написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Вы искали написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и напишите уравнение касательной к графику функции f в точке x0 f x0, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой,напишите уравнение касательной к графику функции f в точке x0 f x0,напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой,составьте уравнение касательной к графику функции y f x в точке x. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Онлайн?

Решить задачу написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Уравнение касательной к графику функции

Просмотр содержимого документа
«Уравнение касательной к графику функции»

Тест 5. Тема: Касательная к графику функции.

Задание: Напишите уравнение касательной к графику функции:
а) в точке с заданной абсциссой;
б) параллельной заданной прямой;
в) найдите абсциссы точек, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

1. a) x₀=0; б) y=x+2.

2. a) x₀=-1; б) y= -12x-1.

3. a) x₀=2; б) y=3x-4.

4. a) x₀=-2; б) y=3x+1.

5. a) x₀=1; б) y=-x-3.

6. a) x₀=0;

7. a) x₀=3; б) y=-2x+3.

8. a) x₀=-2; б) y=-x-5.

9. a) x₀=2; б) y=-x+2.

10. a) x₀=; б) y=x+2.

11. y= a) x₀=; б) y=2x-1.

12. a) x₀=-; б) y=x+2.

13. a) x₀=; б) y=x+2.

14. a) x₀=; б) y=x-4.

15. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x³+27 с осью абсцисс.

16. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 3.

17. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=cos(x+3) в точке с абсциссой -3

18. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x^{3 —} 27 с осью абсцисс.

19. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой -3.

20. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=sin(x-3) в точке с абсциссой 3.

21. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

22. Напишите уравнение касательной к графику функции y=x²+3x – 2 параллельной прямой y=x.

23. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой -2.

24. Напишите уравнение касательной к графику функции y=x²+3x – 2 параллельной прямой y=x.

25. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой -1.

26. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой π.

27. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 1.

28. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

29. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой -2.

30. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 1.

31. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

32. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

33. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²-2x+3 в точке пересечения графика с осью ординат.

34. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке М( .

35. Напишите уравнение касательной к графику функции Y=0,5x²-2x+2 в точке х=0.

36. . Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²-3x-3 в точке пересечения графика с осью ординат.

37. В какой точке графика функции касательная к графику этой функции наклонена к оси абсцисс под углом 60º.

38. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

39. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=-x²-2x в точке (1;1).

40. В какой точке графика функции касательная к графику этой функции наклонена к оси абсцисс под углом 30º.

41. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

42. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²-2x+2 в точке (-1;1).

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания 

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных

  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

или

или

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

 

4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки   в уравнение функции.

. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка  принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

или

Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение   — мы его уже записывали.

Получим:

Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Конспект урока по алгебре «Уравнение касательной» для 11 класса

Конспект урока алгебры по теме «Уравнение касательной»

Класс: 11

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, наглядный, частично-поисковый.

Цель урока:

• Осознание понятия касательной к графику функции в точке, геометрического смысла производной.

• Вывод уравнения касательной; составление алгоритма уравнения касательной к графику функции у = f (x).

• Рассмотрение трех типов задач на нахождение уравнения касательной к графику функции.

• Отработка навыка в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

• Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.

• Выработка коммуникативных навыков в работе, развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Задачи урока:

• Отработать умения и навыки по применению производной;

• Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

• Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

• Развивать навыки исследовательской работы.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока.

2. Мотивация учащихся

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран.

3. Актуализация знаний.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = одну общую точку (1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

2) Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку (π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

На данном уроке, мы с вами должны понять, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной и рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

4. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1?

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости, нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента

Примем за определение: касательная — это предельное положение секущей.

Говорят, что касательная есть предельное положение секущей  при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Определение касательной (записать в тетради)

Касательная    к    графику   дифференцируемой в точке х₀ функции у = f(х)  — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x)  в точках х₁, х₂, х₃,  и отметим углы, которые они образуют с положительным направлением оси Ох.

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому

  f ‘(х₁)>0, f ‘(х₂) = 0, f ‘(х₃) <0.

Раз касательная — это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то, что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой. (у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

То есть я могу записать tg α = yˈ(x₀).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М, принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х= x₀, у= f (x₀), т.е. М (x₀, f (x₀)) и пусть существует производная f ‘(x₀), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.

Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того, что там записано, можно ли найти к? (да, k = f ‘(x₀).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М x₀ (; f (x₀)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(x₀) = k x₀ +b , отсюда b = f(x₀) – k x₀,

т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(x₀) – f ‘(x₀) x₀

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f ‘(x₀)x + f(x₀) – f ‘(x₀) x₀, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(x₀) + f ‘(x₀) · (x- x₀).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = x₀.

Уравнение касательной к графику функции f в точке М(x₀, f(x₀)) имеет вид:

y = f ‘(х₀)(x — x₀) + f(x₀)

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (x₀, f (x₀ )) – координаты точки касания

2. f ‘(x₀) = tg α = к — тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении. Зная эту формулу, не нужно каждый раз заново проводить рассуждения по отысканию уравнения касательной. Надо просто найти входящие в неё значения f (х₀) и f'(х₀) и подставить их.

Давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся.

Алгоритм нахождения уравнения касательной в точке (записать в тетради)

1.Найти производную функции
2.Найти значение функции в точке касания
3.Найти значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

5. Первичное закрепление изученного материала

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана абсцисса точки касания х_0.

2. Дан угловой коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке х₀.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² — 3х + 5 в точке с абсциссой х₀ = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму).

1. (х₀₎ = -1;

2. f(х₀) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f ‘(х₀) = 2х – 3,
   f ‘(х₀) = f ‘(-1) = -2 – 3 = -5;

4. y = 9 – 5 · (x + 1), y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Пример 2. Дана функция f(x)=+3-2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=-2x+1.

Решение. Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

(f(x))’ = (+3 — 2x — 2) = 3 + 6x — 2.

Поскольку касательная параллельна y = -2x + 1, получим уравнение:

3 + 6x — 2 = -2;

x + 2x = 0;

x ∙ (x + 2) = 0;

= 0; = -2.

Подставим и в уравнение функции и найдем и  .

= (1 + 3 — 2 — 2) = 0;

= (-8 + 12 + 4 — 2) = 6.

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

y = -2x; y = -2x +10.     

Ответ: y = -2x; y = -2x +10.     

Пример 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не принадлежит графику функции, так как f(– 3) ≠ 6

х₀ – абсцисса точки касания. f(х₀) = – х₀² – 4 х₀ + 2.
Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(х₀) = – 2 х₀ – 4.
4. y = – у=х₀ ² – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)( х₀ – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – х₀² – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)(– 3 – х₀ ),
х₀² + 6 х₀ + 8 = 0; х_0 1 = – 4, х₀₂ = – 2. Это значит, что через точку М можно провести две касательные к графику функции.

Если х₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если х₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18; y = 6

6. Физкультминутка. Упражнение “Роняем руки” расслабляет мышцы всего корпуса. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторить несколько раз.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой на уроке.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1 Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

Ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8. Подведение итогов урока.

— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

9. Домашнее задание. П.5.2; № 5.21; №5.35; Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 — 10

10. Рефлексия деятельности на уроке.

Выберете результат, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Как получить уравнение касательной к графику функции. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Касательная к графику тригонометрической функции Сложность: лёгкое	2
2.	Касательная к графику квадратичной функции Сложность: лёгкое	2
3.	Нахождение приближённого значения числового выражения Сложность: лёгкое	1
4.	Уравнение касательной к графику квадратичной функции Сложность: среднее	1
5.	Тангенс угла наклона касательной Сложность: среднее	1
6.	Уравнение касательной к графику Сложность: среднее	1
7.	Точка касания прямой параллельно заданной Сложность: среднее	2
8.	Уравнение параллельной касательной Сложность: среднее	4
9.	Уравнение касательной к двум параболам Сложность: сложное	4
10.	Параметрическая функция к двум касательным Сложность: сложное	2
11.	Нахождение значения параметров прямой Сложность: сложное	2

конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Уравнение касательной к графику функции» | План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему:

МБОУ «Гимназия №20»

Конспект     урока

по алгебре и началам анализа на тему:

«Уравнение касательной к графику функции»

                                             

                                                Проведен в 11-Б классе

                                                    Учитель: Деева И.В.

                               

                                     

2013 г.

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний.

Цели:

а) образовательные:

— познакомить учащихся с применением уравнения касательной к решению задач различных типов;

— продолжить формировать умение применять формулы дифференцирования при составлении уравнения касательной к графику функции, а также использовать дополнительные условия, геометрический смысл касательной;

б) развивающие:

 — развивать самостоятельность, умение рефлексивной оценки своей деятельности;

-реализовывать информационную компетенцию учащихся в ходе работы с тестом за персональным компьютером;

в) воспитательные:

— воспитывать аккуратность, внимательность, интерес  к предмету.

Оборудование: мультимедийная презентация, проектор, карточки, персональные компьютеры для выполнения тестовой работы.

План урока:

Этап урока	Время
1.Оргмомент	1мин.
2.Сообщение темы и целей	1мин.
3.Актуализация знаний учащихся	12-15 мин
4.Обобщение знаний 1)Фронтальная работа с классом    2) Дифференцированная работа 1.                1группа  — выполняет тест на ПК                2 группа  — работают фронтально над задачей №2.         3) Дифференцированная работа 2.                2 группа  — выполняет тест на ПК               1 группа – работают фронтально над задачей №3	7 мин 5-7 мин 7 мин 5-7 мин 7 мин
5. Домашнее задание	2 мин
6. Итог урока	2 мин.

                     

                                                    

Ход урока:

Ι Орг. момент

ΙΙ Сообщение темы и целей (Слайд 1)

1.Сегодня на уроке мы рассмотрим применение уравнения касательной к графику функции к решению задач; будем учиться составлять уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а, уравнение касательной к графику функции y = f(x) такое, чтобы касательная была параллельна заданной прямой, определять значение производной, используя график функции у = f(x) и касательной к нему. Все эти вопросы встречаются на ЕГЭ, поэтому необходимо ваше внимание.  Вы сможете оценить степень усвоения материала по данной теме, решая задания математического диктанта и выполняя тест на ПК, а также скорректировать свои знания, работая на уроке и выполнив домашнее задание.

2.Оформление тетрадей

       

  ΙΙΙ Актуализация знаний

1. Математический диктант. 

Фамилия, имя
1.
2а
2б
2в
3
4
5

На экране будут появляться задания, которые вы должны решить и записать ответ в карточку. (Время работы над одним вопросом ≈1 мин).

1.Записать уравнение касательной	Слайд 2
2. Найти f ‘(x) :	Слайд 3
3. Найти значение производной функции f (x) = sin πx в точке х=3π/2. Варианты ответов: -π;   π;   1;     -1.	Слайд 4.
4.Среди указанных точек, отмеченных на оси Ох найти абсциссу точки графика функции, в которой tg угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох отрицателен.	Слайд 5.
5. Найти сумму абсцисс точек промежутка (-4;4), в которых касательные к графику параллельны оси Ох	Слайд 6. Варианты ответов: 1;     0;    2;     -2.

2. Проверка математического  диктанта    (Слайд 7).

По окончании работы проводится взаимопроверка и оценивание:

0 ош.- «5»,   1 ош. — «4»,  2 ош. –«3»,   3 ош. – «2».

1.	у – у0 = k (х –х0),   где у0=F (x0),    k = f ‘ (x0)
2а	4х — 5
2б	(9  5√х4) / 5
2в	19 / (7-х)2
3	— π
4	х3
5	0

3. Анализ ошибок, допущенных в работе

За разворотом доски заготовлено решение заданий 2б, 2в, 3.

4. —  Когда tg угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох отрицателен? ( угол тупой)

    —  В точке с какой абсциссой среди отмеченных точек угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой? (в х3)

5. – В каких точках оси Ох касательная  к графику параллельна оси Ох? (в точках максимума и минимума: -2,0,2)

— Чему равна их сумма?

ΙV Обобщение знаний

1. Фронтальная работа с классом. Решение задачи №1.  (Слайд 8)

На рисунке изображен график функции у = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой  х0. Найти значение производной в точке х0.

а) Разбор решения задачи.

Учитель	Ученик
— В чем заключается геометрический смысл производной? — Какой угол образует касательная  и положительное направление оси Ох? — Как можно найти tg ∠АВО ? — Из какого треугольника можно найти tg ∠АВО? Определите tg ∠АВО? — Чему равна f ‘(х)?	— Если в точке х0 к графику функции у = f (х)  проведена касательная, то число f ‘ (x) есть tg α между этой касательной и положительным направлением оси Ох; α — угол наклона касательной. ∠АВО Δ АВО. tg ∠АВО =  АО/ВО, АО=4, ВО=3, tg ∠АВО=4/3. 4/3

б) Самостоятельная запись решения.

в) Проверка решения на экране. (Слайд 9)

2. Дифференцированная работа

1)   1группа  — выполняет тест на ПК.

2группа – работают фронтально над задачей №2.

Задача №2 (Слайд 10)

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = (х8-1)/(х4+1) параллельной прямой у = -32+7.

Учитель	Ученик
— Назовите общий вид уравнения касательной. — Чем является k в данном уравнении? — Как можно преобразовать числитель? — Какова О.О.Ф.? — Чему равна производная f(x)? -Чему равен угловой коэффициент прямой?   — Что можно сказать об угловых  коэффициентах параллельных прямых? — Чему равен у0? — Какой вид будет иметь уравнение касательной?	у – у0 = k (х –х0)     k = f ‘ (x0) (х8-1)= (х4-1) (х4+1), значит f(х) =х4-1 О.О.Ф.=x € R 4х3 -32 Они равны, значит  4х3=-32, т.е. х0=-2. у0=f (x0)=15 у-15=-32(х+2) или у = -32х-49

2) 2 группа  — выполняет тест на ПК.

1группа – работают фронтально над задачей №3.

Задача №3 (Слайд 11)

На параболе   у = х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней  параллельна прямой 4х+у+4=0.

Учитель	Ученик
— Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе? — Чему равен угловой коэффициент прямой? — Что можно сказать об угловых  коэффициентах, если касательная и прямая параллельны? -Чем является х=-1? — Как найти ординату точки М?	k= у’=2х-2. у=-4х-4, значит k=-4 они равны, значит 2х-2=-4, т.е. х=-1 абсциссой точки М у(-1)= -5, значит М(-1;-5)

Задача№4 (дополнительно) –самостоятельно (Слайд 12)

Найти координаты точки, в которой касательная  к параболе у=х2-х-12 образует с осью Ох угол 450?

Решение:      у=х2-х-12.

                      tg α = y’=2х-1,      tg 450 = 1, значит 1=2х-1, т.е.

х=1 – абсцисса точки касания,            

 у (1) = -12, т.е. точка касания имеет координаты (1;-12)

 V Домашнее задание   

       

1.  Из сборника ЕГЭ-2013:индивидуальные карточки.

2. Дополнительно по желанию: Учебник, № 536(а).

       

VΙ  Итог урока

— Какие задачи мы учились решать на уроке?

(составлять уравнение касательной, используя дополнительные условия, составлять уравнение касательной, используя знания геометрического материала, использовать уравнение касательной для решения отдельных типов задач).

— Оценки за урок будут выставлены с учетом оценок за математический диктант, за тестовую работу на компьютере.

Практическая тетрадь по теме «Касательная к графику функции»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Касательная к графику функции»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Касательная к графику функции» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

 

Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х0,у0),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:

у=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0).

Геометрический смысл производной

Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f‘((x)== tgα

Механический смысл производной скорости движения.

Пусть точка движется по закону .

Тогда ; ,

где s — путь, пройденный точкой; V — скорость точки; а — ускорение точки.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

1) — уравнение искомой касательной;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Подставляем значения , и в уравнение касательной: или ,

Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке с абциссой

Решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время — в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени

Решение:

,

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время — в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени

Решение:

Функция есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость этого движения равна производной Мгновенная скорость есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени равно производной . Таким образом, ускорение движения в момент времени равно: , т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Поэтому ускорение движения равно второй производной

Итак, = ; ; ;

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:

; ,, .

Ответ:.

2. Точка движется по закону . Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени .

Ответ:.

3. Найдите угол между касательной к графику функции в точке и осью . Ответ: .

4. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Ответ:.

5. Найдите угол, образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: 1350.

6. Точка движется прямолинейно по закону

Найдите зависимость ускорения движения от времени, если .

Ответ: .

7. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

Ответ: .

8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 4с после начала движения.

Ответ: 3125 Дж.

ТЕСТ №1

1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в

точке пересечения этого графика с осью ординат.

А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции

f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)

А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.

3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону

V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно

А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.

4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику

функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?

А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.

5. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения скорости в момент времени .

А) 202; В) 198; С) 98; D) 104; Е) 128.

6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена

касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.

7. Точка движется прямолинейно по закону .В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.

8.Дана функция .Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

А) ; В) ; С);

D) Е)

9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3).

А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.

10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).

А) ; В) -; С) -4; D) 1; Е) 4.

ТЕСТ №2

1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А) ; В); С); D); Е).

2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А); В) ; С) ; D) ; Е).

3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .

А); В) ; С) ; D) ; Е) .

4. Материальная точка движется по прямой линии по закону . Найдите скорость материальной точки в момент времени .

А) В) С) D) Е)

5. Прямолинейное движение точки задано уравнением .Найти скорость движения точки в момент времени .

А)28 В)34 С)25 D)45 Е)18.

6. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения ускорения в момент времени .

А) 48 В) 50 С)32 D)58 Е)74

7. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения графика с осью ординат.

А) В) С) D) Е)

8. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

А) В) С) D) Е)

9. Найдите уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой, заданной уравнением .

А) В) С) D) Е)

10. При каком значении прямая является касательной к графику функции

А) В) С) D) Е)

ОТВЕТЫ

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тест№1	С	В	А	D	D	А	С	В	С	Е
Тест№2	D	Е	А	С	А	В	В	В	Е	D

Как найти уравнение касательной к кривой y = ln (3x-5) в точке, где x = 3?

Уравнение касательной состоит из двух частей: производной (наклона) и точки пересечения # y #. Проблема содержит всю информацию, необходимую для ее решения; нам просто нужно быть умными и использовать правильные техники.

Сначала мы находим производную нашей функции в # x = 3 #. Это будет наклон касательной. (Касательная прямая, поэтому наклон одинаков во всех точках — будь то # x = 3, 4, 5, 6, 7, # и т. Д.).Производная функции натурального логарифма равна # 1 / x #, поэтому мы знаем, что производная от #ln (3x-5) # будет # 1 / (3x-5) #.

Однако правило цепочки говорит нам, что нам нужно умножить это на производную «внутренней» функции (в нашем случае # 3x-5 #), которая равна # 3 #. Следовательно, полная производная равна
#y ‘(x) = 3 / (3x-5) #.

Чтобы найти производную в # x = 3 #, мы просто подставляем # 3 # для # x #:
#y ‘(3) = 3 / (3 (3) -5) #

#y ‘(3) = 3 / (9-5) #

#y ‘(3) = 3/4 #

Таким образом, наклон нашей касательной равен # 3/4 #.Теперь для нахождения перехвата # y # требуется наклон, который у нас есть, и точка из функции # y = ln (3x-5) #. Поскольку мы оцениваем касательную в точке # x = 3 #, мы будем использовать # 3 #, чтобы найти нашу точку:
#y (3) = ln (3 (3) -5) #
#y (3) = ln (9-5) #
#y (3) = ln (4) #

Наконец-то мы можем перейти к последнему шагу — нахождению фактического уравнения. Поскольку мы знаем, что касательная прямая, она будет иметь вид # y = mx + b #, где # m # — наклон, а # b # — пересечение # y #. У нас есть все необходимое:
# y = ln (4) -> # (# y # часть точки)
# x = 3 -> # (# x # часть точки)
# m = 3 / 4- > # (наклон)

Давайте подставим эти числа в наше уравнение:
#ln (4) = (3/4) (3) + b #
#ln (4) = 9/4 + b #
#ln (4) -9 / 4 = b #

Это наш # y # -перехват, составляющий уравнение касательной # y = 3 / 4x + ln (4) -9 / 4 #.Если вы предпочитаете точные числа вместо журналов и дробей, это можно округлить до
# y = 3 / 4x-.864 #

.

См. График ниже для визуального описания решения.

Калькулятор касательной линии — Solumaths

Краткое описание:

Калькулятор уравнения касательной линии используется для вычисления уравнения касательной линии к кривой в заданной точке абсциссы с поэтапным вычислением. 2 + 3; 1`), возвращает [y = 2 + 2 * x]

Вычислить в режиме онлайн с помощью equal_tangent_line (найти уравнение касательной)

Уравнение касательной линии 3d калькулятор

Уравнение касательной плоскости к сфере радиуса и центра в начале координат по широте и долготе имеет вид.2 = 9 $ в точке $ (-1, 1, 2) $.

Представьте себе круг (с двумя вертикальными касательными). У нас все еще есть уравнение, а именно x = c, но оно не имеет формы y = ax + b. На самом деле такие касательные имеют бесконечный наклон. Чтобы быть точным, мы скажем: график функции f (x) имеет вертикальную касательную в точке (x 0, f (x 0)) тогда и только тогда, когда

28 марта 2020 г. · Касательной называется прямая, которая пересекает кривую только в одной точке и не проходит через нее, так что его наклон равен наклону кривой в этой точке.Чтобы найти горизонтальную касательную, вы должны найти точку, в которой наклон кривой равен нулю, что занимает около 10 минут при использовании калькулятора.

Нам нужно вычислить средние точки прямой PQ, которая равна F, и наклон, чтобы найти уравнение серединного перпендикуляра. Шаг 1: Давайте вычислим среднюю точку линии, которая является средним значением координат x и y.

Это ~, и эта линия должна касаться поверхности в точке (поскольку это часть касательной плоскости).Кроме того, эта линия предполагает, что (т. Е. Фиксированная), а A — наклон этой линии. Но если мы подумаем об этом, это именно то, к чему и есть касательная, касательная линия к поверхности при таком допущении.

Раздел 1.5 Уравнения линий в 3d. Так же, как в двух измерениях, линия в трех измерениях может быть указана путем задания одной точки \ ((x_0, y_0, z_0) \) на линии и одного вектора \ (\ vd = \ llt d_x, d_y, d_z \ rgt \ ), направление которой параллельно направлению прямой.

Бесплатный онлайн-калькулятор в научной системе обозначений.Решать сложные задачи по физике, математике и инженерии. Средство визуализации математических выражений, графики, конвертер единиц измерения, средство решения уравнений, комплексные числа, история вычислений.

4.5 Производные и форма графика — Том 1 исчисления

Цели обучения

• Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
• Укажите первую производную проверку критических точек.
• Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
• Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
• Объясните взаимосвязь между функцией и ее первой и второй производными.
• Укажите второй тест производной для локальных экстремумов.

Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция имеет локальный экстремум в точке, то она должна быть критической точкой. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке. Например, имеет критическую точку в, поскольку в точке равен нулю, но в точке нет локального экстремума. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению.В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

Следствие 3 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале, то функция возрастает на протяжении С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале, то функция убывает на протяжении как показано на следующем рисунке.

0. Другими словами, f увеличивается. На рисунке b показана функция, вогнутая, возрастающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих точках f ’> 0. Другими словами, f увеличивается. На рисунке c показана функция, вогнутая, убывающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих f ’<0. Другими словами, f уменьшается. На рисунке d показана функция, выпукло убывающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих точках f ’<0.Другими словами, f убывает. "> Рисунок 1. Обе функции увеличиваются в интервале В каждой точке производная Обе функции убывают в интервале В каждой точке производная

Непрерывная функция имеет локальный максимум в точке тогда и только тогда, когда она переключается с увеличения на уменьшение в точке Аналогично, имеет локальный минимум в том и только в том случае, если переключается с уменьшения на увеличение в точке If является непрерывной функцией на интервале, содержащем и дифференцируемым по за исключением, возможно, единственного способа переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке, если меняет знак при увеличении через If, дифференцируемо единственным способом, который может изменять знак при увеличении через, если, следовательно, для функции, которая является непрерывной в течение интервала, содержащего и дифференцируемого, за исключением, возможно, единственного способа переключения с увеличения на уменьшение (или наоборот) — это if или undefined.Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции, мы ищем точки в области определения таких, что или не определено. Напомним, такие точки называются критическими точками

.

Обратите внимание, что не обязательно иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рисунке показано, что если непрерывная функция имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если в критической точке имеется локальный экстремум, то знак переключается как увеличивается через эту точку.

Используя (рисунок), мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

Этот результат известен как тест первой производной .

Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов. Используйте графическую утилиту для подтверждения результатов.

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для

Решение

имеет местный минимум -2 и местный максимум 3.

Использование теста первой производной

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов. Используйте графическую утилиту для подтверждения результатов.

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для

Решение

не имеет локальных экстремумов, потому что не меняет знак на

Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается.Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

(Рисунок) (a) показывает функцию с графиком, который изгибается вверх. По мере увеличения наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением, является возрастающей функцией. Мы говорим, что эта функция вогнута вверх . (Рисунок) (b) показывает функцию, которая изгибается вниз.По мере увеличения наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает при увеличении, является убывающей функцией. Мы говорим, что эта функция вогнута вниз на .

В общем, не имея графика функции, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция вогнута вверх, если увеличивается. Из следствия 3 мы знаем, что if — дифференцируемая функция, то увеличивается, если ее производная. Следовательно, дважды дифференцируемая функция вогнута вверх, когда Аналогично, функция вогнута вниз, если убывает.Мы знаем, что дифференцируемая функция убывает, если ее производная. Следовательно, дважды дифференцируемая функция вогнута вниз, когда применение этой логики известно как тест на вогнутость .

Мы пришли к выводу, что мы можем определить вогнутость функции, посмотрев на вторую производную от. Кроме того, мы замечаем, что функция может переключать вогнутость ((рисунок)). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке, если или не определено. Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения, где или не определено.Когда мы определили эти точки, мы разделим область на меньшие интервалы и определим знак для каждого из этих меньших интервалов. Если меняет знак, когда мы проходим через точку, то меняется вогнутость. Важно помнить, что функция не может изменять вогнутость в точке, даже если или не определено. Если, однако, вогнутость в какой-то точке действительно меняется и в точке остается непрерывной, мы говорим, что это точка перегиба , из

.

Испытание на вогнутость

Для функции определите все интервалы, где находится вогнутый вверх, и все интервалы, где вогнутый вниз.Перечислите все точки перегиба для использования графической утилиты, чтобы подтвердить свои результаты.

Теперь мы суммируем на (Рисунок) информацию, которую первая и вторая производные функции предоставляют о графике, и проиллюстрируем эту информацию на (Рисунок).

Что производные говорят нам о графиках

Знак	Знак	Увеличивается или уменьшается?	Вогнутость
Положительный	Положительно	Увеличение	Вогнутый вверх
Положительный	отрицательный	Увеличение	Вогнутый вниз
Отрицательный	Положительно	Уменьшение	Вогнутый вверх
Отрицательный	отрицательный	Уменьшение	Вогнутый вниз

Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать тест второй производной , чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Позвольте быть дважды дифференцируемой функцией, такой что и непрерывна на открытом интервале, содержащем Предположим, поскольку непрерывна для всех ((Рисунок)).Тогда, согласно следствию 3, является убывающей функцией над Поскольку мы заключаем, что для всех, если и если Следовательно, по первому критерию производной, имеет локальный максимум в С другой стороны, предположим, что существует точка такая, что, но С непрерывно над открытый интервал, содержащий затем для всех ((Рисунок)). Тогда по следствию есть возрастающая функция над Поскольку мы заключаем, что для всех, если и если Следовательно, по первому критерию производной, имеет локальный минимум на

Обратите внимание, что для случая iii.когда тогда может быть локальный максимум, локальный минимум или ни один из них, например, функции и все имеют критические точки в В каждом случае вторая производная равна нулю в точке Однако функция имеет локальный минимум в точке, тогда как функция имеет локальную точку. максимум при и функция не имеет локального экстремума при

Давайте теперь посмотрим, как использовать второй тест производной, чтобы определить, есть ли локальный максимум или локальный минимум в критической точке, где

Использование теста второй производной

Используйте вторую производную, чтобы найти местоположение всех локальных экстремумов для

Теперь мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили понимание основной формы графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией. На этом этапе у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого разнообразия функций.

1. If — критическая точка, когда нет локального максимума или минимума в Объяснении.

2. Для функции одновременно точка перегиба и локальный максимум / минимум?

Решение

Это не локальный максимум / минимум, потому что не меняет знак

3. Для функции это точка перегиба?

4. Может ли точка быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

5. Зачем вам нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

6. Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекаться для некоторого значения

.

Решение

Ложь; например,

7. Объясните, может ли многочлен степени 2 иметь точку перегиба.

Для следующих упражнений проанализируйте графики и перечислите все интервалы, в которых увеличивается или уменьшается.

9. 10.

Решение

Уменьшение для увеличения для

11. 12.

Для следующих упражнений проанализируйте графики, затем перечислите все интервалы, где

1. увеличивается и уменьшается и
2. расположены минимумы и максимумы.

13. 14. 15. 16.

Решение

а. Увеличивается по уменьшению в течение b. Минимум

17.

Для следующих упражнений проанализируйте графики и перечислите все точки перегиба и интервалы, которые являются вогнутыми вверх и вогнутыми вниз.

18.

Решение

Вогнутость во всех точках без перегиба

19. 20.

Решение

Вогнутость во всех точках без перегиба

21. 22.

Для следующих упражнений нарисуйте график, который удовлетворяет заданным спецификациям для области. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

Решение

Ответы будут отличаться

25. выше локального максимума в локальных минимумах на

26. Существует локальный максимум в локальном минимуме в, и график не вогнутый вверх и не вогнутый вниз.

Решение

Ответы будут отличаться

27. Имеются локальные максимумы на функции, вогнутая для всех, и функция остается положительной для всех

Для следующих упражнений определите

1. интервалов увеличения или уменьшения и
2. локальных минимумов и максимумов

29.

Для следующих упражнений определите a. интервалы, где вогнутый вверх или вогнутый вниз, и b. точки перегиба

30.

Решение

а.Вогнусь вверх для вогнутости вниз для b. Точка перегиба на

Для следующих упражнений определите

1. интервалы увеличения или уменьшения,
2. локальных минимумов и максимумов
3. интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, и
4. точки перегиба

31.

32.

33.

34.

35.

37.

Для следующих упражнений определите

1. интервалы увеличения или уменьшения,
2. локальных минимумов и максимумов
3. интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, и
4. точки перегиба нарисуйте кривую, затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.

38. [T] свыше

39.[T] более

41. [Т]

42. [Т]

Решение

а. Увеличение для всех, где это определено b. Нет локальных минимумов или максимумов c. Вогнусь вверх для вогнутости вниз на d. В домене

нет точек перегиба

44. более

45.

46.

47.

Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах

.

48. Население растет медленнее. Вот население.

Решение

49. Велосипед ускоряется быстрее, но автомобиль едет быстрее. Здесь позиция велосипеда минус позиция автомобиля.

50. Самолет плавно приземляется. Вот высота самолета.

Решение

51. Цены на акции достигли пика. Вот цена акции.

52. Экономика набирает обороты.Вот такой показатель экономики, как ВВП.

Решение

Для следующих упражнений рассмотрите многочлен третьей степени, который имеет свойства Определить, являются ли следующие утверждения истинными или ложными . Обосновать ответ.

53. для некоторых

54. для некоторых

Решение

Верно, по теореме о среднем значении

55. Абсолютного максимума на

не существует.

56. Если имеет три корня, то имеет 1 точку перегиба.

Решение

Верно, изучите производную

57. Если имеет одну точку перегиба, то у него три реальных корня.

Круговые функции

График уравнения x ² + y ² = 1 — это круг в прямоугольной системе координат. Этот график называется единичной окружностью , имеет центр в начале координат и радиус 1 единицу.Тригонометрические функции определены так, что их области представляют собой наборы углов , а их диапазоны являются наборами действительных чисел. Круговые функции определены так, что их области представляют собой наборы чисел , которые соответствуют размерам (в радианах) углов аналогичных тригонометрических функций. Диапазоны этих круговых функций, как и их аналогичные тригонометрические функции, представляют собой наборы действительных чисел. Эти функции называются круговыми функциями, потому что меры углов в радианах определяются длинами дуг окружностей.В частности, тригонометрические функции, определенные с помощью единичного круга, ведут непосредственно к этим круговым функциям.

