Обозначение прямой – , . — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 11.01.202027.12.2019 by alexxlab

Содержание

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

Имеем аксиому:

Определение 1

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак «∈». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a, тогда это имеет такую форму записи A∈a. В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A∉a.

Справедливо суждение:

Определение 2

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая АВ

zaochnik.com

Прямая линия — это… Что такое Прямая линия?

Прямая — одно из основных понятий геометрии.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
$y=kx+b,\;\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\,$ или $x\cos\theta+y\sin\theta-p=0\,$

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

$Ax+By+C=0,\,$

где A и B одновременно не равны нулю. При C = 0 прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке $\left(0,\,b\right)$ и образующая угол φ с положительным направлением оси Ox:

$y=kx+b,\;\;\;k=\operatorname{tg}\,\phi.$

Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.

Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке $\left(a,\,0\right)$

и ось Oy в точке $\left(0,\,b\right)$ :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\;\;\;\left(a\ne0,\;b\ne0\right).$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой:

$x\cos\theta+y\sin\theta-p=0,\,$

где p — длина перепендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра. Если p = 0, то прямая проходит через начало координат, а угол $\theta=\phi+\frac{\pi}{2}$

задаёт угол наклона прямой.

Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то отрезки a и b, отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k, расстояние прямой от начала координат p, cosθ и sinθ выражаются через коэффициенты A, B и C следующим образом:

$a=-\frac{C}{A},\;\;\;b=-\frac{C}{B},\;\;\;k=\operatorname{tg}\,\phi=-\frac{A}{B},\;\;\;\phi=\theta-\frac{\pi}{2},$

$p=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\;\;\;\cos\theta=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\;\;\;\sin\theta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.$

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p > 0. В этом случае cosθ и sinθ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если C = 0, то прямая проходит через начало координат и выбор положительного напрвления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовподающие точки $\left(x_1,y_1\right)$ и $\left(x_2,y_2\right)$

$\begin{vmatrix} x &amp; y &amp; 1 \\ x_1 &amp; y_1 &amp; 1 \\ x_2 &amp; y_2 &amp; 1 \end{vmatrix} = 0$

или

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

или в общем виде

$\left(y_1-y_2\right)x + \left(x_2 - x_1\right)y + \left(x_1y_2 - x_2y_1\right) = 0.$

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

$x = x_0 + a_xt,\;\;\;y = y_0 + a_yt,$

где t — производный параметр, при этом

$k = \frac{a_y}{a_x},\;\;\;a=\frac{a_yx_0 - a_xy_0}{a_y},\;\;\;b=\frac{a_xy_0 - a_yx_0}{a_x},$

$p=\frac{a_xy_0 - a_yx_0}{\pm\sqrt{a_x^2 + a_y^2}},\;\;\;\cos\theta=\frac{a_x}{\pm\sqrt{a_x^2 + a_y^2}},\;\;\;\sin\theta=\frac{a_y}{\pm\sqrt{a_x^2 + a_y^2}}.$

Уравнение прямой в полярных координатах ρ и φ:

$\rho\left(A\cos\phi + B\sin\phi\right) + C = 0$

или

$\rho\cos(\phi-\theta)=p.\,$

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

ξx + ηy = 1

Числа ξ и η называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

Пусть M(x₀,y₀,z₀) — точка, лежащая на прямой, и $\vec a(m, n, p)$ — вектор, ей коллинеарный. Тогда уравнение прямой имеет вид: $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

Взаимное расположение точек и прямых

Три точки $\left(x_1,y_1\right),$ $\left(x_2,y_2\right)$ и $\left(x_3,y_3\right)$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, если выполняется условие

$\begin{vmatrix} x_1 &amp; y_1 &amp; 1 \\ x_2 &amp; y_2 &amp; 1 \\ x_3 &amp; y_3 &amp; 1 \end{vmatrix} = 0.$

Отклонение точки $\left(x_1,y_1\right)$ от прямой Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле

$\delta = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},$

где знак перед радикалом противоположен знаку C. Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

Взаимное расположение нескольких прямых

Две прямые, заданные уравнениями

$A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;A_2x+B_2y+C_2=0$

или

$y=k_1x+b_1,\;\;\;y=k_2x+b_2$

пересекаются в точке

$x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},\;\;\;y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{k_2b_1-k_1b_2}{k_2-k_1}.$

Угол γ₁₂ между пересекающимися прямыми определяется формулой

$\operatorname{tg}\,\gamma_{12}=\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$

При этом под γ₁₂ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрамиA₁, B₁, C₁, k₁ и b₁) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A₁B₂ − A₂B₁ = 0 или k₁ = k₂, и перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0 или $k_1=-\frac{1}{k_2}.$

Любую прямую, паралельную A₁x + B₁y + C₁ = 0, можно выразить уравнением A₁x + B₁y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно

$\delta = \frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2}}.$

Если знак перед радикалом противоположен C₁, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

$A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;A_2x+B_2y+C_2=0,\;\;\;A_3x+B_3y+C_3=0$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

$\begin{vmatrix} A_1 &amp; B_1 &amp; C_1 \\ A_2 &amp; B_2 &amp; C_2 \\ A_3 &amp; B_3 &amp; C_3 \end{vmatrix} = 0.$

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dal.academic.ru

Отрезок и его обозначение. Концы отрезка

Отрезок – это часть прямой линии, ограниченная двумя точками. Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.

Проведём прямую и отметим на ней две точки A и B. Часть прямой между этими точками – это отрезок, а точки A и B – концы отрезка:

отрезок AB

Отрезок обозначается указанием его концов. Говорят или пишут: отрезок AB или отрезок BA.

Часто, при обозначении отрезков на прямой линии или просто для построения отдельного отрезка, вместо точек, обозначающих концы отрезка, ставят небольшие чёрточки:

обозначение концов отрезка чёрточками

Рассмотрим как с помощью обычной линейки можно построить отрезок более длинный, чем сама линейка. Приложим к листу бумаги линейку, отметим точки A и B и какую-нибудь точку C, лежащую между точками A и B:

обозначение концов отрезка чёрточками

Затем передвинем линейку вправо так, чтобы её левый конец оказался около точки C, и отметим точку D около правого конца линейки:

обозначение концов отрезка чёрточками

И так, точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Сначала проведём отрезок AB:

обозначение концов отрезка чёрточками

Затем проведём отрезок BD и получим в результате отрезок AD, более длинный, чем линейка:

построение отрезка, который длинее линейки

naobumium.info