Объем шара части шара – Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Стереометрия

сфера шар шаровой слой сферический слой шаровой пояс сферический пояс основания высота сферический сегмент шаровой сегмент шаровой сектор площадь сферического сегмента площадь сферического пояса площадь сферы объем шара объем шарового сектора объем шарового слоя объем шарового сегмента

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

сфера шар
сфера шар

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O   и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O   и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями   (рис. 2).

сферический пояс шаровой пояссферический пояс шаровой пояссферический пояс шаровой пояс

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

сферический сегментсферический сегмент
сферический сегмент

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

сферический сегмент и сферический пояссферический сегмент и сферический пояссферический сегмент и сферический пояс

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого

обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

сфера и сферический пояссфера и сферический пояссфера и сферический пояс

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

шаровой секторшаровой сектор

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора. Видеоурок. Геометрия 11 Класс

Сколько чугуна нужно, чтобы отлить пушечное ядро? Что занимает больше места: арбузная корка или мякоть арбуза? Сколько воздуха поместится внутри воздушного шара? Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, необходимо уметь находить объем шара. Сделать это не так просто. Разбить его на «кубики», треугольные призмы или другие фигуры, как это делалось раньше, не получится. Можно вычислить объем шара с помощью определенного интеграла. Но как же тогда вычисляли объем, например, древние греки – при отсутствии определенных интегралов? Метод, придуманный Архимедом, был очень красив и по сути своей являлся предшественником метода доказательства через интеграл. Он доказал формулу объема шара понятийно, представив половину шара через конус и цилиндр, объемы которых уже известны.

Идея Архимеда была такова.

Замечание: формулы объемов цилиндра и конуса Архимед уже знал.

Рассмотрим весы и такую конструкцию. На левой чаше – цилиндр радиуса  и его высота . На правой чаше – конус радиуса  и высотой  (см. Рис. 1).

Исходная конструкция

Рис. 1. Исходная конструкция

Разобьем каждую из этих фигур на Исходная конструкция равных слоев (цилиндриков). Будем считать, что конус тоже составлен из цилиндриков. (радиус у них у всех – , а высота слоя – Исходная конструкция, все колечки из одного и того же материала). Справа находится конус, составленный также из цилиндриков, высота каждого из которых – Исходная конструкция, а радиус уменьшается от

 до Исходная конструкция на Исходная конструкция в арифметической прогрессии, а также из полушар радиуса  (см. Рис. 2).

Разбиение фигур на «цилиндрики»

Рис. 2. Разбиение фигур на «цилиндрики»

Докажем, что чаши уравновешены. Чтобы уравновесить чаши, необходимо добавить к каждому колечку конуса недостающее колечко так, чтобы суммарный их вес дал вес «цилиндрика» слева. Разумеется, можно приравнивать не массы, а объемы – в силу одинаковости материала. Но высоты у колечек одинаковы, значит, должны совпасть площади оснований.

У цилиндра площадь основания каждого колечка Разбиение фигур на «цилиндрики»

. У очередного слоя конуса – Разбиение фигур на «цилиндрики». Значит, на фигуру, стоящую правее от конуса, остается Разбиение фигур на «цилиндрики». Но если предположить, что справа находится «полушар», то радиус его сечения плоскостью, отстоящей от основания на Разбиение фигур на «цилиндрики» как раз и будет равен Разбиение фигур на «цилиндрики» (см. Рис. 3).

Полушар со своими измерениями

Рис. 3. Полушар со своими измерениями

Осталось устремить Исходная конструкция к нулю (что и дает, по сути, определенный интеграл).

Значит, объем полушара ищется как разность между объемами цилиндра и конуса.

Вычислим: Полушар со своими измерениями, откуда Полушар со своими измерениями. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим произвольную ось Полушар со своими измерениями, проходящую через центр шара – точку Полушар со своими измерениями

. Тогда объем шара можно найти по формуле:

Полушар со своими измерениями, где Полушар со своими измерениями – площадь сечения шара плоскостью, перпендикулярной оси Полушар со своими измерениями и проходящей через точку этой оси с абсциссой Полушар со своими измерениями. Почему именно от Полушар со своими измерениями до ? Потому что если ось проходит через центр, то точки пересечения оси с границей шара находятся на расстоянии  от начала координат: одна – в положительном направлении, а другая – в отрицательном (см. Рис. 4).

Ось  пересекает шар

Рис. 4. Ось Полушар со своими измерениями пересекает шар в точках Полушар со своими измерениями и

Найдем Полушар со своими измерениями. Пусть Ось  пересекает шар – точка с абсциссой Полушар со своими измерениями на оси. Рассмотрим такую точку Ось  пересекает шар, что она лежит на границе шара и при этом в плоскости сечения. В этом случае радиус сечения Ось  пересекает шар находится из треугольника Ось  пересекает шар по теореме Пифагора Ось  пересекает шар. А так как сечение – круг данного радиуса, то его площадь равна: Ось  пересекает шар (см. Рис. 5).

Радиус сечения  из треугольника

Рис. 5. Радиус сечения Ось  пересекает шар из треугольника Ось  пересекает шар

Тогда:

Радиус сечения  из треугольника

Радиус сечения  из треугольника

Предположим, что вы купили арбуз, имеющий форму шара. Арбуз этот состоит из мякоти (также в форме шара) и корки. При этом толщина корки в Радиус сечения  из треугольника раза меньше радиуса мякоти Радиус сечения  из треугольника. Какую часть от объема всего арбуза составляет объем мякоти Радиус сечения  из треугольника? (См. Рис. 3.)

Купленный арбуз

Рис. 6. Купленный арбуз

Решение. Пусть радиус (толщина) корки Купленный арбуз, тогда радиус мякоти Купленный арбуз, а радиус всего арбуза Купленный арбуз. (См. Рис. 4.)

Иллюстрация к условию

Рис. 7. Иллюстрация к условию

Имеем: объем мякоти Иллюстрация к условиюа объем арбуза Иллюстрация к условию, значит, их отношение Иллюстрация к условию.

Ответ: Иллюстрация к условию.

Шаровой сегмент в пространстве чем-то похож на круговой сегмент в плоскости. Вспомним, что такое круговой сегмент. Фигура, которая образовалась при отсечении проведенной в круге хордой, называется сегментом. Хорда рассекает круг на два сегмента (см. Рис. 8).

Два круговых сегмента – маленький и большой

Рис. 8. Два круговых сегмента – маленький и большой

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Не забывайте слово «шаровой»: хоть по контексту это обычно и понятно, но тем не менее сегмент – это плоская фигура. Соответственно, если проводить любую секущую плоскость, шар разбивается на два шаровых сегмента (см. Рис. 9).

Два шаровых сегмента – маленький и большой

Рис. 9. Два шаровых сегмента – маленький и большой

Круг в сечении – основание сегмента (см. Рис. 10).

Основание сегмента

Рис. 10. Основание сегмента

Отрезок Основание сегмента – высота сегмента (см. Рис. 11).

Высота сегмента

Рис. 11. Высота сегмента

Сегмент задают либо радиусом шара и высотой сегмента, либо радиусом основания и высотой сегмента.

Объем шарового сегмента выводится точно так же, как и объем шара.

Пусть дан шар радиуса Высота сегмента, от него отсекли сегмент высотой Высота сегмента. Рассмотрим ось Полушар со своими измерениями, проходящую через центр шара Полушар со своими измерениями и центр секущей плоскости Высота сегмента (см. Рис. 12).

Данный шар

Рис. 12. Данный шар

Тогда объем сегмента равен (подставляем уже выведенную формулу для Полушар со своими измерениями):

Данный шар

Данный шар

Данный шар.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (см. Рис. 13).

 Шаровой слой

Рис. 13. Шаровой слой

Объем шарового слоя находится по формуле: Шаровой слой.

Рассмотрим произвольную секущую плоскость данного шара, не проходящую через его центр. Она отсекает сегмент (рассмотрим тот из них, который не содержит центр шара, то есть меньший). Кроме того, рассмотрим конус, основанием которого будет сечение шара плоскостью, а вершиной – центр шара. Объединение конуса и сегмента называют шаровым сектором (см. Рис. 14).

Шаровой сектор

Рис. 14. Шаровой сектор

Объем шарового сектора находится как сумма объемов конуса и шарового сегмента Шаровой сектор

Пусть дан шар, в котором  Высота сегмента, Шаровой сектор, тогда Шаровой сектор и Шаровой сектор (по теореме Пифагора из треугольника Ось  пересекает шар) (см. Рис. 15).

Данный шар

Рис. 15. Данный шар

Имеем: Данный шар

Данный шар.

То есть Данный шар, где  – радиус шара и Исходная конструкция – высота сегмента.

Была выведена формула для нахождения объема шара Данный шар, были разобраны части шара – шаровой слой, шаровой сегмент, шаровой сектор – и были выведены формулы нахождения их объема: Шаровой слой , Данный шар, Данный шар.

 

Список литературы

  1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
  2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
  3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Bymath.net (Источник).
  2. Yaklass.ru (Источник).
  3. Sites.google.com (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. Шар пересечен плоскостью. Диаметр окружности сечения равен Данный шар см. Вычислите объем меньшего сегмента, если радиус шара равен Данный шар см.
  2. Два шара, радиусы которых Данный шар см и Данный шар см, имеют общий центр. Найдите объем тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.
  3. Радиус шара равен Данный шар см. Найдите объем шарового сектора этого шара, если дуга в его осевом сечении содержит Данный шар.

interneturok.ru

Шар и его части. Объем, площадь поверхности. |

Рассмотрим понятие таких геометрических тел как шар и его части:

  • шаровой сегмент;
  • шаровой сектор;
  • шаровой слой.

Также представим формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей шара и его частей.

Об элементах шара и понятии “сфера” будет опубликовано в отдельной статье.

Шар. 

Определение.

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

Sпов. = 4*π*R2 = π*D2 , где R –  радиус шара,   D – диаметр шара.

В школьной программе объем шара представлен одной формулой:

V = 4/3* π*R3 , где R –  радиус шара.

Учитывая, что диаметр шара вдвое больше радиуса шара, имеем формулу объема шара такую:

V = 1/6 * π* D3, где D – диаметр шара.

Но объем шара может быть задан и другими соотношениями . Опишем их ниже.

Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара:

V = 1/3 R*S, где R –  радиус шара.

А вот теорема Архимеда:

Объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара – в 1,5 раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

V = 2/3 * Vц., где Vц – объем цилиндра.

Sпов. = 2/3 * Sпов. ц. , где Sпов. ц. – полная поверхность цилиндра.

Части шара.

Шаровой сегмент.

Определение.

Шаровой сегмент – это  часть шара, отсекаемая от нее плоскостью.

Кривая поверхность шарового сегмента равна произведению его высоты на длину окружности большого круга шара:

Sсегм. = 2πR* h, где R –  радиус шара, h – высота сегмента.

Еще формула площади поверхности сегмента:

Sсегм. = π*(r2 + h2), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

V = π* h2 *(R – 1/3*h) = 1/6*π*h(h2 + 3r2), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.

Шаровой сектор.

Определение.

Шаровой сектор – часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара.

Согласно определению формула площади поверхности шарового сектора выглядит так:

Sшар. сектор = Sбок.конус. + Sшар. сегм.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезанная сектором часть шаровой поверхности (S), а высота равна радиусу шара (R):

V = 1/3*R*S = 2/3*π*R2*h, где h – высота шарового сегмента, принадлежащая шаровому сектору.

Шаровой слой.

Определение.

Часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями, называется шаровым слоем, а кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (или зоной).

Sшар. слоя = h*2πR , где R –  радиус шара, h – высота шарового слоя.

Объем шарового слоя:

V = 1/6 * π* h3 +  1/2 * π*(r12 + r22)*h, где r1, r2  – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.


repetitor-problem.net

Онлайн калькулятор: Сегмент шара

Сегмент шараСегмент шараСферический сегментСферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Формулы:
— площадь боковой поверхности
— площадь основания
— формула объема

PLANETCALC, Сегмент шара
Сегмент шара
Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

 

Площадь основания

 

Площадь поверхности

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Слой шараСлой шараСферический слойСферический слой

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Формулы:
— площадь боковой поверхности
— объем

PLANETCALC, Шаровой слой
Шаровой слой
Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

 

Площадь поверхности

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

planetcalc.ru

Решение задач на объем шара и его частей. Видеоурок. Геометрия 11 Класс

Рассмотрим решение различных задач на объем шара и его частей. Напомним формулу объема шара:


Рис. 1 Формулы объёмов шара и сегмента

, а также объема сегмента: . (См. Рис. 1.)

На самом деле формулу объема сегмента помнить не обязательно, т. к. ее можно выводить с помощью интеграла, если вы помните.

Диаметр Луны составляет приблизительно четверть диаметра Земли. Какую часть объема Земли составляет объем Луны, если считать их шарами? (См. Рис. 2.)

Рис. 2 Земля и Луна

Решение. Раз диаметры отличаются в  раза, то и радиусы в  раза, то есть  (см. Рис. 3).

Рис. 3 Радиусы

Мы увидели, что если измерения некоторой фигуры изменить в  раз, то объем данной фигуры изменится в  раз. В данном случае измерение увеличили в  раза, значит, объем увеличился в  раза.

Ответ: .

Во сколько раз увеличится масса металлического шарика, если увеличить его радиус в два раза? Предполагается, что оба шарика сплошные и состоят из одинакового материала.

Рис. 4 Иллюстрация к задаче 2

Решение

По определению , тогда .

Раз материалы одинаковые (плотности шаров равны), то . При этом , а тогда по формуле . То есть , а значит, и массы отличаются в  раз.

Ответ: в  раз.

Важное следствие: если измерения фигур изменить в  раз, то не только объем, а и масса данной фигуры изменится в  раз при условии, что объекты однородны и состоят из одного и того же самого материала.

 

Рис. 5 Три сплошных металлических шарика и полученный новый
Радиусы трех сплошных металлических шариков равны ,  и  см соответственно. Эти шарики расплавили и из получившегося металла отлили новый сплошной шар. Чему будет равен его радиус? (См. Рис. 5.)

Решение. Раз масса не изменилась, а плотность одинаковая, то . Сокращаем на  и получаем, что объем нового шара будет равен сумме объемов исходных. Имеем: 

Сократим на :

 cм.

Ответ:  см.

Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания  м и высотой  см? (См. Рис. 6.)

Рис. 6 Шаровой сегмент

Решение

  м,  см  м. Как мы знаем, по формуле:

.

 

Рис. 7 Иллюстрация к обозначению переменных
Найдем радиус шара. Пусть он равен . Тогда имеем прямоугольный треугольник  ( – центр шара,  – центр сечения,  – точка на границе сечения), , ; . (См. Рис. 7.)

По теореме Пифагора:

м.

Осталось подставить это в формулу:

.

Ответ:.

Найти радиус шара, если известно, что его объем равен объему цилиндра с осевым сечением, имеющим форму квадрата со стороной .

Рис. 8 Иллюстрация условия задачи 5

Решение. Рассмотрим цилиндр из условия.
, . Значит,
(см. Рис. 9).

Рис. 9 Цилиндр из условия

С другой стороны, .

Приравнивая, имеем:

Ответ: .

Сегодня мы решили ряд задач, которые используют формулы объема шара и объем сегмента, увидели, как эти формулы работают на практике, и выяснили связь между объемом и массой.

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт fxyz.ru (Источник)

2. Интернет-сайт math34.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Математика? Легко!» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Шар радиуса  пересечен плоскостью на расстоянии  от центра. Найдите площадь сечения.

2. Металлический шар радиуса  переплавили в конус, высота которого – . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.

3. Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

interneturok.ru

Урок 14. объем шара и его частей - Геометрия - 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Доказательство теорем об объемах шара и его частей и площади сферы
  • Определение частей шара
  • Решение задач на нахождение объемов шара, его частей и площади сферы

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

 Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

 Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Площадь сферы равна S=4 πR2.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения. 

Решение:

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения - шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2. 
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³. 

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение:

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h - высота сегмента. В нашем случае  R=H+h, где Н - высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π

 

№3.По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью  и  см2. Расстояние между сечениями равно  см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен  (см), радиус второго основания равен  (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

resh.edu.ru

Объем шара и его частей. Площадь сферы.

МКОУ «Погорельская СОШ»

МКОУ «Погорельская СОШ»

Формулы  ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА  ОБЪЕМ КОНУСА ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА ОБЪЕМ ШАРА  V=πR 2 H V=1/3 ∏ R 2 H V=1/3∏H(R2+r2+Rr ) V=4/3 ∙ ∏R 3

Формулы

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

ОБЪЕМ КОНУСА

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

ОБЪЕМ ШАРА

V=πR 2 H

V=1/3 ∏ R 2 H

V=1/3∏H(R2+r2+Rr )

V=4/3 ∙ ∏R 3

Формулы для вычисления объема:  шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы Площадь сферы равна: S = 4 π R 2  , где R – это радиус сферы Объем шара равен: V = 1 ⅓ π R 3  =  4/3 π R 3  где  R – это радиус шара  Объем шарового сегмента равен: V = π h 2 ( R  - ⅓ h) ,  где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента  Объем шарового слоя равен: V = V 1 – V 2  ,  где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента  Объем шарового сектора равен: V = ⅔ π R 2 h  , где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента

Формулы для вычисления объема: шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы

  • Площадь сферы равна:

S = 4 π R 2 ,

где R – это радиус сферы

  • Объем шара равен:

V = 1 π R 3 = 4/3 π R 3

где R – это радиус шара

  • Объем шарового сегмента равен:

V = π h 2 ( R - h) ,

где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента

  • Объем шарового слоя равен:

V = V 1 – V 2 ,

где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента

  • Объем шарового сектора равен:

V = π R 2 h ,

где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента

Теоретический диктант Вариант 1 Вписать в текст недостающие по смыслу слова . Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра , опущенного из центра шара на секущую плоскость. 2. Центр шара является его ………………….……. симметрии. 3. Осевое сечение шара есть …………………………. 4. Линии пересечения двух сфер есть………………… 5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………...кругам. 6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу , причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды. основание центром круг окружность равным высоте

Теоретический диктант

Вариант 1

Вписать в текст недостающие по смыслу слова .

  • Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра , опущенного из центра шара на секущую плоскость.

2. Центр шара является его ………………….……. симметрии.

3. Осевое сечение шара есть ………………………….

4. Линии пересечения двух сфер есть…………………

5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………...кругам.

6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу , причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды.

основание

центром

круг

окружность

равным

высоте

Теоретический диктант Вариант 2 Вписать в текст недостающие по смыслу слова.  Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии. 2. Осевое сечение сферы есть……………….. 3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды. 4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости. 5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку ……………………. 6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды. плоскостью окружность высоте перпендикулярен касания высоте

Теоретический диктант

Вариант 2

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

  • Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

плоскостью

окружность

высоте

перпендикулярен

касания

высоте

Карточка №1 Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара ? 288 П см³ Карточка №2 Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара ? 5 / 16 Карточка №3 Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см ? 0,028

Карточка №1

Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара ?

288 П см³

Карточка №2

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара ?

5 / 16

Карточка №3

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см ?

0,028

Задача №1 Объем шара радиуса R равен V . Найдите : объем шара радиуса : а) 2 R б) 0,5 R Задача №2 Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.

Задача №1

Объем шара радиуса R равен V . Найдите : объем шара радиуса : а) 2 R б) 0,5 R

Задача №2

Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.

 БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:   Сколько сфер можно провести: а) через одну и ту же окружность; б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?   2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами: а) квадрата; б) равнобедренной трапеции; в) ромба?  3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?  4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?  5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса? бесконечно одну бесконечно бесконечно Ни одной Нет Диаметрально противоположные Иметь общий центр

БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:

  • Сколько сфер можно провести:

а) через одну и ту же окружность;

б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?

2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:

а) квадрата;

б) равнобедренной трапеции;

в) ромба?

3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?

4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?

5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

бесконечно

одну

бесконечно

бесконечно

Ни одной

Нет

Диаметрально противоположные

Иметь общий центр

Теоретический диктант Вариант 2 Вписать в текст недостающие по смыслу слова.  Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии. 2. Осевое сечение сферы есть……………….. 3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды. 4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости. 5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку ……………………. 6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды. плоскостью окружность высоте перпендикулярен касания высоте

Теоретический диктант

Вариант 2

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

  • Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

плоскостью

окружность

высоте

перпендикулярен

касания

высоте

Тестовая самостоятельная работа ур.52 Уровень1 Вариант 1 1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности. 2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой. Уровень 1 Вариант 2 1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара. 2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень1 Вариант 1

1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.

Уровень 1 Вариант 2

1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара.

2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52 Уровень2 Вариант 1 1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности. 2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой. Уровень2 Вариант 2 1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности. 2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень2 Вариант 1

1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой.

Уровень2 Вариант 2

1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.

Самостоятельная работа Вариант 2 Диаметр шара ½  дм. Вычислите объём шара и площадь сферы. 2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче? Вариант 1 Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы. 2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Самостоятельная работа

Вариант 2

  • Диаметр шара ½ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Вариант 1

  • Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей. Решить задачи : Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей. Решить задачи : № 1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар. № 2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения. № 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара. № 1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара. № 2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения. № 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

  • Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
  • Решить задачи :
  • Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
  • Решить задачи :

1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара.

2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей. Решить задачи : Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей. Решить задачи : № 1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар. № 2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения. № 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара. № 1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара. № 2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения. № 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.     113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: шар; S=64π см² Найти : R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см. Найти: Vшарового сегмента. Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π. Ответ: 58500π. "

Решение задач с самопроверкой.

Дано: шар; V=113,04 см³,

Найти: R, S.

Решение: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Ответ: 3,36π.

Дано: шар; S=64π см²

Найти : R, V

Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Ответ: 4,256π/3.

3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см.

Найти: Vшарового сегмента.

Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Ответ: 58500π.

Рефлексия Отрази свое настроение смайликом. Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.

Рефлексия

Отрази свое настроение смайликом.

Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.

 Домашнее задание  Домашнее задание Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755 Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755 Литература и интернет ресурсы Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л.С., 2008 год Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс

Домашнее задание

  • Домашнее задание

Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

  • Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

Литература и интернет ресурсы

Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л.С., 2008 год

Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс

multiurok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск