Модуль

Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.

\(|a|=\begin{cases} a, \;\; если \;  a>0 \\ 0, \; если\;\; a=0\\ -a,\; если \;\;  a<0  \end{cases}\)

Второе название модуля – «абсолютное значение действительного числа».

Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:

— если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. При этом само выражение не меняется.

— если же оно отрицательно, то при снятии модуля перед подмодульным выражением надо добавить знак «минус», чтобы сделать его положительным.

Об этом правиле нужно помнить при работе с более сложными выражениями или

выражениями, содержащими переменные.

Пример. Раскрыть \(|\sqrt5-3|\)

Решение: Под модулем отрицательное выражение (т.к. \(\sqrt 5 \approx 2,24\), то есть меньше \(3\)). Значит, раскрывать модуль надо добавляя минус перед выражением:

Ответ:   \(3-\sqrt 5\)

Пример. Раскрыть  \(|x^4+1|\)

Решение: т.к. \(x^4+1\) больше нуля при всех значениях \(x\), то \(|x^4+1|=x^4+1\).

Ответ: \( x^4+1\)

Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).

Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):

\(|7-x|-|x+3|=-(7-x)-(x+3)=-7+x-x-3=-10\)

Ответ: \(-10\)

Геометрическое определение модуля

\(|a|\) — это расстояние от \(0\) до числа \(a\) на числовой оси

Пример. Чему равен \(|5|\)  и \(|-5|\)?

Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).

Значит ответ: \(|5|=5\),   \(|-5|=5\).

Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.

Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.

Решение простейших уравнений с модулем

Уравнения вида \(|f|=g\) решается с помощью перехода к совокупности   \( \left[ \begin{gathered}f= g\\  f=-g\end{gathered}\right.\) , при условии, что \(g≥0\).

Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.

Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.

Пример.  Решить уравнение:

\(|x-1|=3x\)		Найдем ограничения уравнения. Запишем его немного правее от основного решения
\(3x≥0\)                                \(x≥0\)		Когда ограничение записано —  можно со спокойной душой решать уравнение. Избавимся от модуля и перейдем к совокупности уравнений
\( \left[ \begin{gathered}x-1=3x\\ x-1=-3x\end{gathered}\right.\)		Перед нами 2 линейных уравнения. Решаем их с помощью известного заклинания: «иксы влево, числа вправо»
\( \left[ \begin{gathered}x-3x=1\\ x+3x=1\end{gathered}\right.\)		Приведем подобные слагаемые
\( \left[ \begin{gathered}-2x=1\\ 4x=1\end{gathered}\right.\)		Поделим первое уравнение на \(-2\), второе на \(4\).
\( \left[ \begin{gathered} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{gathered}\right.\)		Корень \(-\)\(\frac{1}{2}\) – не подходит, т.к. \(x≥0\). Остается корень \(\frac{1}{4}\), его и запишем в ответ

Ответ:  \(\frac{1}{4}\)

Решение простейших неравенств с модулем

Неравенство вида \(|f|< c\) решается с помощью перехода к двойному неравенству   \( -c< f< c\) , при условии, что \(c>0\).

Начнем опять с условия. Почему \(c>0\)? Потому что, иначе неравенство не будет иметь решения. Здесь все также как в уравнениях. В самом деле, когда, например, модуль икса меньше \(-7\)? Никогда!

Теперь разберем неравенство \(|x|<3\). Какие иксы нам подойдут? Все от \(-3\) до \(3\). Иначе говоря, икс должен лежать между \(-3\) и \(3\). Это утверждение можно записать вот так \(-3< x <3\) либо системой \(\begin{cases}x<3\\x > -3\end{cases}\). В любом случае ответ будет \(xϵ (-3;3)\).

Неравенство вида \(|f|>c\) решается с помощью перехода к совокупности неравенств \( \left[ \begin{gathered} f>c\\ f< -c\end{gathered}\right.\), при условии, что \(c≥0\).

А здесь почему \(c≥0\)? Потому что иначе решать нечего: если \(c\) отрицательно, то модуль абсолютно любого икса нам подойдет. И значит ответ, икс – любое число.

Теперь о переходе. Рассмотрим неравенство \(|x|>3\). Какие иксы нам подойдут? Все, модуль которых больше трех, то есть от минус бесконечности до \(-3\) и от \(3\) до плюс бесконечности. Записывая системой получим \(\begin{cases}x>3\\x < -3\end{cases}\). Ответ будет \(x ϵ (-∞;-3)⋃(3;∞)\).

\(|3x-7|≤8\)		\(|3x-11|≥11\)
\(-8≤3x-7≤8\) \(|+7\)		\( \left[ \begin{gathered}3x-11≥11\\ 3x-11≤-11\end{gathered}\right.\)
\(-1≤3x≤15\)		\( \left[ \begin{gathered}3x≥22\\ 3x≤0\end{gathered}\right.\)
\(-\frac{1}{3}≤x≤5\)		\( \left[ \begin{gathered}x≥\frac{22}{3}\\ x≤0\end{gathered}\right.\)
Ответ: \([ -\frac{1}{3};5]\)		Ответ: \( (-\infty;0]\cup [ \frac{22}{3};\infty)\)

Смотрите также:
Свойства модуля

cos-cos.ru

Что такое модуль?например мне дается модуль минус икс, чему это будет равно?

а если икс отрицателен?) ) допустим х=-1, тогда |-x|=|-(-1)|=1=-х) ) |a| = a, если a&gt;=0 |a| = -a, если a&lt;0

Модуль, это само число.. . то есть икс.. . например, даётся -2… модуль числа это 2 =)

Просто икс, без минуса

Модуль — это расстояние на координатной прямой от нуля до заданного числа. Или иначе говоряесли число положительно, то его модуль равен самому числу ( |х|=х, |5|=5 ), а если число отрицательно, то модуль числа равен ему противоположному положительному ( |-х|=х, |-5|=5 )

если модуль -x то его модуль равен x

touch.otvet.mail.ru

Помогите с алгеброй!! Модуль икс равен 2икс минус 3.

|X| = 2X — 3 или 3X = 3 X = 1

Надо расскрыть знак модуля: х=2х-3 при х больше или рано 0 и -х=2х-3 прих меньше или равно 0. решить2-а уравнения с учетом знака

Здесь один ответ: х=3

нужно вытащить икс из под модуля, но знак не известен, поэтому решаем значения икс с плюсом и минусом: Плюс/минус икс равно 2икс минус 3 +-х=2x-3 икс один х1=2х-3 -х=-3 х=3 икс два -х2=2х-3 -3х=-3 х=1

touch.otvet.mail.ru