Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

ТЕМА «Модуль. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля»

МОУ СОШ№13, г. Подольск, Московская область

Учитель математики высшей квалификационной категории

Шачнева Людмила Анатольевна.

Тема «Модуль» актуальна, так как, к сожалению, материала в школьных учебниках по данной теме недостаточно, да и в общеобразовательной программе очень мало учебных часов отводится на рассмотрение темы «Модуль».

Но эта тема как, правило, интересует учащихся, которые хотят научиться мыслить, думать и решать любые задания, в том числе уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Данный практикум направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

А – многочлен; b — число

Ӏ |А| = b

если b > 0 то |А| = b <=> A = — b,

A = b.

если b < 0 то х € Ø

1.1. |х + 1| = – 4 1.1. Ø

1.2. |х – 3| = 2 1.2. 1;5.

1.3. |х² – 3х + 1| = 1 1.3. 0; 1; 2; 3.

1.4. |х² – 2х – 4| = 4 1.4. – 2; 0; 2; 4.

1.5. |(5х + 2) / (х – 1) | = 5 1.5. 0; 3.

1.6. |(х² + 6х + 3) / (х² – 3)| = 1 1.6. – 3; – 1; 0.

1.7. |2х² + 3х – 5| = – 5 1.7. Ø

1.8. |2х – 3| = 1 1.8. 1; 2.

1.9. |3х + 2| = 4 1.9. – 2; ⅔.

1.10. |1001х + 14| = – 1 1.10. Ø

1.11. |125х – 34| = – 2 1.11. Ø

1.12. |х² – х| = 0 1.12. 0; 1.

1.13. |х² + х| = 0 1.13. –1; 0.

1.14. ||х – 1| – 4| = 3 1.14. – 6; 0; 2; 8.

1.15. ||х + 3| – 4| = 1 1.15. –8; – 6; 0; 2.

1.16. |||х – 3| – 3| – 3| = 3 1.16. – 6; 0; 6; 12.

1.17. |1 – |4х + 1|| = 2 1.17. – 1; 0,5.

1.18. |||х + 1| – 2| – 3| = 4 1.18. – 10; 8.

1.19. |6 – |3 – |х||| = 5 1.19. ± 2; ± 4; ± 14.

1.20. |||2х + 1| – 4| – 1| = 2 1.20. – 4; – 1; 0; 3.

II А, В — многочлены

|А| = B <=> B ≥ 0

A = — B,

A = B.

2.1. |х – 3| = 2х – 3 2.1. 2.

2.2. |х – 2| = х + 4 2.2. – 1.

2.3. ||2х – 3| – 1| = х 2.3. ⅔; 4.

2.4. ||3х + 2| – 4| = х 2.4. ½; 1.

2.5. |6 – х²| = 6 – х 2.5. – 4; 0; 1; 3.

2.6. |х² – 3х – 16| = – 3х 2.6. – 4; – 2.

2.7. х² – 4х + |х – 3| + 3 = 0 2.7. 2; 3.

2.8. х|3х + 5| = 3х² + 4х + 3 2.8. 3.

2.9. |х² – 2х – 35| = 35 + 2х – х² 2.9. [ – 5; 7]

2.10. |х² + х – 3| = x 2.10. 1; √ 3.

2.11. |х² – х – 8| = – х 2.11. – 2; – 2√ 2.

2.12. |х² + 5| = 6х 2.12. – 4; 3.

2.13. |х² – 2x| = 3 – 2x 2.13. – √ 3; 1.

2

.14. |х| = х² + х – 2 2.14. – 1 – √ 3; √ 2.

2.15. 2|х² + 2х – 5| = х – 1 2.15. (– 5 + √113) / 4; 3/2.

2.16. |х² + 2х + 3| = 3x + 45 2.16. – 6; 7.

2.17. |3х – 5| = 5 – 3x 2.17. ( – ∞; 5/3]

2.18. |7 – 4x| = 7 – 4x 2.18. ( – ∞; 7/4]

2.19. |х – |4 – x|| = 2x + 4 2.19. 0.

2.20. |х + |4x + 1|| = 2 2.20. – 1; 0; 2.

2.21. ||2х – 3| + x| = 2 2.21. 1; 5/3.

2.22. |x + 1 + | – x – 6|| = x + 6 2.22. – 13/3; – 1.

2

.23. ||x² – 3x| – 5| = x + 1 2.23. 2; 1 + √ 5; 2 + √ 10

2.24. ||x³ + x² – 1| – 4| = x³ – x² + 3 2.24. 0; 1; 2.

III А, В – многочлены

|А| =|B| <=> A = — B, или |А| =|B| <=> А² = В²

A = B.

3.1. |2х| = |х + 2| 3.1. – ⅔; 2.

3.2. |5х + 6| = |3х – 1| 3.2. – 3,5; – ⅝.

3.3. |6х – 2| = |х + 3| 3.3. – 1/7; 1.

3.4. |4x| = |3х + 1| 3.4. – 1/7; 1.

3.5. |x + 3| = |2x² + x – 5| 3.5. ± 2; (1 ± √ 5) / 2.

3.6. |3x² – 6x – 1| = 2|3 – x| 3.6. – 1; 1; 5/3; 7/3.

3.7. | x² + 2x| = |x + 6| 3.7. – 3; 2.

3.8. | x² – 2x + 8| = |х – 10| 3.8. – 1; 2.

3.9. | x² – 3x – 1| = |2х – x² + 2| 3.9. – 0,5; 1; 3.

3.10. |3x² – 3x + 5| = |2x² + 6x – 3| 3.10. 1; 8.

IV |А| + |B| = 0 <=> A = 0,

B = 0.

4.1. |x² + 7x + 12| + |6 – x² – x| = 0 4.1. – 3.

4.2. |x² – 9x + 20| + |2x² + 7x – 4| = 0 4.2. 4.

4.3. |x² + 5x – 14| = – |x² – 6x + 8| 4.3. 2.

4.4. |x² – x – 6| = – |x² – 7x + 12| 4.4. 3.

4.5. |x² – 6x + 5| = – |x² + 2x – 3| 4.5. 1.

4.6. |x² – 8x + 7| = – |x

2 + x – 2| 4.6. 1.

4.7. |x² – 2x – 3| + |x² + 3x + 2| = 0 4.7. – 1.

4.8. |x² – 4x – 5| + |x² + 4x + 3| = 0 4.8. – 1.

4.9. |x² + 3x – 10| + |x² + x – 20| = 0 4.9. – 5.

4.10. |x² + 2x – 8| + |x² + x – 12| = 0 4.10. – 4.

4.11. |x² – 9x + 8| + |x² – 7x + 6| = 0 4.11. 1.

4.12. |x² + 2x – 3| + |x² + 3x – 4| = 0 4.12. 1.

V Если уравнение содержит несколько различных

модулей, то решаем методом интервалов.

5.1. |х| + |х + 1| = 3 5.1. – 2; 1.

5.2. |х – 1| + |х + 3| = 3 5.2. 0,5; 3,5.

5.3. |2х – 3| + |х – 2| = 5 5.3. 0; 3⅓.

5.4. |9 – х| + |х – 4| = 2x 5.4. 3,25.

5.5. |х + 4| + |х – 2| = 6 – x 5.5. – 8; 0.

5.6. |2 – х| + |х + 1| = |2x + 3| 5.6. 0.

5.7. |2х + 1| + |х + 3| = |x + 5| 5.7. – 1,5; 0,5.

5.8. |х| + |х

2 – 4x + 3| = 3 5.8. 0; 2; 3.

5.9. |х² – 3x| + |х + 2| = 2 5.9. 0.

5.10. |х² – 4x + 3| + |х² – 5x + 6| = 7 5.10. (9 ± √ 65) / 4.

5.11. |х² – 1| + |9 – х²| = – 8x 5.11. –5; – 1.

5.12. (|х + 3| – x) / |х – 1| = 3 5.12. 0; 2.

5.13. (1 – 2x) / (3 – |х – 1|) = 1 5.13. – ⅓.

5.14. |х – 1| + |8 – x| + 2|х – 3| = 4 5.14. Ø

5.15. |3х – 5| – 2х = |х + 2| 5.15. – 2.

5.16. |2х + 3| – |3х – 4| + x = 1 5.16. ⅓.

5.17. |х + 1| + |5 – x| = 20 5.17. – 8; 12.

5.18. |х – 1| + |5 – x| = 18 5.18. – 6; 12.

5.19. |8 + х| + |7 – x| = 10 5.19. Ø

5.20. |3х – 4| + |2х – 6| = |х² – 2x| + 4 5.20. (– 3 – √ 33) / 2; 1; 2.

5.21. |9 – х| + |1 + x| = 8 5.21. Ø

5.22. |х – 1| + |х + 2| = 3 5.22. [ – 2; 1]

5.23. |х – 3| + |х + 1| = 4 5.23. [ – 1; 3]

5.24. |1 + 3х| – |х – 1| = 2 – x 5.24. – 4; 0; 4.

VI Замена переменной

6.1. х² – 7|х| + 12 = 0 6.1. ± 3; ± 4.

6.2. (х² – |х| + 3) / (2 – |х|) = 3 6.2. – 1; 1.

6.3. 8 / (|х + 1| – 2) = |х + 1| 6.3. – 5; 3.

6.4. (|х – 2| – 2) / (5 – |х – 2|) = 2 6.4. – 2; 6.

6.5. |3 – |х + 1|| = |х + 1| – 1 6.5. – 3; 1.

VII «Завуалированные» модули

7

.1. √ 9х² – 12x + 4 – √ 4х² – 20x + 25 – x = 2 7.1. – 5/2; 9/4.

7.2. √ х² + 2x + 1 + x = 5 – √ х² 7.2. – 6; 4/3.

7.3. √ 4х² – 12x + 9 – √ 9х² + 24x + 16 = x + 7 7.3. ( – ∞; – ⅔]

7.4. √ 81

+ х² – 18x + √ х² + 16 – 8x = 2x 7.4. 3¼.

VIII

8.1. |2x + 3| + |5 – 2x| = 8 8.1. [ – 1,5; 2,5]

8.2. |x + 2| + |x – 1| = 3 8.2. [ – 2; 1]

8.3. |x + 3| – |2x – 1| = |x – 4| 8.3. [0,5; 4]

8.4. (1 + x) |x + 2| + x |х – 3| = 6x + 2 8.4. [– 2; 3]

8.5. |x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4 8.5. [1; 2] U {5}

8.6. |x² – 5x + 4| – 9x² – 5x + 4 + 10x|х| = 0 8.6. {– 1} U [1; 4]

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.

А, В – многочлены; b – положительное число

— b – отрицательное число.

Ӏ |А| ≤ — b

х € Ø

1. 1. |х – 6| ≤ – 2 1.1. Ø

   2. |3х² + 4х – 7| ≤ – 1 1.2. Ø

   3. |(х² – 9) / (x + 7) – 8| < – 4 1.3. Ø

II |А| ≥ — b

х € R

2. 1. |х + 5| ≥ – 4 2.1. R

   2. |3х² + 7х – 9| ≥ – 1 2.2. R

   3. |3 – x| ≥ – 2 2.3. R

   4. |5х² + 4х – 7| ≥ – 3 2.4. R

III |А| ≤ b <=> A ≥ — b

A ≤ b

— b b

3. 1. |х – 2| ≤ 2 3.1. [ 0; 4]

   2. |х + 3| ≤ 4 3.2. [ – 7; 0]

   3. |х² – х – 1| < 1 3.3. ( – 1; 0) U ( 1; 2)

   4. |х² – 5х + 3| ≤ 3 3.4. [ 0; 2] U [ 3; 5]

   5. |(2х – 3) / (х + 4)| ≤ 1 3.5. [– ⅓; 7]

   6. |(х² – 5х + 4) / (х² – 4)| ≤ 1 3.6. [ 0; 1,6] U [2,5; + ∞)

   7. ||х + 2| – 4| ≤ 3 3.7. [ – 9; – 3] U [ – 1; 5]

   8. ||х² – х – 6| – 2| ≤ 4 3.8. [ – 3; 0] U [ 1; 4]

   9. |||х + 1| – 2| – 1| ≤ 1 3.9. [ – 5; 3]

   10. ||||х – 1| – 20| – 3| – 5| ≤ 9 3.10. [ – 36; – 2] U [ 4; 38]

IV |А| ≥ b <=> A ≤ — b

A ≥ b

— b b

4.1. |x + 3| ≥ 5 4.1. ( – ∞; – 8] U [2; + ∞)

4.2. |x² + 12x + 10| > 10 4.2. (– ∞; – 12) U (– 10; – 2) U (0; + ∞)

4.3. |x2 – 6x + 4| ≥ 4 4.3. ( – ∞; 0] U [ 2; 4] U [ 6; + ∞)

4.4. |(x – 3) / (x – 4)| ≥ 2 4.4. [ 11/3; 4) U ( 4; 5]

4.5. |4 – |x + 5|| ≤ 1 4.5. [ – 10; – 8] U [ – 2; 0]

4.6. |3x – 5/2| ≥ 2 4.6. ( – ∞; 1/6] U [ 3/2; + ∞)

V |A| ≤ B <=> A ≥ — B

A ≤ B

— B B

5.1. 2|x + 1| ≤ x + 4 5.1. ( – ∞; – 2] U [ 2; + ∞)

