Неравенства с модулем формулы – Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули» — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 31.05.202031.12.2019 by alexxlab

Содержание

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция , то

1. Неравенство вида равносильно системе неравенств , при условии ; при — решений нет.

2. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств , при условии, что . Если , то неравенство справедливо при всех допустимых значениях .

3. Неравенство равносильно двойному неравенству .

4. Неравенство равносильно совокупности неравенств

5. Неравенство вида выполняется тогда и только тогда, когда

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

Решение

Нулями подмодульных выражений являются значения и , которые разбивают числовую ось на три интервала.

Если , то заданное неравенство принимает вид:

В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть .
Если , то

Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток .
Если , то

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: . Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что .

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся подробная классификация уравнений и неравенств с модулем.

Введение. Определение модуля и его геометрический смысл.

«Модуль» (от лат. modulus-мера) ввёл английский математик Р. Котес (1682–1716). Знак модуля – немецкий математик (в 1841г.) К. Вейерштрасс (1815–1897).

Модуль числа a есть расстояние от нуля до точки a,

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем. Простейшие уравнения и неравенства удобно решать с помощью равносильных преобразований: возведение в квадрат и т.д.

Изучение нового материала

Учитель даёт систематизацию материала, классификацию уравнений и неравенств с модулем. Показывает презентацию. Таблица №1

Таблица №1 Классификация уравнений и неравенств с модулем

	Уравнения		Неравенства
1		1
2		2
3		3	Совокупность двух систем f ≥ 0, f < 0 ,
4	Два модуля	4	Два модуля
5	Несколько модулей . Метод промежутков. Находим корни подмодульных выражений. Определим знак каждого подмодульного выражения. Составим совокупность нескольких систем.	6	Замена переменной. Обозначим │f(x)│ = t, t≥ 0 Полезны формулы

Решение примеров на закрепление

Учащиеся получают таблицу №1 (классификация уравнений и неравенств с модулем) и таблицу №2 (дидактический материал).

Таблица №2 Семинар «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули».

	Уравнения		Неравенства
1	│f(x)│ = a, a≥ 0, a – const 1) │x² — 5x│= 6, 2) │2x — 3│= 1, 3) ││x│- 2│= 4.	1
2	1) │x² + x — 1│= 2x — 1, 2) │x² + 3x — 10│= 3x — 1, 3) │x³— │x — 1││= 1.	2
3	Совокупность двух систем	3	Совокупность двух систем
4	Два модуля	4	Два модуля
5	Несколько модулей.	5	Несколько модулей. Метод промежутков. │f(x)│ ≥│g(x)│, (f — g)(f + g)≥ 0 1) │x² — 2x│+ │x — 1│≤ x², 2) │3 — x│- │x — 2│≤ 51, 3) │2x — 6│+ │4 — x│≤ │x — 2│.
6	Замена переменной. │f(x)│ = t, t ≥ 0, f² = t² 1) (x — 2)² — 8│x — 2│+ 15 = 0, 2) x² + │x│- 6 = 0, 3) x² — 2x — 5│x — 1│+ 5 = 0.	6	Замена переменной. 1) x² — │x│- 12 ≥ 0^, 2) 20 — 3x² + 11│x │> 0, 3) x² — 2x + 1 < 2│x — 1│.

Примеры №1 из каждого раздела подготовленные ученики (консультанты) показывают решение с помощью презентации. Примеры №2 все учащиеся решают самостоятельно, консультанты проверяют и помогают (периодически демонстрируются слайды с решениями). Примеры №3 – домашнее задание.

1 раздел. Простейшие уравнения и неравенства с модулем.

1 ученик. Пример №1. │x² — 5x│ = 6

Пример №2. │2x — 3│= 1 (учащиеся решают самостоятельно).

2 ученик. Пример №1. │x² — 5x│ ≤ 6

Ответ [-1;2] U [3;6]

Пример №2. │5x — 3│ ≤ 4 (учащиеся решают самостоятельно).

Решение. -4 ≤ 5x — 3 ≤ 4, -1 ≤ 5x ≤ 4, -0,2 ≤ x ≤ 1,4,

Ответ [-0,2;1,4]

3 ученик. Пример №1. │x² — 5│ ≥ 4

Ответ (-∞;-3] U [-1;1] U [3; +∞)

Пример №2. │5x — 3│≥ 2 (учащиеся решают самостоятельно).

Ответ (-∞;0,2] U [1; +∞)

2 раздел.

4 ученик. Пример №1. │x² + x — 1│= 2x — 1, x ≥ 0,5

3 раздел. Совокупность двух систем.

5 ученик. Пример №1.

Ответ (-∞;-4] U [-1; +∞)

Пример №2. (учащиеся решают самостоятельно).

4 раздел. Два модуля

6 ученик. Пример №1. │-x² + x — 1│= │-x² + 2x + 3│,

Ответ {-4; 2; -0,5}

7 ученик. Пример №1. │x + x² — 3│≤ │x — 2 + 2x²│

Решение. (x + x²

— 3 + x — 2 + 2x²)(x + x² — 3 — x + 2 — 2x²) ≤ 0

(2x + 3x² — 5)(-x² — 1) ≤ 0, (2x + 3x² — 5)(x² + 1) ≥ 0, (2x + 3x² — 5) ≥ 0

Пример №2. │3x — 1│< │2x — 5^{│ (учащиеся решают самостоятельно).}

(3x — 1 + 2x — 5) (3x — 1 — 2x + 5) < 0, (5x — 6)(x + 4) < 0, -4 < x < 1,2

Ответ (-4; 1,2)

5 раздел. Несколько модулей. Метод промежутков.

8 ученик. Пример №1. 2│x — 1│- 3│x + 4^{│= 1}

Решение. x₁ = 1, x₂ = -4

9 ученик. Пример №1. │ x² — 2x│+ │x — 1│≤ x²

Решение. │ (x — 2)x│+ │x — 1│≤ x²

x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 1

6 раздел. Замена переменной.

10 ученик.

Пример №1 (x — 2)² — 8│x -2│+ 15 = 0

Решение. │x -2│= t, t >0

Ответ {-3; -1; 5; 7}

Пример №2. x² + │x │- 6 = 0 (учащиеся решают самостоятельно).

Решение. │x │= t, t >0

t² + t — 6 = 0, t₁ = -3, t₂ = 2, │x │= 2, x₁ = -2, x₂ = 2

Ответ x₁ = -2, x₂ = 2

11 ученик. Пример №1. x² -│x │- 12 ≥ 0

Решение. │x │= t, t >0

Домашнее задание.

Примеры №3 (1-6 разделы).

urok.1sept.ru

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля

Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ

Уравнения содержащие знак модуля

І. Уравнения вида (1)

Если , то уравнение (1) корней не имеет.

Если , то (2)

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

ІІ.Уравнения вида (3)

Укажем два способа решений этих уравнений.

или (4)

(3)⟺(4).

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ: .

ІІІ. Уравнения вида (5)

Укажем два способа решений этих уравнений.

(6)

или ⟺.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение: =0,

Ответ: .

IV. Уравнения вида (7)

Решение уравнения такого вида основано на определение модуля. Для каждой функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают область определения функций на промежутки, в каждом из которых каждая из ее функций сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.