Уравнения и неравенства с модулями (учебное пособие для школьников)
Самаров К.Л.
Учебное пособие для школьников по математике
Уравнения и неравенства с модулями
СОДЕРЖАНИЕ
- Модуль (абсолютная величина) числа
- Простейшие уравнения с модулями
- Уравнения, использующие свойство неотрицательности модуля
- Простейшие неравенства с модулями
- Неравенства с модулями, сводящиеся к квадратным неравенствам
- Уравнения с модулями, содержащие параметр
- Неравенства с модулями, содержащие параметр
- Задачи с модулями, связанные с расположением корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
С понятием модуля действительного числа можно ознакомиться в разделе «Абсолютная величина (модуль) действительного числа» нашего справочника.
С понятием квадратного трехчлена, решением квадратных уравнений, разложением квадратного трехчлена на множители можно ознакомиться в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника, а также в нашем учебно-методическом пособии для школьников по математике «Квадратный трехчлен».
Графики парабол и решение квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
Внеклассный урок — Уравнения и неравенства с модулем
Уравнения и неравенства с модулем
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |6|, |х|, |а| и т.д.
(Подробнее – в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем.
Пример 1. Решить уравнение
|10х – 5| = 15.
Решение.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15
│10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20
│10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10
│х = –10 : 10
↕
│х = 2
│х = –1
Ответ: х1 = 2, х2 = –1.
Пример 2. Решить уравнение
|2х + 1| = х + 2.
Решение.
Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ –2.
Составляем два уравнения:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –(х + 2)
Решаем:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –х – 2
↕
│2х – х = 2 – 1
│2х + х = –2 – 1
↕
│х = 1
│х = –1
Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1.
Пример 3. Решить уравнение
|х + 3| – 1
————— = 4
х – 1
Решение.
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде:
|х + 3| – 1 = 4 · (х – 1),
|х + 3| – 1 = 4х – 4,
|х + 3| = 4х – 4 + 1,
|х + 3| = 4х – 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х – 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
│х + 3 = 4х – 3
│х + 3 = –(4х – 3)
↕
│ х + 3 = 4х – 3
│ х + 3 = –4х + 3
↕
│х – 4х = –3 – 3
│х + 4х = 3 – 3
↕
│х = 2
│х = 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Неравенства с модулем.
Пример 1. Решить неравенство:
|х — 3| < 4
Решение.
Правило модуля гласит:
|а| = а, если а ≥ 0.
|а| = –а, если а < 0.
Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая:
х – 3 ≥ 0 и х – 3 < 0.
1) При х – 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х – 3 < 4.
2) При х – 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
–(х – 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем:
–х + 3 < 4.
Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:
│ х – 3 ≥ 0
│ х – 3 < 4
и
│ х – 3 < 0
│–х + 3 < 4
Решим их:
│х ≥ 3
│ х < 7
и
│х < 3
│х > –1
Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:
3 ≤ х < 7 U –1 < х < 3.
Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это –1 и 7. При этом х больше –1, но меньше 7. Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от –1 до 7, исключая эти крайние числа.
Ответ: –1 < х < 7.
Или: х ∈ (–1; 7).
Дополнения.
1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства — графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х — 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа – к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.
При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:
–1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:
–4 < х – 3 < 4.
Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число –4 являются границами решения неравенства.
Далее мы просто переносим влево и вправо число –3 с обратным знаком, оставляя х в одиночестве:
–4 + 3 < х < 4 + 3
–1 < х < 7.
Пример 2. Решить неравенство
|х – 2| ≥ 5
Решение.
Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны –3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.
Ответ: –3 ≥ х ≥ 7.
Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:
–5 ≥ х – 2 ≥ 5
–5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2
Ответ тот же: –3 ≥ х ≥ 7.
Или: х ∈ [–3; 7]
Пример решен.
Пример 3. Решить неравенство:
6х2 – |х| – 2 ≤ 0
Решение.
Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:
6х2 – х – 2 ≤ 0.
Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6х2 – (–х) – 2 ≤ 0.
Раскрываем скобки:
6х2 + х – 2 ≤ 0.
Таким образом, мы получили две системы уравнений:
│6х2 – х – 2 ≤ 0
│ х ≥ 0
и
│6х2 + х – 2 ≤ 0
│ х < 0
Надо решить неравенства в системах – а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.
Начнем с первого:
6х2 – х – 2 = 0.
Как решается квадратное уравнение – см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:
х1 = –1/2, х2 = 2/3.
Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от –1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[–1/2; 2/3].
Теперь решим второе квадратное уравнение:
6х2 + х – 2 = 0.
Его корни:
х1 = –2/3, х2 = 1/2.
Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от –2/3 до 1/2.
Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от –2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.
Ответ: –2/3 ≤ х ≤ 2/3.
Или: х ∈ [–2/3; 2/3].
«Решение уравнений и неравенств с модулем». Видеолекция 1
ВИДЕОЛЕКЦИИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМСодержание Видеолекции 1:
1. Определение понятия «модуль».
2. Геометрический смысл модуля.
3. Противоположные числа.
4. Уравнение |x|=a.
5. Полезные примеры:
6. Неравенство |x|<a.
7. Полезные примеры:
8. Неравенство |x|>a.
9. Полезные примеры:
10. Решение уравнения ||=1.
11. Видеорешение уравнения .
12. Видеорешение неравенства .
13. Видеорешение неравенства .
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Вернуться на страницу ВИДЕОЛЕКЦИИ
Методическая разработка по алгебре по теме: Зачетная работа» Уравнения и неравенства с модулем»
Пояснительная записка
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем»
рассчитана как домашняя самостоятельная работа и содержит 15
индивидуальных вариантов. В работе отражены все основные методы и
приемы решения. Работа в целом может показать уровень
сформированности предметных навыков учащихся по данной теме.
Индивидуальные варианты позволяют решить проблему переписывания и
перенести часть отработки темы на самостоятельную работу учащихся.
(Консультация учителя по необходимости)
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №1.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №2.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №3.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №4.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №5.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №6.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №7.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №8.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №9.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №10.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №11.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №12.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №13.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №14.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Зачетная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Вариант №15.
(1-4) Решите уравнения. | (5-6) Решите неравенства. |
(7) Найдите число целых решений неравенства, принадлежащих промежутку. | (8-9) Найдите произведение корней уравнения. |
(10) Найдите среднее арифметическое корней уравнения. | (11) Найдите сумму целых решений уравнения, принадлежащих отрезку. |
Программа элективного курса «Уравнения и неравенства с модулями»
Управление образования администрации города Чебоксары
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №24» города Чебоксары Чувашской Республики
РассмотреноНа заседании ТЛ
естественно-математического цикла
Руководитель ТЛ
___________ Е.В.Константинова
Протокол4 № от « 28 » августа 2016г.
Согласовано:
Зам. директора по УВР
_________ А.В.Егорова
«29 » августа 2016 г.
Утверждаю:
Директор МБОУ «СОШ №24» г. Чебоксары
___________ Л.А.Иванова
Приказ №158 от
29 .08.2016г.
Программа элективного учебного предмета
«Решение уравнений и неравенств с модулями»
для учащихся 10а класса
социально-экономического профиля
Автор составитель:
Константинова Елена Васильевна
МБОУ «СОШ №24» г. Чебоксары
г . Чебоксары — 2016 г
Пояснительная записка
Нормативные правовые документы, на основании которых разработана рабочая программа
Федеральный компонент государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования», утвержденный Приказом Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» (с изменениями),
Учебный план МБОУ «СОШ№24» г.Чебоксары
Календарный учебный график МБОУ «СОШ№24» г.Чебоксары на 2016-2017 учебный год
Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в ОУ (утверждены постановлением Главного государственного санитарного врача РФ от 29.12.2010г. № 189)
Цели и задачи изучения курса
Цели курса:
обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Модуль»;
создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
помочь осознать степень интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей образовательной
Задачи курса:
научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;
сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;
научить строить графики, содержащие модуль;
сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;
сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;
сформировать умения и навыки исследовательской работы;
способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
способствовать формированию познавательного интереса к математике.
Раздел 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса.
Требования к уровню подготовки учащихся:
Должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по сравнению с обязательным уровнем сложности;
Точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;
Правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
Применять рациональные приемы тождественных преобразований;
Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
В результате изучения данного курса учащиеся должны знать:
Понятие и определение модуля
Основные операции и свойства модуля;
Правила построения графиков уравнений (в т.ч. функций), содержащих знак модуля;
Алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Должны уметь:
Преобразовывать выражения, содержащие модуль;
Решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;
Строить графики элементарных функций, содержащих модуль.
Знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем с модулем.
Раздел II.Содержание курса
1. Модуль действительного числа (5 ч).
Модуль действительного числа и его основные свойства. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.
2.Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак модуля (5 ч).
Правила и алгоритмы построения графиков, содержащих модуль. Графики уравнений, содержащих модуль. Графики некоторых простейших функций, содержащих модуль.
3. Уравнения, содержащие переменные под знаком модуля (12 ч).
Уравнения с одной переменной. Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих модуль. Способ последовательного раскрытия модуля. Графическое решение уравнений, содержащих модуль. Уравнения с двумя переменными. Кусочно-линейные уравнения с двумя переменными.
4. Неравенства, содержащие переменные под знаком модуля (7ч).
Линейные неравенства с одной переменной. Неравенства с двумя переменными.
5. Системы уравнений и неравенств с одной переменной, содержащие неизвестные под знаком модуля (5 ч).
Система уравнений с одной переменной. Системы неравенств с одной переменной.
Раздел III. Тематическое планирование по элективному учебному предмету «Решение уравнений и неравенств с модулями» , 10а класс
Тема
Кол-во часов
Дата
Примечание
Модуль действительного числа (5 ч)
1
Инструктаж по ТБ. Модуль действительного числа и его основные свойства
1
03.09.16
2
Преобразование выражений, содержащих модуль
1
10.09.16
3
Преобразование выражений, содержащих модуль
1
17.09.16
4
Преобразование выражений, содержащих модуль
1
24.09.16
Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак модуля (5 ч)
5
Преобразование выражений, содержащих модуль
1
01.10.16
6
Правила и алгоритмы построения графиков, содержащих модуль
1
08.10.16
7
Графики уравнений, содержащих модуль
1
15.10 .16
8
Графики уравнений, содержащих модуль
1
22.10.16
9
Графики некоторых простейших функций, содержащих модуль
1
29.10.16
10
Инструктаж по ТБ. Графики некоторых простейших функций, содержащих модуль
1
12.11. 16
Уравнения, содержащие переменные под знаком модуля (12 ч.)
11
Уравнения с одной переменной
1
19.11.16
12
Уравнения с одной переменной
1
26.11.16
13
Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих модуль
1
03.12.16
14
Метод интервалов при решении уравнений, содержащих модуль.
1
10.12.16
15
Способ последовательного раскрытия модуля
1
17.12.16
16
Способ последовательного раскрытия модуля
1
24.12.16
17
Инструктаж по ТБ. Графическое решение уравнений, содержащих модуль
1
14.01.17
18
Уравнения с двумя переменными
1
21.01.17
19
Уравнения с двумя переменными
1
28.01.17
20
Кусочно-линейные уравнения с двумя переменными
1
04.02.17
21
Кусочно-линейные уравнения с двумя переменными
1
11.02.17
22
Кусочно-линейные уравнения с двумя переменными
1
18.02.17
Неравенства, содержащие переменные под знаком модуля (7 ч.)
23
Линейные неравенства с одной переменной
1
25.02.17
24
Линейные неравенства с одной переменной
1
04.03.17
25
Линейные неравенства с одной переменной
1
11.03.17
26
Неравенства с двумя переменными
1
18.03.17
27
Инструктаж по ТБ. Неравенства с двумя переменными
1
08.04.17
28
Неравенства с двумя переменными
1
15.04.17
29
Неравенства с двумя переменными
1
22.04.17
Системы уравнений и неравенств с одной переменной, содержащие неизвестные под знаком модуля (5 ч).
30
Системы уравнений с одной переменной
1
29.04.17
31
Системы уравнений с одной переменной
1
06.05.17
32
Промежуточная итоговая аттестация
1
13.05.17
33
Системы неравенств с одной переменной
1
20.05.17
34
Итоговый урок
1
27.05.17