5.2. |x – 2| ≤ 12 – 3x 5.2. ( – ∞; 3,5]

5.3. |x² – 5x| < 6 5.3. ( – 1; 2) U ( 3; 6)

5.4. |x² – 2x| ≤ x 5.4. [ 1; 3]

5.5. ||2 – x| – 2x| ≤ 4 5.5. [ – ⅔; 2]

5.6. |2x + 1 – |4x + 1|| ≤ x + 2 5.6. [ – 4/7; 2]

5.7. ||2x² – x| – 3| ≤ 2x² + x + 5 5.7. [ – 4; + ∞)

VI |А| ≥ B <=> A ≤ — B

A ≥ B

— B B

6.1. |x – 4| > 4x 6.1. ( – ∞; 0,8)

6.2. 2|x + 1| > x + 4 6.2. ( – ∞; – 2) U ( 2; + ∞)

6.3. |x – 4| > 2x – 1 6.3. ( – ∞; 5/3]

6.4. 3|x – 1| + x² ≥ 7 6.4. ( – ∞; – 1] U [ 2; + ∞)

6.5. ||3x + 1| +x + 1| ≥ 2 6.5. ( – ∞; – 1] U [ 0; + ∞)

6.6. x² – 5x + 9 ≤ |x – 6| 6.6. [1; 3]

6.7. ||3x + 1| + 2x – 5| ≥ 6x – 5 6.7. ( – ∞; 1]

6.8. |x³ – 1| ≥ 1 – x 6.8. ( – ∞; – 1] U [ 0; + ∞)

VII |A| >=< B <=> A² >=< B²

7. 1. |x + 2| ≤ |3x – 1| 7.1. (– ∞; – ¼] U [1,5; + ∞)

   2. |x + 5| > |3x + 4| 7.2. (– 2,25; 0,5)

   3. |1 / (x – 3)| < 3 / |x + 1| 7.3. (– ∞; – 1) U (– 1; 2) U (5; + ∞)

   4. 1 / |x + 2| ≤ 2 / |x – 1| 7.4. (– ∞; – 5] U [– 1; 1) U (1; + ∞)

   5. |x – 2| ≤ |x + 4| 7.5. x ≥ – 1

   6. |x – 6| > |x² – 5x + 9| 7.6. ( 1; 3)

   7. |x² – 5x| ≤ |5x – 9| 7.7. [ – 3; 1] U [ 3; 9]

   8. |x² – 3x + 5| ≤ |5 – 4x| 7.8. [ – 1; 0] U [ 2; 5]

   9. |x2 – 2x – 2| > |x + 2| 7.9. (– ∞; – 1) U (0; 1) U (4; + ∞)

VIII Замена переменной

8.1. x² – |x| ≤ 6 8.1. [ – 3; 3]

8.2. 1 / (|x| – 1) ≥ 1 8.2. [– 2; – 1) U ( 1; 2]

8.3. 6 / (|x – 1| + 1) > |x – 1| 8.3. ( – 1; 3)

8.4. (|x + 1| + 2) / (|x + 1| – 3) ≥ 2 8.4. [– 9; – 4) U ( 2; 7]

8.5. |x + 2| ≤ (|x + 2| – 15) / (3 – |x + 2|) 8.5. [ – 7; –5) U (1; 3]

IX Метод интервалов

9.1. |x – 2| + |x + 1| ≤ 4 9.1. [ – 1,5; 2,5]

9.2. |x| + |x – 3| > 10 9.2. (– ∞; – 3,5) U (6,5; + ∞)

9.3. |x| + |2x – 5| ≤ 4 9.3. [1; 3]

9.4. |x – 1| + |2 – x| > 3 + x 9.4. (– ∞; 0) U (6; + ∞)

9.5. |2x + 5| + |3x – 7| ≤ |4x + 1| 9.5. [2.2; 3]

9.6. |x + 1| + |x + 2| + |x – 4| ≤ 9 9.6. [ – 8/3; 2]

9.7. |x² – 6x| + |2x – 6| ≤ 26 9.7. [ – 2; 8]

9.8. |x² + 2x| + |2x – 6| ≤ 6 9.8. {0}

9.9. |x² + x – 2| + |x + 4| ≤ x² + 2x + 6 9.9 [– 6; – 1] U [0; + ∞)

Учитель математики высшей квалификационной категории

Шачнева Людмила Анатольевна.

infourok.ru

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

МБОУ покровская средняя общеобразовательная школа № 1 с УИОП Иванова Саргылана Семеновна учитель математики МБОУ «ПСОШ № 1 с УИОП» Стаж работы: 15 лет Категория: высокая

решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля

способы решения уравнений

ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

ВВЕДЕНИЕ

Решение уравнений.

1.1.Определение модуля. Решение по определению

1.2. Решение уравнений по правилам

1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей

1.4. Метод интервалов в задачах с модулями

1.5. Вложенные модули

1.6. Модули и квадраты

1.7. Модули неотрицательных выражений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Решение уравнений по правилам

        1-е правило: | f ( x )| =  g ( x )   

        2-е правило:   | f ( x )| =  g ( x ) 

2 способ:

1 способ:

Пример. Решить уравнение | x 2  –  7 x   +   11|   =   x   +   1. Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:

Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения , но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства , а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого , оба корня удовлетворяют неравенству . Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.

Ответ : .

Способ освобождения от модуля –

замена переменной

Пример . Решить уравнение:

Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид:

Пусть , тогда решим квадратное уравнение:

Его корни , условию удовлетворяет первый корень.

Возвращаясь к переменной х , получаем уравнение

решая которое находим:

Ответ : .

Задачи с несколькими модулями.

Два основных подхода к решению.

«последовательное»

раскрытие модулей

«параллельное» раскрытие модулей

Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом , то есть просто определением абсолютной величины :

К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:

  Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам :

Ответ: -1;

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

    Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -1;

Метод интервалов в задачах с модулями.

Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: | x  –  a | + | x  –  b | + | x  –  c | =  m .

       Первый модуль равен x  –  a при x  ³  a и a  –  x при x  a . Второй равен x  –  b или b  –  x при x  ³  b и x  b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения.

В частности , если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x=-2 , x=-3 . Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями.

.

Решаем задачу на каждом интервале:

Ответ:

Итак, данное уравнение не имеет решений.

Вложенные модули

Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в «задачах-матрешках», где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Освободимся от внешнего модуля, получим:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение

равносильно совокупности:

Ответ: 0; 2.

Модули неотрицательных выражений.

Пример 1 . Решить уравнение:

Решение.

Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Ответ: 0

Пример 2 . Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся тождеством , и получим уравнение , решая которое методом интервалов получим ответ

Ответ:

В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» :

• Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.
• Изучили литературу по данному вопросу.
• Познакомились с алгебраическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
• Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.

и пришли к выводу:

В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам.

multiurok.ru

3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Для того чтобы решить неравенство, содержащее неизвестную под знаком абсолютной величины, можно разбить область допустимых значений неравенства на интервалы, в которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак. На каждом таком интервале решить неравенство (раскрыв предварительно знак абсолютной величины). Объединение полученных решений и будет являться решением первоначального неравенства

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Под знаком модуля стоит квадратный трехчлен, найдем промежутки его знакопостоянства: при и значения трехчлена неотрицательно; при значения трехчлена отрицательны. Учитывая это решим неравенство на каждом из полученных интервалов:

при имеем ,

откуда получаем ;

при имеем

и , откуда получаем ;

при , откуда получаем х = 4.

Объединив найденные на каждом интервале решения, получим решение первоначального неравенства: и х = 4.

Ответ: [1; 3], 4.

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. По определению модуля имеем совокупность двух систем:

Решая системы, получим: или . Окончательно получаем ответ.

Ответ: .

В общем случае неравенство вида в соответствии с определением модуля имеет решение только в случае, когда . Неравенство вида при выполняется во всей области определения функции .

Пример 8. Решить неравенство .

Решение.

1-й способ. Воспользовавшись определением модуля, получим совокупность двух систем:

Решая эти системы получим: и . Окончательно получаем

2-й способ. Введем новую переменную , получим неравенство не содержащее знаков модуля: . Решая полученное неравенство методом интервалов, получим: . Перейдем к переменной х: , откуда .

Ответ:

Если неравенство содержит несколько одинаковых выражений под знаками модуля (как это было в примере 8), то его удобно решать методом замены переменной.

4. Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 9. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Сначала воспользуемся алгоритмом, изложенным в замечании 5.

1. Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; .

2. Нанесем найденные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:

х – 2: – – +

х + 3: – + +

3. Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

(1)

Исследуем решения этого уравнения в зависимости от параметра а.

Если а = –1, то (1) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (1) будут все . (2)

Если же , то из (1) х = –3, но это значение не входит в исследуемый интервал.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

. (3)

Если а = 1, то (3) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (3) будут все . (4)

Если , то из (1) х = –3. (5)

При уравнение будет иметь вид:

Если а = –1, то полученное уравнение решений не имеет. (6)

Если , то . Выясним при каких значениях а полученное значение х будет входить в исследуемый интервал:

при , . (7)

При остальных значениях а на этом интервале уравнение решений не имеет.

Сделаем выводы по проведенному исследованию. Уравнение будет иметь различные решения при: ; ; ; а = 1; . Из (5) следует, что при корень уравнения х = –3; из (2) и (5) следует, что при решениями уравнения будут и х = –3; из (5) и (7) следует, что при решениями уравнения будут х = –3 и , именно на этом интервале уравнение имеет ровно два решения; из (4) и (7) следует, что при а = 1 уравнение имеет решения и = 2; из (5) следует, что при решением уравнения будет х = –3.

Ответ: при х = –3; при ; при х = –3, ; при а = 1 ; при х = –3.

Пример 10. При всех значениях а решить неравенство

Решение. 1. В соответствии с замечанием 6 неравенство при решений не имеет.

2. Пусть . Определим промежутки знакопостоянства выражения, стоящего под знаком модуля: ; ; .

3. Решим неравенство на каждом из полученных интервалов.

Если , то , следовательно, имеем или

. (1)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (1) равен , причем так как , . Поэтому квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (1) имеет два действительных корня. Решая неравенство (1) относительно переменной х, получим:

. (2)

Заметим, что при каждом положительном а верны неравенства

; . (3)

Окончательно на этом интервале, получаем, что для любого положительного а решением неравенства будут числа из интервала: .

Если , то , следовательно имеет место неравенство

. (4)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (4) равен . Тогда неравенство (4) при имеет место при любом действительном х.

Если квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (4) имеет два действительных корня, поэтому, решая неравенство (4) относительно переменной х, получим: и . Заметим, при этом, что при справедливы неравенства:

. (5)

Тогда на этом интервале окончательно получаем: при решением неравенства является отрезок ; при решение неравенство состоит их двух промежутков: и .

Если , то , следовательно, имеем или

. (1)

Решая это неравенство на этом интервале, получаем: .

Сделаем выводы по проведенному исследованию: из п.1 следует, что при неравенство решений не имеет; учитывая неравенства (2), (3), (5) при решением неравенства являются интервалы: и ; учитывая (2) при неравенство имеет решение: .

Ответ: при неравенство решений не имеет; приимеет решения:

; ; при имеет решение: .

studfile.net

Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля (11 класс)

Управление образования администрации

Арзамасского муниципального района

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чернухинская средняя общеобразовательная школа»

Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля

Работу выполнила:

Коткова Дарья,

ученица 11 класса.

Руководитель:

Пахутина Г.М.,

учитель математики.

с.Чернуха 2014год

Содержание

Введение………………………………………………………………..…….3

1. Определение модуля. Свойства модуля………………………..……5

1. Определение модуля.

2. Геометрический смысл модуля.

3. Формула расстояния между двумя точками числовой прямой.

4. Свойства модуля.

2. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля ..6

1. Неравенства вида |f(x)|a

2. Неравенства вида

3. Неравенства вида и .

4. Метод интервалов.

3. Заключение ……………………………………………………………9

2 Литература………………………………………………….………..10

Введение

Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий – понятие предела – в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым, важнейшим понятием, является понятие абсолютной погрешности приближенного числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина (модуль).

Слово модуль произошло от латинского modulus, что в переводе означает мера. Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике это термин, применяемый в различных областях технике, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

С понятием модуля (абсолютной величины) действительного числа я знакомилась еще в 6 классе. Однако в дальнейшем в учебниках общеобразовательных школ это понятие редко используется в теоретическом материале, задачах и упражнениях. Неравенства с модулем вызывают большие трудности. В то же время на ЕГЭ по математике задачи с модулем предлагаются все чаще и чаще.

Объектом исследования в данной работе являются неравенства с модулем и методы их решения.

Целью моей работы является рассмотрение теоретических основ и описание методических аспектов проблемы решению неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Для реализации поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

• изучить научно-методическую, математическую литературу по проблеме исследования;

• проанализировать учебные пособия с целью изучить методические особенности введения понятия модуля, его геометрического смысла, свойств, методов решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

• рассмотреть основные методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

• подобрать упражнения, способствующие формированию умений решать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля;

1. Определение модуля. Свойства модуля

1. Определение модуля.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а – неотрицательно, и число противоположное а, если а отрицательно.

Например, |100| = 100, т.к. 100>0;

|-3,7| = 3,7, т.к. -3,7

|π-4| = 4-π, т.к. π-4

2. Геометрический смысл модуля.

|-3|=3

|-а|

|а|

а

—а

-3

0

0

х

х

|а| – расстояние на числовой прямой от точки а до начала отсчёта.

|0| = 0

Если а ≠0, то на числовой прямой существуют две точки а и –а, равноудалённые от начала отсчёта: |а| = |-а|.

3. Формула расстояния между двумя точками числовой прямой.

Если а и b – две точки числовой прямой, то расстояние между ними ρ(a,b) выражается формулой .

0

b

а

х

Например, ρ(-2,5) = |-2-5| = |-7| = 7

0

5

-2

х

Ясно, что ρ(a,b)= ρ(b,а).

4. Свойства модуля

№

2. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Неравенства вида |f(x)| a

Простейшим неравенством, содержащим неизвестную величину под знаком модуля, является неравенство вида

или

Пример 1. Решить неравенство

Решение.

Или

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение

х

1

Ответ: .

1. Неравенства вида

(i=1,2,…,n) – функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т.д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т.е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их.

—

—

—

—

—

+

—

+

х

Пример. Решить неравенство

Знаки (2x+6)

-3

Решение:

+

—

х

—

-3

+

0

4

-4

х

Ответ: .

2. Неравенства вида и .

Неравенство равносильно двум системам неравенств:

Аналогичные рассуждения верны и для

Пример. Решить неравенство

Решение:

Ответ:

3. В некоторых случаях при решении неравенств с модулем удобно применять метод интервалов изучаемый в курсе «Алгебра и начала анализа» .

Пример. Решить неравенство .

Решение:

рассмотрим функцию .

Нули:

—

+

+

+

—

—

—

Найдём точки разрыва ; x=1

1

2

-2

х

Схем. рис.

Ответ: .

Заключение

Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных случаев, так как в подавляющем большинстве задач одно неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких неравенств, освобожденных от знака модуля.

При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению, 2) метод разбиения на промежутки.

Неравенства, приведенные в данной работе, будут способствовать формированию умений решать неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля, и могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике.

Литература

1. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. М., Просвещение, 1966.

2. Гусев В.А. и др. 300 задач. М., Просвещение, 1993.

3. Литвененко В.Н, Мордкович А.Г. Практикум по решению задач. Алгебра. Тригонометрия. М., Просвещение, 1991.

4. Сидоров Н.Н. Модуль числа. Уравнения и неравенства: Учебное пособие. Чебоксары:1998.

5. Алгебра: Учеб.для 7 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2006. -207с.

6.Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2003. — 255с.

7. Алгебра: Учеб.для 9 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2003. — 255с.

Запись	Формулировка
1	|а| ≥ 0 при всех а Є R	Модуль любого числа есть число неотрицательное.
2	|а| = |-а|	Модули противоположных чисел равны.
3	|а·b| = |а|·|b|	Модуль произведения равен произведению модулей.
4	, b≠0	Модуль частного равен частному модулей.
5		Модуль суммы не больше суммы модулей.
6		Модуль разности не меньше разности модулей
7	|а|2 = а2	Квадрат модуля равен квадрату числа.

doc4web.ru

Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.

Модуль и его свойства.

1. Определение модуля числа:

.

2. Геометрически есть расстояние от точки числовой оси до начала отсчета – точки

.

3. есть расстояние между точками и числовой оси.

4. Модуль произведения, частного и степени.

.

5. .

Уравнения, содержащие знак модуля.

Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.

1. Уравнения вида . Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности

2. Уравнения вида можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)

2)

Выбор способа замены зависит от того, какое из неравенств или решить легче.

3. Уравнения вида . Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля . Тогда

4. Уравнения вида . Уравнения этого вида можно решать, используя замену .

Пример. Решить уравнение

Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:

Решая эти уравнения, получим корни .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

.

Решая эти уравнения, получим корни . Выберем из них те, которые удовлетворяют условию .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:

.

Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решая уравнение, находим, что

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Так как , данное уравнение примет вид:

Сделаем замену: получим новое уравнение: , которое имеет два положительных корня . Значит, , откуда .

Ответ:

Дополнительные задачи:

1. Решите уравнение .

Решение: .

Ответ: .

2. Найти сумму целых решений уравнения .

Решение: .

Целое решение только одно: 4, поэтому сумма решений равна значению единственного целочисленного решения: 4.

Ответ: .

3. Найти сумму всех корней уравнения .

Решение:

Сумма корней равна .

Ответ:.

4. Решите уравнение .

Решение:

.

Ответ:.

5. Решите уравнение .

Решение: заметим, что , решим уравнение:

.

Ответ:.

6. Укажите наибольший корень уравнения .

Решение: Расставим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:

Теперь легко раскрыть модули и получить соответствующие уравнения на промежутках:

1) .

2)

3) .

Отсюда следует, что наибольшим корнем является число 2.

Ответ:.

7. Решите уравнение .

Ответ:.

Для самостоятельного решения:

Решить уравнения:

Неравенства, содержащие знак модуля.

Перечислим некоторые частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.

1. Неравенство вида , где и — некоторые функции, равносильно системе

В частности, неравенство при любом равносильно системе:

или

При неравенство не имеет решений.

2. Неравенство вида , где и — некоторые функции, равносильно совокупности:

В частности, неравенство равносильно совокупности:

При неравенство выполняется для всех при которых функция имеет смысл.

3. Неравенство вида равносильно неравенству . Преобразуя последнее неравенство, получим:

,

которое решается методом интервалов.

4. Неравенство вида можно решать, используя замену .

Пример. Решить неравенство

Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:

Ответ: .

Пример. Решить неравенство

Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Приведем исходное неравенство к виду :

Перейдем к равносильной системе:

,

Имеем:

Решение первого неравенства системы является любое , а решением второго является или

Ответ: .

studfile.net

Линейные неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Вопросы занятия:

·  повторить основные методы решения линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Материал урока

Прежде чем мы приступим к решению неравенств, давайте вспомним, что такое модуль числа.

Поскольку модуль – это расстояние, то он не может принимать отрицательные значения.

Давайте вспомним свойства модуля действительного числа.

Начнём рассматривать простейшие неравенства вида:

И начнём с неравенств:

Неравенство графически можно изобразить так: расстояние от начала координат до точки икс меньше числа а. Мы знаем, что точки можно откладывать в обе стороны от начала координат. Точка, которая находится на расстоянии а от начала координат, отложенного влево, имеет координату минус а. Тогда те точки, расстояние до которых будет меньше а будут лежать левее начала координат, но правее точки с координатой минус а. То есть, точки, удовлетворяющие нашему неравенству, будут лежать в промежутке от минус а до а. Поскольку неравенство строгое, то концы промежутка не входят в решения.

Это же решение можно записать системой неравенств.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим неравенство:

Рассмотрим графическую интерпретацию этого неравенства.

Обратите внимание, что в решении у нас знак не системы неравенств, а совокупности. Знак совокупности обозначает, что должно выполнятся хотя бы одно из условий.

Например,

Знак же системы обозначает, что обязательно должны выполнятся оба условия.

Рассмотрим пример.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим неравенства вида:

По свойству модуля, модуль не может быть отрицательным числом и, очевидно, что оно не может быть меньше отрицательного числа, то есть:

не имеет решений.

Теперь давайте рассмотрим неравенства вида:

Поскольку положительное число всегда больше любого из отрицательных чисел, значит, это неравенство будет превращаться в верное числовое неравенство при любом х. То есть решениями неравенств такого типа будет любое число.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим неравенства вида:

Пример.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы вспомнили что такое модуль числа, основные свойства модуля числа, рассмотрели простейшие неравенства с модулями.

videouroki.net

Неравенства, содержащие знак модуля.

1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);

б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).

2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:

1) неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤ a), где a > 0, равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);

2) неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно совокупности двух неравенств .

3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:

Пример 13. Решить неравенство .

Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим: x ≤ — 2 , x ≥ 0.

Ответ: .

4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений .

Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |f_i(x)|=f_i(x) или |f_i(x)|=-f_i(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.

Пример 14. Решить неравенство .

Решение:

Решение первой системы: ; второй: ; третьей: . Объединяя, получим .

 

Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y₀, для каждого из которых найдется число x₀ такое, что f(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции , если x≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве .

Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как для x<0, то . Таким образом, на промежутке функция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как для , то .

Ответ: .

 

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. .

19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой ?

20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции ?

Найти множество значений функции:

21. , если ; 22. , если .

 

Тема №6.

Иррациональные уравнения.

 

1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень: ;

в) учитывая, что , получают уравнение и решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом, x=197 – посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть , тогда Поэтому Отсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

 

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12. ;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15. .

Решите уравнения:

16. ; 17. ;

18. .

 

Тема №7.

Показательные уравнения.

 

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru