1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №4
к главе «§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве».

Все задачи >

Строим координатный параллелепипед как в задаче 3 и находим расстояния:

координаты данной точки, то есть (х; y; z) = (1; 2; -3).

2) Далее по теореме Пифагора имеем:

по теореме Пифагора. Так что

Так что расстояние до плоскостей: ху равно 3, yz равно 2, yz равно 1; расстояние до осей координат равно соответственно

, расстояние до начала координат равно ← 3. Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.5. В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0). →

• Вконтакте
• Facebook

5terka.com

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.

Решим задачу: в единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости .

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние  от точки  до плоскости вычисляется по такой формуле:

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат

:

В нашей задаче роль точки  играет точка . То есть ,  ,  

Теперь наша задача найти коэффициенты ,   ,   и в уравнении  плоскости 

.

Плоскость   определяется тремя точками  ,    и . Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости

, то получим верное равенство.

Коэффициент  в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты  ,   и  , подставим координаты точек  

,    и в уравнение плоскости . Получим систему уравнений:

Отсюда: ,  ,  

Подставим координаты точки  и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками

– это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднит

zaochnik.com

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Реферат

по алгебре и геометрии

Вычисление расстояния между линейными геометрическими объектами в пространстве

студента группы КБ-12

Никитченко Богдана

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Первый способ

Расстояние от точки до плоскости находим по следующей формуле:

d= , где — длина вектора нормали N={A;B:C} плоскости α, а число есть результат подстановки координат точки M₁(x₁; y₁; z₁) в левую часть общего уравнения плоскости.

Пример ( Клетеник № 959(5)):

Вычислить расстояние d от точки M₅(9;2;-2) до плоскости 12y-5z+5=0.

Решение:

N= {0; 12; -5}

d= = 3

Ответ: 3

Второй способ

Составляем уравнение прямой L, которая проходит через точку М₁ и перпендикулярна к плоскости α.

Находим координаты  точки M₀(x₀; y₀; z₀) — точки пересечения прямой L и плоскости α.

Вычисляем расстояние между точками M₀ и М₁  по формуле:

d= M₀M₁ = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)²

Пример ( Клетеник № 959(4)):

Вычислить расстояние d от точки M₄(3;-6;7) до плоскости 4x-3z-1=0.

Решение:

L:

4(4t+3) -3(-3t+7) =0

16t +12 +9t -21-1=0

25t=10

t=0,4

x₀= 4•0,4+3=4,6

y₀= — 6

z₀= -3•0,4+7=5,8

M₀(4,6; -6; 5,8)

d= = 2

Ответ: 2

Вычисление расстояния между параллельными плоскостями

Первый способ

Выберем любую точку на первой плоскости.

Применим формулу расстояния от точки до плоскости.

d=

Пример (Клетеник № 964(5)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

30x-32y+24z-75=0 15x-16y+12z-25=0

Решение:

Пусть y=0 и z=0. Тогда подставив эти значения в первое уравнение, получим

x=2,5. Мы получили точку М(2,5; 0; 0) . Применим формулу расстояния от точки до плоскости: d= =0,5

Ответ: 0,5

Второй способ

Если плоскость α задана уравнением Ax + By + Cz + D₁=0 , а плоскость β задана уравнением Ax + By + Cz + D₂=0, то расстояние между параллельными плоскостями находим по следующей формуле:

d=

Пример( Клетеник №964(6)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

6x-18y-9z-28=0 4x-12y-6z-7=0

Решение:

Умножив обе части второго уравнения на , получим 6x-18y-9z-10,5=0.

Применим формулу: d= =

Ответ:

Вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Первый способ

Определим направляющий вектор прямой a ={ l; m; n}и вычислим его длину по формуле a =

Найдем координаты некоторой точки М₀(x₀; y₀; z₀), лежащей на прямой a. Вычислим координаты вектора M₀M₁={x₁-x₀; y₁-y₀; z₁-z₀}, найдем векторное произведение векторов a и M₀M₁ и его длину.

Найдем расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле:

d(M₁;L)=

Пример (Клетеник №1063(1)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

= =

Решение:

a = {3; 2; -2}

a = =

M₀(5; 0; -25) M₀P = {-3; 3; 24}

a x M ₀P = = 54i – 66j + 15k

a x M ₀P = =21

d= 21 =21

Ответ: 21

Второй способ

Составляем уравнение плоскости α , проходящей через данную точку М₁(x₁; y₁; z₁) перпендикулярно к данной прямой L.

Определяем координаты M₀(x₀; y₀; z₀) – точки пересечения прямой  L и плоскости α .

Находим расстояние от точки М₁до прямой L по формуле:

d= (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)²

Пример(Клетеник №1063(2)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P(2; 3; -1) с вектором нормали a={1; 1; 4}.

(x-2) + (y-3) +4(z+1)=0

x+y+4z-1=0

Найдем точку пересечения прямой и плоскости

(t+1)+(t+2)+4(4t+13)-1=0

t+1+t+2+16t+52-1=0

18t=-54

t= -3

M₀(-2; -1; 1) — точка пересечения прямой   и плоскости.

d==6

Ответ: 6

Вычисление расстояния между параллельными прямыми

Выберем на одной из прямых любую точку.

Применим формулу расстояния от точки до прямой:

d(M₁;L)=

Пример(Клетеник № 1064):

Убедившись, что прямые параллельны, вычислить расстояние d между ними.

Решение:

Перейдем от общих уравнений прямой к каноническому.

Найдем точку M₀(x₀; y₀; z₀)

Пусть z₀=0. Тогда подставим это значение в общие уравнения прямой.

4x=54

x=13,5

y= -8,5

M₀(13,5; -8,5; 0)

a₁ =N₁ x N₂== -3i+j-4k

a ₁={-3,1,-4} a ₂={3,-1,4}

Векторы a₁и a₂ коллинеарны. Следовательно прямые параллельны.

Из уравнения второй прямой находим M₁(-7; 5; 9).

M₀M₁={-20,5; 13,5; 9}

a₁ x M₀M₁==63i+109j-20k

a₁ =

a₁ x M₀M₁ =

d= =25

Ответ: 25

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле: d(L₁;L₂)=, где a₁,a₂ – направляющие векторы прямых, M₁, M₂–точки на прямых L₁ и L₂.

Если числитель равен нулю, то прямые пересекаются.

Пример (Клетеник №1083(3)):

Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: = =

Решение:

a₁ x a₂ = = -6i-9j-18k

a₁ x a₂ = 21

M₁(-5; -5; 1) M₂(9; 0; 2)

M₂M₁₌{14; 5; 1}

a₁ a₂ M₂M₁ = -84 – 45 -18 =147

d==7

Ответ: 7

studfile.net

Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Определение 1

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$.

Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec{M_1M_0}$:

$\vec{M_0M_1}= \{x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\}\left(3\right)$.

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

$ρ= \frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\left(4\right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
3. Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.

Пример 1

Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$

Воспользуемся формулой $(4)$:

$ρ=\frac{|5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 -3 \cdot1+3|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{30}}$.

spravochnick.ru