Проблемы обучения геометрии в общеобразовательной школе на современном этапе Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»
УДК 373.1.02
ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ВОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
© 2012 Мехтиев М.Г.
Дагестанский государственный педагогическийуниверситет
Вработе изложены требования к современнымучебникам по геометрии для общеобразоеателъныхучреждений.
The article deals with the requirements to the modern Geometry textbooks for comprehensive schools.
Ключевые слова: геометрические знания, изучение геометрии, геометрическое мышление, геометрические образы, учебник геометрии.
Keywords: geometric knowledge, Geometry learning, geometric thinking, geometric images,
В разные времена высказывались различные суждения по поводу геометрии и ее месте в системе образования. По нашему мнению, геометрия в школе — это не только основная математическая дисциплина, но и один из важнейших компонентов общечеловеческой культуры, недостатки в освоении которого ведут к серьезному ущербу понимания мира, материального и духовного.
Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является планомерное, систематическое развитие геометрического, образного мышления, восприятия геометрии не только как школьного предмета, но и феномена человеческой культуры.
Геометрическое образование должно осуществляться на уроках труда, природоведения, рисования, географии и физики.
Если раньше геометрические навыки могли воспитываться и дома, когда дети, особенно в сельской местности, ежедневно наблюдали за работой родителей и посильно участвовали в ней, получая при этом обильный эмпирический геометрический материал, то в настоящее время, в связи с ростом урбанизации, формализацией процесса труда, единственным источником приобретения опыта в геометрических образах остается школа.
В связи с этим необходима пропедевтическая работа, которая могла
бы ликвидировать дефицит
геометрического опыта и методически правильно подготовить учащегося к усвоению стандартного курса геометрии. Подобно тому, как уроки природоведения и труда в начальной школе уже много лет служат базой, на которой в средних классах основывается преподавание физики, химии и биологии, так разработка концепции геометрической пропедевтики и, возможно, отдельного предмета в 5-6 классах по наглядной геометрии способствовала бы созданию подобной базы для изучения геометрии и тем самым для изучения математики в целом.
К сожалению, в современной школе начальная база геометрического образования формируется весьма недостаточно, поэтому все более актуальным становится многоуровневое, дифференцированное обучение
геометрии в старших классах.
Школьный курс геометрии традиционно состоит из двух разделов — планиметрии, изучающей плоские фигуры и их свойства, и стереометрии, изучающей
пространственные фигуры и их свойства. Такой подход к построению школьного курса геометрии имеет ряд отрицательных сторон. Прежде всего, раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многие общие закономерности геометрии; ему представляется, что планиметрия и
стереометрия — это две различные науки.
Приложения планиметрии достаточно искусственны или слишком уплощённы, они не отражают в достаточной мере связь геометрии с окружающим миром, тем более что многое об окружающем мире изучается довольно рано в других школьных предметах. Без изучения свойств пространственных фигур школьные курсы физики, географии, химии, которые изучают свойства трёхмерного
окружающего мира, не имеют достаточной теоретической базы.
В настоящее время многие учащиеся завершают или прерывают
преподавание стереометрии начинается только с десятого класса. Это приводит к тому, что базовое образование не даёт необходимого эффекта для развития личности ученика, не готовит его к жизни, к практической деятельности.
Некоторые учёные-методисты
высказываются о преимуществах взаимосвязанного изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Плоские фигуры и их свойства изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. Предлагается начать изучение геометрии в школе не с седьмого класса, как это делается в настоящее время, а с пятого. Одним из сторонников такого подхода является профессор В. А. Гусев. Им издан учебник «Геометрия 5-11 класс», апробация которого проводилась в некоторых школах России, в том числе трех школах Махачкалы. Несмотря на то, что учителя были довольны и утверждали, что учащиеся лучше усваивали геометрию, к сожалению, этот эксперимент не был доведен до логического завершения.
Другой важной проблемой обучения является проблема учебника по геометрии. Частая смена учебников, их необдуманная критика в 90-е годы привела к снижению авторитета школьного учебника — главного источника знаний учащихся.
Естественно, разноуровневые
программы подкрепляются различными учебниками по геометрии, которые
имеют свои дидактические достоинства, свои системы задач, специфические методы доказательств, методические находки. В общеобразовательной школе сегодня используются учебники разных авторов, среди которых наиболее распространенными являются: Л. С.
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. Геометрия 7-9 и Геометрия 10-11. М. : Просвещение, 1991; А. В. Погорелов. Геометрия 7-11. М. : Просвещение, 1991; А. Д.
Александров, А. Л. Вернер, В.И.Рыжик. Геометрия 10-11. М. : Просвещение, 1989.
Согласно нашему практическому опыту, выгодно отличается учебник Л. С. Атанасяна и др., так как он написан настолько просто, ясно, доступно, что ученик без учителя сможет усвоить основные понятия геометрии. По нашему мнению, методической находкой является введение темы площади сразу после темы четырехугольников, благодаря чему доказательство многих теорем упрощается, задачи решаются быстрее, экономится время для изучения следующих тем. Полагаем, российская школа получила хороший учебник.
Учебник А. В. Погорел ова тоже прочно обосновался в школе. Надо заметить, что начиная с 1992 г. издания этого учебника выгодно отличаются от предыдущих и учитывают пожелания специалистов и учителей страны. К достоинствам данного учебника можно добавить и то, что к нему издано достаточно много методической литературы в помощь учителю.
Учебником А.О. Александрова и др. пользуются учителя, работающие в физико-математических школах, в классах с углубленным изучением математики.
Исходя из нашего опыта, этот учебник полезен и в старших классах общеобразовательной школы.
Известно, что наряду с задачей дать научную информацию, учебник должен выполнять дидактические задачи: способствовать усвоению учащимися содержания, вооружить их методами приобретения знаний, умений, навыков, способствовать воспитанию и развитию учащихся, что осуществляется через методическое построение учебника. В
методическом построении учебника
реализуются научные достижения
психологии, педагогики, частной методики, учитываются закономерности процесса обучения учащихся на той или иной ступени. Учебник не только должен сообщить учащимся знания,
предусмотренные программой, но и вызывать интерес к познанию; стимулировать самостоятельность;
прививать ученику уверенность в его силах и возможностях; содержать материал для самоконтроля и др.
К современным учебникам по геометрии для общеобразовательных школ предъявляется много различных требований, в том числе: обеспечить
осознанное усвоение геометрического материала; уделять особое внимание языку изложения; учить мыслить.
Требуется не просто логическое изложение предмета, но и разъяснения, объясняющие смысл новых понятий, их связи со знаниями, полученными ранее. И все большую роль играет не только содержание, но и форма, не только что изложено, но и как изложено, так и возникает проблема языка учебника.
Математический текст учебника все учащиеся должны понимать одинаково. Выбор слов в учебнике определяется тем, насколько учитывается мышление учащегося.
Такие фразы, как, например, «точка А лежит на прямой а» и «прямая а проходит через точку А», с логической точки зрения равноправны, но в одном контексте может быть желательна одна фраза, а в другом — другая, что следует учитывать.
Самая тонкая, самая трудная, но и самая важная проблема — развитие мышления, так как умение четко, логично и самостоятельно мыслить необходимо всем. Учитель должен стремиться к максимальной активизации мышления учащегося как при решении задач, так и при доказательстве теорем. К сожалению, именно эту задачу — учить самостоятельному мышлению — не все наши учебники математики решают успешно.
Следующим и, возможно, самым главным аспектом обучения геометрии в школе (впрочем, как и всех дисциплин) является подготовленность учителя.
Учитель современной школы должен кроме глубоких знаний по своему предмету обладать определенным багажом знаний по педагогике и психологии [5].
Учитель должен быть творческой личностью, четко понимать цели преподавания геометрии в школе, обладать знаниями, адекватными этим целям. Современные педвузовские программы по геометрии, включающие в себя углубленное изучение таких его разделов, как основания геометрии, тензорный анализ и т.п. не позволяют в полной мере сформировать у будущего учителя компетенции, необходимые для его практической деятельности. Представляется, что геометрические программы для будущих учителей должны быть устроены следующим образом: после коротких, хорошо
сбалансированных семестровых курсов по аналитической геометрии
(включающей в себя, главным образом, кривые и поверхности) необходим подробнейший многосеместровый курс элементарной геометрии, изучаемый с позиции, которую Ф.Клейн называл как «элементарная математика с точки зрения высшей», содержащей кроме
традиционных подробное изучение геометрических преобразований,
геометрических построений, сферической геометрии и геометрии Лобачевского (без акцента на основание геометрии).
Необходим также широкий практикум по решению геометрических задач -искусству, во многом утерянному современным учителем. По существу, это возврат к той норме, которая господствовала в геометрическом образовании учителя до начавшейся примерно полвека назад экспансии теоретико-множественного подхода. Пока таких программ нет, многие учителя самостоятельно изучают классические работы по элементарной геометрии, такие как бессмертный курс Адамара или же замечательные книги Яглома, корректируя свои институтские знания. То, что геометрическая подготовка современного учителя недостаточна, является, пожалуй, даже не общеизвестным фактом, а «общим местом». По нашему мнению, изменить ситуацию не трудно — необходимы лишь
новые программы в этом духе неоклассицизма, о которых упоминалось выше.
Подход к геометрии как к общекультурному феномену требует тщательно разработанных
многоуровневых программ. Опыт показывает, что в преподавании школьного курса геометрии можно выделить пять уровней. Первый (низший) уровень предполагает систематизацию того опытного геометрического материала, который накоплен учащимися в младших классах, а также приобретение навыков и приемов для практического использования различных
геометрических закономерностей. На этом уровне геометрия выступает еще не как математическая дисциплина, а скорее инструмент, помогающий решать задачи по алгебре (так называемые текстовые задачи), задачи по физике и химии, выполнять задания по построению чертежей к геометрическим задачам. Знаниями этого уровня ограничиваются многие школьные общеобразовательные программы западных стран; такого типа знания остаются в среднем и у наших выпускников, когда «все выученное забывается». По нашему мнению, рассматривать этот уровень как базовый нельзя, ибо геометрия еще не проявляется как математическая наука.
Второй уровень предусматривает усвоение учащимися концепции геометрического (математического) доказательства. Подобно тому, как возникновение в античной геометрии идеи строгого логического доказательства явилось началом совершенно нового подхода к синтезу знаний, началом нового этапа в развитии человеческой культуры, так и освоение конкретным учащимся идеи математического доказательства ставит его на новую ступень в его индивидуальном интеллектуальном
развитии. Практика показывает, что идея доказательства усваивается учащимися очень непросто. Типична ситуация, когда даже хороший учащийся имитирует некоторые приемы, не понимая сути той всеобщности, логической органичности допустимых средств, которые лежат в основе идеи доказательства. Усвоение этой идеи является поворотным пунктом в
геометрическом и, в целом, общем
образовании человека. Поэтому достижение этого уровня мы рассматриваем как ту основу, отправляясь от которой можно развивать дальнейшее изучение геометрии. На этом уровне учащийся еще не владеет всей логической схемой курса геометрии, однако уже освоил главнейшую математическую идею — идею строго логического доказательства. Необходимо, чтобы этого уровня достигал выпускник школы.
