Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
• или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке 

, то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и

.

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  — множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

 

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2.

3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].

1. ОДЗ функции  

2. 

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].

1.  ОДЗ функции :

2. 

3.

, 

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:

Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Найти наибольшее значение функции как найти по графику

а -сторона квдрата. а — 2 — ширина прямоугольника. а + 1 — длина прямоугольника. Площадь прямоугольника. Sпр = (а — 2)(а + 1). Площадь квадрата. Sкв = а?. Sкв — Sпр = 10. а? — (а — 2)(а + 1) = 10. а? — а? + 2а — а + 2 = 10. а + 2 = 10. а = 8. Sпр = (8 — 2)(8 + 1)= 6·9 = 54. Ответ: площадь прямоугольника равна 54см?.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования. Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На первом рисунке функция принимает наибольшее ( max y ) и наименьшее ( min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6] . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее ( max y ) и наименьшее ( min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение. Этот пример изображен на рисунке №5.

На рисунке №6 наименьшее значение функции достигается в правой границе интервала (-3;2] , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение ( max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение ( min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b] .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b] . Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b] . Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут ис

poiskvstavropole.ru

Решаем задачи B14 из ЕГЭ

Автор Сергей Валерьевич

Воскресенье, 18 декабря, 2011

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x³ – 18x² + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

• Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
• Производная функции равна: y’ = 3x² – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
• Нули производной: y’ = 3x² – 36x + 81 = 0, значит x² – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x³ – 18x² + 81x + 23 = x(x-9)²+23:
  •  y(8) = 8 · (8-9)²+23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9)²+23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9)²+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
• Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
• Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:
.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

• Область определения функции задается неравенством:
  , которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
• Производная функции равна:
  ,
  область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x² – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
• Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
• Находим это значение:
  .

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

Репетитор по математике
Сергей Валерьевич

yourtutor.info

Как найти наибольшее значение функции по графику. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего зн

severnyetravy.ru

В15 ЕГЭ по математике. Исследование функции

 
Продолжение (начало здесь).
 
 
В заданиях №12  ЕГЭ по математике Вам предстоит производить элементарное исследование функции. Вы должны уметь находить точки экстремумов, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций.
 
 

 Задание 1.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Решение: + показать

Задание 2.

Най­ди­те точку минимума функ­ции .

Решение: + показать

Задание 3.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

 Решение: + показать

Знаки производной распределяются следующим образом на образовавшихся промежутках:

Вообще говоря, мы работаем на отрезке , поведение функции  на нем следующее:

Наименьшее значение функции в данном случае* совпадает с минимумом функции (в точке ).

Ответ: 60.

Задание 4.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Тогда точка – точка максимума функции.

Ответ: 16. 

Задание 5.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Решение: + показать

Нам предстоит находить производную от произведения:

или

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка минимума – .

Ответ: 3. 

Задание 6.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на  отрезке .

Решение: + показать

Задание 7.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке

Решение: + показать

На отрезке  мы увидим  следующие знаки производной, и, соответственно,  следующее поведение функции:

Наибольшее значение функции на отрезке совпадает с максимумом функции в точке :

Ответ: 27. 

Задание 8.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке

Решение: + показать

Задание 9.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке

Решение: + показать

Задание 10.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке  .

Решение: + показать

Задание 11.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции  при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

Решение: + показать

Задание 12.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции  на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка 

2) ,  

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка 

2) ,  

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

 

Переменка! Отдохните… + показать

 

Вы можете пройти тест №2 по Задачам №12.

 

egemaximum.ru

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

\(15x^4-60x^2=0\)      \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\)       \(x^2-4=0\)
               \(x=±2\)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Ответ. \(-2\).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

cos-cos.ru

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке — на концах отрезка.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим — в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее — в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота

.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 9. Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть ,

, (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок «Производная»

function-x.ru