3.1.4 Обратная функция. График обратной функции

Видеоурок 1: Обратные функции. Введение

Видеоурок 2: Обратные функции (Пример 1)

Видеоурок 3: Обратные функции (Пример 2)

Лекция: Обратная функция. График обратной функции

Рассмотрим некоторую функцию у = f(x), которая возрастает или же убывает, то есть является монотонной. Для нее будет иметься некоторая функция х = g(y), которая будет называться обратной функцией.

Что такое обратная функция?

Давайте рассмотрим некое уравнение: соs(х) = 1/2.

Решением данного уравнения будет: x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ϵ Z.

Косинус и арккосинус — это наглядный пример обратных функций.

Давайте рассмотрим обратные функции на примере.

Например, мы имеем функцию у = 3х + 2.

Для данной функции и область определения, и область значения может принимать все множество действительных чисел. Более того, данная функция является монотонно возрастающей на всем участке.

А теперь давайте из данной зависимости выразим «х». В результате этого получим:

х = у/3 — 2/3.

Полученная зависимость будет называться обратной функцией для той, что давалась изначально, только теперь мы получили зависимость «х» от «у».

Если записать второе уравнение в привычном нам виде, то есть заменить «х» на «у» и наоборот, получим:

у = х/3 — 2/3.

На графике изобразим первоначальную функцию, обратную ей, и функцию у = х.

Можно заметить, что обратные функции симметричны относительно прямой у = х.

Свойства взаимообратных функций

1.

2. Первое свойство дает понять, что область определения второй функции такая же, как и область значения первой.

3. Графики любых взаимообратных функций всегда будут симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

4. Обратные функции имеют одинаковую монотонность.

Графики основных обратных функций

1. Степенная функция

Ниже представлены графики, полученные для положительного показателя степени и для отрицательного показателя степени:

2. Обратные логарифмические функции и их графики:

Урок 9: Обратные функции — 100urokov.ru

План урока:

Взаимно обратные функции

Кубический корень

Корни n-ой степени

Арифметические корни n-ой степени

Свойства корня n-ой степени

Сравнение корней

 

Взаимно обратные функции

Напомним, что любая функция у = у(х) представляет собой некоторое правило, которое устанавливает соответствие между значениями х и значениями у. В частности, функция у = х² ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат. Приведем таблицу, содержащую значения этой функции для целых аргументов от – 2 до 2:

Но если есть соответствие между х и у, то должно существовать и обратное соответствие между у и х. Действительно, строки таблички можно «перевернуть» и она примет следующий вид:

Мы получили два взаимно обратных соответствия. Однако второе из них функцией не является, ведь функция должна ставить в соответствие своему аргументу только одно значение функции. Однако, судя по второй таблице, числу у = 1 соответствует сразу два х: х = – 1 и х = 1. В таком случае математики говорят, что исходная функция у = х² является необратимой.

Теперь изучим зависимость у = х³. Построим табличку и для неё:

Теперь «перевернем таблицу» и получим следующее:

Мы видим, что как каждому значению х соответствует единственное значение у, так и наоборот, каждому

у соответствует единственное значение х. В математике для подобных соответствий используют понятие взаимно-однозначное соответствие.

Для лучшего понимания этого определения отвлечемся от чисел. Пусть в футбольном чемпионате играет несколько команд. Они образуют множество Х команд-участниц соревнования. За множество У примем отдельных футболистов, выступающих на турнире. Каждому игроку соответствует единственная команда, за которую он выступает, но обратное неверно – каждой команде соответствует несколько игроков. Значит, это пример соответствия, не являющегося взаимно-однозначным.

Пусть тренеры команд образуют множество Z. Каждый тренер тренирует лишь одну команду, и наоборот, каждую команду тренирует единственный тренер. Значит, между множествами X и Z есть взаимно-однозначное соответствие.

Вернемся к функциям. Если соответствие, которое задает функция у = у(х), является взаимно-однозначным, то каждому значению

у будет соответствовать единственное значение х. Значит, существует некоторая функция х = х(у). Пары функций у = у(х) и х = х(у) называются взаимно обратными функциями.

Ещё раз скажем, что не для любой функции существует обратная функция, ведь не все они определяют взаимно-однозначное соответствие. Если всё же для у = у(х) есть обратная функция х = х(у), то у = у(х) называют обратимой функцией.

Покажем, какие функции являются обратными, на примере пары у = 4х + 12 и у = 0,25х – 3. Возьмем, например, значение х = 5 и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4х + 12 = 4•5 + 12 = 32

Получили 32. Подставим это число в обратную функцию:

у = 0,25х – 3 = 0,25•32 – 3 = 8 – 3 = 5

Получили именно то число, которое первоначально подставили в первую функцию! Возьмем другое произвольное число, например, 10, и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4•10 + 12 = 40 + 12 = 52

Полученный результат подставляем в у = 0,25х – 3:

у = 0,25•52 – 3 = 13 – 3 = 10

Снова получили исходное число! Выберете сами ещё несколько произвольных чисел и убедитесь, что и с ними будет происходить то же самое.

 

Посмотрим, как получить обратную функцию. Пусть дана зависимость

у = 5х + 20

Это, по сути, выражение для вычисления у. Выразим из него х:

у = 5х + 20

у – 20 = 5х

(у – 20)/5 = х

х = у/5 – 20/5

х = 0,2у – 4

Получили зависимость х от у. Чтобы мы получили из нее обратную функцию, необходимо просто поменять местами буквы х и у:

у = 0,2х – 4

Убедитесь самостоятельно на нескольких примерах, что полученная функция обратна функцииу = 5х + 20.

 

Пример. Найдите функцию, обратную зависимости у = 1/(х + 7).

Решение. Умножим обе части равенства у = 1/(х + 7) на (х + 7):

у(х + 7) = 1

Далее поделим обе части нау:

х + 7 = 1/у

Перенесем семерку вправо и получим формулу для вычисления х:

х = 1/у – 7

Для получения обратной функции просто меняем х и у местами:

у = 1/х – 7

Ответ: у = 1/х – 7.

 

Предположим, у нас есть у= у(х), чей график нам известен, и необходимо построить график взаимно обратной функции. Как это сделать? Если одна точка на координатной прямой имеет координаты (a; b) и принадлежит функции у = у(х), то, обратной функции должна принадлежать точка (b; a):

Эти точки симметричны относительно прямой у = х:

Поэтому для построения графика обратной функции достаточно симметрично отобразить его относительно прямой у = х.

С помощью этого правила построим график функции, обратной у = х³:

Практика показывает, что не все школьники (да и взрослые тоже) понимают, что означает симметричность относительно прямой у = х, ведь эта прямая наклонена. Здесь требуется довольно высокий уровень пространственного мышления. Куда проще понять симметрию относительно вертикальной или горизонтальной линии. Поэтому мы покажем ещё один способ построения обратных функций, который состоит из двух этапов.

Он заключается в том, что сначала график отображают симметрично относительно вертикальной оси Оу:

На втором этапе полученное отображение поворачивают по часовой стрелке относительно начала координат:

Заметим важное правило. При построении обратной функции области определения и области значений меняются местами. Действительно, если какое-то число входит в область значения функции, то это значит, что его можно подставить в обратную функцию. Но это в свою очередь означает, что она входит в область определения обратной функции. Проиллюстрируем это правило картинкой:

До сих пор мы рассматривали способы построения обратных функций, но ведь в самом начале урока говорилось о том, что обратная функция существует не всегда. Действительно, попытаемся построить обратную функцию для у = х

2:

Получилась та же парабола, но «лежащая на боку». Является ли она графиком функции? Нет. На рисунке проведена вертикальная линия, которая пересевает график в двух точках. Это значит, что одному значению х (в данном случае х = 5) соответствует сразу два значения у. Но подобное соответствие не является функцией. Это значит, что у = х² – необратимая функция.

Есть ли какой-то признак, позволяющий быстро сказать, является ли функция обратимой? Оказывается, есть. Если функция строго монотонна (то есть либо только возрастает, либо только убывает), то это гарантирует, что она ещё и обратима. Покажем это с помощью рисунков. Известно, что каждому значению строго монотонной функции соответствует лишь один аргумент. С точки зрения геометрии это означает, что любая горизонтальная линия пересекает монотонную функцию не более чем в одной точке:

К слову, это свойство мы использовали для решения некоторых уравнений. Теперь отобразим график симметрично прямой у = х, причем также отобразим и горизонтальные линии:

Горизонтальные линии превратились в вертикальные, при этом они всё также пересекают график не более чем в одной точке. Но это как раз и означает, что график задает функцию, а не какое-то другое соответствие. Отсюда делаем вывод – любая строго монотонная функция обратима.

Снова вернемся к функции у = х². Мы уже показали, что она необратима. Но теперь наложим на нее дополнительное ограничение: х⩾0. Тогда от графика параболы останется только одна ветвь. Для нее уже можно построить обратную функцию:

Можно сделать вывод – обратимость функции зависит не только от самого вида функции, но и от того, на какой области определения ее рассматривают.

 

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х².

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х³ обратима. Называют же функцию, обратную у = х³, кубическим корнем.

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

5³ = 125

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)³ = – 216. Отсюда следует, что

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х³:

 

Корни n-ой степени

Аналогично кубическому корню можно ввести понятие и корня произвольной n-ой степени.

Для обозначения корня n-ой степени используется знак радикала, перед которым стоит число n. Приведем пример. Мы знаем, что 2⁵ = 32. Это значит, что корень 5-ой степени из 32 равен 2:

Мы помним, что все степенные функции вида у = хⁿсхожи друг с другом и при этом могут быть разбиты на два класса, в зависимости от четности или нечетности показателя степениn. Если n– четное число (2, 4, 6…), то график будет похож на параболу у = х², просто он будет чуть сильнее «прижат» к оси Ох вблизи точки О (0;0), но вместе с тем он будет и быстрее возрастать:

Если же показателем nявляется нечетное число, то график у = хⁿбудет схож с графиком у = х³:

Мы видим, что при нечетном показателе получается строго монотонная (возрастающая) функция. Следовательно, она обратима. Функция, обратная функции у = хⁿ, и будет корнем степени n.

Если n нечетно, то корень можно извлечь и из отрицательного числа. Так, известно, что (– 3)⁷ = – 2187. Это значит, что корень седьмой степени из (– 2187) равен (– 3):

Очевидно, что корень получится отрицательным, если под ним стоит отрицательное число. Если же подкоренное выражение положительно, то и сам корень положителен. Более того, можно заметить, что корень из отрицательного числа равен корню из противоположенного ему положительного числа, взятого со знаком минус:

В общем случае графики всех корней нечетных степеней будут похожи на график кубического корня:

Несколько сложнее дело обстоит в том случае, если показатель n является четным. Мы уже выяснили, что у = х² – это необратимая функция. Аналогично и любая другая степенная функция у = хⁿ необратима. Однако у = х² обратима, если наложить дополнительное ограничение: х ≥ 0. Аналогично, при использовании такого же ограничения, обратимой будет и любая функция у = хⁿ, где n – четное число. График такой функции будет похож на квадратный корень:

При четном значении n корень n-ой степени нельзя извлечь из отрицательного числа. Действительно, попробуем возвести в четную степень положительное число:

5⁴ = 5•5•5•5 = 625

Получили другое положительное число. Теперь попробуем возвести в четную степень отрицательное число:

(– 5)⁴ = (– 5)•(– 5)•(– 5)•(– 5) = 625

Результат снова положительный! Минусы у отрицательных чисел «сократились» друг с другом, и получилось положительное произведение. Но раз при возведении в четную степень всегда получается неотрицательное число, значит, и под четным корнем должно также стоять неотрицательное число. Поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным.

 

Арифметические корни n-ой степени

Мы видим, что складывается не очень удобная для математиков ситуация: корни n-ой степени из отрицательного числа можно извлечь, если n – нечетное число, но при четном n такая операция уже недопустима. Это порождает много проблем при работе с корнями. Для устранения этих проблем вводится понятие арифметического корня степени n. Его особенность в том, что он всегда извлекается из неотрицательного числа и сам принимает значения, не меньшие нуля.

Заметим, что корень нечетной степени из отрицательного числа всегда можно выразить с помощью арифметического корня, просто вынеся знак минус из-под корня:

Поэтому арифметических корней вполне хватает для работы в любых ситуациях.

Определение корня можно записать в более формализованном виде:

Это значит, что

Проиллюстрируем использование этой формулы:

 

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

Приведем примеры использования этого свойства:

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

Доказать это можно, разложив число a^m в произведение:

a^m =a•a•a…•a

Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:

Cправа всё те же m множителей, а потому

Таким образом, получаем, что

Покажем несколько примеров использования этого правила:

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

По определению корня получаем, что

Проиллюстрируем использование данного правила:

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

 

Сравнение корней

Естественно, что большинство корней – это не целые, а иррациональные числа, которые довольно сложно вычислять. Тем не менее есть несколько правил, которые помогают оценивать их значение. Из графиков корней видно, что все они являются возрастающими функциями. Поэтому, если необходимо сравнить два корня одной степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Тот корень, у которого под корнем стоит большее число, и будет больше

В частности, справедливы неравенства:

В случае, если у корней различаются степени, следует постараться преобразовать их так, чтобы степени всё же совпали.

 

Пример. Сравните числа

Решение. Преобразуем первое число, чтобы у нас получился корень шестой степени:

Так как 121 > 119, то и

 

Пример. Сравните числа

Решение. Сначала избавимся от вложенных корней:

Получили два кубических корня. Меньше тот из них, у которого под радикалом меньшее число:

 

Пример. Сравните корни

Решение. Имеем корни 7-ой и 4-ой степени. К какой одинаковой степени можно привести оба корня? Это число 28, ведь оно представляет собой произведение 7•4:

Так как 16384 > 14641, то и

 

Понятие обратной функции | Математика, которая мне нравится

Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел и , принадлежащих , числа и также различны.

Пример 1.

   

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция обратима, — ее область определения, — множество ее значений. Для каждого числа обозначим через такое число из множества , что (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения и множеством значений . Эта функция называется обратной функции .

Пример 7. .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

   

Функция обратима, — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция с областью определения и множеством значений имеет обратную функцию . Пусть — графики функций и соответственно. Точка принадлежит точка . Осталось доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек , где — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка , то есть что любая точка равноудалена от точек и .

   

Задача. Докажите, что функция необратима. Найдите функцию, обратную на промежутке и постройте ее график.

55. Определение сложной и обратной функции, четной и нечетной функции. Тождества, вытекающие из существования обратной функции.

Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Взаимно обратные функции

Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g.

Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции

Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Свойства взаимно обратных функций

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда : f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Функция называется чётной, если справедливо равенство

INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/0/c/8/0c8b9a13c609e752ca1ebc8d082d732e.png» \* MERGEFORMATINET

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/2/1/9/219256ce95cb66bc3bf6eeac93666487.png» \* MERGEFORMATINET

56. Элементарная функция

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из основных элементарных функций:

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

57. Определение комплексного числа

Ко́мпле́ксныечи́сла— числа вида INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/2/f/1/2f12ba7cefcda3fc8b7350b087e20cf9.png» \* MERGEFORMATINET , где INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png» \* MERGEFORMATINETи INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png» \* MERGEFORMATINET— вещественные числа, INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/8/6/5/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png» \* MERGEFORMATINET— мнимая единица; то есть INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/6/8/5/685245741281622a3f11315dfd81cd98.png» \* MERGEFORMATINET. Множество всех комплексных чисел обычно обозначается INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/f/0/b/f0b01fe0a1eec87c634584ac0694fb71.png» \* MERGEFORMATINET— тесно связанный.

§ 04. Обратная функция | Решение задач по математике и другим предметам

Пусть функция , определенная на множестве Х, такова, что любым двум различным значениям аргумента Х ставит в соответствие различные значения У, то есть, если , то . Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.

Действительно, каждой точке ставится в соответствие единственное . При этом каждой точке соответствует единственное , такое, что . Таким образом, на множестве Y определена функция , которая называется Обратной к функции F. Область определения обратной функции – множество Y, область значений – множество Х. Графики функции и обратной к ней функции симметричны относительно прямой (рис. 4). Для обратных функций верно соотношение .

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства выразить Х через У, и в полученном выражении букву Х заменить буквой У, букву У – буквой Х.

Пример 3. Имеют ли функции и обратные? Если да, то найдите их.

Решение. Выразим Х из формулы . Получим . Обозначив аргумент через Х, а функцию через У, получим , то есть функция является обратной к функции .

Функция не имеет обратной, так как она не является взаимнооднозначной. Действительно, .

Пример 4. Являются ли функции и взаимнообратными?

Решение. Нет, так как . Однако, если данные функции рассматривать только при , то есть считать , то эти функции становятся взаимнообратными.

< Предыдущая		Следующая >

Обратная функция — это… Что такое Обратная функция?

Не следует путать с Обратная величина.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

• для всех
• для всех

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Примеры

Свойства

• Областью определения является множество , а областью значений множество .
• По построению имеем:

или

,

,

или короче

,

,

где означает композицию функций, а  — тождественные отображения на и соответственно.

• Функция является обратной к :

.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

См. также

Обратная функция — это… Что такое Обратная функция?

Не следует путать с Обратная величина.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

• для всех
• для всех

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Примеры

Свойства

• Областью определения является множество , а областью значений множество .
• По построению имеем:

или

,

,

или короче

,

,

где означает композицию функций, а  — тождественные отображения на и соответственно.

• Функция является обратной к :

.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

См. также