Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей – а) координатных плоскостей; б) осей координат.

1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов

Решебник

по

геометрии

за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №4
к главе «§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве».

Все задачи >

Строим координатный параллелепипед как в задаче 3 и находим расстояния:

координаты данной точки, то есть (х; y; z) = (1; 2; -3).

2) Далее по теореме Пифагора имеем:

по теореме Пифагора. Так что

Так что расстояние до плоскостей: ху равно 3, yz равно 2, yz равно 1; расстояние до осей координат равно соответственно

, расстояние до начала координат равно

← 3. Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.5. В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0). →

  • Вконтакте
  • Facebook

5terka.com

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1.

CB_1D_1

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

{rho}=delim{

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

{rho}=delim{В нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0) играет точка A(0,1,0). То есть x_0=0,  y_0=1,  z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты a,   b,  c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости D_1B_1C.

Плоскость  D_1B_1C определяется тремя точками  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0). Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, то получим верное равенство.

Коэффициент d в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты  a,   b и  c, подставим координаты точек  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0) в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1,  b=1,  c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

{rho}=delim{

Ответ: {2sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

Расстояние между точками на координатной прямой

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднит

zaochnik.com

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Реферат

по
алгебре и геометрии

Вычисление
расстояния между линейными геометрическими
объектами в пространстве

студента
группы КБ-12

Никитченко
Богдана

Вычисление
расстояния от точки до плоскости

Первый
способ

Расстояние
от точки до плоскости находим по следующей
формуле:

d=
,
где

— длина вектора нормали N={A;B:C}
плоскости α, а число

есть результат подстановки координат
точки M1(x1;
y1;
z1)
в левую часть общего уравнения плоскости.

Пример
( Клетеник № 959(5)):

Вычислить
расстояние d
от точки M5(9;2;-2)
до плоскости 12y-5z+5=0.

Решение:

N=
{0; 12; -5}

d=
=
3

Ответ:
3

Второй
способ

Составляем
уравнение прямой
L,
которая проходит через точку М1 и
перпендикулярна к плоскости α.

Находим
координаты  точки M0(x0;
y0;
z0) —
точки пересечения прямой L и
плоскости α.

Вычисляем
расстояние между точками M0
и М1 
по формуле:

d=
M0M1
=
(x1-x0)2
+
(y1-y0)2
+ (z1-z0)2

Пример
( Клетеник № 959(4)):

Вычислить
расстояние d
от точки M4(3;-6;7)
до плоскости 4x-3z-1=0.

Решение:

L:

4(4t+3)
-3(-3t+7) =0

16t
+12 +9t -21-1=0

25t=10

t=0,4

x0=
4•0,4+3=4,6

y0=
— 6

z0=
-3•0,4+7=5,8

M0(4,6;
-6; 5,8)

d=
= 2

Ответ:
2

Вычисление
расстояния между параллельными
плоскостями

Первый
способ

Выберем
любую точку на первой плоскости.

Применим
формулу расстояния от точки до плоскости.

d=

Пример
(Клетеник № 964(5)):

Вычислить
расстояние между параллельными
плоскостями:

30x-32y+24z-75=0
15x-16y+12z-25=0

Решение:

Пусть
y=0
и z=0.
Тогда подставив эти значения в первое
уравнение, получим

x=2,5.
Мы получили точку М(2,5; 0; 0) . Применим
формулу расстояния от точки до плоскости:
d=

=0,5

Ответ:
0,5

Второй
способ

Если
плоскость α задана уравнением Ax
+ By
+ Cz
+ D1=0
, а плоскость β задана уравнением Ax
+ By
+ Cz
+ D2=0,
то расстояние
между параллельными плоскостями находим
по следующей формуле:

d=

Пример(
Клетеник №964(6)):

Вычислить
расстояние между параллельными
плоскостями:

6x-18y-9z-28=0
4x-12y-6z-7=0

Решение:

Умножив
обе части второго уравнения на
,
получим 6x-18y-9z-10,5=0.

Применим
формулу: d=

=

Ответ:

Вычисление
расстояния от точки до прямой в
пространстве

Первый
способ

Определим
направляющий вектор прямой a
={ l;
m;
n}и
вычислим его длину по формуле
a
=

Найдем
координаты некоторой точки М0(x0;
y0;
z0),
лежащей на прямой a.
Вычислим координаты вектора M0M1={x1-x0;
y1-y0;
z1-z0},
найдем векторное произведение векторов
a
и
M0M1
и его длину.

Найдем
расстояние от точки до прямой в
пространстве по формуле:

d(M1;L)=

Пример
(Клетеник №1063(1)):

Вычислить
расстояние d
от точки P(2;
3; -1) до прямой:


=

=

Решение:

a
= {3;
2; -2}

a
=
=

M0(5;
0; -25) M0P
= {-3; 3; 24}

a
x
M 0P
=
=
54i
– 66j
+ 15k

a
x
M 0P
=
=21

d=
21
=21

Ответ:
21

Второй
способ

Составляем
уравнение плоскости α ,
проходящей через данную точку М1(x1;
y1;
z1) перпендикулярно
к данной прямой L.

Определяем
координаты M0(x0;
y0;
z0) –
точки пересечения прямой 
L и
плоскости α .

Находим
расстояние от точки М1до
прямой L по
формуле:

d=
(x1-x0)2
+ (y1-y0)2

+ (z1-z0)2

Пример(Клетеник
№1063(2)):

Вычислить
расстояние d
от точки P(2;
3; -1) до прямой:

Решение:

Составим
уравнение плоскости, проходящей через
точку P(2;
3; -1) с вектором нормали a={1;
1; 4}.

(x-2)
+ (y-3)
+4(z+1)=0

x+y+4z-1=0

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости

(t+1)+(t+2)+4(4t+13)-1=0

t+1+t+2+16t+52-1=0

18t=-54

t=
-3

M0(-2;
-1; 1) — точка
пересечения прямой 
 и
плоскости.

d==6

Ответ:
6

Вычисление
расстояния между параллельными прямыми

Выберем
на одной из прямых любую точку.

Применим
формулу расстояния от точки до прямой:

d(M1;L)=

Пример(Клетеник
№ 1064):

Убедившись,
что прямые параллельны, вычислить
расстояние d
между ними.

Решение:

Перейдем
от общих уравнений прямой к каноническому.

Найдем
точку M0(x0;
y0;
z0)

Пусть
z0=0.
Тогда подставим это значение в общие
уравнения прямой.

4x=54

x=13,5

y=
-8,5

M0(13,5;
-8,5; 0)

a1
=N1
x N2==
-3i+j-4k

a
1={-3,1,-4}
a
2={3,-1,4}

Векторы
a1и
a2
коллинеарны.
Следовательно прямые параллельны.

Из
уравнения второй прямой находим M1(-7;
5; 9).

M0M1={-20,5;
13,5; 9}

a1
x M0M1==63i+109j-20k

a1
=

a1
x M0M1

=

d=

=25

Ответ:
25

Вычисление
расстояния между скрещивающимися
прямыми

Расстояние
между скрещивающимися прямыми находим
по формуле: d(L1;L2)=,
где a1,a2

направляющие
векторы прямых, M1,
M2–точки
на прямых L1
и L2.

Если
числитель равен нулю, то прямые
пересекаются.

Пример
(Клетеник №1083(3)):

Вычислить
кратчайшее расстояние между двумя
прямыми:

=

=

Решение:

a1
x
a2
=
=
-6i-9j-18k

a1
x
a2

=
21

M1(-5;
-5; 1) M2(9;
0; 2)

M2M1={14;
5; 1}

a1
a2

M2M1
= -84 – 45 -18 =147

d==7

Ответ:
7

studfile.net

Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Определение 1

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$.

Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec{M_1M_0}$:

$\vec{M_0M_1}= \{x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\}\left(3\right)$.

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

$ρ= \frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\left(4\right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

  1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
  2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
  3. Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
  4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.

Пример 1

Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$

Воспользуемся формулой $(4)$:

$ρ=\frac{|5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 -3 \cdot1+3|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{30}}$.

spravochnick.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск