Исследовательская работа на тему «Решение неравенств с модулем»

РАССМОТРЕНО

Педагогическим советом МОУ

«Зашижемская СОШ»

Протокол № 1

от « 14 » августа 2015г.

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

_______ /Сидоркина Р.Л./

« 14 » августа 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор школы:

________ А.П.Конаков

Приказ №63

от « 01» сентября 2015 г.

Решение уравнений и неравенств с модулем

Исследовательская работа

Программу составила:

учитель математики высшей

категории МОУ «Зашижемская СОШ»

Сидоркина Р.Л.

с.Зашижемье, 2014 г.

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………………3

2. Простейшие уравнения и неравенства с модулем……………………5

3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем………….8

4. Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем…….

   …..10

5. Заключение ……………………………………………………………..16

6. Список литературы………………………………………………………18

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

И поэтому для нас стало важно изучить некоторые аспекты этой темы.

Главной целью в нашей работе является изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Данная цель должна быть достигнута при решении следующих задач:

• Изучить определение и некоторые свойства модуля.

• Освоить решение простейших уравнений и неравенств с модулем через равносильные переходы

• Рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объектом исследования являются некоторые типы уравнений и неравенств с модулем.

Предмет исследования – различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, а именно: графический способ, метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель ,метод раскрытия модулей.

В ходе исследования применялись такие методы, как изучение литературы по данному вопросу и практический метод.

В ходе работы мы исследовал такие источники, как:

1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

2. Математика. ЕГЭ – 2011-2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

4. «Новейший справочник школьника»;

5. Энциклопедия «Я познаю мир» Математика;

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;

К простейшим уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

Примеры решения простейших уравнений.

Пример 1 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример 2 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример 3 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Ряд уравнений решается с использованием следующей теоремы.

Теорема.4 Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример 5 Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Примеры решения простейших неравенств.

Пример 6 Решим неравенство .

Решение.

.

Ответ. .

Пример 7 Решим неравенство .

Решение.

Ответ. .

Как ни странно, но достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример 8 Решить неравенство

Решение.

Ответ. .

3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Пример 9 (С5, ЕГЭ — 2010)

C5. Для каждого значения a укажите число решений уравнения

Решение. Построим график функции . Для этого выделим полный квадрат :

Число точек пересечения графика функции у = с горизонтальными прямыми у = а равно числу решений уравнения.

Ответ: если < 0, то решений нет; если а= 0, то два решения, если 0 < а < 4, то четыре решения; если а=4, то три решения; если а > 4, то два решения.

• Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример 10 Решить уравнение

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно «выйдет» из под модуля со знаком «минус», получим: .

При этом значении , выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и «выйдет» из модуля со знаком «минус», получим: .

Выражение получит значение и «выйдет» из под модуля со знаком «минус»: .

Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .

Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.

2) При . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.

3) При . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а — отрицательно. Получим следующее уравнение: .

После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. , .

• Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример 11 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ. .

Пример 12 Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем

Ответ. .

• Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример 13 Решим уравнение .

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, — нет.

Ответ. .

Пример 14 Решить неравенство .

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Пример (С3, ЕГЭ — 2010)15 Решить уравнение

Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение

решением которого является интервал .

Ответ. .

Пример (С3, ЕГЭ — 2011)16 17 Решить уравнение

Решение. .

Ответ. .

• Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 18 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 19 Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.

• Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 20 Решим уравнение

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

• Решение неравенств методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей теореме.

Теорема 21 Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 22 Решим неравенство

Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

• Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 23 Решить неравенство

Решение. «Ловушка» заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые — значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Ответ. .

Заключение.

Подводя итог нашей работы, можно сказать следующее.

Целью работы было изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Рассмотрены некоторые разновидности простейших уравнений и неравенств с модулем, решаемых с помощью равносильных переходов,а также теоремы о сумме модулей; графический способ решения уравнений. Нужно сказать, что в школьном курсе математики именно эти методы решения наиболее часто используются. Графический метод особо актуален при решении задач C5 из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ.

Далее мы изучили на нескольких примерах иные способы решения уравнений и неравенств с модулями, а именно: метод раскрытия модулей; решение уравнений, содержащих модули неотрицательных выражений; решение уравнений с использованием геометрической интерпретации; с использованием тождества ; применение теоремы о знаках; решение уравнений переходом к следствию, домножением на положительный множитель,а также решение неравенств методом интервалов.

Таким образом, в ходе исследования мы пришли к следующим выводам.

Наиболее универсальными и применимыми к наибольшему количеству задач мы считаем метод раскрытия модулей, графический метод и метод интервалов. Это убеждение возникло в результате решения большого числа задач из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, предметных чемпионатов, олимпиадных задач, а также изучение литературы по данному вопросу. Также очень важным мы считаем знание и применение тождества , так как оно используется не только при решении уравнений и неравенств, но и для преобразования многих выражений с радикалами. Остальные методы решения, которые мы рассмотрели, безусловно, представляют большой интерес в плане расширения математического кругозора и общего математического развития. Поэтому мы планируем использовать их для подготовки к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ и подготовке к обучению в высшем учебном заведении.

Список используемой литературы.

1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

2. Математика. ЕГЭ – 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

4. «Новейший справочник школьника»;

5. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика»;

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ – Репетитор по математике

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2016-04-24

24 Апр 2016

12 Задание (2022) (C1)Диагностические работыУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Задание 13 из Досрочного экзамена, резерв. 16.04.2016

Задание 13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [].

Решение.

показать

а) Введем замену:  , получим уравнение:

Разложим левую часть на множители способом группировки:

или  

или .

Вернемся к исходной переменной:

или :

Отметим эти значения на линии тангенсов и получим корни:

Корни, лежащие во второй и третьей четверти отстоят от корней, лежащих в первой и четвертой четвертях на промежуток, равный , то есть на период функции :

б) Выберем корни, принадлежащие промежутку [].

Этот промежуток выделим дугой:

Получим значения , принадлежащие указанному промежутку:

Ответ: а) 

б)

И.В. Фельдман, репетитор по математике

 

Инна | Отзывов (6)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-11-20

20 Ноя 2014

ВИДЕОЛЕКЦИИВИДЕОТЕКАУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Построение графиков функций, содержащих модуль

1. Видеолекция. Построение графиков функций, содержащих модуль Далее

Инна | Отзывов (2)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-11-20

20 Ноя 2014

ВИДЕОТЕКАВИДЕОУРОКИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Решение уравнений и неравенств с модулем

1. Видеолекция. Решение уравнений и неравенств с модулем. Далее

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-11-20

20 Ноя 2014

ВИДЕОТЕКАВИДЕОУРОКИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеотека. Решение простейших уравнений с модулем.

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-04-14

14 Апр 2014

12 Задание (2022) (C1)ТРИГОНОМЕТРИЯУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Тригонометрическое уравнение с модулем

Решим тригонометрическое уравнение с модулем:

Так как уравнение содержит модуль, нам нужно этот модуль раскрыть по определению модуля.

