Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство  в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство 

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства  позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве  требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 15

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 5 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства .  Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
  

  ---

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение 

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение  и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56, а затем в уравнение 28x = 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x, а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4x = 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение  мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12. В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение 

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5. Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда x = 4.

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2. Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения .  Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение  на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.

или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще

Итак, корень уравнения  равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения  на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5

Значит уравнения  и  равносильны.

Пример 2. Решить уравнение 

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения  на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения  на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: 

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении  мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении  обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет  равна 5

Уравнения вида  мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида  удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение  и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение 

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения  определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Умнóжим обе части уравнения  на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения  определить время. Для этого нужно выразить переменную t.

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение  примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:

Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:

Задание 3. Решите уравнение:

Задание 4. Решите уравнение:

Задание 5. Решите уравнение:

Задание 6. Решите уравнение:

Задание 7. Решите уравнение:

Задание 8. Решите уравнение:

Задание 9. Решите уравнение:

Задание 10. Решите уравнение:

Задание 11. Решите уравнение:

Задание 12. Решите уравнение:

Задание 13. Решите уравнение:

Задание 14. Решите уравнение:

Задание 15. Решите уравнение:

Задание 16. Решите уравнение:

Задание 17. Решите уравнение:

Задание 18. Решите уравнение:

Задание 19. Решите уравнение:

Задание 20. Решите уравнение:

Задание 21. Решите уравнение:

Задание 22. Решите уравнение:

Задание 23. Решите уравнение:

Задание 24. Решите уравнение:

Задание 25. Решите уравнение:

Задание 26. Решите уравнение:

Задание 27. Решите уравнение:

Задание 28. Решите уравнение:

Задание 29. Решите уравнение:

Задание 30. Решите уравнение:

Задание 31. Решите уравнение:

Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:

Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Натуральный логарифм, функция ln x

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм

– это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e ^y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = log_e x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.

График натурального логарифма ln x

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x^a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017

Примеры вычисления полей в Python—ArcGIS Pro

Ввод значений с клавиатуры – не единственный способ редактирования значений в таблице. В некоторых случаях вам может потребоваться выполнить математические вычисления для получения значения поля отдельной записи или даже всех записей. Можно выполнять как простые, так и сложные вычисления над всеми либо только выбранными записями. Кроме того, в полях атрибутивных таблиц можно вычислить длину, периметр и прочие геометрические свойства. В разделах ниже приводятся примеры использования калькулятора поля. Вычисления выполняются с помощью Python, SQL и Arcade.

Этот раздел описывает примеры скриптов Python для Вычисления поля. Более подробно о выражениях Arcade, см. Руководство ArcGIS Arcade. Более подробно о выражениях SQL можно узнать в разделе Вычисление поля.

• Синтаксис Python требует правильного использования отступов. Для определения каждого логического уровня используются от двух до четырех пробелов. Приводите в соответствие начало и конец каждого блока, и будьте последовательны.
• Поля в выражениях вычислений Python заключаются в восклицательные знаки (!!).
• При наименовании переменных следует помнить, что Python чувствителен к регистру, поэтому имя value не равнозначно имени Value.
• Завершив ввод, можно нажать кнопку Экспортировать, если вы хотите записать введенные данные в файл. С помощью кнопки Импортировать вы сможете найти и выбрать из имеющихся файл с выражением для вычисления.

Простые вычисления

Ряд вычислений можно производить, используя только короткое выражение.

Примеры простых строчек

Строки поддерживаются несколькими строковыми функциями Python, в том числе capitalize, rstrip и replace.

Сделать заглавной первую букву текста в поле CITY_NAME.

Убрать все пробелы на концах строк в поле CITY_NAME .

Заменить написание «california» на «California» в поле STATE_NAME.

!STATE_NAME!.replace("california", "California")

Доступ к символам в текстовом поле осуществляется путем индексации и разделения в Python. Индексация возвращает символы в индексном местоположении; разделение – группу символов. В следующей таблице предположим, что это строковое поле !fieldname! со значением «abcde».

Python также поддерживает форматирование строк с использованием метода format().

Скомбинировать поля FieldA и FieldB, разделенные двоеточием.

"{}:{}".format(!FieldA!, !FieldB!)

Простые математические примеры

Python предоставляет инструменты для обработки чисел. Python также поддерживает ряд числовых и математических функций, в том числе, math, cmath, decimal, random, itertools, functools и operator.

Вычислить объем сферы по заданному полю с радиусами.

4.0 / 3.0 * math.pi * !Radius! ** 3

Прежние версии:

В ArcGIS Pro используется Python 3, а в ArcGIS Desktop – Python 2. В Python 2 используются математические целые числа, то есть деление двух целочисленных значений всегда дает в результате целочисленное значение (3 / 2 = 1). В Python 3 при делении целочисленных значений результат будет числом с плавающей точкой (3 / 2 = 1.5).

Встроенные функции Python

Python содержит ряд встроенных функций, включая max, min, round и sum.

Вычисление максимального значения для каждой записи в списке полей.

max([!field1!, !field2!, !field3!])

Вычисление суммы для каждой записи в списке полей.

sum([!field1!, !field2!, !field3!])

Использование блоков кода

С помощью выражений Python и параметра Блок кода вы можете сделать следующее:

• Используйте в выражении любые функции Python.
• Получать доступ к функциям и объектам геообработки.
• Получать доступ к свойствам геометрии
• Получать доступ к новому оператору случайных значений.
• Переклассифицировать значения с использованием логики if-then-else.

Прежние версии:

В ArcGIS Desktop инструмент Вычислить поле поддерживает типы выражений VB, PYTHON и PYTHON_9.3. Тип выражения VB, поддерживаемый в некоторых продуктах, не поддерживается в 64-битных продуктах, и в том числе в ArcGIS Pro.

Ключевые слова PYTHON и PYTHON_9.3 все еще поддерживаются в ArcGIS Pro для сохранения обратной совместимости, но не указываются в списке выбора. Скрипты Python, использующие ключевые слова, продолжат работать корректно.

Единственное различие между типом выражения Python 3 и устаревшим ключевым словом PYTHON_9.3 заключается в том, что Python 3 возвращает значения в полях данных как объекты Python datetime.

Тип выражения Python 3 не связан с версией Python, установленной с ArcGIS Pro. Это просто исторически связанное с Python стороннее ключевое слово (после PYTHON и PYTHON_9.3).

Функции Python задаются с помощью ключевого слова def, за которым идет имя функции и ее входные аргументы. Можно написать функцию Python, которая будет принимать любое число входных аргументов (в т.ч. их может и не быть). Значение возвращается из функции с помощью выражения return. Имя функции остаётся на ваш выбор (не используйте пробелы и не начинайте с цифр).

Если функция с выражением return не возвращает значения, будет возвращено None.

Помните, что отступы являются частью синтаксиса Python. Для определения каждого логического уровня используются четыре пробела. Приводите в соответствие начало и конец каждого блока, и будьте последовательны.

Примеры кода – math

Для использования всех приведенных ниже математических примеров используйте тип выражения Python 3.

Округлить значения поля до двух десятичных знаков.

Expression:
round(!area!, 2)

Используйте модуль math для конвертации метров в футы. Конвертация возводит в степень 2 и умножает на площадь.

Expression:
MetersToFeet((float(!shape.area!)))

Code Block:
import math
def MetersToFeet(area):
    return math.pow(3.2808, 2) * area

Вычисления полей с использованием логики Python

Логические структуры могут быть включены в блок кода через выражения if, else и elif.

Классифицировать на основании значений поля.

Expression:
Reclass(!WELL_YIELD!)

Code Block:
def Reclass(WellYield):
    if (WellYield >= 0 and WellYield <= 10):
        return 1
    elif (WellYield > 10 and WellYield <= 20):
        return 2
    elif (WellYield > 20 and WellYield <= 30):
        return 3
    elif (WellYield > 30):
        return 4

Примеры кода – геометрия

Помимо следующих примеров кода см. раздел Преобразование геометрических единиц, расположенный ниже, для получения дополнительной информации о преобразовании геометрических единиц.

Вычислить площадь объекта.

Вычислить максимальную x-координату объекта.

Expression:
!shape.extent.XMax!

Вычислить количество вершин объекта.

Expression:
MySub(!shape!)

Code Block:
def MySub(feat):    
    partnum = 0

    # Count the number of points in the current multipart feature
    partcount = feat.partCount
    pntcount = 0

    # Enter while loop for each part in the feature (if a singlepart 
    # feature, this will occur only once)
    while partnum < partcount:
        part = feat.getPart(partnum)
        pnt = part.next()

        # Enter while loop for each vertex
        while pnt:
            pntcount += 1   
            pnt = part.next()
   
            # If pnt is null, either the part is finished or there 
            # is an interior ring
            if not pnt: 
                pnt = part.next()
        partnum += 1
    return pntcount

Для точечного класса пространственных объектов сдвинуть x-координату каждой точки на 100.

Expression:
shiftXCoordinate(!SHAPE!)

Code Block:
def shiftXCoordinate(shape):
    shiftValue = 100
    point = shape.getPart(0)
    point.X += shiftValue
    return point

Информация о единицах измерения геометрии

Свойства площади и длины в поле геометрии можно изменить с помощью типов единиц, обозначаемых знаком @.

• Единицы площади для ключевых слов измерений:
  • ACRES | ARES | HECTARES | SQUARECENTIMETERS | SQUAREDECIMETERS | SQUAREINCHES | SQUAREFEET | SQUAREKILOMETERS | SQUAREMETERS | SQUAREMILES | SQUAREMILLIMETERS | SQUAREYARDS | SQUAREMAPUNITS | UNKNOWN
• Линейные диницы для ключевых слов измерений:
  • CENTIMETERS | DECIMALDEGREES | DECIMETERS | FEET | INCHES | KILOMETERS | METERS | MILES | MILLIMETERS | NAUTICALMILES | POINTS | UNKNOWN | YARDS

Если данные хранятся в географической системе координат и поддерживаются линейные единицы (например, футы), вычисления длин будут конвертированы по геодезическому алгоритму.

Внимание:

Преобразование единиц площади в географическую систему координат даёт сомнительные результаты, так как десятичные градусы в разных частях глобуса имеют разную длину.

Вычислить длину пространственного объекта в ярдах.

Expression:
!shape.length@yards!

Вычислить длину пространственного объекта в акрах.

Expression:
!shape.area@acres!

Геодезическая площадь и длина также может быть вычислена с помощью свойств geodesicArea и geodesicLength, с помощью символа @, следующего за ключевым словом единицы измерения.

Вычисление геодезической длины пространственного объекта в ярдах.

Expression:
!shape.geodesicLength@yards!

Вычисление геодезической площади пространственного объекта в акрах.

Expression:
!shape.geodesicArea@acres!

Примеры кода – даты

Дату и время можно вычислить с помощью модулей datetime и time.

Вычислить текущую дату.

Expression:
time.strftime("%d/%m/%Y")

Вычислить текущие дату и время.

Expression:
datetime.datetime.now()

Вычислить дату как 31 декабря 2000.

Expression:
datetime.datetime(2000, 12, 31)

Вычислить количество дней между текущей датой и значением в поле.

Expression:
(datetime.datetime.now() - !field1!).days

Вычислить дату, прибавив 100 дней к значению даты в поле.

Expression:
!field1! + datetime.timedelta(days=100)

Вычислить строку, представляющую дату, используя метод ctime в модуле datetime. В примере создается строка в формате: ‘Mon Feb 22 10:15:00 2021’.

Expression:
!field1!.ctime()

Вычислить день недели (например, воскресенье) для значения даты в поле.

Expression:
!field1!.strftime('%A')

Вычислить отформатированную строку из поля даты, используя метод strftime модуля datetime и строку явного формата. В примере создается строка в формате: ’02/22/2021, 10:15:00′.

Expression:
!field1!.strftime("%m/%d/%Y, %H:%M:%S")

Примеры кода – текст

Строковые вычисления могут выполняться с использованием различных шаблонов кодирования Python.

Вернуть три самых правых символа.

Expression:
!SUB_REGION![-3:]

Заменить все вхождения заглавной буквы P на прописную p.

Expression:
!STATE_NAME!.replace("P","p")

Конкатенировать два поля, разделив их пробелом.

Expression:
!SUB_REGION! + " " + !STATE_ABBR!

Конвертация в нужный регистр

В этих примерах показаны различные способы конвертации слов таким образом, чтобы каждое слово начиналось с большой буквы, а остальные буквы были прописными.

Expression:
' '.join([i.capitalize() for i in !STATE_NAME!.split(' ')])

Expression:
!STATE_NAME!.title()

Регулярные выражения

Модуль Python re содержит операции сопоставления регулярных выражений, которые используются для сопоставления сложных примеров и правил замещения для строк.

Замена St или St. перед новым словом в конце строки словом Street.

Expression:
update_street(!ADDRESS!)

Code Block:
import re
def update_street(street_name):
    return re.sub(r"""\b(St|St.)\Z""",  
                  'Street',
                  street_name)

Накопительные и последовательные вычисления

Накопительные и последовательные вычисления могут выполняться с использованием глобальных переменных.

Вычислить последовательные идентификаторы ID или порядковые номера на основании интервала.

Expression:
autoIncrement()

Code Block:
rec=0
def autoIncrement():
    global rec
    pStart = 1  # adjust start value, if req'd 
    pInterval = 1  # adjust interval value, if req'd
    if (rec == 0): 
        rec = pStart 
    else: 
        rec = rec + pInterval 
    return rec

Вычислить накопительные значения числового поля.

Expression:
accumulate(!FieldA!)

Code Block:
total = 0
def accumulate(increment):
    global total
    if total:
        total += increment
    else:
        total = increment
    return total

Вычислить процентное приращение числового поля.

Expression:
percentIncrease(float(!FieldA!))

Code Block:
lastValue = 0
def percentIncrease(newValue):
    global lastValue
    if lastValue:
        percentage = ((newValue - lastValue) / lastValue)  * 100
    else: 
        percentage = 0
    lastValue = newValue
    return percentage

Случайные значения

Случайные значения можно получить с помощью модуля random.

Используйте пакет numpy для вычисления случайных значений с плавающей точкой от 0.0 до 1.0.

Expression:
getRandomValue()

Code Block:
import numpy

def getRandomValue():
    return numpy.random.random()

Используйте модуль random случайных чисел для вычисления случайных целочисленных значений от 0 до 10.

Expression:
random.randint(0, 10)

Code Block:
import random

Вычисление значений null

В выражении Python пустые значения (null) можно вычислить, используя Python None.

Следующее вычисление будет работать, только если поле может содержать нулевые значения.

Используйте Python None для вычисления пустых значений.

Связанные разделы

Отзыв по этому разделу?

Доказательства свойств модуля

☰

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

1) |a + b| ≤ |a| + |b|;

2) |ab| = |a| × |b|;

3) , a ≠ 0;

4) |a – b| ≥ |a| – |b|.

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b. Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b|.

Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a|. Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b, что больше, чем b – a. Поэтому |a + b| < |a| + |b|.

Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b|, что также меньше суммы модулей |a| + |b|.

Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b|. Результат этого выражения равен |a + b| (т. к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b|). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b|, следовательно и |–a – b| = |a| + |b|.

Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.

Доказательство 3) , a ≠ 0:

Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/a.

Если a – отрицательное число, то имеем . Взятие модуля в обоих выражениях приведет к делению единицы на абсолютное значение a. Значит эти выражения равны друг другу.

Доказательство 4) |a – b| ≥ |a| – |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a – b| = |a| – |b|, потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a – b.

Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a – b| примет вид |a + b|, что больше, чем |a| – |b|.

Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b|, что больше, чем |a| – |b|.

ASUS ROG Strix XG43UQ: 43-дюймовый монитор для игровых консолей

Консольное направление — совсем новое для игровых мониторов, но в нем уже появляются очень интересные модели. Как, например, ASUS ROG Strix XG43UQ — с поддержкой режима [email protected] и технологии AMD FreeSync Premium Pro.

от 52 299 грн

Предложений: 6

Дизайн

При диагонали экрана в 43 дюйма ASUS XG43UQ выглядит скорее как некрупный телевизор: если его использовать как монитор для ПК, то он займет собой большую часть типичного компьютерного стола. Но при этом в его внешнем виде явно прослеживаются элементы дизайна, характерные для игровой линейки ASUS – ROG (Republic of Gamers).

Дисплей обрамлен рельефной рамкой средней ширины (~14 мм сверху и по бокам и ~23 мм — снизу) из черного матового пластика, стоит он на металлической V-образной подставке с широко расставленными «ногами». Подставка позволяет регулировать лишь угол наклона экрана (-5..10°) — изменения высоты экрана над уровнем стола или его поворотов влево-вправо здесь нет. Подставка опирается на столешницу тремя дисками с прорезиненным низом, так что монитор сдвинуть с места оказывается очень нелегко (в том числе и благодаря его массе — целых 15 кг). При желании ASUS ROG Strix XG43UQ можно повесить на стену — ножка у него съемная, а на тыльной стороне есть VESA-совместимое крепление (100х100).

Тыльная панель — из белого матового пластика, с рядом вентиляционных отверстий в верхней части и большим рельефным лого ROG справа. Разъемы разделены на две «группы», как это часто бывает в телевизорах: одна из них ориентирована вбок, другая — вниз. Первая предназначена для быстрого подключения устройств, здесь можно найти два порта HDMI 2.0, USB-концентратор на два порта USB 3.0 и два мини-джека — для наушников и микрофона. Вторая спрятана за декоративной крышкой, что предполагает более редкий доступ к разъемам; тут находятся два порта HDMI 2.1, один DisplayPort 1.4, разъем питания и порт micro-USB для подключения отдельного модуля, который высвечивает на поверхности стола логотип ROG.

Меню

Для навигации по меню используется джойстик и три аппаратные кнопки, расположенные на боковой панели в правом нижнем углу, сразу над кнопкой питания.

В основном меню первый пункт — игровой раздел Gaming: тут находятся видеорежимы GameVisual, управление овердрайвом и AMD FreeSync, высветление теней ShadowBoost, включение технологии повышения четкости EMLB и т.д. Далее идут два пункта настройки графики — Image и Color (яркость, контрастность, HDR, гамма, насыщенность, цветовая температура), после них — пункт с ручным выбором видеовхода. В разделе Lighting Effect — управление RGB-подсветкой и активация Aura Sync (синхронизация подсветки с другими устройствами ASUS), в MyFavorite можно переназначить «горячие клавиши» (по умолчанию им присвоены переключение видеовходов и вызов меню GameVisual). И в последнем разделе, System Setup, находятся системные настройки вроде параметров работы экранного меню, поведения индикатора активности, включения технологии DSC, вывода информации о текущем видеорежиме, сброса всех настроек на заводские установки и т.д.

Функциональность

В ASUS ROG Strix XG43UQ используется 10-битная 43-дюймовая VA-панель с разрешением 4K. Плотность пикселей составляет ~112,5 PPI, размер точки — 0,2451 мм. Если использовать его как очень большой компьютерный монитор и сидеть за ним на типичном расстоянии от экрана в полметра или чуть больше, при большом желании увидеть отдельные точки можно, хоть и с трудом; но уже с расстояния в метр разглядеть их получится только у игроков с очень острым зрением.

Максимальная частота обновления экрана при подключении по DisplayPort составляет 144 Гц при разрешении 4K – причем благодаря технологии Display Stream Compression этого удается достичь при использовании одного входа DP 1.4 и без применения ухудшающей качество изображения цветовой субдескритизации. Впрочем, этот режим будет востребован только у компьютерных игроков, зато консольные геймеры наверняка оценят поддержку [email protected] Гц при подключении по HDMI 2.1 – именно этот режим востребован в консолях текущего поколения от Sony и Microsoft. Хоть игр с его поддержкой пока и не очень много, тем не менее, оценить все преимущества высокой частоты обновления при 4K-разрешении на консоли PlayStation 5 можно в таких проектах, как, например, ремастер обеих частей Nioh, Destiny 2, Borderlands 3 или Call of Duty: Black Ops Cold War.

ASUS ROG Strix XG43UQ поддерживает технологию AMD FreeSync Premium Pro, которая согласовывает частоту обновления экрана с выводом кадров в игре, устраняя расслоение изображения в динамичных сценах и сохраняя при этом максимальную частоту обновления. Premium Pro – самая «продвинутая» версия AMD FreeSync, и для ее полноценной поддержки дисплей должен обладать рядом дополнительных характеристик (частота обновления не ниже 120 Гц при разрешении не ниже Full HD, полноценная поддержка HDR-режима, низкая задержка ввода как в SDR, так и в HDR, а также работоспособность FreeSync на низких частотах обновления).

Яркость в этом мониторе регулируется с помощью изменения силы тока, ШИМ не применяется на всем диапазоне яркости, так что мерцания подсветки у него нет.

В то время как обычные телевизоры не могут похвастаться высокой отзывчивостью — задержка ввода в десятки миллисекунд у них обычное дело, ASUS ROG Strix XG43UQ в этом плане демонстрирует результаты на уровне хорошего игрового десктопного монитора. При использовании овердрайва и технологии повышения четкости в динамике Extreme Low Motion Blur (ELMB) заявленное время отклика этого монитора составляет 1 мс (MPRT).

Впрочем, один типичный «телевизионный» атрибут у этого монитора все-таки есть — пульт ДУ; учитывая, что ASUS ROG Strix XG43UQ в первую очередь ориентирован на консольный гейминг и, соответственно, стоять он скорее всего будет на месте телевизора в гостиной, пульт ДУ окажется явно не лишним.

Качество изображения ASUS ROG Strix XG43UQ

В мониторе используется полуматовое покрытие экрана, которое почти полностью устраняет паразитные блики и отражения, при этом минимально страдает от кристаллического эффекта (легкая зернистость на однотонных участках изображения, заметная на обычных матовых дисплеях).

Равномерность черного очень хорошая, каких-то заметных светлых пятен на черном фоне разглядеть не получается; глубина черного цвета, благодаря использованию VA-панели, также оказывается просто отличной: увидеть легкое свечение в темном помещении можно, лишь значительно подняв яркость экрана.

Glow-эффект у ASUS ROG Strix XG43UQ также минимален, при отклонении в сторону свечение черных участков изображения практически отсутствует.

Углы обзора весьма хороши как для VA-панели: при отклонении в сторону несколько снижается насыщенность цветов, появляется умеренный теплый оттенок, а черный фон становится светлее, из-за чего темная картинка «сереет», а контрастные сцены становятся менее насыщенными — в целом, типичное поведение экрана, изготовленного по этой технологии.

Минимальная яркость довольно высокая: в зависимости от режима, она составляет 85-95 кд/м²; в полной темноте этот экран будет ощущаться довольно ярким даже в комнате со слабым освещением. Максимальная яркость в обычном режиме составляет 840 кд/м² (что интересно, заявленная в технических характеристиках оказывается ниже — «всего» 750 кд/м²), в HDR поднимается еще выше – вплоть до 1000 кд/м². Этот результат, наряду с остальными характеристиками панели, позволил монитору получить сертификацию VESA DisplayHDR1000. Статическая контрастность, в зависимости от видеорежима и настроек яркости, может достигать 3600:1, что является очень хорошим результатом даже по меркам VA-панелей.

Дисплей обладает расширенным цветовым охватом, покрывающим 92% пространства DCI-P3 (84% Adobe RGB и 125% sRGB), благодаря чему он выдает очень яркие, насыщенные цвета.

В меню GameVisual представлен почти десяток различных видеорежимов, как типичных для десктопных мониторов (Кино, Пейзаж, sRGB), так и предназначенных для различных игровых жанров (гонки, RTS/RPG, FPS, MOBA). Все они отличаются различными графическими установками, и в большинстве из них оказываются заблокированы те или иные параметры в экранном меню. Полный доступ к ручным регулировкам (и при этом максимально универсальные настройки по умолчанию) предлагает пользовательский режим — именно его мы бы и рекомендовали использовать как основной, особенно если вы планируете подстраивать под себя не только яркость. В нем экран демонстрирует полный цветовой охват, значение гаммы в настройках мы бы рекомендовали устанавливать в 2,5 (по результатам измерений в этом случае получается практически идеальное соответствие стандартному значению 2,2) или, если захочется чуть высветлить тени и проявить «прячущуюся» там информацию — в 2,2 (реальное значение при этом оказывается чуть ниже, 2,1).

Режим «Пользовательский»:

Цветовая температура при изменении яркости меняется очень слабо: при выборе пользовательского значения в соответствующем параметре от 5700K на минимальной яркости и до 6100K — на максимальной; если изображение при этом будет казаться чересчур теплым, лучше переключиться в режим Warm, в котором температура почти идеально соответствует стандартной, 6500K. Установки Normal и Cool выдают заметно более холодную температуру (7900K и 10100K, соответственно).

Равномерность подсветки, как для экрана такой диагонали, оказывается достаточно хорошей: верхняя и нижняя части дисплея показывают на 8-13% меньшую яркость, чем центральная зона. А вот с равномерностью цветовой температуры ситуация несколько хуже: перепад между правой частью экрана и нижним левым углом оказывается в районе 10%.

В режиме sRGB цветовой охват сужается до 91% sRGB (68% Adobe RGB, 70% DCI-P3). Кроме того, ASUS ROG Strix XG43UQ проходит заводскую калибровку режима sRGB, так что среднее значение deltaE в нем оказывается меньше единицы: это отличный результат, с такими характеристиками этот монитор вполне можно использовать не только для игр, но и для работы с графикой. Тут же стоит отметить, что в пользовательском режиме точность цветопередачи также очень высока и почти не отличается от этого.

Режим sRGB:

Минусы: Стоимость

Технические характеристики

Решение более простых абсолютных уравнений | Purplemath

Purplemath

Когда мы берем абсолютное значение числа, мы всегда получаем положительное число (или ноль). Независимо от того, был ли вход положительным или отрицательным (или нулевым), выход всегда положительный (или нулевой). Например, | 3 | = 3 и | –3 | = 3 тоже.

Это свойство — положительное и отрицательное превращение в положительное — делает решение абсолютных уравнений немного сложным.Но как только вы усвоите «трюк», они не так уж и плохи. Начнем с простого:

MathHelp.com

Я уже решил эту проблему в своем обсуждении выше:

Значит, x должно быть равно 3 или равно –3.

Но как мне решить эту проблему, если я, , не знаю ответа? Я буду использовать свойство положительного / отрицательного абсолютного значения, чтобы разделить уравнение на два случая, и я буду использовать тот факт, что знак «минус» в отрицательном случае означает «противоположный знак», а не «отрицательное число».

Например, если у меня x = –6, то «- x » означает «противоположность x » или, в данном случае, — (- 6) = +6, положительное число.Знак «минус» в «- x » просто указывает на то, что я меняю знак на x . Это означает, что , а не , означает отрицательное число. Это различие очень важно!

Каким бы ни было значение x , взятие абсолютного значения x делает его положительным. Поскольку значение x изначально могло быть положительным, а может быть отрицательным, я должен признать этот факт, когда удаляю столбцы абсолютного значения.Я делаю это, разбивая уравнение на два случая. Для этого упражнения это следующие случаи:

а. Если значение x было неотрицательным (то есть, если оно было положительным или нулевым) для начала, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, не меняя его знака, давая мне уравнение x = 3.

г. Если значение x изначально было отрицательным, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, изменив знак на x , получив уравнение — x = 3, которое решает как х = –3.

Тогда мое решение —

Кстати, мы можем проверить это решение графически. Когда мы пытаемся решить уравнение абсолютных значений | x | = 3, мы, по сути, приравниваем два линейных уравнения друг другу и находим, где они пересекаются. Например:

Выше я построил график y ₁ = | x | (синяя линия, которая выглядит как «V») и y ₂ = 3 (зеленая горизонтальная линия).Эти два графика пересекаются при x = –3 и x = +3 (две красные точки).

Если вы хотите проверить свои ответы на тесте (перед тем, как сдать его), может быть полезно подключить каждую сторону исходного уравнения абсолютного значения в ваш калькулятор как их собственные функции; затем спросите у калькулятора точки пересечения.

Конечно, любое решение также можно проверить, вставив его обратно в исходное упражнение и подтвердив, что левая часть (LHS) уравнения упрощается до того же значения, что и правая часть (RHS). уравнение.Вот мой чек для приведенного выше уравнения:

Если вы когда-нибудь сомневаетесь в своем решении уравнения, попробуйте построить график или попробуйте снова вставить свое решение в исходный вопрос. Проверяю свою работу всегда нормально!

Шаг выше, где уравнение абсолютного значения было переформулировано в двух формах, одна со знаком «плюс», а другая со знаком «минус», дает нам удобный способ упростить ситуацию: когда мы изолировали абсолютное значение и перейти к снятию стержней, мы можем разделить уравнение на два случая; мы обозначим эти случаи, поставив «минус» на противоположной стороне уравнения (для одного случая) и «плюс» на противоположной стороне (для другого).Вот как это работает:

• Решить |

  x + 2 | = 7 и проверьте свое решение (я).

Абсолютное значение выделено в левой части уравнения, поэтому я уже настроил его, чтобы разделить уравнение на два случая. Чтобы очистить столбцы абсолютного значения, я должен разделить уравнение на два возможных случая, по одному для каждого случая, если содержимое столбцов абсолютного значения (то есть, если «аргумент» абсолютного значения) отрицательное, и если он неотрицательный (то есть положительный или нулевой).Для этого я создаю два новых уравнения, единственное различие между которыми — это знак в правой части. Сначала сделаю «минусовый» случай:

x + 2 = –7

x + 2 = –7

x = –9

Теперь я займусь неотрицательным случаем, когда я могу просто опустить столбцы и решить:

Теперь мне нужно проверить свои решения.Я сделаю это, вставив их обратно в исходное уравнение, поскольку оценщик не видит, как я проверяю графики на моем графическом калькуляторе.

Оба решения проверяют, поэтому мой ответ:

• Решить | 2

  x — 3 | — 4 = 3

Во-первых, я выделю часть уравнения, относящуюся к абсолютным значениям; то есть, я получу само выражение абсолютного значения с одной стороны от знака «равно», а все остальное — с другой стороны:

| 2 x — 3 | — 4 = 3

| 2 x — 3 | = 7

Теперь я очищу столбцы абсолютных значений, разделив уравнение на два случая, по одному для каждого знака аргумента.Сначала сделаю отрицательный случай:

2 x — 3 = –7

2 x = –4

x = –2

А затем сделаю неотрицательный случай:

2 x — 3 = 7

2 x = 10

х = 5

Это упражнение не говорит мне о проверке, поэтому я не буду.(Но, если бы я хотел, я мог бы вставить «abs (2X – 3) –4» и «3» в свой калькулятор (как Y1 и Y2, соответственно), и увидеть, что точки пересечения были на моем x -значения.) Мой ответ:

URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm

неравенств | Безграничная алгебра

Введение в неравенство

Неравенства используются для демонстрации отношений между числами или выражениями.

Цели обучения

Объясните, что представляет собой неравенство и как оно используется

Основные выводы

Ключевые моменты

• Неравенство описывает взаимосвязь между двумя разными значениями.
• Обозначение [latex] a b [/ latex] ] означает, что [latex] a [/ latex] строго больше, чем [latex] b [/ latex].
• Понятие [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex], а обозначение [latex] a \ geq b [ / latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex].
• Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.

Ключевые термины

• числовая строка : визуальное представление набора действительных чисел в виде ряда точек.
• неравенство : Утверждение, что из двух величин одна конкретно меньше или больше другой.

В математике неравенства используются для сравнения относительного размера значений.Их можно использовать для сравнения целых чисел, переменных и различных других алгебраических выражений. Ниже приводится описание различных типов неравенств.

Строгое неравенство

Строгое неравенство — это отношение между двумя значениями, когда они различны. Точно так же, как в уравнениях используется знак равенства =, чтобы показать, что два значения равны, в неравенствах используются знаки, чтобы показать, что два значения не равны, и для описания их взаимосвязи. Символы строгого неравенства: [latex] <[/ latex] и [latex]> [/ latex].

Строгие неравенства отличаются от обозначения [latex] a \ neq b [/ latex], что означает, что a не равно [latex] b [/ latex]. Символ [latex] \ neq [/ latex] не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнить по размеру.

В двух типах строгих неравенств [latex] a [/ latex] не равно [latex] b [/ latex]. Для сравнения размеров значений существует два типа отношений:

1. Обозначение [латекс] a
2. Обозначение [латекс] a> b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex].

Значение этих символов можно легко запомнить, заметив, что «большая» сторона символа неравенства (открытая сторона) обращена к большему числу. «Меньшая» сторона символа (точка) обращена к меньшему числу.

Указанные выше отношения можно показать на числовой прямой. Вспомните, что значения на числовой строке увеличиваются по мере продвижения вправо.Следовательно, следующее представляет отношение [латекс] a [/ латекс] меньше, чем [латекс] b [/ латекс]:

[латекс] a

 Число, представляющее отрицательную бесконечность 

 (math / abs x)

Вернуть абсолютное значение x.

 (math / acos x)

Возвращает арккосинус x. 

 (math / acosh x)

Верните гиперболический арккосинус x. 

 (math / asin x)

Возвращает арксинус x. 

 (math / asinh x)

Верните гиперболический арксинус x. 

 (math / atan x)

Возвращает арктангенс x.

 (math / atan2 y x)

Верните арктангенс y / x. Работает, даже если x равно 0. 

 (math / atanh x)

Верните гиперболический арктангенс x. 

 (math / cbrt x)

Возвращает кубический корень из x. 

 (math / ceil x)

Возвращает наименьшее целое число, которое не меньше x. 

 (math / cos x)

Возвращает косинус x.

 (math / cosh x)

Верните гиперболический косинус x. 

 Основание натурального журнала. 

 (math / erf x)

Возвращает функцию ошибки x. 

 (math / erfc x)

Возвращает дополнительную функцию ошибок x. 

 (math / exp x)

Возвращает e в степень x.

 (math / exp2 x)

Возвращает 2 в степени x. 

 (math / expm1 x)

Возвращает e в степени x минус 1. 

 (math / floor x)

Возвращает наибольшее целое число, не превышающее x. 

 (math / gamma x)

Возвращает гамму (x). 53) 

 Минимальное непрерывное целое число, которое может быть заменено 32-битное целое число со знаком 

 Максимальное непрерывное целое число, представленное 32-битным целым числом со знаком 

 (math / log x)

Возвращает логарифмическое натуральное число x.

 (math / log10 x)

Возвращает 10 по основанию журнала x. 

 (math / log1p x)

Возвращает (логарифм e of x) + 1 с большей точностью, чем (+ (math / log x) 1) 

 (math / log2 x)

Возвращает логарифм по основанию 2 x. 

 Не число (IEEE-754 NaN) 

 (математические / следующие x y)

Возвращает следующее представимое значение с плавающей запятой после x в направлении y.

 Значение пи. 

 (math / pow a x)

Возвратите a в степень x. 

 (математические / случайные)

Возвращает равномерно распределенное случайное число от 0 до 1. 

 (math / rng & opt seed)

Создает генератор псевдослучайных чисел с необязательным начальным числом. Начальное значение должно быть 32-битным целым числом без знака или буфером.Не используйте это для криптографии. Возвращает абстрактный тип core / rng. 

 (math / rng-buffer rng n & opt buf)

Получите n случайных байтов и поместите их в буфер. Создает новый буфер, если буфер не предоставлен, в противном случае добавляется к данному буферу. Возвращает буфер. 

 (math / rng-int rng & opt max)

Извлечь случайное случайное целое число в диапазоне [0, max] из ГСЧ. 31-1.

 (math / rng-seed rng seed)

Извлечь случайное число в диапазоне [0, 1) из ГСЧ. 

 (математические / круглые x)

Возвращает ближайшее к x целое число. 

 (math / seedrandom seed)

Установите начальное число для генератора случайных чисел. seed должно быть целым числом или буфером. 

 (math / sin x)

Возвращает синус x.

 (math / sinh x)

Верните гиперболический синус x. 

 (math / sqrt x)

Возвращает квадратный корень из x. 

 (math / tan x)

Возвращает тангенс x. 

 (math / tanh x)  Верните гиперболический тангенс x.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт