2 = -1$ действительных корней не имеет.

В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.

п.2. Примеры

Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9

Решение:

x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4

Проверка:

$4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$

Ответ: x = 4

Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56

Решение:

7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5

Проверка:

$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$

Ответ: x = 5

Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14

Решение:

(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8

Проверка:

$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$

Ответ: x = 8

Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$

Решение:

$\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$

$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $

Решений нет.

Ответ: $x \in \varnothing $

Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$

Решение:

$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $

$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$

Ответ: $8 \frac 14$

Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5

Решение:

$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$

Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$

Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3

Решение:

$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right. }\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$

$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$

Проверка:

$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$

Ответ: x = -2

Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?

Решение:

Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:

5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1

a=1

Ответ: a = 1

Уравнение движения в физике

Как получить уравнение движения?

Допустим, в какой-то момент времени мы знаем все параметры, определяющие состояние системы – например, скорости и координаты, — а также их производные по времени. Тогда мы можем рассчитать эти параметры и для момента времени, отстоящего от начального на малый промежуток времени. Если мы выберем малый, но конечный промежуток времени , мы можем приближенно оценить состояние системы в любой момент времени. Для получения точного уравнения движения нужно определить функцию, описывающую процесс: если временной шаг выбран достаточно малым, то приближенно вычисленные характеристики системы будут лежать к этой функции очень близко.

Для каждой области физики существуют свои уравнения движения

В классической механике эту функцию, в первую очередь, выполняют законы Ньютона. Их дополняют закон тяготения и кинематические законы, связывающие перемещение, скорость и ускорение. Так, второй закон Ньютона – это уравнение движения материальной точки массой , связывающий силу , приложенную к точке, и ускорение , которое точка вследствие этого приобрела:

   

В то время как законы движения классической механики определяют движение макроскопических материальных тел, то движение микроскопических частичек (например, в газе) описывается с помощью статистических распределений.

К примеру, уравнение движение Больцмана позволяет найти распределение плотности частичек в пространстве f:

   

В этом уравнении – пространственная координата, – импульс, – масса частичек, – время, – поле действующих сил, а слагаемая учитывает столкновения частиц.

Движение сплошной среды описывают с помощью системы уравнений Коши, частными случаями которой являются уравнения Эйлера и Навье-Стокса:

   

   

В квантовой механике также существуют уравнения, которые характеризуют движение волновой функции (а элементарные частицы одновременно являются и волнами). Однако можно ли их называть уравнениями движения – спорный вопрос. Ведь квантовые системы неопределенны по своей природе, а значит, нельзя получить точное решение уравнения движения.

Примеры решения задач

Уравнение биссектрисы треугольника | Треугольники

Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин?

1 способ

Используя уравнение биссектрисы угла:

   

Пример.

Даны вершины треугольника A(-5;4), B(7;-1) и C(3;10).

1) Составить уравнение биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины A.

2) Найти длину этой биссектрисы.

Решение:

1) Угол A образован прямыми AB и AC. Составим уравнения этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, например, по формуле

   

Уравнение прямой AB:

   

   

Уравнение прямой AC:

   

   

Подставляем уравнения прямых AB и AC в формулы уравнения биссектрис угла:

   

   

   

   

и

   

то есть

   

и

   

Из этих уравнений является уравнением биссектрисы внутреннего угла BAC треугольника, другое — биссектрисой внешнего угла при вершине A. Как отличить уравнение биссектрисы внутреннего угла?

Точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла, поэтому при подстановке координат B и C в уравнение мы получим числа одинакового знака. От биссектрисы внутреннего угла B и C лежат по разные стороны, поэтому подстановка их координат в уравнение биссектрисы внутреннего угла даёт нам числа разных знаков.

Подставляем в уравнение x-8y+37=0 координаты B и C.

B(7;-1):  7-8·(-1)+37>0

C(3;10):  3-8·10+37<0.

Таким образом, уравнение x-8y+37=0 является уравнением биссектрисы AF треугольника ABC.

2) Чтобы найти длину биссектрисы, найдём точку пересечения прямых AF и BF.

Уравнение прямой BC:

   

   

Координаты точки пересечения прямых AF и BC находим из системы уравнений

   

Решение системы —

   

Длину биссектрисы AF находим по формуле расстояния между точками A и F:

   

   

   

2 способ

Используя свойство биссектрисы треугольника:

   

   

   

   

   

   

По формулам деления отрезка в данном отношении

   

разделим отрезок BC в отношении 13 к 10, то есть

   

   

Составим уравнение биссектрисы AF треугольника ABC как уравнение прямой, проходящей через точки

   

   

   

Уравнение Шредингера

Семинар 4. Уравнение Шредингера     Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем. 4.1. Уравнение Шредингера 4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками 4.3. Гармонический осциллятор 4.4. Частица в поле с центральной симметрией 4.5. Орбитальный момент количества движения 4.6. Спин 4.7. Полный момент количества движения 4.8. Квантовые числа        Задачи 4. 1. Уравнение Шредингера     В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера (4.1) где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона                                                  в которой  и  заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , : х →  = х,            y →  = y,          z →  = z, (4.2)   Уравнение Шредингера Зависящее от времени уравнение Шредингера: где  – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ),  ψ() = Eψ() и  Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ2/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан.     Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t). Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера. Так как в стационарном состоянии Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) (4.4) и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции. 4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками     Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям: (4.5) Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L (4.6) Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx, (4. 7)  где k = (2mE/ћ2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует  kL = nπ,   n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En   n = 1, 2, 3, … (4.9)     Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.     Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки имеет вид (4. 10)     В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < ћ2π2/(2mL2). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.  Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы. 4.3. Гармонический осциллятор     Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид (4. 11) В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид (4.12) Допустимые значения полной энергии определяются формулой En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2, (4.13) В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.     С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое. Частица в одномерной потенциальной яме Одномерная прямоугольная яма шириной L:   n = 1, 2, … Одномерный гармонический осциллятор: En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2, 4. 4. Частица в поле с центральной симметрией     В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид (4.14)     Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ), (4.15) где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям 2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ) (4. 16) или Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)  (4.17) Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2. Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).     Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица. Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах r0 = ћ2/mee2 ≈ 0. 529·108 cм. Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).     Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым: n = 1, 2, …, ∞.  Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞. 4.5. Орбитальный момент количества движения     Собственные значения L2 и Lz являются решением уравнений 2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ)     и       zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ). Они имеют следующие дискретные значения    L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …, Lz = ћm,  где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.     Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения: Спектроскопические названия орбитальных моментов l l = 0 s-состояние l = 1 p-состояние l = 2 d-состояние l = 3 f-состояние l = 4 g-состояние l = 5 h-состояние и. т. д.       Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0  волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.     Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L: (4.18)     Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18). Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.     Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения = = 6.58·10-22√6 МэВ·сек ≈ 2.6·10—34 Дж·сек.     Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление  по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.     Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.     Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией eimφ, примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция eimφ  удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … . 4.6. Спин     Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина  и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента  и орбитальным квантовым числом l: 2 = ћ2s(s + 1) (4. 19)     В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.     Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина  на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение: szћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,…, ±1/2ћ или 0.     Число sz − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина sz совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2,  то проекция этого спина может принимать лишь два значения sz = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз. 4.7. Полный момент количества движения     Полный момент количества движения частицы или системы частиц  является векторной суммой орбитального  и спинового  моментов количества движения. = + . Квадрат полного момента имеет значение: 2 = ћ2j(j + 1). Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов  и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1: j = l + s, l + s −1,…, |l − s| Проекция  на выделенную ось Jz также принимает дискретные значения: Jz = ћjz;  = -j, -j + 1,. .., j − 1, j. Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для  и  определены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz = lz + sz. 4.8. Квантовые числа     Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы. Таблица квантовых чисел n Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. J, j Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ2j(j + 1). L, l Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L2 = ћ2l(l + 1). m Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0. S, s Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S2 = ћ2s(s + 1). sz Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.  P или π Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1)l , где π – её внутренняя четность, а (-1)l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков  — отрицательные. I Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий Для обозначения спинового момента часто используют букву J.     Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞), Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …), Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0), Спин протона s =1/2.     Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью: Кулоновский потенциал U = Q/r, Прямоугольная потенциальная яма Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr2, Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия): где U0, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, jz, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.     Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.     Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ -). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.     Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Найдите уравнение прямой, зная две точки, через которые она проходит

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Исчисление производных, Исчисление интеграции, Правило частного, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование массы, Преобразование мощности, Преобразование скорости, Преобразование температуры , Анализ объемных данных, Поиск среднего анализа данных, Поиск стандартного отклонения Анализ данных, Гистограммы Десятичные числа, Преобразование в дробь Электричество, Стоимость факторинга, Целые коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Добавление дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Разделение дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, ВычитаниеДроби, Что это такоеГеометрия, КоробкиГеометрия, КругиГеометрия, ЦилиндрыГеометрия, ПрямоугольникиГеометрия, Прямоугольные треугольникиГеометрия, СферыГеометрия, КвадратыГрафика, ЛинииГрафика, Любая функцияГрафика, КругиГрафика hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек, Кредит, График платежей, Лотерея , Нахождение коэффициентовМатематика, Практика полиномовМатематика, Практика Основыметрической системы, Преобразование чисел, Сложение чисел, Расчет с числами, Расчет с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение чисел в ряду, Числовые числа в ряду, Размещение значений чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание парабол, Вычисление полиномов, Сложение полиномов, Сложение КвадратМногочлены, ДелениеМногочленов, Разложение на множители КвадратовМногочлены, Разложение на множители ТрехчленовМногочлены, Факторизация с помощью GCFМногочлены, УмножениеМногочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что это такоеКвадратные уравнения, Квадратное F ormulaКвадратные уравнения, Решить с помощью факторингаРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Что они представляют собойВыход на пенсию, Сохранение для продажной цены, Расчет научной нотации, Преобразование научной нотации, Разделение научной нотации, Умножение фигур, Прямоугольники, Упрощение всего, Экспоненты, Упрощение, Как термины , Прямоугольные треугольникиWindchill, Фигура

Как найти уравнение прямой

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Научитесь находить уравнение прямой, зная наклон и точку

В этом видео показано, как найти уравнение прямой, зная точку и наклон линии. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.

Есть два способа решить эту проблему.

Одним из способов является использование формулы пересечения наклона, y = mx + b

И другой способ, используя формулу точки-наклона,

Пример нахождения уравнения линии по наклону и точке

Пример 1

Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с наклоном .

Давайте решим это, используя формулу точки-наклона, которая равна

.

Теперь подставим

Теперь давайте изменим это, чтобы получить форму пересечения наклона

Теперь давайте изолируем, добавляя с обеих сторон.

Пример 2

Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с наклоном .

Давайте решим это, используя форму пересечения наклона напрямую.

Мультипликация с обеих сторон

Найдем для путем подстановки значений и .

Затем изолируйте, вычитая с обеих сторон

Разделить, чтобы изолировать

Теперь давайте запишем нашу форму пересечения наклона

Стенограмма видеоурока

Давайте найдем уравнение прямой, зная точку и наклон.

Мы собираемся использовать формулу пересечения наклона:

Например:

,

Мы собираемся решить эту проблему двумя разными способами.

Во-первых, это формула угла наклона, которая равна

.

Теперь подставим

Теперь давайте изменим это, чтобы получить форму пересечения наклона

Теперь давайте изолируем, добавляя с обеих сторон.

Или второй способ решить эту проблему — сделать форму пересечения наклона напрямую.

Найдем для путем подстановки значений и .

Затем изолируйте, добавив с обеих сторон

Теперь давайте запишем нашу форму пересечения наклона

, что совпадает с нашим первым ответом.

уравнений прямой линии: форма пересечения наклона | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Уравнения прямых или «линейные» уравнения представляют собой прямые линии и имеют простые выражения переменных без показателей степени. Если вы видите уравнение только с x и y — в отличие, скажем, x ² или sqrt ( y ) — то вы имеете дело с уравнением прямой.

Существуют различные типы «стандартных» форматов для прямых линий; конкретный «стандартный» формат, на который ссылается ваша книга, может отличаться от используемого в некоторых других книгах. (По иронии судьбы стандартного определения «стандартной формы» не существует.)

Справка по математике.ком

Различные «стандартные» формы часто являются пережитком нескольких столетий назад, когда математики не могли оперировать очень сложными уравнениями, поэтому они были склонны зацикливаться на простых случаях. В настоящее время вам, вероятно, не нужно слишком беспокоиться о «стандартных» формах; этот урок будет охватывать только более полезные формы.

Я думаю, что наиболее полезной формой уравнений прямых линий является форма «наклон-пересечение»:

у = м х + б

Это называется формой пересечения наклона, потому что « м » — это наклон, а « b » дает точку пересечения и . (Для обзора того, как это уравнение используется для построения графиков, см. наклон и графики.)

Мне больше всего нравится форма наклона-перехвата.Он имеет форму « y =», что упрощает его подключение как для построения графиков, так и для решения текстовых задач. Просто введите значение x ; уравнение уже решено для y . Кроме того, это единственный формат, который вы можете подключить к своему (в настоящее время обязательному) графическому калькулятору; у вас должен быть формат « y =», чтобы использовать графическую утилиту. Но самое лучшее в форме наклон-пересечение заключается в том, что вы можете считывать наклон и пересечение прямо из уравнения.Это отлично подходит для построения графиков и может быть весьма полезным для текстовых задач.

---

Филиал

---

Обычные упражнения дадут вам некоторую информацию о линии, и вам придется составить уравнение линии. Как ты это делаешь? Вы подключаете все, что вам дают, и решаете все, что вам нужно, вот так:

• Найдите уравнение прямой, имеющей наклон

  м = 4 и проходящей через точку (–1, –6).

Хорошо, мне дали значение уклона; в этом случае м = 4. Кроме того, дав мне точку на прямой, они дали мне значение x и значение y для этой линии: x = -1 и y = — 6.

В форме пересечения наклона прямой линии у меня есть y , m , x и b . Они дали мне значение m, а также значения x и y.Так что единственное, чего у меня пока нет, это значение b (что дает мне y -intercept). Затем все, что мне нужно сделать, это подставить то, что они мне дали для наклона и x и y из этой конкретной точки, а затем решить для b :

у = м х + б

(–6) = (4)(–1) + б

–6 = –4 + б

–2 = б

Тогда уравнение линии должно быть « y = 4 x – 2″.

---

---

Что, если они не дадут уклон?

• Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (–2, 4) и (1, 2).

Ну, если у меня есть две точки на прямой, я всегда могу найти наклон; вот для чего нужна формула наклона.

Теперь у меня есть наклон и две точки.Я знаю, что могу найти уравнение (сначала решив для « b »), если у меня есть точка и наклон; это то, что я сделал в предыдущем примере. Здесь у меня есть две точки , которые я использовал для нахождения наклона. Теперь мне нужно выбрать одну из точек (неважно, какую) и использовать ее для решения b .

Используя точку (–2, 4), я получаю:

у = м х + б

4 = (– ² / ₃ )(–2) + б

4 = ⁴ / ₃ + б

4 – ⁴ / ₃ = б

¹² / ₃ – ⁴ / ₃ = б

б = ⁸ / ₃

. ..so y = (- ² / ₃ ) x + ⁸ / ₃ .

С другой стороны, если я использую точку (1, 2), я получаю:

у = м х + б

2 = (– ² / ₃ )(1) + б

2 = – ² / ₃ + б

2 + ² / ₃ = б

⁶ / ₃ + ² / ₃ = б

б = ⁸ / ₃

Так что неважно, какую точку я выберу.В любом случае ответ один:

.

Как видите, когда у вас есть наклон, не имеет значения, какую точку вы используете, чтобы найти уравнение линии. Ответ будет одинаковым в любом случае.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm

Уравнение прямой – объяснение и примеры

Уравнение линии — это ное уравнение, которое передает информацию о наклоне линии и хотя бы одной точке, лежащей на ней.

Хотя одного наклона недостаточно для однозначной идентификации линии, достаточно уравнения линии. Знание этих уравнений позволяет легко построить и сравнить две или более линий друг с другом.

Уравнения прямой используют много алгебры. Они также требуют знания наклона линии и координатной плоскости. Не забудьте обновить эти концепции, прежде чем двигаться дальше.

В этой теме мы рассмотрим:

• Как найти уравнение прямой
• Как найти уравнение прямой с одной точкой
• Как найти уравнение прямой с одной точкой Одна точка и наклон

Как найти уравнение прямой

Чтобы найти уравнение, однозначно определяющее прямую, нам нужны две вещи.А именно, нам нужен наклон линии и одна точка.

Обратите внимание, однако, что хотя каждое уравнение однозначно определяет линию, каждая линия не определяется однозначно одним уравнением. Это имеет смысл, потому что часто существует более одного способа записи математических выражений.

В любом случае, если у нас есть точка и наклон, мы можем найти уравнение. Однако если вместо этого нам даны две точки, мы можем найти наклон, как обсуждалось в предыдущем разделе. Следовательно, мы можем найти уравнение прямой, если у нас есть либо две точки, либо одна точка и наклон, потому что одна ведет к другой.

Как найти уравнение прямой с одной точкой

С технической точки зрения одной точки недостаточно, чтобы найти уравнение прямой. На изображении ниже, например, показаны три линии, проходящие через точку (1, 2).

Что отличает каждую из этих линий, так это их наклон. Следовательно, если у нас есть наклон линии (или способ определения его наклона) и одна точка, у нас достаточно информации.

Как найти уравнение линии с одной точкой и наклоном

Если мы знаем наклон и координаты одной точки на линии, мы можем подставить эту информацию в уравнение точка-наклон.

Учитывая наклон m и точку (x ₁ , y ₁ ), уравнение точка-наклон для линии имеет вид y-y ₁ = m(x-x ₁ ).

Это уравнение определяет линию. Однако, как правило, проще найти y, и наклон распределяется на x и x ₁ . Это дает:

y=mx-mx ₁ +y ₁ .

Эта версия уравнения называется формой «наклон-отрезок», потому что легко определить наклон линии и ее точку пересечения по оси Y. Помните, что точка пересечения по оси Y — это высота линии, когда линия пересекает оси Y. Он имеет координаты (0, mx ₁ -y ₁ ).

Чаще форма уравнения в форме пересечения наклона записывается как y=mx+b. Здесь b — точка пересечения с осью y или mx ₁ -y ₁ .

Если известной точкой уравнения является точка пересечения с осью y, то мы можем пропустить форму точка-наклон и напрямую вставить значения в уравнение с точкой пересечения. В противном случае мы должны подставить значения в точку-наклон, а затем найти y, чтобы преобразовать его в форму с пересечением наклона.

Обратите внимание, что если начало координат является известной точкой, то мы можем просто записать уравнение прямой как y=mx. Это потому, что в этом случае b=0.

Примеры

В этом разделе мы рассмотрим несколько простых примеров, чтобы лучше понять, как найти уравнение прямой.

Пример 1

Если линия имеет наклон ⁷ ⁄ ₆ и точку (12, 4), каково уравнение линии?

Пример 1 Решение

Нам заданы наклон и точка, поэтому мы можем подставить эти значения в уравнение точка-наклон: -4= ⁷ ⁄ ₆ х-14

у= ⁷ ⁄ ₆ х+10.

Следовательно, уравнение прямой имеет вид y= ⁷ ⁄ ₆ x+10 в форме пересечения наклона. Отсюда мы можем сказать, что линия проходит через оси Y в точке (0, 10).

Пример 2

Прямая проходит через точки (1, 4) и (2, 6). Что такое уравнение прямой?

Пример 2 Решение

В этом случае наклон не задан. Однако мы можем вывести его, потому что нам даны две координаты. Пусть (1, 4) будет (x ₁ , y ₁ ), а (2, 6) будет (x ₂ , y ₂ ).Тогда имеем:

м = ^(4-6) ⁄ _(1-2) = ^-2 ⁄ _-1 = 2.

Теперь мы можем использовать этот наклон с любой точкой в ​​формуле наклона точки. Использование первого дает нам:

y-4=2(x-1)

y-4=2x-2

y=2x+2.

Таким образом, уравнение для линии в форме пересечения наклона имеет вид y=2x+2. Отсюда также видно, что точка пересечения линии по оси Y равна 2.

Пример 3

Какое уравнение имеет линия, показанная на графике ниже?

Пример 3 Решение

В этом случае нам не задан ни наклон, ни координаты. Однако мы можем найти координаты по линии. Чтобы упростить задачу, мы можем выбрать одну из точек в качестве точки пересечения по оси y, то есть (0, 2). Точка (-1, -1) также находится на прямой. Наклон линии:

м = ⁽²⁺¹⁾ ⁄ ₍₀₊₁₎ =3.

Поскольку у нас уже есть точка пересечения с осью y, мы можем обойти уравнение точка-наклон. Таким образом, уравнение для этой линии y=3x+2.

Пример 4

Линия k перпендикулярна линии, определяемой уравнением y= ⁵ ⁄ ₆ x.Прямая k также проходит через точку (10, 1). Каково уравнение прямой k?

Пример 4 Решение

Нам не задан наклон k в явном виде, но мы можем вычислить его, поскольку знаем, что он перпендикулярен прямой y= ⁵ ⁄ ₆ x. Наклон этой линии равен ⁵ ⁄ ₆ , поэтому перпендикулярная линия имеет наклон ^-6 ⁄ ₅ , противоположный обратный.

Теперь у нас есть точка и наклон, поэтому мы можем подставить их в уравнение точка-наклон: 6 ⁄ ₅ х+12

у= ^-6 ⁄ ₅ х+13.

Следовательно, уравнение y= ^-6 ⁄ ₅ x+13 определяет линию k. Эта линия также имеет точку пересечения y, равную 13.

Пример 5

Линия k параллельна линии l, показанной ниже.

Прямая k также проходит через точку (5, 24). Что такое y-пересечение k?

Пример 5 Решение

Мы знаем одну точку для k, но не знаем ее наклон. Однако, поскольку его наклон параллелен линии l, мы можем определить его, найдя наклон l.

Для этого мы можем выбрать любые две точки из l. Из графика видно, что прямая l пересекает оси у в точке (0, -3). Он также проходит через точку (1, 5). Следовательно, наклон равен:

м = ^(-3-5) ⁄ _(0-1) = ^-8 ⁄ _-1 = 8.

Следовательно, k также имеет наклон, равный 8. Теперь мы можем использовать формулу точка-наклон:

y-24=8(x-5)

y-24=8x-40

y-8x-16

 

Форма пересечения наклона | Почти Fun

Форма точки пересечения наклона линии:

y=mx+b

m обозначает наклон линии, а b обозначает точку пересечения линии с осью y. Обычно нам дают некоторую информацию, и мы должны найти m и b, чтобы подставить их и получить уравнение прямой.

Вопрос может дать вам две точки или одну точку и наклон . У нас есть шаги для каждого ниже, или вы можете прокрутить вниз до наших причудливых пошаговых калькуляторов .

Получение формы Slope-Intercept

Наши шаги будут различаться в зависимости от имеющейся у нас информации, поэтому какое руководство нам нужно?

Выберите вариантДве точкиОдна точка + наклон

Итак, помните, наше уравнение:

y=mx+bm обозначает наклон, а b обозначает точку пересечения линии по оси y.Шаги для написания этого уравнения, если у нас есть две точки , приведены ниже.

1. Сначала назовем наши точки Точкой 1 с координатами (x1​,y1​) и Точкой 2 с координатами (x2​,y2​).
2. Теперь найдем уклон. Разделите изменение y на изменение x:m=slope=x1​−x2​y1​−y2​​
   Обратите внимание на цветовое кодирование — убедитесь, что первые значения x и y в вычитаниях относятся к одной и той же точке.
3. Теперь давайте представим, что значение, которое мы получили для m, равно 2. Мы можем подставить это обратно в наше уравнение, так что теперь у нас есть y=2x+b
   Чтобы получить b, мы просто подставим одну из наших точек -y1​= 2(x1​)+b
   — и найти b.

Если все это ошеломляет, не парьтесь, попробуйте пошагово ниже👇🏻👇🏽👇🏿.

Итак, помните, наше уравнение:

y=mx+bm обозначает наклон, а b обозначает точку пересечения линии по оси y. Шаги для написания этого уравнения, если у нас есть точки и наклон , приведены ниже.

1. Во-первых, предположим, что наш наклон равен 2. Подставим его в наше уравнение: y=2x+b
2. Теперь мы подставим нашу точку в уравнение, чтобы найти b. Допустим, наша точка равна (3,5):555−6−1​=2(3)+b=6+b=b=b​
3. Теперь у нас есть наклон и точка пересечения по оси y, поэтому мы можем подключить их обратно, чтобы получить наше окончательное уравнение: y = 2x−1

Если это все ошеломляет, без труда, попробуйте шаг за шагом ниже👇🏻👇🏽👇🏿.

---

Калькулятор формы пересечения уклона (две точки)

Если у вас есть отрицательные числа, используйте дефис (-).

Получить линейное уравнение

1. Форма уравнения с пересечением наклона выглядит следующим образом:

   y=mx+b

   y-перехват. Нам нужны две точки на прямой, чтобы записать это уравнение.

2. У нас есть две введенные вами точки, так что давайте начнем с определения наклона.

3. Теперь, когда у нас есть наклон, мы можем подставить его в наше уравнение:

   y=undefinedx+b

   Чтобы получить b, точку пересечения с осью y, нам просто нужно подставить одну из введенных вами точек и решить .

   Выберем первую точку (,).

4. Теперь, когда у нас есть значения m и b, мы можем подставить их, чтобы получить уравнение:

Next имеют отрицательные числа, используйте дефис (-).

Получить линейное уравнение

1. Форма уравнения с пересечением наклона выглядит следующим образом:

   y=mx+b

   y-перехват.

   Нам нужны две точки на прямой, чтобы записать это уравнение.

2. У нас есть наклон, который вы ввели, поэтому мы сначала подставим его:

3. Теперь давайте подставим точку, которую вы ввели, чтобы найти b: наклон, m, и наши значения точки пересечения по оси y, b, мы можем подставить их, чтобы получить наше уравнение:

Next

---

Рассмотрим прямую линию $$l$$, и пусть $$\alpha $$ будет наклоном прямой линии, как показано на данной диаграмме.Теперь наклон линии представлен как $$\tan\alpha = m$$. Пусть $$P\left( {x,y} \right)$$ — любая точка на заданной прямой $$l$$. Пусть $$a$$ — точка пересечения прямой по оси X, поэтому прямая должна проходить через точку $$A\left( {a,0} \right)$$.

Возьмем $$a$$ в качестве точки пересечения прямой по оси X, так что прямая должна проходить через точку $$A\left( {a,0} \right)$$, т.е. $$OA = a = $$ Х-перехват. Из точки $$P$$ проведите $$PQ$$ перпендикулярно оси $$X$$.

Теперь по данной диаграмме рассмотрим треугольник $$\Delta PAQ$$, т.е.е. $$m\angle PAQ = \alpha $$, а по определению наклона берем
\[\begin{gathered} \tan \alpha = \frac{{PQ}}{{AQ}} = \frac{{ PQ}}{{OQ – OA}} \\ \Rightarrow \,\tan \alpha = \frac{y}{{x – a}} \\ \end{gathered} \]

Теперь по определению мы можем использовать $$m$$ вместо $$\tan \alpha $$, и мы получим
\[\begin{gathered} \Rightarrow m = \frac{y}{{x – a} } \\ \Стрелка вправо m\left( {x – a} \right) = y \\ \end{собрано} \]
\[\boxed{y = m\left( {x – a} \right)}\ ]

Это уравнение прямой с наклоном $$m$$ и пересечением через X $$a$$.

ПРИМЕЧАНИЕ : Можно заметить, что если прямая проходит через начало координат $$\left( {0,0} \right)$$, то точка пересечения по оси X равна нулю, т.е. $$ a = 0$$, поэтому уравнение прямой принимает вид $$y = mx$$.

Пример : Найдите уравнение прямой с наклоном $$8$$ и точкой пересечения по оси X, равной $$3$$.