Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке примеры: Решение примера Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Математический анализ

Содержание

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач

Отыскание максимумов и минимумов — одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.
Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах .

На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные — на краях отрезка.

Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.

————————————

Примеры.

Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.

Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах».

1. (4.55.б)

Функция определена на всем множестве действительных чисел

Найдем производную функции

Приравняем ее к нулю и определим критические точки

Проверим знак производной слева и справа от найденной точки

Производная при переходе через точку меняет знак с положительного на отрицательный , следовательно она является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке

и на краях отрезка

Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума и минимума на одном из краев отрезка .

2. (4.55.д)

На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную

Приравнивая нуля найдем критическую точку

Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках

Функция приобретает максимум и минимум в точках

3. (4.55.є)

Функция определена для всех значений аргумента .

Найдем производную

Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке она не существует.

Вычислим значение функции

Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в критической точке .

————————————

Приведем решения задач из сборника Дубовика В. П., Юрика И.И. «Высшая математика».

4. (5.770)

Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной

Приравняем ее к нулю и находим критические точки

Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках

Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка

5. (5.771)

На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку

Приравняв к нулю производную получим

Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует

Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках

Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка

Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Наибольшее и наименьшее значения функции. Глобальные максимумы и минимумы

Краткая теория


Наибольшее значение функции  на множестве  называют глобальным максимумом, а ее наименьшее значение – глобальным минимумом.

Чтобы найти глобальные экстремумы функции  на отрезке , на котором она непрерывна, надо: найти критические точки, принадлежащие интервалу , и вычислить значения функции в этих точках; вычислить значения функции в граничных точках отрезка, то есть  и ; из всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Общая схема решения прикладных задач такова:

    Устанавливается зависимость рассматриваемой величины  от некоторой независимой величины  (обозначения, разумеется, могут быть другими). Из условия задачи определяется тот промежуток, в котором может изменяться аргумент .Когда величина  представлена как функция аргумента , к ней применяется теория экстремумов.

В прикладных задачах чаще всего встречается случай, когда внутри рассматриваемого промежутка (отрезка, полуинтервала или интервала) оказывается лишь одна критическая точка . Если в этой точке непрерывная функция имеет локальный максимум (минимум), то он является ее наибольшим (наименьшим) значением.

Примеры решения задач


Задача 1

Определить наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке :

на отрезке

Решение

Найдем критические точки этой функции, лежащие на отрезке  .

Для этого найдем производную функции:

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Приравняем производную к нулю:

 -критическая точка, лежащая на отрезке

Вычислим значение функции в найденной точке и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения, находим:


Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение

Найдем критические точки этой функции, лежащие на отрезке  .

Для этого найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

Найденная точка  лежит в заданном интервале

Вычислим значение функции в найденных точках и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения, находим:

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

25 лет я занимаюсь решением задач и потратил на это кучу времени. Вы можете освободить свое, стоит только обратиться за помощью.

пример с решением по высшей математике

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке . Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т. е. при или . Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках и ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 ( — наибольшее, — максимальное).

2. Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение () функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее () — на другом.

Пример №25.10.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 1].

Решение:

Находим критические точки данной функции:

при и при . Находим , , , . Итак, в точке в точке .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений.

Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу в примере №25.11.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Чему равно наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Часто в физике и математике требуется найти наименьшее значение функции. Как это сделать, мы сейчас расскажем.

Как находить наименьшее значение функции: инструкция

  1. Чтобы вычислить наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке, нужно следовать такому алгоритму:
  2. Найти производную от функции.
  3. Найти на заданном отрезке точки, в которых производная равна нулю, а также все критические точки. Затем выяснить значения функции в этих точках, то есть решить уравнение, где x равно нулю.
    Выяснить, какое из значений наименьшее.
  4. Выявить, какое значение функция имеет на конечных точках. Определить наименьшее значение функции в этих точках.
  5. Сравнить полученные данные с наименьшим значением. Меньшее из полученных чисел и будет являться наименьшим значением функции.

Заметьте, что в том случае, если функция на отрезке не имеет наименьших точек, это значит, что на данном отрезке она возрастает или убывает. Следовательно, наименьшее значение следует вычислять на конечных отрезках функции.

Во всех остальных случаях значение функции вычисляется по заданному алгоритму. В каждом пункте алгоритма вам нужно будет решить простое линейное уравнение с одним корнем. Решайте уравнение с помощью рисунка, чтобы избежать ошибок.

Как находить наименьшее значение функции на полуоткрытом отрезке? На полуоткрытом или открытом периоде функции наименьшее значение следует находить следующим образом. На конечных точках значения функции вычислите односторонний предел функции.

Другими словами, решите уравнение, в котором стремящиеся точки заданы значением a+0 и b+0, где a и b — названия критических точек.

Теперь Вы знаете, как найти наименьшее значение функции. Главное — все вычисления делать правильно, точно и без ошибок.

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь

находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции .

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева .

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа , если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке

слева , если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём . В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

Примечание : в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции , наибольшее значение функции и наименьшее значение функции НЕ ТО ЖЕ САМОЕ , что максимум функции и минимум функции . Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо !

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках , которые принадлежат данному отрезку .

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует , что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение :
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Ответ :

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке


На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале


На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности


В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

  1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
  2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
  3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
  4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
  5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  • на отрезке ;
  • на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Свойства функции наибольшее и наименьшее значение. Как найти наименьшее значение функции

И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые ) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:


Эту же область можно задать и линейными неравенствами : , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой .
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие .

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Пример 1

В ограниченной замкнутой области

Решение : прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных :

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится :

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже) :

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг : ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)

Решение , как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Система-мечта идиота:)

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

1) Если , то

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Контроль:

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение , помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:


Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ :

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : изобразим область на чертеже:

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 x 1 ) x 2 ).

Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 x 1 ) > f (x 2 ).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

  1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a
  2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

  1. Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
  2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

  1. Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
  2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x — монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = … = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке


На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале


На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности


В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

  1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
  2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
  3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
  4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
  5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  • на отрезке ;
  • на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):


Постановка задачи 2:

Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.

Теоретические основы.
Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
Замечание:

«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».

Алгоритм решения задачи 2.

4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Пример 4:

Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение:
1) Найти производную функции .

2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.

4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .

Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .

В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.


Замечание: Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.

Частный случай.

Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.

На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. 2 — 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.

Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) — это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно — обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!

Найти максимум и минимум функции на отрезке.

Наибольшее и наименьшее значение функции. Задание В15 (2014)

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , бесконечный интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f (x) .

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Определение 1

Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f (x 0) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f (x) ≤ f (x 0) .

Определение 2

Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f (x 0) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (m a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6 ; 6) .

Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (- 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .

Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

  1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
  2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
  3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
  4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
  5. 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Пример 1

Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y » = x 3 + 4 x 2 » = x 3 + 4 » · x 2 — x 3 + 4 · x 2 » x 4 = = 3 x 2 · x 2 — (x 3 — 4) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

См. на рисунке:


Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

  1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
  2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
  3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
  • Если интервал имеет вид [ a ; b) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f (x) .
  • Если интервал имеет вид (a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f (x) .
  • Если интервал имеет вид (a ; b) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
  • Если интервал имеет вид [ a ; + ∞) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) .
  • Если интервал выглядит как (- ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x) .
  • Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f (x) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x)
  • Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) , lim x → — ∞ f (x) .
  1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.
Пример 2

Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:

x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; — 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y » = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 » = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 » · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 » (x 2 + x — 6) 2 = — 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка (- ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1

Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ (- ∞ ; — 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 (x + 3) (x — 3) — 4 = 3 e 1 (- 3 — 0 + 3) (- 3 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (- 0) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .

Для интервала (- 3 ; 2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 — 0 + 3) (2 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

Значит, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2 ; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т. е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A , находящегося на линии железной дороги, в пункт С , отстоящий от неё на расстоянии l , должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума. 2 — 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.

Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) — это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно — обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!

Наибольшим значением функции называется самое большее, наименьшим значением – самое меньшее из всех ее значений.

Функция может иметь только одно наибольшее и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:

1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция y=f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.

2) Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ее или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых =0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее f наиб и наименьшее f наим.

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке Х. Для решения таких задач следует, исходя из условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную. Затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

Пример. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л. воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной. Обозначим через а дм – сторону основания, b дм – высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна

И

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную , приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а)

Пример . Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение : Заданная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функции

Производная при и при . Вычислим значения функции в этих точках:

.

Значения функции на концах заданного промежутка равны . Следовательно, наибольшее значение функции равно при , наименьшее значение функции равно при .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида . Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя.

2. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.

3. Дайте определение максимума и минимума функции.

4. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

5. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?

6. Каковы достаточные признаки существования экстремума функции? Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.

7. Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

8. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

9. Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.

10. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном отрезке.

11. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?

12. Изложите общую схему исследования функции и построения ее графика.

13. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.

И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые ) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:


Эту же область можно задать и линейными неравенствами : , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой .
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие .

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Пример 1

В ограниченной замкнутой области

Решение : прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных :

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится :

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже) :

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг : ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)

Решение , как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Система-мечта идиота:)

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

1) Если , то

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Контроль:

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение , помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:


Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ :

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : изобразим область на чертеже:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Урок на тему: «Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке .
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
5. Примеры.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции

Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где — наименьшего.
Давайте повторим:

По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной

Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?

Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.

Итак, давайте введем правила:
а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него. Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.

На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках .
На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка . На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума — на конце отрезка, в точке b.
в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке

  • Найти производную f»(x).
  • Найти стационарные и критические точки внутри отрезка .
  • Вычислить значение функции в стационарных и критических точках, а так же в f(a) и f(b). Выбрать наименьшее и наибольшее значения, это и будут точки наименьшего и наибольшего значения функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале

Ребята, а как же искать наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале? Для этого воспользуемся важной теоремой, которая доказывается в курсе высшей математики.

Теорема. Пусть функция y= f(x) непрерывна на промежутке x, и имеет внутри этого промежутка единственную стационарную или критическую точку x= x0, тогда:
а) если x= x0 – точка максимума, то y наиб. 3}{3}$ + 2x 2 + 4x — 5 на отрезке
а) [-9;-1], б) [-3;3], в) .
Решение: Найдем производную: y»= x 2 + 4x + 4.
Производная существует на всей области определения, тогда нам надо найти стационарные точке.
y»= 0, при x= -2.
Дальнейшие расчеты проведем для требуемых отрезков.
а) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точки.
Тогда y наим. = -122, при x= -9; y наиб. = y = -7$\frac{1}{3}$, при x= -1.
б) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке. Наибольшее и наименьшее значение достигается на концах отрезка.
Тогда y наим. = -8, при x= -3, y наиб. = 34, при x= 3.
в) Стационарная точка не попадает на наш отрезок, найдем значения на концах отрезка.
Тогда y наим. = 34, при x= 3, y наиб. = 436, при x= 9.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x 2 — 3x + 5 + |1-x| на отрезке .
Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
y= x 2 — 3x + 5 + 1 — x, при x ≤ 1.
y= x 2 — 3x + 5 — 1 + x, при x ≥ 1. 2 + 3}$ на луче: , б) , в) [-4;7].
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x 2 — 6x + 8 + |x — 2| на отрезке [-1;5].
в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $-2x-\frac{1}{2x}$ на луче (0;+∞).

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке


На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале


На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности


В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

  1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
  2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
  3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
  4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
  5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  • на отрезке ;
  • на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$.

2-4x$ в замкнутой области, ограниченной линиями $x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Будем следовать указанному выше , но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой $D$. Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая $x=3$ проходит через точку $(3;0)$ параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая $y=0$ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox). Ну, а для построения прямой $y=x+1$ найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо $x$ парочку произвольных значений. Например, подставляя $x=10$, получим: $y=x+1=10+1=11$. Мы нашли точку $(10;11)$, лежащую на прямой $y=x+1$. Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая $y=x+1$ пересекается с линиями $x=3$ и $y=0$. Почему это лучше? Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой $y=x+1$ и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая $y=x+1$ пересекает прямую $x=3$ в точке $(3;4)$, а прямую $y=0$ — в точке $(-1;0)$. Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.

Как были получены точки $(3;4)$ и $(-1;0)$? показать\скрыть

Начнём с точки пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$. Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & x=3. \end{aligned} \right. $$

Решение такой системы тривиально: подставляя $x=3$ в первое уравнение будем иметь: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$.

Теперь отыщем точку пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$. Вновь составим и решим систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & y=0. \end{aligned} \right. $$

Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получим: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$ (оси абсцисс).

Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:

Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок — лишь иллюстрация для наглядности.

Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:

Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных двусмысленностей, области лучше задавать неравенствами. Нас интересует часть плоскости, расположенная под прямой $y=x+1$? Ок, значит, $y ≤ x+1$. Наша область должна располагаться над прямой $y=0$? Отлично, значит $y ≥ 0$. Кстати, два последних неравенства легко объединяются в одно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Эти неравенства и задают область $D$, причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Но как это поможет нам в том вопросе, что указан в начале примечания? Ещё как поможет:) Нам нужно проверить, принадлежит ли точка $M_1(1;1)$ области $D$. 2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end{aligned}

На следует выбрать наибольшее и наименьшее значения из тех, что мы получили на первом и втором шагах. Но в данном случае выбор невелик:) Имеем:

$$ z_{min}=-75; \; z_{max}=125. $$

Ответ : $z_{min}=-75; \; z_{max}=125$.

4.7 Задачи Максимум/Минимум — Исчисление Том 3

Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает в себя поиск критических точек ff на его области определения. Поэтому мы сначала вычисляем fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), а затем устанавливаем их равными нулю:

fx(x,y)=48−2x−2yfy(x,y)=96−2x−18y.fx(x,y)=48−2x−2yfy(x,y)=96−2x−18y.

Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

48-2x-2y=096-2x-18y=0,48-2x-2y=096-2x-18y=0.

Решение этой системы x=21x=21 и y=3.у=3. Следовательно, (21,3)(21,3) является критической точкой ф.ф. Вычисление f(21,3)f(21,3) дает f(21,3)=48(21)+96(3)−212−2(21)(3)−9(3)2=648.f (21,3)=48(21)+96(3)−212−2(21)(3)−9(3)2=648.

Область определения этой функции составляет 0≤x≤500≤x≤50 и 0≤y≤250≤y≤25, как показано на следующем графике.

Фигура 4,57 График области определения функции f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2.f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2.

L1L1 — это отрезок, соединяющий (0,0)(0,0) и (50,0),(50,0), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=t,y(t)= 0x(t)=t,y(t)=0 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Затем мы определяем g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t),y(t))=f(t,0)=48t+96(0)−y2−2(t)(0)−9(0)2=48t− t2.g(t)=f(x(t),y(t))=f(t,0)=48t+96(0)−y2−2(t)(0)−9(0)2= 48т−т2.

Установка g′(t)=0g′(t)=0 дает критическую точку t=24,t=24, которая соответствует точке (24,0)(24,0) в области f.f. Вычисление f(24,0)f(24,0) дает 576,576.

L2L2 — это отрезок, соединяющий и (50,25),(50,25), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=50,y(t)=tx(t)=50,y(t )=t для 0≤t≤25.0≤t≤25. Еще раз определяем g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t),y(t))=f(50,t)=48(50)+96t−502−2(50)t−9t2=−9t2−4t−100.g (t)=f(x(t),y(t))=f(50,t)=48(50)+96t−502−2(50)t−9t2=−9t2−4t−100.

Эта функция имеет критическую точку при t=−29,t=−29, что соответствует точке (50,−29). (50,−29). Эта точка не находится в области определения ф.ф.

L3L3 — это отрезок, соединяющий (0,25) и (50,25), (0,25) и (50,25), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=t,y(t) =25x(t)=t,y(t)=25 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Определим g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t),y(t))=f(t,25)=48t+96(25)−t2−2t(25)−9(252)=−t2−2t−3225 .g(t)=f(x(t),y(t))=f(t,25)=48t+96(25)−t2−2t(25)−9(252)=−t2−2t− 3225.

Эта функция имеет критическую точку при t=−1,t=−1, что соответствует точке (−1,25),(−1,25), которая не находится в области определения.

L4L4 — это отрезок, соединяющий (0,0) с (0,25), (0,0) с (0,25), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=0,y(t) =tx(t)=0,y(t)=t для 0≤t≤25,0≤t≤25. Определим g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t),y(t))=f(0,t)=48(0)+96t−(0)2−2(0)t−9t2=96t−t2.g(t)=f(x(t),y(t))=f(0,t)=48(0)+96t−(0)2−2(0)t−9t2=96t−t2.

Эта функция имеет критическую точку при t=163,t=163, что соответствует точке (0,163),(0,163), находящейся на границе области. Вычисление f(0,163)f(0,163) дает 256,256.

Нам также нужно найти значения f(x,y)f(x,y) в углах области его определения. Эти углы расположены в точках (0,0),(50,0),(50,25)и(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)и(0, 25):

f(0,0)=48(0)+96(0)−(0)2−2(0)(0)−9(0)2=0f(50,0)=48(50)+96( 0)−(50)2−2(50)(0)−9(0)2=−100f(50,25)=48(50)+96(25)−(50)2−2(50)( 25)−9(25)2=−5825f(0,25)=48(0)+96(25)−(0)2−2(0)(25)−9(25)2=−3225.f(0,0)=48(0)+96(0)−(0)2−2(0)(0)−9(0)2=0f(50,0)=48(50)+96( 0)−(50)2−2(50)(0)−9(0)2=−100f(50,25)=48(50)+96(25)−(50)2−2(50)( 25)−9(25)2=−5825f(0,25)=48(0)+96(25)−(0)2−2(0)(25)−9(25)2=−3225.

Максимальное критическое значение равно 648 648, что соответствует (21,3).(21,3). Следовательно, максимальная прибыль в размере 648 000 долларов США 648 000 долларов США достигается при продаже 21 000–21 000 мячей для гольфа и покупке 33 часов рекламы в месяц, как показано на следующем рисунке.

Фигура 4,58 Функция прибыли f(x,y)f(x,y) имеет максимум при (21,3,648).(21,3,648).

4.7 Прикладные задачи оптимизации – исчисление, том 1

Коробка с открытым верхом должна быть изготовлена ​​из куска картона размером 24 на 36 дюймов путем удаления квадрата из каждого угла коробки и складывания клапанов с каждой стороны. Квадрат какого размера нужно вырезать из каждого угла, чтобы получилась коробка максимального объема?

Решение

Шаг 1: Позвольте быть длиной стороны квадрата, который будет удален из каждого угла ((Рисунок)). Затем оставшиеся четыре клапана можно сложить, чтобы сформировать коробку с открытым верхом.Пусть — объем полученного ящика.

Рисунок 3. Квадрат со стороной в дюймах удаляется из каждого угла куска картона. Остальные клапаны складываются, образуя коробку с открытым верхом.

Шаг 2: Мы пытаемся максимально увеличить объем коробки. Поэтому задача состоит в том, чтобы максимизировать

Шаг 3: Как упоминалось в шаге 2, пытаемся максимально увеличить объем коробки. Объем коробки — это длина, ширина и высота соответственно.

Шаг 4: Из (Рисунок) мы видим, что высота коробки в дюймах, длина в дюймах и ширина в дюймах.Следовательно, объем ящика равен

.

Шаг 5: Чтобы определить область рассмотрения, давайте рассмотрим (Рисунок). Конечно, нам нужно. Кроме того, длина стороны квадрата не может быть больше или равна половине длины меньшей стороны, 24 дюйма; в противном случае один из лоскутов был бы полностью срезан. Поэтому мы пытаемся определить, существует ли максимальный объем ящика на открытом интервале. Поскольку это непрерывная функция на закрытом интервале, мы знаем, что она будет иметь абсолютный максимум на закрытом интервале.Поэтому мы рассматриваем на замкнутом интервале и проверяем, находится ли абсолютный максимум во внутренней точке.

Шаг 6: Поскольку функция является непрерывной на замкнутом ограниченном интервале, она должна иметь абсолютный максимум (и абсолютный минимум). Так как в конечных точках и для максимума должна произойти критическая точка. Производная

Чтобы найти критические точки, нам нужно решить уравнение

Разделив обе части этого уравнения на 12, задача упрощается до решения уравнения

.

Используя квадратичную формулу, мы находим, что критические точки равны

Поскольку это не входит в область рассмотрения, единственная критическая точка, которую нам нужно рассмотреть, это Следовательно, объем будет максимальным, если мы позволим. Максимальный объем показан на следующем графике.

Рисунок 4. Максимизация объема коробки приводит к нахождению максимального значения кубического многочлена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функции

Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций непосредственно следуют из соответствующих теорем о пределах.

Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного, кроме тех значений аргумента, у которых делитель равен нулю).

Теорема. Пусть функции u = φ ( x ) непрерывна в точке NS 0, а функция y = f ( u ) непрерывна в точке u 0 = φ ( НС 0). Тогда комплексная функция f ( φ ( x )), состоящее из непрерывных функций, непрерывно в точке x 0 .

Теорема. Если функция при = f ( NS ) непрерывна и строго монотонна на [ a ; b ] ось Ох , тогда обратная функция при = φ ( NS ) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [ c ; d ] ось OU (нет доказательства).

Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема (Вейерштрасса) … Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего максимального и минимального значения на этом отрезке.

Функция, изображенная на рисунке 5 at = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], принимает свое наибольшее значение M в точке х 1, а наименьшее м — в точке NS 2. Для всех NS [ a ; b ] неравенство m f ( x ) ≤ M .

Последствия. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (Больцано — Коши). Если функция at = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и принимает на своих концах неодинаковые значения f ( a ) = A и f ( b ) = = V , то на этом интервале она также принимает все промежуточные значения между А и В .

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6).

Для любого числа С , заключенного между А и V , существует точка с внутри этого отрезка такая, что f ( с ) = С … Прямая 6 в 6 С будет пересекаться график функции хотя бы в одной точке.

Последствия. Если функция at = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [ a ; b ] существует хотя бы одна точка с , в которой данная функция f ( x ) обращается в нуль: f ( с ) = 0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции проходит с одной стороны оси Ох в другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 7).

Рис. 7.

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т. е. в точке b непрерывна слева , это).

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

  • 1) Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке ограничена (первая теорема Вейерштрасса).
  • 2) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает наименьшего и наибольшего значений (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
  • 3) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка есть хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

Функция непрерывности точечного сегмента линии

Точки, в которых не выполняется условие непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Если есть точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Итак, функция, рассмотренная в примере 2 а), имеет в этой точке разрыв, так как в этой точке она не определена.

2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой:. Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но так как, а.

3) Функция определена в точке и ее окрестности, имеются односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке:. Например, функция. Вот точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные друг другу, но, т.е.

Точки останова функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке имеются конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина тогда называется скачком функции в точке.

Определение 6. Точкой называется точка устранимого разрыва функции, если в этой точке имеются конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция в этой точке не определена, или определена , но.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найдите точки останова следующих функций и определите их тип: а) б)

Раствор. а) Функция определена и непрерывна на отрезках, а, так как на каждом из этих отрезков она задается непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками излома данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свою аналитическую задачу, т.е.е. точки и. Найдите односторонние пределы функции в точке:

Поскольку односторонние пределы существуют и конечны, но не равны друг другу, точка является точкой излома первого рода. Функция перехода:

За точку находим.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ НА РАЗРЕЗЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Приведем эти свойства без доказательства.

Функция y = f(x) называется непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а также в его концах, т. е. в точках a и b , непрерывны справа и слева соответственно.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной точке – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то существует хотя бы одна точка x 1 Î [ a , b ] такое, что значение функции f(x) в этой точке будет наибольшим из всех её значений на данном отрезке: f(x 1) ≥ f(x) . .. Аналогично есть такая точка х 2 , в которой значение функции будет наименьшим из всех значений на отрезке: f(x 1) ≤ f(x) .

Понятно, что таких точек может быть несколько, например, на рисунке видно, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках х 2 и х 2″.

Комментарий … Утверждение теоремы может стать неверным, если рассматривать значение функции на отрезке ( a , b ).Действительно, если рассмотреть функцию у = х на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нем ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений при концы интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестает быть верной для разрывных функций. Привести пример.

Последствия. Если функция f (x) непрерывна на [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда существует хотя бы одна точка внутри отрезка x = C , где функция обращается в нуль: f (C) = 0, где a

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [ a , b ], лежат по разные стороны от оси Ох , то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох . .. Разрывные функции могут не обладать этим свойством.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточном значении). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и f (a) = A , f (b) = B . Тогда для любого число C заключено между A и B , внутри этого отрезка C Î [ a , b ] есть такая точка, что f(c) = C .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x) … Пусть f (a) = A , f (b) = B … Тогда любая прямая y = C , где C — любое число между A и B , будет пересекать график функции хотя бы в одной точке. Абсцисса точки пересечения будет той величиной x = C , при которой f (c) = C .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Последствия. Если функция y = f (x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она хотя бы один раз принимает любое значение между своим наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНЫЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ЕГО. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть у нас есть некоторая функция y = f (x), определенная на некотором интервале. Для каждого значения аргумента х из этого интервала функция у = f (х) имеет определенный смысл.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x 0 и новое x .

Разность x– x 0 вызывается приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается Δx … Таким образом, Δx = x — x 0 (приращение аргумента может быть как положительным или отрицательный). Из этого равенства следует, что x = x 0 + Δx , т.е. увеличено исходное значение переменной. Тогда, если в точке x 0 значение функции было f (x 0 ), , то в новой точке х функция примет значение f (x) = f (x 0 + Δx) .

Разница у — у 0 = f (x) — f (x 0 ) называется приращением функции y = f (x) в точке x 0 и обозначается символом Δy . Таким образом,

Δy = f (x) — f (x 0 ) = f (x 0 + Δx) — f (x 0 ) . (1)

Обычно исходное значение аргумента х 0 считается фиксированным, а новое значение х — переменным. Тогда y 0 = f (x 0 ) оказывается постоянным, а у = f(x) — переменным. Приращения Δy и Δx также будут переменными, и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx → 0. Если этот предел существует, то его называют производной этой функции f(x) в точке х 0 и обозначают f «( х 0). Итак,

Производная этой функции y = f(x) в точке х 0 есть предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ х при последнем произвольно стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в разных точках х может принимать разные значения, т.е.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x … Эта функция обозначается как f «( x )

Производная обозначается символами f «(x), y «,. Конкретное значение производной при x = a обозначается как f » ( a ) или y » | х = а .

Операция нахождения производной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Чтобы напрямую найти производную по определению, вы можете применить следующее эмпирическое правило :

Примеры.

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид с = v t , где с — путь, пройденный до момента времени t , v — скорость равномерного движения.

Однако, поскольку большинство движений, происходящих в природе, неравномерны, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние с будут зависеть от времени t , т.е.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется прямолинейно в одном направлении по закону s = s(t).

Заметим некоторый момент времени t 0. К этому моменту точка прошла путь s = s (t 0 ). Определить скорость v материальный момент времени t 0 .

Для этого рассмотрим другой момент времени t 0 + Δ т … Ему соответствует пройденный путь s = s (t 0 + Δ т ). Затем за интервал времени Δ t точка прошла путь Δs = s (t 0 + Δ т) с (т).

Рассмотрим отношение. Ее называют средней скоростью на интервале времени Δ t . Средняя скорость не может точно характеризовать скорость движения точки в момент t 0 (поскольку движение неравномерное).Чтобы более точно выразить эту истинную скорость через среднюю скорость, нужно взять более короткий интервал времени Δ t .

Итак, скорость движения в данный момент времени t 0 (мгновенная скорость) есть предел средней скорости в интервале от t 0 до t 0 + Δ t при Δ t →0:

,

т.е. неравномерная скорость это производная по времени от пройденного пути.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Сначала введем определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть у нас есть кривая и неподвижная точка на ней M 0 (см. рисунок) Рассмотрим другую точку M этой кривой и проведем секущую M 0 M … Если точка M начнет двигаться по кривой, а точка M 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки M 0 кривой к точке M 0 в любую сторону секущая стремится занять положение некоторой прямой M 0 T , то прямой M 0 T называемой касательной к кривая в данной точке M 0 .

Т., Касательная к кривой в данной точке М 0 называется предельным положением секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точке М 0 .

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f (x) и кривую, соответствующую этой функции. При некотором значении NS 0 функция принимает значение y 0 = f (x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0; y 0). Приведем аргумент x 0 приращение Δ NS … Новое значение аргумента соответствует приращенному значению функции y 0 +Δ y = f (x 0 –Δ x) … Получаем точку М (х 0 х ; у 0 + Δ у). Проведем секанс М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох … Составим отношение и заметим это.

Если теперь Δ х → 0, то в силу непрерывности функции Δ при → 0 и, следовательно, точка М , двигаясь по кривой, бесконечно приближается к точке М 0 … Тогда секанс M 0 M будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке M 0 , а угол φ → α при Δ x → 0, где α обозначает угол между касательной и положительное направление оси Ox … Так как функция tan φ непрерывно зависит от φ при φ ≠ π/2, то при φ → α tan φ → tan α и, следовательно, наклон касательной будет:

т.е. ф»(х) = тг α.

Таким образом, геометрически y»(x 0) представляет собой наклон касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при заданном значении аргумента x производная равна тангенс угла, образованного касательной к графику функции f (x) в соответствующей точке М 0 (x; y) при положительном направлении оси Ox.

Пример. Найдите наклон касательной к кривой y = x 2 в точке M (-1; 1).

Мы уже видели ранее, что ( x 2)» = 2 NS … Но наклон касательной к кривой равен tan α = y «| х = -1 = — 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИИРОВАННОЙ ФУНКЦИИ

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в некоторой точке x 0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ a ; b ] или интервал ( a ; b ), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [ a ; b ] или, соответственно, в интервале ( a ; b ).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y = f (x) дифференцируема в некоторой точке x 0 , то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство … Если , то

,

, где α — бесконечно малая величина, т. е. величина, стремящаяся к нулю при Δ x → 0. Но тогда

Δ y = f «( х 0 ) Δ х +αΔ х => Δ y → 0 при Δ х → 0, т.е.е. f (x) — f (x 0) → 0 при x x 0, а это означает, что функция f (x) непрерывна в точке x 0. К.Э.Д.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное неверно: существуют непрерывные функции, не дифференцируемые в некоторых точках (т. е. не имеющие в этих точках производной).

Рассмотрим точки на рисунке a, b, c.

В точке a при Δ х → 0 отношение не имеет предела (поскольку односторонние пределы различны для Δ х → 0–0 и Δ х → 0 + 0).В точке A график не имеет определенной касательной, но есть две разные односторонние касательные с наклонами К 1 и К 2. Эти типы точек называются угловыми.

В точке b при Δ x → 0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной. Функция имеет бесконечную производную. В этой точке на графике есть вертикальная касательная. Тип точки — это «точка перегиба» вертикальной касательной.

В точке c односторонними производными являются бесконечно большие количества различных знаков. В этой точке график имеет две объединенные вертикальные касательные. Тип — «куспид» с вертикальной касательной — частный случай угловой точки.

С практической точки зрения наиболее интересным является использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Что является причиной этого? Максимизация прибыли, минимизация затрат, определение оптимальной загрузки оборудования… Иными словами, во многих сферах жизни приходится решать задачу оптимизации любых параметров. А это задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значения функции обычно ищут в некотором интервале X, который является либо всей областью определения функции, либо частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком, открытым интервалом, бесконечным интервалом.

В этой статье мы поговорим о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y = f(x).

Навигация по страницам.

Самое высокое и самое низкое значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшее значение функции , при котором выполняется любое неравенство.

Наименьшим значением функции y = f(x) на интервале X называется такое значение, для которого верно неравенство.

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции является наибольшим (наименьшим) принятым значением в рассматриваемом интервале по оси абсцисс.

Стационарные точки Это значения аргумента, при которых производная функции обращается в нуль.

Зачем нужны стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в какой-либо точке, то эта точка стационарна. Таким образом, функция часто принимает наибольшее (наименьшее) значение на интервале X в одной из стационарных точек этого интервала.

Также функция часто может принимать наибольшее и наименьшее значение в точках, в которых первая производная этой функции не существует, а сама функция определена.

Давайте сразу ответим на один из самых частых вопросов по этой теме: «Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет не всегда. Иногда границы интервала X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен.А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие, так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. Посмотрите на картинки и многое станет понятно.

На участке


На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, расположенных внутри отрезка [-6; 6].

Рассмотрим случай, показанный на втором рисунке. Измените сегмент на. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке 3 граничные точки отрезка [-3; 2] — абсциссы точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значениям функции.

На открытом интервале


На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, расположенных в пределах открытого интервала (-6; 6).

На интервале нельзя делать выводы о наибольшем значении.

На бесконечность


В примере, показанном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y) в стационарной точке с абсциссой x = 1, а наименьшее значение (min y) достигается на правой границе интервала. При минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y = 3.

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения.При стремлении к х = 2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая х = 2 — вертикальная асимптота), а при стремлении абсцисс к плюс бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y = 3. Графическая иллюстрация этого примера показана на рисунке 8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Напишем алгоритм, позволяющий найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

  1. Найдите домен функции и проверьте, содержит ли он весь сегмент.
  2. Находим все точки, в которых не существует первой производной и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встречаются в функциях с аргументом под знаком модуля и в степенных функциях с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
  3. Определить все стационарные точки, попадающие в отрезок. Для этого приравниваем его к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
  4. Вычисляем значения функции в выбранных стационарных точках (если есть), в точках, где первая производная не существует (если есть), а также при x = a и x = b.
  5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  • на отрезке;
  • на отрезке [-4; -1].

Раствор.

Область определения функции — это все множество действительных чисел, за исключением нуля, т. е. Оба сегмента попадают в область определения.

Найдите производную функции по отношению к:

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4; -1].

Стационарные точки определяются из уравнения. Единственным допустимым корнем является x = 2. Эта стационарная точка попадает в первый сегмент.

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть для x = 1, x = 2 и x = 4:

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x = 1, а наименьшее — при x = 2.

Для второго случая вычисляем значения функции только на концах отрезка [-4; -1] (поскольку не содержит ни одной стационарной точки):

Раствор.

Начнем с области действия функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен равняться нулю:

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:

Очевидно, производная существует по всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в нуль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3; 1] и (-3; 2).

А теперь можно сравнить результаты, полученные в каждой точке, с графиком функции. Асимптоты отмечены синими пунктирными линиями.

Здесь вы можете найти наибольшее и наименьшее значения функции. Алгоритмы, рассмотренные в этой статье, позволяют получить результат при минимуме действий. Однако иногда полезно сначала определить интервалы возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале.Это дает более ясную картину и сильное обоснование результатов.

Непрерывность функции на сегменте.

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривается ее непрерывность на различных интервалах.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на отрезке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на отрезке непрерывна справа в точке, т. е. и непрерывна слева в точке, т. е. .

Комментарий. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество непрерывных на отрезке [a, b] функций обозначается символом C [a, b].

Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т. е. существует число C > 0 такое, что «x Î [a, b] выполняется неравенство | f (x) |≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасса).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке она достигает своего максимального значения M и наименьшего значения m , то есть существуют точки α, β 0 [a, b] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x 0 [a, b] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max x Oh [a, b] f (x), а наименьшее значение m обозначается символом min x Oh [a, b] f (x).
Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает ненулевые значения разных знаков на концах отрезка, то на отрезке (a, b) имеется хотя бы одна точка ξ при что f (ξ) = 0,
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось ОХ (рис.3).

Комментарий. Эта теорема основана на методе приближенного решения уравнения
, называемом методом бисекции (дихотомии) или методом деления пополам.

Теорема 4 (Больцано – Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).
Существование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b].Тогда на отрезке [α, β] (α = f (a), β = f (b)) существует обратная функция x = g (y), которая также строго монотонна и непрерывна на отрезке (α, β ).

5.6 — Линейное программирование

5.6 — Линейное программирование

В бизнесе часто желательно найти такие уровни производства, которые приносят максимальную прибыль или минимальные затраты. Производственный процесс может часто описываются набором линейных неравенств, называемых ограничениями. То Функция прибыли или затрат, которую необходимо максимизировать или минимизировать, называется целью функция.Процесс нахождения оптимальных уровней с помощью системы линейных неравенства называется линейным программированием (в отличие от нелинейного программирования).

Определения

Целевая функция
Линейная функция (знак равенства), представляющая стоимость, прибыль или какую-либо другую количество, которое должно быть максимизировано или минимизировано с учетом ограничений.
Ограничения
Система линейных неравенств.
Ограничения задачи
Линейные неравенства, полученные из приложения. Например, машина может использоваться только 40 часов в неделю, поэтому общее время его использования должно быть <= 40. Ограничения проблемы обычно указано в задаче рассказа.
Ограничения неотрицательности
Линейные неравенства x>=0 и y>=0. Они включены, потому что x и y обычно представляют собой количество произведенных изделий, и вы не можете произвести отрицательное количество предметов, наименьшее количество предметов, которое вы можете произвести равен нулю.Они (обычно) не оговариваются, они подразумеваются.
Возможная область
Решение системы линейных неравенств. То есть множество все точки, удовлетворяющие всем ограничениям. Только точки в допустимых регион можно использовать.
Угловая точка
Вершина допустимой области. Не каждое пересечение линий является углом точка. Угловые точки встречаются только в вершинах допустимой области. Если будет найдено оптимальное решение задачи линейного программирования, это произойдет в одной или нескольких угловых точках или на отрезке между две угловые точки.
Ограниченная область
Допустимая область, которую можно заключить в круг. Ограниченная область будет имеют максимальное и минимальное значения.
Неограниченная область
Допустимая область, которую нельзя заключить в круг.

Основная теорема линейного программирования

Вспомним, что почти в каждой области математики есть своя фундаментальная теорема.

Вот некоторые из фундаментальных теорем или принципов, которые встречаются в вашей текст.

Основная теорема арифметики (стр. 8)
Каждое целое число больше единицы либо простое, либо может быть представлено в виде уникальное произведение простых чисел.
Основная теорема алгебры (стр. 264)
Каждый многочлен от одной переменной степени n > 0 имеет хотя бы один действительный или комплексный ноль.
Основной принцип счета (стр. 543)
Если есть m способов сделать одно и n способов сделать другое, то есть m*n способов сделать и то, и другое.

Основная теорема линейного программирования

Если есть решение задачи линейного программирования, то оно произойдет в угловой точке или на отрезке между двумя угловыми точками.

Фундаментальная теорема линейного программирования очень поможет. Вместо тестируя все бесконечное количество точек в допустимой области, вы только нужно проверить угловые точки. Какая угловая точка дает наибольшее значение поскольку целевая функция является максимальной, и любая угловая точка дает наименьшее значение целевой функции является минимальным.

Решение задачи линейного программирования

Если проблема не в истории, перейдите к шагу 3.

  1. Определите переменные. Обычно хорошим выбором для определения является количество, которое они просили вас найти в задаче.
  2. Напишите задачу, определив целевую функцию и систему линейные неравенства. Не забывайте об ограничениях неотрицательности, где необходимый.
  3. Нарисуйте систему линейных неравенств, чтобы получить допустимую область.
  4. Определите каждую угловую точку допустимой области. Вы можете найти угол точек, составив систему линейных уравнений 2×2 из двух линий, которые пересекаются в этой точке и решают эту систему.
  5. Оцените целевую функцию в каждой угловой точке.
  6. Выберите точку, дающую наибольшее значение или наименьшее значение в зависимости от от того, является ли задача задачей максимизации или минимизации.

Будьте осторожны при ответе.Ответ должен давать не только максимальный или минимальное значение (значение целевой функции), но также должно указать место, где находится этот экстремум. Пример: максимальное значение 9, когда х=2 и у=3. Если это сюжетная задача, то дайте ответ в терминах исходных определений x и y.

Геометрический Подход

Если наклон целевой функции отрицательный и вы берете линию с этот наклон, проходящий через начало координат, и переместите его вправо через возможной области, последняя угловая точка, затронутая этой движущейся линией, будет максимальное значение.

В показанном примере последняя линия с наклоном m=-4/3, которая касается область касается в угловой точке (6,3).

Поскольку z=4(6)+3(3)=24+9=33, максимальное значение равно 33, когда x=6 и y=3.

Алгебраический подход

Теперь проверим решение негеометрически. Поскольку мы знаем оптимальное решение должно произойти в одной или нескольких угловых точках, мы составляем таблицу со списком всех угловых точек и оценить целевую функцию в этих точках.

Угловая точка х и г = 4х + 3у
А 0 0 0
Б 0 4 12
С 4 5 31
Д 6 3 33
Е 5 0 20

Как видите, угловая точка с максимальным значением находится в точке (6,3).

Мы также можем определить минимальное значение из этой таблицы. Подходящий ответ, предполагая, что проблема запросила как максимум, так и минимум …

Минимальное значение равно 0, если x=0 и y=0.
Максимальное значение равно 33, если x=6 и y=3.

Ваше руководство по сегментации рынка (обновлено в 2022 г.)

Что такое сегментация рынка?

По своей сути, сегментация рынка — это практика разделения вашего целевого рынка на доступные группы .Сегментация рынка создает подмножества рынка на основе демографических данных, потребностей, приоритетов, общих интересов и других психографических или поведенческих критериев, используемых для лучшего понимания целевой аудитории.

Понимая свои рыночные сегменты, вы можете использовать этот таргетинг в стратегиях продуктов, продаж и маркетинга . Сегменты рынка могут стимулировать циклы разработки вашего продукта, информируя о том, как вы создаете предложения продуктов для различных сегментов, таких как мужчины или женщины или люди с высоким доходом или люди с низким доходом. низкий уровень дохода.

Преимущества сегментации рынка

Компании, правильно сегментирующие свой рынок, получают значительные преимущества. Согласно исследованию Bain & Company, 81% руководителей считают, что сегментация имеет решающее значение для роста прибыли. Бэйн также обнаружил, что организации с отличной стратегией сегментации рынка получали прибыль на 10% выше, чем компании, чья сегментация не была столь эффективной в течение 5-летнего периода.

Другие преимущества:

  1. Более сильные маркетинговые сообщения : Вам больше не нужно быть общим и расплывчатым — вы можете напрямую обращаться к определенной группе людей так, как они могут быть связаны, потому что вы понимаете их характеристики, желания и потребности.
  2. Целевая цифровая реклама : сегментация рынка помогает вам понять и определить характеристики вашей аудитории, чтобы вы могли направить свои маркетинговые усилия на определенный возраст, местоположение, покупательские привычки, интересы и т. д.
  3. Разработка эффективных маркетинговых стратегий : Знание вашей целевой аудитории дает вам преимущество в том, какие методы, тактики и решения они будут наиболее восприимчивы.
  4. Более высокая скорость отклика и более низкие затраты на привлечение : Это будет результатом создания ваших маркетинговых коммуникаций как в рекламных сообщениях, так и в расширенном таргетинге на цифровых платформах, таких как Facebook и Google, с использованием вашей сегментации.
  5. Привлечение нужных клиентов : Сегментация рынка помогает создавать целенаправленные, четкие и прямые сообщения, которые привлекают людей, которых вы хотите купить у вас.
  6. Повышение лояльности к бренду : когда клиенты чувствуют, что их понимают, хорошо обслуживают и им доверяют, они с большей вероятностью будут придерживаться вашего бренда.
  7. Отличие вашего бренда от конкурентов : Более конкретные личные сообщения выделяют ваш бренд.
  8. Определение нишевых рынков : сегментация может выявить не только недостаточно обслуживаемые рынки, но и новые способы обслуживания существующих рынков – возможности, которые можно использовать для развития вашего бренда.
  9. Следите за сообщением : Поскольку сегментация настолько линейна, что легко придерживаться своих маркетинговых стратегий и не отвлекаться на менее эффективные области.
  10. Стимулирование роста : Вы можете побудить клиентов покупать у вас снова или отказаться от более дешевого продукта или услуги.
  11. Увеличение прибыли : Разные клиенты имеют разные располагаемые доходы; цены могут быть установлены в зависимости от того, сколько они готовы потратить.Знание этого может гарантировать, что вы не переоцените (или не подведете) себя.
  12. Разработка продукта : Вы сможете проектировать с учетом потребностей ваших клиентов и разрабатывать различные продукты, которые удовлетворят различные потребности вашей клиентской базы.

Такие компании, как American Express, Mercedes Benz и Best Buy, использовали стратегии сегментации для увеличения продаж, создания более качественных продуктов и лучшего взаимодействия со своими потенциальными клиентами и клиентами.

Станьте профессионалом в области сегментации рынка, загрузив эту электронную книгу

Основы сегментации

Понимание сегментации начинается с изучения различных способов сегментации рынка.Существует четыре основных категории сегментации, показанные ниже.

 

Демографический
(B2C)
Фирмографический
(B2B)
Психографический
(B2B/B2C)
Поведенческий
(B2B/B2C)
Определение Классификация на основе индивидуальных признаков Классификация на основе атрибутов компании или организации Классификация на основе взглядов, стремлений, ценностей и других критериев Классификация на основе поведения, такого как использование продукта, отставание в технологиях и т.  д.
Примеры География Пол Уровень образования Уровень дохода Отрасль Расположение Количество сотрудников Доход Образ жизни Черты личности Ценности Мнения Коэффициент использования Типы преимуществ Случай Решение о покупке
Критерии принятия решения У вас небольшой бизнес или вы запускаете свой первый проект У вас небольшой бизнес или вы запускаете свой первый проект Вы хотите ориентироваться на клиентов на основе ценностей или образа жизни Вы хотите настроить таргетинг на клиентов на основе покупательского поведения
Сложность Проще Проще Более продвинутый Более продвинутый

Типы сегментации рынка

С помощью сегментации и таргетинга вы хотите понять, как ваш рынок отреагирует на данную ситуацию, например, при покупке ваших продуктов. Во многих случаях в исследование может быть включена прогностическая модель, чтобы вы могли группировать людей в определенные сегменты на основе конкретных ответов на вопросы опроса.

Демографическая сегментация

Демографическая сегментация сортирует рынок по таким элементам, как возраст, образование, доход, размер семьи, раса, пол, профессия и национальность. Демографический — одна из самых простых и наиболее часто используемых форм сегментации, потому что продукты и услуги, которые мы покупаем, как мы их используем и сколько мы готовы потратить на них, чаще всего основаны на демографических факторах.

Географическая сегментация

Географическая сегментация может быть подмножеством демографической сегментации, хотя она также может быть отдельным типом сегментации. Он создает различные целевые группы клиентов на основе географических границ. Поскольку у потенциальных клиентов есть потребности, предпочтения и интересы, которые различаются в зависимости от их географического положения, понимание климата и географических регионов групп клиентов может помочь определить, где продавать и рекламировать, а также где расширять свой бизнес.

Фирмографическая сегментация

Фирмографическая сегментация аналогична демографической сегментации, за исключением того, что демографическая характеристика касается отдельных лиц, а фирмографическая — организации. Фирмографическая сегментация будет учитывать такие вещи, как размер компании, количество сотрудников, и продемонстрирует, чем обращение с малым бизнесом будет отличаться от обращения с корпоративной корпорацией.

Поведенческая сегментация

Поведенческая сегментация делит рынки по поведению и моделям принятия решений, таким как покупка, потребление, образ жизни и использование.Например, молодые покупатели могут склоняться к покупке гелей для душа в бутылках, в то время как более старшие группы потребителей могут склоняться к кусковому мылу. Сегментирование рынков на основе покупательского поведения позволяет маркетологам разработать более целенаправленный подход, потому что вы можете сосредоточиться на том, что вы знаете о них, и, следовательно, с большей вероятностью купят.

Психографическая сегментация

Психографическая сегментация рассматривает психологические аспекты поведения потребителей путем разделения рынков по образу жизни, личностным чертам, ценностям, мнениям и интересам потребителей.Крупные рынки, такие как рынок фитнеса, используют психографическую сегментацию, когда сортируют своих клиентов по категориям людей, которые заботятся о здоровом образе жизни и физических упражнениях.

Узнайте, как улучшить дизайн продукта и увеличить прибыль с помощью сегментации клиентов

Как начать работу с сегментацией

Существует пять основных шагов сегментации:

  1. Определите свой рынок : Есть ли потребность в ваших продуктах и ​​услугах? Рынок большой или маленький? Какое место ваш бренд занимает на текущем рынке?
  2. Сегментируйте свой рынок : Решите, какой из пяти критериев (демографический/фирмографический, психографический, географический или поведенческий) вы хотите использовать для сегментации своего рынка. Вам не нужно придерживаться только одного — на самом деле, большинство брендов используют комбинацию — поэтому поэкспериментируйте с каждым и найдите то, что работает лучше всего.
  3. Понять свой рынок : Вы делаете это, проводя предварительные исследования, фокус-группы, опросы и т. д. Задавайте вопросы, относящиеся к выбранным вами сегментам, и используйте комбинацию количественных (отмечаемые/выбираемые поля) и качественных (открытые -заканчивается для ответов открытым текстом) вопросы.
  4. Создайте свои потребительские сегменты : проанализируйте результаты вашего исследования, чтобы выделить, какие потребительские сегменты наиболее релевантны вашему бренду.
  5. Проверьте свою маркетинговую стратегию : После того, как вы интерпретировали свои ответы, проверьте свои выводы на целевом рынке, используя отслеживание конверсий, чтобы убедиться, насколько оно эффективно. И продолжайте тестирование. Если понимание разочаровывает, пересмотрите свои сегменты или методы исследования.

Стратегия сегментации рынка

Почему сегментацию рынка следует считать стратегией? Стратегия — это продуманный план, который приведет вас из точки А в точку Б эффективным и полезным способом.Сегментация рынка аналогична, так как иногда вам нужно будет пересмотреть свои сегменты рынка, например:

  • Во времена быстрых перемен: Отличным примером является то, как пандемия Covid-19 заставила многие предприятия переосмыслить то, как они продают клиентам. Предприятия с физическими магазинами рассматривали возможность онлайн-заказа, в то время как владельцы ресторанов рассматривали возможность самовывоза.

Если ваши клиенты меняются, ваша сегментация рынка также должна меняться, чтобы вы могли четко понимать, что нужно вашим новым клиентам и чего они хотят от вас.

  • Ежегодно: Сегменты рынка могут меняться из года в год, поскольку на клиентов влияют внешние факторы, которые могут изменить их поведение и реакцию.

Например, стихийные бедствия, вызванные глобальным потеплением, могут повлиять на решение семьи остаться жить в районе, подверженном большему количеству таких явлений. В более широком масштабе, если ваш целевой клиентский сегмент перемещается из одного из ваших регионов продаж, вы можете подумать о переориентации своей деятельности по продажам на более густонаселенные районы.

  • Периодически в течение года: Если вы исследовали свой рынок и создали рыночные сегменты весной, одни и те же рыночные сегменты могут иметь разные характеристики в разное время года.

Например, у зимы есть несколько праздников, а Рождество оказывает огромное влияние на семьи. Этот праздник повлияет на покупательские привычки ваших рыночных сегментов, на то, как они будут себя вести (тратят больше, чем обычно, в это время, чем в любое другое) и куда они также поедут (вернутся домой на праздники).Знание этой информации может помочь вам спрогнозировать этот период и подготовиться к нему.

При рассмотрении вопроса об обновлении вашей стратегии сегментации рынка рассмотрите следующие три области:

  1. Признать, что изменилось: Выяснить, что произошло между одним периодом времени и другим, и что послужило движущей силой этого изменения. Поняв причины, по которым ваш рынок отличается от других, вы сможете принять ключевые решения о том, хотите ли вы изменить свой подход или остаться прежним.
  2. Не ждите, чтобы начать планирование: Предприятия всегда адаптируются к долгосрочным тенденциям, поэтому новое исследование сегментации рынка дает вам возможность активно реагировать на эти изменения. Когда у вас есть свои рыночные сегменты, хорошей идеей будет рассмотреть долгосрочные сложности или риски, связанные с каждым сегментом, и заранее запланировать некоторое время для обсуждения решения проблем, если они возникнут.
  3. Перейти от чего к почему : Почему возникли эти движущие силы? Почему существуют риски с вашим целевым рынком? В Qualtrics мы сотрудничаем с компаниями, чтобы понять различные аспекты целевых рынков, которые способствуют или замедляют успех. У вас будут внутренние данные, чтобы понять, что происходит; мы помогаем понять, почему с помощью передовых методов моделирования. Это поможет вам получить интеллектуальную сегментацию рынка, которая является прогнозируемой и действенной, что упрощает будущие исследования и долгосрочную отчетность по сегментам.

Для получения дополнительной информации о том, как Qualtrics помогает брендам осваивать сегментацию рынка от начала до конца, посетите нашу Службу исследования сегментации.

Примеры использования сегментации рынка

Где вы можете использовать сегментацию рынка в своем бизнесе? Мы собрали несколько сценариев использования, чтобы помочь вам понять, как можно построить сегментацию рынка по нескольким отделам и видам деятельности:

Оценка рынка и возможностей

Когда ваша компания хочет выйти на новый рынок или ищет возможности для роста, сегментация рынка может помочь вам понять потенциал продаж.Это может помочь в разбивке вашего исследования, сопоставляя ваши результаты с группами вашей целевой аудитории.

Например, когда вы определили угрозы и возможности на новом рынке, вы можете применить свои знания о клиентском сегменте к информации, чтобы понять, как целевые клиенты могут реагировать на новые идеи, продукты или услуги.

Сегментация и таргетинг

Если весь ваш рынок разделен на разные сегменты клиентов, то вы определили их по заданным критериям, таким как демографические данные, потребности, приоритеты, общие интересы или предпочтения в поведении.

С помощью этой информации вы можете ориентировать свои продукты и услуги на эти сегменты рынка, создавая маркетинговые сообщения и материалы, которые будут соответствовать критериям сегмента.

Исследование потребностей клиентов

Когда вы много знаете о своих клиентах, вы можете понять, в чем ваш бизнес хорошо взаимодействует с ними, а где можно улучшить.

Сегментация рынка может помочь в исследовании потребностей клиентов (также известном как исследование привычек и практик) для предоставления информации о потребностях клиентов, предпочтениях и использовании продуктов или услуг. Это поможет вам определить и понять пробелы в ваших предложениях, которые можно запланировать для разработки или последующих действий.

Проверенные результаты : Откройте для себя пять проверенных методов, которые улучшат ваши бизнес-исследования.

Разработка продукта

Если продукт или услуга, которые вы разработали, не решают проблему вашей целевой аудитории или бесполезны, то этот продукт будет трудно продать. Когда вы знаете, что волнует каждый из ваших сегментов рынка и как они живут, вам будет легче понять, какие продукты обогатят или улучшат их повседневную жизнь.

Используйте сегментацию рынка, чтобы четко понять своих клиентов, чтобы вы могли сэкономить время и деньги, разрабатывая продукты и услуги, которые ваши клиенты захотят приобрести.

Оптимизация кампании

Команды по маркетингу и контенту оценят наличие подробной информации по каждому сегменту, поскольку это позволяет им персонализировать свои кампании и стратегии в масштабе. Это может привести к изменениям в сообщениях, которые, как они знают, будут лучше связаны с аудиторией, что сделает результаты их кампании более эффективными.

Если кампании сочетаются с сильными призывами к действию, маркетинговые кампании станут мощным инструментом, который направит ваши целевые сегменты рынка к вашим каналам продаж.

Обеспечение эффективных сегментов

После того, как вы определили свои сегменты, вы хотите убедиться, что они будут полезны. Хороший анализ сегментации должен пройти следующие тесты:

  • Измеримый : Измеримый означает, что ваши переменные сегментации напрямую связаны с покупкой продукта.Вы должны быть в состоянии рассчитать или оценить, сколько ваш сегмент потратит на ваш продукт. Например, одним из ваших сегментов могут быть те, кто с большей вероятностью будет делать покупки во время акции или распродажи.
  • Доступный : Понимание ваших клиентов и возможность связаться с ними — две разные вещи. Характеристики и поведение ваших сегментов должны помочь вам определить наилучший способ их удовлетворения. Например, вы можете обнаружить, что ключевой сегмент невосприимчив к технологиям и полагается на газетные или радиообъявления, чтобы узнать о рекламных акциях в магазине, в то время как другой сегмент лучше всего охвачен. в вашем мобильном приложении.Одним из ваших сегментов может быть мужчина-пенсионер, который реже использует мобильное приложение или читает электронную почту, но хорошо реагирует на печатную рекламу.
  • Существенный : Сегмент рынка должен иметь возможность покупать. Например, если вы являетесь розничным продавцом высокого класса, посетители вашего магазина могут захотеть купить ваши товары, но на самом деле не могут себе их позволить. Убедитесь, что определенный сегмент не просто заинтересован в вас, но и может ожидать от вас покупки. товаров и успешных предпринимателей, которые хотят похвастаться своим богатством.
  • Actionable : Сегмент рынка должен давать дифференциальную реакцию на рыночное предложение. Это означает, что каждый из ваших сегментов должен отличаться друг от друга и быть уникальным. Допустим, ваша сегментация показывает, что люди, которые любят своих питомцев, и люди, которые заботятся об окружающей среде, имеют одинаковые покупательские привычки. Вместо того, чтобы иметь два отдельных сегмента, вам следует подумать о том, чтобы сгруппировать их вместе в одном сегменте.

Сегментация рынка не является точной наукой.По мере прохождения процесса вы можете понять, что сегментирование на основе поведения не дает вам действенных сегментов, а поведение дает. Вы захотите повторить свои выводы, чтобы убедиться, что вы нашли то, что лучше всего подходит для нужд вашего маркетинга, продаж и продуктовых организаций.

Как сегодня вы можете оправдать ожидания ваших клиентов?

Распространенные ошибки сегментации

Мы описали правил , так что вот некоторые из правил :

  • Не делайте свои сегменты слишком маленькими или специализированными : Маленькие сегменты могут быть не поддающимися количественной оценке или точными, и могут отвлекать, а не быть полезными
  • Не сосредотачивайтесь только на сегменте, а не на деньгах : Ваша стратегия может определить большой сегмент, но если он не обладает покупательной способностью и не хочет или не нуждается в вашем продукте, он не принесет возврата инвестиций
  • Не будьте негибкими : Клиенты и обстоятельства меняются, поэтому не позволяйте своим сегментам слишком укореняться — будьте готовы позволить им развиваться.

Решения Qualtrics для сегментации рынка

Сегментация рынка не должна быть сложной, чтобы быть эффективной. Тем не менее, мы бы посоветовали автоматизировать с самого начала . Забудьте о электронных таблицах — выберите программное обеспечение для сегментации рынка, чтобы измерять и оптимизировать свою маркетинговую стратегию; по мере вашего роста технология будет масштабироваться вместе с вами.

Инновационные функции, такие как XM Directory, позволяют создавать собственные клиентские сегменты и приступать к масштабной персонализации взаимодействия на основе богатой информации о критически важных группах клиентов.

Если вы хотите получить представление о сегментации вашего рынка заранее, прежде чем сделать шаг к оптимизированной и интегрированной системе, доверьте нам провести исследование с помощью нашей службы исследования сегментации рынка.

Вы получаете тот же уровень знаний и рекомендаций, что и помощь сотням брендов в процессе сегментации рынка, а также наши советы и практические рекомендации в конце, которые помогут вам двигаться вперед. Узнайте больше здесь.

А пока ознакомьтесь с нашей бесплатной электронной книгой с рекомендациями : Как увеличить прибыль с помощью сегментации клиентов .

В нем мы раскрываем больше:

  • Управление сегментацией рынка для получения ценной информации
  • Использование сегментации для поддержки роста бизнеса
  • Создание эффективной стратегии сегментации

Поиск резких изменений в сигнале

Точка изменения представляет собой выборку или момент времени в при котором некоторые статистические свойства сигнала резко меняются. Рассматриваемое имущество может быть средним значением сигнала, его дисперсией или спектральной характеристикой среди другие.

Чтобы найти точку изменения сигнала, findchangepts использует параметрический глобальный метод. Функция:

  1. Выбирает точку и делит сигнал на две части.

  2. Вычисляет эмпирическую оценку желаемого статистического свойства для каждого раздел.

  3. В каждой точке секции измеряет, насколько свойство отклоняется от эмпирическая оценка.Добавляет отклонения для всех точек.

  4. Суммирует отклонения от раздела к разделу, чтобы найти общий остаток ошибка.

  5. Изменяет положение точки деления до полной остаточной ошибки достигает минимума.

Процедура наиболее ясна, когда выбранная статистика является средним значением. В этом случае, findchangepts минимизирует общую остаточную ошибку от «лучшего» горизонтальный уровень для каждой секции.Учитывая сигнал x 1 , x 2 , …, x N , а среднее значение подпоследовательности и дисперсия

где сумма квадратов

findchangepts находит k таких, что

самый маленький. Этот результат можно обобщить, включив в него другие статистика. findchangepts находит k таких, что

наименьший, учитывая эмпирическую оценку раздела х и измерение отклонения Δ.

Минимизация остаточной ошибки эквивалентна максимизации логарифмической вероятности. Учитывая нормальное распределение со средним значением μ и дисперсией σ 2 , логарифмическая вероятность для N независимых наблюдений равно

  • Если "Статистика" указано как "среднее" , дисперсия фиксирована, и функция использует

    , полученный ранее.

  • Если «Статистика» указано как «Стандарт» , среднее значение фиксировано, и функция использует

  • Если «Статистика» указано как «среднеквадратичное значение» , общее отклонение такое же, как для 'std' , но с среднее значение равно нулю:

  • Если 'Статистика' указано как 'линейный' , функция использует в качестве общего отклонения сумму квадраты разностей между значениями сигналов и предсказаниями линейная аппроксимация значений методом наименьших квадратов. Эта величина также известна как сумма ошибок квадратов или SSE . Наиболее подходящая линия через x м , x м +1 , …, x n равно

    и SSE

Интересующие сигналы часто имеют более одной точки изменения. Обобщение процедуры несложно, когда известно количество точек изменения.Когда номер неизвестен, вы должны добавить штрафной член к остаточной ошибке, так как добавление точек изменения всегда уменьшает остаточную ошибку и приводит к переоснащению. В крайнем случае каждый точка становится точкой изменения, и остаточная ошибка исчезает. findchangepts использует штрафной член, который линейно растет с количество точек смены. Если нужно найти K точек изменения, то функция минимизирует

, где k 0 и k K — соответственно первая и последняя выборка сигнала.

  • Константа пропорциональности, обозначенная β и заданная в 'MinThreshold' , соответствует фиксированному штрафу, добавленному для каждую точку смены. findchangepts отклоняет добавление дополнительных точки изменения, если уменьшение остаточной ошибки не достигает порога. Набор 'MinThreshold' на ноль, чтобы вернуть все возможные изменения.

  • Если вы не знаете, какой порог использовать или имеете приблизительное представление о числе точек изменения в сигнале, укажите 'MaxNumChanges' вместо. Эта опция постепенно увеличивает порог, пока функция не найдет меньше изменений, чем указанное значение.

Для выполнения самой минимизации findchangepts использует исчерпывающий алгоритм, основанный на динамическом программировании с ранним отказом.

Максимальный размер сегмента — обзор

СОЕДИНЕНИЯ И ТРЕХСТОРОННЕЕ РУКОВОДСТВО

TCP устанавливает сквозные соединения через ненадежную службу IP-пакетов с максимальной эффективностью, используя специальную последовательность из трех сегментов TCP, отправляемых от клиента к серверу. и обратно вызывается трехстороннее рукопожатие . Почему три пути? Поскольку пакеты, содержащие TCP-сегмент, который просит сервер принять другое соединение, и ответ сервера могут быть потеряны в сети IP-маршрутизатора, в результате чего хосты не будут уверены в том, что именно происходит.

После обмена тремя сегментами передача данных может происходить от хоста к хосту в любом направлении. Соединения могут быть разорваны любым хостом с помощью простого обмена сегментами (всего четыре), хотя другой хост может отложить разрыв до тех пор, пока не будут отправлены окончательные данные, что редко используется.

TCP использует уникальную терминологию для процесса подключения. Один бит, называемый битом SYN (синхронизация), используется для указания запроса на соединение. Этот единственный бит по-прежнему встроен в полный 20-байтовый (обычно) заголовок TCP, а другая информация, такая как начальный порядковый номер (ISN), используемый для отслеживания сегментов, отправляется другому хосту.Соединения и сегменты данных подтверждаются битом ACK, а запрос на завершение соединения выполняется с помощью бита FIN (конечный).

Вся процедура соединения TCP, от трехэтапного рукопожатия до передачи данных и отключения, показана на рис. 11.3. TCP также допускает случай, когда два хоста выполняют активное открытие одновременно, но это маловероятно.

РИСУНОК 11.3. Взаимодействие клиент-сервер с TCP, показывающее три этапа подключения: настройку, передачу данных и освобождение (отключение).

В этом примере показана передача небольшого файла на сервер (сервер отправляет 1000 байтов обратно клиенту) с использованием 1000-байтовых сегментов, но только для того, чтобы упростить отслеживание порядковых номеров и подтверждений. Весь файл меньше, чем окно получения хоста сервера, и ничего не происходит (но в реальном мире часто что-то идет не так).

Обратите внимание, что для отправки хотя бы одного обмена парой запрос-ответ внутри сегментов TCP должен сгенерировать семь дополнительных пакетов.Это большие накладные расходы на пакеты, и весь процесс просто медленный по каналам с высокой задержкой (задержкой). Это одна из причин, по которой UDP становится все более популярным, поскольку сами сети становятся более надежными.

Установление соединения

Давайте более подробно рассмотрим трехстороннее рукопожатие при обычном установлении TCP-соединения. Эти три сообщения устанавливают три важных элемента информации, которые должны быть известны обеим сторонам соединения.

1.

ISN для исходящих данных (для предотвращения хакеров они не должны быть предсказуемы).

2.

Буферное пространство (окно), доступное локально для данных, в байтах.

3.

Максимальный размер сегмента (MSS) — это параметр TCP, который устанавливает самый большой сегмент, который может принять локальный хост. MSS обычно представляет собой размер MTU канала за вычетом 40 байт заголовков TCP и IP, но многие реализации используют сегменты по 512 или 536 байт (максимум , а не требование).

Сервер выполняет пассивное открытие и ожидает активного открытия SYN клиента, который в данном случае имеет ISN 2000, окно 5840 байт и MSS 1460 (обычно, потому что большинство хостов находятся в локальных сетях Ethernet).Окно почти всегда кратно MSS (1460 × 4 = 5840 байт). Сервер отвечает SYN и объявляет соединение открытым, устанавливая свой собственный ISN на 4000 и «подтверждая» порядковый номер 2001 (на самом деле это означает, что «следующий байт, который я получаю от вас в сегменте, должен иметь номер 2001»). Сервер также установил окно размером 8760 байт и MSS 1460 (1460 × 6 = 8760 байт).

Наконец, клиент объявляет соединение открытым и возвращает ACK (сегмент с битом ACK, установленным в заголовке) с ожидаемым порядковым номером (2001) и полем подтверждения, установленным на 4001 (что ожидает сервер).Порядковые номера TCP подсчитывают каждый байт в потоке данных, а 32-битное поле последовательности позволяет выдавать более 4 миллиардов байтов (тем не менее, высокоскоростные транспорты, такие как Gigabit Ethernet, слишком быстро прокручивают это поле для удобства, поэтому особенное « для этих скоростей канала доступны механизмы масштабирования).

Трехстороннее рукопожатие TCP выполняет две важные функции. Это гарантирует, что обе стороны знают, что они готовы к передаче данных, а также позволяет обеим сторонам согласовать начальные порядковые номера, которые отправляются и подтверждаются (чтобы в них не было ошибки) во время рукопожатия.Почему начальные порядковые номера так важны? Если порядковые номера не рандомизированы и не установлены должным образом, злоумышленники могут перехватить сеанс TCP (который может быть надежным соединением с банком, магазином или какой-либо другой коммерческой организацией).

Каждое устройство выбирает случайный начальный порядковый номер, чтобы начать подсчет каждого байта в отправленном потоке. Как два устройства могут согласовать оба значения порядкового номера примерно в трех сообщениях? Каждый сегмент содержит отдельное поле порядкового номера и поле подтверждения.На рис. 11.3 клиент выбирает начальный порядковый номер (ISN) в первом SYN, отправляемом на сервер. Сервер подтверждает ISN, добавляя единицу к предложенному ISN (ACK всегда информируют отправителя об ожидаемых следующих байтах) и отправляя его в SYN, отправляемом клиенту, чтобы предложить свой собственный ISN. ISN клиента может быть отклонен, если, например, номер тот же, что и для предыдущего подключения, но здесь это не рассматривается. Обычно ACK от клиента одновременно подтверждает ISN от сервера (с ISN сервера + 1 в поле подтверждения), и соединение устанавливается с обеими сторонами, согласующими ISN.Обратите внимание, что при трехстороннем рукопожатии никакая информация не отправляется; его следует удерживать, пока соединение не будет установлено.

Это трехэтапное рукопожатие является универсальным механизмом открытия TCP-соединения. Как ни странно, RFC не настаивает на том, чтобы соединения начинались таким образом, особенно в отношении установки других управляющих битов в заголовке TCP (в дополнение к SYN, ACK и FIN есть еще три). Поскольку протокол TCP действительно предполагает, что некоторые управляющие биты будут использоваться во время установления и разрыва соединения, а другие — только во время передачи данных, хакеры могут причинить большой ущерб, просто возясь с дикими комбинациями шести управляющих битов, особенно SYN/ACK/FIN. который запрашивает, использует и освобождает соединение одновременно.Например, подделка SYN в окне существующего SYN приведет к сбросу. По этой причине разработчики стали более строго интерпретировать RFC 793.

Передача данных

В транзакции TCP разрешена отправка данных в сегменте SYN, но это нетипично. Любые включенные данные принимаются, но не обрабатываются до тех пор, пока не завершится трехэтапное рукопожатие. Данные SYN используются для измерения времени приема-передачи (важная часть управления потоком TCP) и для обнаружения вторжений в сеть (NID) для уклонения и атак с внедрением (важная часть хакерского арсенала).

Самый простой сценарий переноса — это тот, в котором ничего не происходит (что, к счастью, случается довольно часто). На рис. 11.4 показано, как взаимодействие между порядковыми номерами TCP (которые позволяют TCP правильно упорядочивать сегменты, выходящие из сети в неправильном порядке) и подтверждениями позволяют обеим сторонам обнаруживать отсутствующие сегменты.

РИСУНОК 11.4. Как TCP обрабатывает потерянные сегменты. Ключевым моментом здесь является то, что, хотя клиент может продолжать отправлять данные, сервер не будет подтверждать их все до тех пор, пока не обнаружится отсутствующий сегмент.

Клиенту не нужно получать ACK для каждого сегмента. Пока установленное окно приема не заполнено, отправитель может продолжать отправку. Один ACK покрывает всю последовательность сегментов, если номер ACK правильный.

В идеале, ACK для полного окна приема данных будет поступать отправителю сразу после заполнения окна, позволяя отправителю продолжать отправку с постоянной скоростью. Это время требует некоторого знания времени приема-передачи (RTT) до хоста-партнера и некоторой корректировки скорости отправки сегментов на основе RTT.К счастью, оба эти механизма доступны в реализациях TCP.

Что происходит, когда сегмент «потерян» в базовой сети IP-маршрутизатора «максимального усилия»? Возможны два сценария, оба показаны на рис. 11.4.

В первом случае 1000-байтовый сегмент данных от клиента к серверу не доходит до сервера. Почему? Возможно, сеть перегружена, и перегруженные маршрутизаторы отбрасывают пакеты. Сети общего пользования, такие как ретрансляция кадров и ATM (асинхронный режим передачи), при определенных условиях регулярно отбрасывают свои кадры и ячейки, что приводит к потере пакетов, составляющих полезную нагрузку этих блоков данных.

Если сегмент потерян, отправитель не получит ACK от хоста-получателя. По истечении периода ожидания, который периодически корректируется, отправитель повторно отправляет последний неподтвержденный сегмент. Затем получатель может отправить один ACK для всей последовательности, охватывая полученные сегменты, кроме отсутствующего.

Но что, если сеть , а не перегружена, а потерянный пакет вызван простым периодическим сбоем соединения между двумя маршрутизаторами? Сегодня большинство сетевых ошибок вызвано неисправными соединителями, которые демонстрируют определенные периодически повторяющиеся отказы, которые постоянно ухудшаются, пока не станут постоянными.До тех пор симптомом являются спорадические потерянные пакеты по каналу со случайными интервалами. (Предсказуемые интервалы — это сигнатура какого-то внешнего агента на работе.)

Ожидание — просто пустая трата времени, если сеть не перегружена, а потерянный пакет был результатом кратковременного «сбоя» сети. Таким образом, узлам TCP разрешено выполнять «быстрое восстановление» с дублированием ACK, что также показано на рис. 11.4.

Сервер не может подтвердить полученные сегменты 11 001 и последующие, поскольку ему препятствует отсутствующий сегмент 10 001.(ACK говорит, что все байты данных до ACK были получены.) Таким образом, каждый раз, когда приходит сегмент, выходящий за пределы потерянного сегмента, хост только подтверждает отсутствующий сегмент. По сути, это говорит другому хосту: «Я все еще жду недостающий сегмент 8001». После получения нескольких из них (обычное число равно трем) другой хост выясняет, что отсутствующий сегмент потерян, а не просто задерживается, и повторно отправляет отсутствующий сегмент. Затем хост (в данном случае сервер) будет подтверждать все полученные данные.

Отправитель по-прежнему будет временно снижать скорость отправки сегмента, но только в том случае, если отсутствующий сегмент был вызван перегрузкой сети.

Закрытие соединения

Любая сторона может закрыть соединение TCP, но обычно сервер сам решает, когда остановиться. Сервер обычно знает, когда передача файла завершена или когда пользователь набрал logout, и берет его оттуда. Если у клиента еще нет данных для отправки (не редкость для приложений, использующих постоянные соединения), хосты обмениваются еще четырьмя сегментами, чтобы разорвать соединение.

В этом примере сервер отправляет сегмент с установленным битом FIN (final), порядковым номером (независимо от того, каким должно быть увеличенное значение) и подтверждает последние данные, полученные сервером. Клиент отвечает подтверждением FIN и соответствующими порядковыми номерами и номерами подтверждения (данные не были отправлены, поэтому порядковый номер не увеличивается).

TCP разрывает соединение и отправляет на сервер собственный FIN с теми же порядковыми номерами и номерами подтверждения. Сервер отправляет ACK на FIN и увеличивает поле подтверждения, но не порядковый номер.Связь не работает.

Но не совсем. Природа IP-сети с «наилучшими усилиями» означает, что задержанных дубликатов могут в любой момент выйти из маршрутизатора и появиться на любом хосте. Конечно, маршрутизаторы делают это не просто для того, чтобы насолить. Как правило, маршрутизатор, который зависает или имеет неисправную связь, сам находит пакеты в буфере (который является просто памятью) и, пытаясь быть полезным, отправляет их. Иногда ту же проблему вызывают петли маршрутизации.

В любом случае поздние дубликаты должны быть обнаружены и удалены (это одна из причин, по которой пространство ISN имеет ширину 32 бита — около 4 миллиардов).Предполагается, что время ожидания в два раза больше, чем может потребоваться пакету, чтобы его TTL стал равным нулю, но на практике оно установлено на 4 минуты (что делает время прохождения пакета через Интернет равным 2 минутам, что является невероятно высоким значением). сегодня даже для маршрутизаторов Cisco, которые любят отправлять пакеты с TTL, установленным на 255).

Время ожидания может достигать 30 минут, в зависимости от реализации TCP/IP, и сбрасывается, если из сети появляется задержанный FIN. Поскольку сервер не может принимать другие соединения от этого клиента, пока не истечет время ожидания, это часто приводило к «параличу сервера» на ранних веб-сайтах.

Сегодня многие реализации TCP используют резкое закрытие , чтобы избежать требования времени ожидания.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск