Общий множитель онлайн: Нахождение НОД и НОК чисел — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 27.02.197503.02.2022 by alexxlab

Содержание

Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн

Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

36 — составное число
24 — составное число

Разложим число 36 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

36 : 2 = 18 — делится на простое число 2
18 : 2 = 9 — делится на простое число 2
9 : 3 = 3 — делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 3 простое число

Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

24 : 2 = 12 — делится на простое число 2

12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.

Завершаем деление, так как 3 простое число

2) Выделим синим цветом и выпишем общие множители

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общие множители (36 ; 24) : 2, 2, 3

3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители

Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

Способ №2

1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.

Для числа 36 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
36 : 1 = 36;36 : 2 = 18;36 : 3 = 12;36 : 4 = 9;36 : 6 = 6;36 : 9 = 4;36 : 12 = 3;36 : 18 = 2;36 : 36 = 1;

Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:

24 : 1 = 24;24 : 2 = 12;24 : 3 = 8;24 : 4 = 6;24 : 6 = 4;24 : 8 = 3;24 : 12 = 2;24 : 24 = 1;

2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)

Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: НОД (36 ; 24) = 12

Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)

Этапы решения

Способ №1

52 — составное число
49 — составное число

Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

52 : 2 = 26 — делится на простое число 2

26 : 2 = 13 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 13 простое число

Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

49 : 7 = 7 — делится на простое число 7.
Завершаем деление, так как 7 простое число

2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Способ №2

1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.

Выделим все кратные числа 52 зеленым цветом:

52 ∙ 1 = 52;   52 ∙ 2 = 104;   52 ∙ 3 = 156;   52 ∙ 4 = 208;
52 ∙ 5 = 260;   52 ∙ 6 = 312;   52 ∙ 7 = 364;   52 ∙ 8 = 416;
52 ∙ 9 = 468;   52 ∙ 10 = 520;   52 ∙ 11 = 572;   52 ∙ 12 = 624;
52 ∙ 13 = 676;   52 ∙ 14 = 728;   52 ∙ 15 = 780;   52 ∙ 16 = 832;
52 ∙ 17 = 884;   52 ∙ 18 = 936;   52 ∙ 19 = 988;   52 ∙ 20 = 1040;
52 ∙ 21 = 1092;   52 ∙ 22 = 1144;   52 ∙ 23 = 1196;   52 ∙ 24 = 1248;
52 ∙ 25 = 1300;   52 ∙ 26 = 1352;   52 ∙ 27 = 1404;   52 ∙ 28 = 1456;
52 ∙ 29 = 1508;   52 ∙ 30 = 1560;   52 ∙ 31 = 1612;   52 ∙ 32 = 1664;
52 ∙ 33 = 1716;   52 ∙ 34 = 1768;   52 ∙ 35 = 1820;   52 ∙ 36 = 1872;
52 ∙ 37 = 1924;   52 ∙ 38 = 1976;   52 ∙ 39 = 2028;   52 ∙ 40 = 2080;
52 ∙ 41 = 2132;   52 ∙ 42 = 2184;   52 ∙ 43 = 2236;   52 ∙ 44 = 2288;
52 ∙ 45 = 2340;   52 ∙ 46 = 2392;   52 ∙ 47 = 2444;   52 ∙ 48 = 2496;

52 ∙ 49 = 2548;

Выделим все кратные числа 49 зеленым цветом:

49 ∙ 1 = 49;   49 ∙ 2 = 98;   49 ∙ 3 = 147;   49 ∙ 4 = 196;
49 ∙ 5 = 245;   49 ∙ 6 = 294;   49 ∙ 7 = 343;   49 ∙ 8 = 392;
49 ∙ 9 = 441;   49 ∙ 10 = 490;   49 ∙ 11 = 539;   49 ∙ 12 = 588;
49 ∙ 13 = 637;   49 ∙ 14 = 686;   49 ∙ 15 = 735;   49 ∙ 16 = 784;
49 ∙ 17 = 833;   49 ∙ 18 = 882;   49 ∙ 19 = 931;   49 ∙ 20 = 980;
49 ∙ 21 = 1029;   49 ∙ 22 = 1078;   49 ∙ 23 = 1127;   49 ∙ 24 = 1176;
49 ∙ 25 = 1225;   49 ∙ 26 = 1274;   49 ∙ 27 = 1323;   49 ∙ 28 = 1372;
49 ∙ 29 = 1421;   49 ∙ 30 = 1470;   49 ∙ 31 = 1519;   49 ∙ 32 = 1568;
49 ∙ 33 = 1617;   49 ∙ 34 = 1666;   49 ∙ 35 = 1715;   49 ∙ 36 = 1764;
49 ∙ 37 = 1813;   49 ∙ 38 = 1862;   49 ∙ 39 = 1911;   49 ∙ 40 = 1960;
49 ∙ 41 = 2009;   49 ∙ 42 = 2058;   49 ∙ 43 = 2107;   49 ∙ 44 = 2156;
49 ∙ 45 = 2205;   49 ∙ 46 = 2254;   49 ∙ 47 = 2303;   49 ∙ 48 = 2352;
49 ∙ 49 = 2401;   49 ∙ 50 = 2450;   49 ∙ 51 = 2499;   49 ∙ 52 = 2548;

2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).

Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548

Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548

Калькулятор НОД — Как Найти Наибольший Общий Делитель

Онлайн калькулятор нод помогает вычислить наибольший общий множитель (GCF), GCD и HCF для набора из двух или n чисел в соответствии с различными методами нод. Этот калькулятор наибольшего общего множителя позволяет выполнять пошаговые вычисления наибольшего общего множителя.

Прочтите полностью, чтобы узнать, как найти нод наибольший общий множитель (нод) с помощью различных методов расчета (шаг за шагом) и калькулятора, формул для каждого метода и некоторых других терминов, связанных с нод.

Но давайте начнем с основного определения наибольшего общего фактора.

Читать дальше!

Что такое наибольший общий фактор (нод)?

В математике наибольший общий множитель, также известный как наибольший общий знаменатель, помогает определить наибольшее целое число, которое делится на каждое из целых чисел или дает нулевой остаток. Наивысший общий множитель (HCF) или наибольший общий делитель (HCD) полезен в математике, где необходимо определить общие множители многочленов.
Итак, просто запишите этот калькулятор нод, который позволяет вам вычислить наибольший общий делитель ваших математических задач.

Когда дело доходит до вычислений частного и остатка, вы можете попробовать этот бесплатный калькулятор частного и остатка, который помогает разделить два числа, чтобы мгновенно найти частное с остатком. Кроме того, используйте простой, но точный калькулятор модулей, который позволяет найти результат любой операции модуля между целыми числами.

как найти нод наибольший общий фактор разными методами шаг за шагом?

Теперь мы обсудим четыре различных метода расчета нод калькулятор с их расчетами вручную. Этот онлайн-поисковик нод использует следующие формулы, чтобы найти наибольший общий коэффициент для данного набора данных.

Найти нод по факторам листинга:

Наибольший общий множитель можно вычислить, перечислив все множители заданных целых чисел. Затем перечислите общие множители всех целых чисел, нод- это наибольшее число в списке.

Найти нод методом факторизации на простые числа:

Другой способ найти нод данного набора данных – это метод простой факторизации. Чтобы найти нод методом разложения на простые множители, запишите все простые множители каждого числа. Вы также можете использовать наш онлайн-калькулятор на разложение на простые множители, который вычисляет простые множители любого числа и сообщает вам, является ли число простым или нет. Затем перечислите числа, общие для каждого целого числа. Умножьте эти общие множители, чтобы получить наибольший общий множитель (HCF) целых чисел.

Найти нод по алгоритму Евклида:

Другой способ найти gcd – использовать алгоритм Евклида. Этот метод более эффективен, чем метод разложения на простые множители. Этот калькулятор нод использует следующие точки для определения наибольшего общего делителя в соответствии с этим методом:

Из полученных двух чисел вычтите меньшее из большего числа.
Затем вычтите меньшее число из результата.
Повторяйте процесс, пока результат не станет меньше исходного меньшего числа.
Считайте малое число большим числом, вычтите результат предыдущего шага из нового большого числа.
Повторяйте процесс, пока не дойдете до нуля.
Когда результат равен нулю, нод чисел – это число, которое вы нашли до нулевого результата.

Найдите нод по двоичному алгоритму Штейна:

Последний метод определения нод целых чисел, используемый этим нод калькулятор, – это двоичный алгоритм Штейна. В этом двоичном алгоритме Штейна или двоичном алгоритме НОД вы просто используете сравнение, вычитание и деление на 2. Этот метод нахождения наибольшего общего делителя состоит из:

Отсортируйте все числа / целые числа в порядке возрастания.
Предположим, что начальный нод равен 1.
Разделите все четные числа на 2.
Отсортируйте значения в порядке возрастания и удалите, если возникнет дублирование.
Вычтите первое число из оставшихся чисел и разделите на 2.
Повторяйте эти шаги, пока не получите одно значение.

Каковы свойства наибольшего общего фактора (нод)?

Ниже рассматриваются различные свойства наибольшего общего фактора.

Если соотношение между двумя числами (a, b) является целым числом, то нод (a, b) = b.
нод числа с 0 всегда равно 0 i; е нод (а, 0) = 0.
нод числа с 1 всегда равно 1 i; е нод (а, 1) = 1.
Если числа взаимно просты, то нод будет 1.
Все общие делители чисел также являются делителями нод числа

Что ж, просто используйте этот лучший онлайн-калькулятор LCM, чтобы шаг за шагом найти наименьшее общее кратное (lcm) чисел от 2 до n, соответствующих различным методам расчета LCM.

Что такое нод номера Coprime?

Простые числа имеют 2 положительных множителя, в то время как взаимно простые числа можно определить как «числа, не имеющие общих делителей». Наивысший общий множитель (HCF) взаимно простых чисел равен 1.

Например; 5,7,35,48,23156 и т. Д.

О поиске наибольшего общего фактора:

Этот простой онлайн калькулятор нод поможет вам найти наибольший общий множитель (hcf) или наибольший общий знаменатель (gcd) двух или n чисел. Этот искатель нод помогает вычислить нод (наибольший общий коэффициент) шаг за шагом, используя следующие методы:

Нет (простой метод)
Метод листинговых факторов.
Метод первичной факторизации.
Евклидов алгоритм.
Бинарный алгоритм Штейна.

Как найти нод (наибольший общий коэффициент) с помощью нод finder:

Находить наибольшее общее кратное чисел стало очень легко с помощью точного и бесплатного нод калькулятор. Просто придерживайтесь следующих пунктов, чтобы найти наиболее общий фактор:

Проведите по!

Входы:

Прежде всего, вы должны ввести числа, для которых вы хотите вычислить наибольший общий множитель (нод).
Затем выберите метод нод калькулятор из раскрывающегося списка этого калькулятор нод. Это может быть «Нет (простой)»,

«Факторы листинга», «Факторизация на простые множители», «алгоритм Евклида» или «бинарный алгоритм Штейна».

Наконец, нажмите кнопку «нод».

Выходы:

Как только вы заполните все поля этого калькулятора наибольший общий делитель, он покажет вам,

Наибольший общий коэффициент (нод) чисел в соответствии с выбранным методом.
Выполните пошаговые расчеты для выбранного метода.

Реальный пример нод:

В отрасли работает 500 сотрудников, если 280 мужчин, то найдите наибольшее количество групп, которое можно создать, если в каждой группе будет равное количество мальчиков и в каждой группе будет одинаковое количество женщин.
В таком состоянии ответить очень сложно. Итак, для определения ответа полезен наибольший общий фактор.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что такое нод12 и 18?

Поскольку наибольшее число, которое точно делит числа, является наибольшим общим делителем. Итак, 6 – это наибольшее число, которое точно делит 12 и 18. Следовательно, 6 – это наибольший общий делитель (нод) 12 и 18.

Что такое нод для 16 и 12?

Простые множители 12 = 2,2,3

Простые множители 16 = 2,2,2,2

Общие факторы = 2 * 2

Итак, hcf 12 и 16 равно 4.

Что такое нод 12 и 4?

Мы можем вычислить hcf для 12 и 4 методом перечисления факторов:

Множители 12 = 1,2,3,4,6,12

Множители 4 = 1,2,4

Список всех общих факторов = 1,2,4

Наибольшее число общих множителей равно 4. Таким образом, наибольший общий делитель 12 и 4 равен 4.

Что такое нод 18 и 24?

Мы можем найти нод 18 и 24 методом разложения на простые множители как:

Простые множители 18 = 2,3,3

Простые множители 24 = 2,2,2,3

Общие факторы = 2 * 3

Итак, нод 18 и 24 равно 6.

Что такое HCF 24 16 и 36?

Простые множители 16 = 2,2,2,2

Простые множители 24 = 2,2,2,3

Простые множители 36 = 2,2,3,3

Общие простые множители = 2 * 2

Таким образом, hcf 16, 24 и 36 равняется 4.

Как найти НОД двух чисел в Excel?

Вы можете найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел в Excel с помощью функции НОД. Синтаксис функции GCD в Excel выглядит так:

= НОД (число1; число2)

Подведение итогов:

Наибольший общий множитель полезен в реальных жизненных задачах и в различных приложениях математики, например, для определения общих множителей полиномов. Таким образом, этот онлайн калькулятор нод позволяет вам найти наибольший общий фактор данной проблемы.

Other Languages: GCF Calculator, Kalkulator FPB, EBOB Hesaplama, MDC Calculadora, NWD Kalkulator, GGT Rechner, NSD kalkulačka, 最大公約数計算, 최대공약수계산자, Største Felles Faktor Kalkulator, Calcul PGCD

Калькулятор и примеры нахождения наибольшего общего делителя

Примеры нахождения НОД с помощью разложения на простые множители

В примерах показано как можно находить наибольщий общий делитель чисел (НОД) с помощью разложения на простые множители.

Пример Найти наибольший общий делитель чисел 585 и 360

НОД(585, 360) = 2^{min(0, 3)} * 3^{min(2, 2)}*5^{min(1, 1)}*13^{min(1, 0)}= 45

a = 585 = 3² * 5 * 13;

b = 360 = 2³ * 3² * 5

Пример Наибольший общий делитель чисел 680 и 612

НОД(680, 612) = 2^{min(3, 2)} * 3^{min(0, 2)}*5^{min(1, 0)}*17^{min(1, 1)}= 68

a = 680 = 2³ * 5 * 17;

b = 612 = 2² * 3² * 17

Пример Наибольший общий делитель чисел 675 и 825

НОД(675, 825) = 3^{min(3, 1)} * 5^{min(2, 2)}*11= 75

a = 675 = 3³ * 5²;

b = 825 = 3*5²*11

Пример Наибольший общий делитель чисел 7920 и 594

НОД(7920, 594) = 2^{min(4, 1)} * 3^{min(2, 3)}*5^{min(1, 0)}*11= 198

a = 7920 = 2⁴*3²*5*11;

b = 594 = 2*3³*11

Пример Найти наибольший общий делитель трех чисел 60, 80 и 48

НОД(60, 80, 48) = 2^{min(3, 4, 4)} * 3^{min(1, 0, 1)}*5^{min(1, 1, 0)}= 8

a = 60 = 2³ * 3 * 5;

b = 80 = 2⁴ * 5;

c = 48 = 2⁴ * 3

Пример Наибольший общий делитель чисел 195, 156 и 260

НОД(195, 156, 260) = 2^{min(0, 2, 2)} * 3^{min(1, 1, 0)}*5^{min(1, 0, 1)}*13^{min(1, 1, 1)}= 13

a = 195 = 3 * 5 * 13;

b = 156 = 2² * 3 * 13;

c = 260 = 2² * 5 * 13

Пример Найти наибольший общий делитель трех чисел 324, 111 и 432

НОД(324, 111, 432) = 2^{min(2, 0, 4)} * 3^{min(4, 1, 3)}*37^{min(0, 1, 0)}= 3

a = 324 = 2² * 3⁴;

b = 111 = 3 * 37;

c = 432 = 2⁴ * 3³

Пример Наибольший общий делитель чисел 320, 640 и 960

НОД(320, 640, 960) = 2^{min(6, 7, 6)} * 3^{min(0, 0, 1)}*5^{min(1, 1, 1)}= 320

a = 320 = 2⁶ * 5;

b = 640 = 2⁷ * 5;

c = 960 = 2⁶ * 3 *5

Калькулятор онлайн.

Нахождение (вычисление) НОД и НОК. Как найти наименьшее общее кратное чисел

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12. Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 — тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,…,p k — различные простые числа, а d 1 ,…,d k и e 1 ,…,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300…), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 5806

Как пользоваться калькулятором

Введите числа в поле для ввода
В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Как вводить числа

Числа вводятся через пробел, точку или запятую
Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД .
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК .

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :

Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК — это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное — число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК — это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК — обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК — это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 — верно;

6300 / 1260 = 5 — верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки — деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта — не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве — трем, пяти и так далее. Чем больше чисел — тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 — на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 — верно;

2) 3000 / 600 = 5 — верно;

3) 3000 / 1500 = 2 — верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.

А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.

Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, 18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые
Д (28) = 2 * 2 * 7
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:
2 * 3 = 6.

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

Разложим 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

Разложим оба числа на простые множители:

Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

Перемножим общие множители:
НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Большее число поделить на меньшее.

Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.

Первый остаток поделить на второй остаток.

Второй остаток поделить на третий и т. д.

Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

140 : 96 = 1 (остаток 44)

96 : 44 = 2 (остаток 8)

44 : 8 = 5 (остаток 4)

8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.

Найти НОД найденного делителя и третьего числа.

Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Калькулятор онлайн.Нахождение (вычисление) НОД и НОК. Делители и кратные числа

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 — взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Нахождение путём подбора

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

Определяем наибольшее число из данных чисел.
Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них — это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 · 1 = 24 — делится на 3, но не делится на 18.

24 · 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

24 · 3 = 72 — делится на 3 и на 18.

Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа — 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Определение 1

Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .

Решение

Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .

Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .

Пример 2

Найдите нок чисел 68 и 34 .

Решение

НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
исключаем их полученных произведений все простые множители;
полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .

Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .

Пример 4

Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .

Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

разложим оба числа на простые множители:
добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 . Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .

Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .

Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .

Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

раскладываем все числа на простые множители;
к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и − a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа − a .

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .

Решение

Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .

Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

1. Разложить числа на простые множители.
2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.

Как найти наименьшее общее кратное?

Нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, у которых находим наименьшее общее кратное, а потом перемножить друг на друга множители, которые совпали у первого и второго числа. Результатом произведения будет искомое кратное.

Например у нас есть числа 3 и 5 и нам надо найти НОК(наименьшее общее кратное). Нам надо умножать и тройку и пятрку на все числа начиная с 1 2 3 … и т д пока мы не увидим одинаковое число и там и там.

Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15

Метод разложения на простые множители — самый классический для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Наглядно и просто продемонстрирован этот метод в следующем видеоролике:

Складывать, умножать, делить, приводить к общему знаменателю и другие арифметические действия очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.

Итак найти общее кратное для двух чисел, которое будет являться самым маленьким числом на которое делятся два числа. Хочу заметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если можешь считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и потом дроби щелкаются как орешки.

Для начала усвоим, что можно умножить два числа друг на друга, а потом эту цифру уменьшать и делить поочередно на данные два числа, так мы найдем наименьшее кратное.

Например, два числа 15 и 6. Умножаем и получаем 90. Это явно больше число. Причем 15 делится на 3 и 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем 30 разделить 15 равно 2. И 30 делим 6 равно 5. Так как 2 это предел, то получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

С цифрами побольше будет немного трудней. но если знать, какие цифры дают нулевой остаток при делении или умножении, то трудностей, в принципе, больших нет.

Как найти НОК
Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере. 1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким образом, в итоге расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится на каждое из трх чисел без остатка.

Наименьшее общее кратное число — это такая цифра, которая разделится на несколько предложенных чисел без остатка. Для того, чтобы такую цифру высчитать, надо взять каждое число и разложить его на простые множители. Те цифры, которые совпадают, убираем. Оставляет всех по одной, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое — наименьшее общее кратное.

НОК, или наименьшее общее кратное , — это наименьшее натуральное число двух и более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

Первым делом нужно разложить данные числа на простые множители.

Для 30 — это 2 х 3 х 5.

Для 42 — это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.

Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5 .
Теперь нужно домножить их на недостающий множитель, который имеем при разложении 42,а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Чтобы найти наименьшее общее кратное , нужно выполнить последовательно несколько простых действий. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

Разлагаем оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
Сокращаем одинаковые множители у одного из чисел. В нашем случае совпадают 2*2, сократим их для числа 12, тогда у 12 останется один множитель: 3.
Находим произведение всех оставшихся множителей: 2*2*2*3=24

Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8 и на 12, причем это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Вот мы и нашли наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить на примере цифр 6 и 8. Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на эти числа(в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.

Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия — «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.

Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).

Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.

Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

Данный способ применим для небольших чисел.

При расчёте НОК встречаются особые случаи.

1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Если два не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК — это произведение этих двух чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

42:9=4 (остаток 6)

Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

Делитель отличается от кратного тем, что делитель — это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.

Наибольший общий делитель чисел a и b , умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b .

А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

168=2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.

Наименьшее общее кратное чисел 2100 и 6930. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Теорема.

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Общее кратное для двух целых чисел — это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел — это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго — множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их «зачеркиваем».
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 — остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем «накрест».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это — число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы «вычеркнули» все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Как найти наименьшее общее кратное?

Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15

Как найти НОК
Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере.

Необходимо найти НОК сразу трх чисел: 16, 20 и 28.

Представляем каждое число как произведение его простых множителей:

Записываем степени всех простых множителей:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Выбираем все простые делители (множители) с наибольшими степенями, перемножаем их и находим НОК:

НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

Первым делом нужно разложить данные числа на простые множители.

Для 30 — это 2 х 3 х 5.

Для 42 — это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.

Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5 .
Теперь нужно домножить их на недостающий множитель, который имеем при разложении 42,а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Разлагаем оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
Сокращаем одинаковые множители у одного из чисел. В нашем случае совпадают 2*2, сократим их для числа 12, тогда у 12 останется один множитель: 3.
Находим произведение всех оставшихся множителей: 2*2*2*3=24

Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

Данный способ применим для небольших чисел.

При расчёте НОК встречаются особые случаи.

НОК (80, 20) = 80.

2. Если два не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК — это произведение этих двух чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

42:9=4 (остаток 6)

Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

168=2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.

Калькулятор

LCM — наименьшее общее кратное

Использование калькулятора

Наименьшее общее кратное ( LCM ) также называется наименьшим общим кратным ( LCM ) и наименьшим общим делителем ( LCD) . Для двух целых чисел a и b, обозначаемых НОК(a,b), НОК является наименьшим положительным целым числом, которое без остатка делится как на a, так и на b. Например, НОК(2,3) = 6 и НОК(6,10) = 30.

НОК двух или более чисел — это наименьшее число, которое делится без остатка на все числа в наборе.

Калькулятор наименьших множителей

Найдите НОК набора чисел с помощью этого калькулятора, который также показывает шаги и способы выполнения работы.

Введите числа, для которых вы хотите найти LCM. Вы можете использовать запятые или пробелы для разделения чисел. Но не используйте запятые в своих числах. Например, введите 2500, 1000 и не 2500, 1000 .

Как найти наименьший общий кратный LCM

Этот калькулятор LCM с шагами находит LCM и показывает работу, используя 6 различных методов:

Список мультипликаторов
Простая факторизация
Метод пирога/лестницы
Метод деления
Использование наибольшего общего делителя GCF
Диаграмма Венна

Как найти LCM путем перечисления кратных

Список кратных каждого числа, пока хотя бы одно из кратных не появится во всех списках
Найдите наименьшее число из всех списков
Этот номер LCM

Пример: LCM(6,7,21)

Кратность 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 , 48, 54, 60
Кратность 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42 , 56, 63
Кратность 21: 21, 42 , 63
Найдите наименьшее число из всех списков. У нас это выделено жирным шрифтом выше.
Итак, LCM(6, 7, 21) равно 42

Как найти LCM с помощью простой факторизации

Найдите все простые множители каждого заданного числа.
Перечислите все найденные простые числа столько раз, сколько раз они встречаются чаще всего для данного числа.
Умножьте список простых множителей, чтобы найти LCM.

LCM (a,b) вычисляется путем нахождения простой факторизации как a, так и b.Используйте тот же процесс для LCM из более чем 2 номеров.

Например, для LCM (12,30) находим:

Разложение числа 12 на простые множители = 2 × 2 × 3
Разложение числа 30 на простые множители = 2 × 3 × 5
Используя все простые числа, найденные так часто, как каждое из них встречается чаще всего, мы получаем 2 × 2 × 3 × 5 = 60
Следовательно, НОК (12,30) = 60.

Например, для LCM (24300) находим:

Разложение числа 24 на простые множители = 2 × 2 × 2 × 3
Разложение числа 300 на простые множители = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
Используя все простые числа, найденные так часто, как каждое из них встречается чаще всего, мы получаем 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600
Следовательно, НОК (24 300) = 600.

Как найти LCM с помощью простой факторизации с использованием показателей степени

Найдите все простые множители каждого заданного числа и запишите их в виде экспоненты.
Перечислите все найденные простые числа, используя наибольший показатель степени, найденный для каждого из них.
Перемножьте список простых множителей с показателями, чтобы найти LCM.

Пример: LCM(12,18,30)

Простые множители 12 = 2 × 2 × 3 = 2 ² × 3 ¹
Простые множители числа 18 = 2 × 3 × 3 = 2 ¹ × 3 ²
Простые множители 30 = 2 × 3 × 5 = 2 ¹ × 3 ¹ × 5 ¹
Перечислите все найденные простые числа столько раз, сколько раз они встречаются чаще всего для любого заданного числа, и перемножьте их вместе, чтобы найти НОК.
- 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
Вместо этого, используя показатели степени, перемножьте каждое из простых чисел с наивысшей степенью
Итак, НОК(12,18,30) = 180

Пример: LCM(24,300)

Простые множители 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2 ³ × 3 ¹
Простые множители 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2 ² × 3 ¹ × 5 ²
Перечислите все найденные простые числа столько раз, сколько раз они встречаются чаще всего для любого заданного числа, и перемножьте их вместе, чтобы найти НОК.
- 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600
Вместо этого, используя показатели степени, перемножьте каждое из простых чисел с наивысшей степенью
Итак, НОК(24 300) = 600

Как найти LCM с помощью метода торта (метод лестничной диаграммы)

Метод пирога использует деление для нахождения НОК набора чисел.Люди используют метод пирога или лестницы как самый быстрый и простой способ найти LCM, потому что это простое деление.

Метод торта аналогичен методу лестницы, методу ящика, методу факторного ящика и методу сетки ярлыков для поиска LCM. Блоки и сетки могут выглядеть немного по-разному, но все они используют деление на простые числа для нахождения НОК.

Найти LCM(10, 12, 15, 75)

Запишите свои числа в слое торта (ряд)

Разделите номера слоев на простое число, которое делится без остатка на два или более числа в слое, и перенесите результат на следующий слой.

Если какое-либо число в слое не делится без остатка, просто запишите это число.

Продолжайте делить слои торта на простые числа.
Когда больше нет простых чисел, которые без остатка делятся на два или более числа, все готово.

LCM является произведением чисел в форме буквы L, левого столбца и нижнего ряда.1 игнорируется.
НОК = 2 × 3 × 5 × 2 × 5
мл = 300
Следовательно, НОК(10, 12, 15, 75) = 300

Как найти LCM методом деления

Найти LCM(10, 18, 25)

Запишите свои числа в верхней строке таблицы

Начиная с наименьших простых чисел, разделите ряд чисел на простое число, которое делится без остатка хотя бы на одно из ваших чисел, и занесите результат в следующую строку таблицы.

Если какое-либо число в строке не делится без остатка, просто запишите это число.

Продолжайте делить строки на простые числа, которые без остатка делятся хотя бы на одно число.
Когда в последней строке результатов все 1, все готово.

НОК представляет собой произведение простых чисел в первом столбце.
НОК = 2 × 3 × 3 × 5 × 5
мл = 450
Следовательно, НОК(10, 18, 25) = 450

Как найти LCM по GCF

Формула для нахождения НОК с использованием НОД наибольшего общего множителя набора чисел:

НОКМ(а,б) = (а×б)/GCF(а,б)

Пример: Найти LCM(6,10)

Найдите GCF(6,10) = 2
Используйте формулу LCM по GCF для расчета (6×10)/2 = 60/2 = 30
Итак, НОК(6,10) = 30

Множитель — это число, которое получается, когда вы можете без остатка разделить одно число на другое. В этом смысле множитель также известен как делитель.

Наибольший общий делитель двух или более чисел — это наибольшее число, разделяемое всеми делителями.

Наибольший общий множитель GCF равен:

HCF — наивысший общий делитель
НОД — Наибольший общий делитель
HCD — Наибольший общий делитель
GCM — Наибольшая общая мера
HCM — Высшая общая мера

Как найти LCM с помощью диаграмм Венна

Диаграммы Венна изображаются в виде перекрывающихся окружностей.Они используются для отображения общих элементов или пересечений между двумя или более объектами. При использовании диаграмм Венна для нахождения НОК простые множители каждого числа, которые мы называем группами, распределяются среди перекрывающихся кругов, чтобы показать пересечения групп. После того, как диаграмма Венна будет завершена, вы можете найти LCM, найдя объединение элементов, показанных в группах диаграммы, и перемножив их вместе.

Как найти НОК десятичных чисел

Найдите число с наибольшим количеством знаков после запятой
Подсчитайте количество знаков после запятой в этом числе.Назовем этот номер Д.
Для каждого из ваших чисел переместите D знаков после запятой вправо. Все числа станут целыми.
Найти НОК набора целых чисел
Для вашего LCM переместите десятичные разряды D влево. Это LCM для исходного набора десятичных чисел.

Свойства

LCM

LCM ассоциативный:

НОК(а, б) = НОК(б, а)

LCM коммутативный:

НОК(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c) = LCM(a, LCM(b, c))

LCM распределительный:

НОКМ(da, db, dc) = dLCM(a, b, c)

LCM связан с наибольшим общим делителем (GCF):

LCM(a,b) = a × b / GCF(a,b) и

GCF(a,b) = a × b / LCM(a,b)

Ссылки

[1] Цвиллингер, Д. (Ред.). Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е издание, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: CRC Press, 2003, с. 101.

[2] Вайсштейн, Эрик В. Наименьший общий множитель. От MathWorld — Веб-ресурс Wolfram.

Расчет наименьшего общего множителя: математический калькулятор LCM

Расчет наименьшего общего множителя LCM math

Как найти LCM? Чтобы найти наименьший общий множитель 2 и 5, вам нужно перечислить числа, кратные каждому числу.После того, как вы найдете наименьшее число, которое соответствует обоим спискам, все готово. Что такое кратность? Это когда вы умножаете одно число на 1,2,3,4 и т. д. Например, кратные 2 равны 2,4,6,8,10… а кратные 5 равны 5,10,15… Если вы заметили, что наименьшее общее число — 10. Ответ — 10. Если нет общих чисел, ответ всегда «1».

Дополнительные калькуляторы

Калькулятор увеличения или уменьшения процентов помогает найти ответы на ваши вопросы о вычислении процентов.Чтобы рассчитать процент от числа, используйте наш калькулятор процентов от числа. Например, найдите 5% процентов от 70. Калькулятор процентов даст вам ответ, это 3,5.

процентное увеличение между двумя числами? Проблема решена с помощью расчета процентного увеличения. Найдите процент увеличения от 2 до 10. Ответ: 400%.

Найдите, сколько процентов составляет число от второго числа ? Пример: узнайте, сколько процентов составляет 7 из 300. Рассчитайте калькулятор процентов от двух чисел, ответ 2.33%.

Новинка: Рассчитайте повышение или понижение заработной платы с помощью нашего калькулятора дохода. Калькулятор процента повышения заработной платы.

процентов от общего числа . Например, итог = 1100, и вам нужно найти процент, который равен 100. Используя наш процент от общего калькулятора, ответ будет равен 9,09%.

GFC и LCM — математический коэффициент и множитель . Калькулятор наибольшего общего коэффициента GCF можно использовать для расчета GFC и калькулятор наименьшего общего множителя LCM, чтобы найти LCM.

Калькулятор извлечения квадратного корня . Вместо того, чтобы запоминать квадратные корни, используйте калькулятор квадратного корня из числа и делайте это на лету. Например, чему равен квадратный корень из 9? Мы все знаем, что это 3. А как насчет квадратного корня из 500? Узнай себя.

Калькулятор процентной ошибки . Быстро рассчитать процентную ошибку, используйте калькулятор процентной ошибки.

Счетчики часов и минут . Найдите минуты или часы с помощью наших калькуляторов. Сначала вычислите часы в минутах, очень полезно узнать, сколько часов в 300 минутах. Калькулятор расчета минут в часах полезен, чтобы узнать, сколько минут в 5 часах? Ответ: это 300 из первой математической задачи.

простая математика Математический калькулятор сложения, математический калькулятор вычитания, математический калькулятор умножения и математический калькулятор деления.

Калькулятор наименьших множителей

Введите числа, разделенные запятой «,», и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти LCM.

Связанный Калькулятор GCF | Калькулятор коэффициентов

Что такое наименьшее общее кратное (НОК)?

В математике наименьшее общее кратное, также известное как наименьшее общее кратное двух (или более) целых чисел a и b , является наименьшим положительным целым числом, которое делится на оба. Его обычно обозначают как LCM(a, b).

Метод грубой силы

Существует несколько способов найти наименьшее общее кратное. Самым простым является просто использование метода «грубой силы», который перечисляет кратные каждому целому числу.

ПРИМЕР:

Найти LCM(18, 26)
18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234
26: 52, 78, 104, 130, 156, 182, 208, 234

Как видно, этот метод может быть довольно утомительным и далек от идеала.

Метод простой факторизации

Более систематический способ найти НОК некоторых заданных целых чисел — использовать разложение на простые множители. Простая факторизация включает в себя разложение каждого из сравниваемых чисел на его произведение простых чисел.Затем LCM определяется путем умножения наибольшей степени каждого простого числа. Обратите внимание, что вычисление LCM таким образом, хотя и более эффективно, чем использование метода «грубой силы», все же ограничено меньшими числами. Обратитесь к приведенному ниже примеру, чтобы узнать, как использовать простую факторизацию для определения LCM:

ПРИМЕР:

Найти LCM(21, 14, 38)
21 = 3 × 7
14 = 2 × 7
38 = 2 × 19

Следовательно, LCM:
3 × 7 × 2 × 19 = 798

Метод наибольшего общего делителя

Третий действенный метод нахождения НОК некоторых заданных целых чисел — использование наибольшего общего делителя. Это также часто называют наибольшим общим фактором (GCF) среди других имен. Обратитесь к ссылке для получения подробной информации о том, как определить наибольший общий делитель. При наличии НОК(a, b) процедура нахождения НОК с использованием НОК состоит в делении произведения чисел a и b на их НОК, т. е. (a × b)/НОК(a,b). При попытке определить НОК более двух чисел, например НОК(a, b, c), найдите НОК a и b , где результат будет q .Затем найдите LCM c и q . Результатом будет LCM всех трех чисел. Используя предыдущий пример:

ПРИМЕР:

Найти НОК(21, 14, 38)

GCF(14, 38) = 2

GCF(266, 21) = 7

НОКМ(21, 14, 38) = 798

Обратите внимание, что не имеет значения, какой LCM рассчитывается первым, если используются все числа и точно соблюдается метод. В зависимости от конкретной ситуации каждый метод имеет свои преимущества, и пользователь может решить, какой метод использовать по своему усмотрению.

Калькулятор LCM со всеми шагами

Как найти LCM?

Этот калькулятор использует пять методов для нахождения наименьшего общего кратного. Мы покажем их на нескольких примерах.

Метод 1: перечисление множителей

Пример: найдите LCM 8 и 6, перечислив кратные.

Шаг 1: Первые несколько чисел, кратных 6 и 8:

Кратность 6 : 6, 12, 18, 24, 30

Кратность 8 : 8, 16, 24, 32, 40

Шаг 2: LCM — это наименьшее число, которое появляется в обоих списках:

МОК (6, 8) = 24

Примечание. Этот метод не подходит для чисел больше 20.

Метод 2: найти НОК с помощью простых множителей

Пример: Найдите LCM 8 , 12 и 30 .

Шаг 1: простая факторизация заданных чисел:

8 = 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

30 = 2 · 3 · 5

Шаг 2: Сопоставьте простые числа по вертикали

8	=	2	·	2	·	2
12	=	2	·	2	·		3
30	=	2	·				3	·	5

Шаг 3: Сократите числа в каждом столбце и умножьте их, чтобы получить LCM:

8	=	2	·	2	·	2
12	=	2	·	2	·			3
30	=	2	·					3	·	5
ЛКМ	=	2	·	2	·	2	·	3	·	5	=	120

Метод 3: Метод деления Лестничный метод

Пример: Найдите НОК из 84 и 112, используя лестничную диаграмму.

Шаг 1: Поместите цифры внутри разделительной полосы:

Шаг 2: Разделите оба числа на 2:

Шаг 3: Повторяйте Шаг 2, пока вы больше не сможете делить

2	84	112
2	42	56
7	21	28
	3	4

Шаг 4: LCM представляет собой произведение чисел в форме буквы L.

2	84	112
2	42	56
7	21	28
	3	4

НОК = 2 · 2 · 7 · 3 · 4 = 336

Метод 4: Метод деления

Пример: найдите LCM 18, 24 и 60, используя метод деления.

Шаг 1: Напишите данные числа горизонтальной линией.

Шаг 2: Разделите числа на наименьшее простое число. Если какое-либо число не делится на 2, запишите его без изменений.

	18	24	60
2	9	12	30
2	9	6	15
2	9	3	15

Шаг 3: Продолжайте делить на простые числа 3, 5, 7… Остановиться, когда последняя строка содержит только единицы.

	18	24	60
2	9	12	30
2	9	6	15
2	9	3	15
3	3	1	5
3	1	1	5
5	1	1	1

Шаг 4: Умножьте числа в первом столбце, чтобы получить LCM

НОК(18, 24, 60) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360

Метод 5: формулы LCM

Пример: найти LCM 48 и 60?

В этом разделе мы используем формулу

$$ \text{НОК(a,b)} = \dfrac{ a \cdot b }{ \text{НОД(a,b)} } $$

Поскольку НОД(48, 60) = 12, имеем:

$$ \text{НОК(48, 60)} = \dfrac{ 48 \cdot 60 }{ \text{НОД(48, 60)} } = \dfrac{2880}{12} = 240$$

Найдите наименьшее общее кратное

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике . ..Исчисление, Вычисление производных, Вычисление интеграции, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Полномочия комплексных чисел, Вычитание, преобразование площади, преобразование длины, преобразование массы, преобразование мощности, преобразование скорости, преобразование температуры, анализ объемных данных, поиск Анализ средних данных, Нахождение стандартного отклонения Анализ данных, ГистограммыДесятичные числа, Преобразование в дробьЭлектричество, Стоимость факторинга, Целочисленные коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Сложение дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Деление дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, Вычитание дробей, Что такое геометрия , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Any functionGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек. Практика полиномовМатематика, Практика основ Метрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Расчет с переменными числами, Разделение чисел, Умножение чисел, Сравнение чисел в ряду, Числовые числа в ряду, Размещение значений чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание парабол, Графический полином, Сложение/вычитание многочленов. , Разложение на множители Разность квадратовПолиномы, Разложение на множители трехчленовПолиномы, Разложение на множители с GCFПолиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что это такоеКвадратные уравнения, Квадратная формулаКвадратное уравнение ns, Решить с помощью факторингаРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Что они представляют собойВыход на пенсию, Сбережение для продажной цены, Расчет научной записи, Преобразование научной записи, Разделение научной записи, Умножение фигур, Прямоугольники, Упрощение, Все, что угодно, Упрощение экспоненты, Как термины, Упрощение, Продукты, Время, Размышление о совете, Вычисление тригонометрии, Выражения Прямоугольные треугольникиWindchill, фигура

LCM Calculator — Калькулятор наименьших множителей

Онлайн-калькулятор LCM может найти наименьшее общее кратное (множители) быстрее, чем ручные методы. Независимо от того, находите ли LCM двух или нескольких чисел, этот калькулятор может помочь вам одним щелчком мыши.
Калькулятор LCM можно использовать бесплатно, а найти LCM можно несколькими способами. Этот инструмент также покажет вам метод решения LCM.

Что такое Наименее общий фактор (НОК)?

Наименьшее общее кратное или наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится на числа, для которых вы находите НОК.
Например:
L.C.M 3, 5 и 6 равно 30 .
Это означает, что 30 — это обычное число, которое можно разделить на любое из чисел между 3,5 и 6 , чтобы получить ответ в виде целых чисел.

Способы нахождения LCM

Существует несколько методов нахождения наименьшего общего кратного между несколькими числами. Некоторые из способов обсуждаются ниже:

Список мультипликаторов
Простая факторизация
Факторизация простых чисел с использованием показателей степени
Метод торта (также известный как метод лестницы)
Метод деления

Как найти LCM вручную?

Как обсуждалось выше, существует несколько способов найти LCM. Давайте рассмотрим важные из них, чтобы понять основную идею.

1. Факторизация простых чисел

Разложение на простые множители — это простой метод нахождения НОК. Давайте посмотрим, как шаг за шагом найти LCM, используя простую факторизацию.

Пример:

Найти НОК 400, 500, и 550 с простой факторизацией?
Решение:
Шаг 1. Перечислите множители данных чисел.
400: 5 × 5 × 2 × 2 × 2 × 2 = 5 ² × 2 ⁴ × 2 ⁴
500: 5 × 5 × 5 × 2 × 2 = 5 ³ × 2 ²
550: 5 × 5 × 2 × 11 = 5 ² × 2 × 11
Шаг 2: Умножьте простые множители, чтобы получить НОК.Если есть общие факторы, используйте их только один раз.
5 ³ × 2 ⁴ × 2 ⁴ × 11 = 22000
Итак, наименее распространенные множественные из 400, 500 и 550 — , 22000.

2. Метод деления

Метод деления — это еще один метод получения НОК нескольких чисел. Выполните следующие шаги, чтобы получить наименьшее общее кратное с помощью метода деления.

Пример:

Найдите наименьшее общее кратное 40 и 50 методом деления ?
Шаг 1. Расположите все числа на горизонтальной линии, как показано на рисунке ниже.

Шаг 2. Начните делить числа с наименьшего простого числа. Запишите частное от деления точно под делимым. Продолжайте делить, пока все числа не будут полностью разделены и остаток не будет равен 1.

Шаг 3: Перемножьте все делителей на , чтобы получить НОК.
2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 200
Таким образом, НОК 40 и 50 равен 200 при использовании метода деления.

3. Листинг мультипликаторов

Самый простой способ найти НОК любых чисел — это найти их в списке кратных. В этом методе вы должны перечислить все кратные числа, а затем найти общее кратное между этими числами, которое будет LCM.

Пример:

Найти LCM 8 и 14 , используя списков множественного метода?
Шаг 1. Запишите кратность данных чисел.
Кратность 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
Кратность 14 = 14, 28, 42, 56, 70, 84 общее кратное кратных всех чисел.
Кратность 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
Кратность 14 = 14, 28, 42, 56, 70, 84
число между кратными 8 и 14 равно 56 , что является наименьшим общим множителем для этих чисел.
LCM из 8 и 14 = 56

Свойства LCM

Ассоциативно
Коммутативный
Дистрибутив

LCM Формула

Поиск LCM через GCF

Нахождение наименьшего общего кратного со значением наибольшего общего делителя можно выполнить по следующей формуле: (8,14)
GCF(8,14) = 2
Используя формулу: (8 x 14) / 2
LCM = 56

Примеры LCM

LCM Calculator — Найдите наименьшее общее кратное шаг за шагом

Онлайн-калькулятор lcm позволяет найти наименьшее общее кратное (lcm) набора из двух, трех и более чисел. Кроме того, этот калькулятор наименьших кратных помогает найти lcm шаг за шагом, используя 5 различных методов:

Нет (простой метод упрощения LCM)
Список кратных методов
Метод простой факторизации
Метод GCF
Метод пирога/лестницы
Метод деления

С этим информативным контентом вы узнаете, как находить lcm (вручную), формулы, относящиеся к различным методам lcm. Но сначала мы собираемся поделиться базовым обзором LCM.

Читайте дальше!

Что такое наименьшее общее кратное (НОК)?
В математике НОК двух целых чисел a и b называется наименьшим положительным целым числом, которое делится как на a, так и на b. Например, lcm 2, 5 и 7 равно 70, поскольку 70 кратно 2, 3 и 7. Однако нет другого числа меньшего, чем 70, которое кратно этим трем числам. Ну, LCM или наименьшее общее кратное также называется:
.
Наименьший общий множитель
Наименьшее общее кратное
Наименьший общий делитель (ЖКД)
Наименьший общий знаменатель
Наименьший общий множитель
Таким образом, онлайн-калькулятор lcm поможет вам оценить наименьшее число, кратное двум или n числам.
Кроме того, онлайн-калькулятор предоставляет лучший калькулятор дробей, который помогает складывать, вычитать, умножать и делить 2 или 3 дроби.
Как найти LCM с помощью различных методов шаг за шагом?
Здесь мы собираемся рассказать вам о различных методах нахождения lcm, и данные формулы для каждого отдельного метода используются нашим искателем lcm для нахождения lcm чисел.
путем перечисления кратных (метод грубой силы):
LCM можно рассчитать, перечислив все кратные заданным целым числам, пока не будет достигнуто соответствующее целое число.Этот метод также известен как метод грубой силы.
Здесь у нас есть пример, чтобы прояснить концепцию расчета путем перечисления кратных.
Например:
Какой наименьший общий делитель у чисел 8, 12 и 16?
Решение:
Кратность 8 = 8,16,24,32,40,48,56,64
Кратно 12 = 12,24,36,48,60,72
Кратно 16 = 16,32,48,64,80
Здесь наименьшее число, которое есть во всех списках, равно 48.
Таким образом, НОК 8,12,16 равен 48.
Без сомнения, ручное вычисление немного сложнее, просто добавьте числа в калькулятор наименьшего общего кратного и позвольте ему сделать все остальное.
По методу простой факторизации:
Другим методом определения lcm заданного набора данных является метод простой факторизации. Простая факторизация включает в себя расщепление каждого числа, которое сравнивается с произведением простых чисел. Затем LCM рассчитывается путем умножения наибольшей степени каждого простого числа друг на друга.Этот метод более эффективен, чем метод грубой силы. Вы также можете использовать этот бесплатный калькулятор простой факторизации, чтобы сделать простые множители любого числа. Давайте попробуем пример этого метода:
Например:
Узнать lcm 10,15 и 20?
Решение:
Простые множители 10: 2 × 5
Простые множители числа 15: 3 × 5
Простые множители 20: 2 × 2 × 5
Тогда НОК = 5 × 2 × 2 × 3
= 60
Метод наибольшего общего множителя (GCF):
Третий возможный метод вычисления lcm целых чисел — метод наибольшего общего множителя. Он также известен как метод наибольшего общего делителя. В методе GCF все, что вам нужно, это разделить произведение чисел на их наибольший общий делитель. Формула для нахождения lcm с помощью этого метода выглядит следующим образом:
НОК (а, б) = а * б / GCF
Например:
Найдите НОК 4 и 10?
Решение:
GCF 4 и 10 = 2
НОК (4 ,10) = 4 * 10/2
мкм (4 ,10) = 20
Торковым/лестничным методом:
Метод пирога находит lcm заданных чисел с помощью простого деления.Люди используют метод пирога/лестницы, чтобы найти наименьшее общее кратное, потому что это самый простой способ найти lcm. Давайте попробуем пример для этого метода.
Например:
Найдите lcm числа 8,12,14,20?
Решение:
Напишите числа подряд.
8,12,14,20
Разделите числа на простое число, которое делится на два или более чисел.
2 8,12,14,20
2 4,6,7,10
2 2,3,7,5
3 1,3,7,5
1,1,7,5

lcm 8,12,14,20 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 5
= 840
Нахождение наименьшего общего делителя с помощью метода торта/лесенки выглядит сложным вычислением. Воспользуйтесь онлайн-калькулятором lcm, который быстро вычислит наименьший общий делитель с помощью метода торта.
По методу деления:
Вы можете легко найти lcm любого набора чисел, используя этот метод, вы можете посмотреть пример, чтобы прояснить концепцию. Без сомнения, деление в длинных числах — это метод, требующий много времени для нахождения lcm вручную, наш калькулятор наименьшего общего кратного — отличный способ мгновенно определить наименьший общий множитель.
Например:
Узнать lcm 6,12,15?
Решение:
Напишите числа подряд.
8,12,14,20
Разделите числа на простое число, которое делится на два или более чисел. Делить до тех пор, пока последний член не будет весь один.
2 8,12,14,20
2 4,6,7,10
2 2,3,7,5
3 1,3,7,5
5 1,1,7,5
7 1,1,7,1
1,1,1,1

Итак,
НОК 8,12,14,20 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7
= 120
Каковы свойства наименьшего общего кратного (НОК)?
Давайте посмотрим на данные свойства:
Наименьшее общее кратное является коммутативным:
lcm двух чисел коммутативно, т. е.
НОК (а, б) = НОК (б, а)
Наименьшее общее кратное является ассоциативным:
Наименьшее общее кратное трех чисел является ассоциативным,
НОК (a,b,c) = LCM (LCM (a,b),c) = LCM(a,LCM(b,c))
Наименьшее общее кратное является распределительным:
Наименьшее общее кратное чисел является распределительным,
МОК (da, db, dc) = dLCM (a, b, c)
Где d — любая константа.
Как работает калькулятор наименьших множителей?
Калькулятор наименьшего общего множителя поможет вам найти наименьший общий знаменатель чисел за несколько шагов, давайте посмотрим:
Читайте дальше!
Входы:
Прежде всего, вам нужно ввести числа, для которых вы хотите рассчитать LCM.
Затем выберите метод расчета lcm из раскрывающегося списка этого калькулятора lcm.
Выходы:
Наименее распространенный калькулятор вычислит:
LCM номеров в соответствии с выбранным методом.
Выполнение пошаговых расчетов для выбранного метода.
Реальная проблема LCM:
В канцелярских принадлежностях синие карандаши поставляются в упаковке по 16 штук, а красные карандаши — в упаковке по 19 штук. Если мы хотим купить одинаковое количество обоих карандашей, то найдем наименьшее количество синих карандашей, которые мы должны купить.
В этой реальной задаче сложно найти ответ, поэтому нахождение наименьшего общего знаменателя является эффективной мерой для определения ответа.
Таким образом, этот калькулятор lcm показывает пошаговый расчет ваших самых простых общих множественных математических задач.
Часто задаваемые вопросы (FAQ):
Что такое LCM 12 15 и 21?
Наименьшее общее кратное чисел 12, 15 и 21 равно 420.
Что такое LCM 4 и 8?
8 — наименьшее общее кратное 4 и 8. Этот калькулятор lcm поможет вам вычислить lcm чисел различными методами.
Что такое LCM 24 и 36?
Наименьшее общее кратное (НОК) 24 и 36 — это наименьшее число, которое точно делится на 24, а 36,72 — это наименьшее число, которое делится на 24 и 36 и дает нулевые остатки.
Что такое НОК для 24 и 300 по методу простой факторизации?
Чтобы найти наименьшее общее кратное методом разложения на простые множители, мы должны записать множители обоих чисел,
Простые множители числа 24 = 2 × 2 × 2 × 3
Простые множители числа 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
НОК = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 × 5
мл = 600
Что такое LCM 15 и 20?
Калькулятор наименьшего общего кратного определяет lcm 15 и 24. Наименьшее число — 60, которое точно делит 15 и 24.Итак, НОК 14 и 24 равно 60.
Что является примером LCM?
Множитель — это число, которое получается при умножении числа на целое число. Пример: число, кратное 9, равно 9,18,27,36,45,54,63,72,81,…
.
Что такое LCM 10 15 и 20?
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 10, 15 и 20 равно 60, что определяется путем умножения обычных и необычных простых множителей.
Упаковка:
Наименьшее общее кратное (делитель) двух или более чисел поможет вам определить быстрые решения и лучше всего подходит для образования K-12.Концепция LCM в наши дни играет ключевую роль в решении проблем, связанных с гоночными трассами, светофорами и т. д. Благодаря этому бесплатному онлайн-калькулятору LCM, с помощью которого вы можете легко найти наименьшее общее кратное для двух или n чисел.
Каталожные номера:
Из источника Википедии: Наименьшее общее кратное (НОК), применение, расчеты и многое другое
Из источника smartickmethod: Как вычислить наименьшее общее кратное: Категория: Делимость, Учебные ресурсы
Из источника hanacademy: Достоверная информация о наименьшем общем кратном (НОК) (CCSS.