4.2. Разложение вектора по ортам. Модуль вектора

1⁰.Разложение вектора по ортам. Из прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1) следует:

.

Но ,,,, Следовательно,

(4.3)

Равенство (4.3) и есть формула разложения вектора

по ортам координатных осей.

Таким образом, координатная запись вектора может быть осуществлена двумя способами:

2⁰.Модуль вектора. Векторявляется диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1). Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

,

отсюда следует: , и наконец, получаем искомую формулу:

(4.4)

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

4.3. Линейные операции над векторами.

Сформулируем правила действийнад векторами в координатной форме.

.Координаты суммы (разности) векторов равны суммам (разностям) соответствующих координат этих векторов.

Пусть тогда

(4.5)

При умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр.

Если и– скалярная величина, то

(4.6)

Покажем применение рассмотренного в этой главе материала к решению практической задачи.

Задача 4.1. Даны векторы:

Найти: координаты и модуль вектора

Решение.Используем координатную запись векторов и правила линейных операций над ними:

Модуль вектора вычислим по формуле (4.4):

Ответ.

4.4. Направляющие косинусы вектора

Определение 4.2. Направляющими косинусами ненулевого вектора называются косинусы углов, которые этот вектор образуют с осями координат (рис. 4.2).

Выразим координаты вектора через его модуль и углы:

С помощью данных равенств найдем выражения направляющих косинусов через координаты вектора

и его модуль:

(4.7)

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов вектора :

Полученный результат в векторной алгебре сформулирован в виде следующего утверждения:

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице:

(4.8)

Задача 4.2.Определить направляющие косинусы вектора а также убедиться в справедливости тождества(4.8).

Решение.1⁰. Определим координаты и модуль вектора:

2⁰. Вычислим направляющие косинусы вектора

3⁰. Проверим справедливость тождества (4.8):

Ответ.

4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца.

Введем понятие координат точки в пространстве через понятие радиус-вектора.

Определение 4.3. Радиус-вектором точки М называется вектор с началом в начале координат и концом в точке М, то есть вектор (рис. 4.3).

В качестве координат точки М примем координаты радиус-вектора.

Определение 4.4. Координатами точки в пространстве называются координаты ее радиус-вектора.

Координаты точки М (рис. 4.3) обозначаются символом:, или. Таким образом,

Поставим задачу:найти координаты и модуль вектора , если известны координаты его начала и конца: (рис. 4.4).

Решение.Проведем в точкиАиВ радиус-векторыи, выразим координаты векторачерез координаты векторов

и(см. определение 4.4), получим:

(4.9)

Координаты вектора равны соответствующим разностям координат конца и начала этого вектора.

Задача 4.3.Даны две точки: Найти координаты, разложение по ортам координатных осей, модуль и направляющие косинусы вектора

Решение.Для определения координат векторавоспользуемся формулой (4.9):

По формуле (4.4) вычислим модуль вектора :

Найдем направляющие косинусы вектора :

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ.

7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы

Пусть — единичные векторы осей координат, т.е. и каждый из них одинаково направлен с координатными осями. Тройка векторов называется координатным базисом.

Теорема. Любой вектор пространства можно разложить по базису , т.е. представить в виде , где — некоторые числа (буквы: — «мю», — «ню»).

Это разложение единственное.

 Доказательство. Приложим вектор к началу координат, обозначим его конец . Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть , , — точки пересечения этих плоскостей с осями координат.

Существует единственная тройка чисел , , таких, что

.

Формула называется разложением вектора по координатному базису.

Числа , , — называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. В символическом виде записывают .

Например, если, то его координаты .

Зная координаты вектора , длину его можно найти по формуле

Если известны координаты точек и , то координаты вектора равны: .

Пусть углы вектора с осями , , соответственно равны , , . Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

; ; ;

— основное свойство направляющих косинусов вектора.

7.4. Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы и заданы своими координатами.

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е.

При умножении вектора на число координаты его умножаются на это число, т.е. .

Если вектор коллинеарен вектору , то можно записать , где — некоторое число, т.е. , , . Отсюда, , , или — условие коллинеарности векторов.

7.5. Деление отрезка в данном отношении

,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Пусть даны координаты точек и ; и отношение . Требуется найти координаты точки .

Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат:

.

Аналогично, ; .

В частном случае: — середина отрезка, т.е. .

Пример. Дан треугольник , где , , .

Найти координаты точки — пересечения биссектрисы угла со стороной .

 , ,

, .

.

Ответ: . 

§ 8. Скалярное произведение векторов

8.1. Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением вектора на вектор

называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: или .

Найдем проекцию вектора на вектор .

Из геометрии известно .

Умножим и разделим левую часть на :

, аналогично находим .

8.2. Свойства скалярного произведения

1.

 Доказательство. . 

2. .

3. .

4. .

Определение: Число, равное , называется скалярным квадратом вектора .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины .

 Доказательство. .

6. Скалярное произведение базисных векторов:

, .

8.3. Вычисление скалярного произведения векторов через координаты

Теорема. Если , , то .

 Доказательство. Запишем векторы и в виде разложения по базису, т.е. и .

Тогда

По свойству скалярного произведения базисных векторов :

Таким образом, . 

8.4. Приложения скалярного произведения векторов

1. Установление перпендикулярности ненулевых векторов:

.

Если , то

— условие перпендикулярности векторов.

2. Вычисление проекции вектора на вектор:

и .

3. Определение угла между векторами:

, т.е. .

4. Работа постоянной силы.

Если точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием силы , то работа по перемещению равна:

.

Пример 1. К точке приложены три силы .

Вычислить работу по перемещению точки в точку .

 — равнодействующая трех сил.

.

. 

Пример 2. Дано: , , , .

Найти угол между векторами и .

 Так как или .

,

,

Таким образом, . 

Пример 3. Найти длину вектора , если , ,.





Модуль (длина) вектора. Онлайн калькулятор.

Как найти модуль (длину) вектора плоскости и пространства

Модулем вектора |AB| называется число, равное расстоянию между начальной и конечной точками вектора.
Для того чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны координаты его начальной и конечной точек необходимо воспользоваться одной из формул.
|AB| =

(x_B — x_A)² + (y_B — y_A)²

— для вычисления длины вектора плоскости
|AB| =

(x_B — x_A)² + (y_B — y_A)² + (z_B — z_A)²

— для вычисления длины вектора пространства

Для того чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны его координаты необходимо воспользоваться одной из формул.
|ā| =

a_x² + a_y²

— для вычисления длины вектора плоскости
|ā| =

a_x² + a_y² + a_z²

— для вычисления длины вектора пространства

Пример 1, найдем длину вектора плоскости с координатами начальной и конечной точек A(x;y) и точки B(x;y), где A(1;9) и B(4;7).
Тогда согласно формуле
Xb = 4;
Xa = 1;
Yb = 7;
Ya = 9;
Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора |AB|
|AB| =

(x_B — x_A)² + (y_B — y_A)²

=

(4 — 1)² + (7 — 9)²

=

3² + (-2)²

=

9 + 4

=

13

= 3.60555127546399 Пример 2, найдем длину вектора пространства с координатами начальной и конечной точек A(x;y;z) и точки B(x;y;z), где A(5;2;9) и B(3;6;7).
Тогда согласно формуле
Xb = 3;
Xa = 5;
Yb = 6;
Ya = 2;
Zb = 7;
Za = 9;
Подставим значения в формулу и найдем длину вектора |AB|
|AB| =

(x_B — x_A)² + (y_B — y_A)² + (z_B — z_A)²

=

(3 — 5)² + (6 — 2)² + (7 — 9)²

=

(-2)² + 4² + (-2)²

=

4 + 16 + 4

=

24

= 2

6

= 4.89897948556636
Пример 3, найдем длину вектора ā плоскости с координатами ā(x;y), где ā(3;8).
Тогда согласно формуле
a_x = 3;
a_y = 8;
Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора ā |ā| =

a_x² + a_y²

=

3² + 8²

=

9 + 64

=

73

= 8.54400374531753
Пример 4, найдем длину вектора ā пространства с координатами ā(x;y;z), где ā(4;2;7).
Тогда согласно формуле
a_x = 4;
a_y = 2;
a_y = 7;
Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора ā |ā| =

a_x² + a_y² + a_z²

=

4² + 2² + 7²

=

16 + 4 + 49

=

69

= 8.30662386291807

ВЕКТОРЫ

ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ,

 ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

 1. ВЕКТОРЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Основные определения.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: ,  или , .

 Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора  – точка А – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов  и  является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

 Рис.1. 

Опр. 7. Суммой трех векторов , ,  называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если А, В, С – произвольные точки, то  +  =  (правило треугольника).

 

 рис.2 

 Свойства сложения.

1^о.  +  =  +  (переместительный закон).

2^о.  + ( + ) = ( + ) +  = ( + ) +  (сочетательный закон).

3^о.  + (–) + .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов  и понимают вектор  =  –  такой, что  +  = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора   на скаляр k называется вектор

 = k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2.     противоположно направлению вектора , если k < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l) = k + l.

 k( + ) = k + k.

2^o. k(l) = (kl).

3^o. 1 = , (–1)  = – , 0  = .

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора  и  называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор  коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора   и коллинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

 = k, k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора , ,  называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора , ,  компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

 = k + l, k ,l – скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора  на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора  на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.   = a  cos ,  = (, l).

  рис.3.

 2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Опр. 13. Проекции вектора  на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: a_x,a_y, a_z.

Длина вектора: 

Пример: Вычислить длину вектора .

 Решение: 

 Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле:.

 Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы =a_x, a_y, a_z и =b_x, b_y, b_z.

1.     (  )=a_x  b_x, a_y  b_y, a_z  b_z.

2.     =a_x, a_y, a_z, где  – скаляр.

 Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов  и 

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =,   — угол между векторами  и . 

 Свойства скалярного произведения:

1.     = 

2.     ( +  ) =

3.     

4.     

5.     , где   – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если  .

7.     тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где  и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов  и 

Решение: 

 Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов  и  понимается вектор,  для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами  и 

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство 

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов  и : 

 Векторное произведение в координатной форме.

 Если известны координаты векторов  и , то их векторное произведение находится по формуле:

  .

 Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

 ,

 Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

 Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле: 

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение: 

 3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространствуR.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример. 

Определение. Любой вектор вида  = называется линейной комбинацией векторов . Числа  — коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор   является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов  линейно-зависима, т. к. вектор .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства : .

 2. В системе векторов   базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

 

5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Видеоурок 1: Понятие вектора

Видеоурок 2: Равенство векторов

Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов

Видеоурок 4: Умножение вектора на число

Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Вектор

Вектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).

Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок. 

Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.

Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:

Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.

Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом. 

Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:

Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:

Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как

Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.

Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.

Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.

Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.

Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.

Координаты вектора

Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.

Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: {2;3}.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.

Например, сложим вектор {2;3} с вектором {5;7}. В результате получим новый вектор с координатами {7;10}. С вычитанием все аналогично.

Умножение вектора на некоторое число

Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.

Свойства:

• Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
• Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.

 

Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора

Напомним, что вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определённое направление. Если начало вектора находится в точке , а конец в точке , то такой вектор обозначается: . Часто векторы обозначаются и вот таким образом: .

Модулем, или длиной вектора, называется длина отрезка, который изображает вектор (, ).

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают ().

Направления нулевой вектор не имеет, а его длина равна нулю ().

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. При этом два коллинеарных вектора могут быть сонаправленными () или противоположно направленными (, ).

Векторы называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.

Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника:

А также по правилу параллелограмма:

Отметим, что для любого вектора  справедливо равенство .

Также напомним, что для любых векторов ,  и  справедливы:

1.  (переместительный закон).

2.  (сочетательный закон).

Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  даст вектор .

Для любых векторов  и  справедливо следующее равенство .

Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна произведению .

При этом векторы  и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Основные свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел ,  и любых векторов ,  справедливы:

1.  (сочетательный закон).

2.  (первый распределительный закон).

3.  (второй распределительный закон).

Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

,

,  – неколлинеарные векторы,

,  – коэффициенты разложения.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

При этом, если вектор  можно разложить по векторам  и , то есть представить в виде

,

где  и  – некоторые числа, то векторы ,  и  компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда:

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

,

, ,  – некомпланарные векторы,

, ,  – коэффициенты разложения.

Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

, .

, .

Также напомним, что координатами вектора   с началом в точке  и концом в точке  называются числа , .

В пространстве координатами вектора  с началом в точке  и концом в точке  называются числа , , .

Теперь вспомним следующие правила.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор  имеет координаты .

, ,

вектор  имеет координаты .

Каждая координата разности равна разности соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор  имеет координаты .

, ,

вектор  имеет координаты .

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

,  – произвольное число,

вектор  имеет координаты .

,  – произвольное число,

вектор  имеет координаты .

Также напомним, что длина вектора  вычисляется .

В пространстве длина вектора по его координатам вычисляется аналогично.

, .

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Скалярное произведение векторов  и  выражается следующей формулой:

.

В пространстве скалярное произведение векторов определяется аналогичным образом.

 , , .

И напомним свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов , ,  и любого числа  справедливы соотношения:

1. , причём  при .

2.  (переместительный закон).

3.  (распределительный закон).

4.  (сочетательный закон).

Отметим, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Стороны равностороннего треугольника  равны . Найдите длину вектора, равного сумме векторов  и .

Решение.

Задание второе. Найдите координаты вектора  и его модуль, если , .

Решение.

Задание третье. Даны векторы  и . Найдите координаты вектора  и его модуль.

Решение.

Задание четвёртое. При каких значениях  векторы  и  взаимно перпендикулярны?

Решение.

Задание пятое. Найдите модуль суммы и модуль разности векторов  и .

Решение.

Задание шестое. Найдите косинус угла  треугольника , если ,  и .

Решение.