Модуль в тригонометрических уравнениях: найти и обезвредить
Достаточно часто в задачах повышенной сложности встречаются тригонометрические уравнения, содержащие модуль. Большинство из них требуют эвристического подхода к решению, который совсем не знаком большинству школьников.
Предлагаемые ниже задачи призваны познакомить вас с наиболее характерными приемами решения тригонометрических уравнений содержащих модуль.
Задача 1. Найти разность (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Решение.
Раскроем модуль:
1) Если cos x ≥ 0, то исходное уравнение примет вид 1 + 2sin x · cos x = 0.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла, получим:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Так как cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Если cos x < 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Так как cos x < 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Наибольший отрицательный корень уравнения: -π/4; наименьший положительный корень уравнения: 5π/4.
Искомая разность: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.
Ответ: 270°.
Задача 2. Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения |tg x| + 1/cos x = tg x.
Решение.
Раскроем модуль:
1) Если tg x ≥ 0, тогда
tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x = 0.
В полученном уравнении корней нет.
2) Если tg x < 0, тогда
-tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 и cos x ≠ 0.
С помощью рисунка 1 и условия tg x < 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Наименьший положительный корень уравнения 5π/6. Переведем это значение в градусы:
5π/6 = 5 · 180°/6 = 5 · 30° = 150°.
Ответ: 150°.
Задача 3. Найти количество различных корней уравнения sin |2x| = cos 2x на промежутке [-π/2; π/2].
Решение.
Запишем уравнение в виде sin|2x| – cos 2x = 0 и рассмотрим функцию y = sin |2x| – cos 2x. Так как функция является четной, то найдем ее нули при x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; разделим обе части уравнения на cos 2x ≠ 0, получим:
tg 2x – 1 = 0;
tg 2x = 1;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Воспользовавшись четностью функции, получим, что корнями исходного уравнения являются числа вида
± (π/8 + πn/2), где n € Z.
Промежутку [-π/2; π/2] принадлежат числа: -π/8; π/8.
Итак, два корня уравнения принадлежат заданному промежутку.
Ответ: 2.
Данное уравнения можно было бы решить и раскрытием модуля.
Задача 4. Найти количество корней уравнения sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin2 x = sin2 x на промежутке [-π; 2π].
Решение.
1) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 > 0, т.е. cos x > 1/2, тогда уравнение принимает вид:
sin x – sin2 x = sin2 x;
sin x – 2sin2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 или 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 или sin x = 1/2.
Используя рисунок 2 и условие cos x > 1/2, найдем корни уравнения:
x = π/6 + 2πn или x = 2πn, n € Z.
2) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 < 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin2 x = sin 2 x;
sin x = 0;
x = 2πn, n € Z.
Используя рисунок 2 и условие cos x < 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Объединим два случая, получим:
x = π/6 + 2πn или x = πn.
3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат корни: π/6; -π; 0; π; 2π.
Таким образом, заданному промежутку принадлежат пять корней уравнения.
Ответ: 5.
Задача 5. Найти количество корней уравнения (x – 0,7)2 |sin x| + sin x = 0 на промежутке [-π; 2π].
Решение.
1) Если sin x ≥ 0, то исходное уравнение принимает вид (x – 0,7)2 sin x + sin x = 0. После вынесения общего множителя sin x за скобки, получим:
sin x((x – 0,7)2 + 1) = 0; так как (x – 0,7)2 + 1 > 0 при всех действительных x, то sinx = 0, т.е. x = πn, n € Z.
2) Если sin x < 0, то -(x – 0,7)2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7)2 – 1) = 0;
sinx = 0 или (x – 0,7)2 + 1 = 0. Так как sin x < 0, то (x – 0,7)2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 или x – 0,7 = -1, а значит x = 1,7 или x = -0,3.
С учетом условия sinx < 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) > 0, значит только число -0,3 является корнем исходного уравнения.
