Наименьшее и наибольшее: Наибольшее и наименьшее значение функции – Как найти наибольшее и наименьшее значение функции, примеры

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Онлайн калькулятор поможет найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Наибольшее значение функции y=f(x) – это значение maxx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).
Наименьшее значение функции y=f(x) – это значение minx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции f(x) на промежутке a,b достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю f′(x)=0, бесконечности f′(x)=±∞, не существует, либо на концах отрезка a,b.

Синтаксис
основных функций:

xa: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
n√x: x^(1/n)
ax: a^x
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Смотрите также

Наибольшее и наименьшее значения функции — ПриМат

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает

наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция принимает наибольшее значение на отрезке в точке , если и :
Аналогично функция принимает наименьшее значение на отрезке в точке , если и :

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте .

Решение:

Найдем производную функции .  Найдем точки, в которых производная равна нулю:   . Значение принадлежит сегменту . Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. ;
  2. ;
  3. .

Таким образом:
;
.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра , если при заданном объеме площадь полной поверхности является наименьшей.

Решение:

Пусть — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности , тогда , где — площадь основания цилиндра .

Тогда . Найдем производную : . Найдем стационарные точки: . Получим: .

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

Похожее

Наименьшее и наибольшее значения функции с параметром

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений (или всего множества значений) данной функции нужно найти ее значения в точках экстремумов и на концах области определения (или заданного промежутка). Исследуем также функцию на монотонность, чтобы обосновать, полученное значение действительно наибольшее или наименьшее.

1. При каких значениях параметра наименьшее значение функции на отрезке равно 1? Решение.Наименьшее значение функции на отрезке принимается либо в точке экстремума (для квадратичной функции это вершина параболы), либо на концах отрезка, если вершина лежит вне этого отрезка. Поскольку ветви данной параболы направлены вверх, то, если вершина правее отрезка, то наименьшее значение на правом конце, если вершина левее отрезка, то наименьшее значение на левом конце, если вершина внутри отрезка, то наименьшее значение в вершине. В данном случае абсцисса вершины , значит, при должно быть , при должно быть , при должно быть . Решаем три системы: 1) , 2) , 3) . Ответ: 2; 0,5.

2. При каких значениях наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке 1?

Решение.Найдем производную . Мы видим, что один экстремум функция имеет в точке 0, а второй — в точке . Какой из них — минимум, а какой — максимум, зависит от взаимного расположения этих точек: если , то в нуле минимум, и наоборот. Если в точке 0 минимум, то на отрезке значение — наибольшее. Если , то наименьшее значение на отрезке в точке , что тоже не удовлетворяет условию. Только при , наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке 1. Ответ: .

3. При каких значениях параметра наибольшее значение функции является целым числом? Решение.Преобразуем дробь, разделив числитель на знаменатель: . Теперь видно, что наибольшее значение функция имеет в той точке, в которой знаменатель принимает наименьшее значение. Найдем вершину параболы : . Значит, наибольшее значение функции . Найдем множество значений выражения с помощью производной (выполните самостоятельно): это отрезок . В этом промежутке есть только одно значение, при котором будет целым: . Отсюда . Ответ: .

4. При каких значениях наименьшее значение функции на отрезке отрицательно? Решение.Сделаем замену и получим функцию , . Преобразуем: . Данная функция отрицательна в интервале между точками и (которая из них больше — неизвестно). Если этот интервал пересекается с отрезком , то на этом отрезке есть отрицательные значения, и значит, наименьшее значение отрицательно. Проще найти, при каких значениях эти промежутки не пересекаются. При этом либо должна выполняться система , либо система . Т. е. либо , либо . Значит, промежутки пересекаются при . Ответ: .

5. Найти наибольшее значение функции на отрезке в зависимости от параметра. Решение. Так как , то при функция имеет экстремумы в точках , причем в точке максимум, а в точках — минимумы. Значит, наибольшее значение на данном отрезке функция имеет либо в точке , либо на одном из концов. Сравним значения функции в этих точках: , , . Чтобы выяснить, при каких какое из этих выражений больше, изобразим графики функций , , . По чертежу видим, что слева от точки пересечения первой и третьей парабол (при большими являются ординаты третьей параболы . А справа от этой точки большими являются ординаты . Значит, при наибольшее значение функции на отрезке равно , а при оно равно . Ответ: при , а при .

 

Читайте также:


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту



Поиск по сайту:

Найти наименьшее и наибольшее значение функции…

y=x³-6x²+9x-5; y’=3x²-12x+9; 3x²-12x+9=0 => x²-4x+3 =0 => x1=1, x2=3 — вторая точка не попадает в заданный интервал y(0)=-5; y(1)=1-6+9-5=-1; y(2)= =8-24+18-5=-3. Ymin(0)=-5 Ymax(1)=-1.

наибольшее -1, наим -5

Для начала найдем критические точки. Ими будут концы отрезка и точки, в которых производная от у равна нулю, то есть 3х (2)-12х+9=0 х (2)-4х+3=0 Д=16-12=4 х=(4-2)/2=1 или х=3 Нашими критическими точками будут х=0, х=1, х=2. (х=3 не входит в отрезок) . Далее находим значение функции в данных точках. 0(3)-6*0(2)+9*0-5=-5 1(3)-6*1(2)+9*1-5=-1 2(3)-6*2(2)+9*2-5=8-24+18-5=17 Наибольшее значение ф-ции 17 достигается в 2, наименьшее -5 достигается в 0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *