Равнобедренный треугольник

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой.

Примечание. Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный треугольник также является равнобедренным. Однако, необходимо помнить, что обратное утверждение — неверно.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства, приведенные ниже, используются при решении задач. Поскольку они широко известны, то подразумевается, что они не нуждаются в пояснении. Поэтому в текстах задач ссылка на них опущена.

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
• Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.
• Биссектриса, медиана и высота , проведенные к основанию, совпадают между собой.
  
• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.
• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

Стороны в равнобедренном треугольнике могут быть вычислены с помощью формул, выражающих их длину через другие стороны и углы, величина которых известна.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна частному от деления основания на двойной косинус угла при основании (Формула 1). Данное тождество может быть получено путем несложных преобразований из теоремы косинусов.

Основание равнобедренного треугольника равно произведению боковой стороны на квадратный корень из удвоенной разности единицы и косинуса угла при вершине (Формула 2)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла при вершине. (Формула 3)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при его основании (Формула 4).

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Обозначения в формулах, можно посмотреть на рисунке выше. Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно найти, исходя из величин основания и каждой стороны. (Формула 1) Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно определить,исходя из величин основания  и высоты, проведенной к этому основанию (Формула 2) Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности можно также вычислить через длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию треугольника (Формула 3) Знание величины угла между боковыми сторонами и длины основания также позволяет определить радиус вписанной окружности (Формула 4) Аналогичная формула (5) позволяет определить радиус вписанной окружности через боковые стороны и угол между ними

Признаки равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого присутствуют перечисленные ниже признаки, является равнобедренным.

• Два угла треугольника равны
• Высота совпадает с медианой
• Высота совпадает с биссектрисой
• Биссектриса совпадает с медианой
• Две высоты равны
• Две медианы равны
• Две биссектрисы равны
  

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника находится по следующим формулам:

,
 где
a — длина одной из двух равных сторон треугольника
b — длина основания
α — величина одного из двух равных углов при основании

β — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию.

См. также «Площадь треугольника».

Содержание главы:
 Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника | Описание курса | Равнобедренный треугольник 

   

profmeter.com.ua

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

 

 

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

 

Равнобедренный треугольник (понятие)

Свойства равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

 

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник

– это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие

виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

 

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

∠ BАC = ∠ BСA

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН₁ = СН₂ – высота, АМ₁ = СМ₂ – медиана, АL₁ = СL₂ – биссектриса, проведённые из  углов при основании

 

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис.

4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

 

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

 

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

 ,

. 

Формулы длины равных сторон (а):

 .

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

. 

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

 

карта сайта

 

Коэффициент востребованности 204

xn--80aaafltebbc3auk2aepkhr3ewjpa.xn--p1ai

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

---

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

 

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

 

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

 

 

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

 

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 сентября 2011

Обновлено: 27 мая 2017

www-formula.ru

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

   

то

   

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

   

то

   

Эту формулу можно упростить

   

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

   

Если найти площадь по боковой стороне  b и высоте, проведенной к основанию ha:

   

   

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

   

Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

   

то

   

Из прямоугольного треугольника AOF

   

   

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

   

а затем из треугольника AOF — OF:

   

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

www.treugolniki.ru

Свойства равностороннего треугольника | Треугольники

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

 

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

 

 

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Если a — сторона треугольника, то

   

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

BO=R,

   

или

   

 

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

OF=r,

   

или

   

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

R=2r.

9) Площадь равностороннего треугольника равна

   

периметр —

   

www.treugolniki.ru