Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».

Задание 9. Вычисления и преобразования

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №9 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения 

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10 – просто передвинув запятую.

Ответ: 100

2. Найдите значение выражения

Ответ: 20

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

.

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8

4. Вычислите:

Упростим множители:

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

5. Найдите значение выражения:  при

Применили формулу частного степеней

6. Вычислите 

7. Вычислите , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение Сначала упростим выражение.

Свойства логарифмов и примеры их решений

Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).

Более того, \( \displaystyle {{\log }_{1}}b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).

Но при этом \( \displaystyle {{\log }_{1}}1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \( \displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, \( \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).{2}}-x-2=0\).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\( \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) – верно.

\( \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.{2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \( \displaystyle -2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \( \displaystyle x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( \displaystyle x=2\).

Ответ: \( \displaystyle x=2\).

Логарифмические выражения

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо  всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту же степень возводится каждый множитель.

Так же необходимо знать следующее свойство:

Рассмотрим примеры:

*Данный контент (более 20 подробно решённых примеров) доступен только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении  простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Сборник заданий по теме Преобразование выражений, содержащие логарифмы.

Преобразование выражений,

содержащие логарифмы.

Составитель Валишина Р.Т.

учитель математики

Определение:

Логарифм положительного числа b (b

• Логарифмированием называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

• Потенцированием называется нахождение чисел (выражения) по заданному логарифму числа (выражения).

Виды логарифмов

Формулы и свойства логарифмов

1. a^log_a^b = b — основное логарифмическое тождество

2. log_a 1 = 0 — логарифма единицы

3. log_a a = 1 — логарифм числа, равного основанию

4. log_a(x · y) = log_ax + log_ay — логарифм произведения двух положительных чисел

5. log_a xy = log_ax — log_ay — логарифма частного

6. log_a 1/x = -log_ax

7. log_a xⁿ = n log_ax — логарифм степени числа

8. log_a ⁿ√x = 1/n log_ax — логарифм корня числа

9. log_aⁿ x =   (log_a x)ⁿ,    при n ≠ 0

10. log_ax = log_a^c x^c

11. log_a x = log_b xlog_b a — формула перехода к новому основанию

12. log_a x = 1/log

    x a

1.  , если .

Решение:

2.  , если .

Решение:

1. , если .

2. , если .

3. , если .

4. , если .

5. , если .

6. , если .

7. , если .

8. , если .

9. , если .

10. , если .

11. , если .

12. , если .

13. , если .

14. , если .

15. , если .

16. , если .

17. , если .

18. , если .

Ответы:

Пояснение.

1. , если .

2. , если .

3. , если .

4. , если .

5. , если .

6. , если .

7. , если .

8. , если .

9. , если .

10. , если .

11. , если .

12. , если .

13. , если .

14. , если .

15. , если .

16. , если .

Ответы:

Блок III: Найдите значение выражения

.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Ответы:

1. ..

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Ответы:

Пояснение. Поскольку 400=20², по определению логарифма .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Ответы:

Ответы:

2)  

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

11. .

12.  

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

 ; .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Ответы:

1. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

Ответы:

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

Пояснение. Выполним преобразования: .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Ответы:

2 )  

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Ответы:

1. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Ответы:

Ответы:

Ответы:

Ответы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Ответы:

2. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния 

При разработке данного пособия были использованы материалы с сайта http://reshuege.ru

Презентация к уроку алгебры «Свойства логарифмов»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Свойства логарифмов Абрамова Н.К.

Номер слайда 2

Проверка домашнего задания

Номер слайда 3

Повторяем формулы свойств логарифмов

Номер слайда 4

1) a>0, a≠1, b>0 2) a>0, a≠1 3) 0 4) a>0, a≠1, b>0, r-любое действительное число 5) 1 a>0, a≠1, b>0, r-любое действительное число a>0, a≠1

Номер слайда 5

6) a>0, a≠1, b>0, r — любое действительное число 7) a>0, a≠1, b>0,c>0 8) a>0, a≠1, b>0,c>0

Номер слайда 6

9) a>0, a≠1, b>0,c ≠1 10) 11) a>0, a≠1, c>0 a>0, a≠1, b>0

Номер слайда 7

12) a>0, a≠1, b>0 13) a>0, c≠1, b>0,c>0 Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

Номер слайда 8

Теоретический диктант

Номер слайда 9

1 вариант 2 вариант 1 1 b>0, a>0, a≠1 2 1 2 0 3 3 4 4 4 3 5 5 6 x

Номер слайда 10

Учимся вычислять значения логарифмических выражений

Номер слайда 11

Найдите значение выражения

Номер слайда 12

Найдите значение выражения

Номер слайда 13

Найдите значение выражения

Номер слайда 14

Найдите значение выражения

Номер слайда 15

Найдите значение выражения

Номер слайда 16

Найдите значение выражения

Номер слайда 17

Найдите значение выражения

Номер слайда 18

Гимнастика для глаз

Номер слайда 19

Самостоятельная работа

Номер слайда 20

№ 1 вариант № 2 вариант 1 1 1 1 2 3 2 2 3 2/3 3 2/5 4 4 4 1 5 1 5 1 Ответы к самостоятельной работе

Номер слайда 21

Готовимся к ЕГЭ

Номер слайда 22

Решение заданий №9 «Найдите значение выражения» тренировочных вариантов профильного ЕГЭ-2019 по математике. (Сайт Александра Ларина)

Номер слайда 23

Вариант № 237 от 12.05.18 Задание №9. Найдите значение выражения: Решение:

Номер слайда 24

Номер слайда 25

Вариант № 241 от 15.09.18 Задание №9. Найдите значение выражения: Решение:

Номер слайда 26

Номер слайда 27

Вариант № 225 от 17.02.18 Задание №9. Вычислите:

Номер слайда 28

Решение:

Номер слайда 29

Решение:

Номер слайда 30

Решение: Ответ: -18

Номер слайда 31

Вариант № 248 от 03.11.18 Задание №9. Найти значение выражения

Номер слайда 32

Решение:

Номер слайда 33

Номер слайда 34

Номер слайда 35

Номер слайда 36

Ответ: -8

Номер слайда 37

Решение заданий №5 «Решите уравнение» тренировочных вариантов профильного ЕГЭ-2019 по математике. (Сайт Александра Ларина)

Номер слайда 38

Вариант № 242 от 22.09.18 Задание №5. Найдите корень уравнения: ОДЗ: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение:

Номер слайда 39

Решение (продолжение): x2 не попадает в ОДЗ, следовательно в ответе укажем -3. Ответ: -3

Номер слайда 40

Вариант № 235 от 28.04.18 Задание №5. Решите уравнение: Решение: Приведем логарифм в левой части уравнения к основанию 3 по формуле перехода к новому основанию:

Номер слайда 41

Ответ: 6 Решение (продолжение): Учитывая, что получаем:

Номер слайда 42

Вариант № 230 от 24.03.18 Задание №5. Решите уравнение: ОДЗ: Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них. Решение:

Номер слайда 43

Решение (продолжение): x =15 не входит в ОДЗ Ответ: -3

Номер слайда 44

Вариант № 249 от 10.11.18 Задание №5. Решите уравнение: ОДЗ: Заметим, что уравнение выполнимо только при условии: так как: Откуда: Ответ: 2

Номер слайда 45

Решение заданий «Преобразования числовых логарифмических выражений» профильного ЕГЭ-2019 по математике. (Сайт Гущина Д.Д. «Решу ЕГЭ»)

Номер слайда 46

Задание №26855 Найдите значение выражения Решение:

Номер слайда 47

Номер слайда 48

Логарифмический софизм

Номер слайда 49

Докажем, что 2>3 Запишем неравенство Возведем обе части в квадрат Прологарифмируем Применим свойство степени логарифмов Сократим обе части на Получаем 2>3

Номер слайда 50

Софизм — рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Тренажёр «Определение логарифма»

Вариант 1. Найдите значение выражения. Ответ запишите в ячейку справа.

Вариант 2. Найдите значение выражения. Ответ запишите в ячейку справа.

Вариант 1. ОТВЕТЫ.

Вариант 2. ОТВЕТЫ.

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к рассмотрению приведенных ниже примеров.

Типы логарифмических уравнений

• Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на каждой стороне уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы, равные друг другу, и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \ color {blue} M и \ color {red} N.

• Второй тип выглядит так.

Если у вас есть единственный логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его в виде экспоненциального уравнения и решить.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения на нескольких примерах.

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его.Вот правило на всякий случай, если вы забыли.

• Распределить: \ left ({x + 2} \ right) \ left (3 \ right) = 3x + 6

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу.

• Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что у тебя есть эта часть!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА проверяйте решенные значения с помощью исходного логарифмического уравнения.

Помните :

• Хорошо, иметь значения x, такие как положительные, 0 и отрицательные числа.
• Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при замене или вычислении в исходное уравнение логарифма.

⚠︎ ВНИМАНИЕ: логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены.

{\ log _b} \ left ({{\ rm {negative \, \, number}}} \ right) = {\ rm {undefined}}

{\ log _b} \ left (0 \ right) = {\ rm {undefined}}

Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением.Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

Да! Поскольку x = 7 проверок, у нас есть решение в \ color {blue} x = 7.

Пример 2: Решите логарифмическое уравнение.

Начните с сжатия логарифмических выражений слева в один логарифм с помощью правила произведения. Мы хотим иметь по одному логарифмическому выражению для каждой стороны уравнения. Будьте готовы решить квадратное уравнение, так как x будет иметь степень 2.2} — 2x

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу

• Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Но вам нужно переместить все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.

• Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Итак, возможные решения: x = 5 и x = — 2.Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно в исходное логарифмическое уравнение.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут действительными решениями. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x = -2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри скобок (логарифм нуля и отрицательные числа не определены), что заставляет нас исключить x = -2 как часть нашего решения.

Следовательно, окончательное решение будет просто \ color {blue} x = 5. Мы не принимаем во внимание x = -2, потому что это постороннее решение.

Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем различие логарифмических выражений по обе стороны уравнения. Упростите или уплотните журналы с обеих сторон, используя правило Quotient Rule, которое выглядит следующим образом.

• Разница в журналах подсказывает нам использовать правило квотиента.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри скобок. Сделайте это с обеими сторонами уравнений.

• Я думаю, что мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему до одного логарифмического выражения для каждой стороны уравнения.

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить Cross Product .

• Это выглядит так после получения перекрестного продукта.

• Упростите обе стороны с помощью свойства распределения. На этом этапе мы понимаем, что это всего лишь квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Сдвиньте все в одну сторону, и это заставит одну сторону уравнения равняться нулю.

• Это легко факультативно. Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Итак, это наши возможные ответы.

Я предоставлю вам проверить наши возможные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \ color {blue} x = 8 — единственное решение, а x = -3 — нет, поскольку он генерирует сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Не хорошо!

Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или записанного основания, предполагается, что он имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим различие журналов, что означает, что мы применяем правило Quotient Rule, в то время как с правой стороны требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание на левую сторону. Вы видите этот коэффициент \ Large {1 \ over 2} \ ,?

Что ж, мы должны представить это как экспоненту, используя правило мощности в обратном порядке.

• Выведите этот коэффициент \ large {1 \ over 2} как показатель степени (см. Крайний левый член)

• Упростите показатель степени (все еще относится к крайнему левому члену)

• Затем сократите бревна с обеих сторон уравнения.Используйте правило частного слева и правило продукта справа.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если явно не показано, предполагается, что это база 10), можно установить их равными друг другу.

• Удаление журналов и просто приравнивание аргументов внутри скобок.

• На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну сторону уравнения, затем вычтите их.

• Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

Пора проверить свои потенциальные ответы. Когда вы проверите x = 0 обратно в исходное логарифмическое уравнение, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, что означает — нехорошо! Итак, мы должны игнорировать или отбросить \ color {red} x = 0 как решение.

Проверка \ Large {x = {3 \ over 4}} подтверждает, что действительно \ Large {\ color {blue} {x = {3 \ over 4}}} является единственным решением.

Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ ln вместо \ log для обозначения логарифма.

Думайте о \ ln как о особом логарифме с основанием e, где e \ приблизительно 2,71828.

• Используйте правило продукта с правой стороны

• Сначала запишите переменную, затем константу, чтобы быть готовым к использованию метода FOIL.

• Упростите два бинома, умножив их вместе.

• На этом этапе я просто закодировал выражение в круглых скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.

• Ага! Здесь мы говорим, что содержимое в левой скобке равно содержимому в правой скобке.

Не забудьте символ \ pm.

• Далее, упрощая, мы должны получить следующие возможные ответы.

Проверьте, являются ли найденные выше потенциальные ответы возможными, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны убедиться, что ЕДИНСТВЕННЫМ допустимым решением является \ large {\ color {blue} x = {1 \ over 2}}, что делает \ large {\ color {red} x = — {1 \ over 2}} лишним. отвечать.

Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас

Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

• Я закодировал части логарифмического уравнения цветом, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.

Вы должны убедиться, что значение \ color {blue} x = 12 действительно является решением логарифмического уравнения.

Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения на одной стороне уравнения (оставьте его слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило частного, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в скобках логарифма.

• Переместите все логарифмические выражения в левую часть уравнения, а константу — вправо.{\ color {красный} 1} = 5.

• Это рациональное уравнение из-за наличия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но сначала я должен выразить правую часть уравнения с явным знаменателем, равным 1. То есть 5 = ​​{\ large {{5 \ over 1}}}

• Выполните перекрестное умножение, а затем решите полученное линейное уравнение.

Когда вы проверяете x = 1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \ large {\ color {blue} x = 1} является решением логарифмического уравнения.

Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема очень похожа на №7. Давайте соберем все логарифмические выражения слева, оставив константу справа. Поскольку у нас есть разница журналов, мы будем использовать правило Quotient Rule.

• Переместите выражения журнала в левую часть, а константу оставьте вправо.

• Примените правило квотирования, поскольку они представляют собой разность журналов.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, куда они уходят после перезаписи в экспоненциальной форме.

• Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем месте, а \ color {red} 5 становится показателем степени основания.

• Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.

• Упростите правую часть с помощью свойства распределения. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.

• Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону равной нулю.

Выносим трехчлен за скобки.Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

• Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как потенциальные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, что \ color {blue} x = -32 — единственное решение. Это делает \ color {red} x = 4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.

Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Я надеюсь, что теперь вы получили основное представление о том, как подходить к этому типу проблемы.Здесь мы видим три логических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

• Давайте оставим логарифмические выражения слева, а константу — справа.

• Начните с сжатия выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.

• Затем сожмите выражения журнала, используя правило Quotient Rule, чтобы учесть разницу в журналах.

• На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.

• Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \ color {red} 1 с правой стороны как показатель степени основания 7.

• Решите это рациональное уравнение, используя перекрестное произведение. Выразите 7 как \ large {7 \ over 1}.

• Переместите все члены в левую часть уравнения. Выносим за скобки трехчлен. Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Это ваши потенциальные ответы.Всегда проверяйте свои ценности.

Очевидно, что когда мы подставляем x = -8 обратно в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Следовательно, вы исключаете \ color {red} x = -8 как часть вашего решения.

Таким образом, единственное решение — \ color {blue} x = 11.

Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

• Сохраните логарифмическое выражение слева и переместите все константы в правую сторону.

• Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение.3} = 27. Перед нами простое радикальное уравнение.

Отметьте этот отдельный урок, если вам нужно напомнить, как решать различные типы радикальных уравнений.

• Чтобы избавиться от радикального символа в левой части, возведите обе части уравнения в квадрат.

• После возведения в квадрат обеих сторон, похоже, у нас есть линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

После этого вы должны убедиться, что действительно \ color {blue} x = -104 — верное решение.

Возможно, вас заинтересует:

Уплотняющие логарифмы

Расширяющиеся логарифмы

Объяснение логарифма

Правила логарифмирования

Вычисление логарифмов | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Вычисляйте логарифмы с калькулятором и без него.
• Вычислить логарифмы с основанием 10 и основанием e.{3}} = \ frac {1} {27} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Следовательно, [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (\ frac {1} {27} \ right) = — 3 [/ latex].

  Попробуйте

  Вычислить [латекс] y = {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {1} {32} \ right) [/ latex] без использования калькулятора.

  Показать решение

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {1} {32} \ right) = — 5 [/ latex]

  Использование натуральных логарифмов

  Чаще всего используется основание логарифмов e . Логарифмы с основанием и важны в исчислении и некоторых научных приложениях; они называются натуральными логарифмами .Логарифм с основанием e , [latex] {\ mathrm {log}} _ {e} \ left (x \ right) [/ latex], имеет свое собственное обозначение, [latex] \ mathrm {ln} \ left (x \ справа) [/ латекс].

  Большинство значений [latex] \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex] можно найти только с помощью калькулятора. Основным исключением является то, что, поскольку логарифм 1 всегда равен 0 в любом основании, [latex] \ mathrm {ln} 1 = 0 [/ latex]. Для других натуральных логарифмов мы можем использовать ключ [latex] \ mathrm {ln} [/ latex], который можно найти на большинстве научных калькуляторов. Мы также можем найти натуральный логарифм любой степени от до , используя свойство, обратное логарифмам.{\ mathrm {ln} \ left (x \ right)} = x [/ latex] для [latex] x> 0 [/ latex].

  Как сделать: учитывая натуральный логарифм вида [латекс] y = \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex], вычислите его с помощью калькулятора +

  1. Нажмите [LN] .
  2. Введите значение, указанное для x , затем [)] .
  3. Нажмите [ENTER] .

  Пример: вычисление натурального логарифма с помощью калькулятора

  Вычислите [латекс] y = \ mathrm {ln} \ left (500 \ right) [/ latex] с точностью до четырех знаков после запятой с помощью калькулятора.

  Показать решение
  • Нажмите [LN] .
  • Введите 500, затем [)] .
  • Нажмите [ENTER] .

  Округление до четырех десятичных знаков, [латекс] \ mathrm {ln} \ left (500 \ right) \ приблизительно 6,2146 [/ latex]

  Попробуйте

  Вычислить [латекс] \ mathrm {ln} \ left (-500 \ right) [/ latex].

  Показать решение

  Невозможно логарифмировать отрицательное число в наборе действительных чисел.

  Внесите свой вклад!

  У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

  Улучшить эту страницуПодробнее

  Базовые правила журнала и расширяющиеся выражения журнала

  Purplemath

  Вы изучили различные правила для управления и упрощения выражений с показателями степени, например, правило, согласно которому x ³ x x ⁵ равно x ⁸ , потому что вы можете складывать экспоненты.Аналогичные правила для логарифмов.

  Правила журнала:

  1) журнал _b ( mn ) = журнал _b ( m ) + журнал _b ( n )

  2) бревно _b ( ^м / _n ) = бревно _b ( м ) — бревно _b ( n )

  3) бревно _b ( м ⁿ ) = n · лог _b ( м )

  MathHelp.com

  В менее формальных терминах правила журнала могут быть выражены как:

  1) Умножение внутри журнала можно превратить в сложение вне журнала, и наоборот.

  2) Деление внутри журнала можно превратить в вычитание вне журнала, и наоборот.

  3) Показатель степени для всего, что находится внутри бревна, можно переместить вперед как множитель, и наоборот.

  Предупреждение: как и в случае с экспонентами, приведенные выше правила работают только , если основания совпадают. Например, выражение «log _d ( m ) + log _b ( n )» не может быть упрощено, потому что основания («d» и «b») не совпадают, просто как x ² x y ³ нельзя упростить, потому что основания ( x и y ) не совпадают.

  ---

  Расширяющиеся логарифмы

  Правила журнала могут использоваться для упрощения (или, точнее, для «уплотнения») выражений, для «расширения» выражений или для поиска значений. Начнем с расширения.

  Когда в инструкциях говорится «расширить», они означают, что они дали мне одно выражение журнала с большим количеством информации внутри него, и они хотят, чтобы я использовал правила журнала, чтобы разбить журнал на множество отдельных терминов журнала, каждый из которых имеет только одна вещь внутри его конкретного журнала.То есть они дали мне , один журнал со сложным аргументом , и они хотят, чтобы я преобразовал это в много журналов , каждый с простым аргументом .

  В этом случае у меня внутри журнала есть «2 x ». Поскольку «2 x » — это умножение, я могу разделить это выражение в соответствии с первым из приведенных выше правил журнала и превратить его в сложение вне журнала:

  журнал ₃ (2 x ) = журнал ₃ (2) + журнал ₃ ( x )

  Тогда ответ, который они ищут:

  Примечание: не пытайтесь вычислить «журнал ₃ (2)» в вашем калькуляторе.Хотя вы будете правы, если скажете, что «log ₃ (2)» — это просто число (и позже мы увидим, как преобразовать это выражение во что-то, что вы можете оценить в своем калькуляторе), что они? На самом деле мы ищем здесь «точную» форму журнала, как показано выше, а не десятичное приближение из вашего калькулятора.

  Если вы дадите «ответ» в виде десятичного приближения, вы должны ожидать потерю баллов.

  ---

  У меня внутри журнала деление.Согласно второму правилу журнала, приведенному выше, его можно разделить на части как вычитание вне журнала, так:

  журнал ₄ ( ¹⁶ / _x ) = журнал ₄ (16) — журнал ₄ ( x )

  Первый член в правой части приведенного выше уравнения можно упростить до точного значения, применив основное определение логарифма. В этом случае я использую тот факт, что мощность, необходимая на 4 для создания 16, равна 2; другими словами, поскольку 4 ² = 16, то:

  Затем исходное выражение полностью раскрывается как:

  журнал ₄ ( ¹⁶ / _x ) = 2 — журнал ₄ ( x )

  Всегда не забывайте находить время, чтобы проверить, можно ли упростить какие-либо термины в вашем расширении (например, журнал ₄ (16) выше).

  ---

  Показатель внутри бревна можно вынести вперед как множитель:

  журнал ₅ ( x ³ ) = 3 · log ₅ ( x ) = 3log ₅ ( x )

  Приведенные выше примеры представляют собой очень простое использование правил журнала применительно к раскрытию выражений журнала. На следующей странице мы рассмотрим, какие упражнения вы будете выполнять в своем домашнем задании и на следующем тесте.

  ---

  URL: https://www.purplemath.com/modules/logrules.htm

  Свойства логарифмов

  Свойства логарифмов

  ---

  Содержание: Эта страница соответствует § 4.3 (с. 341) текста.

  Предлагаемые задачи из текста:

  с.345 № 3, 7, 9, 11, 13, 25, 27, 33, 35, 45, 49, 53, 91

  Изменение базы

  Свойства логарифмов

  ---

  Изменение базы

  В то время как большинство научных калькуляторов имеют кнопки только для десятичного и натурального логарифмов, другие логарифмы могут быть вычислены с помощью следующей формулы замены основания.

  Формула смены базы

  Пример 1 .

  Журнал вычислений ₅ 3. Формула изменения базы позволяет нам вычислить это выражение, используя любое другое логарифм, поэтому мы решим эту проблему двумя способами, используя сначала натуральный логарифм, а затем десятичный.

  Натуральный логарифм:

  десятичный логарифм:

  Упражнение 1 :

  Из логарифмического тождества 1 следует, что log ₂ 8 = 3.

  (a) Используйте калькулятор и формулу замены основания с натуральным логарифмом, чтобы убедиться, что логарифм ₂ 8 = 3.

  (b) Используйте калькулятор и формулу замены основания с десятичным логарифмом, чтобы убедиться, что журнал ₂ 8 = 3.

  Ответ

  Упражнение 2 :

  Из логарифмического тождества 2 следует, что. Убедитесь в этом, оценив log ₄ 7, а затем возведя 4 в эту степень.

  Ответ

  Вернуться к содержанию

  Свойства логарифмов

  1. log a (uv) = log a u + log a v	1. ln (uv) = ln u + ln v
  2. log a (u / v) = log a u — log a v	2. ln (u / v) = ln u — ln v
  3.журнал a u n = n журнал a u	3. ln u n = n ln u

  Свойства слева относятся к любому основанию a.

  Свойства справа являются повторением общих свойств натурального логарифма.

  Многие логарифмические выражения можно переписать, развернуть или сжать, используя три указанных выше свойства. Расширение — это разбиение сложного выражения на более простые компоненты.Конденсация — обратное этому процесс.

  Пример 2 .

  Раскрытие выражения.

  	перепишите в экспоненциальной записи
  	недвижимость 3
  	недвижимость 1

  Пример 3 .

  Раскрытие выражения.

  	недвижимость 2
  	недвижимость 1
  	недвижимость 3

  Пример 4 .

  Уплотнение выражения.

  	недвижимость 3
  	недвижимость 1
  	недвижимость 2

  Распространенные ошибки

  • Логарифмы разбивают произведения на суммы по свойству 1, но логарифм суммы не может быть переписан на .Для Например, мы ничего не можем сделать с выражением ln (x ² + 1).
  • log u — log v равен log (u / v) по свойству 2, не равен log u / log v.

  Упражнение 3 :

  (a) Разверните выражение. Ответ

  (b) Уплотните выражение 3 log x + 2 log y — (1/2) log z. Ответ

  Вернуться к содержанию

  ---

  Упрощение логарифмов — математика для старших классов

  Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

  Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

  Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

  Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

  Вы должны включить следующее:

  Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

  Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

  Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
  101 S. Hanley Rd, Suite 300
  St. Louis, MO 63105
  

  Или заполните форму ниже:

  Что такое логарифм?

  MATH ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

  РАЗДЕЛ 4.ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?

  ---

  Логарифм — это степень, до которой должно быть возведено число, чтобы получить другое число (см. раздел 3 этого обзора математики для получения дополнительной информации. о экспонентах). Например, десятичный логарифм 100 равен 2, потому что десять в степени двойки равно 100:

  журнал 100 = 2

  потому что

  10 ² = 100

  Это является примером десятичного логарифма.Мы называем это десятичным логарифмом потому что десять это число это возведено в степень. Базовая единица — это поднимаемое число к власти. Есть логарифмы с использованием разных основных единиц. Если вы хотели, вы могли бы использовать два в качестве базового блока. Например, логарифм восьми по основанию два равен трем, потому что два возведены в степень трех равна восьми:

  журнал ₂ 8 = 3

  потому что

  2 ³ = 8

  В Как правило, вы пишете журнал, за которым следует базовый номер в качестве нижнего индекса.Наиболее распространенные логарифмы: логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы; у них есть специальные обозначения. Записывается журнал с основанием десять

  журнал

  и десятичное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

  журнал а = г

  Записывается натуральный логарифм.

  пер.

  и натуральное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

  ln a = r

  Итак, когда вы видите журнал сам по себе, это означает десятичный журнал.Когда вы видите ln, это означает натуральный логарифм (мы определим натуральные логарифмы ниже). В этом Конечно, будут использоваться только десятичные и натуральные логарифмы.

  в логарифмах, страница 2

  ---

  Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

  Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.{{e_2}}}} \ right \} \\ & = {\ log _B} a + {\ log _B} b + {e_1} {\ log _B} c — {\ log _B} x — {e_2} { \ log _B} y \ end {align} \]

  Таким образом, если у нас есть значения различных журналов справа, мы можем оценить значение журнала B N . Z} \]

  Таким образом, нам удалось вычислить N , используя только операции сложения и вычитания (и простого умножения).В процессе мы также взяли журналы и антилогарифмы, но для этого у нас есть таблицы журналов.

  Прежде чем фактически выполнять некоторые вычисления, давайте разберемся, как использовать таблицы журналов. Во-первых, следует отметить, что наша база по умолчанию, которую мы используем в 10, то есть B = 10, поэтому вы обычно найдете таблицы журналов в базе 10. Это потому, что 10 — это очень простая база для нашего разума. понимание, и вычисления с основанием 10 являются самыми простыми (мы использовали основание 10 с тех пор, как научились считать).

  Предположим, что нам нужно вычислить логарифм 347 по основанию 10.{—4}} \\ & \ Rightarrow \, \, \, \ log \ left ({0.000134} \ right) = \, \, \, — 4 + \ log \ left ({1.34} \ right) \ конец {align} \]

  Неотъемлемой частью любого бревна является его характеристика , а неотъемлемой частью — мантисса . Обратите внимание, что мантисса всегда будет находиться между 0 и 1. Почему? Поскольку мантисса — это логарифм некоторого числа x между 1 и 10, и если \ (1 \ le x <10 \), то \ (0 \ le \ log x <1 \). Таким образом, мантисса лежит в [0, 1).1 \\ & \ log \; (45.67) \; = \; 1 \; + \; \ log \; (4.567) \ end {align} \]

  Таким образом, нам нужно найти лог 4.567. Найдите стандартную таблицу журналов. В левом столбце найдите «45». Если бы число, которое мы искали, было «4500», мантисса была бы 0,6532. Но теперь просканируйте самый верхний ряд и найдите «60». Таким образом, мантисса, соответствующая «4560», составила бы 0,6590.

  Но на самом деле мы хотим, чтобы мантисса соответствовала «4567» — таким образом, добавляем число из соответствующего столбца в правом наборе столбцов к мантиссе первых трех цифр.Таким образом, искомая мантисса равна 0,6590 + 7 = 0,6597.

  \ [\ begin {align} & \ Rightarrow \ log \ left (4.567 \ right) = 0.6597 \\\\ & \ Rightarrow \ log (45.67) = 1.6597 \ end {align} \]

  С другой стороны, предположим, что нам было дано, что логарифм N равен 1.6597, то есть log N = 1.659

  журнал N = 1,6597

  Нам нужно найти N . Теперь нам нужно использовать антилогарифмические таблицы. Подход тот же: взгляните на эту таблицу:

  Таким образом,

  \ [\ mathrm {anti} \ log \; (1.6597) \; = \; 45,67 \]

  Теперь, когда вы знаете, как использовать журнальные и антилогарифмические таблицы, давайте выполним некоторые вычисления с использованием журналов.

  Пример 1: Использование журналов для оценки \ [N = \ frac {{647 \ cdot 32 \ times 0.00000147}} {{8.473 \ times 64}} \]

  Решение: Наш подход состоит из четырех шагов:

  1. преобразовать выражение для N в журналы

  2. оцените эти журналы с помощью таблицы журналов

  3. таким образом определить журнал N

  4. вычислить антилогарифм журнала N

  Таким образом,

  \ [\ begin {align} & \ log N = \ left ({\ frac {{647 \ cdot 32 \ times 0.1 \\ & \ Rightarrow \ log \ left (64 \ right) = 1 + \ log \ left (64 \ right) \\\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; & = 1.8062 \ end {align} \]

  Таким образом,

  \ [\ begin {align} & \ log N = 2.8111 + \ overline6.1673–0.9280–1.8062 \\ & \ qquad \; = 2.8111+ \ left (–6 + 0.1673 \ right) –0.9280–1.8062 \\ & \ qquad \; = — 5.7558 = –5–0.7558 \\ & \ qquad \; = \ left (–5–1 \ right) + 1–0.7558 \\ & \ qquad \; = — 6 + 0,2442 \\ & \ qquad \; = \ overline6 \ cdot2442 \ end {align} \]

  Внимательно запомните последние пару шагов. Теперь у нас есть характеристика и мантисса log N .{- 6}} = 0,00000 \, 17547 \]

  Проверьте это с помощью калькулятора. Обратите внимание, что N был вычислен без какого-либо фактического умножения и деления — операции намного более громоздкие, чем сложение или вычитание.

  Пример 2: Найдите значение \ (\ sqrt [5] {{0.00000165}} \)

  Решение: Пусть \ (N = \ sqrt [5] {{0.00000165}} \)

  \ [\ begin {array} {l} \ Rightarrow \, \, \, \ log \, N = \ frac {1} {5} \ log \ left ({0.00000165} \ right) \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac {1} {5} \ слева ({- 6 + \ log 1.2}, \, \, 22 = 2 \ times 11 \) и \ (70 = 7 \; \ times \; 10 \), имеем

  \ [\ begin {array} {l} \ log N = 4 \ left ({1 + \ log 3 + \ log 11} \ right) — 8 \ log 7 \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — \ frac {1} {3} \ left ({\ log 2 + \ log 11 } \ right) — \ frac {1} {3} \ left ({1 + \ log 7} \ right) \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac {{11}} {3} — \ frac {1} {3} \ log 2 + 4 \ log 3 — \ frac {{25}} {3} \ log 7 + \ frac { {11}} {3} \ log 11 \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac {{11}} {3} — \ frac {1} {3} \ left ({0.3010} \ right) + 4 \ left ({0.{y + 1}} \]

  Решение: У нас

  \ [\ begin {array} {l} (x + y) \ log2 = y \ log6 \; \; \\\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = y (\ log2 + \ log3) \ end {array} \]

  \ (\ Rightarrow x \ log2 = y \ log3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ cdots (1) \)
  и \ (x \ log 3 = \ log 3 + \ left ({y + 1} \ right) \ log 2 \)

  \ [\ Rightarrow \; \; \; \; \ left (x-1 \ right) \ log3 = \ left (y + 1 \ right) \ log2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ точки \ влево (2 \ вправо) \]

  Используя (1) и 2, получаем

  \ [x \ log 2 = \ left ({\ frac {{\ left ({x — 1} \ right) \ log 3}} {{\ log 2}} — 1} \ right) \ log 3 \]

  Используя log 2 = a , log 3 = b для удобства, мы имеем

  \ [ax = \ left ({\ frac {{b \ left ({x — 1} \ right)}} {a} — 1} \ right) b \]

  \ [\ Стрелка вправо \ frac abx = \ frac bax- \ frac ba-1 \]

  \ [\ Rightarrow \ left (\ frac ba- \ frac ab \ right) x = 1 + \ frac ba = \ frac {a + b} a \]

  \ [\ Rightarrow \ left (\ frac {b ^ 2-a ^ 2} {ab} \ right) x = \ frac {a + b} a \]

  \ [\ Rightarrow x = \ frac {b} {{b — a}} = \ frac {{\ log 3}} {{\ log 3 — \ log 2}} \ приблизительно \ frac {{\ cdot 4771} } {{\ cdot 1761}} \ приблизительно 2. z} = б \ конец {массив} \ право.x} \, \, \, \ Rightarrow \, \, \, yz = x \\ & \ Rightarrow \, \, \, z = \ frac {y} {x} \, \, \, \ Rightarrow \, \, \, {\ log _a} b = \ frac {{{{\ log} _c} b}} {{{{\ log} _c} a}} \ end {align} \]

  Это отношение позволяет нам изменять базы. Например, предположим, что нам нужно вычислить \ ({\ log _ {32}} 2048 \). Мы можем изменить базу на 2 следующим образом: \ [{\ log _ {32}} 2048 = \ frac {{{{\ log} _2} 2048}} {{{{\ log} _2} 32}} = \ frac {{11}} {5} = 2.2 \]

  Какая польза от журналов?

  • Журналы полезны для количественной оценки относительного изменения значения, а не его абсолютной разницы.

  Как вы ведете логи на калькуляторе?

  • Функция «Журнал» доступна на научных калькуляторах. Это ключ, который позволяет вам работать с логарифмами. Например, использование функции «Журнал» для числа 10 покажет, что вам нужно один раз умножить базовое число 10 само на себя, чтобы получить число 10.

  Как найти значение log и antilog?

  • Чтобы вычислить антилогарифм числа y, вы должны возвести логарифмическую основу b (обычно 10, иногда константу e) в степень, которая генерирует число y.Здесь x — показатель степени, а y — значение антилогарифма. Рассмотрим уравнение log (6) = x, его антилогарифм будет 10x = 6.

  Что означает журнал на калькуляторе?

  • Функция «Журнал» графического или научного калькулятора — это ключ, который позволяет нам работать с логарифмами. Логарифмы — это способы узнать, какие показатели нужны для умножения на определенное число. Отображаемое число является показателем исходного введенного числа.

  Каковы правила логарифмирования?

  • Есть 7 правил логарифмирования: правило продукта, правило коэффициента, правило мощности, правило нуля, правило идентификации, правило журнала экспоненты и правило экспоненты журнала
  .