют методом подсхем. Б методе подсхем исходную схему разбивают на фрагменты (подсхемы). Фазовые переменные (например, узловые потенциалы) делят на внутренние переменные фрагментов и граничные переменные. Вектор фазовых переменных [c.243]

В математическом обеспечении ЕС ЭВМ имеется пакет прикладных программ, предназначенных для решения систем линейных алгебраических уравнений [15]. Подпрограммы написаны на ФОРТРАНе и могут быть использованы не только на ЕС ЭВМ, но и на других типах ЭВМ. Эти подпрограммы реализуют прямые методы какдля матриц общего вида, так и для матриц специального вида (симметричных, ленточных). Ниже рассмотрим несколько широко применяемых подпрограмм, которые далее будут использованы при решении задач теплопроводности, лучистого и конвективного теплообмена. [c.17]

После форьшрованйя системы уравнений блок учета граничных условий 1-го рода моделирует их системой обобщенных узловых исто шиков тепла (стандартная процедура метода конечных элементов) и передает управление подпрограмме решения систем линейных алгебраических уравнений. По окончании работы этой подпрограммы для заданных моментов времени может быть произведена печать результата. [c.155]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерлитерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Прямой метод LDL -факторизации решения систем линейных алгебраических уравнений является одним из вариантов метода Холецкого. Рассмотрим алгоритм этого метода. Запишем исходную систему уравнений в виде [c.27]

BANDSZ решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей методом Гаусса (комплексные переменные) — Текст 504 [c. 514]

При этом появилась необходимость в последовательном изложении основ вычислительной математики и механики сплошных сред, ориентиро1ванном на практическое создание алгоритмов и программ для ЭВМ, реализующих эти модели. В центре внимания оказываются методы построения и решения систем линейных алгебраических уравнений, к которым практически всегда редуцируется соответствующая задача математической физики, лежащая в основе модели. При этом к основным вопросам, изучаемым вычислительной математикой, относятся вопросы аппроксимации.решения, устойчивости и сходимости алгоритмов. [c.15]

Задачи, требующие решения систем линейных алгебраических уравнений построение эпюр внутренних силовых факторов ( 1.1, 1.2, 4.1, 4.2, 5.1, 7.1), энергетический метод определения критической силы ( 11.3). Для решения указанных систем уравнений используется блок Find… Given системы Math AD. [c.483]

Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126]

В зтом параграфе дается общее описание алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений метода Бубнова — Галёркина, полученных с помощью лагранжевых конечных злементов для эллиптических уравнений второго порядка. Алгоритм основан на рекуррентном использовании приближенных решений систем, построенных на последовательности вложенных сеток. [c.137]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т. е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т. е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

Если у вас есть два разных уравнения с одинаковыми двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Существует три распространенных метода решения: сложение / вычитание, подстановка и построение графика.

Метод сложения / вычитания

Этот метод также известен как метод исключения.

Чтобы использовать метод сложения / вычитания, выполните следующие действия:

Умножьте одно или оба уравнения на некоторое число (а), чтобы число перед одной из букв (неизвестных) в каждом уравнении было одинаковым или прямо противоположным.
Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.
Решите оставшееся неизвестное.
Решите для другого неизвестного, вставив значение неизвестного, найденного в одно из исходных уравнений.

Пример 1

Решите для x и y .

При добавлении уравнений исключаются термины и .

Теперь добавление 5 для x в первое уравнение дает следующее:

Ответ: x = 5, y = 2

Заменяя каждое x на 5 и каждое y на 2 в исходных уравнениях, вы можете увидеть, что каждое уравнение станет истинным.

В примере и пример , существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение истинным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете однозначных ответов или вообще не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения / вычитания.

Пример 2

Решите для x и y.

Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь перед y в каждом уравнении стоит 3.

Уравнения можно вычесть, исключив члены y .

Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

Ответ: x = 5, y = 3

Конечно, если число перед буквой уже одно и то же в каждом уравнении, вам не нужно изменять ни одно уравнение. Просто сложите или вычтите.

Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3.

Пример 3

Решите относительно a и b .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

Теперь, если вы вычтете одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.

Это утверждение всегда верно .

Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. Фактически, любая замена a и b , которая делает одно из уравнений истинным, также делает истинным другое уравнение.Например, если a = –6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.

[3 (- 6) + 4 (5) = 2 И 6 (- 6) + 8 (5) = 4]

В действительности мы имеем только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.

Пример 4

Решите для x и y .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

Теперь, если вы вычтете нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение никогда не соответствует действительности . Когда это происходит, система уравнений не имеет решения.

В примерах 1–4 только одно уравнение было умножено на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение необходимо умножить на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.

Решите для x и y .

Обратите внимание, что не существует простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед x или y , чтобы они стали одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:

Выберите букву, которую нужно удалить.
Используйте две цифры слева от этой буквы. Найдите наименьшее общее кратное этого значения как желаемое число перед каждой буквой.
Определите, на какое значение необходимо умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.

Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .

Теперь вычтите второе уравнение из первого, чтобы получить следующее:

На этом этапе вы можете либо заменить y на и решить для x (метод 1, который следует далее), либо начать с двух исходных уравнений и исключить y , чтобы решить для x (метод 2, который следует).

Метод 1

Используя верхнее уравнение: замените y на и решите относительно x .

Метод 2

Исключаем y и решаем относительно x .

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее уравнение на 2.

Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить y .

Решение: x = 1 и.

Метод замещения

Иногда систему проще решить с помощью метода подстановки . Этот метод включает замену одного уравнения в другое.

Пример 6

Решите для x и y.

Из первого уравнения замените ( y + 8) на x во втором уравнении.

( y + 8) + 3 y = 48

Теперь решите г. Упростите, объединив и .

Теперь вставьте значение y , 10, в одно из исходных уравнений.

Ответ: y = 10, x = 18

Проверьте решение.

Пример 7

Решите для x и y , используя метод подстановки.

Сначала найдите уравнение, в котором перед буквой стоит цифра «1» или «- 1». Решите эту букву с точки зрения другой буквы.

Затем действуйте как в примере 6.

В этом примере в нижнем уравнении перед числами y стоит «1».

Решите относительно y в терминах x .

Замените 4 x -17 вместо y в верхнем уравнении, а затем решите относительно x .

Замените x на 4 в уравнении y — 4 x = –17 и решите относительно y .

Решение: x = 4, y = –1.

Проверьте решение:

Графический метод

Другой метод решения уравнений — это построения каждого уравнения на координатном графике. Координаты перекрестка будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно просмотрите статьи о координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.

Пример 8

Решите систему, построив график.

Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. (Хотя для определения прямой необходимы только две точки, поиск третьей точки — хороший способ проверки.) Ниже приведены таблицы значений x и y :

Теперь изобразите две линии на координатной плоскости, как показано на рисунке 1.

Точка пересечения двух линий (4, 0) — это решение системы.

Если линии параллельны, они не пересекаются, и, следовательно, для этой системы нет решения.

Рис. 1. График из линий x = 4 + y и x — 3 y = 4, обозначающих решение.

Пример 9

Решите систему, построив график.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.

3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4

Ниже приведены таблицы значений x и y .См. Рисунок 2.

х	л
0
2	— 1
4

х	л
0
2	— 1
4

Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению.Эти уравнения представляют собой одну и ту же линию.

Следовательно, решение не единственное. Решение — это все точки на линии.

Следовательно, решением является любое уравнение прямой, поскольку они оба представляют одну и ту же линию.

Это похоже на пример когда это было сделано с использованием метода сложения / вычитания.

Рисунок 2. График из линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4, указывающих решение.

Пример 10

Решите систему, построив график.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. Следующие таблицы значений x и y :

х	л
0	1
2
4	–2

х	л
0	2
2
4	–1

Обратите внимание на то, что на рисунке 3 два графика параллельны.Они никогда не встретятся. Следовательно, у этой системы уравнений нет решения.

Для этой системы уравнений не существует решения.

Это похоже на пример выполняется методом сложения / вычитания.

Рисунок 3. График из линий 3 x + 4 y = 4 и 6 x + 8 y = 16, указывающих решение.

Линейное алгебраическое уравнение — обзор

3.3.2 Компьютерное программирование

Как в подразделе 3.2.2, S ^{[ k ]} _j ( t ), Z ^{[ kn ]} _jq ( y , и t ) _qj закодированы в функциях cload, zkernel и ccoef соответственно.

Линейные алгебраические уравнения в (3.27) устанавливаются и кодируются здесь в подпрограмме, называемой crelement. Входными параметрами, считываемыми в Crelement подпрограммы, являются целые числа Nd, N и целочисленный массив M (1: N).Целые числа Nd и N описаны в подразделе 3.2.2 для подпрограммы kehsie. Здесь целочисленный массив M (1: N) хранит значения M ^[1], M ^[2],…, M ^{[ N — 1]} и M ^{[ N ]}, где M ^{[ k ]} — количество элементов трещины, используемых для выделения интервала — 1 ≤ y ≤ 1, на котором функция W ^{[ k ]} _q ( y ) определено.

Значения коэффициентов ϕ ^{[ км ]} _j и ψ ^{[ км ]} _j (, k , = 1 N 😉 m = 1, 2,…, M ^{[ k ]}) в (3.21) соответственно возвращаются в реальном массиве phi (1: N, 1: M, 1: Nd) и psi (1: N, 1: M, 1: Nd) подпрограммой crelement.

Подпрограмма Crelement приведена ниже.

подпрограмма Crelement (Nd, N, M, phi, psi)

целое число Nd, N, M (5), je, pe, ke, eqno, i, j, varno,

& nv, mv, qv, tm

двойной точности phi (5,30,3), psi (5,30,3),

& pi, yy (5,31), dnk, cload, ccoef,

& A (1000,1000), B (1000), X (1000), tt (5,60),

& fa, fb, ga, gb, zint, zyint, ac, bc, tc, zkernel

pi = 4d0 * datan (1d0)

do 10 i = 1, N

do 10 j = 1, M (i) + 1

yy (i, j) = — dcos (dfloat (j-1) * pi / dfloat (M (i)) )

10 продолжить

tm = 0

do 15 i = 1, N

tm = tm + M (i)

do 15 j = 1, M (i)

tt (i, j) = 0.75d0 * yy (i, j) + 0,25d0 * yy (i, j + 1)

tt (i, j + M (i)) = 0,25d0 * yy (i, j) + 0,75d0 * yy (i , j + 1)

15 продолжить

tm = Nd * tm

eqno = 0

do 100 je = 1, Nd

do 100 ke = 1, N

do 100 pe = 1,2 * M (ke)

eqno = eqno + 1

tc = tt (ke, pe)

B (eqno) = cload (ke, je, tc)

varno = 0

do 90 qv = 1, Nd

do 90 nv = 1, N

if (ke.eq.nv) then

dnk = 1d0

else

dnk = 0d0

endif

do 90 mv = 1, M (nv)

varno = Varno + 1

ac = yy (nv, mv)

bc = yy (nv, mv + 1)

fa = (- 1d0 / (1d0-tc ** 2d0))

& * ((1d0 -ac ** 2d0) ** 1.5d0 / (ac-tc)

& + tc * (1d0-ac ** 2d0) ** 0.5d0

& — (tc ** 2d0) * dasin (ac)

& -0.5d0 * tc * ( 1d0-tc ** 2d0) ** 0.5d0 *

& dlog (dabs ((dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-ac ** 2d0)) + 1d0-ac * tc) /

& (dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-ac ** 2d0)) — 1d0 + ac * tc)))

& + ac * dsqrt (1d0-ac ** 2d0) + dasin (ac))

fb = (- 1d0 / (1d0-tc ** 2d0))

& * ((1d0-bc ** 2d0) ** 1.5d0 / (bc-tc)

& + Tc * (1d0-bc ** 2d0) ** 0.5d0

& — (tc ** 2d0) * dasin (bc)

& -0,5d0 * tc * (1d0-tc ** 2d0) ** 0,5d0 *

& dlog (dabs ((dsqrt ((1d0 -tc ** 2d0)

& * (1d0-bc ** 2d0)) + 1d0-bc * tc) /

& (dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-bc * * 2d0)) — 1d0 + bc * tc)))

& + bc * dsqrt (1d0-bc ** 2d0) + dasin (bc))

ga = tc * fa + dsqrt (1d0-ac ** 2d0 ) -tc * dasin (ac)

& -0.5d0 * (1d0-tc ** 2d0) ** 0.5d0 *

& dlog (dabs ((dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-ac ** 2d0)) + 1d0-ac * tc) /

& (dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-ac ** 2d0)) — 1d0 + ac * tc )))

gb = tc * fb + dsqrt (1d0-bc ** 2d0) -tc * dasin (bc)

& -0.5d0 * (1d0-tc ** 2d0) ** 0.5d0 *

& dlog (dabs ((dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-bc ** 2d0)) + 1d0-bc * tc) /

& (dsqrt ((1d0-tc ** 2d0)

& * (1d0-bc ** 2d0)) — 1d0 + bc * tc)))

zint = (1d0 / (bc- ac))

& * (- (zkernel (ke, nv, je, qv, bc, tc)

& -zkernel (ke, nv, je, qv, ac, tc)) *

& ((1d0 -bc ** 2d0) ** 1.5d0

& — (1d0-ac ** 2d0) ** 1.5d0) / 3d0

& + 0.5d0 * (bc * zkernel (ke, nv, je, qv, ac , tc)

& -ac * zkernel (ke, nv, je, qv, bc, tc))

& * (bc * dsqrt (1d0-bc ** 2d0)

& -ac * dsqrt (1d0- ac ** 2d0)

& + dasin (bc) -dasin (ac)))

zyint = (1d0 / (bc-ac))

& * (- (bc * zkernel (ke, nv, je, qv, bc, tc)

& -ac * zkernel (ke, nv, je, qv, ac, tc)) *

& ((1d0-bc ** 2d0) ** 1.5d0

& — (1d0-ac ** 2d0) ** 1.5d0) / 3d0

& + 0.5d0 * (bc * ac * zkernel (ke, nv, je, qv, ac, tc)

& — ac * bc * zkernel (ke, nv, je, qv, bc, tc))

& * (bc * dsqrt (1d0-bc ** 2d0)

& -ac * dsqrt (1d0-ac ** 2d0)

& + dasin (bc) -dasin (ac)))

A (eqno, varno) = dnk * ccoef (je, qv) * (gb-ga)

& + zyint

A (eqno, varno + Tm) = dnk * ccoef (je, qv) * (fb-fa)

& + zint

90 продолжить

100 продолжить

вызов решателя (A, B, 2 * tm, 1, X)

varno = 0

do 120 qv = 1, Nd

do 120 nv = 1, N

do 120 mv = 1, M (nv)

varno = varno + 1

phi (nv, mv, qv) = X (varno)

psi (nv, mv, qv) = X (varno + tm)

120 продолжить

return

end

Обратите внимание, что интегралы в третьей и четвертой строках (3.27) вычисляются численно в действительных переменных zyint и zint соответственно с использованием формулы (3.28). Если функции Z ^{[ kn ]} _jq ( y , t ) имеют относительно простые формы, так что интегралы могут быть оценены аналитически, точность метода элемента трещины, закодированного в Crelement можно улучшить, используя аналитические формулы для интегралов, чтобы изменить коды для вычисления значений zyint и zint.

Две переменные — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

Решайте системы уравнений с помощью построения графиков.
Решите системы уравнений подстановкой.
Решите системы уравнений сложением.
Определить несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные.

Рисунок 1. (предоставлено Томасом Соренесом)

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он получает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

Введение в системы уравнений

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений.Непротиворечивая система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали. Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одни и те же точки пересечения на . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию.Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

Независимая система имеет ровно одну пару решений. Точка пересечения двух линий является единственным решением.
Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

(рисунок) сравнивает графические представления каждого типа системы.

Рисунок 2.

Как к

Для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Попробуй

Определите, является ли заказанная пара решением следующей системы.

[show-answer q = ”fs-id1165135513561 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135513561 ″]

Не выход.

[/ hidden-answer]

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков

Решите следующую систему уравнений, построив график.Определите тип системы.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[раскрыть-ответ q = ”1 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[hidden-answer a = ”1 ″]

Решением системы является заказанная пара

[/ hidden-answer]

Можно ли использовать построение графиков, если система несовместима или зависима?

Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения.Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы двух переменных с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целочисленных значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений, которые более точны, чем построение графиков.Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки, в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как к

Для системы двух уравнений с двумя переменными решите, используя метод подстановки.

Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
Проверьте решение в обоих уравнениях.

Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[show-answer q = ”fs-id1165135516681 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135516681 ″]

[/ hidden-answer]

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — метод сложения. В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как к

Для данной системы уравнений используйте метод сложения.

Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную.Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

Анализ

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление. См. (Рисунок), чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Рисунок 5.

Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[show-answer q = ”fs-id1165137884374 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137884374 ″]

[/ hidden-answer]

Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[show-answer q = ”fs-id1165135547107 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135547107 ″]

[/ hidden-answer]

Выявление несовместимых систем уравнений, содержащих две переменные

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Вспомните, что противоречивая система состоит из параллельных линий с одинаковым наклоном, но с разными точками пересечения.Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например

Решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

Анализ

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек.Графики уравнений в этом примере показаны на (Рисунок).

Рисунок 8.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[show-answer q = ”fs-id1165135189710 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135189710 ″]

Нет решения. Это противоречивая система.

[/ hidden-answer]

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или сложения результирующее уравнение будет тождественным, например

Нахождение решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений, используя метод сложения.

Анализ

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением.Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

См. (Рисунок). Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы —

Рисунок 9.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[show-answer q = ”fs-id1165135176847 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135176847 ″]

Система является зависимой, поэтому существует бесконечное количество решений вида

[/ hidden-answer]

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция дохода производителя скейтборда — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Его можно представить уравнением где количество и цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на (Рисунок).

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на (Рисунок). Ось представляет количество в сотнях единиц.Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Рисунок 10.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности. Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль.Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция выручки за вычетом функции затрат, записанная как «Ясно». Знание количества, для которого затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Написание и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк для детей и для взрослых. В определенный день посещаемость цирка равна, а общий доход от ворот — Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Попробуй

Билеты в цирк для детей и взрослых.Всего были куплены билеты Ifmeal на то, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

[show-answer q = ”fs-id1165134483375 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134483375 ″]

700 детей, 950 взрослых

[/ hidden-answer]

Ключевые понятия

Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. См. (Рисунок).
Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей. См. (Рисунок).
Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка.В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение. См. (Рисунок).
Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных. См. (Рисунок).
Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются. См. (Рисунок).
Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию. См. (Рисунок).
Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения? Объясните, почему да или почему нет.

[show-answer q = ”fs-id1165133393406 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133393406 ″]

Нет, у вас может быть ноль, один или бесконечно много. Изучите графики.

[/ hidden-answer]

Если вы выполняете анализ безубыточности для бизнеса и их уравнения затрат и доходов зависят друг от друга, объясните, что это означает для рентабельности компании.

Если вы решаете анализ безубыточности и получаете отрицательную точку безубыточности, объясните, что это означает для компании?

[show-answer q = ”fs-id1165133305360 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133305360 ″]

Это означает, что реальной точки безубыточности нет. К тому времени, когда компания производит одну единицу, они уже получают прибыль.

[/ hidden-answer]

Если вы выполняете анализ безубыточности, а точки безубыточности нет, объясните, что это означает для компании.Как им обеспечить точку безубыточности?

Дана система уравнений, объясните хотя бы два различных метода решения этой системы.

[show-answer q = ”fs-id1165133305378 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133305378 ″]

Вы можете решить заменой (выделением или), графически или сложением.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

В следующих упражнениях определите, является ли данная упорядоченная пара решением системы уравнений.

[show-answer q = ”fs-id1165135199325 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135199325 ″]

Есть

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134350004 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134350004 ″]

Есть

[/ hidden-answer]

В следующих упражнениях решите каждую систему заменами.

[show-answer q = ”fs-id1165135539001 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135539001 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134323576 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134323576 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137938420 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137938420 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133370749 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133370749 ″]

Решения отсутствуют.

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134087628 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134087628 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений решите каждую систему сложением.

[show-answer q = ”fs-id1165133237152 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133237152 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137835514 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137835514 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134179654 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134179654 ″]

Решения отсутствуют.

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134116811 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134116811 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165132041743 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165132041743 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений решите каждую систему любым методом.

[show-answer q = ”fs-id1165135397097 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165135397097 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135586948 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135586948 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135555431 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135555431 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134167283 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134167283 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134118216 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134118216 ″]

[/ hidden-answer]

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте систему уравнений и укажите, является ли система непротиворечивой, несовместимой или зависимой, а также имеет ли система одно решение, без решения или бесконечное количество решений.

[show-answer q = ”fs-id1165134279202 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134279202 ″]

В соответствии с одним решением

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134475652 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134475652 ″]

В соответствии с одним решением

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id11651332

″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651332

″]

Зависит от бесконечного множества решений

[/ hidden-answer]

Технологии

В следующих упражнениях используйте функцию пересечения на графическом устройстве для решения каждой системы.Округлите все ответы до сотых.

[show-answer q = ”fs-id1165134186354 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134186354 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165131880336 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165131880336 ″]

[/ hidden-answer]

Реальные приложения

Для следующих упражнений найдите желаемое количество.

У бизнеса по производству чучел животных есть общие затраты на производство и функция выручки Найдите точку безубыточности.

У ресторана быстрого питания есть производственные затраты и функция выручки Когда компания начинает получать прибыль?

[show-answer q = ”fs-id1165133315058 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133315058 ″]

Они никогда не приносят прибыли.

[/ hidden-answer]

У завода по производству сотовых телефонов есть стоимость производства и функция дохода. Какова точка безубыточности?

Музыкант — это общее количество участников концерта.Заведение взимает 80 долларов за билет. После того, как сколько людей купит билеты, место проведения станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

[show-answer q = ”fs-id1165135633718 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135633718 ″]

[/ hidden-answer]

Завод по производству гитар имеет себестоимость производства. Если компании необходимо выйти на уровень безубыточности после продажи 150 единиц, по какой цене они должны продавать каждую гитару? Округлите до ближайшего доллара и напишите функцию дохода.

Для следующих упражнений используйте систему линейных уравнений с двумя переменными и двумя уравнениями для решения.

Найдите два числа, сумма которых 28, а разница 13.

[show-answer q = ”fs-id1165131863016 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165131863016 ″]

Цифры 7,5 и 20,5.

[/ hidden-answer]

Число на 9 больше, чем другое число. Дважды сумма двух чисел равна 10. Найдите два числа.

Стартовая стоимость ресторана составляет 120 000 долларов, а приготовление каждого обеда обходится ресторану в 10 долларов. Если после этого каждое блюдо будет продаваться по 15 долларов, после скольких обедов ресторан станет безубыточным?

[show-answer q = ”fs-id1165134199409 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134199409 ″]

24 000

[/ hidden-answer]

Транспортная компания взимает фиксированную ставку в размере 150 долларов и дополнительно 5 долларов за каждую коробку. Если служба такси будет взимать 20 долларов за каждую коробку, сколько коробок вам потребуется, чтобы было дешевле использовать транспортную компанию, и какова будет общая стоимость?

На митинг собралось 1595 студентов первого и второго курсов колледжей.Количество первокурсников превысило количество второкурсников на 15. Сколько первокурсников и второкурсников пришло на учебу?

[show-answer q = ”fs-id1165134199428 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134199428 ″]

790 второкурсников, 805 первокурсников

[/ hidden-answer]

На первый курс химии зачислено 276 студентов. К концу семестра в 5 раз больше студентов было признано неуспешным. Найдите количество студентов, сдавших экзамен, и количество студентов, не сдавших экзамен.

На конференции присутствовало 130 преподавателей. Если бы на конференции присутствовало на 18 женщин больше, чем мужчин, сколько представителей каждого пола посетило конференцию?

[show-answer q = ”fs-id1165134254374 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134254374 ″]

мужчин 56, женщин 74

[/ hidden-answer]

Джип и BMW выезжают на шоссе, идущее с востока на запад, на одном выезде и в противоположных направлениях. Джип выехал на шоссе на 30 минут раньше BMW и разогнался на 7 миль в час медленнее, чем BMW.Спустя 2 часа с момента выезда BMW на шоссе, автомобили разошлись на расстоянии 306,5 миль. Найдите скорость каждого автомобиля, если он управляется круиз-контролем.

Если ученый смешал 10% физиологический раствор с 60% физиологическим раствором, чтобы получить 25 галлонов 40% физиологического раствора, сколько
галлонов 10% и 60% растворов было смешано?

[show-answer q = ”fs-id1165134254393 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134254393 ″]

10 галлонов 10% раствора, 15 галлонов 60% раствора

[/ hidden-answer]

Инвестор заработала втрое больше, чем она заработала в прошлом году.Если она заработала 500 000,48 долларов за оба года, сколько она зарабатывала прибыли каждый год?

Инвестор, который занимается недвижимостью, вложил 1,1 миллиона долларов в две инвестиции в землю. При первой инвестиции, Swan Peak, ее доход увеличился на 110% по сравнению с вложенными деньгами. Во втором вложении, Riverside Community, она заработала на 50% больше, чем вложила. Если она заработала 1 миллион долларов прибыли, сколько она вложила в каждую сделку с землей?

[show-answer q = ”fs-id1165133227646 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133227646 ″]

Лебединый пик: 750 000 долларов, Риверсайд: 350 000 долларов

[/ hidden-answer]

Если инвестор инвестирует в общей сложности 25000 долларов в две облигации, одна из которых выплачивает 3% простых процентов, а другая —

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
\, 2 \ frac {7} {8} \ text {%} \,

*** Сообщение об ошибке:
Файл завершился при сканировании использования \ text @.Экстренная остановка.

процентов, а инвестор зарабатывает 737,50 долларов в год, сколько было вложено в каждый счет?

Если инвестор вкладывает 23 000 долларов в две облигации, одна из которых выплачивает 4% простых процентов, а другая — 2% простых процентов, и инвестор получает 710,00 долларов в год, сколько было вложено на каждый счет?

[show-answer q = ”fs-id1165134061799 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134061799 ″]

12 500 долларов на первом счете, 10 500 долларов на втором счете.

[/ hidden-answer]

Компакт-диски

стоят на 5,96 долларов больше, чем DVD в All Bets Are Off Electronics. Сколько будут стоить 6 CD и 2 DVD, если 5 CD и 2 DVD будут стоить 127,73 доллара?

Продавец продала 60 пар кроссовок. Высокие кеды продавались за 98,99 долларов, а низкие — за 129,99 долларов. Если выручка от двух типов продаж составила 6404,40 доллара, сколько кроссовок каждого типа было продано?

[show-answer q = ”fs-id1165134061817 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134061817 ″]

Высокие: 45, Низкие: 15

[/ hidden-answer]

Концертный менеджер насчитал 350 билетов на следующий день после концерта.Цена студенческого билета составляла 12,50 долларов, а взрослого — 16 долларов. В реестре подтверждено, что было внесено 5 075 долларов. Сколько было продано студенческих и взрослых билетов?

Вход в парк развлечений для 4 детей и 2 взрослых стоит 116,90 долларов США. Для 6 детей и 3 взрослых вход составляет 175,35 долларов США. Если предположить, что цена для детей и взрослых разная, какова цена детского билета и цена взрослого билета?

[show-answer q = ”fs-id1165135363419 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135363419 ″]

Бесконечно много решений.Нам нужна дополнительная информация.

[/ hidden-answer]

4. Алгебраические решения линейных систем

а. Решение систем уравнений с помощью подстановки

Этот метод включает замену y (или «x», если это проще) из одного уравнения в другое уравнение. Это упрощает второе уравнение, и мы можем легко его решить.

Пример 1

Решите систему

x + y = 3 [1]
3 x — 2 y = 14 [2]

с заменой.

(Числа в квадратных скобках [1] и [2] используются для названия каждого уравнения. Это упрощает обращение к ним в решении.)

Ответ

Из строки [1] мы вычитаем x с обеих сторон и получаем y = −x + 3.

Подставляем это вместо на в строке [2]:

3 x — 2 (- x + 3) = 14

Это дает нам: `3x + 2x — 6 = 14`

Следовательно, `x = 4`.

Теперь, используя строку [1], мы получаем y = −1.

Если у нас есть правильные числа, они также должны работать в другом уравнении.

Проверка в строке [2]:

`3 (4) — 2 (−1) = 14` [OK]

Итак, наше решение `(4, −1)` правильное.

г. Решение систем уравнений методом исключения

Наша цель здесь — исключить одну из переменных. Неважно, какой из них — обычно мы делаем самый простой.

Пример 2

Решите систему с помощью исключения.

3 x + y = 10 [1]
x — 2 y = 1 [2]

Ответ

Если мы вычтем одну строку из другой, мы ничего не удалим. Однако, если мы умножим одну из строк, мы можем исключить одну из переменных, добавив строки.

Ряд [1] `× 2` дает нам

6 x + 2 y = 20 [3]
x — 2 y = 1 [2] (без изменений)

Если мы сложим строки [3] и [2], мы исключим y .

`7x = 21`

Итак, `x = 3` и используя строку [1],` y = 1`.

Отметьте строку [2]: `3 — 2 (1) = 1` [OK]

Итак, наше решение — `(3, 1)`.

В следующей главе мы увидим, как решать системы уравнений, используя определителей, (хорошо для бумажных решений) и матриц (очень мощный и лучший способ сделать это на компьютерах).

4.6. Решение систем уравнений с использованием детерминантов — промежуточная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Вычислить определитель матрицы 2 × 22 × 2
Вычислить определитель матрицы 3 × 33 × 3
Используйте правило Крамера для решения системы уравнений
Решать приложения с помощью определителей

Будьте готовы 4.16

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: 5 (−2) — (- 4) (1). 5 (−2) — (- 4) (1).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.20.

Будьте готовы 4.17

Упростить: −3 (8−10) + (- 2) (6−3) −4 (−3 — (- 4)) .− 3 (8−10) + (- 2) (6−3) — 4 (−3 — (- 4)).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.19.

Будьте готовы 4.18

Упростить: −12−8. − 12−8.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.18.

В этом разделе мы узнаем о другом методе решения систем линейных уравнений, который называется правилом Крамера.Прежде чем мы сможем начать использовать правило, нам нужно выучить некоторые новые определения и обозначения.

Вычислить определитель матрицы 2 × 22 × 2

Если матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, мы называем ее квадратной матрицей. С каждой квадратной матрицей связано действительное число, называемое ее определителем. Чтобы найти определитель квадратной матрицы [abcd], [abcd], мы сначала записываем его как | abcd |. | Abcd |. Чтобы получить действительное числовое значение определителя, мы вычитаем произведения диагоналей, как показано.

Определитель

Определитель любой квадратной матрицы [abcd], [abcd], где a, b, c, и d — действительные числа, равен

. | abcd | = ad − bc | abcd | = ad − bc

Пример 4.45

Вычислите определяющее значение ⓐ [4−23−1] [4−23−1] ⓑ [−3−4−20]. [- 3−4−20].

Попробуйте 4.89

Вычислите определяющее значение ⓐ [5−32−4] [5−32−4] ⓑ [−4−607]. [- 4−607].

Попробовать 4,90

Вычислите определяющее значение ⓐ [−13−24] [- 13−24] ⓑ [−7−3−50].[−7−3−50].

Вычислить определитель матрицы 3 × 33 × 3

Чтобы оценить определитель матрицы 3 × 33 × 3, мы должны уметь оценивать минор записи в определителе. Младший элемент записи — это определитель 2 × 22 × 2, найденный путем исключения строки и столбца в определителе 3 × 33 × 3, который содержит запись.

Незначительная запись в 3 × 33 × 3 a Определитель

Минор записи в определителе 3 × 33 × 3 — это определитель 2 × 22 × 2, найденный путем исключения строки и столбца в определителе 3 × 33 × 3, которые содержат запись.

Чтобы найти второстепенную запись a1, a1, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Итак, мы удаляем первую строку и первый столбец. Затем запишем оставшийся определитель 2 × 22 × 2.

Чтобы найти минор записи b2, b2, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Таким образом, мы удаляем 2 строки ^-й и 2 ^{-й столбец}. Затем запишем оставшийся определитель 2 × 22 × 2.

Пример 4.46

Решение

ⓐ

Ⓑ

Удалите строку и столбец, содержащие b3.b3.
Запишите оставшийся определитель 2 × 22 × 2.
Оценить.
Упростить.

Ⓒ

Попробовать 4.91

Попробовать 4.92

Теперь мы готовы оценить определитель 3 × 33 × 3. Для этого мы расширяемся на миноры, что позволяет нам оценить определитель 3 × 33 × 3 с помощью определителей 2 × 22 × 2, которые мы уже знаем, как вычислить!

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3 путем расширения младшими по первой строке, мы используем следующий шаблон:

Помните, чтобы найти второстепенный элемент записи, мы удаляем строку и столбец, содержащие эту запись.

Расширение на младшие по первой строке для оценки детерминанта 3 × 33 × 3

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3 с помощью , расширенного младшими по первой строке , следующий шаблон:

Пример 4.47

Вычислить определитель | 2−3−1320−1−1−2 || 2−3−1320−1−1−2 | путем раскрытия несовершеннолетними по первому ряду.

Попробовать 4.93

Вычислите определитель | 3−240−1−223−1 |, | 3−240−1−223−1 |, расширив его на младшие по первой строке.

Попробовать 4.94

Вычислите определитель | 3−2−22−14−10−3 |, | 3−2−22−14−10−3 |, расширив его на младшие по первой строке.

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3, мы можем разложить его на миноры, используя любую строку или столбец. Выбор строки или столбца, кроме первой, иногда упрощает работу.

Когда мы расширяемся на любую строку или столбец, мы должны быть осторожны со знаком терминов в раскрытии. Чтобы определить знак условий, мы используем следующую диаграмму паттернов знаков.

| + — + — + — + — + || + — + — + — + — + |

Выкройка

При расширении по младшим с использованием строки или столбца знаки терминов в раскрытии следуют следующему шаблону.

| + — + — + — + — + || + — + — + — + — + |

Обратите внимание, что образец знака в первой строке совпадает со знаками между терминами в раскрытии первой строки.

Поскольку мы можем расширяться на любую строку или столбец, как нам решить, какую строку или столбец использовать? Обычно мы пытаемся выбрать строку или столбец, которые упростят наши вычисления.Если определитель содержит 0, использование строки или столбца, содержащего 0, упростит вычисления.

Пример 4.48

Вычислить определитель | 4−1−33025−4−3 || 4−1−33025−4−3 | путем расширения несовершеннолетними.

Решение

Чтобы разложить по второстепенным, мы ищем строку или столбец, которые упростят наши вычисления. Поскольку 0 находится во второй строке и втором столбце, расширение с помощью любого из них — хороший выбор. Поскольку во второй строке меньше негативов, чем во втором столбце, мы расширим ее на вторую строку.

Попробовать 4.95

Вычислить определитель | 2−1−303−43−4−3 || 2−1−303−43−4−3 | путем расширения несовершеннолетними.

Попробовать 4.96

Вычислить определитель | −2−1−3−1224−40 || −2−1−3−1224−40 | путем расширения несовершеннолетними.

Используйте правило Крамера для решения систем уравнений

Правило Крамера — это метод решения систем уравнений с использованием определителей. Его можно получить, решив общий вид систем уравнений методом исключения.Здесь мы продемонстрируем правило для обеих систем двух уравнений с двумя переменными и для систем трех уравнений с тремя переменными.

Начнем с системы двух уравнений с двумя переменными.

Правило Крамера для решения системы двух уравнений

Для системы уравнений {a1x + b1y = k1a2x + b2y = k2, {a1x + b1y = k1a2x + b2y = k2 решение (x, y) (x, y) может быть определено как

Обратите внимание, что для формирования определителя D мы используем коэффициенты при переменных.

Обратите внимание, что для формирования определителя DxDx и Dy, Dy мы подставляем константы вместо коэффициентов переменной, которую мы находим.

Пример 4.49

Как решить систему уравнений с помощью правила Крамера

Решить, используя правило Крамера: {2x + y = −43x − 2y = −6. {2x + y = −43x − 2y = −6.

Попробовать 4.97

Решите, используя правило Крамера: {3x + y = −32x + 3y = 6. {3x + y = −32x + 3y = 6.

Попробовать 4.98

Решите, используя правило Крамера: {−x + y = 22x + y = −4.{−x + y = 22x + y = −4.

How To

Решите систему двух уравнений, используя правило Крамера.

Шаг 1. Вычислить определитель D , используя коэффициенты переменных.
Шаг 2. Вычислить определитель Dx.Dx. Используйте константы вместо коэффициентов x .
Шаг 3. Вычислить определитель Dy.Dy. Используйте константы вместо коэффициентов y .
Шаг 4. Найдите x и y .x = DxD, x = DxD, y = DyDy = DyD
Шаг 5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
Шаг 6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, мы в основном делаем то же, что и для системы из двух уравнений. Однако теперь нам нужно найти три переменные, чтобы получить решение. Детерминанты также будут 3 × 33 × 3, что сделает нашу работу более интересной!

Правило Крамера для решения системы трех уравнений

Для системы уравнений {a1x + b1y + c1z = k1a2x + b2y + c2z = k2a3x + b3y + c3z = k3, {a1x + b1y + c1z = k1a2x + b2y + c2z = k2a3x + b3y + c3z = k3, решение (x, y, z) (x, y, z) можно определить с помощью

Пример 4.50

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x − 5y + 4z = 55x + 2y + z = 02x + 3y − 2z = 3. {3x − 5y + 4z = 55x + 2y + z = 02x + 3y − 2z = 3.

Попробовать 4,99

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y − 2z = −1. {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y −2z = −1.

Попробуй 4.100

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x + y − 6z = −32x + 6y + 3z = 03x + 2y − 3z = −6. {3x + y − 6z = −32x + 6y + 3z = 03x + 2y −3z = −6.

Правило Крамера не работает, когда значение определителя D равно 0, так как это будет означать, что мы делим на 0.Но когда D = 0, D = 0, система либо противоречива, либо зависима.

Когда значение D = 0D = 0 и Dx, DyDx, Dy и DzDz все равны нулю, система согласована и зависима и существует бесконечно много решений.

Когда значение D = 0D = 0 и Dx, DyDx, Dy и DzDz не все равны нулю, система несовместима и решения нет.

Зависимые и несовместимые системы уравнений

Для любой системы уравнений, где значение определителя D = 0, D = 0,
Значение детерминантов Тип системы Решение D = 0 и Dx, DyandDz — все нулевые согласованные и зависимые бесконечно много решений D = 0 и Dx, DyandDz не все равны нулю, несогласованно, не решение Значение определителей Тип системы Решение D = 0 и Dx, DyandDz — все нулевые и непротиворечивые решения, бесконечное множество, непротиворечивые и непостоянные 0

В следующем примере мы будем использовать значения определителей, чтобы найти решение системы.

Пример 4.51

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {x + 3y = 4−2x − 6y = 3. {X + 3y = 4−2x − 6y = 3.

Решение

{x + 3y = 4−2x − 6y = 3 Вычислить определитель D, используя коэффициенты переменных: D = | 13−2−6 | D = −6 — (- 6) D = 0 {x + 3y = 4− 2x − 6y = 3 Вычислить определитель D, используя коэффициенты переменных D = | 13−2−6 | D = −6 — (- 6) D = 0

Мы не можем использовать правило Крамера для решения этой системы. Но, глядя на значение детерминантов DxDx и Dy, Dy, мы можем определить, является ли система зависимой или противоречивой.

Вычислить определитель Dx.Dx = | 433−6 | Dx = −24−9Dx = -33 Вычислить определитель Dx.Dx = | 433−6 | Dx = −24−9Dx = -33

Поскольку все определители не равны нулю, система несовместима. Нет решения.

Попробуйте 4.101

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {4x − 3y = 88x − 6y = 14. {4x − 3y = 88x − 6y = 14.

Попробуйте 4.102

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {x = −3y + 42x + 6y = 8. {X = −3y + 42x + 6y = 8.

Решение приложений с использованием детерминантов

Интересное приложение определителей позволяет нам проверить, являются ли точки коллинеарными.Три точки (x1, y1), (x1, y1), (x2, y2) (x2, y2) и (x3, y3) (x3, y3) коллинеарны тогда и только тогда, когда детерминант ниже равен нулю.

| x1y11x2y21x3y31 | = 0 | x1y11x2y21x3y31 | = 0

Тест на коллинеарные точки

Три точки (x1, y1), (x1, y1), (x2, y2) (x2, y2) и (x3, y3) (x3, y3) коллинеарны тогда и только тогда, когда

| x1y11x2y21x3y31 | = 0 | x1y11x2y21x3y31 | = 0

Мы будем использовать это свойство в следующем примере.

Пример 4.52

Определите, коллинеарны ли точки (5, −5), (5, −5), (4, −3), (4, −3) и (3, −1) (3, −1).

Решение


Подставьте значения в определитель. (5, −5), (5, −5), (4, −3), (4, −3) и (3, −1) (3, −1)
Оцените определитель, расширив на младшие, используя столбец 3.
Оцените детерминанты.
Упростить.
Упростить.
	Значение определителя равно 0, поэтому точек коллинеарны.

Попробуйте 4.103

Определите, коллинеарны ли точки (3, −2), (3, −2), (5, −3), (5, −3) и (1, −1) (1, −1).

Попробуйте 4.104

Определите, совпадают ли точки (−4, −1), (- 4, −1), (−6,2), (- 6,2) и (−2, −4) (- 2, −4) коллинеарны.

Раздел 4.6. Упражнения

Практика ведет к совершенству

Вычислить определитель матрицы 2 × 2

В следующих упражнениях оцените определитель каждой квадратной матрицы.

Вычислить определитель матрицы 3 × 3

В следующих упражнениях найдите и оцените указанных несовершеннолетних.

236.

237.

238.

239.

В следующих упражнениях оцените каждый детерминант, расширяя его на младшие по первой строке.

240.

| −23−1−12−231−3 || −23−1−12−231−3 |

241.

| 4−1−2−3−21−2−57 || 4−1−2−3−21−2−57 |

242.

| −2−3−45−67−120 || −2−3−45−67−120 |

243.

| 13−25−640−2−1 || 13−25−640−2−1 |

В следующих упражнениях оцените каждый детерминант, разложив на несовершеннолетние.

244.

| −5−1−440−32−26 || −5−1−440−32−26 |

245.

| 4−133−22−104 || 4−133−22−104 |

246.

| 354-130-261 || 354-130-261 |

247.

| 2−4−35−1−4320 || 2−4−35−1−4320 |

Использование правила Крамера для решения систем уравнений

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя правило Крамера.

248.

{−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

249.

{x − 2y = −52x − 3y = −4 {x − 2y = −52x − 3y = −4

250.

{x − 3y = −92x + 5y = 4 {x − 3y = −92x + 5y = 4

251.

{2x + y = −43x − 2y = −6 {2x + y = −43x − 2y = −6

252.

{x − 2y = −52x − 3y = −4 {x − 2y = −52x − 3y = −4

253.

{x − 3y = −92x + 5y = 4 {x − 3y = −92x + 5y = 4

254.

{5x − 3y = −12x − y = 2 {5x − 3y = −12x − y = 2

255.

{3x + 8y = −32x + 5y = −3 {3x + 8y = −32x + 5y = −3

256.

{6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1 {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1

257.

{4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7 {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7

258.

{2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3 {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3

259.

{11x + 9y + 2z = −97x + 5y + 3z = −74x + 3y + z = −3 {11x + 9y + 2z = −97x + 5y + 3z = −74x + 3y + z = −3

260.

{x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3 {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3

261.

{2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3 {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3

262.

{2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1 {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1

263.

{3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8 {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8

264.

{2x + y = 36x + 3y = 9 {2x + y = 36x + 3y = 9

265.

{x − 4y = −1−3x + 12y = 3 {x − 4y = −1−3x + 12y = 3

266.

{−3x − y = 46x + 2y = −16 {−3x − y = 46x + 2y = −16

267.

{4x + 3y = 220x + 15y = 5 {4x + 3y = 220x + 15y = 5

268.

{x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1 {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1

269.

{2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20 {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20

270.

{3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6 {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6

271.

{x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7 {x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7

Решение приложений с использованием детерминантов

В следующих упражнениях определите, лежат ли заданные точки на одной прямой.

272.

(0,1), (0,1), (2,0), (2,0) и (−2,2). (- 2,2).

273.

(0, −5), (0, −5), (−2, −2), (−2, −2) и (2, −8). (2, −8).

274.

(4, −3), (4, −3), (6, −4), (6, −4) и (2, −2). (2, −2).

275.

(−2,1), (- 2,1), (−4,4), (- 4,4) и (0, −2). (0, −2).

Письменные упражнения

276.

Объясните разницу между квадратной матрицей и ее определителем. Приведите пример каждого.

277.

Объясните, что означает младший элемент в квадратной матрице.

278.

Объясните, как решить, какую строку или столбец вы будете использовать для раскрытия определителя 3 × 33 × 3.

279.

Объясните шаги для решения системы уравнений с использованием правила Крамера.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Метод исключения в алгебре: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Метод исключения

Метод исключения — это когда вы фактически исключаете одну из переменных, добавляя два уравнения.Таким образом вы устраняете одну переменную, чтобы можно было найти другую. В системе с двумя уравнениями, поскольку у вас есть две переменные, исключение одной значительно упрощает процесс решения другой. Давайте попробуем один:

В приведенном выше примере вы можете видеть, что у вас есть два уравнения с двумя переменными. Цель состоит в том, чтобы одна переменная была положительной, а другая — отрицательной в двух уравнениях, чтобы ее можно было легко исключить. В этом случае у нас есть -5 y и 5 y , поэтому мы можем сложить два уравнения, что исключает член y .После исключения условия x мы используем наши базовые навыки алгебры для решения условия x . Когда мы прибавляем 5 y к -5 y , мы видим, что у нас есть уравнение 7 x = 14. Мы разделим обе стороны на 7, чтобы выделить член x и получить x = 2. Теперь, когда у нас есть член x , мы можем использовать замену, чтобы найти член y . Подставьте 2 в любое из исходных уравнений, чтобы найти y .

Если мы воспользуемся первым членом, мы получим 3 (2) — 5 y = -9 или 6-5 y = -9.Вычитаем 6 с обеих сторон и получаем -5 y = -15. Мы разделим обе части на -5, чтобы получить значение y , которое равно 3. Но помните, что мы можем использовать любое уравнение, поэтому давайте посмотрим на другое, чтобы увидеть, получим ли мы тот же ответ.

На этот раз мы получаем 4 (2) + 5 y = 23 или 8 + 5 y = 23. Мы вычитаем обе стороны на 8 и получаем 5 y = 15. Делим обе стороны на 5 и получаем y = 3. Как видите, мы получили один и тот же ответ независимо от того, какое уравнение мы используем.Посмотрим на график этих уравнений:

График решения примера 1

На графике вы можете видеть, что две линии пересекаются в точке (2,3). Это решение этой системы уравнений.

Создание противоположностей

Иногда вы сталкиваетесь с системой уравнений, в которой вам нужно будет создать систему, в которой вы можете исключить переменную. Это делается путем умножения значений по всему уравнению, чтобы установить одну положительную переменную и одну отрицательную переменную.Давайте попробуем это:

Рассматривая этот пример, подумайте, какую переменную вы хотите исключить. Если мы хотим исключить термин x , нам нужно убедиться, что у нас есть положительное и отрицательное значение одного и того же члена. Я мог бы умножить первое уравнение на -3, что позволит мне исключить член x .

Теперь мы можем исключить член x , потому что -3 x и 3 x компенсируют друг друга.Остается y = -6. Затем мы можем подставить это число в исходное уравнение и решить относительно x . Как видите, у нас x — (-6) = 3 или x + 6 = 3. Мы вычитаем 6 с обеих сторон и получаем x = -3. Следовательно, решение этой системы уравнений равно (-3, -6).

Вот графическое решение, показывающее пересечение двух линий в точке (-3, -6):

График примера 2

Когда две линии пересекаются, есть по крайней мере одно решение.Это называется последовательной системой . Согласованное решение с одним решением называется независимым .

Система с бесконечными решениями

При решении систем уравнений иногда встречаются уравнения, которые имеют бесконечное количество решений. Эти уравнения в конечном итоге являются одним и тем же уравнением. Возможно, одно уравнение вдвое больше другого, но в упрощенном виде два уравнения остаются одинаковыми. Используя ту же технику исключения, вы получите истинное утверждение, и обе переменные будут исключены.Давайте попробуем один:

Используя ту же технику, мы можем умножить второе уравнение на 2, чтобы исключить член x . Итак, -2 x + y = -3, потому что -4 x + 2 y = -6. Обратите внимание, что теперь у нас есть точно такое же уравнение. Если бы мы предприняли следующий шаг, добавив два уравнения, мы бы в конечном итоге исключили обе переменные и верное утверждение. Как и в истинных утверждениях, все переменные были исключены.

Как мы видим на этом графике, оба уравнения в конечном итоге являются одной и той же линией. Следовательно, решений бесконечно много.

Бесконечные решения

Поскольку решений бесконечно много, эта система уравнений считается зависимой .

Отсутствие решения означает параллельные линии

Вся цель решения системы уравнений состоит в том, чтобы найти, где пересекаются два линейных уравнения.До сих пор у нас было одно пересечение и бесконечное количество пересечений. Что происходит, когда мы пытаемся использовать исключение набора параллельных линий? Давайте попробуем это:

При добавлении двух уравнений мы видим, что исключаем оба набора переменных, но наше решение является ложным. Ноль не равно -3. Это указывает на то, что у нас нет решения этой системы уравнений.

Поскольку у нас есть параллельные линии, две линии никогда не пересекаются, поэтому у нас нет решения.

Нет решения = параллельные линии

Когда есть параллельные линии, что означает отсутствие решения, это называется несогласованной системой .

Краткое содержание урока

При решении системы двух линейных уравнений мы находим точку или точки, в которых эти два уравнения пересекаются. Один из методов называется устранением . Процесс состоит в том, чтобы исключить одну переменную, а затем найти другую.Подставляя решение обратно в одно из исходных уравнений, мы можем найти другую переменную. После решения у нас есть три типа решений. Первый тип — когда есть одно решение . Здесь пересекаются два линейных уравнения. Второй тип — это когда мы фактически работаем с одной и той же точной линией, поэтому существует бесконечно много решений . Третий тип — это когда нет решений , потому что линии параллельны и никогда не пересекаются.При удалении одной переменной мы убеждаемся, что у нас есть одно отрицательное и одно положительное значение одной и той же переменной. Таким образом, когда мы складываем два уравнения, мы можем исключить один набор переменных и решить для другого набора.

Метод поточечных невязок для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств

Иваницкий А.Ю., Васильев Ф.П., Морозов В.А. «Метод точечных невязок для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств». Некорректно поставленные проблемы естествознания: материалы международной конференции, состоявшейся в Москве 19–25 августа 1991 г. , под редакцией, Берлин, Бостон: De Gruyter, 2020, стр. 33-43. https://doi.org/10.1515/9783112313930-007 Иваницкий А., Васильев Ф., Морозов В. (2020). Метод поточечной невязки для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. В (Ред.), Некорректные задачи естествознания: Материалы международной конференции, проходившей в Москве 19–25 августа 1991 г. (стр.33-43). Берлин, Бостон: Де Грюйтер. https://doi.org/10.1515/9783112313930-007 Иваницкий А., Васильев Ф., Морозов В. 2020. Метод точечных невязок для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. В: . изд. Некорректные задачи естествознания: Материалы международной конференции, состоявшейся в Москве 19–25 августа 1991 г. . Берлин, Бостон: De Gruyter, стр. 33-43. https://doi.org/10.1515/9783112313930-007 Иваницкий, А.Ю., Васильев Ф. П., Морозов В. А. «Поточечный метод невязок для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств» в книге Некорректные задачи естествознания: Материалы международной конференции, проходившей в Москве 19–25 августа. , 1991 , под ред., 33-43. Берлин, Бостон: De Gruyter, 2020. https://doi.org/10.1515/9783112313930-007. Иваницкий А.А., Васильев Ф., Морозов В. Метод поточечных невязок для решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств.В: (ред.) Некорректные задачи естествознания: Материалы международной конференции, проходившей в Москве 19–25 августа 1991 г. . Берлин, Бостон: Де Грюйтер; 2020. с.33-43. https://doi.org/10.1515/9783112313930-007 .

M					D
0	2.15	-0.83	1.16	0. 44	—
1	2.9719	-1.0775	1.5093	-0.4326	0.8215
2	3.3555	-1.0721	1.5075	-0.7317	0.3836
3	3.5017	-1.0106	1.5015	-0.8111	0. 1462
4	3.5511	-0.9277	1.4944	-0.8321	0.0494
5	3.5637	-0.9563	1.4834	-0.8298	0.0286
6	3.5678	-0.9566	1.4890	-0.8332	0.0056
7	3. 5700	-0.9575	1.4889	-0.8356	0.0024
8	3.5709	-0.9573	1.4890	-0.8362	0.0009
9	3.5712	-0.9571	1.4889	-0.8364	0.0003
10	3.5713	-0. 9570	1.4890	-0.8364	0.0001

m					D
0	0.25000	1.06590	-0.24138		—
1	0.256100	1.122172	-0.222097		0. 056272
2	0.246318	1.111374	-0.222760		0.010798
3	0.247200	1.114018	-0.224493		0.002644
4	0.247601	1.114684	-0.224384		0.000666
5	0.247523	1. 114534	-0.224317		0.000150
6	0.247512	1.114521	-0.224329	0.000013

m				D
0	0.25000	1. 06590	-0.24138	—
1	0.25610	1.12070	-0.22262	0.0548
2	0.24657	1.11393	-0.22452	0.00953
3	0.24762	1.11460	-0.22431	0.00105
4	0. 24751	1.11452	-0.22433	0.00011
Ещё посмотрите лекцию «8 Методы проектирования баз знания» по этой теме. 5	0.24750	1.11453	-0.22433	0.00001

СЛАУ примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Прямые методы решения СЛАУ

Метод Крамера

Метод обратной матрицы

Метод Гаусса

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации или метод Якоби

Метод Гаусса – Зейделя

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ.

Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наличие решений.

3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами

Рекомендуемые файлы

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Матричный способ решения СЛАУ

Метод Гаусса

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

Метод сложения / вычитания

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Метод 1

Метод 2

Метод замещения

Пример 6

Пример 7

Графический метод

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Линейное алгебраическое уравнение — обзор

3.3.2 Компьютерное программирование

Две переменные — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

Введение в системы уравнений

Типы линейных систем

Как к

Попробуй

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков

Попробуй

Решение систем уравнений подстановкой

Как к

Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Попробуй

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Как к

Решение системы методом сложения

Анализ

Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Попробуй

Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Попробуй

Выявление несовместимых систем уравнений, содержащих две переменные

Решение несовместимой системы уравнений

Анализ

Попробуй

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Нахождение решения зависимой системы линейных уравнений

Анализ

Попробуй

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Написание и решение системы уравнений с двумя переменными

Попробуй

Ключевые понятия

Упражнения по разделам

Устный

Алгебраические

Графический

Технологии