ГИА — построение графиков функций со знаком модуля / Sandbox / Habr
Всем привет! Хотел бы сегодня объяснить такую тему, как построение графиков. Вероятно большинство знает, как строить простые графики функций, такие как y=x^2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?Задача 1. Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение. Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:
y=|x|
Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).
Теперь график y=|x-1|. Если А — точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.
Построим графики:
y=|x-1|
Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).
Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.
Задача 2. Постройте график функции y=3*|x-4| — x + |x+1|.
Решение. Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.
Пусть x<-1. Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4.
Пусть х>4. Тогда х+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Следовательно у= 3(х-4)-х+х+1= 3х-11.
Значит, нам нужно построить график функции (именно один)
{ у= -5х+11, при x<-1
{ y= -3х+13, при -1< = x < = 4.
{ y= 3х-11, при х>4
Для построения первого берём точки (1; 6) (2; 1)
Для построения второго берём точки (3; 4) (4; 1)
Для построения третьего берём точки (3; -2) (4; 1)
Ну и последняя на сегодня задача, которую мы разберём.
Задача 3. Построить график функции y= |1/4 x^2 — |x| — 3|.
Решение. Функция y= |f(|x|)| чётная. Нужно построить для x>=0 y= f(x) график функции, затем его симметрично отразить относительно оси Oy(это график y= |1/4 x^2 — x — 3|.), и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси Ox (y= 1/4 x^2 — |x| — 3.).
Вот что из этого выйдет:
y= |1/4 x^2 — |x| — 3|
Итак, всем спасибо! Теперь мы получили ту базу знаний, необходимую для построения графиков со знаком модуля! А то его так все боятся.
Вот ссылка, которая поможет вам проверить ваши построения:
habr.com
График функции y = x-4+(|x-2|)
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x — 2 \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -32$$
$$x_{2} = -12$$
$$x_{3} = -100$$
$$x_{4} = -46$$
$$x_{5} = -50$$
$$x_{6} = -88$$
$$x_{7} = -18$$
$$x_{8} = -98$$
$$x_{9} = -82$$
$$x_{10} = -60$$
$$x_{11} = -64$$
$$x_{12} = -40$$
$$x_{13} = -14$$
$$x_{14} = -92$$
$$x_{15} = -90$$
$$x_{16} = -56$$
$$x_{17} = -96$$
$$x_{18} = -48$$
$$x_{19} = -8$$
$$x_{20} = -58$$
$$x_{21} = -24$$
$$x_{22} = -68$$
$$x_{23} = -34$$
$$x_{24} = -66$$
$$x_{25} = -10$$
$$x_{26} = -52$$
$$x_{27} = -38$$
$$x_{28} = -42$$
$$x_{29} = -44$$
$$x_{30} = -4$$
$$x_{31} = -6$$
$$x_{32} = -84$$
$$x_{33} = -76$$
$$x_{34} = -22$$
$$x_{35} = -62$$
$$x_{36} = -54$$
$$x_{37} = 1.75$$
$$x_{38} = -16$$
$$x_{39} = -86$$
$$x_{40} = -26$$
$$x_{41} = -2$$
$$x_{42} = -94$$
$$x_{43} = -20$$
$$x_{44} = -70$$
$$x_{45} = -72$$
$$x_{46} = -28$$
$$x_{47} = -74$$
$$x_{48} = 0$$
$$x_{49} = -80$$
$$x_{50} = -36$$
$$x_{51} = -78$$
$$x_{52} = -30$$
Зн. экстремумы в точках:
(-32, -2)
(-12, -2)
(-100, -2)
(-46, -2)
(-50, -2)
(-88, -2)
(-18, -2)
(-98, -2)
(-82, -2)
(-60, -2)
(-64, -2)
(-40, -2)
(-14, -2)
(-92, -2)
(-90, -2)
(-56, -2)
(-96, -2)
(-48, -2)
(-8, -2)
(-58, -2)
(-24, -2)
(-68, -2)
(-34, -2)
(-66, -2)
(-10, -2)
(-52, -2)
(-38, -2)
(-42, -2)
(-44, -2)
(-4, -2)
(-6, -2)
(-84, -2)
(-76, -2)
(-22, -2)
(-62, -2)
(-54, -2)
(1.75, -2)
(-16, -2)
(-86, -2)
(-26, -2)
(-2, -2)
(-94, -2)
(-20, -2)
(-70, -2)
(-72, -2)
(-28, -2)
(-74, -2)
(0, -2)
(-80, -2)
(-36, -2)
(-78, -2)
(-30, -2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
www.kontrolnaya-rabota.ru
Видеолекция 3. Построение графика функции, содержащей модуль.
ВИДЕОЛЕКЦИИОНЛАЙН КУРСЫУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Содержание Видеолекции «Построение графика функции, содержащей модуль»:
1. График функции y=|x|.
2. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x с помощью раскрытия модуля.
3. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x по четырем точкам.
4. Преобразование функции f(x) -> f(|x|)
5. Построение графика функции 
6. Преобразование функции f(x) -> |f(|x|)|
7. Построение графика функции 
8. Построение графика функции 
9. Построение графика неравенства |y-2x-1|+2|x|≤3.
10. Решение задачи с параметром:
При каких значениях параметра а неравенство |х-2а-1|+2|а|≤3 не имеет решений.
Посмотрите видеолекцию:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru