Неравенства с модулем формулы – Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

   

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция , то

1. Неравенство вида равносильно системе неравенств , при условии ; при — решений нет.

2. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств , при условии, что . Если , то неравенство справедливо при всех допустимых значениях .

3. Неравенство равносильно двойному неравенству .

4. Неравенство равносильно совокупности неравенств

5. Неравенство вида выполняется тогда и только тогда, когда

   

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство
Решение Нулями подмодульных выражений являются значения и , которые разбивают числовую ось на три интервала.
  1. Если , то заданное неравенство принимает вид:

       

    В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть .

  2. Если , то

    Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток .

  3. Если , то

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: . Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что .

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся подробная классификация уравнений и неравенств с модулем.

Введение. Определение модуля и его геометрический смысл.

«Модуль» (от лат. modulus-мера)  ввёл английский математик Р. Котес  (1682–1716). Знак модуля – немецкий математик (в 1841г.) К. Вейерштрасс (1815–1897).

Модуль числа a  есть расстояние от нуля до точки a,

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам.

Используя определение модуля и его  геометрический смысл, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем. Простейшие уравнения и неравенства удобно решать с помощью равносильных преобразований:  возведение в квадрат и т.д.

Изучение нового материала

Учитель даёт систематизацию материала,  классификацию уравнений и неравенств с модулем. Показывает презентацию. Таблица №1

Таблица №1  Классификация уравнений и неравенств с модулем

 

Уравнения

 

Неравенства

1

1

2

2

3

3

Совокупность двух систем f ≥ 0, f < 0 ,

4

Два модуля

4

Два модуля

5

Несколько модулей.

Метод промежутков.

Находим корни подмодульных выражений.

Определим знак каждого подмодульного выражения.

Составим  совокупность нескольких систем.

6

Замена переменной.

Обозначим │f(x)│ = t, t≥ 0

Полезны формулы

Решение примеров на закрепление

Учащиеся получают таблицу №1 (классификация уравнений и неравенств с модулем) и таблицу №2 (дидактический материал).

Таблица №2 Семинар «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули».

 

Уравнения

 

Неравенства

1

f(x)│ = a, a≥ 0, a – const

1) │x2 - 5x│= 6,

2) │2x - 3│= 1,

3) ││x│- 2│= 4.

1

2

1) │x2 + x - 1│= 2x - 1,

2) │x2 + 3x - 10│= 3x - 1,

3) │x3- │x - 1││= 1.

2

3

Совокупность двух систем

3

Совокупность двух систем

4

Два модуля

4

Два модуля

5

Несколько модулей.

5

Несколько модулей. Метод промежутков.

f(x)│ ≥│g(x)│, (f - g)(f + g)≥ 0

1) │x2 - 2x│+ │x - 1│≤ x2,

2) │3 - x│- │x - 2│≤ 51,

3) │2x - 6│+ │4 - x│≤ │x - 2│.

6

Замена переменной.

f(x)│ = t, t ≥ 0, f2 = t2

1) (x - 2)2 - 8│x - 2│+ 15 = 0,

2) x2 + │x│- 6 = 0,

3) x2 - 2x - 5│x - 1│+ 5 = 0.

6

Замена переменной.

1) x2 - │x│- 12 ≥ 0

,

2) 20 - 3x2 + 11│x │> 0,

3) x2 - 2x + 1 < 2│x - 1│.

Примеры №1 из каждого раздела подготовленные ученики (консультанты) показывают решение с помощью презентации. Примеры №2 все учащиеся решают самостоятельно, консультанты проверяют и помогают (периодически демонстрируются слайды с решениями). Примеры №3 – домашнее задание.

1 раздел. Простейшие уравнения и неравенства с модулем.

1 ученик. Пример №1. │x2 - 5x│ = 6

Пример №2. │2x - 3│= 1    (учащиеся решают самостоятельно).

2 ученик. Пример №1. │x2 - 5x│ ≤ 6     

Ответ [-1;2] U [3;6]

Пример №2. │5x - 3│ ≤ 4  (учащиеся решают самостоятельно).

Решение. -4  ≤ 5x - 3 ≤ 4, -1  ≤ 5x ≤ 4, -0,2  ≤ x ≤ 1,4,

Ответ [-0,2;1,4]

3 ученик. Пример №1. │x2 - 5│ ≥ 4

Ответ (-∞;-3] U [-1;1] U [3; +∞)

Пример №2. │5x - 3│≥ 2 (учащиеся решают самостоятельно).

Ответ (-∞;0,2] U [1; +∞)

2 раздел.

4 ученик. Пример №1. │x2 + x - 1│= 2x - 1, x ≥ 0,5

3 раздел. Совокупность двух систем.

5 ученик. Пример №1.

Ответ (-∞;-4] U [-1; +∞)

Пример №2. (учащиеся решают самостоятельно).

4 раздел.  Два модуля

6 ученик. Пример №1. │-x2 + x - 1│= │-x2 + 2x + 3│,

Ответ {-4; 2; -0,5}

7 ученик. Пример №1.  │x + x2 - 3│≤ │x - 2 + 2x2

Решение. (x + x2 - 3 + x - 2 + 2x2)(x + x2 - 3 - x + 2 - 2x2) ≤ 0

(2x + 3x2 - 5)(-x2 - 1) ≤ 0, (2x + 3x2 - 5)(x2 + 1) ≥ 0, (2x + 3x2 - 5) ≥ 0

Пример №2. │3x - 1│< │2x - 5│ (учащиеся решают самостоятельно).

(3x - 1 + 2x - 5) (3x - 1 - 2x + 5) < 0, (5x - 6)(x + 4) < 0, -4 < x < 1,2

Ответ (-4; 1,2)

5 раздел. Несколько модулей. Метод промежутков.

8 ученик. Пример №1. 2│x - 1│- 3│x + 4

│= 1

Решение. x1 = 1, x2 = -4

9 ученик. Пример №1. │ x2 - 2x│+ │x - 1│≤ x2

Решение. │ (x - 2)x│+ │x - 1│≤ x2

x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1

6 раздел. Замена переменной.

10 ученик. Пример №1 (x - 2)2 - 8│x -2│+ 15 = 0

Решение.  │x -2│= t, t >0

Ответ {-3; -1; 5; 7}

Пример №2. x2 + │x │- 6 = 0 (учащиеся решают самостоятельно).

Решение.  │x │= t, t >0

t2 + t - 6 = 0, t1 = -3, t2 = 2, │x │= 2, x1 = -2, x2 = 2

Ответ  x1 = -2, x2 = 2

11 ученик. Пример №1. x2 -│x │- 12 ≥ 0

Решение.  │x │= t, t >0

Домашнее задание.

Примеры №3 (1-6 разделы).

urok.1sept.ru

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля

Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ

Уравнения содержащие знак модуля

І. Уравнения вида hello_html_594a3112.gif (1)

Если hello_html_m266c99ef.gif, то уравнение (1) корней не имеет.

Если hello_html_3d4a421b.gif, то hello_html_m5d718a91.gif (2)

Пример 1. Решить уравнение:hello_html_3117b910.gif

Решение: hello_html_26c7a95.gif

Ответ: hello_html_1ff31b41.gif.

ІІ.Уравнения вида hello_html_m4ab7bb52.gif (3)

Укажем два способа решений этих уравнений.

hello_html_74a3d05a.gifили hello_html_146a295d.gif (4)

(3)⟺(4).

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_2c2e311a.gif.

Решение:hello_html_38290540.gif

Ответ: hello_html_7a5e5063.gif.

ІІІ. Уравнения вида hello_html_7eda3d2e.gif (5)

Укажем два способа решений этих уравнений.

hello_html_f2b3d04.gif (6)

или hello_html_7eda3d2e.gifhello_html_2cad613a.gif.

Пример 3. Решить уравнение: hello_html_ac88390.gif

Решение: hello_html_m5c77e43.gif=hello_html_m232ac311.gif0,

hello_html_46e5c172.gif.

Ответ: hello_html_m1d93c58f.gif.

IV. Уравнения вида hello_html_5c88e10.gif (7)

Решение уравнения такого вида основано на определение модуля. Для каждой hello_html_5e7a8c53.gif функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают область определения функций hello_html_5e7a8c53.gif на промежутки, в каждом из которых каждая из ее функций hello_html_m4a633b56.gif сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.

Пример 4. Решить уравнение: hello_html_c08a06b.gif

Решение:

hello_html_c08a06b.gifhello_html_753adf12.gif

hello_html_m664b2075.pnghello_html_m3042935.gifhello_html_293efcc5.gif

hello_html_45da2c5f.gifhello_html_m17a59e8a.gif

Ответ: hello_html_23cb407d.gif

V. Сведение к неравенству.

hello_html_m109d9a52.gif

hello_html_4d5fb6e6.gif

hello_html_m343e4ef2.gif.

Пример 5. Решить уравнение: hello_html_m53664fa8.gif

Решение: hello_html_69c38a25.gif;

Ответ: (-hello_html_m433d0321.gif)hello_html_1ba9886a.gif(-0,5;1].

VI. Уравнения, решаемые с помощью свойств модуля

Пример 6. Решить уравнение:hello_html_m4c20f2a8.gif

Решение: Заметим, что hello_html_md83168d.gif. Введем обозначения hello_html_10cf4e39.gif и получим следующее свойство модуля:

hello_html_m764de3c0.gifhello_html_m2566e2cd.gif. Поэтому, данное уравнение равносильно неравенству hello_html_240ca54e.gif. Это неравенство решаем методом интервалов.

Ответ: [-hello_html_1991442e.gif]hello_html_m60d22520.gif

Неравенства содержащие знак модуля

  1. Неравенство вида hello_html_m358e4fec.gif,hello_html_19007380.gif.

hello_html_m1771ae6c.gif.

Если hello_html_m266c99ef.gif, то неравенство решений не имеет.

Если hello_html_3d4a421b.gif, то hello_html_m358e4fec.gifhello_html_42c89a8f.gifили

hello_html_m358e4fec.gifhello_html_6622af5a.gif.

hello_html_m47000234.gif.

Если hello_html_m266c99ef.gif, то hello_html_2f51220e.gif.

Если hello_html_3d4a421b.gif, то hello_html_2b314a6e.gifhello_html_7281a539.gifили hello_html_m6030571e.gif.

  1. Неравенства вида hello_html_2c14d43c.gif; hello_html_5505baff.gif.

hello_html_7f2dde14.gif

1-способ. hello_html_m4b3f9a47.gifhello_html_12d2a250.gif

2-способ.hello_html_28c1f161.gifhello_html_m5354e55b.gif

3-способ. hello_html_762d2073.gif

Пример2.1. Решить неравенство: hello_html_m2deb8e4e.gif.

Решение:

hello_html_3e21b250.gifhello_html_m7a40ddf6.gifhello_html_md2294c4.gif

Ответ: hello_html_m10c92e2c.gif

hello_html_m2ebd067a.gif

hello_html_4d03e795.gifhello_html_4c7e87c6.gifили hello_html_m2efd8cb3.gifhello_html_m86e2983.gif

или hello_html_m2efd8cb3.gifhello_html_m648cb06b.gif

hello_html_dafc3f8.gif

hello_html_m724feeeb.gifhello_html_531950c0.gifили hello_html_m724feeeb.gifhello_html_mb090f22.gif

или hello_html_m724feeeb.gifhello_html_2c4cc43b.gif

Пример2.3. Решить неравенство: hello_html_m4b6710a2.gif

Решение:

hello_html_m64814fb7.gifhello_html_12e2c097.gif

hello_html_m61b61830.gifпоэтому, решением неравенства:hello_html_m3394c540.gif

Ответ: hello_html_221cfb95.gif.

hello_html_2198b74b.gif

hello_html_m638f20e7.gifhello_html_m25ee9325.gifили hello_html_5505baff.gifhello_html_m74e300f7.gif

или hello_html_6bc48f10.gif

  1. Неравенство вида hello_html_16907b4.gif

hello_html_280ea927.gif.

  1. Неравенство видаhello_html_m48b2292c.gif

При решении неравенств этого вида используется тот же прием, что при решении уравнений (7).

Пример 4. Решить неравенство: hello_html_m2e6593c7.gif.

Решение: Решаем совокупность четырех систем неравенств:

hello_html_m3dce6e53.gifhello_html_30fa6c0b.gif

Решение неравенства: hello_html_m7c48e444.gif.

Ответ: hello_html_m7c48e444.gif.

  1. Решение неравенств с модулями методом интервалов.

Пример5. Решить неравенство: hello_html_m373294ce.gif

Решение: Данное неравенство решим двумя способами.

1-способ. Решаем методом интервалов. Пусть hello_html_18b9e10f.gif. Находим нули и точки разрыва: hello_html_m789adfde.gif. hello_html_mc550e1.gif.

Отмечаем на числовой прямой полученные точки и определяем знак hello_html_m7eced531.gif на промежутках.

hello_html_m4fd32907.png

Ответ:hello_html_268ff1ac.gif

2-способ. hello_html_388d4353.gifhello_html_5f41e164.gif

Задания для самостоятельного выполнения.

Решить уравнения.

  1. hello_html_m58cc0db0.gif

  2. hello_html_7600ecd5.gif

  3. hello_html_39a8f604.gif

  4. hello_html_md24b230.gif

  5. hello_html_224ce512.gif

  6. hello_html_m6712c8c6.gif.

  7. hello_html_5694f06c.gif

  8. hello_html_m2dec0d79.gif.

Решить неравенства.

9. hello_html_2b697904.gif.

10. hello_html_48725cbd.gif.

Ответы:

1)hello_html_m14b55a82.gif. 2)hello_html_m6e68c539.gif. 3)-2;4. 4)hello_html_m4ae120f4.gif. 5)hello_html_f3e9855.gif. 6) [8;18]. 7)hello_html_m5793af24.gif

8)hello_html_627713b8.gif9) [-4;1]. 10) (-3;0).

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *