ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

   

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

   

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

   

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

   

   

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

   

надо решить систему из трёх неравенств:

   

Если в основании логарифма стоит число:

 

   

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

   

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

   

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

   

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

Как решить логарифмическое неравенство

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
4. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход и метод рационализации
5. Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

 

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве  а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим, как это работает на практике.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Вначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.

Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.

Итак, мы имеем неравенство

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход

Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.

Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.

С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.

Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:Таким образом наше неравенство примет вид:

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: метод рационализации

 Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство видаВместо V может стоять знак: >, <, ≤ или ≥.

Далее неравенство можно переписать в виде:

В этом случае необходимо поставить тот же знак, что и в изначальном неравенстве.

Далее нам необходимо учесть область допустимых значений:

Применим метод рационализации для решения нашего неравенства:Первое, что нам нужно сделать, это привести его к виду

Для этого снова воспользуемся свойством логарифмов – логарифмическая единица:Теперь перепишем неравенство, используя метод рационализации:

Нам необходимо учесть ОДЗ, тогда получим следующую систему:Первое неравенство системы решим методом интервалов:Таким образом, решение первого неравенства -2 < х < 6

Решение второго неравенства: х > -4½

Решение третьего неравенства: х < 7

Решение четвертого неравенства: х ≠ 6

Совместим решения всех неравенств на числовой оси:

На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.

Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства

В данной статье мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство. Еще больше примеров решения логарифмических неравенств вы можете найти в нашей группе Вконтакте.

Область допустимых значений

Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) — это множество значений переменной, при которых это выражение  определено.

В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:

1. 

  ОДЗ:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

2.          ОДЗ:

 

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

3. 

        ОДЗ:  

 

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

4.  , ОДЗ:

5. Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:

и

6.   ОДЗ:

Степень корня — натуральное число, отличное от 1.

Таким образом, функции 

и имеют разную область определения.

 

Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».

Поясню на примере:

Найти область определения функции:

 

Чтобы найти область определения функции, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции

Я специально выбрала «страшную», на первый взгляд,  функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.

«Просканируем» выражение, стоящее в правой части равенства:

 

1. Мы видим дробь:

Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:

2. Мы видим в знаменателе логарифм:

Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

Записываем:

 

3.Мы видим квадратный корень:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

Записываем:

Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:

   

 

Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Логарифмы | Все о логарифмах

Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих показательных уравнений.

(далее…)

Рассмотрим неравенств со степенями вида

   

   

Соответствующие показательные уравнения решаются делением либо умножением обеих частей на одну из степеней.

Поскольку степень с положительным основанием есть положительное число, деление или умножение на степень не приведёт к смене знака неравенства. Таким образом, решение таких видов неравенств со степенями аналогично решению уравнений и сводится к решению простейших показательных неравенств.

(далее…)

Примеры решения показательных неравенств продолжим рассмотрением неравенств, решаемых вынесением общего множителя за скобки.

Решение показательных неравенств этого вида тесно связано с решением соответствующих уравнений. Как и в уравнениях, в качестве общего множителя за скобки желательно выносить степень с наименьшим показателем, если основание a>1, либо наибольшим, если a<1.

(далее…)

Решение показательных неравенств продолжим рассмотрением примеров, приводимых к простейшим с использованием свойств степеней.

Решение показательных неравенств тесно связано с решением соответствующего вида показательных уравнений. Отличие — в переходе от степеней к показателям степеней. В уравнениях из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней, в неравенствах же знак либо не изменяется (если основание a>1), либо меняется на противоположный (при 0<a<1).

Рассмотрим решение показательных неравенствах на конкретных примерах.

   

ОДЗ: x∈R.

(далее…)

Решение простейших показательных неравенств вида

   

и

   

основывается на свойстве показательной функции

   

которая возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1.

Рассмотрим решение простейших показательных неравенств на конкретных примерах.

   

(далее…)

Простейшие показательные неравенства — это неравенства вида

   

где a — число, a>0, a≠1.

(далее…)

Сначала выясним, как решать уравнение, в одной части которого — сумма квадратов логарифмов, а в другой — нуль.

Так как сумма неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю, если каждый из логарифмов равен нулю.

Поскольку логарифм единицы равен нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю при условии, что под знаком каждого из логарифмов стоит единица:

   

(далее…)

Уравнения с логарифмами | Логарифмы

Рассмотрим уравнения с логарифмами, для решения которых используется метод оценки.

При решении уравнений методом оценки сравнивают область значений каждой из функций, стоящих в разных частях уравнения. Если для уравнения

   

одновременно выполняются условия

   

   

то уравнение равносильно системе

   

Остаётся найти корни одного из уравнений системы и проверить, удовлетворяют ли они другому уравнению.

Примеры уравнений с логарифмами, решаемых методом оценки левой и правой части.

   

ОДЗ:

   

Под знаком логарифма стоит квадратичная функция

   

Её график — парабола ветвями вверх. Своё наименьшее значение функция принимает в вершине параболы

   

и оно равно

   

поэтому

   

Так как основание 2>1, логарифмическая функция

   

возрастает, следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть при x0=4 f(x) принимает своё наименьшее значение и оно равно

   

   

то есть

   

Левая часть уравнения — квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз, в вершине достигает своего наибольшего значения:

   

   

   

то есть

   

   

   

Решаем второе уравнение:

   

   

   

Его единственный корень

   

является также корнем первого уравнения, а значит, исходное уравнение имеет единственный корень x=4.

Ответ: 4.

   

ОДЗ:

   

Так как

   

то

   

Так как 0,9<1 и функция

   

убывает, то

   

С другой стороны,

   

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

   

Решим второе уравнение:

   

   

Проверяем, удовлетворяют ли полученные корни первому уравнению.

При x=1

   

   

При x= -1

   

   

Следовательно, уравнение имеет один корень x=1.

Ответ: 1.

   

ОДЗ:

   

   

   

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

   

Решим первое уравнение:

   

   

   

Проверяем, является ли 0 корнем второго уравнения:

   

   

Следовательно, исходное уравнение имеет один корень x=0.

Ответ: 0.