3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Таким образом, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Заняться подготовкой к урокам или экзаменам можно при помощи различных образовательных ресурсов, которые есть в сети. В настоящее время любому 
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | ||
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | ||
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
Свойства функции y = cosx и её график — урок. Алгебра, 10 класс.
Функция y=cosx определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок −1;1.
Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y=−1 и y=1.
Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например, на отрезке −π≤x≤π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn,n∈ℤ, график будет таким же.
Функция y=cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси \(Oy\).
Для построения графика на отрезке −π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси \(Oy\).
Найдём несколько точек, принадлежащих графику на этом отрезке 0≤x≤π: cos0=1;cosπ6=32;cosπ4=22;cosπ3=12;cosπ2=0;cosπ=−1.
Итак, график функции y=cosx построен на всей числовой прямой.
Свойства функции y=cosx
1. Область определения — множество ℝ всех действительных чисел.
2. Множество значений — отрезок −1;1.
3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π.
4. Функция y=cosx — чётная.
5. Функция y=cosx принимает:
— значение, равное \(0\), при x=π2+πn,n∈ℤ;
— наибольшее значение, равное \(1\), при x=2πn,n∈ℤ;
— наименьшее значение, равное \(-1\), при x=π+2πn,n∈ℤ;
— положительные значения на интервале −π2;π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈ℤ;
— отрицательные значения на интервале π2;3π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈ℤ.
6. Функция y=cosx:
— возрастает на отрезке π;2π и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈ℤ;
— убывает на отрезке 0;π и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈ℤ.
www.yaklass.ru
Тригонометрические уравнения с модулем
Раскрытие модуля по определению
Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.
Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:
№1. Решить уравнение.
№2. Решить уравнение.
Решаем уравнение первой системы:
2sin2x-sinx=0
sinx(2sinx-1)=0
sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)
Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx<0,
получаем х =
Серии ответов можно записать объединяя
№3. Решить уравнение.
Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая уравнение первой системы, получим Из значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это при n=0, 1, 2, 3…
Решая уравнение второй системы, получим Из этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х < -3. Это значения при m= -1, -2, -3…
Ответ: при n=0, 1, 2, 3…; при m = -1, -2, -3…и х = -3
№4 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему
Решаем уравнение системы:
соsx=cosx(x+1,5)2
cosx(1-(x+1,5)2)=0
cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1
х= -0,5 х = -2,5
Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)
Ответ:
№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].
Решение. Перепишем уравнение в виде
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим
Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии
Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.
Ответ:
№6 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:
х=2
Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2
№7. Решить уравнение.
Решение. ОДЗ:
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида
Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.
Ответ:
№8. Решить уравнение.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Обратная замена:
Ответ:
№9. Решить уравнение.
Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.
Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x2+15x-45=(-x2+15x-44)-1≤-1
при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.
При решении уравнения второй системы получается:
В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е
Ответ: 9
Другие способы раскрытия модулей.
Уравнения вида можно решать и следующим способом:
№10. Решить уравнение.
Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx <0, тогда уравнение равносильно системе
Рассмотрим две системы:
Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0
Учитывая, что cosx≤0, x = arctg Вторая система решений не имеет.
Ответ: x = arctg.
№11. Решить уравнение.
cosx
Решение.
№12. Решить уравнение.
Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения:
urok.1sept.ru
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
График косинуса, с примерами построения
График косинуса имеет вид как показано на рисунке 1. Кривая, задающая график косинуса, называется косинусоидой.
Рис. 1
График функции пересекает ось в точках Максимальные значения, равные функция принимает в точках а минимальные, равные – при График функции возрастает при и убывает при
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Построить график функции |
| Решение | Искомый график получается из графика функции в результате параллельного переноса вдоль оси ординат вверх на 1 единицу (рис. 2)
Рис. 2 |
| Задание | Построить график функции |
| Решение | Искомый график получается из графика функции в результате параллельного переноса вдоль оси абсцисс вправо на (рис. 3).
Рис. 3 |
| Задание | Построить график функции |
| Решение | Заданный график построим с помощью элементарных преобразований графика функции Сначала графика функции растянем вдоль оси ординат в три раза (увеличим расстояния от каждой точки графика до оси абсцисс в три раза), получим график функции (рис. 4).
Рис. 4 Затем, отразим график функции симметрично относительно оси абсцисс, получим искомый график (рис. 5). Рис. 5 |
Разность косинусов
Косинус суммы
Сумма синусов
Таблица брадиса косинусы
Косинус умножить на косинус (Произведение косинусов)
Тригонометрический круг (окружность)
ru.solverbook.com
Функция y=cos t, её свойства и график. Видеоурок. Алгебра 9 Класс
На этом уроке вы узнаете, что такое функция y=cost. Мы проведем аналогии между функциями косинуса и синуса, изучим основные свойства и терминологию
Вспомним определение косинуса:
– любое действительное число, ему соответствует единственная точка 
на числовой окружности. Как эта точка получается: начало отсчета – точка 
, дуга 
откладывается против часовой стрелки, если – положительное число и по часовой стрелке, если отрицательное. Длина дуги равняется модулю числа . Задали произвольное и получили единственную точку 
, у которой есть единственная пара координат 
. Первую координату назвали косинусом (
), а вторую – синусом (
) (рис. 1).
В соответствии с данным правилом, мы дали определение двум функциям: 
и 
.
Рис. 1. Иллюстрация для определения косинуса
Построим график функции 
из определения по точкам.
Если мы захотим узнать значение косинуса в иных точках, то используем формулу 
.
Например:
Получается, зная значения косинуса при 
и данную формулу, вполне можно узнать значения косинуса для любых значений 
. Для этого используется симметрия функции косинуса (благодаря ее четности) и периодичность, учитывая, что период у косинуса равен 
.
Построим график косинуса по точкам (рис. 2):
На отрезке 
отметим точки, кратные 
, 
, как показано на рисунке, это значения аргумента.
Рис. 2. График функции косинуса по точкам
Для начала необходимо нарисовать график лишь на отрезке . Так как функция четная, график симметричен относительно оси ординат – получим и график на отрезке 
. В результате имеем график на отрезке 
. Так как этот промежуток длиной в период (
, то этого достаточно, чтобы впоследствии нарисовать весь график.
Изучим функцию и построим график косинуса, используя график синуса и связь между синусом и косинусом:
Эта формула позволяет, зная график синуса, сдвинуть его на 
в нужную сторону и получить график косинуса.
Докажем данную формулу.
Произвольному числу соответствует единственная точка , тогда числу 
будет соответствовать тоже единственная точка 
. Мы знаем, как получились точки и 
, причем 
или длина дуги 
(рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к доказательству формулы связи синуса и косинуса
Итак, имеется две точки и . Косинус – это отрезок 
. Синус – это отрезок 
. Докажем, что эти отрезки равны.
Исходя из графика, можно сделать вывод, что эти отрезки равны по знаку. Оба отрезка входят в соответствующие треугольники в качестве сторон, значит, нам можно доказать равенство треугольников, чтобы доказать равенство сторон.
Докажем, что дуга 
равна дуге 
.
Дуга получается, если отнять от дуги 
дугу 
: 
.
Дуга 
получается, если отнять от дуги 
дугу : 
.
Из этих двух равенств следует, что дуги и равны. А значит, центральный угол 
равен центральному углу 
. Получается, что накрест лежащие углы также равны, а значит, 
. В результате получаем, что 
по углу и гипотенузе, так как они прямоугольные, и гипотенузы являются радиусами в одной и той же окружности. Из равенства треугольников получаем равенство отрезков 
, значит, 
.
Построим теперь график (здесь заменена буква на более привычную ), или, что то же самое, график 
. Этот график можно построить, если синусоиду 
сдвинуть влево на . Итак, строится график , сдвигаем каждую точку на влево, получаем кривую (рис. 4).
Рис. 4. Построение графика коси
interneturok.ru