Начните с единичной окружности x ² + y ² = 1, показанной на рисунке. Точка A (1,0) расположена на пересечении единичной окружности и оси x . Пусть q — любое действительное число. Начните с точки A и измерьте | q | единиц по единичной окружности против часовой стрелки, если q > 0, и по часовой стрелке, если q <0, заканчиваясь в точке P ( x, y ).Определите синус и косинус q как координаты точки P . Другие круговые функции (тангенс, котангенс, секанс и косеканс) могут быть определены в терминах синуса и косинуса.

Рисунок 1
Обозначение единичной окружности.

Sin q и cos q существуют для каждого действительного числа q , потому что (cos q , sin q ) являются координатами точки P , расположенной на единичной окружности, что соответствует длине дуги из | q |.Поскольку эта длина дуги может быть положительной (против часовой стрелки) или отрицательной (по часовой стрелке), область каждой из этих круговых функций является набором действительных чисел. Диапазон более ограничен. Косинус и синус — это абсцисса и ордината точки, которая движется по единичной окружности, и они варьируются от -1 до 1. Следовательно, диапазон каждой из этих функций представляет собой набор действительных чисел z , таких что -1 ⩽ z ⩽ 1 (см. Рисунок 2).

Рисунок 2
Диапазон значений триггерных функций.

Пример 1: Какие значения x в области синусоидальной функции между −2π и 2π имеют значение диапазона 1 (рисунок 3)?

Рисунок 3
Чертеж для примера 1.

Диапазон значений sin x равен 1, когда точка P имеет координаты (0, 1). Это происходит, когда x = π / 2 и x = −3π / 2.

Пример 2: Какие значения x в области функции косинуса между −2π и 2π имеют диапазон значений — 1 (рисунок 4)?

Рисунок 4
Рисунок для примера 2.

Диапазон значений cos x равен -1, когда точка P (cos x , sin x ) имеет координаты (-1, 0). Это происходит, когда x = π и x = −π.

Пример 3: Точка P находится на единичной окружности. Длина дуги от точки A (1,0) до точки P составляет q единиц. Каковы значения шести круговых функций q ?

Значения синуса и косинуса следуют из определений и являются координатами точки P .Остальные четыре функции выводятся с помощью синуса и косинуса.

Знак каждой из шести круговых функций (см. Таблицу 1) зависит от длины дуги q . Обратите внимание, что четыре интервала для q непосредственно соответствуют четырем квадрантам для тригонометрических функций.

тригонометрических функций

тригонометрических функций

Произвольные углы и единичная окружность

До сих пор мы использовали единичный круг для определения тригонометрических функций для острых углов.В следующем разделе, где мы рассмотрим наклонные треугольники, нам понадобится нечто большее, чем острые углы. Некоторые наклонные треугольники являются тупыми, и нам нужно знать синус и косинус тупых углов. Пока мы делаем это, мы также должны определять триггерные функции для углов, превышающих 180 °, и для отрицательных углов. Сначала нам нужно четко определить, что это за углы.

Древнегреческие геометры считали углы только между 0 ° и 180 °, и они не считали ни прямой угол 180 °, ни вырожденный угол 0 ° углами.Эти частные случаи полезно не только рассматривать как углы, но и включать в них углы от 180 ° до 360 °, которые иногда называют «углами отражения». С применением тригонометрии к предметам исчисления и дифференциальных уравнений, углы, превышающие 360 °, и отрицательные углы также стали приемлемыми.

Рассмотрим единичный круг. Обозначьте его центр (0,0) как O, и обозначьте точку (1,0) на нем как A. Как движущаяся точка B движется по единичной окружности, начиная с A и двигаясь по против часовой стрелки, угол AOB как угол 0 ° и увеличивается.Когда B прошел весь путь по окружности и вернулся к A, , тогда угол AOB будет углом 360 °. Конечно, это тот же угол, что и угол 0 °, поэтому мы можем идентифицировать эти два угла. Поскольку B продолжает второй раз по кругу, мы получаем углы от 360 ° до 720 °. Это те же углы, которые мы видели в первый раз, но у нас есть разные названия. Например, прямой угол обозначается как 90 ° или 450 °. Каждый раз, обойдя круг, мы получаем другое название угла.Таким образом, 90 °, 450 °, 810 ° и 1170 ° называют один и тот же угол.

Если B начинается в той же точке A и движется по часовой стрелке, то мы получим отрицательные углы, или, точнее, названия в отрицательных градусах для тех же углов. Например, если вы проедете четверть круга по часовой стрелке, угол AOB будет назван как –90 °. Конечно, это то же самое, что и угол 270 °.

Итак, в общем, любой угол назван бесконечным числом имен, но все они отличаются друг от друга на 360 °.

Синусы и косинусы произвольных углов

Теперь, когда мы указали произвольные углы, мы можем определить их синусы и косинусы. Пусть угол расположен так, чтобы его вершина находилась в центре единичной окружности O = (0,0), и пусть первая сторона угла расположена вдоль оси x . Пусть вторая сторона угла пересекает единичную окружность в точке B. Тогда угол равен углу AOB , где A равен (1,0).Мы используем координаты B , чтобы определить косинус угла и синус угла. В частности, координата x точки B является косинусом угла, а координата y точки B является синусом угла. Это определение расширяет определения синуса и косинуса, данные ранее для острых углов.

Свойства синусов и косинусов, вытекающие из этого определения

Есть несколько свойств, которые мы можем легко вывести из этого определения.Некоторые из них обобщают тождества, которые мы уже видели для острых углов.

1. Синус и косинус являются периодическими функциями периода 360 °, то есть периода 2 π . Это потому, что синусы и косинусы определяются в терминах углов, и вы можете добавить кратные 360 ° или 2 π , и это не изменит угол. Таким образом, для любого угла θ , sin ( θ + 360 °) = sin θ, и

   cos ( θ + 360 °) = cos θ.

   Многие из современных приложений тригонометрии вытекают из использования тригонометрии в исчислении, особенно те приложения, которые имеют дело непосредственно с тригонометрическими функциями. Итак, мы должны использовать радиан, когда думаем о триггере с точки зрения триггерных функций. В радианах последняя пара уравнений читается как

   sin ( θ + 2 π ) = sin θ, и

   cos ( θ + 2 π ) = cos θ.

2. Синус и косинус дополняют друг друга: cos θ = sin ( π /2 — θ )

   sin θ = cos ( π /2 — θ )

   Мы видели это раньше, но теперь у нас есть это для любого угла θ. Это правда, потому что, когда вы отражаете плоскость поперек диагональной линии y = x, угол заменяется его дополнением.

3. Пифагорейское тождество синусов и косинусов следует непосредственно из определения. Поскольку точка B лежит на единичной окружности, ее координаты x и y удовлетворяют уравнению x ² + y ² = 1. Но координаты — это косинус и синус, поэтому делаем вывод sin ² θ + cos ² θ = 1.

   Теперь мы готовы рассмотреть синус и косинус как функции.

4. Синус — нечетная функция, а косинус — четная функция. Возможно, вы не встречали этих прилагательных «нечетный» и «четный» применительно к функциям, но их важно знать. Функция f называется функцией odd , если для любого числа x, f (- x ) = — f ( x ). Функция f называется функцией даже , если для любого числа x, f (- x ) = f ( x ).Большинство функций не являются ни нечетными, ни четными, но некоторые из наиболее важных функций являются теми или иными. Любой многочлен только с членами нечетной степени является нечетной функцией, например, f ( x ) = x ⁵ + 8 x ³ -2 x. (Обратите внимание, что все степени x являются нечетными числами.) Точно так же любой многочлен только с членами четной степени является четной функцией. Например, f ( x ) = x ⁴ — 3 x ² — 5.(Константа 5 равна 5 x ⁰ , а 0 — четное число.)

   Синус — нечетная функция, а косинус — четная

   sin (- θ ) = –sin θ, и

   cos (- θ ) = cos θ.

   Эти факты вытекают из симметрии единичной окружности относительно оси x . Угол — t — тот же угол, что и t , за исключением того, что он находится с другой стороны оси x . Переворачивание точки ( x, y ) на другую сторону оси x превращается в ( x, –y ), поэтому координата y инвертируется, то есть синус инвертируется. , но координата x осталась прежней, то есть косинус не изменился.

5. Очевидным свойством синусов и косинусов является то, что их значения лежат в диапазоне от –1 до 1. Каждая точка на единичной окружности находится на расстоянии 1 единицы от начала координат, поэтому координаты любой точки также находятся в пределах 1 от 0.

Графики функций синуса и косинуса

Давайте возьмем t как переменный угол. Вы можете думать о t как об угле и времени. Для людей хороший способ понять функцию — это посмотреть на ее график.Начнем с графика sin t. Возьмите горизонтальную ось за ось t (а не за ось x , как обычно), возьмите вертикальную ось за ось y и изобразите уравнение y = sin t . Похоже на это.

Во-первых, отметим, что он периодичен с периодом 2 π . С геометрической точки зрения это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее на 2 π влево или вправо, кривая вернется в исходное положение.Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы оси t . Мало что еще является очевидным, за исключением случаев, когда он увеличивается и уменьшается. Например, sin t возрастает от 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается с увеличением угла AOB от 0 до π /2.

Теперь давайте посмотрим на график косинуса. Опять же, возьмите горизонтальную ось за ось t , но теперь возьмите вертикальную ось за ось x и изобразите уравнение x = cos t.

Обратите внимание, что он выглядит так же, как график sin t , за исключением того, что он сдвинут влево на π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не сталкивались с этим тождеством, оно легко следует из уже рассмотренных: cos t = cos — t = sin ( π /2 — (- t )) = sin ( π /2 + т ).

Графики функций тангенса и котангенса

График касательной функции имеет вертикальную асимптоту при x = π /2. Это связано с тем, что касательная стремится к бесконечности, когда t приближается к π /2. (На самом деле, она приближается к минус бесконечности, поскольку t приближается к π /2 справа, как вы можете видеть на графике.

Вы также можете видеть, что тангенс имеет период π ; также есть вертикальные асимптоты через каждые π единиц слева и справа.Алгебраически эта периодичность выражается как tan ( t + π ) = tan t.

График котангенса очень похож.

Это сходство просто потому, что котангенс t является тангенсом дополнительного угла π — t.

Графики функций секанса и косеканса

Секанс — это величина, обратная косинусу, а поскольку косинус принимает только значения от –1 до 1, секанс принимает только значения выше 1 или ниже –1, как показано на графике.Также секанс имеет период 2 π .

Как и следовало ожидать, график косеканса очень похож на график секанса.

Wolfram | Примеры альфа: касательные и нормали

---

Касательные линии

Найдите касательную к кривой.

Найдите касательную к графику функции в точке:

Найдите касательную к кривой, заданной уравнением:

Другие примеры

---

Касательные плоскости

Найдите плоскость, касающуюся поверхности в 3D.

Найдите касательную плоскость к поверхности:

Другие примеры

---

Касательные гиперплоскости

Найдите гиперплоскость, касательную к абстрактной поверхности.

Найдите касательную гиперплоскость:

Другие примеры

---

Нормальные линии

Найдите прямую, перпендикулярную касательной к уравнению в точке.

Найдите нормальную линию к графику функции в точке:

Найдите нормаль к кривой, заданной уравнением:

Другие примеры

.