2-1}\) \begin{gather*} \mathrm{ (a+1)x\gt(a+1)(a-1) }\\ \mathrm{ (a+1)x-(a+1)(a-1)\gt 0 }\\ (a+1)\left(x-(a-1)\right)\gt 0\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a+1\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a+1\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a\gt -1} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt -1} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Ответ:
При a > –1, x > a – 1
При a < –1, x < a – 1
При a = –1 решений нет.

п.2. Дробно-рациональные неравенства с параметрами

Пример 5. При каких значениях a неравенство верно при всех |x| ≤ 1: $$ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{|x|\leq 1} & \\ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-1\lt 0} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{a(x+a-1)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt 1-x} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{a\gt 1-x} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\gt 2} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \mathrm{a\lt 0\cup a\gt 2} \end{gather*}

Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;0)\cup (2;+\infty)}\).

Пример 6. При каких значениях a неравенство верно при всех 1 ≤ x ≤ 2: $$ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\lt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\gt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\gt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\lt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2,\ \ 0\leq\frac{x-1}{2}\leq\frac12} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt x} & \\ \mathrm{a\lt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt x} & \\ \mathrm{a\gt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 2} & \\ \mathrm{a\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{a\gt \frac12} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\frac12\lt a\lt 1} \end{gather*}

Ответ: \(\mathrm{a\in\left(\frac12; 1\right)}\).

п.3. Иррациональные неравенства с параметрами

Пример 7. Решите неравенство:
а) \(\mathrm{\sqrt{x-a}\geq 2x+1}\)

Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{2x+1\leq 0} & \\ \mathrm{x-a\geq 0} & \end{array}\right.2-4\cdot 4\cdot(a+1)=-16a-7} $$ Если \(\mathrm{D=0:\ a=-\frac{7}{16},\ x_0=-\frac38\gt-\frac12}\) – решение подходит
Ось симметрии параболы \(\mathrm{x_0=-\frac38}\), в зависимости от значения a, вершина параболы будет перемещаться по оси.
Если \(\mathrm{D\gt 0:\ 16a+7\lt 0\Rightarrow a\lt -\frac{7}{16}}\). \begin{gather*} \mathrm{x_1=\frac{-3-\sqrt{D}}{8}\geq-\frac12\Rightarrow -3-\sqrt{-16a-7}\geq-4\Rightarrow}\\ \Rightarrow \mathrm{\sqrt{-16a-7}\leq 1}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-16a-7\geq 0} & \\ \mathrm{-16a-7\leq 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\leq -\frac{7}{16}} & \\ \mathrm{a\geq-\frac12} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{-\frac12\leq a\leq -\frac{7}{16}} \end{gather*} При \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) все точки параболы окажутся над осью OX, неравенство с ≤ 0 не будет иметь решений.
Получаем, что для \(\mathrm{a\lt-\frac12,\ a\leq x\leq-\frac12\cup x_1\leq x\leq x_2 \Leftrightarrow a\leq x\leq x_2}\)
Для \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) решений нет.3\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} &\\ \mathrm{x\gt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} &\\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \end{gather*} \begin{gather*} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{\varnothing} &\\ \mathrm{0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \\ \mathrm{x\gt a} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{0\lt x\lt-\sqrt[3]{a}} \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Ответ:
При \(\mathrm{a\lt 0,\ \ 0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}}\)
При \(\mathrm{a=0,\ \ x\in\varnothing}\) – решений нет
При \(\mathrm{a\gt 0,\ \ x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0}\).

Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе математики

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Данная тема в школьном курсе математики практически отсутствует, но на экзаменах по математике задания с параметрами встречаются постоянно. Поэтому встал вопрос «Как научить учащихся решать такие задачи?» В этом мне помогают занятия спецкурса «Методы решения математических задач различной степени сложности». В данном курсе рассматриваются именно те вопросы, которые отсутствуют или изучаются в незначительном объеме в школьном курсе математики. Одна из таких тем «Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений с параметрами», на изучение которой отводится 11 ч (это тоже не так много, но все-таки какое-то представление о заданиях с параметрами можно дать).

Основная задача первых уроков по этой темы состоит в том, чтобы у учащихся были сформированы первые представления о решении уравнений с параметром, в частности, чтобы ученики понимали, что решение уравнений с параметром зависит от значений параметра. Учащиеся должны привыкнуть к записи – «при

а = … х = …».

Следующие три темы этой главы позволяют, используя свойства квадратного трехчлена и его графика, изучить вопросы, связанные с решением квадратных уравнений и неравенств с параметрами, применяя графический, так и аналитический методы решения.

Уравнения и неравенства с модулем целесообразно решать графическим способом; для этого выражения, содержащие параметр, обособляют в одной части уравнения (неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства).

Системы тоже целесообразно решать графически, для этого надо построить в одной системе координат графики каждого из уравнений системы.

При обучении и закреплении решения различных задач с параметрами можно использовать мультимедийные уроки, которые имеются на CD-ROM диске [1]. В этом электронном пособии вы найдете различные по степени сложности задачи с параметрами, которые можно решить за компьютером.

При решении задач данной темы (особенно при решении графическим методом) очень удобно для построения графиков использовать программное обеспечение «MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика» [4], которая позволит быстро построить график указанной функции, а учащимся потом только провести исследование относительно параметра. При решении простейших уравнений с параметрами также можно использовать данное программное обеспечение.

В работе представлены полностью все уроки по данной теме, т.к. разработка одного урока не даст полного представления о том, что имелось в виду при изучении данной темы.

Тема: Первые шаги к параметрам

Математика – это инструмент, специально

приспособленный для работы с отвлеченными

понятиями всех типов, и поэтому …

её возможности неограниченны

П. Дирак

Цель: сформировать у учащихся представление о задачах с параметром на стандартных задачах; развивать логическое мышление, внимание, сообразительность, наблюдательность

1. Орг. момент

2. Мотивация

Известный педагог — математик Д. Пойа писал: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!» Хотелось бы, чтобы его слова стали эпиграфом сегодняшнего урока.

3. Объяснение нового материала

Принадлежащая Анри Пуанкаре мысль о том, что математика – это искусство давать разным вещам одно и то же название, является ключом к пониманию многих сложных вопросов, которые возникают при изучении математики. Эту идею можно воплощать на стандартных задачах, где следует избегать прямых вычислений, а то и вовсе их не делать. В таких задачах удобно вводить буквенные обозначения, т.е. выполнить переход от числа к символу (параметру) и выполнить действия с переменной.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Сравнить, какое из чисел 200320032003  200720072007 и 200520052005² больше.

Введем обозначение а = 200520052005. Тогда первое число равно (а – 2)(а + 2) = а² – 4. Второе число а². Следовательно, второе число больше.

Пример 2.

Выяснить, рационально ли число ?

Введем обозначения: , , . Тогда данное число можно представить в виде:

.

Преобразовав данное выражение, получим

, следовательно, данное число натуральное.

Пример 3. Вычислить

Данное задание можно выполнить как обычно, выполнив порядок действий с корнями, а можно избавиться от квадратных корней, введя обозначение , и получив обычные рациональные дроби . Преобразовать это выражение для учащихся не составит ни какого труда. После всех преобразований получим, что данное выражение равно: . Выполнив обратную подстановку, получаем, что исходное выражение равно: .

Пример 4. Сравните меньший корень уравнения с числом .

Введем обозначение , , , . Тогда уравнение примет более краткую запись: (даже этот вид уравнение оправдывает введение символа). Решим это уравнение. , , .

Преобразуем число ; введя обозначения получаем

Так как , то ,

тогда ,

, . Выполняя обратную замену, получим , тогда .

Сравним числа а и т. Так как a > 0 и m > 0, то сравним их квадраты. Имеем

Так как выражение , то разность квадратов отрицательна, следовательно, a < m, т.е. меньший корень меньше данного числа.

Пример 5. Найдите наибольшее целое k, при котором уравнение не имеет действительных корней.

Так как речь идет о количестве корней уравнения, то в этом задании предпочтительнее выделить полный квадрат, а не выписывать неравенство для дискриминанта.

Имеем и уравнение примет вид , тогда . Получившееся уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . Наибольшее целое k, удовлетворяющее этому условию, равно -1.

4. Закрепление

1. Сравнить, какое из чисел 199819981998  199819982002 и 199819982000² меньше

2. Вычислить

3. Вычислить

4. Сравните больший корень уравнения с числом

5. Найдите наименьшее целое а, при котором уравнение имеет два различных корня

5. Итог урока

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле» (А.Н. Крылов).

Я надеюсь, что идеи, которые мы применяли при решении задач на сегодняшнем занятии, не пройдут мимо вас, и вы будете по мере возможности ими пользоваться.

Ведь «если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе» (М.И. Калинин)

6. Домашнее задание

Задачи для домашней работы можно составить самим по образу и подобию тех, которые решались на занятии.

Тема: Простейшие уравнения и неравенства с параметрами

Цель: сформировать у учащихся представление о решении простейших уравнений и неравенств с параметрами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

1. Орг. момент

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов решения необходимо.

2. Актуализация знаний

   1. Рассмотрим уравнения: 2х = 5, -4х = 0, 3х = 3х – 7, 5(х – 7) = 3(х – 4) – 27.

   2. Как называются эти уравнения?

   3. Решить уравнения и исследовать количество корней в зависимости от коэффициента, стоящего при х.

   4. Как записывается линейное уравнение в общем виде?

   5. Решить уравнение в зависимости от коэффициентов.

   6. Решить неравенства 2x < 5, -3x >6 , 2x > 2x – 5, 7 – 3x < 5 – 3x

   7. Вспомнить основные свойства простейших линейных неравенств.

3. Новая тема.

Таким образом, мы подошли с вами к уравнению, в котором кроме переменной х присутствуют и другие буквенные переменные.

Если уравнение содержит буквенные компоненты, то они называются параметрами, а уравнение – уравнением с параметром. Решение таких уравнений зависит от значений параметров.

Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения параметра найти значение переменной, удовлетворяющие этому уравнению.

Примечание. Начинать решать уравнения с параметрами следует с уравнений, решения которых не подразумевает ветвлений.

х – а = 0 5х = а 2х + а = 0 3х – а = 2а

6(х + а) = 12а 12х + 4а = 8(а + х)

Затем рассмотреть уравнение, в котором параметр находится при неизвестной переменной.

Рассмотрим уравнение (а – 2)х = 5.

Видим, что это линейное уравнение. Чтобы найти х надо 5 разделить на (а – 2).

Вопрос. При всех ли а мы можем разделить уравнение на (а – 2)?

При а = 2 выражение а – 2 = 0 и уравнение принимает вид 0х = 5, решений нет.

При а ≠ 2 выражение а – 2 ≠ 0, тогда .

Рассмотреть решение уравнений:

ах = 5 (а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 3 – ах = х ха² = а + х

4а – а²х = 2ах (а² – 4)х = а² + а – 6

Рассмотрим неравенство ах < 5.

Каким может быть число а?

Оно может быть положительным, отрицательным или равным 0. Рассмотрим все случаи.

При а = 0 неравенство примет вид 0х < 5. Это неравенство верно при любом х.

При а < 0 решением неравенства будут х >

При а > 0 решением неравенства служат х < .

На закрепление можно решить неравенства вида:

(а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 2а(а – 2)х < а – 2 ха² = а + х

4. Итог занятия

5. Домашнее задание

Решить уравнения: (а² – 5)х + а = а(а – 4х)

Решить неравенство: (а – 2)х > 10 – 5х

Тема: Исследование квадратных уравнений, содержащих параметр

Цель: повторить формулы нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение у учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры; развивать логическое мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

1. Орг. момент

2. Мотивация на изучение нового материала

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.

3. Актуализация знаний

Вспомним основные формулы, связанные с квадратным уравнением.

1. Определение квадратного уравнения

2. Формулы корней квадратного уравнения

Задание 1. Сколько корней имеет уравнение:

Задание 2. Изобразить схематически график квадратичной функции

Задание 3. Линейным или квадратным является уравнение относительно х при: а = 1; при а = 2; при а = 0,4; при а = 0?

4. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся находим значение параметра в квадратных уравнениях используя известные нам формулы из уроков алгебры 8 класса, а также решать квадратные уравнения, содержащие параметр.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах + 3) + 6 = х(ах – 6) является квадратным, неполным квадратным, линейным?

Вопрос: что необходимо сделать для того, чтобы ответить на поставленный вопрос?

Ответ: привести данное уравнение к виду ах² + вх + с = 0.

Выполним это, для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при х², при х и свободные коэффициенты:

а²х² + 3ах + 6 = ах² – 6х, а²х² — ах² + 3ах + 6х + 6 = 0, (а² – а)х² + (3а + 6)х + 6 = 0,

Вопрос: при каких условиях квадратное уравнение ах² + вх + с = 0 является полным, неполным, линейным?

Ответ: уравнение вида ах² + вх + с = 0 является полным квадратным, если а ≠ 0 и в ≠ 0; является неполным квадратным, если а ≠ 0 и в = 0; является линейным, если а = 0 и в ≠ 0

Исходя из полученных выводов найдем условие на параметр а для каждого случая.

1. Уравнение является полным квадратным, если , тогда

, т.о. если а (-; -2)(-2; 0)(0; 1)(1; +), то уравнение является полным квадратным.

2. Уравнение является неполным квадратным, если , тогда

, т.о. при а = -2 исходное уравнение является неполным квадратным.

3. Уравнение является линейным, если , тогда , т.о. если а = 0 или а = 1, то уравнение исходное уравнение является линейным.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение ах² – ах + а = 0 имеет корни? не имеет корней?

Вопрос: при каких условиях уравнение вида ах² + вх + с = 0 имеет корни и сколько? не имеет корней?

Ответ: если D  0, то уравнение имеет два или один корень; если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Используя полученные выводы, ответим на вопросы задачи, для этого составим выражение для дискриминанта.

D = (-a)² – 4  a  a = a² – 4a² = -3a².

Так как а² > 0 при любых значениях а, то выражение -3а² будет всегда отрицательным и лишь при а = 0 дискриминант будет равен 0. Т.о. при а  (-; 0)  (0; +) D < 0 и исходное уравнение не имеет корней; при а = 0 D = 0 и исходное уравнение имеет единственный корень.

Следующим нашим шагом при изучении данной темы – это решение квадратных уравнений с параметром, не содержащих параметра при старшем коэффициенте.

Пример 3. Решить уравнение х² – 4х + а = 0.

При решении таких заданий используется алгоритм решения квадратных уравнений.

D = (-4)² – 4  1  a = 16 – 4a.

1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 16 – 4а > 0, тогда -4а > -16, а < 4.

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

2. Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 16 – 4а = 0, тогда а = 4.

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

3. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 16 – 4а < 0, тогда -4а < -16, а > 4. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < 4 ; при а = 4 х = 2; при а > 4 корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение, которое содержит параметр при старшем коэффициенте.

Пример 4. Решить уравнение ах² – 3х + 9 = 0.

Вопрос: всегда ли это уравнение будет квадратным?

Ответ: если а = 0, то исходное уравнение не является квадратным.

Определим вид исходного уравнения при а = 0, получаем -3х + 9 = 0 – это линейное уравнение, которое имеет решение х = 3.

Рассмотрим случай когда а ≠ 0.

При а ≠ 0 исходное уравнение является квадратным, а значит, можем применить алгоритм решения квадратного уравнения.

D = (-3)² – 4  a  9 = 9 – 36a

1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда —36а > -9, а < .

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

2. Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 9 – 36а = 0, тогда а = .

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

3. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а >. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < ; при а = 4 ; при а > корней нет.

5. Закрепление изученного материала

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Под ред. Дорофеева Г.В. – М.: Просвещение, 1998

с. 166, № 586, 587

6. Итог урока

Проверочная работа

1 вариант	2 вариант
Линейным или квадратным является уравнение а(а — 5)х2 + (6а – 3)х – 18 = 0 относительно х при: а = 6; а = 0; а = 0,5; а = 5 ?	Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х2 + (4а – 20)х + 7 = 0 относительно х при: а = -4; а = 0; а = 5; а = -3 ?
Решить уравнение относительно х 6х2 – 5ах + а2 = 0	Решить уравнение относительно х 12х2 + 7ах + а2 = 0

7. Домашнее задание

Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2003.

стр. 209 № 5 – 7.

Тема: Применение теоремы Виета и ей обратной для исследования квадратных уравнений с параметрами

Цель: повторить формулы нахождения корней квадратных уравнений, теорему Виета, научить применять теорему Виета и ей обратную для исследования квадратных уравнений с параметрами; развивать умение анализировать, сравнивать, логическое мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки

1. Орг. момент

Не всегда уравненья разрешают сомненья,

Но итогом сомненья может быть озаренье.

А.Н. Колмогоров

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении уравнений и неравенств в старших классах.

2. Актуализация знаний учащихся.

   1. Общий вид квадратного уравнения.

   2. Формулы для решения квадратного уравнения

   3. т. Виета

В результате получается таблица

общий вид квадратного уравнения	формулы для решения КВУР	т. Виета
ах2 + bx + c = 0, a ≠ 0	D = b2 – 4ac, если D > 0 , то если D = 0 , то если D < 0 , то корней нет	Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, a ≠ 0 тогда и только тогда, когда

3. Новая тема.

   1. Рассмотрим квадратный трехчлен ах² + bx + c в общем виде и исследуем зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и положительны?

Обсуждение с учащимися:

Вопрос. Что значит, корни квадратного уравнения существуют?

Ответ. Значит, дискриминант – положителен.

Вопрос. Какими равенствами нужно задать второе условие задачи: корни положительны? При этом постараться избежать нахождения самих корней.

Ответ. Можно воспользоваться теоремой Виета. Так как корни положительны, то их сумма и произведение также будут положительны.

Действительно, для решения поставленной задачи достаточно составить следующую систему:

Решив полученную систему, найдем решение поставленной задачи.

Пример 1. При каких значениях параметра а квадратное уравнение х² – (2а – 1)х + 1 – а = 0 имеет два различных положительных корня?

Имеем, D = (2a – 1)² – 4(1 –a) = 4a² – 3; x₁ + x₂ = 2a – 1; x₁ ∙ x₂ = 1 – a.

Получаем систему неравенств:

, тогда

Наносим решение на числовые оси

Из полученного чертежа видим, что решением данной системы неравенств является интервал .

Рассуждая аналогичным образом, можно составить и решить следующие задачи.

2. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и отрицательны?

Получим систему

3. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и разных знаков?

Для решения задачи составим следующую систему

Если в эту задачу добавить условие, что по модулю один из корней больше или меньше, то в указанную систему добавим неравенство, которое связывает сумму корней.

2. Следующим этапом можно перейти к исследованию квадратных неравенств.

2.1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c неравенство ах² + bx + c > 0 выполняется на всей числовой оси?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить график квадратичной функции.

Рассмотрим функцию у = ах² + bx + c. Графиком данной функции является парабола. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента а.

Т.о. мы получили новую задачу: при каких значениях параметров a, b, c график квадратичной функции расположен выше оси х?

Это выполнимо, если у графика нет точек пересечения с осью х и ветви направлены вверх.

Что значит, график не имеет точек пересечения с осью х? Это значит, что соответствующее квадратное уравнение не имеет корней, т.е. D < 0.

Ветви параболы направлены вверх, если коэффициент a > 0.

В итоге получаем систему неравенств .

2.2. Рассуждая аналогичным образом, можно решить следующую задачу. При каких значениях параметров a, b, c неравенство ах² + bx + c < 0 выполняется на всей числовой оси?

3. На занятиях по данной теме можно также рассмотреть задания следующего характера.

3.1. Не решая уравнения 3х² + 3х – 1 = 0, найти

и т.д.

Напомнить учащимся, что при исследовании можно использовать теорему Виета.

3.2. После того, когда такие задания отработаны, можно предложить задания с параметрами.

Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х² – 3ах + а² = 0 удовлетворяют условию =1,75?

Решение.

Проверим для исходного уравнения наличие корней: D = (-3а)² – 4 · а² = 5а². При любых значениях параметра а дискриминант D > 0.

Имеем .

По теореме Виета х₁ + х₂ = 3а, х₁ ∙ х₂ = а².

Подставляя в полученные результаты в условие, получаем равенство:

(3а)² – 2 ∙ а² = 1,75

Решив уравнение, получаем а = ± 0,5.

4. Решение задач.

Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться следующей литературой

1. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994

стр. 53 – 56.

2. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

стр. 209 – 210.

3. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

5. Итог занятия.

6. Домашняя работа

В зависимости от того, что сделано на занятии, на дом можно задать упражнения из тех же сборников.

Тема: Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек

Цель: повторить определение квадратного трехчлена, его свойства и график; формировать умение у учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры, используя свойства квадратного трехчлена; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

1. Орг. момент.

2. Актуализация знаний

Повторить основные понятия, связанные с квадратным трехчленом.

1. Определение

Квадратный трехчлен ах² + bx + c – это многочлен второй степени; а ≠ 0 – первый коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.

2. График

График функции — парабола; координаты вершины , ,

где — дискриминант квадратного трехчлена

3. Корни квадратного трехчлена

D < 0	Квадратный трехчлен не имеет корней и сохраняет знак первого коэффициента при всех значениях х: a  f(x) > 0
D = 0	Квадратный трехчлен имеет один корень У функции f(x) два промежутка знакопостоянства, на каждом из которых она сохраняет знак первого коэффициента при всех значениях х: a  f(x) > 0 (х ≠ х0). Парабола касается оси абсцисс в своей вершине
D > 0	Квадратный трехчлен имеет два корня: , У функции f(x) три промежутка знакопостоянства.

3. Объяснение новой темы

Для решения квадратных уравнений, содержащих параметр, очень часто используется график квадратичной функции. Рассмотрим возможные случаи расположения графика квадратичной функции f(x) = ах² + bx + c и ответим на вопросы о знаках а, b, c, D, f(0).

В результате работы с предложенными графиками у учащихся появляется таблица, в которой учащиеся показывают возможные случаи расположения графика квадратичной функции и знаки а, b, c, D, f(0).

Например,

а < 0 b > 0 c < 0 D < 0 f(0) < 0

а < 0 b < 0 c < 0 D < 0 f(0) < 0

Некоторые случаи можно рассмотреть совместно с учащимися, а некоторые дать заполнить самостоятельно.

Пример 1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения

х² – ах + 2 = 0 лежат в интервале (0; 3)?

Рассмотрим функцию f(x) = х² – ах + 2. Изобразим график данной функции, удовлетворяющей условию задачи, и опишем соответствующие условия.

Т.к. уравнение имеет два корня, то D  0. Корни уравнения – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью х, т.е. f(0) > 0 и f(3) > 0. Вершина параболы находится в интервале (0; 3), т.е. 0 < x₀ < 3.

Т.о. получаем систему неравенств:

Составим соответствующую систему для исходного уравнения.

Имеем D = (-a)² – 4  1  2 = a² – 8, , f(0) = 0² – a  0 + 2 = 2, f(3) = 3² – a  3 + 2 = 9 – 3a + 2 = 11 – 3a.

В итоге получаем систему неравенств:

4. Закрепление

   1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х² – ах + 2 = 0 лежат в интервале (1; 3)?

   2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х² – 2х + а = 0 лежат в интервале (-1; 1)?

   3. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х² – 2(а + 1)х + а – 3 = 0 лежат в интервале (-1; 5)?

   4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х² – 6ах + 2 – 2а + 9а² = 0 больше 3?

   5. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х² – 3ах + 2а = 0, а ≠ 1 больше 1?

   6. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах² + х + 1 = 0, 2 разделяет корни?

   7. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 2)х² – 2ах + 3а = 0 положительны?

5. Итог урока

6. Домашнее задание

   1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах² – (а³ + 2а + 1) х + а(а + 2) = 0 лежат в промежутке [0; 1]?

   2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения aх² + 2(а – 1)х + a – 5 = 0, a ≠ 0 меньше 2?

Тема: Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие модуль

Цель: повторить решение уравнение и неравенств с модулем графическим методом; научить учащихся решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащих модуль; развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать.

1. Орг. момент.

2. Актуализация знаний.

   1. Вспомнить в чем заключается графический метод решения уравнений и неравенств с модулем.

2. Решить графически уравнение ||x| — 3| = 3.

Строим графики функций у = ||x| — 3| и у = 3

По графику видим, что решением исходного уравнения являются три числа -6, 0, 6

3. Новая тема

Уравнения и неравенства, содержащие модуль иногда целесообразно решать графически. Для этого выражение, содержащее параметр, обособляют в одной части уравнения (или неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства). После чего делается вывод о решении уравнения.

Графический метод решения уравнений наиболее удобен, когда встает вопрос о количестве корней уравнений в зависимости от параметра.

Пример 1. Решить уравнение |x – 1| + |x – 3| = a.

Строим графики функций у = |x – 1| + |x – 3| и у = a.

По графику видим

при a < 2, решений нет

при а > 2 два решения

при а = 2 решением является промежуток [1; 3].

Найдем решения при а > 2.

Раскроем модуль на интервалах

1) (-∞; 1), – (х – 1) – (х – 3) = а; -х + 1 – х + 3 = а;

-2х + 4 = а, откуда

2) (3; +∞), х – 1 + х – 3 = а; 2х — 4 = а, откуда

Ответ: при a < 2, решений нет; при а > 2 , ; при а = 2 х [1; 3].

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение |x – 2| · (x – 2) = a в зависимости от параметра а.

Строим графики функций у = |x – 2| · (x – 2) и у = a.

Из графика видим, что

при a < 0 и a > 4, 1 корень

при a = 0 и a = 4, 2 корня

при 0 < a < 4, 3 корня

4. Решение задач.

Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться следующей литературой

1. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

стр. 209 – 210.

2. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

3. Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса, 2002

Для отработки решений уравнений и неравенств с параметрами, содержащими модуль, можно также воспользоваться сборником для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа: стр. 145 № 6.211 – 6.218

5. Итог урока

6. Домашнее задание

Сборник для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа: стр. 146 № 6.221 – 6.224

Примечание. Если на данном уроке вы не ставите целью урока отработку построения графиков функций, то эти уроки можно провести с помощью компьютера. Компьютеру отвести роль построения графика функции или с помощью электронных таблиц Excel, или с использованием ППП «Matematica 4.2».

Тема: Системы уравнений, содержащие параметр

Цель: сформировать у учащихся умение решать системы уравнений с параметрами, содержащими модуль, различными методами; развивать творческую и исследовательскую деятельность, развивать логическое мышление, внимание, сообразительность

1. Орг. момент

2. Мотивация

Изучение математики не бывает легким занятием, но те трудности, которые здесь появляются, необходимо преодолевать, не скрывая их. Это оттачивает математическую мысль и рождает новые идеи.

Древнекитайский мыслитель и философ Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию: путь размышления – самый благородный, путь подражания – самый легкий и путь опыта – это путь самый горький…» Мне хотелось бы, чтобы, изучая данную тему, вы размышляли над решениями систем уравнений, содержащих параметры, тем самым не подражали, а приобретали бы свой опыт в решении таких систем.

3. Объяснение нового материала

Вспомним известные факты из курса алгебры о решении систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений .

1. Данная система имеет единственное решение, если

2. Система имеет бесконечно много решений, если

3. Система не имеет решений, если

Задание 1. Определить число решений системы

а) б) в)

Решение.

а) Имеем , значит, система имеет единственное решение.

б) Для второй системы характерно , поэтому система имеет бесконечно много решений.

в) Для третьей системы имеем , поэтому система не имеет решений.

Эти же известные факты удобно применять и при решении систем уравнений, содержащих параметр, в которых необходимо выяснить вопрос о количестве решений системы уравнений.

Пример 1. Определить все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Данная система является линейной системой из двух уравнений. Если а ≠ 0, то система имеет единственное решение, если .

Составим данное отношение , то 3а² ≠ а + 2, тогда 3а² — а – 2 ≠ 0. Соответствующее квадратное уравнение 3а² — а – 2 = 0 имеет корни и . Значит, при и выполняется условие 3а² ≠ а + 2, а, следовательно, система имеет единственное решение.

На закрепление изученного факта предложить учащимся для самостоятельного решения:

1. Укажите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

2. Определить все значения параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечно много решений.

3. При каком значении параметра а система уравнений не имеет решений?

4. При всех значениях параметра а решите систему уравнений .

Следующим этапом изучения данной темы – это графический метод решения систем уравнений, содержащих параметр.

Пример 2. При всех значениях параметра а решить систему уравнений .

Построим в одной системе координат график каждого уравнения.

у = 1 – х — это прямая, проходящая через точки (1; 0) и (0; 1).

— это квадрат, вершины которого лежат на координатных осях в точках (а; 0), (0; а), (-а; 0) и (0; -а).

По графикам видим, что количество решений данной системы зависит от параметра.

Если а = 1, то одна из сторон квадрата совпадает с частью прямой у = 1 – х, значит решением системы является промежуток [0; 1].

При а < 1 квадрат и прямая не имеют точек пересечения, а значит, система уравнений не имеет решений.

При а > 1 квадрат и прямая пересекаются в двух точках. Определим координаты точек пересечения.

Имеем . Раскрывая знак модуля получаем = ,

тогда -2х + 1 = а, отсюда ; 2х — 1 = а, отсюда .

Значит, и

Т.о. получаем при а = 1 х 0; 1; при а < 1 система решений не имеет; при a > 1 система имеет два решения и

Пример 3. В зависимости от параметра а найти число решений системы уравнений

На этот вопрос не сложно ответить используя графический метод.

В одной системе координат построим график каждого уравнения. Первое уравнение системы определяет квадрат с вершинами в точках (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Второе уравнение системы задает окружность с центром в начале координат и радиуса при условии . Возможны следующие варианты взаимного расположения квадрата и окружности:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Теперь следует лишь аккуратно указать границы для значений параметра.

1. Если а < 0, то второе уравнение системы решений не имеет. Если а = 0, то второе уравнение системы имеет единственное решение (0; 0), которое не является решением первого уравнения системы.

Определим радиус окружности, когда окружность касается сторон квадрата. Радиус вписанной окружности в квадрат вычисляется по формуле , где а – сторона квадрата. Сторона исходного квадрата равна , значит

2. Окружность находится внутри квадрата, если её радиус меньше, чем , т.е. ,

3. Если , т.е. , то окружность касается четырех сторон квадрата.

4. Если , то окружность пересекает каждую сторону квадрата в двух точках, не являющихся вершинами.

5. Если а = 1, то окружность проходит через все вершины квадрата.

6. Если а > 1, то квадрат находится внутри круга.

Т.о. получаем, что система не имеет решений, если ; система имеет 4 решения при а = 0,5 и а = 1; система имеет 8 решений при

4. Решение задач

На закрепление изученного материала можно предложить следующие задания:

1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет максимальное число решений?

2. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

3. При каких значениях параметра а система имеет 2 решения?

4. При каких значениях параметра а система имеет 3 решения?

5. Итог урока

6. Домашнее задание

Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучении математики. 9 – 11 классы: Учебное пособие. – Кемерово: ОблИУУ, 1998. – стр. 58 – 71.

Кочагин В. Курс «Уравнения и неравенства с параметрами» / Математика. – 2002. — № 33. — стр. 27

Тема: Методы решения и исследования уравнений с параметрами

Цель: продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с параметрами различными методами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся; развивать компьютерную грамотность учащихся.

1. Орг. момент

2. Вступительное слово учителя.

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время назвал математику «царицей всех наук», а академик Соболев С.Л. её называет «служанкой всех наук». «Математика скорее добрая фея, только получить у неё можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент – математические методы» (Петровский И.Г.)

Мы на протяжении нескольких уроков изучаем математические методы решения уравнений с параметрами: аналитический, графический, решение относительно параметра, компьютерное решение. Овладение методикой решения уравнений с параметрами существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, развивает мышление, внимание. О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинировано рассуждает.

Тема нашего занятия «Методы решения и исследования уравнений с параметрами», цель которого продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с параметрами различными методами.

3. Решение задач

1. Решить уравнения относительно х (работа в двух группах).

а) (а² – 4) х = а² + а – 6 б) ах² – 6х + 1 = 0

(а – 2)(а + 2) = (а – 2)(а + 3) а = 0, -6х + 1 = 0,

а = 2, 0х = 0, х R а  0, D₁ = 9 – а,

а = -2, 0х = -4, решений нет 1) 9 – а > 0

а  + 2,

2) 9 – a = 0, a = 9,

, т.е.

3) 9 – а < 0, a > 9, решений нет

2. При каком значении параметра а корни уравнения х² + (а + 1) х + а + 4 = 0 существуют, различны и отрицательны? (совместное обсуждение и самостоятельное решение).

Обсуждение.

т.к. корни существуют и различны, то D > 0

т.к. корни отрицательны, то х₁ + х₂ < 0; х₁ · х₂ > 0

Имеем D = a² – 2a – 15, х₁ + х₂ = — (a + 1), х₁ · х₂ = a + 4.

Получаем систему , решением которой является а  (5; +)

3. Сколько корней имеет уравнение х² – 6х + 5 = а в зависимости от параметра?

(работа с таблицей)

4. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра?

Обдумать ход решения данного задания.

Совместное построение графика функции на доске.

Вывод самостоятельно.

Графический метод решения некоторых уравнений с параметром весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнений в зависимости от параметра.

4. Практическая работа с использованием ППП «Matematica 4.0»

1 вариант

1. Решить уравнение:

а) 4а – а²х = 2ах б)

2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

2 вариант

1. Решить уравнение:

а) (а² – 9)х = 9а² – 10 а – 51 б)

2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

3 вариант

1. Решить уравнение:

а) (а² — 5а + 6) х = а⁴ – 16 б)

2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

Ответы к практической работе.

1. при а ≠ 1 х = а; настойчивость

при а = 1 корней нет

2. при а = 3 х – любое число;

при а ≠ 3 и а ≠ — 3 математикой

при а = -3 корней нет

3. при а ≠ 0 х = 0 мозг

при а = 0 корней нет

4. при а = 2

при а = 3 Ø упорство

при а ≠ 3, а ≠ 2

5. при а < 0 Ø

при а = 0, а < 3 4 корня

при 0 < a < 1 8 корней занимается

при а = 1 6 корней

при а = 3 3 решения

при а > 3 2 решения

6. при а < 1 корней нет

при а = 1 х [-2; -1] развивает

при а > 1 два решения

7. при а ≠ -2, а ≠ 0

при а = 0 тренирует

при а = -2 Ø

8. при а = 1, а = -1,5, а = 3,5 Ø воспитывает

при других а

9. при а < 0 Ø

при а = 0, а > 4 два корня

при 0 < а < 3, а = 4 четыре корня внимание

при а = 3 пять корней

при 3 < а < 4 шесть корней

10. при а ≠ -2, а ≠ 0 достижении цели

при а = 0

11. при а < 0 Ø

при а = 0, 1 < а < 3 4 корня

при 0 < a < 1 8 корней волю

при а = 1 6 корней

при а = 3 3 решения

при а > 3 2 решения

В результате выполнения практической работы и соотнесение ответов со словами учащиеся совместно составляют высказывание Маркушевича А.И. «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели».

5. Итог занятия

6. Домашнее задание.

1. При каких значениях параметра а уравнение х² – (2а + 1)х + а² + а – 6 = 0 имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

2. Найдите наибольшее целое а, при котором уравнение имеет четыре корня.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА

А. Рекомендуемая литература

1. Алгебра и начала анализа. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / под ред. Шестакова С.А. — М.: Внешсигма – М, 2003

2. Башмаков М.И. и др. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2001

3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994

4. Гольдштейн З.М. и др. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР. – Томск, 1999

5. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, 2002

6. Горнштейн П.И. Решение конкурсных задач по математике из сборника под редакцией М.И. Сканави. Группа В. — Киев: РИА «Текст МП «ОКО», 1992

7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Минск, 1967

8. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1999

9. Джумаева О.А. Математика: подготовка к государственному централизованному тестированию. – Саратов: Лицей, 2002

10. Дорофеев Г.В. и др. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2004

11. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2003

12. Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс. / Сост. Боковнев О.А. и др. – М.: Просвещение, 1979

13. Казак В.В., Козак А.В. Тесты по математике. Тестирование и единый экзамен. — М., 2003

14. Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: Интеллект-Центр, 2004

15. Капустина Т.В. Компьютерная система MATHEMATICA 3.0 // Математика в школе. — 2003, № 7

16. Карп А.П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10 – 11». — М.: Просвещение, 1995

17. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10 — 11 кл. – М.: Просвещение, 2001

18. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение, 1981

19. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2005

20. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2004

21. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981

22. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл. – М.: Просвещение, 1998

23. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. – М.: Просвещение, 1997

24. Мочалин А.А. Сборник задач по математике с решениями. — Саратов: Издательство «Лицей», 1998 г.

25. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

26. Олехник С.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. — Москва: «Экзамен», 1998 г.

27. Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 классы. – М.: Дрофа, 2001

28. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1987

29. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: АЙРИС, 1996

30. Предметная неделя математики. / Сост. Н.П. Токарчук. – Волгоград, 2007

31. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред М.И. Сканави. — М., 1994

32. Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики. 9 – 11 классы. – Кемерово: ОблИУУ, 1998

33. Семёнов В.И. По страницам учебника М.Л. Галицкого …. — Кемерово, 1999 г.

34. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991

35. Тесты: Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: АСТ-ПРЕСС; Центр тестирования выпускников общеобразовательных учреждений РФ, 2000

36. Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса, 2002

37. Черкасов О.Ю. и др. «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену». — Москва, 1997

38. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995

39. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике 10 – 11 кл.»

40. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. – М.: Русское слово, 2003

41. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 1. – М.: Русское слово, 2003

42. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 2. – М.: Русское слово, 2003

43. 3000 конкурсных задач по математике. – М., 1997 год

44. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

45. www. center. fio. ru

46. www. 1september. ru

47. www. profile-edu. ru

В. Мультимедийные обучающие пособия

1. Математика абитуриенту. Версия 2.0

2. 1С: Репетитор. Математика. Часть 1.

3. Курс математики 2000. Версия 4.5

4. MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика

5. 1С: Репетитор. Сдаем Единый экзамен

6. Выпускнику и абитуриенту

7. Математика для школьников и студентов. Теория и практика

8. Электронный учебник-справочник. Алгебра. 7 – 11 класс

9. 1С: Математика 5 – 11 классы. Практикум.

10. Математика 5 – 11. Новые возможности для усвоения курса математики.

11. Вычислительная математика и программирование. 10 – 11 классы.

12. Готовимся к ЕГЭ. Математика. Решение экзаменационных задач в интерактивном режиме.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

1. Основные определения

Неравенство

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),                  (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а  x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а₀, b = b₀, c = c₀, …,  k = k₀, при некоторой функции

f(a, b, c, …, k, x)  и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

f(a, b, c, …, k, x)  и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство 

f(a, b, c, …, k, x₀)>j(a, b, c, …, k, x₀)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x)  и        (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x)           (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

 

2. Алгоритм решения.

1.    Находим область определения данного неравенства.

2.    Сводим неравенство к уравнению.

3.    Выражаем а как функцию от х.

4.    В системе координат хОа строим графики функций а =f (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5.    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6.    Исследуем влияние параметра на результат.

·      найдём абсциссы точек пересечения графиков.

·      зададим прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -∞ до +∞

7.    Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

 

3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство

 

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .

Ответ: , .

 

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

 

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства  –

                             (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса  2  с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения  и  находятся из системы

а значения  и  находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:

 

III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.

 

Решение.

                        Находим область допустимых значений –

                        Построим график функции в системе координат хОу.

·    при  неравенство решений не имеет.

·    при  для  решение х удовлетворяет соотношению , где

 

Ответ: Решения неравенства существуют при 

, где  , причем при  решения ; при  решения  .

IV. Решить неравенство

 

Решение.

                        Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

 

                                        

 

                        Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

 

 

Разложим числитель на множители.

т. к.    то

Разделим обе части равенства на  при . Но  является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа  графики функций

 

и нумеруем  образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

 

?	точка	неравенство:	вывод
1			—
2			+
3			—
4			+
5			—
6			+
7			—
8			+
9			—

 

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от  -∞ до + ∞.

Ответ.

при                                                               

при                                                               

при                                                   

при                                                           решений нет

при                                                          

как решать неравенства с параметром

Вы искали как решать неравенства с параметром? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и неравенства с параметром, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как решать неравенства с параметром».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решать неравенства с параметром,неравенства с параметром,неравенства с параметром как решать,неравенство с параметром,решение неравенств с параметрами,решение неравенств с параметром,решение неравенств с параметром квадратных. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать неравенства с параметром. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, неравенства с параметром как решать).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать неравенства с параметром Онлайн?

Решить задачу как решать неравенства с параметром вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Мастер-класс «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Аннотация: Разработка представляет собой мастер – класс по алгебре и началам анализа с применением информационно – коммуникационных технологий. Он проводился в 11 классе (с изучением математики на профильном уровне). Продолжительность – 90 минут.

Тема занятия: «Решение систем уравнений и неравенств с параметром».

Цель занятия: в рамках подготовки к ЕГЭ рассмотреть решение систем уравнений и неравенств с параметром.

Задачи занятия:

а) образовательная: формировать умение учащихся решать системы уравнений и неравенств с параметром с использованием графических иллюстраций;

б) развивающая: создать условия для развития таких аналитических способностей для учащихся как умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать, делать выводы;

в) воспитательная: содействовать развитию интереса к изучению математики.

Оборудование:

Компьютер, проектор, экран.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Сообщение темы занятия, постановка целей и задач.

Каждый учащийся получает карту с заданиями, которые будут рассмотрены в ходе занятия (см. приложение 1).

1. Актуализация знаний.

1. Сообщение учащегося по теме «О задачах с параметром» (см. приложение 2)

2. Опрос:

-Каким уравнением задается прямая, окружность, парабола, две пересекающиеся прямые.

— Какие линии задают предложенные уравнения

а) 3х+2у-4=0; б) 2ху=-3; в) х²+2х –у=0;

г) (2у-4х+1)(3х-4у-5)=0; д) (х-3)²+(у+5)²=6.

3) Перед вами задания, взятые из вариантов ЕГЭ (см. приложение 1). Разбейте их на группы по внешним признакам.

3. Изучение материала и его закрепление.

В ходе выполнения предыдущего задания учащиеся разбили задания на группы:

1 группа: №1, 2

2 группа: № 7, 8

3 группа: № 9, 10, 11

4 группа: № 12, 13, 14

Сначала один учащийся объясняет как решается одно из заданий из каждой группы (Этот ученик заранее разобрал решение). В ходе объяснения он так же применяет иллюстрации из презентации «Системы уравнений и неравенств с параметрами» (см. приложение 3). Учащиеся задают ему вопросы, выясняют сложные моменты.

Затем учащимся предлагается решить аналогичное задание самостоятельно. В это время один ученик решает его на задней доске. После выполнения заданий происходит проверка и обсуждение результата.

Решение задания группы 1:

C5 №2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

Решение.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рисунок). Графиком уравнения (2) является окружность радиуса , центр которой ― точка ― лежит на прямой . Поскольку оба графика симметричны относительно прямой , система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
 будет равняться радиусу  данной окружности. Из треугольника POK находим: , где  ― угловой коэффициент прямой . Таким образом, , 
, , откуда 

.

Окончательно получаем: , ,  или . 

Ответ:  или . 

Решение задания группы 2:

C5 № 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет а) ровно четыре решения, б) ровно 8 решений.

Решение.
Преобразуем данную систему: 

Сделав замену переменной , получаем систему 

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt. 

График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях х и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рисунок). 

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет соотношению , где  — половины меньшей и большей диагоналей ромба соответственно. Радиус вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 и 12, откуда 

Таким образом, система имеет 4 ровно решения, если  или , откуда  или  

Графики имеют 8 общих точек, если радиус окружности удовлетворяет условию , где  — радиус окружности, вписанной в ромб. Тогда , откуда 

.

Ответ: 
а)  
б) .

Решение задания группы 3:

C5 № 11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 8 решений.

Решение.
Преобразуем систему: 

Первое уравнение задает части двух парабол: 

(см. рисунок). 

Второе уравнение задает окружность радиусом  с центром . На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы  в двух точках с положительными ординатами. 
Получаем уравнение , откуда 

,

которое должно иметь два различных положительных корня. Следовательно, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны: 

 откуда  

Ответ: , .

Решение задания группы 4:

C5 № 13. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет единственное решение.

Решение.

Первое уравнение задаёт на плоскости окружности  и  радиуса ,симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки  и Второе уравнение — уравнение окружности радиуса  с центром . 

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается одной из окружностей  и , но не имеет общих точек с другой окружностью. 

Из точки  проведём лучи  и  и обозначим  точки их пересечения с окружностями  и  (см. рис.). 

Заметим, что , поэтому и . Значит, если  то касается  но не имеет общих точек с  Если то  касается  но не имеет общих точек с  

 

Сравним  и : 

 

Получаем  Значит, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Аналогично, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет. 

Ответ:  или 

4. Итог занятия.

Учащиеся делают выводы об уровне достижения цели, выставляют оценки, получают домашнее задание, которое заключается в выполнении заданий, не рассмотренных в ходе занятия.

Приложение 2.

О задачах с параметром

I. Что такое параметр?

В школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

II. Что означает «решить задачу с параметром»?

Если требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

III. Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

IV. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Приложение 3.

Приложение 1.

Системы уравнений и неравенств с параметрами (задания С5)

C5 № 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

C5 № 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

C5 № 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно два решения. 

C5 № 4. При каких значениях параметра а система  имеет решения?

C5 № 5. При каждом а решите систему уравнении  

C5 № 6. При каких значениях параметра а система  имеет четыре решения?

C5 № 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно четыре решения.

C5 № 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет а) ровно четыре решения, б) ровно 8 решений.

C5 № 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 6 решений.

C5 № 10. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 4 решения.

C5 № 11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 8 решений

C5 № 12. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.

C5 № 13. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет единственное решение.

C5 №14 . Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет три решения.

C5 №15. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств

имеет решения.

Ответы:

1. и 2.  или . 14.

3. 15.

4.

5. , , ,

6. , 

7. ; ;  

8. а)   б) .

9. -4 , 4.

10. , , , .

11. , .

12. 3; .

13.  или 

Уравнения и неравенства с параметрами в решении задач

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебного предмета, курса, дисциплины (модуля)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №126» Советского района г.Казани

Пологовой Ольги Вячеславовны,
 

элективного курса в 11 классе

«Уравнения и неравенства с параметрами в решении задач»

 

Учебно-тематическое планирование
элективного курса по теме
«Уравнения и неравенства с параметрами в решении задач»

Класс 11

Учитель Пологова Ольга Вячеславовна

Количество часов

Всего 34 часа ; в неделю 1 час

Пояснительная записка

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся.

Необходимость введения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточно велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня.

Цель курса – научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр – неизвестная известная, переменная постоянная величина.

В данном курсе задачи сгруппированы в системы, для каждой из них указаны алгоритмы решений или дан образец рассуждений. Деление материала на уроки условно, деление на темы тоже иногда весьма условно. При подготовке к занятиям учитель вправе сам распределить материал, учитывая уровень подготовленности учащихся.

.

Цели элективного курса:

углубление и расширение знаний  учащихся о способах и методах решения уравнений и неравенств с параметрами;

систематизация полученных знаний, умений и навыков при решении заданий ЕГЭ, содержащих параметры;

развитие навыков исследовательской деятельности учащихся, их математических способностей, формирование интереса к предмету.

  

Задачи курса:

• систематиз ировать основные приемы и методы решения уравнений и неравенств с параметрами;
• способствовать формированию у учащихся умения выбирать наиболее рациональные методы решения уравнений и неравенств с параметрами;
• сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;
• способствовать формированию навыков исследовательской деятельности школьников при решении задач с параметрами;
• подгото вить учащихся к решению задач с параметрами части С единого государственного экзамена по математике.

Программа курса рассчитана на 1 час в неделю. Всего 34 часа.

В результате изучения курса учащиеся должны:

усвоить основные методы решения уравнений и неравенств с параметрами;

осуществлять выбор методов решения уравнений, неравенств, содержащих параметр и проводить их полное обоснование;

повысить уровень логического мышления, овладеть навыками исследовательской деятельности.

 

Формы проведения

Основными формами проведения элективного курса являются лекции с элементами беседы, групповая работа, практикумы по решению задач, семинары.

 

Содержание основных разделов.

Тема 1.Свойства функций в задачах с параметрами.

Область определения. Область значений. Экстремальные свойства. Четность. Периодичность. Обратимость.

Тема 2. Графические приемы решения задач с параметрами

Построение графического образа на координатной(х;у), используя преобразование плоскости (параллельный перенос, поворот, подобие, сжатие). Построение графического образа на координатной(х;а).Исследование взаимного расположения двух прямых

Тема 3. Аналитические и геометрические приёмы и методы решения задач с параметрами: Применение производной. Метод поиска необходимых условий.

Касательная к кривой. Критические точки. Монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Оценки. Построение графиков. Приемы поиска необходимых условий: использование симметрии аналитического выражения, нахождение «выгодной точки»

Тема 4 . Различные виды уравнений и неравенств с параметрами.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений , неравенств с параметром .

В результате изучения данного курса обучающиеся должны:

иметь представление:

1. О функциональном подходе при решении уравнений и неравенств с параметрами;

2. О графических приемах решения уравнений и неравенств с параметрами;

3. О применении производной при решении уравнений и неравенств с параметрами

4. О методе поиска необходимых условий уравнений и неравенств с параметрами

знать:

Аналитические методы решения уравнений и неравенств с параметрами;

Графические методы решения;

Необходимые и достаточные условия в задачах с параметрами.

уметь:

Применять графические и аналитические приемы при решении.

 

Список литературы.

1. Д. Ф. Айвазян «Решение уравнений и неравенств с параметрами» Изд-во «Учитель», 2009г.

2. А. Г. Мордкович «Справочник школьника по математике» М. Оникс , 1999г.

3. «Задачи с параметрами » под редакцией Г. В. Дорофеева М. Илекса, Харьков , 1998г.

4. А. Х. Шахмейстер «Уравнения и неравенства с параметрами » Москва , 2004г.

5. А. Х. Шахмейстер «Задачи с параметрами в ЕГЭ » Москва , 2004г.

6. В. В. Локоть «Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы с параметрами» М. АРКТИ , 2004

7. В. В. Локоть «Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы с параметрами»

М. АРКТИ , 2004

8. «Учебно-тренировочные задания по математике для подготовки к ЕГЭ» Изд-во «Учитель»

9. Журналы «Математика в школе» и «Математика для школьников» Изд-во ООО «Школьная Пресса»

10. Учебно-методическая газета «Математика» Издательский дом «Первое сентября»

 

Тематическое планирование элективного курса (34 часа)

№	Раздел курса	Кол-во часов
1	Свойства функций в задачах с параметрами	7
2	Графические приемы. Координатная плоскость (х;у) и (х;а)	9
3	Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами. Применение производной. Метод поиска необходимых условий	14
4	Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами	4

Календарно-тематическое планирование элективного курса

№ п/п	Название темы	Кол-во часов	Тип урока	Харак-ка деят-ти уч-ся или виды учеб. деят-ти	Виды контроля, измерители	Планируемые рез-ты освоения материала	Дом. задание	Дата провед-я
								План	Факт
1	Свойства функций в задачах с параметрами. Область значений функции.	1 ч.	Лекция с необходимым минимумом задач.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Устный опрос	Знать и понимать определения Уметь проводить простейшие умозаключения		1 нед	7;9.09
2	Свойства функций в задачах с параметрами. Экстремальные свойства функций.	1ч.						2 нед	14; 16.09
3	Свойства функций в задачах с параметрами. Экстремальные свойства функций.	1 ч.	Практикумы с элементами дидактической игры.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Проверка тетрадей	Знать и уметь применять на практике		3 нед	24;231.09
4	Свойства функций в задачах с параметрами. Экстремальные свойства функций.	1ч.						4 нед	28; 30.09
5	Свойства функций в задачах с параметрами. Четность,Периодичность. Обратимость	1ч.	Лекция с необходимым минимумом задач.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Устный опрос	Знать и понимать определения Уметь проводить простейшие умозаключения		5 нед	5;7.10
6	Свойства функций в задачах с параметрами. Четность,Периодичность. Обратимость	1 ч.						6 нед	12;14.10
7	Свойства функций в задачах с параметрами. Четность,Периодичность. Обратимость	1ч.						7 нед	19;21.10
8	Графические приемы решения задач с параметрами. Параллельный перенос.	1 ч.	Групповая работа. Практикум.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Проверка тетрадей	Знать и уметь применять на практике		8 нед	26;28.10
9	Графические приемы решения задач с параметрами. Параллельный перенос	1ч.						9 нед
10	Графические приемы решения задач с параметрами. Поворот..	1ч.	Лекция с необходимым минимумом задач	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Индивидуальные консультации	Уметь: обобщать и систематизировать знания по пройденным темам и использовать их при решении примеров и задач.		10 нед
11	Графические приемы решения задач с параметрами Подобие. Сжатие к прямой	1ч.	Лекция с необходимым минимумом задач.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Устный опрос	Знать и понимать определения Уметь проводить простейшие умозаключения		11 нед
12	Графические приемы решения задач с параметрами . Две прямые на плоскости.	1ч.						12 нед
13	Графические приемы решения задач с параметрами . Две прямые на плоскости	1ч.						13 нед
14	Графические приемы решения задач с параметрами. Координатная плоскость(х;а).	1ч.						14 нед
15	Графические приемы решения задач с параметрами. Координатная плоскость(х;а).	1 ч.						15 нед
16	Графические приемы решения задач с параметрами. Координатная плоскость(х;а).	1 ч.						16 нед
17	Применение производной. Касательная к кривой	1ч.	Групповая работа. Семинар	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Ответ у доски	Знать и уметь применять на практике		17 нед
18	Применение производной. Касательная к кривой	1ч.						18 нед
19	Применение производной. Критические точки	1ч.						19 нед
20	Применение производной. Критические точки	1ч.						20 нед
21	Применение производной. Монотонность	1ч.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Семинар	Индивидуальная работа	Уметь: обобщать и систематизировать знания по пройденным темам и использовать их при решении примеров и задач.		21 нед
22	Применение производной. Монотонность.	1ч.	Лекция с необходимым минимумом задач.	Усвоение новых понятий, выполнение заданий вместе с учит	Устный опрос	Знать и понимать определения Уметь проводить простейшие умозаключения		22 нед
23	. Применение производной. Наибольшее и наименьшее значение функции. Оценки	1ч.						23 нед
24	Применение производной. Наибольшее и наименьшее значение функции. Оценки	1ч.						24 нед
25	Применение производной. Наибольшее и наименьшее значение функции. Оценки	1ч.						25 нед
26	Применение производной. Построение графиков функций	1 ч.						26 нед
27	Применение производной. Построение графиков функций	1ч.						27 нед
28	Метод поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений	1ч.						28 нед
29	Метод поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений	1ч.						29 нед
30	Метод поиска необходимых условий Выгодная точка.	1ч.						30 нед
31	Метод поиска необходимых условий Выгодная точка.	1 ч.						31 нед
32	Решение уравнений и неравенств с параметрами	1ч.	Семинар					32 нед
33	Решение уравнений и неравенств с параметрами	1ч.						33 нед
34	Решение уравнений и неравенств с параметрами	1ч.						34 нед

Решение квадратных неравенств с параметром. Учебное пособие «уравнения и неравенства с параметрами»

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Приложение

Решение неравенств онлайн на Math34.biz для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство — это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет — в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн — неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности — вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.. Решение неравенств онлайн на сайт каждый день для полноценного изучения студентами пройденного материала и закрепления своих практических навыков. Зачастую тема неравенства онлайн в математике изучается школьниками после прохождения раздела уравнений. Как и положено применяются все принципы при решении, чтобы определить интервалы решений. Найти в аналитическом виде ответ бывает сложнее, чем сделать то же самое, но в числовом виде. Однако такой подход дает более наглядное и полное представление об целостности решения неравенства. Сложность может возникнуть на этапе построения линии абсцисс и нанесения точек решения однотипного уравнения. После этого решение неравенств сводится к определению знака функции на каждом выявленном интервале с целью определения возрастания или убывания функции. Для этого необходимо поочередно подставлять к значениям, заключенных внутри каждого интервала, в исходную функцию и проверять её значение на положительность или отрицательность. В этом есть суть нахождения всех решений, в том числе интервалов решений. Когда вы сами решите неравенство и увидите все интервалы с решениями, то поймете, насколько применим такой подход для дальнейших действий. Сайт сайт предлагает вам перепроверить свои результаты вычислений с помощью мощного современного калькулятора на этой странице. Вы сможете с легкостью выявить неточности и недочеты в своих расчетах, использую уникальный решебник неравенств. Студенты часто задаются вопросом, где найти такой полезный ресурс? Благодаря инновационному подходу к возможности определения потребностей инженеров, калькулятор создан на базе мощных вычислительных серверов с использованием только новых технологий. По сути решение неравенств онлайн заключается в решении уравнения с вычислением всех возможных корней. Полученные решения отмечаются на прямой, а далее производится стандартная операция по определению значения функции на каждом промежутке. А что же делать, если корни уравнения получаются комплексные, как в этом случае решить неравенство в полной форме, которое бы удовлетворяло всем правилам написания результата? Ответ на этот и многие другие вопросы с легкость даст наш сервис сайт, для которого нет ничего невозможного в решении математических задач онлайн. В пользу вышесказанного добавим следующее: каждый, кто всерьез занимается изучением такой дисциплиной как математика, обязан изучить тему неравенств. Неравенства бывают разных типов и решить неравенство онлайн порой сделать непросто, так как необходимо знать принципы подходов к каждому из них. На этом базируется основа успеха и стабильности. Для примера можно рассмотреть такие типы, как логарифмические неравенства или трансцендентные неравенства. Это вообще особый вид таких, сложных на первый взгляд, задач для студентов, тем более для школьников. Преподаватели институтов уделяют немало времени из подготовки практикантов для достижения профессиональных навыков в работе. К таким же типам отнесем тригонометрические неравенства и обозначим общий подход при решении множества практических примеров из постановочной задачи. В ряде случаев сначала нужно привести все к уравнению, упростить его, разложить на разные множители, короче говоря, привести к вполне наглядному виду. Во все времена человечество стремилось найти оптимальный подход в любых начинаниях. Благодаря современным технологиям, человечество сделало просто огромный прорыв в будущее свое развитие. Инновации все чаще и чаще, день за днем вливаются в нашу жизнь. В основу вычислительной техники легла, разумеется, математика со своим принципами и строгим подходом к делу. сайт представляет собой общий математический ресурс, в котором имеется разработанный калькулятор неравенств и многие другие полезные сервисы. Используйте наш сайт и у вас будет уверенность в правильности решенных задач. Из теории известно, что объекты нечисловой природы также изучаются неравенствами онлайн, только этот подход представляет собой особый способ изучения данного раздела в алгебре, геометрии и других направлениях математики. Решать неравенства можно по-разному, неизменным остается конечная проверка решений и лучше всего это делать прямой подстановкой значений в само неравенство. Во многих случаях полученный ответ очевиден и его легко проверить в уме. Предположим нам задано решить дробное неравенство, в котором присутствуют искомые переменные в знаменателях дробных выражений. Тогда решение неравенств сведется к приведению всех слагаемых к общему знаменателю, предварительно переместив все в левую и правую часть неравенства. Далее нужно решить однородное уравнение, полученное в знаменателе дроби. Эти числовые корни будут точками, не включенными в интервалы общего решения неравенства, или ка их еще называют — проколотые точки, в которых функция обращается в бесконечность, то есть функция не определена, а можно только получить ее предельное значение в данной точке. Решив полученное в числителе уравнение, все точки нанесем на числовую ось. Заштрихуем те точки, в которых числитель дроби обращаемся в ноль. Соответственно все остальные точки оставляем пустыми или проколотыми. Найдем знак дроби на каждом интервале и после этого выпишем окончательный ответ. Если на границах интервала будут заштрихованные точки, то тогда включаем эти значения в решение. Если на границах интервала будут проколотые точки — эти значения в решение не включаем. После того, как решите неравенство, вам потребуется в обязательном порядке проверить полученный результат. Можно это сделать руками, каждое значение из интервалов ответа поочередно подставить в начальное выражение и выявить ошибки. Сайт сайт с легкостью выдаст вам все решения неравенства, и вы сразу сравните полученные вами и калькулятором ответы. Если все-таки ошибка будет иметь место, то на нашем ресурсе решение неравенств онлайн окажется вам очень полезным. Рекомендуем всем студентам вначале приступать не к решению напрямую неравенства, а сначала получить результат на сайт, потому что в дальнейшем будет намного проще самому сделать правильный расчет. В текстовых задачах практически всегда решение сводится к составлению системы неравенств с несколькими неизвестными. Решить неравенство онлайн в считанные секунды поможет наш ресурс. При этом решение будет произведено мощной вычислительной программой с высокой точностью и без всяких погрешностей в конечном ответе. Тем самым вы сможете сэкономить колоссальное количество времени на решении данным калькулятором примеров. В ряде случаев школьники испытывают затруднения, когда на практике или в лабораторных работах встречают логарифмические неравенства, а еще хуже, когда видят перед собой тригонометрические неравенства со сложными дробными выражениями с синусами, косинусами или вообще с обратными тригонометрическими функциями. Как ни крути, но без помощи калькулятора неравенств справиться будет очень сложно и не исключены ошибки на любом этапе решения задачи. Пользуйтесь ресурсом сайт совершенно бесплатно, он доступен каждому пользователю каждый день. Начинать действовать с нашего сервиса-помощника очень хорошая идея, поскольку аналогов существует множество, а по-настоящему качественных сервисов единицы. Мы гарантируем точность вычислений при длительности поиска ответа в несколько секунд. От вас требуется только записать неравенства онлайн, а мы в свою очередь сразу предоставим вам точный результат решения неравенства. Искать подобный ресурс может оказаться бессмысленным занятием, так как вряд ли вы встретите такой же качественный сервис как у нас. Можно обойтись без теории про решение неравенств онлайн, но без качественного и быстрого калькулятора вам не обойтись. Желаем вам успехов в учебе! По-настоящему выбрать оптимальное решение неравенства онлайн зачастую связано с логическим подходом для случайной величины. Если пренебречь малым отклонением замкнутого поля, то вектор нарастающего значения пропорционален наименьшему значению на промежутке убывания линии ординат. Инвариант пропорционален двукратному увеличению отображаемым функциям наряду с исходящим ненулевым вектором. Лучший ответ всегда содержит точность вычислений. Наше решение неравенств примет вид однородной функции последовательно сопряженных числовых подмножеств главного направления. За первый интервал возьмем как раз наихудшее по точности значение нашего представления переменной. Вычислим на максимальное отклонение предыдущее выражение. Будем пользоваться сервисом на усмотрение предложенных вариантов по мере необходимости. Будет ли найдено решение неравенств онлайн с помощью хорошего в своем классе калькулятора — это риторический вопрос, разумеется, студентам такой инструмент пойдет только на пользу и принесет огромный успех в математике. Наложим ограничение на область с множеством, которое сведем к элементам с восприятием импульсов по напряжению. Физические значения таких экстремумов математически описывают возрастание и убывание кусочно-непрерывных функций. На протяжении всего пути ученые находили доказательства существования элементов на разных уровнях изучения. Расположим все последовательно идущие подмножества одного комплексного пространства в один ряд с такими объектами, как шар, куб или цилиндр. Из нашего результата можно сделать однозначный вывод и когда решите неравенство, то на выходе, безусловно, прольется свет на высказанное математическое предположение об интеграции метода на практике. В текущем положении вещей необходимое условие будет также являться и достаточным условием. Критерии неопределенности зачастую вызывают у студентов разногласия по причине недостоверных данных. Это упущение должны взять на себя преподаватели ВУЗов, а также учителя в школах, так как на начальном этапе обучения необходимо это тоже учитывать. Из вышесказанного вывода на взгляд опытных людей можно делать выводы, что решить неравенство онлайн очень сложное задание при вхождении в неравенство неизвестных разного типа данных. Об этом сказано на научной конференции в западном округе, на которой выдвигали самые различные обоснования по поводу научных открытий в области математики и физики, а также молекулярного анализа биологически устроенных систем. В нахождении оптимального решения абсолютно все логарифмические неравенства представляют научную ценность для всего человечества. Исследуем данный подход на предмет логических заключений по ряду несовпадений на высшем уровне понятий о существующем объекте. Логика подсказывает иное, чем видно на первый взгляд неопытному студенту. По причине возникновения масштабных аналогий, будет рационально сначала приравнять отношения к разности предметов исследуемой области, а затем показать на практике наличие общего аналитического результата. Решение неравенств абсолютным образом завязано на применении теории и будет важно для каждого изучить такой необходимый для дальнейших исследований раздел математики. Однако, при решении неравенств вам нужно найти все корни составленного уравнения, а уже затем нанести все точки на ось ординат. Некоторые точки будут проколоты, а остальные войдут в интервалы с общим решением. Начнем изучать раздел математики с азов важнейшей дисциплины школьной программы. Если тригонометрические неравенства являются неотъемлемой частью текстовой задачи, то, как раз применять ресурс для вычисления ответа просто необходимо. Введите левую и правую части неравенства корректно, нажмите на кнопу и получите результат в течение нескольких секунд. Для быстрых и точных математических вычислений с числовыми или символьными коэффициентами перед неизвестными, вам как всегда понадобится универсальный калькулятор неравенств и уравнений, который сможет в считанные секунды предоставить ответ на поставленную вами задачку. Если у вас нет времени на написание целого ряда письменных упражнений, то обоснованность сервиса неоспорима даже невооруженным глазом. Для студентов такой подход является более оптимальным и оправданным с точки зрения экономии материальных ресурсов и времени. Напротив катета лежит угол, а для его измерения необходим циркуль, но вы сможете в любо момент воспользоваться подсказками и решите неравенство не применяя никаких формул приведения. Означает ли это успешное завершение начатого действия? Однозначно ответ будет положительным.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение

. , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то ; , то , ; , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет три различных корня.

Переписав уравнение в виде

и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции

).2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).

По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.

2.

долл. США

$$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \ 1. \ quad a-b> \ dfrac23.}} $$

Система $ (1) $ не имеет решений.

$$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \, 2. \ Quad 0 \ le a \ le \ min \ left [\ frac {2 + 3b} 3,1 \ right].}} \ Tag2 $$

$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \, 2.1. \ Quad b \ in \ bigg [0, \ dfrac16 \ bigg], \ quad a \ in \ bigg [0, b \ bigg].}} $

Первое уравнение системы в виде \ begin {case} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.1} \ end {case} над первым квадрантом определяется треугольник с вершиной $ \ quad (0,0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b).$

Второе уравнение по первому квадранту определяет трапецию с вершиной

$ (3b-3a, 0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a} 2), \ quad (0, \ frac {3b-3a } 2). $

С

• $ \ 0 \ le 3b-3a \ le 3b \ le 2 + 3b-3a, $

• $ \ 0 \ le \ frac {3b-3a} 2 \ le 2b \ le \ frac {2 + 3b-3a} 2, $

, то решением будет симплекс с вершиной $ (3b-3a, 0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b), \ quad (0, \ frac {3b-3a} 2).$

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {3b-3a-x} 2,0 \ right ), \ frac {6b-2x} 3 \ bigg] \ bigg). \ tag {4.1} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac1 {10}, \ quad b = \ dfrac18. $

$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \, 2.2. \ Quad b \ in \ bigg [0, \ dfrac16 \ bigg], \ quad a \ in \ bigg [b, \ dfrac {2 + 3b} 3 \ bigg].}}

долл. США

Первое уравнение системы в виде \ begin {case} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.2} \ end {case} над первым квадрантом определяется треугольник с вершиной $ \ quad (0,0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b).$

Второе уравнение для первого квадранта определяет треугольник с вершиной

$ (0,0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a} 2). $

С

• равенство $ 2b = \ frac {2 + 3b-3a} 2 $ имеет место, если $ a = \ frac {2-b} 3, $
• равенство $ 3b = 2 + 3b-3a $ имеет место, если $ a = \ frac {2} 3, $

, то следует рассмотреть следующие случаи.

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.2.1. \ Quad b \ in \ left [0, \ dfrac16 \ right], \ quad a \ in \ bigg [b, \ dfrac {2- б} 3 \ bigg].}} $$

Решение — треугольник с вершиной $ \ quad (0,0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b). $

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [0, \ frac {6b-2x} 3 \ bigg] \ bigg). \ tag {4.2.1} $$

Решение для $ \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac1 {8}, \ dfrac58 \ bigg], \ quad b = \ dfrac18. $

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Случай \, 2.2.2. \ Quad b \ in \ left [0, \ dfrac16 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac {2-b} 3, \ dfrac23 \ bigg].}} $$

Прямые $ 2x + 3y = 6b $ и $ x + 2y = 2 + 3b-3a $ пересекаются в точке $ (x_i, y_i) = (9a + 3b-6, 4-6a).$

Решение — симплекс с вершиной $ \ quad (0,0), \ quad (3b, 0), \ quad (9a + 3b-6, 4-6a), \ quad (0, \ frac {2 + 3b -3a} 2). $

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [0, \ min \ left (\ frac {2 + 3b-3a-x} 2 , \ frac {6b-2x} 3 \ right) \ bigg] \ bigg). \ tag {4.2.2} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac {9} {14}, \ quad b = \ dfrac18. $

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.2.3. \ Quad b \ in \ left [0, \ dfrac16 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac23, \ dfrac {2 + 3b} 3 \ bigg].}} $$

Решение — треугольник с вершиной $ \ quad (0,0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a} 2). $

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,2 + 3b-3a \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [0, \ frac {2 + 3b-3a-x} 2 \ bigg] \ bigg). \ tag {4.2.3} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac {17} {24}, \ quad b = \ dfrac18. $

$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \, 2.3. \ Quad b \ in \ bigg [\ dfrac16, \ dfrac13 \ bigg], \ quad a \ in \ bigg [0, b \ bigg].}} $

Первое уравнение системы в виде \ begin {case} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.3} \ end {case} над первым квадрантом определяет трапецию с вершиной $ \ quad (\ frac {6b-1} 2,0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b), \ quad (0, \ frac { 6b-1} 3). $

Второе уравнение по первому квадранту определяет трапецию с вершиной

$ (3b-3a, 0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac12 (2 + 3b-3a)), \ quad (0, \ frac12 (3b-3a) ). $

С

• равенство $ \ frac {6b-1} 3 = \ frac {3b-3a} 2 $ имеет место, если $ a = \ frac {2-3b} 9, $
• равенство $ \ frac {6b-1} 2 = 3b-3a $ имеет место, если $ a = \ frac16, $

, то следует рассмотреть следующие случаи.

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Случай \, 2.3.1. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [0, \ dfrac {2 -3b} 9 \ bigg].}} $$

Решение — симплекс с вершиной

$ (3b-3a, 0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b), \ quad (0, \ frac {3b-3a} 2). $

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {3b-3a-x} 2,0 \ right ), \ frac {6b-2x} 3 \ bigg] \ bigg). \ tag {4.3.1} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac1 {12}, \ quad b = \ dfrac14.$

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Случай \, 2.3.2. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac {2-3b } 9, \ dfrac16 \ bigg].}} $$

Прямые $ 2x + 3y = 6b-1 $ и $ x + 2y = 3b-3a $ пересекаются в точке $ (x_i, y_i) = (9a + 3b-2,1-6a). $

Решение — симплекс с вершиной

$ (3b-3a, 0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b), \ quad (0, \ frac {6b-1} 3), \ quad (9a + 3b-2, 1-6а). $

Аналитически, $$ {\ small \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {6b-1-2x} 3, \ frac {3b-3a-x} 2,0 \ right), \ frac {6b-2x} 3 \ bigg] \ bigg)}.\ tag {4.3.2} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac3 {19}, \ quad b = \ dfrac14. $

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.3.3. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac16, b \ bigg ].}} $$

Решение — трапеция с вершиной

$ (3b, 0), \ quad (3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {3b-3a} 2), \ quad (0,2b). $

Аналитически, $$ \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {6b-1-2x} 3,0 \ right ), \ frac {6b-2x} 3 \ bigg] \ bigg).\ tag {4.3.3} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac15, \ quad b = \ dfrac14. $

$ \ color {blue} {\ mathbf {Case \, 2.4. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [b, b + \ dfrac23 \ bigg]. }}

долл. США

Первое уравнение системы в виде \ begin {case} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.4} \ end {case}

по первому квадранту определяет трапецию с вершиной $ \ quad (\ frac {6b-1} 2,0), \ quad (3b, 0), \ quad (0,2b), \ quad (0, \ frac {6б-1} 3).$

Второе уравнение для первого квадранта определяет треугольник с вершиной

$ (0,0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a} 2). $

С

• равенство $ 2b = \ frac {2 + 3b-3a} 2 $ имеет место, если $ a = \ frac {2-b} 3, $

• равенство $ 3b = 2 + 3b-3a $ имеет место, если $ a = \ frac23, $

• равенство $ \ frac {6b-1} 3 = \ frac {2 + 3b-3a} 2 $ имеет место, если $ a = \ frac {8-3b} 9, $

• равенство $ \ frac {6b-1} 2 = 2 + 3b-3a $ имеет место, если $ a = \ frac56, $

, то следует рассмотреть следующие случаи.

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Случай \, 2.4.1. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [0, \ dfrac {2 -b} 3 \ bigg].}} $$

Решение — трапеция из пункта 2.3.3 $ выше.

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.4.2. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac {2-b } 3, \ dfrac23 \ bigg].}} $$

Прямые $ 2x + 3y = 6b $ и $ x + 2y = 2 + 3b-3a $ пересекаются в точке $ (x_i, y_i) = (9a + 3b-6,4-6a). $

Решение — симплекс с вершиной

$ (\ frac {6b-1} 2,0), \ quad (3b, 0), \ quad (9a + 3b-6,4-6a), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a) } 2), \ quad (0, \ frac {6b-1} 3).$

Аналитически, $$ {\ small \ bigg (x \ in \ bigg [0,3b \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {6b-1-2x} 3, 0 \ right), \ min \ left (\ frac {2 + 3b-3a-x} 2, \ frac {6b-2x} 3 \ right) \ bigg] \ bigg)}. \ Tag {4.4.2} $ $

Решение для $ \ quad a = \ dfrac58, \ quad b = \ dfrac14. $

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.4.3. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac23, \ dfrac { 8-3b} 9 \ bigg].}} $$

Решение — симплекс с вершиной

$ (\ frac {6b-1} 2,0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (0, \ frac {2 + 3b-3a} 2), \ quad (0, \ гидроразрыв {6b-1} 3).$

Аналитически, $$ {\ small \ bigg (x \ in \ bigg [0,2 + 3b-3a \ bigg] \ bigg) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {6b-1- 2x} 3,0 \ right), \ frac {2 + 3b-3a-x} 2 \ bigg] \ bigg)}. \ Tag {4.4.3} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac34, \ quad b = \ dfrac14. $

$$ \ color {зеленый} {\ mathbf {Case \, 2.4.4. \ Quad b \ in \ left [\ dfrac16, \ dfrac13 \ right], \ quad a \ in \ bigg [\ dfrac {8-3b } 9, \ dfrac56 \ bigg].}} $$

Прямые $ 2x + 3y = 6b-1 $ и $ x + 2y = 2 + 3b-3a $ пересекаются в точке $ (x_i, y_i) = (9a + 3b-8,5-6a).$

Решение — треугольник с вершиной

.

$ (\ frac {6b-1} 2,0), \ quad (2 + 3b-3a, 0), \ quad (9a + 3b-8,5-6a). $

Аналитически, $$ {\ small (x \ in [9a + 3b-8,2 + 3b-3a]) \ wedge \ bigg (y \ in \ bigg [\ max \ left (\ frac {6b-1-2x} 3, 0 \ right), \ frac {2 + 3b-3a-x} 2 \ bigg] \ bigg)}. \ Tag {4.4.4} $$

Решение для $ \ quad a = \ dfrac {14} {17}, \ quad b = \ dfrac14. $

Решатель уравнений и систем — решение MATLAB — MathWorks Nordic

Если решить, не может найти решение и ReturnConditions is false , the решить функцию внутренне вызывает числовой решатель vpasolve , который пытается найти числовое решение.Для полинома уравнения и системы без символьных параметров, числовой решатель возвращает все решения. Для неполиномиальных уравнений и систем без символических параметров числовой решатель возвращает только одно решение (если решение существует).

Если решить не может найти решение и ReturnConditions is true , resolve возвращает пустое решение с предупреждением. Если нет решений Существуют, решать возвращает пустое решение без предупреждения.

Если решение содержит параметры и ReturnConditions равно true , solution возвращает параметры в решении и условия, при которых решения верны. Если ReturnConditions равно false , функция решения либо выбирает значения параметры и возвращает соответствующие результаты или возвращает параметризованные решения без выбора конкретных значений. В последнем случае решает также выдает предупреждение с указанием значений параметров в возвращенном решения.

Если параметр не отображается ни при каких условиях, он означает, что параметр может принимать любое комплексное значение.

Результат решения может содержать параметры из входных уравнений в дополнение к введенным параметрам на решить .

Параметры, введенные решить сделать не появляются в рабочем пространстве MATLAB. Доступ к ним должен осуществляться с помощью выходной аргумент, который их содержит. В качестве альтернативы можно использовать параметры в рабочем пространстве MATLAB используют syms для инициализировать параметр.Например, если параметр — k , используйте syms k .

Имена переменных параметры и условия не допускается в качестве входных данных для , решения .

Для решения дифференциальных уравнений используйте функцию dsolve .

При решении системы уравнений всегда присваивайте результат для вывода аргументов. Выходные аргументы позволяют получить доступ к значения решений системы.

MaxDegree принимает только положительные целые числа меньше 5, потому что, как правило, нет явных выражения для корней многочленов степени выше 4.

Выходные переменные y1, ..., yN не определяют переменные для который решает решает уравнения или системы. Если y1, ..., yN — переменные, которые появляются в eqns , то нет гарантии, что solution (eqns) назначит решения для y1 ,..., yN в правильном порядке. Таким образом, когда вы бежите [b, a] = resolve (eqns) , вы можете получить решения для a присвоено b и наоборот.

Чтобы обеспечить порядок возвращаемых решений, укажите переменные варс . Например, звонок [b, a] = решить (eqns, b, a) назначает решения для a на a и решения для b to б .

Устранение неравенств — объяснение и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Обычно для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно ( ≤ ), больше или равно ( ≥ ) и символ неравенства ( ≠ ) .

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

• Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства.Например, если a
• Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
• Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства.Например, если a b *
• Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства. Если a b / c

Как решить неравенства?

Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги, за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений — это операция умножения или деления на отрицательное число.Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Распределение собственности

Решение линейных неравенств с добавлением

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять это понятие.

Пример 1

Решите 3x — 5 ≤ 3 — x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x — 5 + 5 ≤ 3 + 5 — x

3x ≤ 8 — x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 — x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y — 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y — 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y — 2y <2y - 2y + 9

Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> — 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.

5x — 3x> 3x — 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решить x / 4> 5

Решение:

Умножить обе стороны неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x> 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.

x ≤ — 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x — 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе части неравенства на 2

+ 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Оба решения сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Решение

2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x — 8 ≥ 3x — 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x — 8 + 8 ≥ 3x — 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x — 3x ≥ 3x + 3 — 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ — 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?

Решение

Пусть в третьем тесте будет набрано x баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Следовательно, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов США или больше

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа — 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат — отрицательные числа.

Линейные уравнения также могут быть решены графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, удовлетворяющих условию неравенства.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

–1 9402000

–1 9402000

–1 9402000

Пример 17

–1 < x ≤ 2

Практические вопросы

Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.

1. 2x> 9
2. x + 5> 13
3. −3x <4
4. 7x + 11> 2x + 5
5. 2 (x + 3)
6. — 5 ≤ 2x — 7 ≤ 1
7. 4x — 8 ≤ 12

Ответы

1. x> 9/2
2. x> 8
3. x> −4/3
4. x> −6/5
5. x <−5.
6. 1 ≤ x ≤ 4.
7. x ≤ 5

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение линейных неравенств с одной переменной

Линейные неравенства

Линейное неравенство Линейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>.является математическим утверждением, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе:

5x + 7 <22

-2 (х + 8) + 6≥20

−2 (4x − 5) <9−2 (x − 2)

Решение линейного неравенства Действительное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение подставляется вместо переменной.является действительным числом, которое при замене переменной дает истинное утверждение. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решения. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и / или выразите решение, используя обозначение интервалов.

Пример 1

Являются ли x = −4 и x = 6 решениями 5x + 7 <22?

Решение:

Замените значения на x , упростите и проверьте, получаем ли мы истинное утверждение.

Чек x = −4	Чек x = 6
5 (−4) +7 <22−20 + 7 <22−13 <22 ✓	5 (6) +7 <2230 + 7 <2237 <22 ✗

Ответ: x = −4 — решение, а x = 6 — нет.

Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы к решению линейных неравенств. Вы можете прибавить или вычесть любое действительное число к обеим сторонам неравенства, а также умножить или разделить обе стороны на любое положительное действительное число , чтобы получить эквивалентные неравенства. Например:

10> −510−7> −5−7 Вычтем 7 с обеих сторон 3> −12 ✓ Истинно

10> −5105> −55 Разделите обе части на 5.2> −1 ✓ИСТИННО

Вычитание 7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 дает истинное неравенство.

Пример 2

Решите и изобразите набор решений: 5x + 7 <22.

Решение:

5x + 7 <225x + 7−7 <22−75x <155x5 <155x <3

Полезно потратить минуту и ​​выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты.Как указано, вы должны ожидать, что x = 0 решит исходное неравенство, а x = 5 — нет.

Чек x = 0	Чек x = 5
5 (0) +7 <227 <22 ✓	5 (5) +7 <2225 + 7 <2232 <22 ✗

Проверка таким образом дает нам хороший признак того, что мы правильно решили неравенство.

Мы можем выразить это решение двумя способами: используя обозначение множества и обозначение интервалов.

{x | x <3} Установить обозначение (−∞, 3) Интервальное обозначение

В этом тексте мы выберем ответы, используя интервальную нотацию.

Ответ: (−∞, 3)

При работе с линейными неравенствами применяется другое правило при умножении или делении на отрицательное число. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10> −5 и разделим обе части на −5.

10> −510−5> −5−5 Разделим обе части на −5. −2> 1 ✗ ​​False

Деление на −5 дает ложное утверждение. Чтобы утверждение оставалось верным, неравенство должно быть отменено.

10> −510−5 <−5−5 Обратить неравенство −2 <1 ✓ИСТИННО

Та же проблема возникает при умножении на отрицательное число. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство .Об этом легко забыть, поэтому внимательно следите за отрицательными коэффициентами. В общем, для данных алгебраических выражений A и B , где c — положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые как средство их решения:

Дополнительное свойство неравенств:	Если A
Свойство вычитания неравенств:	Если A
Умножение неравенств:	Если A Если A −cB
Свойство разделения неравенств:	Если A Если A B − c

Мы используем эти свойства для получения эквивалентных неравенств, которые имеют один и тот же набор решений., один с тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.

Пример 3

Найдите и изобразите множество решений: −2 (x + 8) + 6≥20.

Решение:

−2 (x + 8) + 6≥20 Распределить. −2x − 16 + 6≥20 Объединить похожие члены. −2x − 10≥20 Решить относительно x. − 2x≥30 Разделить обе части на −2. − 2x− 2≤30−2 Обратить неравенство.х≤ − 15

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −15]

Пример 4

Решите и изобразите набор решений: −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2).

Решение:

−2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) −8x + 10 <9−2x + 4−8x + 10 <13−2x − 6x <3−6x−6> 3−6 Обратить неравенство .x> −12

Ответ: Обозначение интервалов (−12, ∞)

Пример 5

Решите и изобразите набор решений: 12x − 2≥12 (74x − 9) +1.

Решение:

12x − 2≥12 (74x − 9) +1 12x − 2≥78x − 92 + 1 12x − 78x≥ − 72 + 2−38x≥ − 32 (−83) (- 38x) ≤ (−83) (- 32) Обратить неравенство. х≤4

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 4]

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 10−5 (2x + 3) ≤25.

Ответ: [−3, ∞);

Сложные неравенства

Ниже приведены некоторые примеры сложных линейных неравенств:

−13 <3x − 7 <17

4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7

Эти сложные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или».”На самом деле представляют собой два неравенства в одном утверждении, к которым присоединяются слова и или слово или . Например, −13 <3x − 7 <17 является составным неравенством, потому что его можно разложить следующим образом: −13 <3x − 7 и 3x − 7 <17

Мы можем решить каждое неравенство индивидуально; пересечение двух множеств решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине оператора, чтобы определить границы набора решений.

Пример 6

Решите и изобразите набор решений: −13 <3x − 7 <17.

Решение:

−13 <3x − 7 <17−13 +7 <3x − 7 +7 <17 + 7−6 <3x <24−63 <3x3 <243−2

Ответ: Обозначение интервала: (−2,8)

Пример 7

Решите и изобразите набор решений: 56≤13 (12x + 4) <2.

Решение:

56≤13 (12x + 4) <256≤16x + 43 <26⋅ (56) ≤6⋅ (16x + 43) <6⋅ (2) 5≤x + 8 <125−8≤x + 8−8 <12-8-3≤x <4

Ответ: Обозначение интервалов [−3,4)

Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число необходимо обратить все неравенства в утверждении.Например: −10 <−2x <20−10−2> −2x − 2> 20−25> x> −10 Вышеупомянутый ответ может быть записан в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа — справа, поскольку они появляются на числовой строке. -10 <х <5 Используя обозначение интервалов, напишите: (-10, 5).

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: −3≤ − 3 (2x − 3) <15.

Ответ: (−1,2];

Для составных неравенств со словом « или » вы обрабатываете оба неравенства по отдельности, а затем рассматриваете объединение множеств решений.Ценности в этом союзе решают любое неравенство.

Пример 8

Решите и изобразите набор решений: 4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7.

Решение:

Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений.

4x + 5≤ − 154x≤ − 20x≤ − 5

или

6x − 11> 76x> 18x> 3

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −5] ∪ (3, ∞)

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 5 (x − 3) <- 20 или 2 (5−3x) <1.

Ответ: (−∞, −1) ∪ (32, ∞);

Приложения линейных неравенств

Некоторые ключевые слова и фразы, указывающие на неравенство, кратко изложены ниже:

Ключевые фразы	Перевод
Число не менее 5.	x≥5
Число 5 или более включительно .
Число не более 3.	х≤3
Число 3 или меньше, включая .
Число строго меньше 4.	х <4
Число меньше 4, неисключительно .
Число на больше 7.	x> 7
Число больше 7, неисключительно .
Число между 2 и 10.	2
Число не менее 5 и не более 15.	5≤x≤15
Число может быть в диапазоне от 5 до 15.

Как и все приложения, внимательно прочтите проблему несколько раз и поищите ключевые слова и фразы.Определите неизвестные и назначьте переменные. Далее переведем формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте изученные свойства, чтобы решить неравенство и выразить решение графически или в интервальной нотации.

Пример 9

Семь меньше трехкратной суммы числа, а 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию.

Решение:

Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы.

Пусть n представляет неизвестное, обозначенное « числом ».

Решите относительно n .

3 (n + 5) −7≤113n + 15−7≤113n + 8≤113n≤3n≤1

Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, удовлетворяет утверждению.

Пример 10

Чтобы получить четверку по курсу математики, средний балл теста должен составлять от 80% до 90%.Если учащийся набрал 92%, 96%, 79% и 83% на первых четырех тестах, какой балл он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?

Решение:

Установите составное неравенство, при котором среднее значение теста составляет от 80% до 90%. В этом случае укажите нижнюю границу, 80.

Пусть x представляет результат пятого теста.

80≤тестовое среднее <9080≤92 + 96 + 79 + 83 + x5 <905⋅80≤5⋅350 + x5 <5⋅

≤350 + x <45050≤x <100

Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%.

В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что бы произошло, если бы она заработала 100% на пятом тесте?

в среднем = 92 + 96 + 79 + 83 + 1005 = 4505 = 90

Как мы видим, ее средний балл составит 90%, что принесет ей A.

Основные выводы

• Неравенства обычно имеют бесконечно много решений. Решения представлены графически в виде числовой линии или с использованием интервального обозначения, либо и того, и другого.
• Все правила решения линейных неравенств, кроме одного, такие же, как и при решении линейных уравнений. Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, измените неравенство на противоположное, чтобы получить эквивалентное неравенство.
• Составные неравенства, содержащие слово «или», требуют от нас решения каждого неравенства и формирования объединения каждого набора решений. Это значения, которые решают хотя бы одно из указанных неравенств.
• Составные неравенства, содержащие слово «и», требуют пересечения множеств решений для каждого неравенства.Это значения, которые решают оба или все данные неравенства.
• Общие рекомендации по решению текстовых задач применимы к приложениям, включающим неравенства. Обратите внимание на новый список ключевых слов и фраз, обозначающих математическую схему, включающую неравенства.

Тематические упражнения

Часть A: Линейные неравенства

Определите, является ли данное значение решением.

2. −3x + 1> −10; х = 1

6. −6y + 1≤3; у = -1

7. 12a + 3≤ − 2; а = −13

8. 25a − 2≤ − 22; а = -45

9. −10 <2x − 5 <−5; х = −12

10. 3x + 8 <−2 или 4x − 2> 5; х = 2

Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

30. 25 + 16 (2х − 3) ≥115

32. 3 (2x − 1) −10> 4 (3x − 2) −5x

35. −2 (5t − 3) −4> 5 (−2t + 3)

36. −7 (3t − 4)> 2 (3−10t) −t

37. 12 (х + 5) −13 (2x + 3)> 76x + 32

38. −13 (2x − 3) +14 (x − 6) ≥112x − 34

40. 1−4 (3x + 7) <- 3 (x + 9) −9x

41. 6−3 (2a − 1) ≤4 (3 − a) +1

42. 12−5 (2a + 6) ≥2 (5−4a) −a

Часть B: Сложные неравенства

Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

51. −13≤16a + 13≤12

52. -16 <13a + 56 <32

53. 5x + 2 <−3 или 7x − 6> 15

54. 4x + 15≤ − 1 или 3x − 8≥ − 11

55. 8x − 3≤1 или 6x − 7≥8

56. 6x + 1 <−3 или 9x − 20> −5

57. 8x − 7 <1 или 4x + 11> 3

58. 10x − 21 <9 или 7x + 9≥30

59. 7 + 2y <5 или 20−3y> 5

60. 5 − y <5 или 7−8y≤23

61. 15 + 2x <−15 или 10−3x> 40

62. 10−13x≤5 или 5−12x≤15

63. 9−2x≤15 и 5x − 3≤7

64. 5−4x> 1 и 15 + 2x≥5

65. 7y − 18 <17 и 2y − 15 <25

66. 13лет + 20≥7 и 8 + 15лет> 8

67. 5−4x≤9 и 3x + 13≤1

68. 17−5x≥7 и 4x − 7> 1

69. 9лет + 20≤2 и 7лет + 15≥1

70. 21−6y≤3 и −7 + 2y≤ − 1

77. −40 <2 (x + 5) - (5 − x) ≤ − 10

78. −60≤5 (x − 4) −2 (x + 5) ≤15

79. -12 <130 (х-10) <13

80. −15≤115 (х − 7) ≤13

81. −1≤a + 2 (а − 2) 5≤0

82. 0 <5 + 2 (а - 1) 6 <2

Часть C: Приложения

Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию.

83. Три меньше, чем два раза больше суммы числа, и 6 не больше 13.

84. Пять меньше трехкратной суммы числа, а четыре не более 10.

85. Пятикратная сумма числа, и 3 равно не менее 5.

86. Трехкратная разница между числом и 2 составляет не менее 12.

87. Сумма троекратного числа и 8 составляет от 2 до 20.

88. Восемь меньше двойного числа от -20 до -8.

89. Четыре, вычтенные из троекратного некоторого числа, составляет от −4 до 14.

90. Девять, вычтенная из 5 умноженного на некоторое число, составляет от 1 до 11.

Установите алгебраическое неравенство и решите его.

91. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он желает сохранить свои расходы не более 270 долларов в месяц?

92. Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы расходы не превышали 120 долларов?

93. Марк получил 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах.Что он должен набрать в четвертой викторине, чтобы получить в среднем не менее 8 баллов?

94. Джо набрал 78, 82, 88 и 70 баллов на первых четырех экзаменах по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы в среднем не менее 80?

95. Гимнастка набрала 13 очков.2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 на первых пяти соревнованиях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы получить в среднем не менее 14,0?

96. Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какая должна быть ее оценка от третьего судьи, как если бы она была 8,4 или выше?

97. Если дважды угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла?

98. Периметр квадрата должен составлять от 120 до 460 дюймов.Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию.

99. Компьютер отключается, если температура превышает 45 ° C. Приведите эквивалентное утверждение в градусах Фаренгейта. Подсказка: C = 59 (F − 32).

100. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от –35 ° C до 120 ° C.Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта.

Часть D: Обсуждение

101. Часто студенты обращают неравенство, решая 5x + 2 <−18? Как вы думаете, почему это частая ошибка? Объясните начинающему изучающему алгебру, почему мы этого не делаем.

102. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств.”Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоуроком, который, по вашему мнению, будет вам полезен.

103. Напишите 5 ключевых выводов для всей этой главы. Что вы нашли в обзоре и что нового? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений.

ответов

11. (−3, ∞);

13. (1, ∞);

15. [0, ∞);

17. (-∞, 3];

19. [−2, ∞);

21. (-∞, -5);

23. [-8, ∞);

25. [5, ∞);

27. (-∞, 7);

29. (-1, ∞);

31. (3, ∞);

33. (-∞, -32];

35. Ø;

37. (-∞, 0);

39. ℝ;

41. [−2, ∞);

43. (-1,4);

45. [0,4];

47. (-5,5];

49. (-4,3];

51. [-4,1];

53. (−∞, −1) ∪ (3, ∞);

55. (−∞, 12] ∪ [52, ∞);

57. ℝ;

59. (-∞, 5);

61. (-∞, -10);

63. [−3,2];

65. (-∞, 5);

67. Ø;

69. -2;

71. (-12,32);

73. [-1,3);

75. (-8, -4);

77. (-15, -5];

79. (-5,20);

81. [-13, 43];

91. Участники могут сыграть 4 раунда или меньше.

93. Марк должен набрать не менее 9 баллов в четвертой викторине.

95. Он должен набрать 15,1 балла в шестом соревновании.

97. Угол между 90 и 135 градусами.

99. Компьютер выключится, когда температура превысит 113 ° F.

Вычислительная сложность рандомизированных алгоритмов для решения зависимых от параметров линейных матричных неравенств

В настоящее время это стандартный подход для формулирования анализа и синтеза систем с линейным изменяющимся параметром (LPV) в терминах зависимых от параметров линейных матричных неравенств (LMI).Этот подход был разработан Беккером, Паккардом, Филбриком и Баласом (1993), Беккером и Паккардом (1994), и Апкарианом, Гахинетом и Беккером (1995), и это лишь некоторые из них, и был распространен на случай ограниченного параметра. — скорость обмена по авторам, включая Ватанабэ, Утида, Фудзита и Шимемура (1994), Гахинет, Апкариан и Чилали (1996), Ферон, Апкариан и Гахинет (1996), Ву, Янг, Паккард и Беккер (1996) , Ю и Сидерис (1997) и Апкариан и Адамс (1998).

Несмотря на свою важность, решение LMI, зависящего от параметра, затруднено, когда зависимость параметра является нелинейной.Это связано с тем, что необходимо найти решение, которое одновременно удовлетворяет бесконечному множеству LMI, соответствующих различным значениям параметров. В основном в литературе уделяется внимание получению консервативного решения путем решения конечного числа LMI. Однако на практике часто бывает так, что введенный консерватизм значительно снижает качество анализа или синтеза. Более того, этот подход страдает от «проклятия размерности»: указанное выше конечное число LMI увеличивается экспоненциально с ростом размерности параметра.

Поляк и Темпо (2001) и Калафиоре и Поляк (2001) предложили рандомизированные алгоритмы для надежного линейно-квадратичного регулятора и для надежного LMI, соответственно, с последующим обобщением Поляком (2001). В этой статье мы адаптируем их алгоритмы, особенно второй, для решения LMI, зависящего от параметров. Преимущество этого подхода заключается в том, что он не требует, чтобы количество LMI было конечным, и, таким образом, может предотвратить появление консерватизма. Хотя существует множество исследований вероятностного подхода или рандомизированных алгоритмов (например, Ray & Stengel, 1993; Khargonekar & Tikku, 1996; Barmish & Lagoa, 1997; Tempo, Bai, & Dabbene, 1997; Chen & Zhou, 2000; Koltchinskii) , Abdallah, Ariola, Dorato, & Panchenko, 2000; Vidyasagar, 2001), в большинстве из них используется только случайная выборка.Настоящий алгоритм более систематичен, чем существующие, поскольку он использует не только случайную выборку, но и метод субградиента.

Из результатов Поляка и Темпо (2001) и Калафиоре и Поляк (2001) видно, что наш алгоритм получает детерминированное решение после конечного числа итераций с вероятностью единица. В данной статье исследуется это свойство и получен отрицательный результат. То есть, если мы усредним это конечное число по всем возможным реализациям, результатом будет бесконечности .Это означает, что наш алгоритм требует большого количества итераций с большой вероятностью. Затем мы улучшаем этот алгоритм, чтобы сделать ожидаемое количество необходимых итераций конечным. Явная верхняя граница этого числа дается в частном случае. В этой статье также исследуется количество итераций, необходимых для получения вероятностного решения, которое удовлетворяет предоставленному LMI не для всех значений параметров, а почти для всех из них. Мы показываем, что в этом случае снимается проклятие размерности.Более подробную версию этой статьи можно найти в Oishi and Kimura (2001a), а также ее версию для конференции в Oishi and Kimura (2001b).

После завершения основной части настоящего исследования автор узнал, что Fujisaki, Dabbene и Tempo (2003) независимо друг от друга рассмотрели рандомизированный подход к проектированию системы LPV. Однако они сосредоточились на особом типе зависимых от параметров LMI и не проводили подробный анализ вычислительной сложности, как это делается в настоящей статье.

Используются следующие обозначения. n -мерное евклидово пространство обозначается Rn. Натуральный логарифм выражается через ln. Символ || · || обозначает 2-норму вектора, а символ || · || _F для нормы Фробениуса матрицы. Символ λ̄ (A) обозначает максимальное (т. Е. Наиболее положительное) собственное значение симметричной матрицы A . Для двух симметричных матриц A и B неравенства A ≺ B и A ≼ B означают, что B — A является положительно определенным и положительно полуопределенным соответственно.Для симметричной матрицы A символ A ⁺ выражает проекцию на конус положительных полуопределенных матриц. То есть, когда A записывается как UΦU ^T с ортогональной матрицей U и диагональной матрицей Φ = diag ( φ ₁ ,…, φ _n ) матрица A ⁺ определяется как UΦ ⁺ U ^T , где Φ ⁺ ≔diag ( φ ₁ ⁺

190,… _n ⁺ ) с φ _i ⁺ ≔max { φ _i , 0}.

Алгебра: решение квадратичных неравенств с одной переменной

Решение квадратичных неравенств с одной переменной

До сих пор этот раздел был переполнен процедурами, требующими точных пошаговых инструкций, и последняя тема раздела будет ничем не отличаться. Фактически, в последних нескольких темах было сделано так много шагов, что вы, вероятно, чувствуете, что собираете мебель Ikea, но потерпите меня еще немного, и вы узнаете все, что вам нужно знать о квадратиках.

Помните еще в «Линейных неравенствах», когда вы узнали, что решение неравенства часто выражается в виде графика, потому что почти всегда существует бесконечное количество возможных решений? Это по-прежнему верно, если неравенство содержит квадратичный многочлен, например 2 x ² + x — 2

Позвольте мне снова пробудить вашу память. Что вы используете для построения графика неравенства, содержащего только одну переменную числовую линию или координатную плоскость? Если вы ответили координатной плоскости, оооо, извините, вы ошибаетесь, но, по крайней мере, вы получите несколько прекрасных подарков на прощание и домашнюю версию нашей игры.Правильный ответ — числовая линия; количество осей в графической системе должно соответствовать количеству уникальных букв в уравнении или неравенстве. Например, поскольку 2 x ² + x — 2 x (не x и y оба), вы должны использовать числовую линию для построения графика.

На этом достаточно разговоров; позвольте мне объяснить шаги, которые вы выполните для решения квадратичного неравенства:

Обсуждение

Критические числа — это значения x , для которых неравенство равно 0 или не определено.Они разбивают числовую прямую на отрезки, называемые интервалами .

• Представьте, что символ неравенства представляет собой знак равенства, и решите соответствующее квадратное уравнение . Эти решения называются критическими числами неравенства. Вы не меняете этот знак неравенства на знак равенства навсегда, как только вы найдете критические числа, вы можете изменить его обратно.
• Изобразите решения на числовой прямой . Просто отметьте критические числа на числовой строке открытыми или закрытыми точками, в зависимости от того, допускает ли символ возможность равенства (точно так же, как вы это делали во время числовых графиков линейных неравенств).
• Используйте тестовые значения, чтобы найти интервал решения (s ). Критические числа разделят числовую прямую на сегменты, называемые интервалами . Выберите тестовое значение из каждого интервала и вставьте его в исходное неравенство для x . Если тестовое значение делает неравенство истинным, то же самое и со всеми другими значениями в том же интервале, поэтому оно является частью решения.

Несмотря на то, что график, который вы создаете в ходе этого процесса, говорит вам, какое решение, большинство учителей предпочли бы, чтобы вы не просто давали график в качестве ответа.Обычно они хотят, чтобы вы выразили этот интервал как утверждение неравенства.

Пример 5 : Решите неравенство и построите график решения.

Решение : представьте на мгновение, что это на самом деле уравнение 2 x ² + x — 2 = 0. К сожалению, этот квадратичный коэффициент нельзя разложить на множители, поэтому вам придется использовать либо квадратную формулу или заполните квадрат, чтобы получить решение, которое будет

Мальчик, эти критические числа наверняка уродливы.Хорошая идея — ввести их в калькулятор, чтобы выяснить, какой десятичной дроби они приблизительно равны, чтобы вы могли нанести их на числовую линию, как я сделал на рис. 13.2. (Поскольку символ неравенства,

Рис. 13.2 Критические числа разбивают числовую линию на три помеченных интервала. Обратите внимание, что, когда обе конечные точки интервала являются критическими числами, полезно записать этот интервал как составное неравенство.

Теперь выберите одно значение для представления каждого интервала (я выбрал самые простые из возможных: x = -2, x = 0 и x = 1) и вставьте их в исходное неравенство, чтобы увидеть, какие значения в результате в истинных утверждениях.

Тест x = -2	Тест x = 0	Тест x = 1
2 (-2) 2 + — (-2) -2	2 (0) 2 + (0) — 2	2 (1) 2 + (1) -2
2 (4) -2-2	2 (0) -2	2 (1) + 1-2
8-4		2-1
4	-2	1

Интервал, содержащий x = 0 (средний интервал Рисунок 13.2) — единственный, который делает неравенство истинным, поэтому это правильное решение: -1,28 x в точности верно, вам нужно будет использовать фактические уродливые критические числа, а не их десятичные эквиваленты:

Чтобы построить график решения, просто нарисуйте числовую линию с рис. 13.2 и затемните в интервале решения, так что вы получите что-то вроде рис. 13.3.

Рисунок 13.3 График решения неравенства 2 x ² + x -2

У вас есть проблемы

Задача 5. Решите неравенство и нанесите график решения 2 x ² + 5 x — 3 0.

Выдержка из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble.

(PDF) Алгоритмическое решение линейных матричных неравенств с переменными параметрами в форме Теплица

Международная серия лекций VSP по компьютерам

Science Publishers and Computational Sciences

P.O. Box 346, 3700 AH Zeist

Нидерланды

Алгоритмическое решение изменяющихся параметров

Линейные матричные неравенства в форме Теплица

G.B. Мерциос

1

, P.K. Сотиропулос

Кафедра математики и информатики,

Мюнхенский технический университет, Германия

Институт культурных и образовательных технологий

Комплексные исследования для информационного общества (IRIS)

ул., GR-67100, Ксанти, Греция

Аннотация: В статье приведены необходимые и достаточные условия для решения системы линейных неравенств

, варьируемых параметром

tt≥Axb для всех tT

, где

T

— произвольный набор,

x — неизвестный вектор,

(

tA — известная треугольная матрица Теплица и

tb — известный вектор. Для

каждые

tT∈ соответствующее неравенство определяет многогранник, в котором должно существовать решение.Решение линейной системы

является пересечением соответствующих многогранников для каждых

tT∈. Был разработан метод декомпозиции

, который основан на последовательном сокращении исходной системы неравенств

путем итеративного сокращения числа переменных и рассмотрения эквивалентной системы неравенств

.

Ключевые слова: линейные матричные неравенства; Матрицы Теплица; системы с изменяющимися параметрами; разложение

неравенств; теория робастного управления, синтез с переменным параметром.

Математика Предмет Классификация: линейные неравенства, линейные системы, устойчивый дизайн параметров

AMS-MOS: 15A39, 93C05, 62K25

1. Введение

Широкий спектр проблем, возникающих в теории систем и управления, можно свести к ограниченным

задачи оптимизации, имеющие в качестве конструктивных ограничений простую переформулировку в терминах линейных матричных неравенств

[1], [2]. Было доказано, что линейные матричные неравенства с изменяющимися параметрами (LMI) являются мощным инструментом

, имеющим важные приложения в широком спектре систем и задач теории управления

, включая анализ устойчивости, синтез робастного управления, стохастическое управление и идентификацию [3], [4],

синтез контроллеров динамической обратной связи по выходу [5], анализ и синтез систем управления [6],

анализ ошибок и чувствительности, проблемы, возникающие при фильтрации, оценке и т. Д.LMI-методы предлагают

преимущество простоты работы по сравнению с классическими подходами, которые требуют громоздкого материала

уравнений Риккати [7].