Рассмотри два случая: Далее

Инна | Отзывов (5)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-03-31

31 Мар 2014

14 Задание (2022) (C3)РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

Далее

Инна | Отзывов (2)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-11-19

19 Ноя 2012

ВИДЕОЛЕКЦИИУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция 10. Комбинированные методы решения уравнений и неравенств с модулем

Содержание видеолекции:

1. Как правильно раскрывать модуль с учетом ОДЗ.

2. Решение уравнения

3. Как правильно учитывать условие существования корней при раскрытии модуля.

Далее

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-10-17

17 Окт 2012

17 Задание (2022) (C6)ВИДЕОЛЕКЦИИЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция 7. «Графический метод решения задач с параметрами»

В видеолекции подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная  с очень простых и заканчивая реальными заданиями С5 из ЕГЭ. Далее

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-10-17

17 Окт 2012

17 Задание (2022) (C6)ВИДЕОЛЕКЦИИЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

Видеолекция «Графический метод решения задач с параметрами»

В видеолекции «Графический метод решения задач с параметрами» подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная  с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18  ЕГЭ по математике. Далее

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-09-09

09 Сен 2012

ВИДЕОЛЕКЦИИОНЛАЙН КУРСЫУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Видеолекция «Построение графика функции, содержащей модуль»

Содержание Видеолекции «Построение графика функции, содержащей модуль»:

1. График функции y=|x|.

2. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x  с помощью раскрытия модуля.

3. Построение графика функции y=|x+3|+|2x+1|-x по четырем точкам. Далее

Инна | Отзывов (62)

Решение неравенств с модулем | Математика, которая мне нравится

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

   

Решение. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

   

Преобразуя первое неравенство к виду , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-\infty;0]\cup[5;+\infty).

Преобразуя второе неравенство , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

   

Решение первого неравенства (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к , его решение (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

   

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.

Ответ. .

Задачи. Решите неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение

Математика является символом мудрости науки,

эталоном совершенства и красоты в науке.

Российский философ, профессор   А.В. Волошинов

    Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.

Основные понятия и свойства

    Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

    К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

,  ,    и  .

    Отметим, что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

    Кроме того, если  , где  , то    и  

    Более сложные свойства модуля, которые можно эффективно использовать при  решении уравнений и неравенств с модулями, формулируются посредством следующих теорем:  

    Теорема 1. Для любых аналитических функций  и    справедливо неравенство  .   

    Теорема 2. Равенство равносильно неравенству  .

   

    Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

    Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами, содержащие неизвестные переменные под знаком модуля, являются неравенства вида и  , где  некоторая положительная константа.

    Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства    сводится к решению совокупности неравенств    и  .                                         

    Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.   

    Более сложными неравенствами, содержащие модуль, являются неравенства вида  ,  и  .

    Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.   

    Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств  

  и                  (1)

    Доказательство.  Так как  , то

,      или   .

    Отсюда вытекает справедливость (1).   

    Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств  

               (2)

    Доказательство.  Так как  , то из неравенства   следует, что  . При таком условии неравенство   будет равносильно неравенству   и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.

    Теорема доказана.   

    Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств   

,        и                    (3)  

    Доказательство.  Поскольку , то неравенство всегда выполняется, если  .

    Пусть  , тогда неравенство будет равносильно неравенству  , из которого вытекает совокупность двух неравенств    и .

    Теорема доказана.

    Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства, содержащие переменные под знаком модуля».

Решение неравенств с модулем

    Наиболее простым  методом решения неравенств с модулем является метод, основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным, однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности, необходимо иметь навыки применения теорем, приведенных в настоящей статье. 

Пример 1. Решить неравенство

.               (4) 

Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками    и    на интервалы и рассмотрим три случая.

1.  Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид    или  .

Так как здесь  рассматривается случай , то является решением неравенства (4).

2. Если  , то из неравенства (4) получаем   или  . Так как  пересечение интервалов    и   является пустым, то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.

3. Если  , то неравенство (4) принимает вид   или . Очевидно, что   также является решением неравенства (4).

Ответ:  ,  .   

Пример 2. Решить неравенство  .  

Решение. Положим, что  . Так как  , то заданное неравенство принимает вид    или   . Поскольку  , то    и отсюда следует    или  .                                         

Однако  , поэтому    или .

Ответ:  .

Пример 3. Решить неравенство

.               (5) 

Решение.      Так как  , то неравенство (5) равносильно неравенствам    или  . Отсюда, согласно теореме 4, имеем совокупность неравенств     и  .

Ответ:  ,  .

Пример 4. Решить неравенство

.               (6)

Решение. Обозначим  . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства    ,  ,    или  .

Отсюда, используя метод интервалов, получаем  . Так как , то здесь имеем систему неравенств

               (7)

Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов    и  , а решением второго неравенства – двойное неравенство  . Отсюда следует, что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов  и  .

Ответ:  ,

Пример 5. Решить неравенство

.               (8)

 

Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:

,   ,

  или   .

Применяя метод интервалов, получаем решение неравенства (8).

Ответ: .

Примечание. Если в условии теоремы 5 положить  и , то получим .

Пример 6. Решить неравенство

.               (9)

Решение. Из неравенства (9) следует  . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:

,  ,

,    или   

.

Так как  , то    или  .

Ответ:  .

 

Пример 7. Решить неравенство 

.               (10)

Решение. Так как    и  , то      или  .

В этой связи   и неравенство (10) принимает вид

  или

.               (11)

Отсюда  следует, что  или  . Так как  , то   и из неравенства (11) вытекает    или  .

Ответ: .

Примечание.  Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1, то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует, что    или  . Так как  , то неравенство (10) принимает вид    или  . 

   

Пример 8. Решить неравенство

.               (12)   

Решение.  Так как , то и из неравенства (12) следует  или . Однако , поэтому    или  . Отсюда получаем    или  .

Ответ:  .

    

Пример 9. Решить неравенство

 

                                                     .                                        (13)

Решение.  Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются    или  .

Пусть теперь  .  В таком случае   и неравенство (13) принимает вид    или  .

Если объединить интервалы и  , то получим решение неравенства (13) вида  .

Ответ:  .

 

Пример 10. Решить неравенство

.                (14)

Решение.    Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство  .

Отсюда и из теоремы 1 следует, что неравенство (14) выполняется для любых значений  .

Ответ:  любое число.

   

Пример 11. Решить неравенство

.               (15)

Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15), получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид  .

Согласно теореме 3, уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Ответ:  .

Пример 12. Решить неравенство

.               (16)

Решение. Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств  

    или      

При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств    из которой следует .  

Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7, получаем совокупность неравенств   и .  Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного  .

Следовательно, решением неравенства (16) являются  .

Ответ:  .

Пример 13. Решить неравенство

.               (17)

Решение.  Согласно теореме 1 можно записать

               (18)

Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств

   или    

Ответ:  .

   

Пример 14. Решить неравенство

.               (19)

Решение. Так как , то .  Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений  принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида    

.

Отсюда получаем    или , где .  Так как  и ,  то решением неравенства (19) являются   и .

Ответ: , .

    Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям, приведенных в списке рекомендованной литературы.

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS, 2018. – 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с. 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Программа элективного курса по математике в 11 классе « решение уравнений и неравенств»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с. Савруха Похвистневского района Самарской области

Программа элективного курса

по математике в 11 классе

« Решение уравнений и неравенств»

Составила: учитель математики высшей категории Ятманкина Галина Михайловна

Утверждена на методическом объединении учителей математики и информатики

Савруха 2011

Знание- самое превосходное

из владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Ал-Бируни

Пояснительная записка.

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

Данный курс «Уравнения и неравенства» предназначен для учащихся 11 классов.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

• умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

• умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;

• умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;

• мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

На изучение вопросов, представленных в программе отводится 34 часа, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

Цели курса:

• формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;

• освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;

• развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

Задачи:

• систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;

• обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;

• формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;

• развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;

• формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;

• оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

Используемые технологии:

• лекционно-семинарская система обучения;

• модульное обучение;

• исследовательский метод в обучении;

• индивидуальные формы работы;

• дифференцированное обучение.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.

Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о роли математики в познании действительности;

• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;

• знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;

• умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;

• умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;

• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

Содержание курса:

№	тема	Количество часов
1.	Уравнения и неравенства с модулем	3
2.	Рациональные уравнения и неравенства	4
3.	Уравнения и неравенства с радикалами	5
4.	Показательные уравнения	2
5.	Показательные неравенства	3
6.	Логарифмические уравнения	3
7.	Логарифмические неравенства	3
8.	Тригонометрические уравнения	2
9.	Тригонометрические неравенства	2
10.	Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы	3
11.	Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы	3
12.	Итоговый контроль	1
	всего	34

Основное содержание курса:

1. Простейшие уравнения и неравенства. (12 ч.)

1. Уравнения и неравенства с модулями. (3 ч.)

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Уравнения, содержащие модули.

Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:

решение линейных уравнений;

решение квадратных уравнений;

решение тригонометрических уравнений;

решение показательных и логарифмических уравнений.

Тестирование по теме : решение уравнений с модулем с выбором рационального способа решения.

Неравенства, содержащие модуль.

Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.

Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:

неравенства, содержащие выражения ׀x׀;

неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)

неравенства вида ׀ƒ₁(x)׀±׀ƒ₂(x)׀±…± ׀ƒ_n(x)׀> g(x).

Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

Самостоятельная работа: решение неравенств с модулем с выбором рационального способа решения.

уравнения	неравенства
2.
3.
4.	4.
5.

2. Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.)
   Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при решении неравенств.

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать рациональные уравнения и неравенства различных типов, используя изученные алгоритмы;

• уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений и неравенств углубленного уровня.

уравнения	неравенства
	2.

3.Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.)
Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений и с квадратными радикалами. Освобождение от кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств.

Знать, понимать

• строить графики элементарных функций;

• применять графический метод в системе (х; у) при решении иррациональных уравнений;

• методы решения иррациональных уравнений.

Уметь

• применять аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ; ; ;

• введение новой переменной;

• введение двух переменных.

уравнения	неравенства
	1.
	2.
	3.
	4.

5. Более сложные уравнения и неравенства. (21 ч.)

1. Показательные уравнения и неравенства.(5 ч.)
   Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств.

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать показательные уравнения и неравенства различных типов, используя изученные алгоритмы;

• уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений и неравенств углубленного уровня.

уравнения	неравенства
	1.
	2.
	3.
	4.
	5.
	6.

2. Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.)
   Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать логарифмические уравнения и неравенства различных типов, используя изученные алгоритмы;

• уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений и неравенств углубленного уровня.

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

3. Смешанная тригонометрия. (4 ч.)

Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать смешанные тригонометрические уравнения и неравенства различных типов, используя изученные алгоритмы;

• уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений и неравенств углубленного уровня.

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.

3. Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п. (6 ч.)

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать уравнения и неравенства различных типов, используя изученные алгоритмы;

• уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений и неравенств углубленного уровня.

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

5. Итоговый урок. (1 ч.)

Презентации проектов учащихся по решению уравнений и неравенств.

1. .

Решение.

Рассмотрим два случая: и .

Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ, т.е. при , Значит, решение первой системы состоит из таких х, что

Первое неравенство второй системы выполняется только при .

Ответ:

Задача 2. .

Решение.

ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких х, что .

В ОДЗ имеем , и наше неравенство принимает вид . Это стандартное неравенство, которое разбивается на две системы и .

Решим первую систему. Если x > 6, то и первое неравенство приобретает вид . При х > — 6 второе неравенство равносильно тому, что х + 6 > 1 и первая часть ответа будет: .

Если х < — 6 , то и имеем неравенство , которое выполняется при всех х так, что вторую часть ответа получаем из неравенства –х – 6 > 1х < — 7 .

Вторая система решений не имеет.

Ответ:.

Задача 3.

Решение.

Второе уравнение системы эквивалентно тому, что . Подставим это значение у в первое уравнение:

.

Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х = 1, либо

.

Ответ: 1, .

План-конспект занятия по теме «Уравнения с радикалами. Некоторые приёмы решения»

Цели урока :

• Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приёмами решения иррациональных уравнений.

• Развивающая –способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.

• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Тип урока :

• Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

• Отработка умений и навыков решения иррациональных уравнений.

Метод обучения :

Формы организации учебной деятельности :

План урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение новой темы. Лекция.

4. Закрепление нового материала :

а) на уровне воспроизведения,

б) на уровне применения знаний.

5. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент.

2.Актуализация знаний.

Вспомним а) определение и основные свойства корня n – ой степени,

б) определение уравнения, что означает «решить уравнение».

3. Изучение новой темы : «Иррациональные уравнения. Некоторые приёмы решения». (лекция)

а) Определение иррационального уравнения.

б) Примеры : , и т. д.

в) Что значит решить иррациональные уравнения ? Это значит : найти все такие

значения переменной х, при которых уравнение превращается в верное равенство,

либо доказать, что таких значений не существует. Другие понятия для иррациональных

уравнений определяются так же, как и для рациональных уравнений.

Широко распространёнными иррациональными уравнениями, предлагаемыми на

вступительных экзаменах являются уравнения вида — алгеб-

раические выражения, где неизвестная величина содержится под знаком корня и

уравнения вида .

Вернёмся к уравнению вида

Показывается способ решения уравнения данного вида :(1)

Примеры : 1) ; 2) .

Учитель показывает решение этих двух уравнений на доске :

Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно

налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения

арифметического корня n – ой степени.

Имеем . Пришли к системе

х₁ = 4 , х₂ = 1 – посторонний корень, не удовлетворяет условию х ? 2.

Ещё один вид иррационального уравнения сводится к системе

( 2 )

Кстати, можно проверять и А (х) ? 0, т.е. то, что в данной задаче проще. Если

уравнение не относится ни к одному из видов, то с помощью различных

преобразований можно привести уравнения к Ι или ΙΙ виду.

0сновные методы решения иррациональных уравнений:

Ι) Уединение радикала и возведение в степень.

1) Решить уравнение :

Рассмотрим уравнение системы

х₁ = 11, х₂ = 6 – пост. корень, т.к. х ? 8.

2) Решить уравнение :

Данное уравнение равносильно системе :

Решим второе уравнение системы :

х₁=2, х₂=42 – посторонний корень.

Ответ : 2.

ΙΙ. Метод введения вспомогательного неизвестного.

1)

Пусть

Получим новое уравнение

у₁=2, у₂=-6 – посторонний корень, т.к. у0.

Вернёмся к замене уравнение дорешать дома.

2) Решим уравнение : ОДЗ:

Пусть Получим уравнение :

у₁=-1 – посторонний корень, т.к. у>0, у₂=2.

Возвращаемся к подстановке

Х=2,5. Уравнение дорешать дома.

Часто этот метод встречается при решении других уравнений, не только

иррациональных.

ΙΙΙ. Нестандартный подход.

1) Пример : . Разделим обе части уравнения на х0, получим уравнение

.

Пусть , тогда , получим

уравнение дорешать дома.

2) Попробуйте решить:

Решение :

Ответ : нет решений.

3) Пример :

Т.к. правая часть отрицательная, уравнение не имеет решения.

Ответ : нет решения.

4.Закрепление

Работа в парах и индивидуально.

5. Подведение итогов.

Список использованной литературы:

1. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,1987.

2. В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,

«Просвещение», 1999

3. А.Г.Каспаржак «Элективные курсы в профильном обучении», М. , НФПК,

2004.

4. М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Москва, изд. МГУ, 1991.

5. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.

абсолютных неравенств | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Есть много возможностей для ошибок с абсолютными неравенствами, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно посмотрим на несколько полезных рисунков. Когда мы закончим, надеюсь, у вас будет хорошая картина происходящего в голове, и вы не совершите некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, все окажется не так уж и плохо.

MathHelp.

com

Давайте сначала вернемся к исходному определению абсолютного значения: «|  x  | — это расстояние x от нуля.Например, и –2, и +2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

.

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| –2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые абсолютные неравенства.

• Решить |

  x  | < 3, и нарисуйте ее решение.

Это неравенство. Если решением абсолютного значения уравнения являются точки (как на рисунке выше), то решением абсолютного значения неравенства (или «неравенства») будут интервалы.

В этом неравенстве меня просят найти все значения x , которые меньше, чем на три единицы от нуля в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые меньше чем в трех единицах от нуля.Сначала я нарисую числовую линию:

.

Глядя на неравенство, я вижу, что в качестве решения подойдет число 1, равно как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и -2. Но 4 не подойдет, как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они находятся прямо на краю), потому что это неравенство «меньше чем» (но не равно).

Однако подойдет и число 2,99, и -2,99. Другими словами, все точки между -3 и 3, но фактически не включая -3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Незаштрихованные кружки на концах синей линии означают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге вместо кружков могут использоваться круглые скобки.)

Переведя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

Этот шаблон для абсолютных неравенств «меньше чем» всегда выполняется:

Задано неравенство в виде | x  | < a , решение всегда будет иметь форму – a  <  x  <  a .

Кстати, правильным союзом для абсолютного неравенства «меньше чем» является «и». Почему? Потому что переменная содержится в пределах одного интервала. В приведенном выше примере x было одновременно «больше -3» и «меньше +3». x находится в интервале, удовлетворяющем обоим неравенствам одновременно. Так что «и» — правильный союз.

Даже когда упражнения усложняются, описанная выше схема сохраняется.

---

• Решить | 2

  x  + 3 | < 6.

Поскольку это абсолютное неравенство «меньше чем», мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем». Тогда я решу линейное неравенство.

| 2 х + 3 | < 6

–6 < 2 x + 3 < 6

Это шаблон для «меньше чем».Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

–6 – 3 < 2 x + 3 – 3 < 6 – 3

–9 < 2 x < 3

–9/2 < x < 3/2

Решение исходного абсолютного неравенства | 2 x  + 3 | < 6, этот интервал:

---

Другим случаем абсолютного неравенства является случай «больше чем».

• Решить |

  x  | > 2 и график.

Во-первых, я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет множество всех точек, удаленных от нуля более чем на две единицы. Например, -3 будет работать, как и +3; –4 будет работать, как и +4. Но –1 не сработает, как и +1, потому что они слишком близки к нулю.Даже –2 не сработает, и +2 тоже не сработает (хотя они прямо на краю), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и –2.01. Другими словами, решение будет два отдельных раздела : один раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля влево , а другой раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля до право . Решение в графическом виде выглядит так:

Переведя это графическое решение в символы, я получаю:

Внимание! Решением этого абсолютного неравенства «больше, чем» являются ДВА обычных неравенства, а не одно. НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «–2 >  x  > 2», ваш ответ будет засчитан как неверный. Почему? Потому что, если вы уберете x посередине, вы увидите, что сказали бы «–2 > 2», что, безусловно, соответствует , а не . Потратьте лишние полсекунды и правильно напишите решение.

Этот шаблон для абсолютных неравенств «больше чем» всегда выполняется:

Учитывая неравенство | x  | >  , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x  < – или x  >  .

И, кстати, правильный союз «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может быть одновременно «меньше -2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для этих типов решений.

---

Филиал

---

Даже когда неравенства усложняются, описанная выше закономерность остается в силе.

• Решить | 2

  x  – 3 | > 5.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить столбцы абсолютных значений, разделив неравенство на две части. Затем я решу два обычных неравенства.

| 2 х – 3 | > 5

2 x – 3 < –5 или 2 x – 3 > 5

Это шаблон для абсолютных значений неравенства «больше чем».

2 x < –2 или 2 x > 8

x < –1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходного абсолютного неравенства.

---

Существует еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет задана пара неравенств, и вас попросят найти соответствующее абсолютное неравенство.Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

• Найдите формулировку абсолютного неравенства, которая соответствует –2 

  <  x  < 4.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре составляют шесть единиц друг от друга. Половина шести это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к –3 и +3, а не к –2 и +4.Чтобы выполнить это, я вижу, что могу настроить значения на левом и правом концах, вычитая 1 из всех трех «сторон» неравенства:

–2 < x < 4

–2 – 1 < x – 1 < 4 – 1

–3 < x – 1 < 3

Поскольку последняя строка выше имеет формат «меньше чем» для абсолютных неравенств, мое решение неравенства будет иметь вид «абсолютное значение (чего-то) меньше 3». (Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующую:

---

• Найдите выражение абсолютного неравенства, соответствующее неравенствам

  x ≤ 19 или x ≥ 24

То, что они мне дали, состоит из двух частей, соединенных «или», так что я знаю, что это будет неравенство абсолютного значения «больше чем».

Для начала я смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 разделены пятью единицами. Половина пятого равна 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство так, чтобы оно относилось к –2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 – (–2,5) = 21,5 и 24 – 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть 21,5 со всех сторон:

x ≤ 19 или x ≥ 24

х – 21,5 ≤ 19 – 21,5 или х – 21. 5 ≥ 24 – 21,5

x – 21,5 ≤ –2,5 или x – 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше имеет формат «больше чем», неравенство абсолютного значения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-либо) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в ней. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:

---

Предупреждение. Для такого рода задач существует один «хитрый» тип вопросов, когда вас пытаются сбить с толку при выполнении домашнего задания или тестов.Они попросят вас решить что-то вроде «|  x  + 2 | < –1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, что меньше, чем отрицательным? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени, пытаясь «решить» это; просто напишите «нет решения».

Точно так же, если вам дали что-то вроде «|  x  – 2 | > –3″, первое, что нужно отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны. В частности, они никогда не бывают отрицательными. Они запрашивают у вас значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше, чем отрицательное число. Поскольку абсолютное значение всегда больше, чем любого отрицательного числа , решение должно быть «все x » или «все действительные числа».

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении абсолютных неравенств. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение.Затем нажмите кнопку и выберите «Найти x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/absineq.htm

Неравенства абсолютного значения – объяснение и примеры

Абсолютное значение неравенств подчиняется тем же правилам, что и абсолютное значение чисел . Разница в том, что у нас есть переменная в предыдущем и константа во втором.

В этой статье будет представлен краткий обзор абсолютных неравенств, а затем пошаговый метод решения абсолютных неравенств .

Наконец, есть примеры различных сценариев для лучшего понимания.

Что такое абсолютное неравенство?

Прежде чем мы научимся решать неравенства с абсолютными значениями, давайте напомним себе об абсолютном значении числа.

По определению, абсолютное значение числа — это расстояние от начала координат независимо от направления. Абсолютное значение обозначается двумя вертикальными линиями, заключающими в себе число или выражение.

Например, абсолютное значение x выражается как | х | = a, откуда следует, что x = +a и -a. Теперь давайте посмотрим, что влекут за собой абсолютные неравенства значений.

Абсолютное неравенство представляет собой выражение с абсолютными функциями и знаками неравенства. Например, выражение |x + 3| > 1 — абсолютное неравенство, содержащее символ «больше».

На выбор предлагается четыре разных символа неравенства. Это меньше ( < ), больше ( > ), меньше или равно ( ≤ ) и больше или равно ( ≥ ). Таким образом, абсолютное неравенство может иметь любой из этих четырех символов.

Как решать абсолютные неравенства?

Этапы решения неравенств абсолютных значений очень похожи на решение уравнений абсолютных значений.Однако есть некоторая дополнительная информация, которую необходимо учитывать при решении абсолютных неравенств.

Ниже приведены общие правила, которые следует учитывать при решении неравенств абсолютного значения:

• Изолируйте слева выражение абсолютного значения.
• Решите положительную и отрицательную версии абсолютного неравенства.
• Когда число по другую сторону знака неравенства отрицательное, мы либо заключаем, что все действительные числа являются решениями, либо неравенство не имеет решения.
• Когда число на другой стороне положительное, мы продолжаем устанавливать составное неравенство, удаляя столбцы абсолютного значения.
• Тип знака неравенства определяет формат формируемого составного неравенства. Например, если задача содержит знак больше или больше/равно, задайте составное неравенство следующего вида:

(значения в столбцах абсолютного значения) < - (число на другой стороне) ИЛИ (Значения в полосах абсолютных значений) > (Число на другой стороне).

• Аналогично, если задача содержит знак меньше или меньше/равно, задайте составное неравенство из трех частей следующего вида:

– (Число по другую сторону знака неравенства) < ( количество в столбцах абсолютного значения) < (Число с другой стороны знака неравенства)

  Пример 1

Решите неравенство для x: | 5 + 5х| − 3 > 2.

Решение

Изолируйте выражение абсолютного значения, добавив 3 к обеим частям неравенства;

=> | 5 + 5х| − 3 (+ 3) > 2 (+ 3)

=> | 5 + 5х | > 5.

Теперь решите как положительную, так и отрицательную «версии» неравенства следующим образом;

Мы примем символы абсолютного значения, решив уравнение обычным способом.

=> | 5 + 5х| > 5 → 5 + 5x > 5.

=> 5 + 5_x_> 5

Вычесть 5 с обеих сторон

5 + 5x (− 5) > 5 (− 5) 5x > 0

Теперь разделим обе части на 5

5x/5 > 0/5

x  > 0.

Таким образом, x > 0 является одним из возможных решений.

Чтобы найти отрицательную версию абсолютного неравенства, умножьте число по другую сторону от знака неравенства на -1 и измените знак неравенства:

| 5 + 5х | > 5 → 5 + 5x < − 5 => 5 + 5x < -5 Вычесть 5 с обеих сторон => 5 + 5x ( −5) < −5 (− 5) => 5x < −10 => 5x/5 < −10/5 => х < −2.

x  > 0 или x  < −2 — два возможных решения неравенства. В качестве альтернативы мы можем решить | 5 + 5х | > 5 по формуле:

(значения в полосах абсолютных значений) < – (число на другой стороне) ИЛИ (значения в полосах абсолютных значений) > (число на другой стороне).

Иллюстрация:

(5 + 5x) < – 5 ИЛИ (5 + 5x) > 5

Решите приведенное выше выражение, чтобы получить;

x  < −2 или x  > 0

Пример 2

Решить |x + 4| – 6 < 9

Решение

Выделить абсолютное значение.

|х + 4| – 6 < 9 → |х + 4| < 15

Так как наше выражение абсолютного значения имеет знак меньше чем неравенство, мы устанавливаем решение составного неравенства из 3-х частей как:  

Пример 3

Решить |2x – 1| – 7 ≥ -3

Решение

Сначала изолируем переменную

|2x – 1| – 7≥-3 → |2x – 1|≥4

Мы установим составное неравенство «или» из-за знака «больше или равно» в нашем уравнении.

2 – 1≤ – 4 или 2x – 1 ≥ 4

Теперь решите неравенства;

2x — 1 ≤ -4 или 2x — 1 ≥ 4

2x ≤ -3 или 2x ≥ 5

x ≤ -3/2 или x ≥ 5/2

Пример 4

Решить |5x + 6| + 4 < 1

Решение

Выделить абсолютное значение.

|5x + 6| + 4 < 1 → |5x + 6| < -3

Поскольку число на другой стороне отрицательное, проверьте и противоположное, чтобы определить решение.

|5x + 6| < -3

Положительный < отрицательный (ложь). Следовательно, это абсолютное неравенство не имеет решения.

 

Пример 5

Решить |3x – 4| + 9 > 5

Решение

Выделить абсолютное значение.

|3x – 4| + 9 > 5 → |3x – 4| > -4

|5x + 6| < -3

Так как положительный < отрицательный (истина). Следовательно, решениями этого неравенства абсолютного значения являются все действительные числа.

Неравенства абсолютного значения | Блестящая математика и естественные науки вики

Здесь мы рассмотрим определение получения абсолютного значения числа. Чтобы «отменить» знаки абсолютного значения, мы могли бы получить либо положительное, либо отрицательное значение, поскольку абсолютное значение -5 — 5 -5 совпадает с абсолютным значением 5 5 5, которое равно 5 5 5. Это становится методом, в котором у нас есть несколько случаев.

Основные шаги (для работы с линейными/множественными линейными абсолютными неравенствами):

1. «Отменить» знаки абсолютного значения, сделав выражения внутри знака абсолютного значения отрицательным или положительным.
2. Возьмите все полученные неравенства (это все множества решений) и вычислите множество решений. Чтобы вычислить набор решений, учитывая набор наборов решений из проработанных вами случаев, рассмотрите исходную задачу как кусочную функцию, поэтому у вас есть случаи. При каких значениях xx x левая часть становится отрицательной? Положительный? Нуль? Все это дополнительные ограничения на хх х, и вы возьмете точку пересечения этих дополнительных ограничений на хх х и «окончательное» неравенство, полученное из проделанной вами работы.Это дает то, что я называю «ограниченным окончательным» неравенством.
3. Наконец, вы берете объединение всех «ограниченных окончательных» неравенств для вашего окончательного набора решений.

Мы рассмотрим, как это сделать, в следующих трех примерах.

Решите ∣x+3∣<7 | х + 3 | < 7 ∣x+3∣<7.

---

Случай 1: x+3x+3x+3 неотрицательно, или x⩾−3x\geqslant -3x⩾−3
Свойство абсолютного значения говорит нам, что ∣a∣=a|a| = a∣a∣=a для неотрицательных aaa, так что в этом случае ∣x+3∣<7  ⟹  x+3<7  ⟹  x<4.|x+3|<7 \подразумевается x+3 < 7\подразумевается x<4.∣x+3∣<7⟹x+3<7⟹x<4. Здесь у нас есть два неравенства, и решением для этого случая является пересечение обоих неравенств. Это связано с тем, что xxx должно удовлетворять обоим, поскольку они зависят друг от друга (((только потому, что x≥−3x\geq -3x≥−3 мы имеем x<4)x<4)x<4). Следовательно, решение для этого случая: −3≤x<4-3 \leq x < 4−3≤x<4.

Случай 2: x+3x+3x+3 отрицательно, или x<−3x < -3x<−3
Опять же, ∣a∣=−a|a| = -a∣a∣=−a для отрицательного значения aaa, поэтому ∣x+3∣<7  ⟹  −(x+3)<7  ⟹  x>−10.|x+3|<7\подразумевается -(x+3)<7\подразумевается x>-10. ∣x+3∣<7⟹−(x+3)<7⟹x>−10. По той же причине, что и выше, мы должны взять пересечение обоих неравенств, что равно −10

Наконец, возьмем объединение этих неравенств, так как они не зависят друг от друга: −10<х<4. □-10

Решить 2∣x+2∣−∣x+5∣⩽4 2|x+2| — |х+5| \leqslant 4 2∣x+2∣−∣x+5∣⩽4.

---

Случай 1: x+2>0 и x+5>0  ⟹  x>−2 x+2>0 \text{ и } x+5>0 \ подразумевает x>-2x+2>0 и x +5>0⟹x>−2
В этом случае имеем 2(x+2)−(x+5)≤42x+4−x−5≤4x−1≤4x≤5⇒−2

Случай 2: x+2>0 и x+5⩽0 x+2>0 \text{ и } x+5\leqslant 0 x+2>0 и x+5⩽0
Так как это всегда верно что x+5>x+2,x+5>x+2,x+5>x+2, этот случай невозможен.

Случай 3: x+2⩽0 и x+5>0  ⟹  −50 \имеет -50⟹−5 В этом случае имеем −2(x+2)−(x+5)⩽4−2x−4−x−5⩽4−3x−9⩽4−3x⩽13x⩾−133⇒−133⩽x⩽−2. \begin{выровнено} -2(x+2) — (x+5) &\leqslant 4 \\ -2x — 4 — x — 5 &\leqslant 4\\ -3x — 9 &\leqslant 4\\ -3x &\leqslant 13\\ х &\geqslant \dfrac{-13}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{-13}{3} \leqslant x &\leqslant -2. \end{выровнено}−2(x+2)−(x+5)−2x−4−x−5−3x−9−3xx⇒3−13​⩽x​⩽4⩽4⩽4⩽13⩾3 −13​ ⩽ −2.​

Случай 4: x+2⩽ и x+5⩽  ⟹  x⩽−5 x+2\leqslant \text{ и } x + 5\leqslant \ подразумевает x\leqslant -5x+2⩽ и x+5⩽ ⟹x⩽−5
В этом случае имеем −2(x+2)+(x+5)⩽4−2x−4+x+5⩽4−x+1⩽4−x⩽3x⩾3,\begin{выровнено} -2(x+2) + (x+5) &\leqslant 4 \\ -2x — 4 + x + 5 &\leqslant 4\\ -x +1 &\leqslant 4 \\ -x &\leqslant 3 \\ х &\geqslant 3, \end{выровнено} −2(x+2)+(x+5)−2x−4+x+5−x+1−xx​⩽4⩽4⩽4⩽3⩾3,​ что невозможно, так как x⩽−5.2 — \dfrac{1}{2} &< 0 \\ \left( x+ 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( x + 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) &< 0. \end{выровнено} (x+2)2−2(x+2)+1(x+2−1)2(x+1)2(x+1)2−21​(x+1+2​ 1​)(x+1−2​1​)​<21​<21​<21​<0<0.​ Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать диаграмму анализа знаков.

Мы знаем, что неравенство будет равно нулю, когда один множитель всего выражения равен нулю, а именно при −1−12 -1 — \frac{1}{\sqrt{2}} −1−2​1​ и −1 +12 -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} −1+2​1​, поэтому мы хотим знать, является ли каждый фактор положительным или отрицательным при определенных значениях xxx, которые меньше −1−12. -1 — \frac{1}{\sqrt{2}} −1−2​1​, больше чем −1−12 -1 — \frac{1}{\sqrt{2}} −1−2​1​ и меньше −1+12 -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} −1+2​1​ и больше -1 + 12 \frac{1}{\sqrt{2 }} 2​1​.Мы также используем свойства, согласно которым отрицательное значение, умноженное на отрицательное, дает положительное значение, положительное значение, умноженное на положительное, дает положительное значение, а отрицательное значение, умноженное на положительное, дает отрицательное значение. Чтобы убедиться, что левая часть меньше нуля, мы ищем xx x, которые дают нам отрицательные значения левой части.

Мы видим, что левая часть квадратного неравенства меньше нуля, когда −1−12 (1) -1 — \frac{1}{\sqrt{2} } < x < -1 + \frac{1}{\sqrt{2}}.2 - \dfrac{1}{2} &< 0 \\ \left( x+ 3 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( x + 3 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) &< 0. \end{выровнено} (x+2)2+2(x+2)+1(x+2+1)2(x+3)2(x+3)2−21​(x+3+2​ 1​)(x+3−2​1​)​<21​<21​<21​<0<0.​ Снова делаем таблицу анализа знаков:

Мы видим, что левая часть квадратного неравенства меньше нуля, когда −3−12 (((Обратите внимание, что эти неравенства удовлетворяют x<−2.)x < -2.)x<− 2.)

Теперь у нас есть два составных неравенства (1) и (2), оба из которых являются решениями; xxx может лежать в пределах любого интервала, что делает окончательное решение равным

.

−3−12 □​

8 -16 Ни один из других вариантов 16

Максимальное значение

для всех действительных чисел xxx

∣3x+8∣−∣4x∣?|3x+8|-|4x| ?∣3x+8∣−∣4x∣?

Отправьте свой ответ

Y=∣x∣−∣x+1∣+∣x+2∣−∣x+3∣+⋯+∣x+2016∣ Y = |x| — |х + 1| + |х + 2| — |х + 3| + \cdots +|x + 2016| Y=∣x∣−∣x+1∣+∣x+2∣−∣x+3∣+⋯+∣x+2016∣

Найдите минимальное значение Y Y Y.

Обозначение : ∣⋅∣ | \кдот | ∣⋅∣ обозначает функцию абсолютного значения.

абсолютных значений неравенств

абсолютных значений неравенств Неравенства абсолютного значения

Вот шаги, которые необходимо выполнить при вычислении абсолютного значения неравенства:

1. Изолируйте выражение абсолютного значения в левой части неравенство.
2. Если число по другую сторону знака неравенства равно отрицательный, ваше уравнение либо не имеет решения, либо все действительные числа являются решениями.Используйте знак каждой стороны вашего неравенства, чтобы решить, какой из этих случаев держит. Если число по другую сторону знака неравенства положительное, перейдите к шагу 3.
3. Удалите столбцы абсолютных значений, установив составное неравенство. Тип знака неравенства в задаче подскажет, как настроить составное неравенство.

Если ваша проблема имеет знак больше, чем (ваша проблема теперь говорит, что абсолютное значение больше числа), затем настройте составное неравенство «или», которое выглядит так:

(количество внутри абсолютного значения) < -(число на другом боковая сторона)
ИЛИ
(количество внутри абсолютного значения) > (число на другой стороне)

Та же установка используется для ³ подписать.


Если абсолютное значение на меньше числа на , то составить составное неравенство из трех частей, которое выглядит следующим образом:

-(число на другой стороне) < (количество внутри абсолютного значение) < (число на другой стороне)

Та же установка используется для £ знак

4. Решите неравенства.

Поначалу этот процесс может показаться немного запутанным, поэтому пациент, изучая, как делать эти проблемы.Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1: |x + 4| — 6 < 9

Шаг 1: Выделение абсолютного значение	|х + 4| — 6 < 9 |х + 4| < 15
Шаг 2: Включен ли номер другая сторона отрицательная?	Нет, это положительное число, 15. Перейдем к шагу 3.
Этап 3: Набор составное неравенство	Знак неравенства в нашей задаче меньше знак, поэтому составим неравенство из трех частей: -15 < х + 4 < 15
Шаг 4: Решить составное неравенство	-19 < х < 11

Пример 2: |2x 1| — 7 ³ -3

Шаг 1: Выделение абсолютного значение	|2x 1| — 7 ³ -3 |2x 1| ³ 4
Шаг 2: Есть число на другой стороне отрицательное число?	Нет, это положительное число, 4. Перейдем к шагу 3.
Этап 3: Набор составное неравенство	Знак неравенства в нашей задаче больше или равно знаку, поэтому составим составное неравенство со словом «или»: 2x 1 £ -4 или 2x 1 ³ 4
Шаг 4: Решить неравенства	2х 1£-4 или 2х 1 ³ 4 2x £ -3 или 2x ³ 5 х £ -3/2 или х ³ 5/2

Пример 3: |5x + 6| + 4 < 1

Шаг 1: Изолировать абсолютное значение	|5x + 6| + 4 < 1 |5x + 6| < -3
Шаг 2: Есть число на другой стороне отрицательное число?	Да, это отрицательное число, -3. Хорошо посмотрите на знаки каждой части неравенства определить решение проблемы: |5x + 6| < -3 положительный < отрицательный Это утверждение никогда не бывает верным, поэтому решения нет. к этой проблеме.

Пример 4: |3x 4| + 9 > 5

Шаг 1: Изолировать абсолютное значение	|3x 4| + 9 > 5 |3x 4| > -4
Шаг 2: Есть число на другой стороне отрицательное число?	Да, это отрицательное число, -4. Хорошо посмотрите на знаки каждой части неравенства определить решение проблемы: |3x 4| > -4 положительный > отрицательный Это утверждение всегда истинно, поэтому решение проблема во всех реальных числах

Неравенства абсолютного значения

Ан абсолютная величина неравенство является неравенство который имеет знак абсолютного значения с переменной внутри.

Неравенства абсолютного значения (

< ):

Неравенство | Икс | < 4 означает, что расстояние между Икс и 0 меньше чем 4 .

Так, Икс > − 4 И Икс < 4 . Набор решений { Икс | − 4 < Икс < 4 } .

При решении абсолютных неравенств необходимо учитывать два случая.

Случай 1 : выражение внутри символов абсолютного значения является положительным.

Случай 2 : выражение внутри символов абсолютного значения отрицательное.

Решение — это перекресток решений этих двух случаев.

Другими словами, для любых действительных чисел а и б , если | а | < б , тогда а < б И а > − б .

Пример 1 :

Решите и нарисуйте.

| Икс − 7 | < 3

Чтобы решить такое неравенство, нам нужно разбить его на составное неравенство .

Икс − 7 < 3 и Икс − 7 > − 3 .

− 3 < Икс − 7 < 3

Добавлять 7 к каждому выражению.

− 3 + 7 < Икс − 7 + 7 < 3 + 7 4 < Икс < 10

График выглядит так:

Неравенства абсолютного значения ( > ):

Неравенство | Икс | > 4 означает, что расстояние между Икс и 0 больше, чем 4 .

Так, Икс < − 4 ИЛИ Икс > 4 . Набор решений { Икс | Икс < − 4 или Икс > 4 } .

При решении абсолютных неравенств необходимо учитывать два случая.

Случай 1 : выражение внутри символов абсолютного значения является положительным.

Случай 2 : выражение внутри символов абсолютного значения отрицательное.

Другими словами, для любых действительных чисел а и б , если | а | > б , тогда а > б И а < − б .

Пример 2 :

Решите и нарисуйте.

| Икс + 2 | ≥ 4

Разбить на два неравенства.

Икс + 2 ≥ 4 ИЛИ Икс + 2 ≤ − 4

Вычесть 2 с каждой стороны каждого неравенства.

Икс ≥ 2 ИЛИ Икс ≤ − 6

График выглядит так:

Комплексные числа: абсолютное значение

Комплексные числа: абсолютное значение Важным понятием для чисел, вещественных или комплексных, является абсолютное значение . Напомним, что абсолютное значение | х | действительного числа x есть само, если оно положительное или нулевое, а если x отрицательное, то его абсолютное значение | х | является его отрицанием – х, , то есть соответствующим положительным значением. Например, |3| = 3, но |–4| = 4. Функция абсолютного значения удаляет знак вещественного числа.

Для комплексного числа z  =  x  +  yi, мы определяем абсолютное значение | из | как расстояние от z до 0 в комплексной плоскости C .Это расширит определение абсолютного значения для действительных чисел, поскольку абсолютное значение | х | действительного числа х можно интерпретировать как расстояние от х до 0 на линии действительного числа. Мы можем найти расстояние | из | с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с одной вершиной в 0, другой в z и третьей в x на действительной оси непосредственно под z (или выше z , если z окажется ниже вещественной оси).Горизонтальная сторона треугольника имеет длину | x |, вертикальная сторона имеет длину | y |, а диагональная сторона имеет длину | по |. Следовательно,

| из | ² = х ² + у ² .

(Обратите внимание, что для действительных чисел, таких как x, , мы можем отбросить абсолютное значение при возведении в квадрат, поскольку | x | ²  =  x ² .) Это дает нам формулу для | z |, а именно,

Единичный круг.

Некоторые комплексные числа имеют абсолютное значение 1. Конечно, 1 является абсолютным значением как 1, так и –1, но это также абсолютное значение как i , так и – i , так как они оба на одну единицу от 0 на воображаемая ось. Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в 0. Она включает в себя все комплексные числа с абсолютным значением 1, поэтому уравнение | из | = 1.

Комплексное число z = x + yi будет лежать на единичной окружности, если x ² + y ² = 1.Некоторые примеры, помимо 1, –1, i, и – 1 , представляют собой ±√2/2 ± i √2/2, где плюсы и минусы можно брать в любом порядке. Это четыре точки пересечения диагональных линий y = x и y  = x с единичным кругом. Мы увидим их позже как квадратные корни из i и – i.

На единичном круге можно найти и другие комплексные числа из пифагорейских троек. Pythagorean Triple состоит из трех целых чисел A, B, и C такое, что A ² + B ² = C ² Если вы делите это уравнение на ² , то вы обнаружите, что ( a/c ) ²  + ( b/c ) ²  = 1. Значит, a/c  +  i   b/c есть комплексное число 4 b/c . круг.Самая известная пифагорейская тройка — 3:4:5. Эта тройка дает нам комплексное число 3/5 +  i  4/5 на единичной окружности. Некоторые другие пифагорейские тройки: 5:12:13, 15:8:17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 и 11:60:61. Как и следовало ожидать, их бесконечно много. (Для немного больше о пифагорейских тройках см. в конце страницы по адресу http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)

Неравенство треугольника.

Существует важное свойство комплексных чисел, относящееся к абсолютной величине, называемое неравенством треугольника.Если z и w — любые два комплексных числа, то

Это видно из правила сложения параллелограмма. Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z, и z + w. Одна сторона треугольника от 0 до z  +  w имеет длину | z  +  w |. Вторая сторона треугольника, та, что от 0 до z, имеет длину | по |.А третья сторона треугольника, та, что от z до z  +  w, , параллельна и равна прямой от 0 до w, и, следовательно, имеет длину | с |. Теперь в любом треугольнике любая сторона меньше или равна сумме двух других сторон, и, следовательно, у нас есть неравенство треугольника, показанное выше.

абсолютных неравенств — ChiliMath

На этом уроке мы узнаем, как решать абсолютные неравенства, используя стандартный подход , который обычно преподается на уроках алгебры. То есть изучите правила и применяйте их правильно. При решении абсолютных неравенств задействовано четырех случаев .

ВНИМАНИЕ: Во всех случаях предполагается, что значение «а» положительно, т. е. а > 0.

---

Четыре (4) случая, которые необходимо учитывать при решении абсолютных неравенств

СЛУЧАЙ 1 :

СЛУЧАЙ 2 :

СЛУЧАЙ 3 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительному значению, которое никогда не может быть меньше или равно отрицательному числу.

Ответ в этом случае всегда нет решения .

СЛУЧАЙ 4 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительно. Имеет смысл, что оно всегда должно быть больше любого отрицательного числа.

Ответ в этом случае всегда все действительные числа .

---

Примеры решения абсолютных неравенств

Пример 1 : Решение абсолютного неравенства .

Если вы еще не знакомы с различными кейсами, я предлагаю вам сохранить копию списка кейсов выше в качестве справки. Это определенно поможет вам легко решить проблемы.

Проблема предполагает, что существует значение «x», которое может сделать утверждение верным. Что ж, абсолютное значение чего-либо всегда равно нулю или положительно, что никогда не бывает меньше отрицательного числа. Это утверждение должно быть ложным, поэтому нет решения . Это пример case 3 .

Выберите несколько тестовых значений для проверки:

• Если x положительное, скажем, x = 5;

• Если x отрицательно, скажем, x = -5;

---

Пример 2 : Решение абсолютного неравенства.

Если подумать, любое значение «x» может сделать утверждение верным. Проверьте некоторые числа, включая ноль, а также любое отрицательное или положительное число. Что вы получаете?

Помните, что выражение абсолютного значения даст нулевой или положительный ответ, который всегда больше отрицательного числа.Следовательно, ответ , все действительные числа . Это дело 4 .

---

Пример 3 : Решение абсолютного неравенства.

Это абсолютное неравенство «меньше чем», которое является примером случая 1 . Избавьтесь от символа абсолютного значения, применив правило. Затем решить возникающее линейное неравенство.

Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную «x» в середине. Для этого вычитаем левую, среднюю и правую части неравенства на 6.

Ответ в виде символа неравенства гласит, что решения – это все значения x между -8 и -4, но не включая сами -8 и -4.

Мы также можем записать ответ в виде интервала, используя круглые скобки, чтобы обозначить, что -8 и -4 не являются частью решений.

Или запишите ответ на числовой строке, где мы используем незакрашенные кружки, чтобы исключить -8 и -4 из решения.

---

Пример 4 : Решение абсолютного неравенства.

Это неравенство абсолютного значения «меньше или равно», которое по-прежнему подпадает под действие случай 1 . Удалите символ абсолютного значения, используя правило, и решите линейное неравенство.

Изолируйте переменную «x» в середине, добавив все стороны по 6, а затем разделив на 3 (коэффициент x).

Символ неравенства предполагает, что решением являются все значения x между -3 и 7, а также включая конечные точки -3 и 7. Мы включаем конечные точки, потому что используем символ «≤».

Чтобы записать ответ в виде интервала, мы будем использовать квадратные скобки вместо обычных скобок , чтобы обозначить, что -3 и 7 являются частью решения.

И, наконец, мы будем использовать закрытые или заштрихованные кружки, чтобы показать, что -3 и 7 включены.

---

Пример 5 : Решение абсолютного неравенства.

Это пример неравенства абсолютного значения «больше чем», который является примером case 2 .Давайте удалим выражение абсолютного значения, используя правило ниже.

Как видите, мы решаем два отдельных линейных неравенства.

В интервальных обозначениях слово « или » заменяется символом «\cup», что означает « union ». Объединение наборов означает, что мы объединяем непересекающиеся элементы двух или более наборов решений.

Ответ в интервальной записи имеет больше смысла, если вы посмотрите, как он выглядит на числовой прямой.В случае 2 стрелки всегда будут в противоположных направлениях. Незаштрихованные кружки означают, что -3 и 7 не включены в решения, которые являются следствием символа «>».

---

Пример 6 : Решение абсолютного неравенства.