Онлайн площадь усеченной пирамиды – Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

Калькулятора онлайн рассчитывает площадь боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды и выводит формулы с подробным решением.

Использование онлайн калькулятора позволяет рассчитать площадь боковой Sside и полной Sfull поверхности правильной треугольной пирамиды: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

II. Для справки:

1. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

2. Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

3. Правильная усеченная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

4. Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

5. Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

Стороны и площадь усеченной пирамиды

В основаниях правильной усеченной пирамиды лежат правильные равносторонние многоугольники, зная длину стороны которых можно рассчитать периметр, площадь, радиусы вписанных и описанных окружностей и даже внутренний угол таких многоугольников. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды зависит не только от сторон оснований пирамиды, но и от ее апофемы, поэтому имея данные о сторонах и боковой площади, можно вычислить апофему, преобразовав данную формулу. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 f=(2S_(б.п.))/n(a+b)

Затем, зная апофему усеченной пирамиды, можно найти боковое ребро через прямоугольную трапецию, которая образована ими по боковой грани пирамиды. В основаниях такой трапеции лежат половины сторон оснований пирамиды, поэтому в прямоугольном треугольнике внутри трапеции боковое ребро будет вычисляться по теореме Пифагора. (рис. 50.2) d=√(f^2+(b/2-a/2)^2 )=√(f^2+(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, необходимо рассмотреть такую же трапецию внутри усеченной пирамиды, тогда в ней высота будет равна аналогичному радикалу через радиусы вписанных в основания окружностей и апофему. (рис. 50.3) h=√(f^2-(r_b-r_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и апофеме, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую боковое ребро образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4) cos⁡δ=(R_b-R_a)/2d ε=180°-δ

Так как площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований, то нужно просто добавить к уже имеющейся площади боковой поверхности найденные основания. S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=S_(б.п.)+n(a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной усеченной пирамиды равен одной трети высоты, умноженной на сложенные вместе площади оснований и квадратный корень из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Площадь усеченной. Онлайн-калькулятор для расчета площади поверхности усеченной пирамиды

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями , а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной .

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми , а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания .

Пирамиду называют правильной , если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S осн , где

S полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S осн · Н , где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S бок = 1/2 P осн h , где

P осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой .

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми . Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми .

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники . Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной .

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S 1 + S 2 , где

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S 1 , S 2 – площади оснований;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H , где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S бок = 1/2(P 1 + P 2) · h, где

P 1 , P 2 – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), где S 1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 . Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Отсюда S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА 1 В 1 С 1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , где S 2 – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA 1 B 1 C 1 составляет V 1 = S 2 · h и, значит,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 — h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Итак, V 2: V 1 = 3: 4.

Ответ: 3: 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , изображенную на рис. 3.

Обозначим О 1 О 2 = х, тогда ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В 1 О 2 D 1 и треугольник ВО 2 D:

угол В 1 О 2 D 1 равен углу ВО 2 D как вертикальные;

угол ВDO 2 равен углу D 1 B 1 O 2 и угол O 2 ВD равен углу B 1 D 1 O 2 как накрест лежащие при B 1 D 1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В 1 О 2 D 1 подобен треугольнику ВО 2 D и имеет место отношение сторон:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В 1 D 1 В и треугольник LО 2 B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B 1 D 1 || LM, значит, треугольник В 1 D 1 В подобен треугольнику LО 2 B, откуда В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тогда S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Итак, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

– это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:

  • Боковые грани пирамиды являются трапециями;
  • Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
  • Основания являются подобными многоугольниками;
  • В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон:

Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции . Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.

Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:

Давайте рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная пятиугольная пирамида. Апофема l = 5 см, длина грани в большом основании равна a = 6 см, а грань в меньшем основании b = 4 см. Рассчитайте площадь усеченной пирамиды.

Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:

Таким же образом находим периметр меньшего основания:

Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:

Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.

Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула

через углы у основания и площадь этих самых оснований .

Чему равен объем усеченной пирамиды: онлайн расчет по формуле

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
Формула объема усеченной пирамиды равна:Формула объема усеченной пирамидыФормула объема усеченной пирамиды

пирамида усеченнаяпирамида усеченная

  • S1 — площадь верхнего основания.
  • S2 — площадь нижнего основания.
  • h — высота усеченной пирамиды.

 
 
 
Найти объем усеченной пирамиды онлайн через калькулятор:


Видео урок по теме усеченной пирамиды.

Оцени статью

Оценить

Средняя оценка / 5. Количество голосов:

Спасибо, помогите другим — напишите комментарий, добавьте информации к статье.

Или поделись статьей

Видим, что вы не нашли ответ на свой вопрос.

Помогите улучшить статью.

Напишите комментарий, что можно добавить к статье, какой информации не хватает.

Отправить

Спасибо за ваши отзыв!

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о