Неравенства с параметром как решать – Неравенства с параметром

Способы решения уравнений и неравенств с параметрами

Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.

Имеется несколько способов решения  параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются  методы математического анализа.

Суть каждого способа рассмотрена на примерах. (Приложение)

1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами

Задача 1. При каких  уравнение  имеет единственное решение?

Решение:  1 способ. Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:

                                    

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,

   но надо проверить, удовлетворяет ли это значение  ОДЗ уравнения:

.

2) Если , то только один корень уравнения должен удовлетворять условию .

а)                   

б)      Ø

Ответ:     

2 способ.  Решим это задание аналитическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика  - полупараболы с вершиной х=-3;    – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных  значениях а, причем с ростом a прямая у=2х – a перемещается вправо.

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке

Угловой коэффициент равен 2, т. е.  =2 , - абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной ,    a =

При х=-3, у=0  графики пересекаются в двух точках. При этом .

А при  имеем одну точку пересечения.

Ответ: 

2. Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром

Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение

 имеет на промежутке  не меньше 3 корней?        

Решение:

1 способ. Заменим , причем  |t| ≤ 1

             

 при  любом a.

Рассмотрим 2 случая:

1) , тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать.

2) ,

Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности.

Видим, что при  уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений  и .                     

Ответ:

2 способ.  Пусть  ,  , тогда . Рассмотрим график .

В промежутке  при t= - 1 уравнение  имеет один корень

При - два корня,  при - один корень.

Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:

Первая система имеет 4 решения.
Вторая система имеет 3 решения.

Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:

1) 

2)  

Объединяя 1) и 2) получаем

3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром

Задача 3. При каких а неравенство  верно для всех х?

Решение: 1 способ. Преобразуем неравенство и приведем его к виду

Пусть. Получим неравенство   

Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох

Рассмотрим 3 случая:

1)

Получаем условия для

2)  

Но если .

   Ø

3)

Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: .          
2 способ. Уединяем параметр

,   

Минимум f(x) достигается при ; т.к   - минимум числителя,  - максимум знаменателя. Значит,  

Максимум f(x) достигается при ; т.е .

Схема:

Заметим, что минимум числителя и  максимум знаменателя достигается при  одном и том же х.

 для всех х при

Ответ: .

4. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

Задача 5. При каких a неравенство  выполняется для всех ?

Решение:  . Рассмотрим две функции                                                            

Построим эскизы графиков функций:

Найдем уравнение касательной в точке  функции y= |x2-4x+3|

Тогда . Так как

Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой  функции и получаем, что - -a=-2-4, a=4+2.

 Следовательно, при  a =4+2  y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы  

 II способ.

1 случай.

Это значит, что

2 случай.

А это значит, что

   

                                                                                    

        

Чтобы неравенство выполнялось при всех x:

 

Ответ: .

Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом - более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.

Литература

  1. Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам УГНТУ, Уфа-2003 г.
  2. Факультативный курс по математике, 10 класс. Шарыгин.И.Ф. Москва «Просвещение» 1989 г.
  3. Уравнение с параметрами на факультативных занятиях. С.Я.Постникова. «Математика в школе», №8, 2002 г.
  4. Математика абитуриенту. В.В.Ткачук, Москва, 2002 г.

urok.1sept.ru

Линейная функция в задачах с параметром. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

В данном уроке мы рассмотрим задачи с параметром и линейной функцией, приведем примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Линейная функция в задачах с параметром

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например, уравнение  или неравенство  с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Поясним на конкретных примерах.

Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:

Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:

Вынесем в левой части общий множитель за скобки:

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:

Ответ: при ; при ; при  

 

Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

 

Рассмотрим линейные неравенства с параметром.

Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:

interneturok.ru

Квадратные уравнения и неравенства с параметром

Серия «Учимся решать задачи с параметром»

IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

IV.1. Основные понятия

Определение. Функцию вида  (1), где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

1. .                                                          2. .
3. .                                                    4. .
5. .                                          6.       .
7. .                                       8. . 
9. .                                    10. .

Определение

. Под областью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х; а), при каждой из которых выражение  не теряет смысла.

Установим области определения  функций 1-10.

1.     2.     3.    4.     5.
6.     7.     8.     9.     10.

Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:

;                            ;                            ;
;                                            ;                                ;              ,

где k, b, c – действительные числа.

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из  квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.

Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о

графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида  (1) где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

, (1)
,         (2)
,    (3)
, (4)
.   (5)

Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.

Определение.  Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где  – квадратичная функция с параметром а.

Если , то уравнение (1) является квадратным в традиционном смысле, т.е. второй степени.
Если же , то уравнение (1) становится линейным.

При всех допустимых значениях параметра а, при которых   и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.

Те значения а, при которых , следует рассматривать отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при  примет вид , откуда .

IV.2. Квадратные уравнения с параметром

№1. Решите уравнение .

Решение

ООУ:

 – уравнение-следствие. Получим: , .

В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)

 

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , , то , .

№2. Найдите значение параметра а, при котором уравнение  имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение

ООУ:

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду:  и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).

Уравнение имеет единственный корень при ,  и .

0 + 1 + 4 =5.

Ответ: 5.

 

№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение  не равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Решение

Переформулируем задачу: «Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра  уравнение  не имеет корней».
Выразим а через х:

; .

1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит,  не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа).  (Рис. 3).

Условию удовлетворяют .

Ответ: .

 

№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение

ООУ:

Раскроем модуль:

             

В системе координат (хОу) построим график функции

 и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).

Ответ: 1. Если , то корней нет.

                       

2. Если , то один корень.

3. Если , то два корня.

IV.3. Квадратные неравенства с параметром

№5. Решите неравенство .

Решение

1 способ.

Учтём, что . Тогда  - решение данного неравенства при любом b.  (Рис. 5).

Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).

Совместим рис. 5 и 6.

 

А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.

Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то

2 способ.

Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):

. (Рис. 8).

Рассмотрим два случая.

1) . Тогда неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .

График функции  и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.

Ответ:

1. Если , то .
2.  Если , то . 3. Если , то .

3 способ.

Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:

Рассмотрим функцию .

,  - корни квадратного трёхчлена .

Сравним  и .

1) , откуда .

Получаем совокупность                .  (Рис. 9)

 

 

2) , откуда . (Рис. 10).

Тогда  т.е. .

3) , откуда . (Рис. 11).

Тогда  т.е. .

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .
3. Если , то .

№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции  больше 2.

Решение

Достаточно найти все значения параметра а, для каждого из которых для любого  верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .

Решим его графически в системе координат (хОу).

Для этого рассмотрим функции  (1),   (2).

(1)

      (Рис. 12).

Неравенство будет выполняться для всех , если график функции  будет выше графика функции .

Рассмотрим 2 случая: 1) прямая  является касательной к графику функции ; 2) прямая  является касательной к графику функции .

1. , , , ,  - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .

2. График функции  проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .

Условию задачи удовлетворяют все .

Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств

Решение

Установим сначала область определения совокупности:

   

Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).

Перепишем совокупность в виде

Введем функцию . (0; 0), (6; 0) - точки пересечения с осями координат; (3; 9) - вершина параболы.

Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .

urok.1sept.ru

как решать неравенства с параметром

Вы искали как решать неравенства с параметром? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и неравенства с параметром, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «как решать неравенства с параметром».

как решать неравенства с параметром

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решать неравенства с параметром,неравенства с параметром,неравенства с параметром как решать,неравенство с параметром,решение неравенств с параметрами,решение неравенств с параметром,решение неравенств с параметром квадратных. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать неравенства с параметром. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, неравенства с параметром как решать).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать неравенства с параметром Онлайн?

Решить задачу как решать неравенства с параметром вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Примеры с параметрами и методы их решения

В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Наряду с другими методами, применяемыми при решении задач с параметрами, я знакомлю своих учеников и с графическими приёмами, обращая внимание на то, как распознать “такие” задачи и как выглядит процесс решения задачи.

Самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:

Задача 1. “При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?”

Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения:

2). Запишем все системы получившихся неравенств:

а)

б) в)

г)

3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств (рис.1а).

4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол.

На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при .

Рассмотренный пример представляет собой “открытую задачу” - можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены.

Задача. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при .

Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения.

Ответ: , тогда , ;

, тогда ;

, тогда ; , тогда , .

Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при .

Задача. Решите неравенство .

(“Работают” точки, лежащие внутри парабол).

Ответ: , ;

, ; , решений нет;

, ; , .

Задача 2.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1.

Решение. Перепишем исходную систему в таком виде

Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами и (рис 1).

Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; .

Задача 3.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек.

Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:

, ,

, ,

(1)

Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 2).

Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале Это возможно при , т.е. при . Ответ: .

Задача 4.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.

Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и .

, ,

, ,

; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3).

1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию.

2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: .

Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.

Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:

, ,

, .

Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4).

а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4.

б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: .

Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.

Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение:

, ,

, . Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5).

Очевидно, что условие задачи выполняется, если . Ответ: .

Задача 7. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.

Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра:

2). Перепишем неравенство в виде

, ,

, ,

(1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

1)

2)

С учётом ОДЗ решения систем выглядят так:

1)

а) б)

Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 6).

2)

а) б)

Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Ответ: .

Задача 8. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные

не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Решение. I. Найдём все решения неравенства

а). ОДЗ: , т.е.

(учли в решении, что функция возрастает на ).

б). На ОДЗ неравенство равносильно неравенству , т.е. , что даёт:

1).

2).

Очевидно, решением неравенства служит множество значений .

II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком (рис. 8, где - первый член, - второй и т.д.). Заметим, что:

или имеем систему линейных неравенств:

решим её графическим способом.

urok.1sept.ru

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Цель: Познакомить обучающихся с решением иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Способствовать развитию навыка решения задач.

Содержание занятий.

Задачи с параметром даются в текстах ЕГЭ.

Фактически задача с одним параметром содержит не одну неизвестную , а две - и параметр Множество решений такого уравнения - это множество пар чисел , подстановка которых в уравнение обращает его в верное равенство. Аналогично, множество решений неравенства с неизвестной  и параметром

 - множество пар чисел (, обращающих его в верное числовое неравенство. На I этапе решения классифицируются типы уравнений и неравенств для каждого значения параметра, а на II этапе – решаются не одно, а несколько уравнений (неравенств) каждого типа. Выделенные два этапа не обязательно идут в строгой последовательности I, II. В процессе решения они могут «переплетаться».

Пример №1 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде:

 (1)

и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим дискриминант уравнения D=. Уравнение (1) имеет решение только в случае, если .

Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда , т. е. при  . Решив уравнения (2) и (3), получим при

                         

Таким образом, приходим к следующему ответу:

при  уравнение имеет два корня: х1 и х2 ; при  уравнение имеет один корень: х2; при  решений нет.

Пример №2 Решить уравнение

Решение. Функция  определена и возрастает на промежутке . Наименьшее значение она принимает в точке ; . Следовательно, при  уравнение  имеет единственное решение, при  решений нет.

Итак, пусть . Переписав уравнение в виде

, (1)

возведём обе его части в квадрат:

. (2)

Уравнение (2) является следствием (1). Перепишем его в виде:

 (3)

Уравнение (3) является квадратным относительно . Решив его, получаем совокупность двух уравнений:

При  уравнение (4) решений не имеет, а уравнение (5) имеет один корень

.

Так как при любом  исходное уравнение имеет один корень, и притом только один, то найденный корень и является корнем исходного уравнения.

Ответ: При  , при  решений нет.

Пример №3. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе

При  система решений не имеет, при  получим

Заметив, что  при  приходим к ответу: при   при  3 решений нет.

Графическое решение

Пример №4

Решить уравнение

Решение. , на множестве Д уравнение  равносильно исходному.

Уравнение  равносильно системе

Изобразим на плоскости (х;а) график функции  - это парабола с минимумом в точке , пересекающая ось  в точке

Укажем также области плоскости (х;а), в которых выполняются неравенства системы

  1.  - полуплоскость ниже прямой , не включая эту прямую;
  2.  вертикальная полоса между прямыми  и  включающая правую границу;
  3.  полуплоскость выше прямой  включая эту прямую.

Таким образом, исходное уравнение имеет решение при указанных условиях, иллюстрирующееся частью параболы, заключённой внутри трапеции АВСД, т. е. при .

При всех остальных действительных значениях  решения нет.

Ответ:  при

Решений нет при

Пример №5.

Для любого значения  решите неравенство

.

Решение. Во-первых, заметим, что левая часть неравенства представляет собой квадратный трёхчлен относительно  с корнями

 так что левая часть раскладывается на множители

. (1)

Во-вторых, при  имеем особый случай: , решением которого является .

В- третьих, заметим, что значение разности во второй скобке положительно при . Так что при  неравенство (1) можно переписать в виде

.

При  в (1) значение суммы в первой скобке положительно, то есть (1) можно переписать в виде неравенства

.

Наконец, заметим, что  входит в последний случай.

Осталось скомпоновать

Ответ: если , то ;

Если  то .

Пример №6 Для каждого значения  решите неравенство

Решение. При  неравенство не выполняется и оно равносильно системе неравенств

Рассмотрим второе  При  нет решений, а для  имеем  Первое из этих неравенств заведомо выполнено (и ). Получаем систему

Двойное неравенство этой системы непротиворечиво лишь при условии  при условии  приводит к условию .

Итак, остаётся решить последнее неравенство системы (1) при . Основная идея – решаем неравенство относительно , объявляя на время  параметром.

  1. Если , то есть  - уже решение.
  2. Если же , то есть , то

. (1/)

Дискриминант квадратного трёхчлена

,

а его корни  и . Заметим, что очевидно  при х > 0. Значит, решения неравенства (1/) суть

.

Здесь первое неравенство следует из неравенства . Остаётся  для любого  (

При  решение последнего неравенства составляют промежутки

 

С учётом  очевидно, остаётся лишь второй промежуток.

Наконец, убедимся, что при

<.

 

Установим двойное неравенство

При  каждое из них сводиться к неравенству  (легко проверить!). Остаётся лишь записать

Ответ: если , то решений нет ;

если , то .

Задачи для самостоятельной работы 

urok.1sept.ru

9-й класс. Урок по теме "Решение уравнений и неравенств с параметром"

Цель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Развитее творческих способностей, математической культуры.
.
Приложение. Рисунки к уроку

Ход урока

I. Устно:

а) Сравнить: –а и 3а

  • если а=0, то –а=3а
  • если а<0, то –а>3а
  • если а>0, то –а<3а

б) Решить уравнение: ах=1

  • если а=0, то 0х=1 нет решений
  • если а≠0, то х=1/а

в) Решить неравенство: ах<1

  • если а=0, то 0<1 верно х- любое
  • если а>0, то х<1; х<1/а
  • если а<0, то х>1/а

г) Решить неравенство: ах>1

  • если а=0, то 0>1 нет решений
  • а>0, то х>1/a
  • а<0, то x<1/a

II. Сегодня на уроке решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр.

На карточках за доской учащиеся решают

1 ученик

1) Решить неравенство: |x+3|> -a²

  • если а=0, то |x+3|>0 при всех х≠-3
  • если а≠0, то x- любое

2 ученик

2) Решить уравнение |x²-1|+|a(x-1)|=0

Это возможно только при

Рассмотрим второе уравнение а(х-1)=0

а) если а≠0, то х=1, что уд. первому ур-нию

б) если а=0, то х- любое, но из первого х=±1

Ответ:

  • при а≠0, х=1
  • при а=0, х=±1.

3 ученик. Решить уравнение для каждого а

4 ученик. При каждом действительном значении а вычислить сумму различных действительных корней уравнения

5 ученик. При каких значениях параметра а уравнение |x²-2x-3|=a имеет ровно 3 корня. (Графический способ)

Построим график функции у=х²-2х-3

1) х²-2х-3=0

х1=-1 х2=3

(-1;0) (3;0)

Точки пересечения с осью ох

2) хв= =1

ув=1-2-3=-4

(1;-4)- вершина

3)

Рисунок №1

  • при а<0 решений нет
  • при а=0 2 решения х1=-1 х2=3
  • при 0<a<4 4 решения
  • при а=4 3 решения х1=1 х2,3=1±2√2
  • при а>4 2 решения

III Работа с классом.

1. Решить уравнение для каждого m

mx+1=x+m

mx-x=m-1

(m-1)[=m-1

1) если m=1, то 0х=0 х- любое

2) если m≠1, то х=1

2. Для каждого а решить уравнение.

=2

3. Решить неравенство

2ах+5>а+10х

2(а-5)х>а-5

а) при а=5 нет решений 0х>0

б) при а-5>0

а>5

х> x>

в) при а<5 x<

4. Решить для каждого а

ах²-5х+1=0

1) а=0 -5х+1=0

х=

2) а≠0 Д=25-4а

а) Д=0, 25-4а=0

4а=25

а=

х=; x=5:

x=

б) Д<0, 25-4а<0

-4a<-25

a> нет решений

в) Д>0, а< и а≠0

х=

5. Найти значение параметра а при каждом из которых уравнения

(а-2)х²-2ах+2а-3=0 положительны.

1 способ.

а≠2 а)

  рисунок №2  рисунок №3

Рисунок №10

При х1>0, x2>0

6. Для каждого m решить уравненине

m²x-m²+6=4x+m

(m²-4)x=m²+m²-6

1) m=±2

m=2, 0x=12 нет решений

m=-2, 0x=8 нет решений

2) m≠±2,

при m=2, х- любое

7. При каком m корни уравнения x²-2x+m=0 удовлетворяет условию

7х²-2х1=47

8. При каких значениях в корне уравнения х²-2(b+2)x+b²+12=0

 рисунок №11

Рисунок №12

IV. Подведение итогов урока.   

V. Домашнее задание:

1. Найти все значения а, при котором сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а+7=0 равнялось 10

2. Задание №5 …

3. №3 оформить в тетрадь

4. а) 3+кх≤3х+к

б) ах-6≤2а-3х

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск