3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке

При решении прикладных задач часто требуется найти наименьшее и наибольшее значения функции на некотором промежутке изменения ее аргумента. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции основывается на следующем свойстве непрерывных функций.

Если функция непрерывна на отрезке, то она обязательно принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются либо внутри отрезка, либо в граничных точках этого отрезка.

Правило отыскания глобального экстремума функции на отрезке

(наибольшего и наименьшего значения функции).

1. Найти область определения функции и проверить, принадлежи ли ей заданный отрезок.

2. Найти критические точки внутри отрезка и вычислить значения функции в критических точках (не исследуя наличие в них экстремума).

3. Вычислить значения функции ,на концах отрезка.

4. Сравнить полученные значения функции в критических точках и на концах отрезка: большее из них будет наибольшим

   значением функции на отрезке, а меньшее – наименьшимзначением функции на этом отрезке.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Математическая модель задачи имеет вид:

Точки возможного экстремума функции определяются из равенства нулю ее производной:

Обе точки принадлежат отрезку. Вычислим значения функции:

;;;.

Сравним полученные значения:

наибольшее значение функции ;

наименьшее значение функции .

Ответ:

,

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение производной функции.

2. Приведите пример, когда производная не существует.

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Запишите уравнения касательной к линии в точке.

5. В чем состоит экономический смысл производной?

6. Каков экономический смысл производной функции, в которой

   — время,— количество выпущенной продукции?

7. Какая функция называется дифференцируемой?

8. В чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?

9. Сформулируйте основные правила нахождения производных, запишите их математически.

10. Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции. Приведите пример.

11. Дайте определение производных высших порядков.

12. Когда применяется правило Лопиталя?

13. Дайте определение дифференциала функции .

14. Каков геометрический смысл дифференциала?

15. В чем заключается свойство инвариантности формы первого дифференциала?

16. Чем отличается дифференциал от полного приращения?

17. Каковы свойства дифференциала функции?

18. Дайте определение дифференциала второго порядков.

19. Запишите формулу для вычисления дифференциала .

20. Как применяется дифференциал в приближенных вычислениях?

1Философский энциклопедический словарь. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 576 с. — С. 498

studfile.net

Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

Содержание

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

2. * Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями

2.1. Постановка задачи

2.2. Графическое решение системы линейных неравенств

2.3. Геометрическое изображение линейной функции

2.4. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная областьзадается системой неравенств вида. Требуется найтив области точки, в которых функция принимаетнаибольшее и наименьшее значения (глобальный экстремум).

Решение данной задачи опирается на следующую теорему.

Теорема. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , граница которой является кусочно гладкой (состоит из кусков «гладких на ощупь» кривых или прямых). Тогда в областифункция достигает своего наибольшего и наименьшегозначений.

Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области

.

1. Строим область ; выделяем все части границы области и находим все «угловые» точки границы.

2. Находим стационарные точки внутри из условия.

3. Найти стационарные точки на каждой границе области .

4. и вычислить значения функции в стационарных точках внутри и на границе области ,

5. Вычисляем значения функции во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, заданной системой неравенств,,. Сделать чертеж.

Решение

Найдем критические точки, решая систему уравнений . Отсюда

Построим область . Данная область– треугольник. Стационарная точкалежит внутри области.

y

3

()

()

0 () 3x

Найдем критические точки на каждой границе области.

А) Из уравнения прямой выразими подставим в функцию. Получим

.

Критическая точка находится из условия . Отсюда, тогда. Стационарная точкалежит на границе области.

Б) На границе функция принимает вид. Стационарная точка находится из условия. Отсюдаи стационарная точкалежит на границе области.

В) На границе функция принимает вид. Стационарная точка находится из условия. Отсюдаи стационарная точкалежит на границе области.

Итак, имеем стационарные точки: ,,,. Отметим их в области.

Вычислим значения функции в стационарных точках:

;

;

;

.

Выберем среди них наибольшее и наименьшее значения:

; .

2*. Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями

2.1. Постановка задачи

Важной является задача нахождения экстремума, математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию .

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции (2.1)

при ограничениях

(2.2)

. (2.3)

Поскольку для линейной функции двух переменных нет критических точек внутри области , то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается толькона границе области. Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки. Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом.

studfile.net

§13 Наибольшее и наименьшее значение функции.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой замкнутой области D (т.е. в области с границей ). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области. Если какое-либо из этих значений достигается внутри области, то это есть, очевидно, экстремальное значение. Но наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках границы. Отсюда следует правило: чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области, нужно найти все внутренние критические точки, вычислить значения функции в них и сравнить эти значения с наибольшими ( наименьшими) значениями функции в этой области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике с вершинамиO(0,0) , A(0,1) и B(1,0)

Решение:

1.Ищем критические точки внутри OAB.

— критическая точка внутри

.

2. Ищем наибольшие и наименьшие значения на границе. Рассматриваем отдельные отрезки.

1)На OA: , — функция одной переменной y на

, , . Вычислим значения на концах :, . 2) На OB: — функция одной

переменной x на

Аналогично: ,

На AB: , Опять имеем функцию одной переменной на при, . В точках A и B значения уже вычислялись:.

Итак, наибольшее значение z =3 достигается в точках A и B , наименьшее значение достигается в точке .

§ 14.Условный экстремум. Метод множителей лангража.

Часто в задачах приходится отыскивать экстремумы функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны некоторым (или некоторыми) условиями – например, должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям (уравнениям связи).

Пример. Нужно изготовить коробку в форме параллелепипеда наибольшего объёма при заданной площади поверхности коробки (площадь имеющегося материала).

Математически задача звучит так. Если z – длина, ширина, высота коробки, то , .

Нужно найти максимум функции при дополнительном условии, т.е. это типичная задача на условный экстремум.

Как решать такие задачи? Рассмотрим сначала вопрос в общем виде.

I. Пусть (1) – функция двух переменных.

(2) – уравнение связи.

1) Если можно разрешить (2) относительно : , то, подставив в (1), получим функцию от одного переменного: нахождение условного экстремума сведётся к нахождению безусловного (обычного) экстремума функции от этой переменной.

2) Но можно поступить и иначе (что особенно ценно, когда (2) разрешить однозначно нельзя). При тех значениях , при которых функцияимеет экстремум, производная отподолжна обращаться в нуль. Считаем, что уравнение (2) определяеткак неявную функцию от. Считая, чтоесть функция от, из (1) находим(как полную производную):

.

Следовательно, в точках экстремума имеем

. (3)

Из равенства (2) находим (считаем), откуда

. (4)

Умножим члены равенства (4) на неопределённый пока коэффициент (множитель Лагранжа)и сложим почленно (3) и полученное из (4):

или (5)

((5) удовлетворяется во всех точках экстремума).

Подберём так, чтобы для всех значенийи, соответствующих экстремуму функциибыло, тогда ипри тех же значенияхи.

Таким образом, в точках экстремума должны одновременно удовлетворяться три уравнения с тремя неизвестными ,, 

(6)

Находим решение , тогда точка (,) и будет точкой, подозрительной на условный экстремум (больше не нужно!).

Обычно из характера самой задачи можно сказать есть ли в этой точке экстремум и какой?

Для удобства практического применения метода множителей Лагранжа и составления системы (6) сразу рассматривают функцию Лагранжа: .

Тогда система и даёт систему (6).

II. Рассмотренный метод распространяется и на функции большего числа переменных, с большим числом уравнений связи.

Пусть нужно найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяютуравнениям связи:

Тогда – функция Лагранжа. Подозрительные на экстремум точки, находим, решая системууравнений снеизвестными:

Пример. Найдём решение задачи о коробке, сформулированной вначале.

,

Составим функцию Лагранжа: .

Напишем систему:

Домножим первое уравнение на , второе – на, третье – наи почленно сложим их.

Получим:

Подставим это значениев первые три уравнения, получим:

.

Из четвёртого уравнения тогда имеем: .

Отсюда: , т.е.коробка должна быть кубом с ребром .

studfile.net