На третьем уровне учащимися усваивается логическая схема геометрии, ее основные понятия, достаточный набор теорем и фактов, достаточно обширна практика в решении геометрических задач. Это уровень хорошего выпускника, желающего в дальнейшем выбрать себе профессию гуманитарного профиля, что соответствует современному базовому уровню.
Четвертый уровень — это освоение курса школьной геометрии в его полном традиционном объеме (например, в объеме учебника Атанасяна или подобного ему).
Предполагается, что на этом уровне учащийся владеет не только общими геометрическими фактами, но специальной техникой решения
геометрических задач (дополнительные построения, соображения размерности, подобия и т.п.). Достижение этого (профильного) уровня необходимо
выпускникам, собирающимся посвятить себя изучению естественных и технических наук (кроме физики).
Наконец, пятый уровень — это уровень углубленного, специализированного изучения геометрии с ориентацией на дальнейшую профессиональную работу в области математики и физики, когда предполагается не только хорошее
владение всем арсеналом средств школьной геометрии, но также умение разбираться в ситуациях, обычно моделируемых в так называемых
олимпиадных задачах. Критерием
достижения этого уровня можно считать умение решать сложные
стереометрические задачи,
многофигурные задачи,
многопараметрические задачи на построение.
Сегодня как никогда школе нужна хорошо продуманная система
геометрического образования. Нет никаких сомнений, что она вскоре будет создана. Основываясь на опыте многих учителей — практиков и методистов, мы полагаем, что при ее создании целесообразно учесть еще один важный аспект.
В последние два десятилетия компьютерные технологии используются во всех сферах человеческой деятельности. Не стал исключением и образовательный процесс.
Целесообразность и эффективность применения компьютеров и
инновационных методов в школьном образовании очевидна.
Особенно полезны
Примечания
они на уроках стереометрии, хотя бы по той причине, что в докомпьютерный период изображались пространственные тела (пирамиды, параллелепипеды, цилиндры, конусы) на плоскости. Теперь есть возможность применять на уроке компьютер, на экране которого геометрические тела показываются в трехмерном изображении, их можно увеличивать, перемещать, изображать в цвете. Уже разработаны специальные методики использования компьютерных технологий на занятиях по геометрии, в целом же их использование способствует качественному и глубокому усвоению геометрии в общеобразовательных учреждениях.
1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 10-11. М. : Наука, 2002. 2. Гусев В. А. Геометрия: 5-6 классы. М. : Изд-во «ДРОФА», 2002. 3. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики. М. : Просвещение, 2002. 4. Мехтиев М. Г. Компьютер на уроке геометрии. Махачкала : МАВЕЛ, 2002.
Статъя поступила вредакцию 25.02.2012 г.
И. Ф. Шарыгин. Нужна ли школе 21-го века Геометрия? | Шевкин.Ru
Вступление. Развивая мысль Пуанкаре, высказанную еще в начале 20-го столетия, доводя ее в некотором смысле до абсурда, Владимир Арнольд в конце того же столетия говорит: «Математика — это часть физики». Соглашаясь с этой формулой, я все же хотел бы ее продолжить: «А физика — часть геометрии».
И вновь вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики.
Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли в 21-м веке Геометрия в школе?» И все же сегодня мы отчетливо слышим голоса, призывающие, если и не полностью исключить геометрию из школьных программ, то, по крайней мере, значительно сократить программу по Геометрии. При этом голоса эти раздаются и со стороны людей, причисляющих себя (я полагаю, по недоразумению) к профессиональному математическому сообществу. И если де юре Геометрия пока еще сохраняется в (российской) школе, то де факто она почти исчезла. Знакомство же с материалами ЕГЭ вынуждает нас убрать это самое «почти». И вообще, система тестирования несовместима с Геометрией.
Поэтому приходится несколько подробнее ответить на вопрос, зачем нужна школьная Геометрия?
Об Образовании и устройстве мира
Говоря о целях, которые реализуются при изучении того или иного предмета, мы должны исходить из общих целей Системы Образования. А здесь главными являются две: воспроизводство существующей в стране социальной системы и ее развитие. И в зависимости от уровня развития страны и даже просто от качества жизни основной массы жителей ведущей целью является либо первое, либо второе. Понятно, что в этом месте расходятся главные цели образования для стран с высоким уровнем развития и стран отстающих. Проще говоря, для богатых и бедных стран. Понятно также, что копирование слаборазвитыми странами систем образования стран высокоразвитых приведет к сохранению сложившейся иерархии между странами, а значит, стратегически полезно именно странам с наиболее высоким уровнем развития.
Глобализация экономики, создание единой общемировой рыночной системы привели к резкой поляризации в мировой цивилизации. В результате значительной разности потенциалов между полюсами возникли мощные потоки: от одного полюса к другому следуют ресурсы всех видов, природные, людские, интеллектуальные, а обратно направляется готовая продукция и управляющие сигналы.
При этом «добавленная стоимость» целиком остается на одном из полюсов, увеличивая эту разность потенциалов. Однако общемировой образовательный ландшафт не совсем соответствует ландшафту экономическому. Да и Система Образования плохо подчиняется рыночному управлению. И в этом таятся определенные угрозы существующей иерархии мира.
Что же касается непосредственно Геометрии, следует заметить, что она является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Возможно, именно по этой причине в странах, где качество жизни большей части населения высоко, Геометрия обычно изучается на очень низком уровне. Ведь Геометрия развивает свойства личности (творческое развитие, нравственное воспитание, независимость суждений и поведения) весьма привлекательные с общечеловеческих позиций, но при широком их распространении угрожающие стабильности отдельно взятому даже процветающему сообществу (страшно подумать, что случиться, если к власти придут творчески думающие и высоконравственные люди).
Даже среди дисциплин математического цикла Геометрия выделяется своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характером, нежеланием подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам и даже логике. Поэтому можно понять стремление руководителей разных мастей и уровней ограничить программы по Геометрии, сузить пространство ее учебных целей. («Целью обучения Геометрии является логическое развитие учащихся».)
А с другой стороны, само Образование является элементом рынка. И при разумном подходе страны, не очень преуспевающие в экономике, но с хорошей Системой Образования могут использовать ее элементы на внешнем рынке и помочь себе тем самым экономически. В условиях все той же глобализации Россия могла бы выступать не только в качестве поставщика сырья богатым странам, но и предоставлять услуги по развитию математического образования. Российское математическое образование пока еще котируется в мире. (Кстати, торговля российским математическим образованием уже давно развернулась по всему миру, но дивиденды получают просто отдельные ловкие люди, зачастую просто присвоившие себе не принадлежащую им интеллектуальную собственность.
) И возможно, именно школьная Геометрия могла бы здесь сыграть ведущую роль.
В последнее время внимание ученых математиков и специалистов в области математического образования все больше и больше привлекает Элементарная Геометрия. И, на мой взгляд, здесь лидерство России наиболее заметно. Похоже, именно в Геометрии особо заметен евразийский характер русской культуры. В истории Геометрии ярко видны две ветви, западная и восточная. Западная Геометрия строилась по Евклиду, а затем по Декарту. Здесь во главу угла ставились точные логические конструкции, систематичность, общие теории. Восточная Геометрия опиралась на наглядность, Геометрия была скорей элементом Культуры, Искусства, даже Культа, нежели наукой. И эти две ветви тесно переплелись в России, географически и геометрически служившей мостом между Западом и Востоком. Само положение России наиболее благоприятствовало развитию Синтетической Геометрии, которая сегодня особенно привлекает специалистов. И я убежден, что в области преподавания Геометрии мы занимаем лидирующее положение в мире. Нам есть, что предложить миру. Пока есть.
И эти два обстоятельства — несоответствие устройства Мировой Системы Образования экономическому устройству мира и ее рыночные возможности и определяют наблюдаемое сегодня стремление единственной оставшейся супердержавы взять под контроль Общемировую Систему Образования. В первую очередь математического, ведь именно математическое образование интернационально в своей основе (имеет «ртутный» характер) и оказывает самое большое влияние на развитие Земной Цивилизации. И поэтому не следует удивляться тому, что все руководство в различных международных структурах, занимающихся проблемами математического образования, оказалось в руках представителей этой самой супердержавы, в которой, по общему мнению, математическое образование едва ли не худшее в мире.
И в конце этого раздела я хочу сказать, возможно, не совсем по делу, несколько слов в связи с проходящей в России реформой-модернизацией среднего образования.
По мнению многих специалистов, это не реформы и не модернизация, а разрушение сложившейся системы образования. Так в чем же дело? Почему реформы продолжаются и поддерживаются на самом высоком уровне? Неужто там сидят люди уж совсем ничего не понимающие? По этому поводу высказывалось много мнений. Добавлю одно соображение.
В Советском Союзе сложилась хорошая Система Образования, основной целевой установкой которого было творческое развитие учащегося (что, признаемся, весьма странно для тоталитарного режима). Математическое Образование же в Советском Союзе чуть ли не официально признавалось лучшим в мире. И я убежден, что именно Система Образования была фундаментом всех значимых побед Советского Союза (индустриализация, Война, атомная бомба, выход в Космос) и она же стала одной из главных причин, приведших к распаду Советского Союза (не буду заходить здесь слишком далеко и вычленять особо роль Геометрии). Ее сохранение на прежнем уровне может стать источником постоянно действующей угрозы для новой, а по сути перекрасившейся старой номенклатуры. И дважды повторять не приходится, инстинкт самосохранения у номенклатуры развит посильней, чем у зверя. А возможностей для соединения у номенклатур разных стран гораздо больше, чем у пролетариев.
Воспитание геометрией
Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но следует признать, что эта цель по отношению к геометрии второстепенна, поскольку большинство школьных геометрических знаний не востребовано ни в практической жизни человека, ни даже в научной деятельности.
Более важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.
История человечества пишется в трех книгах. Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов.
Из них большею частью складывается История Государства. Это История Любви. Ее пишет Искусство. И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль. Возникшая несколько тысячелетий тому назад Теория конических сечений, пополненная открытыми Кеплером законами, вымостила дорогу человечества в Космос. (Кстати, о прикладном и практическом значении Геометрии).
Геометрия, да и математика в целом представляет собой очень действенное средство для нравственного воспитания человека. В романе «Война и мир», характеризуя старшего князя Болконского Николая, Л.Н.Толстой пишет: «Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях».
Научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать. В то время как власть никогда не утруждает себя доказательствами. (Отсюда совет тем, кто хочет стать политиком, идти во власть: не занимайтесь геометрией.)
Какая геометрия?
Итак, вроде все ясно, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий ареал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования. Так почему же еще продолжаются споры о роли и месте Геометрии в школе?
Следует сказать, что спор по поводу школьной геометрии напоминает порой известный спор из чеховских «Трех сестер»: «Черемша – лук.
Чихиртма – мясо». Спорят о разных предметах. И поэтому, когда мы пытаемся ответить на вопросы: Нужна ли в 21-м веке школьная Геометрия? Зачем будет нужна в школе Геометрия? — необходимо пояснять, о какой Геометрии идет речь. Есть Геометрия и геометрия.
Перефразируя известное высказывание Толстого, мы можем сказать: «Хорошие курсы Геометрии могут быть построены разными способами, плохие же большею частью очень похожи друг на друга». Есть три основных способа уничтожить Геометрию и соответственно три основных типа курсов анти (лже, псевдо) геометрии. Причем, несмотря на различие подходов, соответствующие учебники схожи друг с другом, они плохо структурированы, написаны на скверном языке, и литературном и изобразительном, изобилуют логическими неувязками. Самое удивительное, что логические пробелы и проколы характерны для курсов, претендующих чуть ли не на абсолютную логическую строгость, концептуально построенных на формально-логической (аксиоматической) основе. Такие курсы весьма распространены в российской школе. Характерные признаки: множество чисто формальных определений, зачастую делающих определяемое понятие неузнаваемым; длительная возня с первоначальными понятиями, в результате чего в течение чуть ли не половины курса школьник не узнает ничего нового; обилие многословных рассуждений, а точнее пустых сочетаний слов, выдаваемых за рассуждения, доказывающих очевидные факты и делающих этот очевидный факт абсолютно непонятным, а самое главное, дискредитирующих саму идею доказательства. Подобные курсы быстро и надежно убивают всякий интерес к предмету. Как говаривал незабвенный Николай Озеров, «Такой хоккей нам не нужен».
Следующей разновидностью псевдогеометрии являются курсы практическо-прикладного типа. При этом практическая направленность понимается в узко утилитарном смысле. Все содержание сводится к небольшой подборке формул для вычисления длин, площадей и объемов. Подобные курсы были распространены в России на заре советской власти, а сегодня они характерны для западной школы, в частности, американской (насколько мне известно).
Исторически подобные курсы оправдывает этимология слова «геометрия». Но геометрия уже давно вышла за узкие рамки «землемерия». Да и практическая деятельность людей ставит перед ними сегодня совершенно иные практические задачи, в том числе и геометрические. Далеко не «землемерные». И получается, что обе рассмотренные разновидности геометрических курсов не соответствуют заявленной концепции: формально-логические содержат формально-логические ошибки, а практически-прикладные не дают знаний и умений, полезных в прикладной и практической деятельности.
И если с этими двумя типами геометрических курсов все понятно, то с третьей разновидностью, которую я тоже причисляю к антигеометрии, все не столь однозначно. Речь идет о «королевском» пути в Геометрии, указанном Декартом. Созданный им метод координат позволяет, как полагал его создатель, среднему и даже посредственному человеку достичь высот, доступных ранее лишь особо одаренным. Кто-то из последующих классиков заметит, что «он покрыл Геометрию паршой алгебраических формул». Надо признать, что координатный метод позволяет единообразно решать самые трудные геометрические задачи. Даже среди победителей международных олимпиад встречаются школьники, владеющие, по сути, лишь одним координатным методом, но владеющие им виртуозно, способные решить этим методом чуть ли не любую из предлагаемых на олимпиадах геометрических задач. (И здесь, кстати, следует сделать серьезное замечание по поводу качества геометрических задач на современных математических олимпиадах.) И все же я убежден, метод координат (наряду с тригонометрией) является одним из самых действенных методов борьбы с геометрией, и даже уничтожения геометрии. И вреден он на всех этажах школьного образования, и для слабых школьников и для самых способных. Что касается слабых, отстающих или попадающих по тем или иным причинам в категорию отстающих по математике школьников, то здесь опасность чрезмерной алгебраизации достаточно очевидна. Большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы и т.
д. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы повысить свой статус в классе, компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом, причем на ту же чашу весов, где находится и алгебра, вынуждает заниматься неинтересной и трудной для них деятельностью.
А чем же опасна подобная алгебраическо-координатная геометрия для одаренных детей. Дело в том, что координатный метод, алгебраический метод оставляют в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю. Возможно, именно поэтому (отчасти) победители международных олимпиад не так уж часто становятся высококлассными учеными. Однако координатный метод очень удобен, он универсален, его легко формализовать, тренировать, и прочее и прочее. И пока на международных олимпиадах сохранится нынешний стиль (качество задач, способы проверки и оценки), пока целью ведущих стран будет оставаться «победа любой ценой», учебники по «координатной геометрии» будут одними из самых востребованных школьных учебников, во всяком случае, при обучении сильных школьников (одаренных?).
Безусловно, тремя этими разновидностями вовсе не исчерпывается плохая геометрия. Нередко встречаются всевозможные логическо-практические смеси, рядом возникают модернистские и даже постмодернистские интегрированные естественнонаучные курсы. Но еще раз подчеркну, все эти курсы легко узнаваемы. И чтобы их узнать, достаточно прочитать оглавление и пролистать учебник.
Итак, какой не должна быть Геометрия, более или менее понятно. А какой же она должна быть? Не думаю, что возможен полный ответ на этот вопрос. Даже представления об идеальном курсе у разных людей, и простых и великих, различны. Но идеалы, как известно, недостижимы. Да и не следует объяснять другим, каким должен быть этот курс, как бы ты сам его написал, если бы умел.
«Сделай сам».
И все же одно мне кажется бесспорным. Вспоминая изречение Брежнева «Экономика должна быть экономной» (с моей точки зрения абсолютно верное утверждение и даже вовсе не бессмысленное), я говорю: «Геометрия должна быть геометрической» (а не аналитической или алгебраической). Это означает, что главным действующим лицом Геометрии должна быть фигура (на плоскости треугольник и окружность), а главным средством обучения рисунок, картинка. Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного метода познания мира. Овладение этим методом — важнейшая цель образования.
И еще одно утверждение по этому поводу, вполне очевидное для меня, но с которым не все, наверное, согласятся, хочу добавить. Учебник по геометрии не должен сводиться лишь к выстраиванию геометрической теории. Процесс изучения Геометрии включает самые разнообразные виды деятельности. В том числе и даже в первую очередь — решение задач. Задача — это не только умения, это и элемент знания. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, освоить некоторые геометрические методы, научиться решать задачи, следуя известным образцам. Кстати, именно в этом и состоит, по сути, процесс обучения алгебре. Мы показываем ученику методы, приемы, сообщаем алгоритмы, которые трудно, почти невозможно найти самостоятельно. В Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных алгоритмов, очень мало, почти нет. Почти каждая задача по Геометрии является нестандартной. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, сообщающих полезный факт, либо иллюстрирующих метод или прием. Я полагаю недопустимым предлагать задачи на минимальном уровне, на тройку. Задача должна быть нормальной задачей, а оценивать мы должны, сколь далеко ученик ушел от полного нуля и приблизился к полному решению. (Кстати, именно так обычно оцениваются задачи на олимпиадах и вступительных экзаменах.)
Геометрия при обучении одаренных и отстающих детей Одной из важнейших социально-педагогических задач, стоящих сегодня перед системой образования, является задача дифференцированного обучения, обучения детей с разным уровнем развития и различными способностями.
И здесь очень важна роль геометрии. Геометрия становится одним из немногих (единственным?) универсальных средств, в равной мере работающим на различных этажах Образования, включая крайние, и даже особенно на крайних: при обучении одаренных детей и при обучении отстающих детей.
Следует иметь в виду, что два обозначенных множества (одаренные и отстающие дети) имеют вовсе не нулевое пересечение. Большинство из нас (я имею в виду не рядовых учителей, а математиков, занимающихся проблемами образования), большею частью имеют дело именно с одаренными детьми. Но многие дети попадают в разряд отстающих (по математике) вследствие плохих программ по математике, неудачных методик и даже конфликта с учителем. И здесь возникает важнейшая общественно-педагогическая задача: помочь им вовремя избавиться от ярлыка. Ведь среди них нередко встречаются и одаренные дети. Но, наверное, еще более общественно и социально важной задачей является проблема реабилитации детей действительно отстающих в своем развитии.
Свои корректирующие и развивающие функции Геометрия реализует различным образом на разных этапах школьного образования. (Я исхожу не из того, что есть на самом деле, а из того, что, по моему мнению, должно быть. Как сказал Бродский: «Не в том суть жизни, что в ней есть, но в вере в то, что в ней должно быть.») В первой школьной половине (с 1-го по 6-класс) Геометрия, по сути, является разновидностью физкультуры, Интеллектуальной Физкультурой. И включиться в занятия Геометрией можно в любой момент. А это, признаемся, не типично для математики. Здесь большею частью даже небольшой пропуск по болезни или по иной причине, не знание или не понимание одной темы может привести к отставанию, которое нелегко ликвидировать.
С 7-го класса в российской школе по традиции (и я не вижу причин отказываться от этой традиции) начинается систематический курс геометрии или курс Систематической Геометрии. И здесь уже исчезает либерализм, присущий предшествующему этапу. Курс выстраивается в жесткой последовательности (возможно, различной для разных учебников) и выпадение одного звена разрушает эту последовательность.
(Кстати, курс алгебры, наоборот, распадается на отдельные темы.) Что надо сделать, чтобы систематический курс смог охватить разные категории учащихся? Здесь, на мой взгляд, необходимо уделить особое внимание первому, начальному этапу (7-й класс). Хорошо, если мы имеем дело с ребенком, который познакомился с хорошей Геометрией в предыдущих классах. Если же нет, то нашей первой задачей является задача заинтересовать. И эта задача вступает в серьезное противоречие с требованием «систематичности»: мы изначально рассматриваем ученика как своего рода «чистый лист» (с точки зрения геометрических знаний), который следует заполнить в определенной последовательности. Мы не имеем права использовать уже имеющиеся у него знания, знания «со стороны», и даже апеллировать к «здравому смыслу». И возникает опасность не то, что не развить интерес к Геометрии, но, наоборот, отбить всякий интерес, привить идиосинкразию к ней.
Но все же я убежден, что задача «заинтересовать» на первом этапе вполне решаемая. Главные инструменты: красивая картинка, хорошая задача и живой язык. Мы должны достаточно долго держать открытой дверь в Геометрию, заманивая туда ученика. Надо постараться в некотором смысле развить в нем зависимость от Геометрии, интеллектуальную, психологическую а, может, и физиологическую (?). И тогда мы легче сумеем решить задачу второго этапа систематического курса: научить. На третьем, последнем этапе (я имею в виду цикл с 7-го по 9-й классы) в числе прочих возникает важная методическая задача «повторить». На этом этапе мы имеем возможность компенсировать оставшиеся пробелы и пропуски и (что самое главное) показать ученику Геометрию целиком, в виде единого и готового здания, которое мы в течение трех лет строили.
Но роль Геометрии при обучении математике не исчерпывается собственно Геометрией. Широкое использование геометрии в негеометрических разделах школьного курса может значительно улучшить общематематическую подготовку школьников. Геометрические интерпретации позволяют лучше понять вывод алгебраических формул, правил и законов арифметики, сделать их наглядными, более понятными, запомнить их.
Психико-физиологической основой, позволяющей Геометрии в равной степени и развивать детей одаренных и реабилитировать детей отстающих, является выявленная физиологами функциональная ассиметрия головного мозга человека.
Оказывается, наши полушария по разному думают. Левое ведает логическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое отвечает за чувственную, образную сферы нашего сознания. Правое полушарие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт деятельности правого полушария. Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень опасно именно на ранних ступенях школьного обучения и особенно в отношении детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а таких детей довольно много, возможно даже, подавляющее большинство. В результате, мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неоправданную дебилизацию некоторых учеников, которые начинают отставать в своем интеллектуальном развитии. Широко известно, что переучивание левши может привести к ослаблению его умственных возможностей. Переучивание же «интеллектуального левши» может привести и вовсе к трагическим последствиям.
Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтвержден практикой, что при широкой геометризации школьной математики на ее начальных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. У детей развивается воображение, а тем самым значительно возрастает творческий потенциал.
Геометрия очень важна для полноценного физиологического (не только интеллектуального) развития ребенка. Уже сам процесс занятий геометрией имеет большое развивающее значение. Геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира.
Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат. И, продолжая аналогию между общечеловеческим и индивидуальным, замечу, что геометрические возможности детей младшего и среднего возраста почти не зависят от уровня их математической подготовки.
И теперь отдельно несколько тезисов о работе с математически одаренными школьниками.
Работа с математически одаренными детьми состоит из трех этапов: заинтересовать, выявить (отобрать), научить. Здесь я хочу подчеркнуть, что этап «заинтересовать» может длиться чуть ли не до окончания школы. Очень важна роль геометрии на первых двух этапах. Посредством геометрии можно заинтересовать математикой многочисленные категории школьников, даже не очень хорошо обученных (об этом я уже говорил). И опять же, посредством геометрического материала мы можем отбирать детей именно талантливых, а не специально обученных.
В основе работы с одаренными детьми должен лежать парный принцип: демократизм и элитарность. С одной стороны, мы должны дать возможность получить полноценное образование детям всех социальных слоев, на всех этапах обучения оставляя открытыми двери для талантливых детей (демократизм). А с другой, — обеспечить высокий уровень подготовки одаренных детей, чтобы создать подлинную научную элиту. Талантливость и обученность — вот два критерия отбора в эту элиту. Геометрия прекрасно соответствует сформулированному принципу. Нередки случаи, когда прекрасно подготовленный олимпиадный профессионал не справляется на олимпиаде с геометрической задачей, и именно эту задачу, чуть ли не единственную, решил не подготовленный специально школьник. Многие задачи олимпиад высокого уровня просто непонятны не только обычным школьникам, но и рядовым учителям. Единственное, что еще соответствует на олимпиадах содержанию школьных программ, это задачи по геометрии. Кроме того, олимпиада, особенно в своей геометрической части, если, конечно, она разумно выстроена, нередко дает возможность проявить себя и не слишком успевающим по школьной программе детям.
Следующий принцип работы с одаренными детьми — комфортность и многоступенчатость. Система олимпиад, являющаяся важнейшим элементом работы с одаренными детьми, да и сам процесс обучения нередко образуют достаточно жесткую конкурентную среду. И эта среда может самым губительным образом воздействовать на психически не подготовленного ребенка. А ведь психика именно одаренных детей особенно ранима. Поэтому очень важно для каждого одаренного школьника определить ту ступень, на которой он может комфортно работать. Слишком высокий уровень может оказаться для него просто непосильным. В результате ребенок потеряет уверенность в себе. Одновременно не следует одаренному школьнику задерживаться на слишком низком для себя уровне. Он может остановиться в развитии. Особенно четко эта иерархичность и многоступенчатость видна в системе олимпиад. Разрыв между школьной и международной олимпиадой необычайно велик. Геометрия является тем стержневым предметом, который соединяет всю эту многоступенчатую систему. Кроме того, геометрия дает возможность талантливому ребенку развиваться постепенно, препятствует искусственным ранним скачкам, форсированию развития, из-за которого мы нередко теряем талантливую молодежь. (Куда девались многочисленные вундеркинды, о которых еще несколько лет тому назад с восторгом писали наши газеты?)
В области геометрии достигает своего наименьшего значения расстояние между математической наукой и школьной математикой. Некоторые самые современные достижения профессиональных математиков-геометров могут быть вполне доступно изложены школьникам. И сами эти достижения, и соответствующие идеи могут стать источником олимпиадных задач. Причем не только для старших школьников. А с другой стороны, геометрия дает возможность одаренным детям уже на школьной скамье начать заниматься полноценными научными исследованиями, а не их имитацией, что нередко бывает на школьных научных конференциях. И здесь могут проявить себя дети не олимпиадного типа.
Геометрия способствует полноценному эмоциональному развитию ребенка.
Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания. В математике мы достаточно четко можем отличить красивое решение от просто решения. Но особенно часто понятие красивое решение мы связываем с геометрическими задачами. Хороший математик, просто ученый должен обладать достаточно развитым эстетическим чувством. А о том, насколько важно создание хорошего эмоционального фона при работе с отстающими детьми можно и не говорить. Я могу привести много примеров, иллюстрирующих сказанное, но ограничусь одним.
В мае 2001 года мне позвонила учительница из города Чебоксары. Она рассказала следующую историю. В начале учебного года у нее в классе появился второгодник. Новый ученик по геометрии был на полном нуле (как и вообще по математике), а упомянутая учительница особое внимание уделяла именно геометрии. (Вынужден признаться, что занималась она по моему учебнику, почему и позвонила мне.) Учительница дала ученику учебник и заставила того начать изучать геометрию с самого начала. Короче говоря, этот ученик на проходившей в городе в апреле 2001-го года математической олимпиаде получил вторую премию.
Геометрия в 21-м веке, Что нового? Человечество вступило в Новый Век. Посмотрим вокруг, что происходит? Здание земной цивилизации значительно выросло за последние десятилетия и продолжает стремительно расти. Деятели образования в разных странах предпринимают отчаянные, но тщетные попытки угнаться за ростом этого здания. Заметно выделяются два пути решения проблемы: модернизация (в узком смысле) и дифференциация. При этом зачастую и модернизация, и дифференциация понимаются очень примитивно. В чем смысл предложений “модернизаторов” от образования?
Поскольку сегодня в мире возникло много новых профессий, много новых видов человеческой деятельности и даже наук, возникли новые информационные технологии, следует потеснить в школе старые и традиционные предметы, заменив их современными.
Что же касается математики, то необходимо сократить, прежде всего, Геометрию (частично или полностью), как предмет устаревший, почти не изменившийся за последние несколько тысячелетий, мало используемый в практической жизни. А вместо нее ввести современные разделы: математический анализ, теорию вероятностей и прочее. Что здесь плохого?
Дело в том, что образовательные процессы подчиняются строгим биологическим законам и ускорить их невозможно, подобно тому, как нельзя ускорить процесс вынашивания плода, который в своем развитии проходит этапы, совершенно не нужные с точки зрения взрослой особи. Не существует такого скоростного лифта, который мог бы вознести ребенка или даже молодого человека сразу на верхние этажи здания цивилизации. Такие попытки в образовании, в том числе и математическом, уже делались и неоднократно, но все они кончались плачевно.
Чем выше здание, тем прочнее должен быть фундамент. Человек, получивший хорошее фундаментальное образование, гораздо быстрее приспособится к условиям современной жизни, сумеет найти в ней свое место, чем тот, кто поверхностно познакомился с многочисленными современными предметами, научился нажимать кнопки сложных приборов, не понимая сути происходящих в них процессов. Владение же геометрическим методом очень полезно современному человеку, так как позволяет ему быстро и наглядно понять суть сложного явления, дать ему ясную интерпретацию.
Дифференциация в образовании (в широком смысле модернизация включает в себя дифференциацию) задает несколько иной путь решения возникшей перед современным обществом проблемы. Школа, в первую очередь, в старшем звене становится специализированной, возникают школы различного типа: гуманитарные, физико-математические, биологические, даже музыкально-спортивные и бог знает какие. С одной стороны, это необходимо. Но, с другой, — чрезмерное дробление может привести к полному распаду школы. Уже реальностью становится дифференциация школы по региональному принципу. А это для России не просто опасно, но смертельно опасно. Поэтому для России очень важны стержневые школьные предметы, которые должны противостоять возрастающим центробежным силам. Одним из таких предметов является математика.
Чрезмерная дифференциация на школьном уровне может помешать ее выпускникам в будущем реализовать свои основные общечеловеческие права, право на свободное передвижение, право на выбор профессии. Как показывают недавние социологические исследования, человеку в течение жизни приходится неоднократно, до 25 раз менять профессию.
Кроме того, это в муравейнике можно посредством питания выращивать по заказу солдат или рабочих, производителей или прислугу. Человечество не муравейник. Кем станет человек в будущем, на школьной скамье решить трудно. Даже ставить такую задачу — безнравственно. И мы вновь приходим к выводу о необходимости усиления именно фундаментальной подготовки выпускников наших школ. И этот принцип фундаментальности выдвигает на первое место именно математическое образование. А внутри этого математического образования все более важную роль должно играть геометрическая составляющая, благодаря таким качествам, как наглядность и универсальность. И все же полностью отказываться от принципов дифференциации не следует. Здесь важно уловить разумную грань, за которой образование распадается на отдельные феодальные хозяйства. Возможно, для математики достаточно обойтись всего лишь двумя разновидностями. Не вдаваясь в детали, замечу, что математические курсы, основанные на принципах наглядности, на геометрических идеях дают возможность дать полноценное (или достаточное) математическое образование представителям самых далеких от математики специальностей (гуманитариям, но не только).
Заметным явлением сегодняшней цивилизации стал компьютер. И здесь особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. С одной стороны, геометрический тип рассуждений наименее поддается компьютеризации. (А отсюда, в частности, следует, что его сохранение и развитие особенно важно именно в настоящее время.) Геометрия остается одной из немногих сфер интеллектуальной деятельности, где человек еще не проиграл соревнование компьютеру. А с другой, — компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!). При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям. Важнейшим фактом и фактором современной жизни является научно-техническая революция, которая, вопреки смыслу слова революция, стала постоянно действующим явлением. Резко возросли психологические и интеллектуальные нагрузки на человека, на его мозг, причем с самого раннего возраста. И нагрузки эти не равномерны, они разбалансированы, значительно перегружается левое полушарие. Отсюда стрессы, нервные и психические заболевания, начинающие разрушать организм ребенка еще до его рождения.
Скорость изменения окружающей среды, среды обитания столь велика, что человек не успевает приспособиться к этим изменениям просто как биологический вид. В последнее время все большее влияние получает в обществе движение в защиту окружающей среды. Люди очень озабочены тем, какие продукты питания они потребляют, естественные или синтезированные, экологически чистые или же содержащие химические добавки и прочее и прочее. Но пора создавать и движение в защиту образовательной среды, нужны глубокие исследования по экологии образовательной среды.
Для нормального развития ребенку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.
Но Геометрия — это продукт, который должен быть приготовлен очень умелым кулинаром. Иначе она может не только утратить свои питательные качества, но и принести вред организму.
… И замкнулся круг. То есть может замкнуться. Геометрия, стоявшая у колыбели человеческого разума, может помочь сегодня человеку сделать еще один скачок в своем развитии. Интеллектуальном, духовном и нравственном. Надо не упустить эту возможность.
Публикуется по тексту, полученному от автора 15.12.2003 г.
Дополнение. Статья опубликована в журнале «Математика в школе», 24/004.
инструмент дьявола. Плач математика. Эссе о преподавании математики в школе
Геометрия в старших классах: инструмент дьявола
Ничто так не раздражает автора едкого обличения, как предложение самой главной жертвы его яда в качестве аргумента в поддержку его мысли. Нигде волк в овечьей шкуре не вероломен настолько, как на уроке геометрии. Такая попытка школы дать введение в искусство рационального рассуждения опасна сама по себе.
Этот вирус атакует математику в самое сердце, создавая иллюзию, будто именно на уроке геометрии школьники знакомятся с математическим рассуждением, и тем самым разрушает саму суть творческого рационального мышления, отравляя учеников в стремлении к этому занимательному и красивому предмету, навсегда калеча их способность мыслить о математике естественным и интуитивным путем.
Механизм, стоящий за этим, тонок и изощрен. Жертва-ученик сначала оглушается и парализуется потоком бессмысленных определений, положений и значков, а затем медленно и болезненно отлучается от естественного интереса и интуиции о геометрических формах и их закономерностях систематической пропагандой корявого языка и искусственного формата так называемого «формального геометрического доказательства».
Скажем прямо и без метафор: урок геометрии есть наиболее эмоционально и ментально деструктивная компонента всей математической программы от первого класса и до последнего. Другие математические курсы могут спрятать прекрасную птицу или посадить ее в клетку; лишь на уроке геометрии ее подвергают бездушным пыткам. (Нет, видимо, я еще не готов говорить без метафор.)
Здесь систематически подрывается интуиция ученика. Доказательство, математическое рассуждение есть произведение искусства, поэма. Ее цель — удовлетворить. Красивое доказательство призвано объяснять, и объяснять ясно, глубоко и элегантно. Хорошо написанное, проработанное рассуждение должно чувствоваться холодными брызгами и вести лучом маяка — освежать дух и освещать ум. Оно должно очаровывать.
В том, что сходит за доказательство на уроке геометрии, нет ничего очаровательного. Школьникам дают негибкий, догматический формат, в котором они должны производить так называемые «доказательства» — формат настолько непотребный и неподходящий, как, например, требование от детей, желающих высадить сад цветами, называть их цветы латинскими видом и родом.
Рассмотрим примеры этого безумия. Начнем с рисунка двух пересекающихся прямых:
На первом шаге рисунок следует замутить излишними обозначениями. Нельзя говорить о двух пересекающихся прямых: им следует дать вычурные обозначения. Не просто «прямая 1» и «прямая 2», или a и b. Мы должны, в соответствии с требованиями школьной геометрии, выбрать произвольные ненужные точки на этих прямых и называть эти прямые в соответствии со специальной «системой обозначения прямых».
Теперь мы будем называть их AB и CD. Боже упаси забыть надчеркивание: запись AB обозначала бы длину отрезка (во всяком случае, как это делается сейчас[15]
Геометрия в школе — Каталог статей
Геометрия – школьная дисциплина, которая изучается с 7 по 11 класс. И нравится она не всем детям, и даже не всем родителям. Но прежде чем искать способ легко и быстро отделаться «тройкой» на уроке, стоит подумать, а так ли бесполезна эта наука?
На школьной геометрии изучаются геометрические фигуры. Но назначение этой науки «прячется» в названии. «Гео» — земля, «Метрео» — мерить. И по названию понятно, что изначально геометрия использовалась для разметки при земляных работах.
Школьная геометрия значительно упрощена и разделена на два вида:
- Планиметрия – изучение плоских фигур: треугольников, кругов, прямоугольников, отрезков и т.д.;
- Стереометрия – изучение объемных фигур: шара, пирамиды, конуса и т.д…
И сама по себе школьная геометрия – наука простая даже для гуманитариев. Достаточно лишь перестать фыркать о скучных теоремах и хотя бы немного вникнуть.
А пользы от геометрии невероятно много – она дает фундамент для множества интересных профессий.
Кому нужна геометрия?
Знаете ли вы, что многие современные профессии, престижные и высокооплачиваемые, основаны отчасти на геометрии? Например, дизайнеры и архитекторы ежедневно используют знания, которыми они обязаны этой науке. А, казалось бы, творческие профессии.
И уж точно нельзя обойтись без геометрии инженерам, конструкторам, разработчикам компьютерных игр и другим представителям технических специальностей. Достаточно сложных и уважаемых. Но все инженеры, конструкторы и разработчики когда-то были такими же школьниками, которые учили геометрию.
Это далеко не полный список профессий, при которых пригождается геометрия. Поэтому, хотя бы на всякий случае, лучше уделять этой дисциплине должное внимание.
Геометрия для общего развития
Даже если вы не собираетесь связывать свою жизнь с геометрией, стоит понимать ее пользу. С одной стороны, геометрия помогает понимать суть многих вещей изнутри – всех тех объемных предметов, которые окружают нас ежедневно. Собственно, из-за такого разнообразия наглядных примеров изучать геометрию интересно и легко.
С другой стороны, в геометрии, как и в любой другой науке, присутствуют определенные научные истины, которые приходится просто запоминать. Но это тоже неплохая тренировка для мозга.
Как и доказательства, без которых геометрию невозможно представить – от знаменитой теоремы Пифагора до задач, с которыми придется сталкиваться и на уроках, и на экзаменах. Задачи с доказательствами – это хорошая тренировка логического мышления. К тому же, изучение канцелярии, например, линеек и циркулей, тоже приносит свою пользу.
Что говорят о геометрии школьники и студенты
Проблемы понимания геометрии обсуждаются не только родителями, но и самими учениками. Достаточно набрать пару запросов в поисковике, чтобы понять, что желающих понять этот предмет очень много.
Учителям стоит иметь это в виду и не сбрасывать со счетов учеников, у которых не получается делать успехи с первых недель изучения геометрии. Возможно, когда-нибудь они скажут за это спасибо.
Геометрия – ГБОУ школа № 658
Можно сказать, что знакомство с геометрией в вальдорфской школе начинается еще до изучения этого предмета в средних классах. Так в 1—4-х классах существуют специальные уроки «рисование форм». Их целью является пробуждение у ученика чувства «чистой формы» прежде, чем объект внешнего мира будет изображен.
В 5-м классе этот процесс продолжается в виде «переживания формы» на уроках «геометрии свободной руки». Знакомство с геометрическими фигурами, и их взаимным расположением является центральным событием в 5-ом классе. На листах большого формата ученики без использования чертежных инструментов рисуют плоские фигуры, начиная с круга. С помощью целой серии заданий учитель подводит учеников к пониманию круга как фигуры, создаваемой из единого центра. Центр — я, а круг-мир вокруг меня. В этом периоде геомет-рические формы даются через самоощущение человека, соотносимы с «Я».
Далее появляется прямая как предельное продолжение дуги окружности бесконечного радиуса. Во взаимодействии двух прямых появляется угол. При этом каждый раз перед учениками ставится вопрос: «Что говорит мне эта фигура, линия?», «Где я мог видеть ее в реальном мире, в архитектуре?».
Затем через деление окружности появляются четырехугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы, трапеции. В конце 5-го класса ученики начинают применять чертежные инструменты для деления пополам отрезков, углов, дуг окружности. Заканчивается 5-й класс рисованием различных геометрических форм, возникающих при делении окружности на части.
В 6-м классе мы говорим о свойствах смежных и вертикальных углов, параллельных прямых и секущей. В этот момент появляются первые теоремы ( об углах), но доказательства не записываются, а просто проговариваются. Изучаются площади фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, параллелограмма. Этой теме предшествует подробное изучение преобразования фигур на плоскости: параллельный перенос, сдвиг, поворот, осевая и центральная симметрия. Важно, что эти преобразования сохраняют площадь.
Целью преподавания элементов геометрии в 6-м классе является не столько передача конкретных знаний, умений и навыков, сколько формирование способностей к логическому рассуждению, мышлению, умению пользоваться геометрическими инструментами, развитие пространственного мышления.
Последовательность геометрических заданий выстраивается таким образом, чтобы дать возможность ученику после их выполнения самостоятельно открыть для себя какое-то геометрическое свойство, сформулировать новое геометрическое понятие.
Начиная с 7-го класса, учебный план приближается к традиционному. Но упор делается на теорему Пифагора, т. к. это центральная теорема в курсе планиметрии. Для решения задач и доказательства теорем активно используется преобразование плоскости.
В 8—11 классах преподается традиционный курс геометрии с применением феноменологического подхода.
В 8-м классе вводится понятие гомотетии. Изучаем виды четырехугольников и их площади. Подобие треугольников. Тригонометрические величины в прямоугольном треугольнике. Окружности и углы.
В 9-м классе. Векторы. Метод координат. Теоремы синусов и косинусов как расширенное понимание теоремы Пифагора. Правильные многоугольники. Круг. Движение плоскости.
В 10—11 классах. Стереометрия. Проективная геометрия.
№ | Название издания | Объем в страницах | Автор | |
1 | Развивающие упражнения по курсу «Геометрия. 9 класс». Часть 1. | 132 | М.К. Ручьев | |
2 | Развивающие упрвжнения по курсу «Геометрия. 9 класс». Часть 2. | 84 | М.К. Ручьев | |
3 | Развивающие упрвжнения по курсу «Геометрия. 10 класс». Часть 1. | 84 | М.К. Ручьев | |
4 | Развивающие упражнения по курсу «Геометрия. 10 класс». Часть 2. | 68 | М.К. Ручьев | |
5 | Рабочая тетрадь к развивающим упражнениям по курсу «Геометрия. 9 класс». Часть 1 | 12 | М.К. Ручьев | |
6 | Рабочая тетрадь к развивающим упражнениям по курсу «Геометрия. 9 класс». Часть 2 | 12 | М.К. Ручьев | |
7 | Рабочая тетрадь к развивающим упражнениям по курсу «Геометрия. 10 класс». Часть 1 | 12 | М.К. Ручьев | |
8 | Рабочая тетрадь к развивающим упражнениям по курсу «Геометрия. 10 класс». Часть 2 | 12 | М.К. Ручьев |
Дополнительные главы геометрии. 7 класс: О курсе
Курс ориентирован на слушателей, владеющих школьной программой 7 класса по геометрии. Учащиеся познакомятся с яркими геометрическими сюжетами, систематизируют теоретические знания, научатся решать задачи повышенной сложности.
Курс поможет школьникам не только на уроках геометрии в школе, но и позволит успешнее выступать на олимпиадах, а учителям математики — лучше понять аспекты теории и задачные акценты, примыкающие к школьной программе и характерные для математических олимпиад, использовать задачную базу курса на занятиях в школе.
Материалы курса будут двух уровней сложности. На старте курса ученикам будет предложено пройти входное тестирование, по итогам которого будет определен начальный уровень ученика и, соответственно, определена индивидуальная образовательная траектория.
Курс состоит из учебных модулей, каждый из которых посвящен отдельной теме.
Внутри каждого модуля есть:
— видео с кратким конспектом, где обсуждается теория и разбираются примеры решения задач,
— упражнения с автоматической проверкой, позволяющие понять, как усвоена теория,
— задачи для самостоятельного решения, которые не учитываются в прогрессе и не идут в зачет по модулю, но позволяют качественно повысить свой уровень.
В каждом разделе есть ответы на популярные вопросы, где можно уточнить свое понимание теории или условия задачи, но нельзя получить подсказки по решению.
По итогам обучения выдается электронный сертификат. Для его получения необходим зачет по всем учебным модулям, кроме лекционных. Условие получения зачета по модулю — успешное выполнение не менее 70% упражнений. Сертификаты могут учитываться при отборе на очные программы по направлению «Наука».
Если ученик не успеет получить зачет по отдельным модулям, то он не сможет получить сертификат, но сможет возобновить обучение, когда курс стартует в следующий раз. При этом выполнять пройденные модули заново не потребуется (но может быть предложено, если соответствующие учебные материалы обновятся).
В следующий раз курс будет открыт весной 2020 года.
Учебная программа по геометрии для старших классов| Time4Learning
Посмотреть демо наших уроков! Учебная программа по геометрииTime4Learning — это один из пяти курсов математики, предлагаемых на уровне средней школы. Студенты могут ожидать, что они увидят различные рассматриваемые концепции, включая точки, линии и плоскости, логику и рассуждения, углы, уклоны, треугольники, многоугольники, круги, объем, площадь и многое другое.
Наш онлайн-курс геометрии посвящен критическим областям сравнения, доказательства и построения, тригонометрии, трехмерных фигур и многому другому.Эти важные области помогут студентам применять геометрические концепции при моделировании ситуаций, решать новые задачи, рассуждать абстрактно и мыслить критически.
High School Geometry обычно автоматически назначается учащимся Time4Learning в 10 классе. Однако родители могут выбрать другой курс математики, если захотят. Читайте дальше, чтобы узнать больше о нашей программе обучения геометрии на дому.
Как преподавать геометрию
Преподавание геометрии в средней школе — важный шаг в расширении знаний вашего ребенка по математике.Это дает им возможность развить свое концептуальное понимание жестких преобразований, установленных в средней школе, и установить алгебраические связи, которые они усвоили в прошлом.
Следующие советы помогут родителям преподавать уроки геометрии в средней школе:
- Используйте графику, диаграммы, диаграммы и анимацию, чтобы обогатить учебный процесс вашего ребенка.
- Включите мультимедийные устройства, видео и печатные материалы.
- Добавляйте темы из реальной жизни, чтобы сделать материал более актуальным.
- Включите рубрики, контрольные списки и инструменты оценивания, чтобы упростить оценку письменных заданий и проектов.
- Дайте много инструкций, чтобы ваш ученик полностью понимал задания.
- Используйте соответствующие образовательные инструменты, которые сделают обучение геометрии увлекательным и интересным.
- Измеряйте успеваемость вашего ребенка в конце каждого урока / главы с помощью викторины, теста или другого метода оценки.
Задачи обучения геометрии
Учебная программа по геометрии средней школы будет включать в себя несколько задач для учащихся.К концу десятого класса ученики должны иметь представление о геометрических преобразованиях, связях прямоугольного треугольника и тригонометрии, применении вероятностей и многом другом.
Дополнительные задачи по геометрии средней школы включают:
- Применение постулата транспортира и постулата сложения углов для вычисления угловых мер.
- Построение параллельных и перпендикулярных линий.
- Определение неизвестных мер конгруэнтных чисел.
- Решение реальных задач с использованием специальных прямоугольных треугольников.
- Применение свойств параллелограммов для решения задач.
- Определение меры центрального угла в радианах.
- Расчет вероятностей с использованием правила сложения.
Почему выбирают Time4Learning Geometry Homeschool Curriculum
Вы можете использовать учебную программу Time4Learning по геометрии в качестве дневной программы домашнего обучения, инструмента для развития навыков или летней учебной программы. Сочетание мультимедийных элементов, методов обучения, родительских инструментов и многого другого делает обучение геометрии менее стрессовым для родителей.
Вы становитесь частью концепции команды, которую Time4Learning разрабатывал на протяжении многих лет. Родители руководят обучением своего ребенка и ведут записи и информацию из портфолио, в то время как онлайн-курс геометрии Time4Learning знакомит вашего ребенка с важнейшими областями предмета.
Time4Learning также включает следующие дополнительные преимущества:
В качестве полной учебной программы
| В качестве дополнения
|
Ресурсы домашнего обучения для дополнительных 10-х классов
уроков геометрии — School Yourself
1.Линии и углы
Узнайте о линиях, лучах и сегментах
Узнайте, что такое углы и как их измерить
Узнать названия уголков всех размеров
Линии, которые никогда не пересекаются
Линии, которые пересекаются, образуя прямые углы
С этими правилами вы знаете, какой угол вы имеете в виду.
Эквидистантные точки также разрезают сегменты на две части
2.Связанные углы
Сложение и вычитание смежных углов
Узнайте о дополнительных и дополнительных углах
А как насчет углов больше 360 градусов?
Углы на противоположных сторонах пересекающихся линий
Параллельные линии образуют совпадающие углы в совпадающих местах
Конгруэнтные углы ВНУТРИ параллельных прямых
Конгруэнтные углы ВНЕ параллельных прямых
3.Треугольники
Причудливое название для форм с прямыми сторонами
Когда отрезки, углы или формы совпадают
Представляем треугольники и три их разных типа
Посмотри, правда ли это, а потом докажи!
Узнайте о правильных, острых и тупых треугольниках
Сегменты перпендикулярных прямых в треугольниках
Сегменты линии, соединяющие вершины и середины
У них две равные стороны, но как насчет их углов?
Правила, согласно которым длина сторон треугольника всегда соответствует
В треугольниках стороны и их противоположные углы связаны!
4.Соответствие и сходство треугольников
Когда они имеют одинаковую форму, но разные размеры
Используйте подобие, чтобы найти неизвестную длину стороны!
Использование сторон для проверки совпадения треугольников
Проверка конгруэнтности с использованием двух сторон и угла между
Проверка совпадения с использованием двух углов и стороны между
Окончательная проверка на конгруэнтность треугольников
Треугольники похожи, если у них совпадают углы
В зависимости от сторон у вас может быть 0, 1 или 2 треугольника!
5.Многоугольники и четырехугольники
Узнайте о прямоугольниках, ромбах и многом другом!
Многоугольники с равными сторонами и углами
Уловки для определения расстояния вокруг фигуры
Найдите формулу суммы углов в любом многоугольнике
Противоположные углы совпадают в параллелограммах
Противоположные стороны равны параллелограммам
В параллелограммах диагонали всегда делят друг друга пополам
Прямоугольники всегда имеют две совпадающие диагонали
В ромбах диагонали всегда перпендикулярны
Дополнительные пары углов в трапеции
6.Площадь полигонов
Измерение пространства внутри фигуры
Найдите формулу площади прямоугольника
Найдите формулу площади параллелограмма
Найдите формулу площади любого треугольника
Узнайте формулу площади трапеции
Найдите область ромба по диагоналям
7.Теорема Пифагора
Как связаны стороны прямоугольных треугольников
Когда целые числа являются сторонами прямоугольных треугольников
Способы выписать каждую последнюю тройку Пифагора
Найдите расстояние между любыми двумя точками
Определение площади равностороннего и равнобедренного треугольников
Другой способ найти площадь треугольника
Вы могли знать формулу, но откуда она взялась?
8.Круги, эллипсы и их площади
Введение в окружности, радиусы, диаметры и хорды
Найдите расстояние по кругу (а затем съешьте немного пи)
Используйте тени, чтобы измерить окружность Земли!
Что получается, когда «растягиваешь» круг
Определение площади круга по окружности
Сравнивая формы, чтобы найти необычные области
Подсчитайте, сколько людей поместится на Эллипсе в DC
.Складывайте и вычитайте площади более простых форм!
9.Углы в кругах
Как вы увидите, в каждом круге 360 градусов
Узнайте, как вписанные углы связаны с центральными углами!
Докажите, что вписанные углы, проведенные к диаметрам, являются прямыми
Нахождение формулы длины любой дуги
Как найти площадь любого кусочка круга
10.Линии в кругах
Некоторые линии пересекают круги дважды, другие касаются их только один раз
Докажите, что касательные из одной и той же точки совпадают
Узнайте, как углы между касательными связаны с дугами
Докажите, что дуги между ними всегда совпадают
Откройте для себя правило взаимосвязи пересекающихся аккордов
Посмотрите, как связаны их противоположные углы!
Как и аккорды, пересекающиеся секущие тоже связаны!
Вычислить радиус любой вписанной окружности
11.Объем
Узнайте названия и особенности трехмерных фигур
Узнайте, как найти объем любого ящика!
Найдите объем призм и цилиндров
Вместо согласования ширины вы будете согласовывать области!
Начав с куба, откройте формулу объема пирамиды
Найдите объем любого конуса и узнайте высоту наклона
Используйте принцип Кавальери, чтобы найти объем сферы
12.Площадь поверхности
Узнайте, почему лед обычно формируют в кубики
Найдите площадь поверхности пирамиды, используя квадраты и треугольники
Разверните любой цилиндр, чтобы найти его площадь!
Откройте для себя и используйте формулу площади поверхности конуса!
Найдите общую площадь изогнутой поверхности сферы
Какое расстояние между противоположными углами куба?
13.Трансформации
Перемещение точек и фигур в координатной плоскости
Вращающиеся точки и формы вокруг исходной точки
Перемещение по разным осям (и исходной точке)
Растяжение фигур в одном или двух направлениях
Посмотрите, какие преобразования сохраняют конгруэнтность
Когда отражение или вращение ничего не меняют
14.Геометрическая оптика
Использование принципа Ферма для понимания рефракции
Используйте преломление, чтобы понять радугу и ее особенности
Как помочь ученикам понять геометрию средней школы?
Вы здесь: Главная → Статьи → Помощь по геометрии в старших классахЕсли вы прочитали первую часть этой статьи, то уже заметили, что лучшие меры по оказанию помощи учащимся, изучающим геометрию в старших классах, принимаются до старшей школы.Нам необходимо улучшить преподавание геометрии в начальной и средней школе, чтобы уровень Ван Хиле учащихся был доведен хотя бы до уровня абстрактного / относительного. Некоторые моменты, которые следует учитывать:
- Нам нужно включить больше обоснований, неофициальных доказательств и вопросов «почему» в преподавание математики в начальной и средней школе.
- В общем, учащимся нужно думать, рассуждать, анализировать и использовать свой мозг в различных школьных предметах (не только по математике).
Эта статья сосредоточится только на первом пункте.
Понимание концепций геометрии / Уровни Ван Хиле
Можно ожидать, что дети до первого класса находятся на первом уровне ван Хиле — визуальном. Это означает, что дети узнают геометрические фигуры по внешнему виду, а не по их свойствам. На этом уровне дети в основном изучают названия фигур, таких как квадрат, треугольник, прямоугольник и круг.
В начальной школе (2–5 классы) дети должны исследовать геометрические фигуры и играть с ними, чтобы достичь второго уровня Ван Хиле (описательного / аналитического).Именно тогда они могут идентифицировать свойства фигур и распознают их по их свойствам, вместо того, чтобы полагаться на внешний вид .
Например, учащиеся должны понять, что прямоугольник имеет четыре прямых угла, и даже если он повернут на своем «углу», он все равно остается прямоугольником. Дети должны узнать о параллельных линиях и понять, что делает фигуру параллелограммом. Студенты должны разделять фигуры на разные формы (например, делить квадрат на два прямоугольника), комбинировать формы для образования новых и, конечно же, давать имена новым формам.
Рисование также помогает . Научите студентов пользоваться линейкой, циркулем и протектором и дайте им много практики, чтобы рисовать квадраты, прямоугольники, параллелограммы и круги с помощью соответствующих инструментов и с максимальной точностью. Например, попросите учащихся нарисовать равнобедренный треугольник с верхним углом 40 ° или ромб со сторонами 4 дюйма и одним углом 66 °. Я часто использую это в своей книге Math Mammoth Geometry 1.
Если все пойдет хорошо, в средней школе (6-8 классы) учащиеся перейдут на третий уровень Ван Хиле (абстрактный / относительный), где они смогут понимать и формировать абстрактные определения, различать необходимые и достаточные условия для концепции, и понять отношения между разными формами .Таким образом, студенты будут подготовлены к формальным доказательствам и дедуктивным рассуждениям в геометрии средней школы.
Эксперименты показали, что это действительно возможно при правильном обучении. Ключ состоит в том, чтобы подчеркнуть геометрические концепции и предоставить учащимся множество практических занятий, таких как рисование фигур и работа с манипуляторами, вместо простого запоминания формул и определений и вычисления площадей, периметров и т. Д. См. Ниже некоторые примеры действий, которые помогут детям и молодым людям развивать геометрическое мышление.
Как помочь учащимся освоить единую геометрическую концепцию
- Покажите учащимся как правильные, так и неправильные примеры геометрической концепции. Покажите концепцию разными способами или в разных представлениях (например, повернутым, отраженным, перекошенным). Попросите учащихся различать правильные и неправильные примеры . Это поможет избежать неправильных представлений.
- Попросите учащихся сами нарисовать правильные и неправильные примеры . Например, детей 4-го класса можно попросить нарисовать параллельные и непараллельные линии.В 5-м классе попросите учащихся нарисовать параллелограммы и четырехугольники, которые являются , а не параллелограммами.
- В связи с предыдущим пунктом попросите учащихся дать определение концепции . Это заставляет их задуматься о том, какие свойства в определении необходимы, а какие нет.
- Позвольте ученикам экспериментировать, исследовать и играть с геометрическими идеями и фигурами. Используйте манипуляторы, рисунки, приложения или программное обеспечение (подробнее о них ниже).
- Попросите учащихся составить свой собственный блокнот по геометрии, наполненный примерами, непримерами, определениями и другими примечаниями и рисунками.
Компьютеры и интерактивная геометрия
Компьютер или планшет действительно полезны в обучении геометрии, потому что он позволяет динамических и интерактивных манипуляций с фигурами . Учащийся может перемещать, вращать, отражать или растягивать фигуру и наблюдать, какие свойства остаются неизменными.
Например, предположим, что вы изучаете равнобедренные треугольники в 4-м классе.Вы можете просто использовать текстовый процессор. Например, в MS Word есть панель инструментов для рисования, которая имеет автофигуру для равнобедренного треугольника (также есть панель для прямоугольного треугольника и параллелограмма). Попросите детей нарисовать несколько равнобедренных треугольников и перетащить их, чтобы они становились больше и меньше. Попросите их также повернуть их. Спросите: «Что изменится? Что не изменится? Что останется прежним? Можете ли вы нарисовать эту фигуру на бумаге?»
Существуют также программы и приложения динамической геометрии, специально разработанные для интерактивного обучения геометрии.Такие программы использовались в исследовательских экспериментах и в школах с хорошими результатами. После того, как вы увидите, что можно сделать с помощью программного обеспечения для динамической геометрии, очень легко влюбиться в него — идея просто великолепна!
Вот список программного обеспечения для динамической геометрии.
Как я могу помочь ученику, который уже учится в старшей школе?
Возможно, ваш ученик уже изучает геометрию в средней школе и у него проблемы. Конечно, вы не можете изменить способ обучения ученика в прошлом.Поскольку это такая распространенная проблема, многие издатели выпустили учебников, в которых упор делается на «неформальную» геометрию и геометрические концепции вместо доказательств. Вы можете использовать одну из этих книг и просто забыть о прувингах.
Тем не менее, в других книгах есть доказательства, но не в том же количестве или с таким акцентом, как в предыдущие годы. К ним относятся, например, Геометрия Гарольда Джейкобса: видение, действие, понимание. Ссылка идет на мою рецензию на эту книгу.
И даже при хорошей подготовке школьная геометрия и доказательства могут быть трудными.В общем, на этом курсе нет быстрого и простого ответа на трудности. Помните, что даже учителям математики в школах сложно заставить учеников понять и построить доказательства. Может быть, пояснения к «Спросите доктора математики: часто задаваемые вопросы о доказательствах» могут оказать некоторую помощь.
Книги
Я просмотрел несколько книг по геометрии:
Геометрия: видение, действие, понимание Гарольда Джейкобса (старшая школа)
Геометрия: управляемое исследование Чакериана, Крабилла и Стейна, а также приложение к нему Дэвида Чендлера (старшая школа) «Компаньон по домашнему обучению — геометрия».Учебники по геометрии доктора математики — недорогие дополнения к курсам геометрии средней и старшей школы.
RightStart Geometry — это практический курс геометрии для средней школы, где большая часть работы выполняется с помощью доски для рисования, Т-образного квадрата и треугольников. Он дороже, но хорошего качества.
Вот одна школьная книга по геометрии, которая является «традиционной» в своем акценте на доказательствах:
Геометрия Рэя К. Юргенсена
Почему в старших классах геометрия сложна? — первая часть статьи, объясняющая уровни Ван Хиле.
Комментарии
На самом деле, я любил геометрию, но я учился на курсе с отличием с блестящим учителем. Как репетитор, а теперь обучаю детей, обучающихся на дому, я преподаю так же, как он учил нас. Мистер Каспер научил нас составлять блок-схему доказательства с обеих сторон, цитируя теорему инициалами под каждым шагом. Мы могли бы составить блок-схему некоторых из наиболее сложных доказательств вдвое быстрее, чем это требуется для двухстолбцовых доказательств, просто потому, что у нас был визуальный макет, который легко приводил к следующему шагу.Мы действительно научились проводить формальные двухколоночные доказательства, но мы всегда делали их по блок-схемам, что упрощало их выполнение. Я обучал детей, которые не понимают двухколоночных доказательств, но быстро улавливают концепцию с помощью блок-схем. С другой стороны, у меня было два студента, которым нужны были формальные колонки.Пэм
Геометрия в средней школе (онлайн-курс для повышения успеваемости!)
// Последнее обновление: — Посмотреть видео //
Следующее видео дает краткое описание всех тем, которые вы ожидаете увидеть в типичном классе по геометрии средней школы .
Все темы подробно освещены в нашем онлайн-курсе по геометрии.
Этот онлайн-курс содержит:
- Полные уроки — Предназначены для повышения результатов тестов.
- Практические задачи — Проверяйте свои знания в процессе.
- 450+ HD Video Library — Больше не нужно тратить время на поиски на YouTube.
- Практические тесты — Убедитесь, что вы готовы выполнить все свои викторины и экзамены.
- Доступен 24/7 — Больше никогда не беспокойтесь о том, что пропустите урок.
Программа по геометрии
Обзор геометрии
Следующие разделы содержат ссылки на наши полные уроки по всем темам геометрии.
7 Видео 143 Примеры
- Точечные линии и плоскости
- Линейный сегмент
- Постулат сложения углов
- Угловые отношения
- Индуктивное мышление
- Площадь и периметр
- Глава Test
6 Видео 105 Примеры
- Условное заявление
- Закон силлогизма и непривязанности
- Свойства равенства
- Двухколоночная проба
- Параллельные линии, разрезанные поперечно
- Глава Test
9 Видео 167 Примеры
- Классифицирующие треугольники
- Конгруэнтные фигуры
- SSS Постулаты SAS
- ASA Постулаты AAS
- Теорема о гипотенузе
- Теоремы о биссектрисе
- Медианы и высоты
- Теорема о промежуточном сегменте
- Глава Test
7 Видео 122 Примеры
- Классифицирующие многоугольники
- Свойства параллелограммов
- Как найти параллелограмм
- Специальные параллелограммы
- Свойства трапеции
- Четырехугольник Недвижимость
- Глава Test
4 Видео 82 Примеры
- Подобные полигоны
- Постулат АА
- Теоремы о треугольнике
- Глава Test
5 Видео 81 Примеры
- Подобные прямоугольные треугольники
- Конверс Теорема Пифагора
- Особые прямоугольные треугольники
- Soh Cah Toa
- Глава Test
7 Видео 101 Примеры
- Касательная
- Арка
- аккорд
- Угол с надписью
- Теорема о пересекающихся секущих
- Длина сегмента
- Глава Test
6 Видео 103 Примеры
- Внутренний угол
- Составные фигуры по площади
- Площадь Правильный многоугольник
- Окружность
- Окружность площади
- Глава Test
7 Видео 79 Примеры
- Многогранник
- Призма
- Пирамида
- Конус цилиндра
- Сфера
- Подобные твердые тела
- Глава Test
6 Видео 87 Примеры
- Изометрия
- Правила перевода
- Правила отражения
- Правила вращения
- Правила расширения
- Глава Test
Общие вопросы
Алгебра против геометрии?
Алгебра — это раздел математики, использующий переменные, числа и символы в выражениях и уравнениях для представления величин.В то время как геометрия связана с точками, линиями, плоскостями, телами и поверхностями. Но алгебра и геометрия идут рука об руку. Например, хотя линия — это понятие геометрии, мы можем использовать алгебру для представления линии с помощью уравнения наклона.
Нам не следует проводить такое различие между этими двумя математическими разделами, поскольку они дополняют друг друга. Некоторые люди любят говорить, что они больше занимаются алгеброй, в то время как другие говорят, что они больше занимаются геометрией. Конечно, формы и объекты привлекают других больше, чем уравнения и формулы, и правда в том, что эти две ветви не могут существовать без друг друга.Попытка найти объем цилиндра требует алгебры, точно так же, как понимание доказательства теоремы Пифагора связано с геометрией. Итак, независимо от ваших предпочтений, алгебра и геометрия неразрывно связаны и считаются основой всех высших разделов математики.
Насколько сложна геометрия?
Что делает геометрию сложной для некоторых студентов, так это то, что она полагается на вашу способность решать уравнения и мыслить «общую картину». Ваши навыки алгебры будут требоваться снова и снова, чтобы найти недостающие углы, длину сторон, площадь и т. Д., поэтому, если вам не хватает математических знаний по основам алгебры, геометрия временами может быть сложной задачей.
Более того, вас попросят мыслить нестандартно и полагаться на свои индуктивные и дедуктивные навыки рассуждений. Что ты видишь? Почему имеет смысл? Вам нужно использовать формулу или есть более простой способ? Некоторые студенты находят этот тип математической свободы освобождающим и захватывающим, в то время как другим, несомненно, не понравится отсутствие структуры, и они предпочтут курс, в котором есть только один набор правил или шагов.
Но, по большому счету, самая большая причина, по которой люди говорят, что геометрия «сложна», заключается в том, что вас попросят подтвердить свои выводы. Это можно найти в разделе, посвященном логике и рассуждениям, а также научиться делать двухколоночные доказательства. Большинство студентов и учителей в этом отношении находят доказательства из двух столбцов и необходимость обоснования ответов с помощью теорем, определений или постулатов поначалу сложными и громоздкими. Эта борьба только усугубляется тем фактом, что в геометрии большинство студентов впервые сталкиваются с формальными доказательствами, и это может быть немного пугающим.Но доказательства, обоснование или выводы — это важный шаг, который должны принять все учащиеся, если они хотят развиваться в своей способности критически мыслить. Да, временами это может быть сложно, но в результате вы получите сильный и стойкий ум, способный справиться с более высокими уровнями обучения, которые еще предстоит пройти.
Получите доступ ко всем курсам и более 450 HD-видео с подпиской
Доступны ежемесячные, полугодовые и годовые планы
Получить подписку сейчас
Еще не готовы подписаться? Испытайте Calcworkshop на нашем БЕСПЛАТНОМ курсе с ограничениями
Изучите геометрию с помощью онлайн-курсов и уроков
Что такое геометрия?
Геометрия — это область математики, изучающая перпендикулярные линии, дополнительные углы, координатные плоскости, смежные углы, прямые углы, внешние углы, геометрические формы, а также расстояния и отношения между ними.Примеры включают вычисление углов треугольника, длины кривой или площади поверхности сферы.
Изучите основы геометрии с помощью курсов и уроков для начинающих
Пройдите фундаментальные курсы от edX, чтобы изучить основы геометрии. В SchoolYourself’s Introduction to Geometry вы узнаете, как измерять углы, и правила для определения совпадения углов, доказывать и применять свойства треугольников, четырехугольников и других многоугольников, вычислять площади многоугольников, кругов, эллипсов и других сложных форм и т. Д. .
Онлайн-курсы и программы по геометрии
Пройдите бесплатные онлайн-курсы по геометрии, чтобы получить новые навыки и улучшить обучение в классе. 14-недельный базовый курс геометрии от School Yourself можно пройти вместе с курсом средней школы и может выступать в качестве углубленного урока геометрии для дополнительной практики и мастерства. Изучите все основы геометрии, включая то, как вычислять площади сложных форм, как измерять углы, как доказывать и применять теорему Пифагора, как применять свойства треугольников и четырехугольников и как применять геометрические формулы.Курс является самостоятельным, поэтому студенты могут перейти к любому разделу по мере необходимости.
Готовы к чему-то более продвинутому? Вычислительная геометрия — это бесплатный онлайн-курс Университета Цинхуа, который поможет подготовить вас к углубленному изучению робототехники, автоматизированного проектирования (CAM и CID) и географических информационных систем (GIS). Изучите геометрические алгоритмы и структуры, а также основные стратегии решения геометрических задач.
В каких типах вакансий используется геометрия?
Геометрия используется сегодня на рынке во многих областях и профессиях.Вы можете быть удивлены количеством рабочих мест и занятий, требующих практического знания геометрии для выполнения повседневных задач. Ниже приведены несколько примеров профессий, требующих знания геометрии для выполнения повседневных задач.
Дизайнерам компьютерной графики необходимо знать и понимать геометрию, чтобы создавать реалистичные трехмерные космические изображения. Некоторые примеры графических дизайнеров включают создателей видеоигр и аниматоров. Понимание того, как использовать и манипулировать формами, упрощает вычисление проектов для компьютеров, поэтому геометрия необходима для повседневных задач графического дизайнера.
Инженеры-робототехники должны понимать геометрию для выполнения сложных задач в своей работе. Понимание того, какие углы использовать для диапазона движения робота, — обычная задача для этих профессионалов. Возможность управлять этими роботами вплоть до малейшего движения предопределена дугами и углами. Некоторые роботы построены с диапазоном зрения для обнаружения объектов, поэтому измерение углов и восприятия — повседневная задача в этой профессии.
Медицинские работники используют геометрию для создания трехмерной модели медицинских проблем, например опухолей у пациентов.Получение результата компьютерной томографии и правильное масштабирование 3D-модели этой опухоли может дать врачам и хирургам понимание, которое им понадобится для решения этой проблемы непосредственно для своего пациента. Медицинская визуализация с помощью гарнитур виртуальной реальности, таких как Microsoft HoloLens, позволит врачам в будущем реконструировать органы, кости и все остальное в человеческом теле, используя геометрию для точного соединения всех частей.
Модельеры ежедневно используют геометрию для создания идеального образа для своих клиентов.Измерение одежды, основанное на типе телосложения и углах, может создать или испортить определенный внешний вид для кого-то. Как модный дизайнер, вам нужно знать, как брать трехмерные формы и создавать узоры для ваших клиентов.
Зачем изучать геометрию онлайн?
Геометрия — это привычный навык для многих профессионалов своего дела. Запись на курсы геометрии онлайн позволяет вам выбрать правильный курс, который наилучшим образом соответствует вашим потребностям. Возможно, вам нужен базовый курс геометрии, чтобы освежить свои навыки, если с последнего урока прошло много времени.Возможно, вы ищете более продвинутые курсы, если хотите стать архитектором и вам нужно практиковать передовые методы геометрии. Независимо от того, где вы находитесь, edX предлагает широкий спектр онлайн-курсов по геометрии, разработанных с учетом вашего плотного графика.
Некоторые из наших курсов будут охватывать понимание параллельных прямых, теоремы Пифагора, прямоугольных треугольников, конических сечений, касательных окружностей, правильных многоугольников, формулы Герона, конгруэнтных углов, геометрических кривых, длины дуги, геометрических понятий, дополнительных углов, измерения ромба. , равнобедренные треугольники, внутренние углы объемных объектов, геометрические фигуры и многое другое.Чтобы добиться успеха, необходимо научиться решать геометрические задачи с помощью дедуктивного мышления и других типов стратегий. Если вам нужна помощь по геометрии или курсы по решению геометрических задач, вы обратились по адресу.
Учебная программа по геометрии для 10-х классов — Общие основные уроки и тесты
В Fishtank Math Geometry учащиеся углубляют свое понимание геометрических отношений и учатся формулировать формальные математические аргументы в отношении геометрических ситуаций. Этот курс, который следует за Общими базовыми стандартами геометрии и рамками учебной программы Массачусетса, использует несколько иной подход, чем более традиционные классы геометрии, с упором на трансформацию.Преобразования используются, чтобы помочь учащимся понять и доказать соответствие и другие геометрические отношения. Также большое внимание уделяется доказательствам: студенты учатся доказывать концепции и идеи, которые они изучали в течение многих лет. Урок посвящен шести основным темам: 1) установление критериев конгруэнтности треугольников на основе жестких движений; (2) установление критериев подобия треугольников на основе растяжений и пропорциональных рассуждений; (3) неформальное развитие объяснений формул окружности, площади и объема; (4) применение теоремы Пифагора к координатному плану; (5) доказательство основных геометрических теорем; и (6) продление студенческой работы с вероятностью.(См. Рамки учебной программы Массачусетса.) Поскольку Fishtank Math стремится предложить студентам путь к изучению математического анализа в старших классах, этот курс геометрии также охватывает расширенные стандарты, которые иногда рассматриваются в курсах углубленной математики и предварительных расчетов.
Основы успеха:
Геометрия в средней школе основана на преподавании геометрии, которое проводилось в начальной и средней школе, но с тем ключевым отличием, что учащиеся должны доказывать и объяснять концепции, которые они узнали в предыдущие годы.В начальной школе ученики узнали об атрибутах фигур, сравнили и классифицировали эти атрибуты, а также научились составлять и разлагать фигуры. В средней школе учащиеся развили концептуальное понимание угловых отношений в параллельных линейных диаграммах и угловых отношений внутри и за пределами треугольников. Они также научились описывать геометрические объекты, измерять окружность и площадь кругов, а также делать наблюдения и предположения о геометрических формах, используя здравые рассуждения и доказательства.Учащиеся научились «строить» треугольник, используя разные длины сторон, и что свойства треугольника основаны на соотношении между длинами сторон и величиной внутреннего угла. Это фундаментальное понимание будет иметь важное значение для успеха студентов в этом курсе, поскольку они выстраивают цепочки рассуждений для объяснения, моделирования и доказательства геометрических отношений и ситуаций.
Читать далее… Читать меньше …
Необходимо знать геометрию в средней школе
Обложка
Заголовок страницы
Авторские права Страница
Посвящение
Благодарности авторов
Содержание
Введение
Приложение Flashcard
1 Определения
Основы
Биссектрисы и средние точки
Типы углов
Рефлексивное, замещающее и переходное свойство
Постулат сложения и вычитания
2 Доказательства треугольников
Постулат стороны-стороны-стороны для доказательства совпадения треугольников
Постулат стороны-угла-стороны для доказательства конгруэнтности треугольников
Постулат угла-стороны-угла для доказательства конгруэнтности треугольников
Постулат угла-стороны-стороны для доказательства конгруэнтности треугольников
Почему является стороной -Боковой угол не является постулатом для доказательства конгруэнтности треугольников?
Почему угол-угол не является постулатом для доказательства конгруэнтности треугольников?
Постулат гипотенузы-ножки для доказательства конгруэнтности треугольников
Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны
3 Классификация треугольников
Решение углов в треугольнике
Теорема о внешнем угле
Классификация треугольников с помощью угловых измерений
Равнобедренные, равносторонние и масштабные треугольники
Стороны и углы треугольников
Медиана, высота и биссектриса угла
4 центра треугольника
Центроид треугольника
Центр треугольника
Ортоцентр треугольника
Центр окружности треугольника
Линия Эйлера
5 Сходство
Пропорции в похожих треугольниках
Определение сходства треугольников
Периметр и площадь одинаковых треугольников
Параллельные линии внутри треугольника
Пропорции похожих прямоугольных треугольников
Доказательства аналогичных треугольников
6 Знакомство с прямоугольными треугольниками
Теорема Пифагора
Тройная теория Пифагора s
Специальные прямоугольные треугольники
Тригонометрия прямоугольного треугольника
Задачи слов
7 параллельных линий
Альтернативные внутренние углы
Соответствующие углы
Альтернативные внешние, внутренние и те же боковые внешние углы
Вспомогательные линии
Доказательство того, что сумма углов Треугольник 180 °
Определение параллельности линий
8 параллелограммов
Прямоугольники
Ромбы
Квадраты
Трапеции
Медиана трапеции
9 Геометрия координат
Формула расстояния
Использование формулы расстояния для классификации форм
Формула средней точки
Формула наклона
Уравнения параллельных и перпендикулярных линий
Разбиение отрезка линии
10 Преобразований
Отражения
Отражение по оси Y
Отражение по оси X
Отражение по линии y = x
Отражение точки по горизонтальным и вертикальным линиям
Отражение точка над обл Линия ique
Нахождение уравнения для линии отражения
Отражения точек
Повороты
Сводка правил для вращений с центром вращения в исходной точке
Вращение с центром вращения не в исходной точке
Переводы
Расширение
Расширения не по центру Происхождение
Состав преобразований
11 теорем о кругах, касающихся углов и сегментов
Определение терминов, относящихся к кругу
Длины пересекающихся хорд
Нахождение длины секущих сегментов
Длина касательных и секущих сегментов от внешней точки
Углы, связанные с окружностью
Центральный угол
Вписанный угол
Угол, образованный двумя пересекающимися поясами
Внешние углы окружности
12 Окружность и площадь окружностей
Определение площади сектора
Определение длины дуги сектора
Стандартная форма окружности
Общая форма круга
Построение окружности ле на координатной плоскости
13 Объем трехмерных форм
Конусы
Цилиндры
Призмы
Квадратные пирамиды
Сферы
Из 2D в 3D
14 Конструкций
Копирование сегментов и углов
Биссектрисы, перпендикулярные и параллельные линии
Конструкции, включающие перпендикулярные линии
Построение параллельных линий
Construction Applications
Построение высоты и медианы
Построение квадрата и шестиугольника, вписанного в круг
Построение преобразований
Ответный ключ