Обобщение понятия о показателе степени

Вопросы занятия:

·  обобщить случаи, когда показатель степени – рациональное или целое число;

·  ввести понятие «иррациональных уравнений».

Материал урока

На сегодняшнем уроке мы постараемся объединить все, что мы знаем о показателе степени, вспомним все свойства степеней в зависимости от показателя.

Прежде всего, давайте вспомним, что такое степень.

Определение.

Степень с натуральным показателем – произведение n множителей, каждый из которых равен а.

В записи aⁿ: а – это основание степени, n – это показатель степени.

Напомним, что:

Все это мы изучали с вами раньше. А теперь давайте рассмотрим степень, показателем которой является не натуральное, а рациональное число.

Определение.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m – это целое число, а n – натуральное. То есть на сегодняшнем уроке мы познакомимся с:

Запишем определение.

Определение.

Почему ввели ограничение q ≠ 1? Потому что при q

= 1 показатель степени становится целым числом. А все свойства таких степеней мы уже рассматривали раньше.

Запишем несколько степеней и преобразуем их в радикалы.

При таком определении степени с рациональным показателем сохраняются все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей:

Используя свойства таких степеней, становится проще делать некоторые преобразования радикалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Давайте теперь рассмотрим степень с рациональным показателем в случае отрицательного показателя.

Например:

Для таких степеней справедливы те же свойства, что и для степеней с положительным рациональным показателем.

Давайте запишем их ещё раз:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Определение.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводиться в дробную степень, называют иррациональными.

С такими уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 8 класса. Напомним основные методы решения иррациональных уравнений.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Метод введения новых переменных.

Функционально-графический метод.

Более подробно иррациональные уравнения и методы их решения мы рассмотрим позднее.

videouroki.net

Обобщение понятия степени. 11-й класс

Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь.
Из Владимира Мономаха.

Цели урока:

• Образовательная
  • систематизировать знания по пройденной теме;
  • проверить уровень изученного материала;
  • применить теоретический материал для решения задач.
• Воспитательная
  • воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;
  • воспитывать культуру речи, аккуратность, внимание.
• Развивающие
  • развивать мыслительную деятельность учащихся;
  • прививать интерес к предмету;
  • развивать любознательность.

Урок повторения и обобщения материала.

Оборудование урока: кодоскоп таблицы.

Оформление урока: на доске тема урока, эпиграф.

Подготовка к уроку: за несколько дней на стенде вывешены вопросы для повторения.

• Определение степени с целым показателем
• Свойства степени с целым показателем.
• Определение степени с дробным показателем.
• Определение степени с дробным отрицательным показателем.
• Определение степени с любым показателем.
• Свойства степени с любым показателем.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Домашнее задание. № 1241, 1242, 1244а, 1245б.

3. Контроль домашнего задания.

Проводим взаимопроверку. Через кодоскоп показываю решения домашнего задания.

№1225б, в; 1227 а, в; 1229а,в;1232в,г;1233г.

Решение домашней работы.

№1225

Б) 2^1,3 * 2^-0,7* 4^0,7= 2^0,6 * (2²)^0,7=2^0,6 * 2^1,4= 2² =4.

В) 49^-2\3 * 7^1\12 * 7^-3\4 = (7²)^-2\3 * 7^1\12 * 7^-3\4= 7^{-4\3 \+1\12 -3\4}= 7^{(-16 +1- 9)\12}= 7^-24\12= 7^-2= 1\49.

№1227

А) (27 * 64)^1\3= 27^1\3 * 64^1\3= (3³)^1\3 * (4³)^1\3= 3 * 4= 12.

В) (1\36 * 0,04)^-1\2= (6^-2 * (0,2)²)^-1\2= (6^-2)^-1\2 * ((0,2)²)^-1\2= 6 * 0,2^-1= 6 * 10\2=30.

№1229

А) = = х^1-3\5

= х^2\5.

В) = = = с^{8\3 -2\3} = с².

№1232

В) (d^1\2 -1) * (d^1\2 +1)= d -1

Г) (p^1\3 — q^1\3) * (p^1\3 +(pq)^1\3 + q^2\3) = p- q.

№1233

Г) = = .

Рефлексия. Определяем количество ошибок.

4. Ориентация в изучаемом материале.

Ребята, какую тему мы изучали в течение нескольких последних уроков?

5. Мотивация. Сегодня мы проведём урок повторения и обобщения знаний по теме «Обобщение понятия степени». Ребята, обратите внимание на задания, которые мы будем решать на уроке, подобные им могут встречаться в контрольной работе, опросе.

6. Какими свойствами степеней вы пользовались при выполнении домашней работы? Вспомним теорию.

Дополните предложения:

1. Степень с целочисленным показателем это — :произведение n одинаковых множителей
2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями:показатели складываются
3. При делении степеней с одинаковыми основаниями :показатели вычитаются
4. Степень степени равна:произведению показателей
5. Степень числа а, не равного нулю с нулевым показателем равна :1
6. Степень произведения равна :произведению степеней
7. Степень дроби равна :дроби степеней
8. Степень с дробным показателем m\n есть:
9. Степень с любым показателем p\q есть:

Молодцы.

7. Теоретически вы подковались, а теперь осталось проверить практическую часть.

Световой диктант.

(За закрытой доской 2 ученика.) Ребята выполняют задание через копирку, потом проверяем. Кодоскоп.

8. А теперь послушаем кусочек истории. Историческая справка.

Представьте себе, что вы попали в Алмазный Фонд нашей страны. И вам побольше хотелось бы узнать об алмазах. Вот этим и займёмся на уроке.

Задание 1.

Выполните вычисления. Запишите в таблицы буквы, связанные с найденными ответами.

Б 491\2= 7	Й 810,5= 9
Ы 321\5= 2	С 82\3= 4
Е 10001\3= 10	Н 00,2= 0
П 0, 00161\4= 0.2	Л 1-0,6= 1
И 16— 1\2 = 0,25	З 16 -0,25= 0,5
О (8\27)1\3 = 2\3	Д 163\4= 8
М ( 5 )0,25 = 1.5	А 251,5=125

Название

125	1	1, 5	125	0, 5
А	Л	М	А	З

произошло от греческого слова

125	8	125	1,5	125	4
А	Д	А	М	А	С

что в переводе означает

0	10	0.2	2\3	7	10	8	0.25	1, 5	2	9
Н	Е	П	О	Б	Е	Д	И	М	Ы	Й

и отражает одно из его главных свойств - наивысшую твёрдость.

Задание 2.

Среди выражений, записанных в таблице, найдите и вычеркните те, которые не имеют смысла. Для остальных выражений найдите равные по значению числа, записанные на рисунках алмазов. Заполните свободные части таблицы числами и буквами.

1. (-121)^1\2i
2. -121^1\2b
3. 121^-1\2r
4. (-32)^-1\5
5. -32^-1\5i
6. (2\3)^—
7. (-2\3)⁰
8. 1^-2\3l
9. 1^-2\3l
10. (2\3)^-1 а
11. (- )^1\2
12. (- )²n
13. 0^3\4t
14. 0^-2\3

Французское слово __brilliant_______________ ( в русском написании __бриллиант______________________) в переводе означает «блестящий» и используется для обозначения алмазов, подвергнутых огранке и полировке. Такая обработка позволяет получить мистический блеск и великолепную игру света.

Задание 3.

А) Заполните таблицу

Б) На рисунке показана совершенная бриллиантовая огранка, имеющая форму многогранника с 57 гранями. Эта оптимальная форма и размеры были получены в ХХ веке, благодаря развитию геометрической оптики.

Узнайте, как называются отдельные части такого бриллианта. Используя информацию из таблицы и рисунок:

(-;0)

площадка

 

[0;+)

коронка

 

(-;0) (0; +)

павильон

Задание 4.

А) Упростите выражения:

• «Кохинор» х:х^2\3 =х^1\3
• «Орлов» х^1\5 : х^0,3 = х^-0,1
• «Шах» ( х ^2\3)^0,75 = х^1\2
• Виктория а^3\5 : а = а^-2\5
• Грибоедов А.С. а ^1\4 — а ^{0, 25}= 0
• Екатерина 2 а ^1\2 * а ^0,3 : а ^4\5 =1
• Великобритания у ^0,6 * у^2\3 : у ^3\5 =у^-0,5
• Индия (у ^3\4)¹ * у ^0,5 = у^1,5
• Персия (у ² : у ^0,5)^2\3 = у
• Россия у ² : ( у ^{0, 5})^2\3 = у^5\3

Б) Найдите значения выражений

• m₁ 25 ^{1, 5} : 25 ² = 0,2
• m₂ 125 ^2\3 + 81 ^3\4 + 1^-1\5= 53
• m₃ 27^{1 1\3}+ 4 ^3\4 * 8^0,6 = 89
• m₄ 100¹ : 10 + 27 ^2\3 = 109
• m₅ 10 ^1,5 * 10 ^1\2 * 8 ^2\3 = 400

в) Используя найденные ответы, заполните пропуски в тексте. Слова пишите в нужных падежах.

Масса драгоценных камней измеряется каратами.: 1 карат = m₁0,2 г.

Алмазы, имеющие массу более m₂53 карат, получают собственные имена.

Наиболее крупные драгоценные камни хранятся в Алмазном фонде страны, расположенном в Московском Кремле.

Одним из самых знаменитых бриллиантов является алмаз

Имеющий массу около m₃89 карат. Он был найден в

Затем попал в

А в 1829 году был привезён в

В качестве выкупа за смерть

0	Грибоедова А.С.

В Алмазном фонде хранится ещё один знаменитый бриллиант, называемый ныне

Он также был найден в

В 17 веке и имел до огранки массу около m₅400 карат. После огранки бриллиант получил имя

— «море света». Алмаз неоднократно похищался, попадал в различные страны и к разным правителям.

В 1773 году его приобрёл фаворит

Граф Григорий Орлов в дар императрице. Имя алмаза было заменено на

Бриллиант был вставлен в Российский державный скипетр.

Задание 5.

А) Упростите выражения

• У ( х^1\2 + у^1\2) * (х^1\2 — у^1\2) = х -у
• А (х^1\2 — у^1\2)² + 2х^1\2у^1\2 = х + у
• И = х^1\2
• Н = х^1\2 + у^1\2
• К = х^1\3 — у^1\3
• Л = х^1\3 + у^1\3

Б) Выполните вычисления

1000^2\3 * 125^1\3 + (1\8)^-4\3 + 16^0,25 * 49^0.5 = 530

В) Заполните пропуски в тексте:

Долгое время основным местом добычи алмазов была Индия, а в начале ХХ века были открыты месторождения в Южной Африке. Там в 1905 году на одном из приисков был найден крупнейший алмаз, масса которого составляла 3106 карат. Он был назван именем хозяина прииска.

Куллинан 11 — вторая по величине часть, полученная при гранении алмаза, украсил корону королевы Виктории.

При огранке этот алмаз был рассечён на 9 частей. Наибольшая часть, имеющая массу 530 карат, была названа «Звезда Африки». Этот бриллиант, имеющий 74 грани, стал украшать британский державный скипетр.

Подводим итог урока.

1. Какую цель ставили в начале урока?
2. Достигли ли цели урока?
3. Что нового узнали на уроке?
4. Ставим оценки за урок.

Спасибо за урок.

urok.1sept.ru

План-конспект урока по алгебре (11 класс): Конспект открытого урока алгебры в 11 классе по теме: Обобщение понятия о показателе степени

Конспект

открытого урока по алгебре и началам анализа в 11 классе

по теме: Обобщение понятия о показателе степени

17.10.2018

Тип урока: урок рефлексии (повторительно-обобщающий урок)

Вид урока:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Урок — практикум, с применением ИКТ.

Оборудование урока,  средства обучения: компьютер, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, опорные  сигнальные схемы, презентация.                                                                           

Цели урока (слайд 2):

Обучающие:

1. Повторить и обобщить знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”.  
2. Актуализировать опорные знания учащихся.  
3. Проконтролировать уровень усвоения материала.
4. Ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся.
5. Формировать навыки самоконтроля учащихся.

Развивающие:

6.  Развивать познавательную активность учащихся.
7. Развивать умение применять знания на практике.

Воспитывающие:

8. Воспитывать заинтересованность каждого ученика в работе,  сознательный  интерес к предмету, к истории математики.

План урока.

1. Сообщение темы и цели урока (2 мин.).
2. Актуализация знаний с опорой на сигнальную схему (5 мин.).
3.  Устная работа «Математическая разминка» (5 мин.).  
4. Исторический момент. Решение уравнений с использованием свойств степени (8 мин.).
5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробным показателем.               (5 мин).
6. Самостоятельная работа на основе заданий из ЕГЭ (10 мин).
7. Задание на дом, комментирование (2 мин.).
8. Подведение итогов урока. (3 мин.).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент. Сообщение целей  урока.

Учитель: 

Мы закончили изучение главы “Степени и корни” и сегодня повторим  и систематизируем те знания, которые были приобретены вами в результате изучения темы. Ваша задача  — показать, как вы усвоили изученный материал, и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач.

 На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок.

Оценочный лист

Ф/И/ учащегося__________________________________________

Задание	Актуализация знаний (повторение теории)	Математическая разминка (устная работа)	Исторический момент (решение уравнений с использованием свойств степени)	Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени	Проверь себя (с\р)	Итого	Оценка за урок
Кол-во баллов		—		—

II.  Актуализация знаний.

 Проверка знания учащимися основных понятий и правил,  умений объяснять их сущность, аргументировать свои суждения.

Ученикам предлагается на индивидуальных листах заполнить таблицу (4 минут).

Потом учащиеся выставляют себе отметки в оценочном листе, сравнив ответы с опорной сигнальной схемой (1минута).

Критерий оценивания: 2 верных ответа – 1 балл.

Предлагается заполнить таблицу индивидуально (слайд 3):

№ п/п	Вопрос	Ответ	Ограничения для:
1	Закончи определение: степенью числа а с рациональным показателем r = называется …….	Число	m- целое, а>0,   n- натуральное, m>1
2	Каким может быть число а в степени r	больше 0	а>0, r- рациональное
3	Чему равно: 0 в степени r?	0	r>0
4	Чему равно: 0 в степени r, где  r	не имеет смысла
5	Чему равно а в степени 0?	1
6	Запишите свойства степени с рациональным показателем.		а>0; b>0; n,m — рациональные

III. Устная работа  «Математическая разминка» (5 минут)

Учитель: Применим знание определения и свойств  степени с рациональным показателем, выполнив следующие задания устно.

1. Представить выражение х22 в виде произведения двух степеней с основанием х, если один из множителей равен:

(слайд 4)

 х2, х5,5, , х1,2, х0

2. Упростить:

(слайд 5)

а)   ;

б)  ;                                  

в) с 1,4 с -0,3 с 2,9.

 3. Вычислите:

(слайд 6)

 а) 4-2 :;                 б) 9-4 : 3-6 ;                         в) .  

4. Имеет ли смысл выражение:

(слайд 7)

 5;         (-2);        (-0,8);      0;       

IV. Исторический момент. (слайд 8) 5 минут

Задание. Решить уравнения и составить слово, используя дешифратор. Каждый учащийся получает индивидуальное задание.

Карточка № 1

1)   =4;          2)  ;           3)  ;             4) х-0,5 х1,5 = 1;        5) ; 

6) ;        7)  : а = .

Слово: 1234567 (Диофант)

Карточка № 2

1)   =4;        2) у-1= 3;      3) = 3;      4) ;            5) =2;

6)  : а = .

Cлово: 123456 (Декарт)

Карточка № 3

1) ;         2)  =2;       3) х-0,7 х3,7 = 8;

4)  : а = .;          5) .

Cлово: 123451 (Ньютон)

(слайд 9)

Дешифратор

Л	Т	Н	Р	Ш	О	Ь	И	Е	Ф	К	А	Д	Ю
	9	5	11	-2		20			1	3	8	64	2

Учащиеся выставляют себе отметки в оценочном листе, используя критерий оценивания «один неправильный ответ – минус один балл».

Историческая справка:   (учитель) 3 минуты

(слайд 10)

Диофант —  греческий учёный, живший в III веке, в своей книге «Арифметика» ввёл символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин.

Рене Декарт – жил во Франции,  в XVII в,  ввёл   современные обозначения степени (типа а4, а5).

Исаак Ньютон – английский математик (1643–1727), ввёл современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем.

V. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробным показателем. ( 5 минут)    (слайд 11)

Задание  № 37.19(в), № 37.21( г), № 37.24( г), стр.121 -122,  задачник для 10-11 класса под ред. А. Г. Мордкович.  Решение заданий у доски с объяснением, «сильными» учениками.

(слайд 12)

VI. Самостоятельная работа на основе заданий из ЕГЭ. (5 мин.)   

Вариант 1

1. Вычислить: по1 баллу

а) ;                         б) 2,1·102 + 3,8∙ 103.

2. Найти значение выражения: по 2 балла

а) ;                                         б) 4·24+3·23;

в) ;                    г) .

3. Решить уравнение: по 3 балла

а) х1/3 = 4;                    б) 2х1/6 — 11/3 =0.

4. Упростить выражение: 4 балла

(а + 3а1/2): (а1/2+3).

5. Найти значение выражения: 5 баллов

(у1/2 -2)-1 — (У1/2 +2)-1 , при у=18.  

Проверка (слайд 13)

Учащиеся проверяют самостоятельную работу, выставляют себе в оценочном листе баллы.

VII. Подведение итогов урока.  Выставление отметок за урок в оценочном листе, используя критерий оценивания.

 (слайд 14)

“5” – 21 и более баллов;

“4”– 20–17 баллов;

“3” – 16–10 баллов;

“2” – менее 10 баллов.

VIII. Задание на дом.

(слайд 15)

Тематический тест из материалов ЕГЭ, 2 варианта (база и профиль)

IX. Рефлексия

     (слайд 16)

Подошёл к концу наш урок. Давайте подведем итоги.

Выскажете мнение об уроке, вот фразы, с которых вы можете начать…

сегодня я узнал…  я научился…  меня получилось …     меня удивило…      я смог…     я выполнял задания…     было интересно…      я понял, что…   было трудно…      теперь я могу…       урок дал мне для жизни…

Учитель.

(слайд 17)

Ребята, на экране вы видите  высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра о математике  

“Математика – это музыка разума,

 Музыка – это математика чувств”.

Не правда ли,  романтично?

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы внесли очередной вклад в вашу  подготовку к ЕГЭ, обобщая понятие о показателе степени.

nsportal.ru

§3.1 Обобщение понятия степени. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Умножение степеней с одинаковым основанием Сложность: лёгкое	1
2.	Деление степеней с одинаковыми основаниями Сложность: лёгкое	2
3.	Возведение степени в степень Сложность: лёгкое	2
4.	Определение корня n — ой степени Сложность: лёгкое	1
5.	Степень с дробным показателем Сложность: лёгкое	3
6.	Степень с дробным показателем Сложность: лёгкое	1
7.	Выражения, которые имеют смысл Сложность: лёгкое	4
8.	Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь) Сложность: лёгкое	1
9.	Степень с дробным показателем (смешанное число) Сложность: лёгкое	2
10.	Степень с дробным показателем (десятичная дробь) Сложность: лёгкое	2
11.	Корень степени n из обыкновенной дроби Сложность: лёгкое	1
12.	Корень степени n из степени Сложность: лёгкое	1
13.	Степень с рациональным показателем Сложность: лёгкое	2
14.	Произведение степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	2
15.	Частное степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	1
16.	Возведение степени в степень (рациональные показатели) Сложность: лёгкое	1
17.	Частное степеней с рациональными показателями (дробь) Сложность: лёгкое	2
18.	Свойства степени с рациональным показателем (деление) Сложность: среднее	3
19.	Свойства степени с рациональным показателем (умножение) Сложность: среднее	5
20.	Свойства степени Сложность: среднее	3
21.	Степень с дробным показателем, показатель — неправильная дробь Сложность: среднее	1
22.	Значение степени с рациональным показателем Сложность: среднее	4
23.	Степень с целым показателем Сложность: среднее	6
24.	Произведение степени и корня Сложность: среднее	2,5
25.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
26.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби) Сложность: среднее	6
27.	Произведение в рациональной степени (степень и дробь) Сложность: среднее	6
28.	Сумма корней и степеней Сложность: среднее	4
29.	Свойства степеней с рациональными показателями (дробь) Сложность: среднее	4
30.	Произведение бинома на одночлен Сложность: среднее	5
31.	Квадрат бинома Сложность: среднее	4
32.	Произведение суммы и разности (степень и число) Сложность: среднее	3
33.	Сокращение дроби Сложность: среднее	4
34.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трехчлена Сложность: среднее	4
35.	Произведение в рациональной степени (число и степень) Сложность: среднее	6
36.	Произведение (бином и отрицательный одночлен) Сложность: среднее	5
37.	Произведение суммы и разности (степень и обыкновенная дробь) Сложность: среднее	3
38.	Сумма корней и квадрата бинома Сложность: среднее	4
39.	Значение дроби Сложность: среднее	4
40.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных Сложность: сложное	5
41.	Произведение суммы и разности двух степеней Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

Обобщение понятия о показателе степени – начальные сведения. Поурочные планы

На данном уроке мы обобщим понятие показателя степени и покажем, что в показателе степени может стоять любое рациональное число.

1. Определение и свойства степени с натуральным показателем

Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.

– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;

n штук

Кроме того, напомним, что:

и ;

Выражение не существует.

Основные свойства степеней:

1. ;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

2. ;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

3. ;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4. ;

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

5. ;

2. Основные числовые множества, числовой ряд

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Напомним основные числовые множества:

– натуральные числа;

– целые числа;

– рациональные числа;

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел

– действительные числа;

Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.

Рис. 1. Числовая ось

3. Степень с положительным рациональным показателем, примеры

Определение:

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число

Например:

Пример 1 – вычислить:

Пример 2 – вычислить:

Пример 3 – вычислить:

Пример 4 – представить в виде степени:

Пример 5 – представить в виде степени:

Пример 6 – представить в виде степени:

Пример 7 – представить в виде степени:

4. Степень с отрицательным рациональным показателем, примеры

Определение:

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .

Например:

       

Пример 8 – вычислить:

Пример 9 – вычислить:

Пример 10 – вычислить:

5. Типовые ошибки и важные факты

Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:

Ответ: не существует

Пояснение:

– выражение 1;

Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:

– выражение 2;

Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.

Запомним:

определено только при .

6. Типовые задачи на область определения функции

Пример 11 – построить графики функций:

График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения .

График второй функции по определению соответствует графику функции при .

Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

Пример 12 – найти область определения выражения:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Matematika. mpt. ru . Nado5.ru . Terver. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з)

3. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г)

dp-adilet.kz

Открытый урок «Обобщение понятия степени»

Цель урока:

1. Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков.
2. Актуализация опорных знаний в условиях сдачи ЕГЭ.
3. Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
4. Развитие умения сравнивать, обобщать.

План урока.

1. Формулировка цели урока (1 мин)
2. Устная работа “Верю – не верю!” (6 мин)
3. Решение серии примеров на сравнение выражений (12 мин)
4. Софизм (4–5 мин)
5. Решение примера на упрощение выражения (из ЕГЭ) с обсуждением наиболее “тонких” мест (15 мин)
6. Самостоятельная работа на основе демонстрационного варианта ЕГЭ (гр.А) (5 мин)
7. Задание на дом (на листочках)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814–1897) о математике “Математика – это музыка разума”. Не правда ли, как романтично?

Вопрос. А как вы думаете, как определил он музыку?

“Музыка – это математика чувств”.

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока – “Обобщение понятия степени”.

Основные свойства и определения мы уже с вами повторили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Верю – не верю!”

Ваша задача быстро (полагаясь на свою интуицию, она поможет при решении гр. А) ответить на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем пояснить свой ответ.

Приложение 2

2. Устная работа “Верю – не верю!”

1. Имеют смысл выражения:

а) б) в) с) д)

2. (да)

3. Уравнение имеет три корня

(нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

(нет) ()

3. Решение серии примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств :

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Получим

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

.

4. Софизм. Что ж, давайте переключимся на иную работу. Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е., где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

,

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3, получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.

Решение.

Ошибка в следующем.

Равенство (1) действительно справедливо при всех значениях х и потому является тождеством. Полученное из него равенство (2) справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2. так как знаменатели в левой и правой частях (2) обращаются при этом в нуль, и х не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также обращается в нуль. При х = 3 равенство (2) принимает вид , который не имеет смысла.

Соотношение же (4) получено из (3) именно при х = 3, что и привело к нелепому результату.

Ну, а теперь перенесёмся в 2004 год, когда в задании С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Решение.

Вопрос. При каких значениях х данное выражение имеет смысл?

Так как х – целое положительное число, то N,

 при .

Проверим, не обращается ли в 0 знаменатель при х = 7.

 при х = 7. Следовательно, x > 7.

Преобразуем выражение:

Пусть .

При положительна и возрастает

убывает

возрастает

возрастает

Найдём, при каких значениях х

Так как f(x) –возрастающая функция, то .

Найдём, какое из этих значений ближе лежит к 0,7, для чего сравним

 и

Так как , то значение f(26) лежит ближе к 0,7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр.А 2009 года.

Вы их видите как на доске, так и на листочках. Ваша задача – быстро решить и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и чисел перед вами. Правильно вычислив или упростив выражения в таблице, вы прочтёте то, что необходимо вам при сдаче ЕГЭ.

Приложение 1.

1 вариант – удача, знания,

2 вариант – уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели насколько широко понятие степени используется при сдаче ЕГЭ. Закрепить полученные навыки вы сможете, выполнив домашнюю работу.

7. Домашняя работа.

Обратите внимание на домашнюю работу, она поможет вам закрепить материал, который мы решали на уроке.

Домашняя работа по теме: “Обобщение понятия степени”, 11-й класс.

1. Какое из чисел больше или 50 !

2. Вычислить

3. Выбрать наименьшее из чисел

4. Пусть . Найти сумму .

5. При каком значение выражения

ближе всего к 73 ?

6. При каком целом положительном х значение выражения

ближе всего к (–0,7) ?

urok.1sept.ru

Методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему: Урок — деловая игра по теме «Обобщение понятия о показателе степени» 11 класс

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное учреждение  средняя общеобразовательная школа № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева г. Орла

Методическая разработка урока

«Обобщение понятия о показателе степени»

Урок — деловая игра «Покорение вершины»

Алгебра и начала анализа

11 класс

Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.:ил. (базовый)

Учитель математики : Морева Оксана Владимировна

 

 Аннотация работы: Одной из актуальных проблем современной методики преподавания в  школе является развитие мотивации обучающихся. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо. В сложившейся ситуации на помощь учителю приходят игровые технологии – современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игровые формы обучения на уроках математики дают возможность эффективной организации взаимодействия педагога и обучающихся. Даже самые пассивные учащиеся включаются в игру. Игровая деятельность мотивирует на обучение, в ходе игры каждый обучающийся получает возможность думать самостоятельно, развивать творческое мышление и решать разнообразные проблемы (то есть применять полученные знания в конкретной жизненной ситуации).

 

Технологическая карта урока

1	ФИО (полностью)		Морева Оксана Владимировна
2	Место работы		МБОУ – СОШ № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева  г. Орла
3	Должность		Учитель
4	Предмет		Алгебра и начала анализа
5	Класс		11  класс
6	Тема и номер урока в теме		Обобщение понятия о показателе степени (2 – ой урок)
7	Базовый учебник		Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.: ил. (базовый)
8	Цель  урока		Выработать умение выполнять преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем
9	Задачи	обучающие	Актуализация опорных знаний о степени с дробным показателем Отработка навыков преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем
		развивающие	Развитие: Операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений; Памяти и внимания; Умения применять полученные знания при решении задач.
		воспитательные	Формирование навыков групповой работы; Воспитание у обучающихся  самостоятельности и ответственности за себя и других членов коллектива; Воспитание умения критически и объективно оценивать свою работу и работу товарища.
10	Тип урока		Урок — деловая игра «Покорение вершины»
11	Формы работы учащихся		Фронтальная, индивидуальная, групповая
12	Необходимое техническое оборудование		Мультимедийный проектор и экран; Акустические колонки; Компьютеры.

План урока

1. Организационный момент (2-3 мин.)
2. Актуализация опорных знаний (5 мин.)
3. «Покорение вершин»  (30 мин.)

• Первая высота (самопроверка)
• Вторая высота (групповая работа)
• Третья высота (индивидуальная дифференцированная работа).

1. Подведение итогов (4 — 5 мин.)
2. Домашнее задание (2 – 3 мин.)
3. Рефлексия достижения цели ( 1 мин.)

Ход урока:

1. Организационный момент

Урок начинается с прослушивания  отрывка из песни В.В.Высоцкого «Лучше гор могут быть только горы»  ( слайд 2).

Учитель:  У каждого в жизни есть вершины, которые они стремятся покорить. Кто – то хочет стать врачом, кто – то спортсменом, а кто – то может хочет стать альпинистом. Ведь высота всегда манила людей. Вспомните Икара, ведь его мечтой было полететь к Солнцу. И он осуществил свою мечту. Сущность человека  состоит в том, чтобы  всегда добиваться намеченной цели.                      Эпиграфом к нашему уроку   подходят слова из прослушанной вами песни.

Как вечным огнем сверкает днем
Вершина изумрудным льдом,
Которую ты так и не покорил.

В.В.Высоцкий

Сегодня на уроке я приглашаю вас в экспедицию  на покорение горных вершин. Вам предстоит перевоплотиться  в спортсменов-альпинистов,  покоряющих вершину знаний под названием «Степень с дробным показателем» (слайд 3).

Деятельность обучающихся:   Обучающиеся записывают тему урока в рабочую тетрадь.

2. Актуализация опорных знаний

Учитель: Перед каждым из вас лежит карточка – счётчик,  в которую вы будете заносить свои успехи в  покорении горных вершин (приложение 1). Впишите в верхнюю строку свои фамилию и имя. В этой карточке вы будете фиксировать прохождение каждой высоты в баллах. В конце урока вы самостоятельно подсчитаете  набранные за урок баллы и   выясните: удалось ли вам покорить “горную высоту» или нет.

  Проверка снаряжения: “Что возьмем с собой в дорогу?” (слайд4).

Учитель: Как известно, экспедиции всегда предшествует тщательная подготовка, поэтому в начале,  я предлагаю вам проверить свою готовность к покорению горной вершины.

1) Продолжите фразу: Если  — обыкновенная дробь( q ≠1) и a ≥ 0, то под ap/q понимают…

2) Вычислите устно : 16¼  , 271/3   , 81¼  , 8-1/3   ,  (-144)½ (Задания можно заранее записать на доске или оформить в виде карточек)

 3) Продолжите следующие свойства  (Задания можно заранее записать на доске)

as  ∙ at = …

as  : at =  …

(as)t =  …

(ab)s =  …

()s = …

   4) Вычислите устно:         (Задание можно заранее записать на доске)  

Учитель:    Итак, снаряжение собрано. Мы отправляемся в горы на покорение горных вершин.   

3. Покорение вершин

 Первая высота “Снежная лавина”  (Самопроверка)

Учитель:  Любые горы насколько прекрасны, настолько и опасны. В горах альпинистов поджидает множество опасностей. Первое, с чем нам придётся столкнуться в горах – это снежная лавина (слайд 5). Чтобы выбраться из – под снежного завала, необходимо выполнить следующее задание.

Деятельность обучающихся:  Обучающиеся получает задание  на два варианта и самостоятельно выполняют его в рабочих тетрадях. (Каждый ученик получает своё задание на карточке). Два ученика  работают с обратной стороны доски. На выполнение задания отводится  5 – 7 минут.

Вариант 1

1. Вычислите:  161/2 + 27-1/3 + 813/4 -85/3
2. Упростите выражение: а) (32x-10)3/5;  б)

Вариант 2

1. Вычислите: 271/3 -25-1/2 +163/4 -274/3
2. Упростите выражение: а) (125х-6)-2/3; б) (a∙a-1/3)1/6∙a8/9

 По окончании работы обучающиеся, работавшие у доски, отворачивают доску.  Их работу проверяет учитель. Обучающиеся, работавшие в тетрадях, осуществляют самопроверку. То есть каждый ученик самостоятельно проверяет правильность выполнения своего задания, опираясь на решение на доске. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла. Набранные баллы за прохождение «Снежной лавины» записываются в карточку-счетчик.        

Физкультминутка.

Учитель:  Покорение горных вершин дело очень трудное. Все мы очень устали освобождаясь из – под снежного завала. Предлагаю сделать привал.

Упражнение «А ну, попробуй!»: 

Учитель предлагает  учащимся вытянуть вперед руку  раскрытой ладонью вверх. Прижмите к ладони большой палец. Остальные пальцы должны быть развернуты. А теперь прижмите мизинец. Получилось? Не тут-то было!

 Вторая высота “Ледовая трещина” (работа в группах)  

Учитель: Пока мы отдыхали, на нашем пути образовалась ледовая трещина (слайд 6). Знаете ли вы как альпинисты поступают в такой ситуации?

Примерные ответы обучающихся: Альпинисты помогают друг другу…  Чтобы поднять альпиниста из трещины  они бросают ему верёвку… Работают  в связке…. Одному выбраться очень трудно, нужна помощь друга…….

 Учитель: Из ваших ответов  следует, чтобы выбраться из ледовой трещины, нужно работать в команде. Вот и мы с вами следующее задание будем выполнять в группах.

Деятельность обучающихся:  Класс делится  на группы по 4 – 5 человек. Каждая группа получает карточку с заданиями, в решении которых допущены ошибки. Обучающиеся должны их  найти и исправить. На выполнение задания отводится  5 – 7 минут.

Карточка 1

Найдите ошибки

1. (1211/2 +1285/7-815/4)∙125-1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p2/3-q2/3)( p2/3+2p1/3 q1/3+ q2/3)

Карточка 2

Найдите ошибки

1. (a1/2+2b1/2)2 = a + 4b
2. 8-1/3∙161/3: = 2-1∙24/3:21/3 = 2-1+4/3+1/3 = 24/3 =

Карточка 3

Найдите ошибки

1. (x1/4+1) (x1/4-1)(x1/2-1) = (x1/4-1)2(x1/2-1) = (x1/2-1)(x1/2-1) = (x1/2-1)2
2. (-625)-1/4 = 6251/4 = 5

Карточка 4

Найдите ошибки

1. x-y = (x1/4 – y1/4) (x1/4 +y1/4)
2.  =   = 32,5 : 31,2 ∙ 30,5  = 31,8 = 39/5 =

     По окончании работы, обучающие сообщают учителю найденные и исправленные ими ошибки. Учитель проверяет правильность выполнения задания. За каждую исправленную ошибку начисляется 2 балла каждому члену группы. Набранные баллы за прохождение «Ледовой трещины» записываются в карточку-счетчик.

  Третья высота “Камнепад”  (индивидуальная дифференцированная работа).

Учитель: Не успели мы выбраться из  ледовой трещины, как на нас обрушился камнепад (слайд 7). Нужно расчистить завал. Все камни разные:   большие и маленькие.     Кто – то будет носить маленькие камни, а кто – то большие. Каждый выберет себе задание по силам.

Деятельность обучающихся:   Обучающиеся  получают на выбор дифференцированные  задания различного уровня сложности.  

           Те, кто выбрали «большие камни», получают задания повышенного уровня  на индивидуальных карточках. По результатам выполнения этого  задания они смогут заработать до 8 баллов. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла.

Вариант 1

Сократите дробь:

а) ;  b) ;  c) ;  d)

Вариант 2

Сократите дробь:

1. ;  b) ;  c) ;  d)

По окончании работы, учитель проверяет правильность выполнения задания.

 А те, кто выбрал «маленькие  камни», выполняют  задания  базового уровня   в виде   теста ( см. интерактивный тест  на диске или в приложении 2). По результатам выполнения этого  задания они могут заработать до 5 баллов.  

Набранные баллы за прохождение «Камнепада» записываются в карточку-счетчик.

4. Подведение итогов игры:   

 Учитель:  Дорогие «альпинисты»!  Давайте подсчитаем баллы, набранные вами по результатам трёх испытаний.

Деятельность обучающихся:   Обучающиеся подсчитывают набранные ими баллы и записывают из в графе «Общий результат».

Учитель:  Давайте подведём итоги (слайд 8). Если вы набрали  18-20 баллов, то вы покорили самую высокую вершину – молодцы (отметка отлично)! Если вы набрали 15 – 17 баллов – покорили  вторую высоту, хорошо (отметка хорошо). Если 11 — 14 баллов –вы пока одолели только первую высоту, это тоже неплохо (отметка удовлетворительно). Если вы набрали менее 11 баллов, то вы  остались у подножия вершины. Но не огорчайтесь! Вам еще раз нужно пройти подготовку и повторить восхождение, ваша вершина  у вас еще впереди!

Деятельность обучающихся:   Обучающиеся  согласно рейтингу   выставляют себе отметку за урок в графе «Отметка» и сдают свою карточку – счётчик учителю.

Учитель  (по своему усмотрению) переносит эти отметки в журнал.

5. Домашнее задание: § 37; № 37.28; № 37.30аг; № 37.39*б

№ 37.28. Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

№ 37.30аг. Упростите выражение: а) (1 + )2 — 2; г)  +  — ( + )2

№ 37.39*б. Упростите выражение: б) ( + )  

 

6. Рефлексия достижения цели:

Учитель: А теперь я попрошу вас продолжить одну или несколько фраз (слайд 9)

• было интересно…
• было трудно…
• я выполнял задания…
• у меня получилось …
• урок дал мне для жизни…

Деятельность обучающихся:   Обучающиеся по желанию продолжают одну или несколько фраз.

Учитель: Наш урок начался с песни, а закончить его я хочу стихами (слайд 10). Читает стихотворение.

Почетно стремление сердца к вершине,

Приятно на землю смотреть свысока.

Взошел… Ты герой, победитель отныне

И, кажется, мир поднебесный в руках.

Вершина – пустыня, лишь мудрые камни

Спокойно взирают сияние звёзд…

Для них ты никто, заблудившийся странник,

Иллюзии пленник, сомнительных грёз…

Вершина дает ощущенье полета,

Свободу от вечной мирской суеты,

Открыты к иному познанью ворота…

Волнительна зрелость ее чистоты…

Приложение к плану-конспекту урока  «Обобщение понятия о показателе степени»

Приложение  1.

Карточка – счётчик __________________________ (Фамилия, имя)

Высота	Баллы
1. Снежная лавина
2. Ледовая трещина
3. Камнепад
Общий результат
Отметка

Приложение  2.

Тест

Выберите один из предложенных ответов.

3. Упростите выражение: (1 – с1/2)(1 + с1/2)

• (1 – с1/2)2
• 1 – с
• 1 – 2с1/2 + с

1. Упростите выражение: (1 – а1/2)2

2. Разложите на множители: в3/4 – в1/2

• в3/4 (1 – в)
• в1/2 (в1/4 – 1)
• в1/2 (в1/2 – 1)
• разложить нельзя

3. Разложите на множители: а – в

• ав (а1/2 – в1/2)
• (а – в1/2)( а + в1/2)
• разложить нельзя
• (а1/2 – в1/2) (а1/2 +в1/2)

 

       Оценивание теста: 1 правильный ответ – 2 балла; 2 правильных ответа – 3 балла;   3 правильных ответа – 4 балла;  4 правильных ответа – 5 баллов.  

 

nsportal.ru