Неравенство с модулем квадратное неравенство: Решение неравенств с модулем – Неравенство с модулем (квадратное неравенство) — задание. Алгебра, 11 класс.

§5 Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1. Уравнение с модулем вида |x|=a 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Нахождение произведения корней уравнения с модулем вида |x|=a.
2. Неравенство с модулем вида |f(x)|< a 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение простого неравенства с модулем вида |f(x)|< a.
3. Неравенство с модулем вида |f(x)|<0 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|<0.
4.
Неравенство с модулем вида |f(x)|≤0
2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|≤0.
5. Уравнение с модулем, подобные модули 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Решение уравнения с модулем, приведение подобных модулей.
6. Неравенство с модулем (квадратное неравенство) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Решение неравенства с модулем (квадратного неравенства).
7. Вопросы по равенству с модулем 1 вид - рецептивный среднее 1 Б. Теоретические вопросы по равенству с модулем, используется определение модуля.
8. Уравнение с модулем вида |f(x)|=a 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Решение уравнения с модулем вида |f(x)|=a.
9. Уравнение с модулем вида |f(x)|=|g(x)| 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Решение уравнения с модулем вида |f(x)|=|g(x)|.
10. Уравнение с двумя модулями 2 вид - интерпретация сложное 3 Б. Решение уравнения с двумя модулями.
11. Неравенство с модулем вида |f(x)|≥g(x) 2 вид - интерпретация сложное 5 Б. Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)|≥g(x), использование формулы квадрата суммы или разности.
12. Неравенство с модулем вида |f(x)|>a (дробное) 2 вид - интерпретация сложное 6 Б. Решение неравенства с модулем вида |f(x)|>a (дробного неравенства).
13. Квадратное уравнение с модулем 2 вид - интерпретация сложное 3 Б. Решение квадратного уравнения с модулем.

Как решить двойное неравенство с модулем. Метод интервалов – универсальный метод решения неравенств с модулем

Чем больше человек понимает, тем сильнее в нем желание понимать

Фома Аквинский

Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

Рассмотрим данный метод на конкретном примере.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.

3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:

4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:

I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.

II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:

x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

В рассматриваемый интервал число 2 не входит.

IV интервал

Пример решен.

Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0

Решение .

Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:

6х 2 - х - 2 ≤ 0.

Теперь о втором случае: если х

6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0.

Раскрываем скобки:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Таким образом, мы получили две системы уравнений:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х

Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.

Начнем с первого:

6х 2 - х - 2 = 0.

Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Теперь решим второе квадратное уравнение:

6х 2 + х - 2 = 0.

Его корни:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Вывод: пр

Решение неравенств с одной переменной

1. Неравенство с модулем вида |f(x)| < a 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение простого неравенства с модулем вида |f(x)| < a.
2. Неравенство с модулем вида |f(x)| < 0 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)| < 0.
3. Иррациональное неравенство (линейное), справа — отрицательное число 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Решение простого иррационального неравенства.
4. Иррациональное неравенство (линейное) 2 вид - интерпретация лёгкое 2 Б. Решение простого иррационального неравенства.
5. Неравенство с модулем (квадратное неравенство) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Решение неравенства с модулем (квадратного неравенства).
6. Решение логарифмического неравенства 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. При решении логарифмического неравенства составляется система неравенств, равносильная заданному неравенству.
7. Решение системы линейных неравенств 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. В предложенной системе неравенств выполняются равносильные преобразования: раскрытие скобок с применением формул сокращённого умножения, перенос слагаемых из одной части неравенства в другую, приведение подобных слагаемых. В результате таких преобразований получается система линейных неравенств.
8. Решение совокупности неравенств 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Решается совокупность неравенств, одно из которых квадратичное, другое — линейное.
9. Решение неравенства путём введения новой переменной 3 вид - анализ сложное 3 Б. Предлагается решить неравенство (тригонометрическое или логарифмическое) путём введения новой переменной. В ходе решения решается квадратное неравенство.
10. Выбор неравенства по рисунку 3 вид - анализ сложное 4 Б. Предлагается выбрать неравенство, используя рисунок, на котором изображены графики функций, расположенные в правой и левой части неравенства, а затем предлагается выбрать решение неравенства.
11. Неравенство с модулем вида |f(x)| ≥ g(x) 2 вид - интерпретация сложное 5 Б. Решение (обоснование) неравенства с модулем вида |f(x)| ≥ g(x), использование формулы квадрата суммы или разности.
12. Неравенство с модулем вида |f(x)| > a (дробное) 2 вид - интерпретация сложное 6 Б. Решение неравенства с модулем вида |f(x)| > a (дробного неравенства).
13. Иррациональное неравенство (метод интервалов) 2 вид - интерпретация сложное 2 Б. В решении иррационального неравенства используется метод интервалов.
14. Иррациональное неравенство (справа переменная) 2 вид - интерпретация сложное 2 Б. Решение иррационального неравенства.

Примеры решения неравенств с модулем

Примеры решения неравенств с модулем
Пример 5. Решить неравенство \left
Решение.
1 способ. Исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем:

\left\{\begin{matrix} 2x-4\geq 0,\\ 2x-4<x-1; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4<0,\\ -(2x-4)<x-1. \end{matrix}\right.

Из первой системы получаем 2\leq x<3 из второй системы — \frac{5}{3}\leq x<2. Искомое решение будет объединением решений первой и второй систем, т. е.  x\in \left ( \frac{5}{3};2 \right ) \bigcup \left [ 2;3 \right )\Leftrightarrow x\in \left ( \frac{5}{3};3 \right ).
2 способ.

\left

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4>-x+1,\\ 2x-4<x-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x>5,\\ x<3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{5}{3},\\ x<3. \end{matrix}\right.

Ответ:  x\in \left ( \frac{5}{3};3 \right ).
Пример 6. Решить неравенство x^{2}>\left
Решение. Поскольку  \left то исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

a)\; \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x^{2}>5x+6; \end{matrix}\right.\; \; b)\; \left\{\begin{matrix} x<-\frac{6}{5},\\ x^{2}>-5x-6. \end{matrix}\right.


Решим эти две системы неравенств а) и b):

a)\; \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x^{2}-5x-6>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x<-1;\: x>6; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -\frac{6}{5}\leq x<-1;\; x>6.

a)\; \left\{\begin{matrix} x< -\frac{6}{5},\\ x^{2}+5x+6>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -\frac{6}{5},\\ x<-3;\: x>-2; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x<-3;\; -2<x<-\frac{6}{5}.

Объединяя решения, полученные для систем а) и b), получаем окончательный ответ.
Ответ:  x\in (-\infty ;-3)\bigcup \left [ -\frac{6}{5};-1 \right )\bigcup \left ( 6;+\infty \right )=(-\infty ;-3)\bigcup (-2;-1)\bigcup (6;+\infty ).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *