Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.
В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — .
В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения — .
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла — табличные. Идём к решению:
Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид
.
В таком уравнении и — функции только переменной x, а и — функции только переменной y.
Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим
.
Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.
Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными
.
Почленно интегрируем:
,
откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем
или ,
поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:
.
Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.
Так как , то перепишем данное уравнение в виде
.
Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем
.
Почленно интегрируем:
Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,
.
Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:
.
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим
.
Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.
Пусть , .
Тогда , .
Находим общее решение уравнения:
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим
или
.
Записываем производную y в виде и получаем
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
, которое почленно интегрируя:
,
находим общее решение уравнения:.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде и получим
.
Разделяем «игреки» и «иксы»:
.
Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:
.
Теперь по свойству логарифма имеем
.
Находим общее решение уравнения:
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим
или
.
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
которое почленно интегрируя:
находим общее решение уравнения:
.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
Примеры решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.
Примеры решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.
Пример 1.
Найти общее решение уравнения
(2x+1)y»+(4x-2)y’-8y=0, x≠-1/2
Попробуем найти частное решение в виде y1(x)=eax.
Найдем «а». Для этого y1(x)=eax подставим в уравнение.
Итак, y1(x)=e-2x является частным решением.
Для того чтобы найти лбщее решение, воспользуемся формулой Острогадского — Лиувилля
Здесь p(x)=(4x-2)/(2x+1)
Вычислим интегал
Итак,
или
e-2xy’+2-2xy=Ce-2x(2x+1)2
Делим на y12(x),
При вычислении интеграла 2 раза воспользовались формулой интегрирования по частям
y(x)=(C/2)(4x2+1)+C1e-2x — общее решение исходного уравнения.
Пример 2.
Найти общее решение уравнения
(1-x2)y»-2xy’+2y=0 на (1;1).
Попробуем найти частное решение y1(x) в виде алгебраического многочлена. Для этого подставим y1(x)=xn+a1xn-1+…+an
Выписываем только члены с самой старшей степенью «х». Приравнивая к нулю коэффициент при старшей степени «х», определим степень многочлен
-n(n-1)+2n+2=0,
n2-3n+2=0 n=1; n=2
частным решением будет и y1=x+a
Возьмем за y1(x)=x+a. Чтобы найти «a», опять подставим y1=x+a в исходное уравнение
-2x+2x+2a=0
a=0
Итак, y1=x является частным решением.
Для нахождения общего решения воспользуемся формулой Острогадского — Лиувилля
(Интеграл разбили на два
и во втором интеграле воспользовались тем, что
Пример 3
Найти общее решение уравнения
x2y»-xy’-3y=0 x>0 если известно что
y1(x)=1/x — частное решение
Проверим, что y1(x)=1/x — частное решение. Для этого подставим y1(x)=1/x в уравнение y1‘(x)=-1/x2 , y»=2/x3
Вариант № 14 | Контрольные работы по математике и другим предметам!
Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
, (1) – уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируя обе части уравнения, получим:
Общее решение уравнения (1):
Задача 2.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Найдем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Интегрируя обе части уравнения, получим:
Общее решение уравнения
Подставляем в полученное решение начальное условие:
Значит, искомое частное решение:
Задача 3. Решить дифференциальное уравнение (1)
; Применим подстановку
Тогда:
Интегрируя, получим общий интеграл уравнения
В результате общий интеграл уравнения имеет вид:
Подставляя значение , получим общий интеграл уравнения (1):
Задача 4. Решить дифференциальное уравнение (1)
Составим определитель
Положим , гдеОпределяются из системы уравнений:
Положим в уравнении (1) ; Получим:
Применим подстановку
Тогда:
Интегрируя обе части уравнения, получим:
Учитывая, что , получим общий интеграл уравнения (1):
Задача 5.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка
(1)
Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка
Общее решение этого уравнения:
Применим метод вариации постоянных:
Дифференцируем Y По X:
Подставляем полученные значения в уравнение (1):
Следовательно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка:
Подставляем в полученное решение начальное условие:
Значит, искомое частное решение:
Задача 6. Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Ищем общее решение уравнения Бернулли: (1)
Применим подстановку
Подставляем в уравнение (1): (2)
Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка:
Общее решение этого уравнения:
Применим метод вариации постоянных: ; Дифференцируем Z По X:
Подставляем полученные значения в уравнение (2):
Значит:
Следовательно, общее решение уравнения Бернулли (1):
Подставляем в полученное решение начальное условие:
Значит, искомое частное решение:
Задача 7. Найти общий интеграл Дифференциального уравнения
Так как , значит, мы имеем уравнение в полных дифференциалах
Находим
Общий интеграл Дифференциального уравнения
Задача 8. Определить тип дифференциального уравнения, найти общее решение и построить интегральную кривую, проходящую через точку .
— дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка
Следовательно, общим решением является семейство кривых:
Из условий в точке М найдем:
Отсюда искомая интегральная кривая:
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение (1) – явно не содержит Y.
Полагая , имеем , тогда уравнение (1) принимает вид:
.
Общее решение уравнения (1):
Задача 10. Найти решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям.
Ищем общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка: — явно не содержит х.
Положим , тогда уравнение преобразуется к виду:
— дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Ищем общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
Из условий и Имеем:
Значит:
Из условия имеем
Значит, имеем частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям:
Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)
— линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение:
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции
общее решение уравнения (1) имеет вид: .
Задача 12. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
(1)
Характеристическое уравнение:
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции
общее решение уравнения (1) имеет вид: .
Продифференцируем
Из указанных условий имеем:
Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)
— линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение:
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;
где — общее решение однородного уравнения, а функция — частное решение неоднородного уравнения.
Так как степень правой части не совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
Подставляем частное решение в уравнение (1) и находим неопределенные коэффициенты:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)
— линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение:
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Применим принцип наложения решений (суперпозиции).
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;
где — общее решение однородного уравнения, а функции — частные решения следующих уравнений: ; ;
Причём частные решения ищем в виде: ;
Подставляем поочередно частные решения в соответствующие уравнения и находим неопределенные коэффициенты:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 15. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.
Найдем решение линейного неоднородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами (1)
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение:
Следовательно, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
РЕшение линейного неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных: , а неизвестные функции определяем из системы уравнений:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Продифференцируем полученное решение
Из указанных условий имеем:
Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:
Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)
— линейное неоднородное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)
Ищем решение линейного однородного уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение:
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Частное решение Ищем в виде: ;
Подставляем в неоднородное уравнение (1):
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 17. Найти общее решение уравнения Эйлера: (1)
Введем новую независимую переменную .
Положим , тогда
Подставим в уравнение (1) и получим
— линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)
— линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Применим принцип наложения решений (суперпозиции).
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;
где — общее решение однородного уравнения, а функции — частные решения следующих уравнений: ; ;
Причём частные решения ищем в виде: ;
Подставляем поочередно частные решения в соответствующие уравнения и находим неопределенные коэффициенты:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения:
Значит, Общее решение уравнения Эйлера (1):
Задача 18. Решить систему дифференциальных уравнений
(1)
Вычитая первое уравнение из второго, получим:
Применим подстановку:
Тогда, полученное выражение запишется в виде:
Подставим полученное выражение в систему:
Продифференцируем первое уравнение:
Выразив из второго уравнения , получим:
— уравнение Эйлера
Положим , тогда
Подставим в уравнение и получим
— линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Значит, Общее решение уравнения Эйлера:
Из первого уравнения получим:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [wiki.eduVdom.com]
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными
Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:
$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$
Примеры
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}’-y=1$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2. Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}’=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ (задача Коши)
Решение.{3} $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 7. $$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$
Решение:
Пример 8.
Решение дифференциального уравнения:
subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 — ¶
Примеры на метод вариации произвольной постоянной.
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.
В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?
1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.
2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).
Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.
Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)
Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.
Пример 1
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Приведем уравнение к виду :
Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Общее решение вспомогательного уравнения:
В неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в исходное неоднородное уравнение :
Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:
Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:
Теперь вспоминаем проведённую замену:
Ответ: общее решение:
И один пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Выполним подстановку:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.
Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.
Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.
Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.
Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Где – пока ещё неизвестные функции.
Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.
В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.
Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:
Найдем производные:
С левыми частями разобрались. Что справа?
– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:
Коэффициент – это коэффициент при второй производной:
На практике почти всегда , и наш пример не исключение.
Всё прояснилось, теперь можно составить систему:
Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.
Найдем главный определитель системы:
Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)
Итак: , значит, система имеет единственное решение.
Находим производную:
Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:
Разбираемся со второй функцией:
Здесь добавляем «нормальную» константу
На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:
Нужные функции только что найдены!
Осталось выполнить подстановку и записать ответ:
Ответ: общее решение:
В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.
Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных
Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.
Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.
Рассмотрим два примера с задачей Коши .
Пример 6
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
,
Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.
Составим систему:
В данном случае:
,
Находим производные:
,
Таким образом:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Восстанавливаем функцию интегрированием:
Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .
Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:
Такой интеграл решается методом замены переменной :
Из самой замены выражаем:
Таким образом:
Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :
Обе функции найдены:
В результате, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .
Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:
Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :
Подставим найденные значения констант в общее решение:
В ответе логарифмы можно немного запаковать.
Ответ: частное решение:
Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!
Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Решить задачу Коши
,
Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),
В результате общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .
Подставим найденные значения констант в общее решение:
Ответ: частное решение:
Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида
где
- искомая функция аргумента,
а функции
заданы и непрерывны на некотором
интервале
.
Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),
Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).
Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).
Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области
есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.
где
- частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений
однородного уравнения (2.32), а
-
произвольные постоянные.
Доказательство этой теоремы Вы найдете в .
На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .
Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение
(2.35)
где
коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.
Обозначим
через
и
фундаментальную систему решений
однородного уравнения
(2.36)
Тогда его общее решение имеет вид
(2.37)
где и- произвольные постоянные.
Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.
где
и
- некоторые дифференцируемые функции
от,
которые пока неизвестны и которые
попытаемся определить так, чтобы функция
(2.38) была бы решением неоднородного
уравнения (2.35). Дифференцируя обе части
равенства (2.38), получим
Чтобы
при вычислении
не появились производные второго порядка
от
и
,
потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие
Тогда для будем иметь
Вычислим вторую производную
Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим
Выражения,
стоящие в квадратных скобках, равны
нулю всюду в
,
так каки- частные решения уравнения (2.36). При
этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39),
получим систему уравнений для определения
и
(2.43)
Последняя
система представляет собой систему
двух алгебраических линейных неоднородных
уравнений относительно
и
.
Определителем этой системы является
определитель Вронского для фундаментальной
системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду
в
.
Это означает, что система (2.43) имеет
единственное решение. Решив ее любым
способом относительно
,
найдем
где
и
- известные функции.
Выполняя
интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару
функций, положим постоянные интегрирования
равными нулю. Получим
Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде
Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.
Пример
2.6 . Решить
уравнение
при
если функции
образуют фундаментальную систему
решений соответствующего однородного
уравнения.
Найдем
частное решение данного уравнения. Для
этого в согласии с методом Лагранжа
следует сначала решить систему (2.43),
которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений
наполучим
Вычитая
почленно из второго уравнения первое,
найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая
постоянные интегрирования равными
нулю, будем иметь
Частное решение данного уравнения можно представить в виде
Общее решение данного уравнения имеет при этом вид
где и- произвольные постоянные.
Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.
Теорема
2.7. Если на
промежутке
функция
- частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения
Теоретический минимумВ теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория - если вывести за скобки доказательства утверждений - минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант - в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения "констант".
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно решение.В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида
алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.Примеры.
Пример 1. Линейные неоднородные уравнения первого порядка .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются - это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.Вот здесь уже - действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.Пример 2. Уравнение Бернулли .
Действуем аналогично первому примеру - решаем уравнение
методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .Пример 3. Линейные неоднородные уравнения высших порядков .
Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист
Лекция 44. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. (специальная правая часть).
Социальные преобразования. Государство и церковь.
Социальная политика большевиков во многом диктовалась их классовым подходом. Декретом от 10 ноября 1917 г. уничтожена сословная система, отменены дореволюционные чины, титулы и награды. Установлена выборность судей; проведена секуляризация гражданских состояний. Установлено бесплатное образование и медицинское обслуживание (декрет от 31 октября 1918 г.). Женщины уравнивались в правах с мужчинами (декреты от 16 и 18 декабря 1917 г.). Декрет о браке вводил институт гражданского брака.
Декретом СНК от 20 января 1918 года церковь отделена от государства и от системы образования. Большая часть церковного имущества конфискована. Патриарх Московский и всея Руси Тихон (избран 5 ноября 1917 года) 19 января 1918 года предал анафеме Советскую власть и призвал к борьбе против большевиков.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка
Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:
Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения
(2)
Доказательство . Нужно доказать, что сумма
есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1).
Подставляя сумму в уравнение (1) вместо у , будем иметь
Так как есть решение уравнение (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) . Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем второе утверждение: выражение (3) есть общее решение уравнения (1). Мы должны доказать, что входящие в это выражение произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
(5)
каковы бы ни были числа х 0 , y 0 и (лишь бы х 0 было взято из той области, где функции а 1 , а 2 и f(x) непрерывны).
Заметив, что можно представить в форме . Тогда на основании условий (5) будем иметь
Решим эту систему и определим С 1 и С 2 . Перепишем систему в виде:
(6)
Заметим, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций у 1 и у 2 в точке х=х 0 . Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно система (6) имеет определенное решение С 1 и С 2 , т.е. существуют такие значения С 1 и С 2 , при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Что и требовалось доказать.
Перейдем к общему методу нахождения частных решений неоднородного уравнения.
Напишем общее решение однородного уравнения (2)
. (7)
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая С 1 и С 2 как некоторые пока неизвестные функции от х.
Продифференцируем равенство (7):
Подберем искомые функции С 1 и С 2 так, чтобы выполнялось равенство
. (8)
Если учесть это дополнительное условие, то первая производная примет вид
.
Дифференцируя теперь это выражение, найдем :
Подставляя в уравнение (1), получим
Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как y 1 и y 2 – решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид
. (9)
Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции С 1 и С 2 удовлетворяют уравнениям (8) и (9). Составим систему уравнений из уравнений (8) и (9).
Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему, мы найдем как определенные функции от х .
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.
Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.
Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.
Шаг 1. Решение однородного уравнения
Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь - произвольные постоянные; - n
линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями
На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x
:
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .
Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.
Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n
порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы
и произведения
:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от ,
а затем - члены с производными от :
.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .
Тем же способом находим вторую производную:
.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций ,
к нулю.
Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .
Находим n
-ю производную:
(6.n)
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .
В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x
.
Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x
постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.
Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).
Примеры
Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).
10. Дифференциальные уравнения. Высшая математика
10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши
10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.
Общий вид ,
где n - порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.
Примеры:
Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример:
- дифференциальное уравнение в дифференциалах.
или
- общий интеграл.
Задача Коши. Начальные условия: и
Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.
10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
– уравнение, разрешенное относительно производной.
Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).
Пусть непрерывна в открытой области Д и .
Открытая область – это область без своей границы.
– существует и непрерывна в Д, гладкая по .
Пусть
Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.
УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).
- УРП, если .
- разделение переменных
- общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример:
Однородное уравнение 1-ого порядка.
- называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.
- однородная функция n-ого измерения если
(0-е измерение)
(2-ого порядка)
(неоднородная)
Введем новую функцию:
Уравнение примет вид:
- уравнение с разделяющимися переменными
Пример:
Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение
Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и - произвольные функции от .
- линейное уравнение без правой части.
Два метода решения линейных уравнений:
- Метод Бернулли
- Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
-
- Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций
Выберем так, чтобы .
- Метод Лагранжа:
- уравнение без правой части.
(2)
- удовлетворяет уравнению (2).
Пример:
1)
2)
10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
(****), и - константы – неоднородное или с правой частью.
(***) - однородное или без правой части.
- общее решение уравнения (****), где - общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и - произвольные постоянные, а и - линейно независимые решения (***).
- какое-либо частное решение уравнение (****).
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.
Будем искать и в виде .
Подставим в уравнение (***).
- характеристическое уравнение для уравнения (***).
Случай 1)
и - действительные различные корни.
Случай 2)
, где - корень уравнения кратности 2.
Подставим в уравнение (***).
, так как - это корень.
Случай 3) , где -мнимая единица .
Подставим в уравнение (***).
- линейно независимые, следовательно:
Пример:
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.
- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.
а)
,где А - неопределенный коэффициент.
Пример:
б)
Общий случай
- характеристическое уравнение.
а) Если не корень характеристического уравнения:
б) Если корень характеристического уравнения кратности
|
1 |
2 |
2 |
0 |
||
|
1 |
2 |
0 |
-1 |
||
|
1 |
2 |
1 |
-1 |
||
|
1 |
2 |
0 |
i |
||
|
1 |
2 |
1 |
i |
||
|
1 |
2 |
0 |
1 |
||
|
1 |
2 |
2 |
1 |
||
|
1 |
2 |
0 |
1+i |
||
|
0 |
1 |
2 |
0 |
||
|
2 |
2 |
0 |
2 |
||
|
2 |
2 |
1 |
2 |
||
|
i |
-i |
0 |
i |
||
|
2+i |
2-i |
0 |
2 |
||
|
2+i |
2-i |
0 |
2+i |
Теорема. Если , то , где отвечает за
, а отвечает за . - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .
Общая классификация дифференциальных уравнений
Руководство по решению дифференциальных уравненийВ нашем мире все меняется, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.
Примеры из реального мира, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловую поток, планетарное движение, экономические системы и многое другое!
Решение
Дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.
Пример: рост населения
Это короткое уравнение говорит, что популяция "N" увеличивается (в любой момент) по мере того, как скорость роста умножается на численность населения в этот момент:
dN dt = rN
Но и так не очень-то полезно.
Нам нужно решить это!
Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y), удовлетворяющий уравнению, и тогда его можно успешно использовать.
Пример: продолжение
В нашем примере решено с помощью этого уравнения:
Н (т) = Н 0 e rt
Что там написано? Давайте воспользуемся этим, чтобы увидеть:
При т в месяцах, численности населения, которое начинается с 1000 ( N 0 ) и темпах роста 10% в месяц ( r ), мы получаем:
- N (1 месяц) = 1000e 0.1x1 = 1105
- N (6 месяцев) = 1000e 0,1x6 = 1822
- и т. Д.
Не существует волшебного способа решить всех дифференциальных уравнений.
Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли разные методы (возможно, длинные и сложные!) Решения или типов дифференциальных уравнений.
Итак, возьмем посмотрите на несколько различных типов дифференциальных уравнений и способы их решения:
Разделение переменных
Разделение переменных может использоваться, когда:
- Все члены y (включая dy) могут быть перемещены в одну сторону уравнения и
- Все члены x (включая dx) на другую сторону.
Если это так, мы можем интегрировать и упростить, чтобы получить решение.
Линейное письмо первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка относятся к этому типу:
dy dx + P (x) y = Q (x)
Где P (x) и Q (x) - функции от x.Это «первый порядок», когда имеется только dy dx (не d 2 y dx 2 или d 3 y dx 3 и др.)
Примечание: нелинейное дифференциальное уравнение часто трудно решить, но иногда мы можем аппроксимировать его линейным дифференциальным уравнением найти более простое решение.
Однородные уравнения
Уравнение Бернулли
Уравнения Бернулла имеют следующий общий вид:
dy dx + P (x) y = Q (x) y n
, где n - любое вещественное число, но не 0 или 1
- При n = 0 уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение.
- При n = 1 уравнение можно решить, используя разделение Переменные.
Для других значений n мы можем решить его, подставив u = y 1 − n и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решив его).
Уравнение второго порядка
второго порядка (однородные) относятся к типу:
d 2 y dx + P (x) dy dx + Q (x) y = 0
Обратите внимание, что существует вторая производная d 2 y dx 2
общее уравнение второго порядка выглядит так
a (x) d 2 y dx 2 + b (x) dy dx + c (x) y = Q (x)
Среди этих уравнения.
Они классифицируются как однородные (Q (x) = 0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.
Для неоднородных уравнений общее решение представляет собой сумму:
- раствор соответствующего однородного уравнение и
- частное решение неоднородное уравнение
Неопределенные коэффициенты
Неопределенный Метод коэффициентов работает для неоднородного уравнения вида:
d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)
, где f (x) - полином , экспонента, синус, косинус или линейная комбинация этих .(Более общую версию см. В разделе «Изменение параметров» ниже)
Этот метод также включает в себя предположение !Изменение параметров
Вариант of Parameters немного сложнее, но работает с более широким набором функций, чем предыдущий Undetermined Коэффициенты .
Точные уравнения и интегрирующие множители
Точные уравнения и интегрирующие множители можно использовать для такого дифференциального уравнения первого порядка:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
, который должен иметь некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:
∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0
Наша задача - найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.Сравнение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУ)
Все методы до сих пор известны как обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Термин обыкновенный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.
Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.
Они называются дифференциальными уравнениями в частных производных (PDE), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.
Как найти решения дифференциальных уравнений
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Дифференциальные уравнения - Определения
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-1: Определения
Дифференциальное уравнение
Первое определение, которое мы должны рассмотреть, должно быть определением дифференциального уравнения .Дифференциальное уравнение - это любое уравнение, которое содержит производные, обыкновенные производные или частные производные.
Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, - это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \ (m \) движется с ускорением \ (a \) и на него действует сила \ (F \), то нам говорит Второй закон Ньютона. 2}}} = F \ left ({t, u, \ frac {{du}} {{dt }}} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]
Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2 \ partial t}} = 1 + \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ label {eq: eq10} \ end {уравнение} \]
Заказать
Порядок дифференциального уравнения - это наибольшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) - это дифференциальное уравнение первого порядка, \ (\ eqref {eq: eq4} \), \ (\ eqref {eq: eq5} \), \ ( \ eqref {eq: eq6} \), \ (\ eqref {eq: eq8} \) и \ (\ eqref {eq: eq9} \) - дифференциальные уравнения второго порядка, \ (\ eqref {eq: eq10} \ ) - дифференциальное уравнение третьего порядка, а \ (\ eqref {eq: eq7} \) - дифференциальное уравнение четвертого порядка.
Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли у вас обыкновенные или частные производные в дифференциальном уравнении.
В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ode, , если в нем есть обыкновенные производные.Аналогично, дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных , , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) - \ (\ eqref {eq: eq7} \) - это оды, а \ (\ eqref {eq: eq8} \) - \ (\ eqref {eq: eq10} \) являются PDE.
Подавляющее большинство этих заметок относится к одам. y} \).
Коэффициенты \ ({a_0} \ left (t \ right), \, \, \ ldots \, \ ,, {a_n} \ left (t \ right) \) и \ (g \ left (t \ right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \ (y \ left (t \ right) \) и ее производные используются при определении, является ли дифференциальное уравнение линейным.
Если дифференциальное уравнение не может быть записано в форме \ (\ eqref {eq: eq11} \), оно называется нелинейным дифференциальным уравнением .
В \ (\ eqref {eq: eq5} \) - \ (\ eqref {eq: eq7} \) только выше \ (\ eqref {eq: eq6} \) нелинейно, два других - линейные дифференциальные уравнения. . Мы не можем классифицировать \ (\ eqref {eq: eq3} \) и \ (\ eqref {eq: eq4} \), так как не знаем, какую форму имеет функция \ (F \). Они могут быть как линейными, так и нелинейными, в зависимости от \ (F \).
Решение
Решение дифференциального уравнения на интервале \ (\ alpha
Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это эмпирическое правило: начинайте с реальных чисел, заканчивайте действительными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также необходимо избегать отрицательных значений \ (x \).
Итак, в последнем примере мы видели, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, вызванных решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.
В последнем примере обратите внимание, что на самом деле существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]
Мы оставим вам детали, чтобы убедиться, что это действительно решения. Можете ли вы предложить какие-либо другие решения дифференциального уравнения на этих примерах? На самом деле существует бесконечное число решений этого дифференциального уравнения.
Итак, учитывая, что существует бесконечное количество решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим…), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос подводит нас к следующему определению в этом разделе.
Начальные условия
Начальное условие (я) - это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение мы ищем. Начальные условия (часто сокращенно обозначаемые как i.c., когда нам лень ...) имеют вид
. \ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]Другими словами, начальные условия - это значения решения и / или его производной (ей) в определенных точках. Как мы вскоре увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны и, следовательно, только одно решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.
Количество начальных условий, которые требуются для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2} y '' + 12xy '+ 3y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (4 \ right) = \ frac {1} {8}, \, \, \, \, y' \ left (4 \ right) = - \ frac {3} {{64}} \]
Пример 4 Вот еще одна IVP.\ [2t \, y '+ 4y = 3 \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, y \ left (1 \ right) = - 4 \]
Как мы отметили ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.
Интервал действия
Интервал действия для IVP с начальным условием (ями)
\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]- это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \ ({t_0} \). Их легко определить, но бывает трудно найти, поэтому мы не будем больше говорить об этом, пока не перейдем к фактическому решению дифференциальных уравнений и не будем нуждаться в интервале достоверности.
Общее решение
Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принимать решение, и не учитывает никаких начальных условий.2}}} \) - общее решение \ [2t \, y '+ 4y = 3 \]
Мы предоставим вам возможность проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. Фактически, все решения этого дифференциального уравнения будут в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать и вскоре сможете убедиться в этом сами.
Фактическое решение
Фактическое решение дифференциального уравнения - это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям. 2}}} \]
Все, что нам нужно сделать, это определить значение \ (c \), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}} \]
Из этого последнего примера мы можем видеть, что как только у нас есть общее решение дифференциального уравнения, нахождение фактического решения является не чем иным, как применением начального условия (й) и решения для константы (й), которые находятся в общем решении.
Неявное / явное решение
В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать вам, чем не является неявное решение, а затем привести пример, чтобы показать разницу.Итак, вот что мы будем делать.
Явное решение - это любое решение, заданное в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Другими словами, единственное место, где действительно появляется \ (y \), - это когда-то слева и только в первой степени. Неявное решение - это любое решение, не имеющее явной формы. Обратите внимание, что возможны как общие неявные / явные решения, так и фактические неявные / явные решения. 2} - 3 \) является фактическим неявным решением для \ (y '= \ frac {t} {y}, \, \, \, \, \, y \ влево (2 \ вправо) = - 1 \)
На этом этапе мы попросим вас поверить в то, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} - 3} \]
В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Однако следует отметить, что не всегда можно будет найти явное решение.
Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое поможет нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.
Теперь мы разобрались с большинством основных определений и теперь можем перейти к другим темам.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
Эти уравнения, содержащие производную,
вовлекают темпы изменения - так часто появляются
в инженерном или научном контексте.
Решение уравнения включает интегрирование.
Дан порядок дифференциального уравнения. по самой высокой используемой производной.
Дана степень дифференциального уравнения. по степени мощности высшей производная используется.
Примеры: -
Типы дифференциальных уравнений: -
Дифференциальные уравнения первого порядка
Решение прямым интегрированием
Общее решение дифференциальных уравнений вида
можно найти с помощью прямого интегрирования.
Подстановка значений начальных условий даст
Пример
Решите уравнение
Найдите конкретное решение для
дифференциальное уравнение
при y = 5 при x = 3
Пример
Прямая линия с уклоном 2 проходит через
точка (1,3).Найдите уравнение прямой.
Разделимые переменные
Дифференциальное уравнение с разделением переменных равно единице
в котором уравнение может быть записано со всеми членами
для одной переменной на одной стороне уравнения, а для другой
условия с другой стороны.
Пример
Найти общее решение дифференциального уравнения
Пример
Найдите общее решение дифференциального уравнения
Пример
Найдите частное решение дифференциального уравнения
при y = 2 при x = 1
Частичные дроби необходимы, чтобы преобразовать левую часть уравнения в форму, которая может быть интегрирована.
т.
, который интегрируется в общее решение
заменяющих значений для конкретного решения
Линейные дифференциальные уравнения
Это дифференциальные уравнения первой степени.
описывает общее линейное дифференциальное уравнение порядка n,
где a n (x), a n-1 (x) и т. д. и f (x) - заданные функции
x или константы.
Луи Арбогаст представил дифференциальный оператор
D = d / dx, что упрощает общее уравнение до
или
Если f (x) = 0, уравнение называется однородным.
Если f (x) ≠ 0, уравнение неоднородно
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Для решения уравнений вида
1) Экспресс в стандартной форме
где P и Q - функции x или константы
2) Умножьте обе части на
Интегрирующий коэффициент
3) Напишите
4) Интегрируйте правую часть,
при необходимости использовать интеграцию по частям
5) Разделите обе стороны на коэффициент интегрирования.
Это дает общее решение.
6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти
частные решения.
Пример
Найдите общее решение уравнения
т.
Пример
Найдите общее решение уравнения
, где x ≠ 2, и, следовательно, найти частное решение
для y = 1 при x = -1
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Для решения уравнений вида
1) Запишите вспомогательное уравнение
am 2 + bm + c = 0
(почему это работает, UCL.ac.uk)
2) Исследовать дискриминант вспомогательное уравнение.
3) Для настоящих и отчетливых корней, м 1 и м 2 ,
общее решение -
4) Для настоящих и равных корней
общее решение -
5) Для комплексно-сопряженных корней
m 1 = p + iq и m 2 = p - iq,
общее решение -
6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти конкретное решение.
Пример
Найдите общее решение уравнения
и конкретное решение, для которого
y = 7, когда x = 0 и dy / dx = 7
Пример
Найдите общее решение уравнения
и частное решение для
y = 0 и dy / dx = 3, когда x = 0
Пример
Найдите общее решение уравнения
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Решение уравнений вида
состоит из двух частей, дополнительная функция (CF)
и частный интеграл (PI).
, поэтому Q (x) = CF + PI
CF - это общее решение, описанное выше
для решения однородных уравнений.
Частный интеграл находится путем замены
форма, аналогичная Q (x) в уравнении левой части,
и приравнивая коэффициенты.
- Если Q (x) является линейной функцией, попробуйте y = Cx + D
- Если Q (x) квадратично, попробуйте Cx 2 + Dx + E
- Если Q (x) - волновая функция, попробуйте CSinx + Dcosx
- Если Q (x) - константа, попробуйте y = C
- Если Q (x) равно e kx , попробуйте y = Ce kx
PI не может иметь ту же форму, что и любой из терминов в CF,
, поэтому необходимо соблюдать осторожность
чтобы убедиться, что это не так.
В такой ситуации обычно используется дополнительный член x.
введен в ИП.
Частное решение находится заменой начальные условия в общее решение. Не надо просто использовать CF !!!
Пример
Найдите общее решение уравнения
Пример
Найдите общее решение уравнения
и частное решение для
y = 0 и dy / dx = 5, когда x = 0
Теперь подставьте их обратно в исходное уравнение
Теперь найдите конкретное решение
Уф !!
Подробнее
http: // en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle
http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor
Некоторые примеры дифференциальных уравнений
http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_differential_equations
http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit
http: // en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems
http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_methods
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton% 27s_Laws
http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation
http: //en.wikipedia.org/wiki/Shallow_water_equations
http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
http: //en.wikipedia.org / wiki / Harmonic_oscillator
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics
http://en.wikipedia.org/wiki/Verhulst_equation
разделяемых уравнений
Дифференциальное уравнение первого порядка \ (y '= f \ left ({x, y} \ right) \) называется сепарабельным уравнением, если функция \ (f \ left ({x, y} \ right) \) может быть разложенным на произведение двух функций от \ (x \) и \ (y: \)
\ [f \ left ({x, y} \ right) = p \ left (x \ right) h \ left (y \ right), \]
, где \ (p \ left (x \ right) \) и \ (h \ left (y \ right) \) - непрерывные функции.
Рассматривая производную \ ({y '} \) как отношение двух дифференциалов \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize}, \), мы перемещаем \ (dx \) к правую часть и разделите уравнение на \ (h \ left (y \ right): \)
\ [{\ frac {{dy}} {{dx}} = p \ left (x \ right) h \ left (y \ right), \; \; } \ Rightarrow {\ frac {{dy}} {{h \ left (y \ right)}} = p \ left (x \ right) dx.} \]
Конечно, нам нужно убедиться, что \ (h \ left (y \ right) \ ne 0. \) Если существует такое число \ ({y_0} \), что \ (h \ left ({{y_0}}) \ right) = 0, \) то это число также будет решением дифференциального уравнения.Деление на \ (h \ left (y \ right) \) приводит к потере этого решения.
Обозначив \ (q \ left (y \ right) = {\ large \ frac {1} {{h \ left (y \ right)}} \ normalsize}, \), мы запишем уравнение в виде
\ [q \ left (y \ right) dy = p \ left (x \ right) dx. \]
Мы разделили переменные, поэтому теперь мы можем интегрировать это уравнение:
\ [{\ int {q \ left (y \ right) dy}} = {\ int {p \ left (x \ right) dx}} + {C,} \]
где \ (C \) - постоянная интегрирования.
Вычисляя интегралы, получаем выражение
\ [Q \ left (y \ right) = P \ left (x \ right) + C, \]
, представляющий собой общее решение сепарабельного дифференциального уравнения.x} \), удовлетворяющее начальному условию \ (y \ left (0 \ right) = 0. \)
Пример 7
Решите уравнение \ (y \ left ({1 + xy} \ right) dx = \) \ (x \ left ({1 - xy} \ right) dy. \)Пример 8
Найдите общее решение дифференциального уравнения \ (\ left ({x + y + 1} \ right) dx + \) \ (\ left ({4x + 4y + 10} \ right) dy \) \ (= 0. \)Пример 1.
Решите дифференциальное уравнение \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = y \ left ({y + 2} \ right).\)Решение.
В данном случае \ (p \ left (x \ right) = 1 \) и \ (h \ left (y \ right) = \) \ (y \ left ({y + 2} \ right). \) Разделим уравнение на \ (h \ left (y \ right) \) и переместим \ (dx \) вправо:
\ [\ frac {{dy}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = dx. \]
Можно заметить, что после деления мы можем потерять решения \ (y = 0 \) и \ (y = -2 \), когда \ (h \ left (y \ right) \) станет равным нулю. Фактически, давайте посмотрим, что \ (y = 0 \) является решением дифференциального уравнения.Очевидно,
\ [y = 0, \; \; dy = 0. \]
Подстановка этого в уравнение дает \ (0 = 0. \) Следовательно, \ (y = 0 \) является одним из решений. Точно так же мы можем проверить, что \ (y = -2 \) также является решением.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, проинтегрируем его:
\ [{\ int {\ frac {{dy}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}}}} = {\ int {dx} + C.} \]
Мы можем вычислить левый интеграл, используя дробное разложение подынтегрального выражения:
\ [ {\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = \ frac {A} {y} + \ frac {B} {{y + 2}}, \; \;} \Правая стрелка {\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = \ frac {{A \ left ({y + 2} \ right) + By}} {{y \ left ({ y + 2} \ right)}}, \; \;} \ Rightarrow {1 \ Equiv Ay + 2A + By, \; \;} \ Rightarrow {1 \ Equiv \ left ({A + B} \ right) y + 2A, \; \;} \ Rightarrow {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {c}} {A + B = 0} \\ {2A = 1} \ end {array}} \ right.,\;\;}\Правая стрелка {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {c}} {A = \ frac {1} {2}} \\ {B = - \ frac {1} {2}} \ end {array}} \ right ..} \]
Таким образом, мы получаем следующее разложение рационального подынтегрального выражения:
\ [{\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}}} = {\ frac {1} {2} \ left ({\ frac {1} {y} - \ frac {1} {{y + 2}}} \ right).} \]
Следовательно,
\ [
{{\ frac {1} {2} \ int {\ left ({\ frac {1} {y} - \ frac {1} {{y + 2}}} \ right) dy}} = {\ int {dx} + C, \; \;}} \ Rightarrow
{{\ frac {1} {2} \ left ({\ int {\ frac {{dy}} {y}} - \ int { \ frac {{dy}} {{y + 2}}}} \ right)} = {\ int {dx} + C, \; \;}} \ Rightarrow
{{\ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left | y \ right | - \ ln \ left | {y + 2} \ right |} \ right)} = {x + C, \; \;}} \ Rightarrow
{\ frac { 1} {2} \ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = x + C, \; \;} \ Rightarrow
{\ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = 2х + 2С.}
\]
Мы можем переименовать константу: \ (2C = {C_1}. \) Таким образом, окончательное решение уравнения записывается в виде
\ [{\ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = 2x + {C_1}, \; \; \;} \ kern-0.3pt {y = 0, \; \; \;} \ kern-0.3pt {y = - 2.} \]
Здесь общее решение выражено в неявной форме. В данном случае мы можем преобразовать выражение, чтобы получить ответ в виде явной функции \ (y = f \ left ({x, {C_1}} \ right), \), где \ ({C_1} \) - константа. Однако это возможно не для всех дифференциальных уравнений.
Общие и частные решения
Общие и частные решения Здесь научимся находить общее решение дифференциального уравнения, и используйте это общее решение, чтобы найти конкретное решение. Мы будем также примените это к задачам ускорения, в которых мы используем ускорение и начальные условия объекта для определения положения функция.
Пример 1: Поиск частного решения
Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:
Во-первых, нам нужно найти общее решение.Для этого нам нужно проинтегрировать обе стороны, чтобы найти y:
Это дает нам общее решение. Чтобы найти конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для us (y = 4, x = 0) и решаем относительно C:
После того, как мы решаем C, у нас есть конкретное решение.
Пример 2: Поиск частного решения
Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:
Во-первых, нам нужно интегрировать обе стороны, что дает нам общее решение:
Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и решаем для C, которое мы используем для создания нашего конкретного решения:
Пример 3: Поиск частного решения
Найдите частное решение дифференциала уравнение, которое удовлетворяет заданному начальному условию:
Сначала мы находим общее решение, интегрируя обе части:
Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия и найти конкретное решение:
Скорость и ускорение
Здесь мы будем применять конкретные решения для нахождения функций скорости и положения от ускорения объекта.
Пример 4: Поиск функции положения
Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:
У нас есть функция ускорения, начальная скорость 10, и начальное положение 5, и ищем функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен скорость, поэтому начнем с этого:
Теперь у нас есть общее решение для скорости функция.Чтобы получить конкретное решение, нам нужна начальная скорость. Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; следовательно, наше начальное условие v = 10, t = 0:
Теперь, когда у нас есть конкретное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:
Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому
общее решение, чтобы получить частное решение, которое является позицией
функция, которую мы хотим.Как и раньше, x 0 - это начальная позиция
, что означает, что время t = 0, а x = 5:
Это функция положения частицы.
Пример 5: Поиск функции положения
Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:
У нас есть уравнение ускорения, начальное скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг - найти частное решение скорости частицы:
Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретный решение функции положения, а не просто общее решение:
Пример 6: Применение дифференциального уравнения
Здесь мы будем использовать реальный пример, чтобы применить то, что мы только что узнали.
Мяч бросается вниз с начальным скорость 20 футов / с от вершины здания высотой 300 футов.Игнорирование воздушного трения, dow долго ли мяч достигает земли, и с какой скоростью это ударило?
Чтобы решить эту проблему, нам нужно поставить это в терминах, которые мы можем понять. Единицы измерения даны в футах и футов в секунду; ускорение свободного падения в этих устройствах составляет -32 фут / с 2 .
Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов / с; поскольку он идет вниз, скорость будет отрицательной (v 0 = -10).
Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x 0 = 300). Давайте представим все это в уравнении, аналогичном предыдущим примерам:
Теперь мы куда-то идем! Вопрос задает о мяч, когда он падает на землю. Чтобы понять информация о том, когда он падает на землю, нам нужно знать, во сколько он хиты.Уравнение, связывающее положение со временем, - это положение функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:
Теперь, когда у нас есть функция позиции, мы можем начните решать за время, необходимое для того, чтобы мяч коснулся земли, а скорость, с которой он ударяется. Каждое из этих уравнений должно знать время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в t = 2 или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, в какое время мяч падает на землю; для этого нам нужно установить позицию функция, равная 0, и решите относительно t. Мяч стартовал на высоте 300 футов от земли, и мы использовали 300 в качестве нашего исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам когда мяч ударяется о землю:
Мы получаем два значения для t: -5 и 3,75. Мы можем отбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного ценность времени. Следовательно, время, необходимое мячу для достижения земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость, когда мяч попадает в на земле, мы просто подставляем 3,75 для t в наше уравнение скорости и решаем:
Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут / с
Пример 7: Применение дифференциального уравнения
Тормоза автомобиля срабатывают, когда он движется по 60 км / ч, обеспечивая постоянное замедление до 12 м / с 2 . Как далеко машина проезжает до остановки и сколько времени это занимает?
Хорошо, давайте разберемся с этим.Мы знаем, что ускорение составляет -12 м / с 2 . Начальная скорость 60 км / ч; это нужно будет преобразовать в м / с (у нас не может быть проблем с разными единицами):
Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м / с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как именно тогда машина начинает замедляться. Собираем все вместе:
Мы знаем, что нам понадобится функция позиции в какой-то момент, так как нам нужно выяснить, как далеко проехала машина, прежде чем подходит к остановке, так что давайте продолжим и уберем это с дороги:
Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина останавливается.Мы не знаем, где будет находиться машина. этот момент, но мы знаем, что скорость будет 0. Чтобы узнать когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и решить:
Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после нанесения. тормоза. Как далеко он проходит до остановки? Нам нужно подключить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:
Автомобиль проходит 11,6 метра до остановки
17.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Начнем с рассмотрения уравнений, в которых только первая производная функции появляется.
Определение 17.1.1 A дифференциал первого порядка уравнение - это уравнение форма $ F (t, y, \ dot {y}) = 0 $. Решением дифференциального уравнения первого порядка является функция $ f (t) $, которая делает $ \ ds F (t, f (t), f '(t)) = 0 $ для каждого значения $ t $. $ \ квадрат $
Здесь $ F $ - функция трех переменные, которые мы помечаем как $ t $, $ y $ и $ \ dot {y} $.3/3 + t + 8/3 $. $ \ квадрат $
Общее уравнение первого порядка является слишком общим, т. Е. мы не можем описать методы, которые будут работать со всеми или даже с большим часть из них. Мы можем добиться прогресса с конкретными видами Дифференциальные уравнения первого порядка. Например, многое можно сказать об уравнениях вида $ \ ds \ dot {y} = \ phi (t, y) $, где $ \ phi $ является функцией двух переменных $ t $ и $ y $. При разумных условиях на $ \ phi $ такая уравнение имеет решение и соответствующее Задача начального значения имеет уникальное решение.Однако в целом эти уравнения могут быть очень сложными или невозможно решить явно.
Пример 17.1.6 Рассмотрим этот конкретный пример задачи начального значения. для закона охлаждения Ньютона: $ \ dot y = 2 (25-y) $, $ y (0) = 40 $. Мы сначала заметим, что если $ y (t_0) = 25 $, правая часть дифференциала уравнение равно нулю, поэтому постоянная функция $ y (t) = 25 $ является решением к дифференциальному уравнению. Это не решение начального проблема стоимости, поскольку $ y (0) \ not = 40 $. (Физическая интерпретация это постоянное решение состоит в том, что если жидкость имеет ту же температуру как и его окружение, тогда жидкость будет оставаться при этой температуре.{-2t} $ описывает все решения дифференциала уравнение $ \ ds \ dot y = 2 (25-y) $, и все решения ассоциированного проблемы с начальным значением. $ \ квадрат $
Почему мы могли решить эту проблему? Наше решение зависело от переписывания уравнение так, чтобы все экземпляры $ y $ находились по одну сторону уравнение и все экземпляры $ t $ были на другом; конечно, в в этом случае единственный $ t $ был изначально скрыт, так как мы не писали $ dy / dt $ в исходном уравнении. Однако этого не требуется.2} $, позволяя $ A $ быть равным нулю. $ \ квадрат $
Определение 17.1.8 Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид отделяемое , если оно можно записать в виде $ \ dot {y} = f (t) g (y) $. $ \ квадрат $
Как и в примерах, мы можем попытаться решить разделимое уравнение с помощью преобразование в форму $$ \ int {1 \ над g (y)} \, dy = \ int f (t) \, dt. $$ Этот метод называется разделением переменные . Самый простой (в принципа) разновидностью разделяемого уравнения является уравнение, в котором $ g (y) = 1 $, в в каком случае мы пытаемся решить $$ \ int 1 \, dy = \ int f (t) \, dt.$$ Мы можем это сделать, если найдем антипроизводную от $ f (t) $.
Также, как мы уже видели, дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечное количество решений. В идеале, но обязательно не всегда соответствующая задача начального значения будет иметь только один решение. Решение, в котором не осталось неизвестных констант называется частное решение .
Общий подход к разделимым уравнениям таков: Предположим, мы хотим решить $ \ dot {y} = f (t) g (y) $, где $ f $ и $ g $ - непрерывные функции.2-1 $ имеет постоянные решения $ y (t) = 1 $ и $ y (t) = - 1 $.
Чтобы найти непостоянные решения, заметим, что функция $ 1 / g (y) $ непрерывна, где $ g \ not = 0 $, поэтому $ 1 / g $ имеет первообразную $ G $. Пусть $ F $ - первообразная $ f $. Теперь мы пишем $$ G (y) = \ int {1 \ over g (y)} \, dy = \ int f (t) \, dt = F (t) + C, $$ поэтому $ G (y) = F (t) + C $. Теперь решим это уравнение относительно $ y $.
Конечно, есть несколько мест, где можно было бы найти это идеальное описание. неправильно: нам нужно найти первообразные $ G $ и $ F $, и нам нужно решить окончательное уравнение для $ y $.В результате решения исходного дифференциального уравнения - постоянные решения, если таковые имеются, и все функции $ y $, удовлетворяющие $ G (y) = F (t) + C $.
Пример 17.1.9 Рассмотрим дифференциальное уравнение $ \ dot y = ky $. Когда $ k> 0 $, это описывает некоторые простые случаи роста населения: он говорит, что изменение населения $ y $ пропорционально Население. Основное предположение состоит в том, что каждый организм в текущая популяция воспроизводится с фиксированной скоростью, поэтому чем больше популяции, тем больше производится новых организмов.\ circ $? (отвечать)
Пр. 17.1.13 Решать логистическое уравнение $ \ dot {y} = ky (M-y) $. (Это несколько больше разумная популяционная модель в большинстве случаев, чем более простая $ \ dot y = ky $.) Нарисуйте эскиз график решения этого уравнения при $ M = 1000 $, $ k = 0,002 $, $ y (0) = 1 $. (отвечать)
Пр. 17.1.14 Предположим, что $ \ dot {y} = ky $, $ y (0) = 2 $ и $ \ dot {y} (0) = 3 $. Что такое $ y $? (отвечать)
Пр. 17.1.15 Радиоактивное вещество подчиняется уравнению $ \ dot {y} = ky $, где $ k0 $.В какое время остается половина массы? (Это известно как период полураспада. Обратите внимание, что период полураспада зависит от $ k $, но не на $ M $.