Величина угла градусная мера. Градусная мера угла. Определение. Радианная мера угла

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

• угол;
• развёрнутый и неразвёрнутый угол;
• градус, минута и секунда;
• градусная мера угла;
• прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.

Определение 1

Градус — это единица измерения. В геометрии он представляет собой угол, с которым сравнивают другие углы.{\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° — развернутый угол, четверть – 90° — прямой угол и т.д.

Радианная мера угла

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

Градусная мера угла – это положительное число, показывающее сколько раз градус и его части укладываются в угле.

У слова «угол» есть разные толкования. В геометрии углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, которые выходят из одной точки, так называемой вершины. Когда рассматриваются прямые, острые и развёрнутые углы, имеются ввиду именно геометрические углы.

Как и любые геометрические фигуры, углы можно сравнивать. В области геометрии описать, что один угол большего или меньшего размера по сравнению с другим, сегодня несложно.

За единицу измерения углов взят градус – 1/180 часть развернутого угла.

У каждого угла есть градусная мера, больше нуля. Развёрнутый угол соответствует 180 градусам. Градусная мера угла ровна сумме всех градусных мер углов, на которые можно разбить исходный угол лучами.

От любого луча к заданной плоскости можно отложить угол с градусной мерой не более 180 градусов. Мера плоского угла, являющаяся частью полуплоскости – это градусная мера угла, имеющая аналогичные стороны. Меру плоскости угла, в составе которого находится полуплоскость, обозначают числом 360 – ?, где? является градусной мерой дополнительного плоского угла.

Прямой угол всегда равен 90 градусам, тупой – менее 180 градусам, но более 90, острый – не превышает 90 градусов.

Кроме градусной меры угла существует радианная. В планиметрии длину дуги окружности обозначают как L, радиус – r, а соответствующему центральному углу досталось обозначение – ?.. Соотношение этих параметров выглядит так: ? = L/r.

Как найти градусную меру угла?

Для многих в школе геометрия — это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.

Виды углов

Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.

Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.

Измерение угла

Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево — по нижней.

В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:

• Градусы = радианы/π х 180

Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92

Свойства углов

Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:

• Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла — 360.
• Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
• В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
• Величины равных углов одинаковы.
• Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.

Понимание этих правил и умение измерять углы — ключ к успешному изучению геометрии.

Определение градусной меры угла треугольника, вписанного в окружность

Угол между радиусом AO окружности, описанной около треугольника ABC и стороной AC равен . Найдите угол A треугольника ABC, если угол C равен .

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно сначала изобразить рисунок к данной задаче, а потом получить решение. Данная задача является примером того, как можно по-разному интерпретировать условие задачи, если нет конкретных указаний в условии. В данном случае в задаче получается два различных ответа в зависимости от того, как расположены точки треугольника по отношению к стороне треугольника. Если точки лежат по одну сторону от стороны треугольника, то определение угла треугольника сводится к теореме о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180º. В этом случае нам остается найти только один из углов треугольника, так как второй угол дан по условию. Для нахождения этого угла используют свойство вписанного угла в окружность: вписанный угол в окружность равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол. Для получения значения центрального угла потребовалось провести высоту в равнобедренном треугольнике (треугольник, построенный на двух радиусах окружности, является равнобедренным по определению). Итоговое значение угла получаем действием вычитания из 180º сумму двух других углов. Если точки лежат по разные стороны от прямой, то решение задачи упрощается, но только в вычислительном процессе. Для получения значения второго угла также как и в первом случае используется теорема о сумме углов треугольника и свойство вписанного угла в окружность.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 8-х классов при изучении темы «Окружность» («Центральный угол. Градусная мера дуги окружности», «Теорема о вписанном угле», «Описанная окружность»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Окружность».

Радианная мера углов

§ 11. Радианная мера углов

1. Понятие угла

В геометрии 
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

α ∈ (–×; +×).

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB  его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.

 Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так: 

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
 Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

 Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3  и 3π/4 .

В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;

7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

4) 7 6 π; 5) − π 18 ;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
 5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

 

12 что такое градусная мера угла. Градусная мера угла. Определение. можно познакомиться с функциями и производными

Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом «Пи», которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да…

Стандартные задания по тригонометрии с числом «Пи» решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона — валит наповал! Чтобы не свалиться — понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле — всё поймём!

Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла . Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии — никуда.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили… Да и в жизни частенько встречаемся с фразой «повернул на 180 градусов», например. Градус, короче, штука простая…

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то…

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было… Веков 40 назад… И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус — это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее… Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак… Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно… Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя… В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926… раз.

Это и есть число «Пи». Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой — бесконечное число цифр без всякого порядка… Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

Где L — длина окружности, а d — её диаметр.

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число «Пи» сидит не только в геометрии… В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь… Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие — 360? И в каком варианте этих делителей нацело — больше? Людям такое деление очень удобно. Но…

Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся… Высшая математика — дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: «Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245… И что мне делать? Нет уж…» Пришлось послушаться. Природу не обманешь…

Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь — радиан!

Радианная мера угла.

Что такое радиан? В основе определения радиана — всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L ) равна длине радиуса (R ). Смотрим картинки.

Маленький такой угол, почти и нет его… Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан . L = R

Чувствуете разницу?

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Да! Этот хвостик — 0,1415926…. Здравствуй, число «Пи», мы тебя ещё не забыли!

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926… радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926… неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

А вот в Интернете число

писать неудобно… Поэтому я в тексте пишу его по имени — «Пи». Не запутаетесь, поди?…

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

Или точное равенство:

Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 3,14:

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

Но главное умение этой темы — перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом «Пи», всё очень просто. Мы знаем, что «Пи» радиан = 180°. Вот и подставляем вместо «Пи» радиан — 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле «Пи»/2 радиан ? Вот и пишем:

Или, более экзотическое выражение:

Легко, верно?

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = «Пи» радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 180. Представлять «Пи» как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

Или, аналогично:

Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы — это очень просто. Да и перевод без проблем… И «Пи» — вполне терпимая штука… Так откуда путаница!?

Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов — пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов . А значок радианов (рад ) — не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что… Но решили не писать. Если внутри синуса — котангенса нет никаких значков, то угол — в радианах ! Например, cos3 — это косинус трёх радианов .

Это и приводит к непоняткам… Человек видит «Пи» и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры — стандартные. Но «Пи» — это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это «Пи» радиан = 180°!

Ещё раз: «Пи» — это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно «Пи» шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить «Пи» килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся…

«Пи» — это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

Или, что меньше?

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать…

Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: «Пи» — это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол — в градусах ! Стало быть, заменять «Пи» на 180° — нельзя! «Пи» градусов — это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там — радианы ! Вот здесь замена «Пи» на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05° .

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси . Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут… И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются… Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге — сплошь и рядом.

Во второй строчке — тоже углы специальные… Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо — ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных — именно про эти углы вы должны знать всё . И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° — уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего… Но об этом подробнее — в следующем уроке.

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно — уже не ваша проблема.) Но перевод углов — это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже…

Второй мощный шаг — это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да…) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

1. В какую четверть попадают углы:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Легко? Продолжаем:

2. В какую четверть попадают углы:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Тоже без проблем? Ну, смотрите…)

3. Сможете разместить по четвертям углы:

Смогли? Ну вы даёте..)

4. На какие оси попадёт уголок:

и уголок:

Тоже легко? Хм…)

5. В какую четверть попадают углы:

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю…)

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами — можете не посещать 555. Не настаиваю.)

Хорошее понимание — достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение 1

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения .

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч , а точка O – начало луча .

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым .

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла , другая – внешняя область угла . Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными , если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными , если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные .

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус .

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны . Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом . Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые — больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком «.

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками «, то есть «».

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21″45″». Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30″ равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)» или 18″. Таким образом, использование минут и секунд — это лишь вопрос удобства.

Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла (рис. 14). Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется развернутым.

Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют

символом Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами:

Говорят, что луч с проходит между сторонами угла если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 15 луч с проходит между сторонами угла так как он пересекает отрезок

В случае развернутого угла любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Углы измеряются в градусах. Если взять развернутый угол и разделить его на 180 равных углов то градусная мера каждого из этих углов называется градусом.

Основные свойства измерения углов выражены в следующей аксиоме:

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла то угол равен сумме углов

Градусная мера угла находится при помощи транспортира.

Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Сформулируем основное свойство откладывания углов.

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Рассмотрим полупрямую а. Продлим ее за начальную точку А. Полученная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке 16 показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Т. 1. 2. Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.

Пусть — углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол меньше угла . В теореме 1. 2 утверждается, что луч проходит между сторонами угла (рис. 17).

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между сторонами и делит угол пополам. На рисунке 18 луч — биссектриса угла

В геометрии существует понятие плоского угла. Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существуют два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 19 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

• угол;
• развёрнутый и неразвёрнутый угол;
• градус, минута и секунда;
• градусная мера угла;
• прямой, острый и тупой углы.{\circ}$

  В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

  Измерение углов. Транспортир

  Цели:

  • Образовательная: сформировать представление о градусе, как единице измерения угла, познакомить со структурой транспортира, научить измерять градусную меру угла с применением транспортира.
  • Развивающая: любознательность, самостоятельность, целеустремленность, развитие креативного мышления.
  • Воспитательная: интерес к предмету, уважение к одноклассникам, взаимопомощь.

  Оборудование урока:

  • Интерактивный комплекс.
  • Презентация.
  • Транспортир пластмассовый, классный.
  • Учебники, письменные принадлежности, транспортиры.

  Ход урока

  1. Организационная часть.
  2. Повторение материала предыдущего урока по теме «Угол. Типы углов».
  3. Определение темы и целей урока.
  4. Изучение материала по теме урока.
  5. Решение примеров по изученной теме урока.
  6. Закрепление материала.
  7. Домашнее задание.

  1.

  Повторение материала предыдущего урока по теме «Угол. Типы углов»

  Задание 1. На интерактивной модели построить острый угол. Назвать угол, записать обозначение угла, указать его тип (слайд 3).

  Задание 2. На интерактивной модели построить тупой угол. Назвать угол, записать обозначение угла, указать его тип (слайд 3).

  Задание 3. Учитель на интерактивной модели строит составные углы (слайд 3). Ученики называют углы, типы углов, записывают обозначение созданных углов, сравнивают углы.

  Задание 4. На интерактивной модели построить все углы (слайд 3). Назвать углы, указать типы углов, записать обозначения углов, сравнить углы. Сколько углов построено на рисунке?

  2. Запись темы в тетрадь, определение целей урока
  3. Изучение темы урока

  Учитель: Ребята! Сегодня на уроке, мы с вами научимся применять транспортир, для определения градусной меры угла.
  Обратите внимание! На слайде показаны применяемые для измерения углов три вида транспортиров: полукруговые (1, 2, 3), круговой (4), геодезический (5).

  Какие транспортиры есть в вашем инструментарии, и какой имеется в классе для измерения и построения углов?

  Ответы учеников.

  Учитель: Рассмотрим структуру транспортира, его составные части. Обратите внимание на слайд 5 нашей презентации. Анимированные стрелки показывают не только расположение двух угломерных шкал транспортира, но и направление определения градусной меры угла от начального значения – 00, внешней или внутренней шкалы, до конечного значения 1800 по каждой из угломерных шкал.

  (При необходимости анимацию данного слайда можно повторить несколько раз).

  Учитель: Сколько существует угломерных шкал?

  Ответы учеников.

  Учитель: Возьмите свои транспортиры, рассмотрите их и найдите угломерные шкалы на своих транспортирах и место расположения начального значения – нуль, каждой шкалы и конечное значение этих шкал.

  Ученики рассматривают свои транспортиры, находят и показывают учителю результат свой работы.

  Учитель: На слайде № 6 презентации показано расположение центра транспортира и его обозначение. Центр транспортира может обозначаться черточкой, окружностью, концентрическими окружностями, отверстием.

  Вы легко сможете найти и показать центр своих транспортиров.

  Ученики показывают центр своих транспортиров.

  Учитель: А сейчас познакомимся с единицей измерения углов – градусом. Обратите внимание, шкала транспортира штрихами поделена на 180 долей (слайд 7). Расстояние между двумя соседними штрихами, которые показаны анимацией и есть 1/180 доля развернутого угла. Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен 1 доли от 180. Таким образом, градусом называют 1/180 долю развернутого угла. Градусная мера развернутого угла равна 180 градусам.

  Учитель: Скажите, что такое градус?

  Ученики отвечают.

  Учитель: На сколько долей поделена шкала транспортира?

  Ученики отвечают.

  Учитель: Сколько углов можно провести через каждые два соседних штриха шкалы транспортира?

  Ученики отвечают.

  Учитель: Обратите внимание на то, каким символом обозначают градус. (слайд 8).

  Учитель: А сейчас я прошу записать значения углов: 25 градусов, 107 градусов, 64 градуса (слайд 9).

  Некоторые ученики делают записи на доске.

  Затем, ученики называют градусные меры, которые записали на доске и те, которые представлены на слайде 8 презентации.

  Учитель смотрит и проверяет записи учеников.

  Учитель: На транспортире, кроме делений в 1 градус, есть деления по 5 градусов (слайд 10).

  Посмотрите на свои транспортиры и найдите деления по 5 градусов.

  Ученики находят и показывают эти деления.

  Учитель: На транспортире есть и более крупные деления – по 10 градусов. (Слайд 11).

  Найдите эти деления на своих транспортирах.

  Ученики находят и показывают эти деления.

  Учитель: А сейчас познакомимся с тем, как правильно записывать обозначение углов и их значение (слайд 12). Обратите внимание на то, что вершина О угла АОВ находится в центре полуокружности. Луч ОА проходит через нулевую отметку (начало отсчета), а луч ОВ проходит через отметку 110 градусов. Записывают значение угла так, как показано на слайде 12.

  Обратите внимание! У вас есть карточки №K-1 – K-6. На этих карточках запишите значение каждого угла.

  Ученики записывают обозначение углов с их градусной мерой. Затем показывают результаты выполненной работы.

  Называют углы и их градусные меры. Во время такой работы, углы можно показать с использованием документ-камеры или со слайда презентации.

  Учитель: Вспомним, что представляет собой Развернутый угол (слайд 13).

  Ученики дают определение Развернутого угла.

  Учитель: Обратите внимание, что градусная мера развернутого угла равна 180 градусам.

  Учитель: А какой угол называют прямым? (Слайд 14).

  Ученики проговаривают определение прямого угла.

  Учитель: Обратите внимание на то, что градусная мера прямого угла равна 90 градусов.

  Покажите те карточки, где показаны прямые углы.

  Ученики показывают карточки с прямыми углами.

  Учитель: Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения. Поэтому с помощью следующих слайдов презентации сравним углы и выясним, какие углы равны между собой, а какие углы не равны, а также определим градусную меру углов (слайды 15-19).

  Ученики смотрят, сравнивают, определяют градусную меру углов.

  Учитель: Ребята! У вас есть карточки №U-1, U-2. Измерьте транспортиром углы и найдите среди них равные между собой углы.

  Ученики измеряют и находят равные углы.

  Учитель: Сейчас мы применяли транспортир для измерения углов, но его можно применять и для построения углов. (Слайд 20) Построим угол 50 градусов, одной стороной которого служит луч OB.

  Учитель по анимированному слайду объясняет алгоритм построения угла (слайд 20). При необходимости анимацию данного слайда можно повторить.

  Учитель: Ребята! Расскажите алгоритм построения угла.

  Ученики рассказывают алгоритм построения угла.

  Учитель: Закрепим алгоритм построения угла. (Слайд 21).

  Ученики рассказывают алгоритм, проверяют свои ответы с действиями, которые показаны на слайде.

  Учитель: Обратите внимание на углы, которые называют острыми (слайд 22). Как вы думаете, почему эти углы называют острыми углами?

  Ученики отвечают на вопрос, используя слайд презентации, на котором показано, что все острые углы меньше 90 градусов.

  Учитель: За основу построений острых углов была выбрана внутренняя шкала транспортира.

  Учитель: Если за основу построений углов также принять внутреннюю шкалу транспортира, то следующие углы, которые показаны на слайде 23, будут называться тупыми углами?

  Ученики смотрят на слайд, отвечают на вопрос.

  Учитель: Почему эти углы называют тупыми углами?

  Ученики отвечают.

  Учитель: А теперь познакомимся с острыми и тупыми углами, но за основу построений примем внешнюю шкалу транспортира.

  Учитель: Какие углы называются острыми углами? (Слайд 24).

  Ученики отвечают на вопрос.

  Учитель: Обратите внимание, что сейчас мы рассматриваем углы относительно внешней шкалы транспортира.

  Учитель: Как называются углы, представленные на слайде 25? Объясните, почему их так называют.

  Ученики дают ответ на поставленный вопрос.

  Учитель: На слайде 26 будут последовательно показаны углы. Ваша задача, записать в тетрадь градусные меры углов, назвать угол и его градусную меру, указать его тип и шкалу, относительно которой определяли градусные меры углов.

  Ученики дают ответы по слайду 26 презентации, результаты ответов записывают в тетрадь.

  Учитель: На слайде 27 будут последовательно показаны углы. Задача состоит в том, что вызываемый к доске ученик должен своим транспортиром измерить угол и записать на доске результат измерений, указать тип угла. Остальные ученики наблюдают за правильностью выполняемых измерений и делают записи в тетрадях.

  Учитель: Разберем решение №1653 (а), которое представлено на слайде 28.

  • Начнем с углов, которые равны между собой (слайд 28). ∠AOC =∠COB=90^o.
  • (ЩЛКМ. Слайд 28). По условию задачи ∠AOC > ∠COB в три раза. Т.е. ∠AOC состоит из трех углов СОВ.
  • (ЩЛКМ. Слайд 28). Из этого следует, что луч ОС разделит развернутый угол на два смежных угла. При этом, слева от луча ОС будет создан тупой угол, а справа – острый. На слайде 28, анимацией показано, что луч ОС создал два смежных угла: ∠AOC – тупой угол и ∠COB – острый угол.
  • (ЩЛКМ. Слайд 28). Предположим, что луч ОС теперь находится там, где и должен находиться. По схеме видно, что развернутый угол состоит из суммы двух смежных углов:

  ∠АОВ=∠АОС + ∠СОВ = 3∠СОВ + ∠СОВ = 4∠СОВ.

  • Из этого равенства, мы можем найти градусную меру угла СОВ:

  ∠СОВ = ∠АОВ : 4 = 180^o : 4 = 45^o.

  • А теперь посмотрим, через какое значение проходит луч ОС.
  • (ЩЛКМ. Слайд 28). Видим, что луч ОС проходит через значение 400 по внутренней шкале, а должен проходить через значение 45^o. (ЩЛКМ. Слайд 28).
  • Значение угла АОВ можно вычислить, но можно значение этого угла найти на внешней шкале, т.к. луч ОС проходит через ее значение 135^o. Таким образом, ∠АОС = ∠АОВ – ∠СОВ = 180^o – 45^o = 135^o.

  (Данное решение привожу с применением транспортира и анимированной схемы, т.к. это позволяет эффективно воздействовать на формирование образного мышления учащихся. Ученикам говорю и том, что вычислив одно значение, второе значение можно увидеть на противоположной шкале транспортира. Все это показано в предлагаемой презентации).

  4. Решение примеров по изученной теме урока

  Учитель: Выполняем задание №1649 на стр.251 учебника. (Слайд 29).

  Ученики выполняют задание и делают записи в тетрадях. Один из учеников работает у доски.

  Чтобы ученики могли проверить свои ответы, на слайд 29 создана анимация решения данного номера. Анимация является дополнительным способом воздействия на образное мышление учеников.

  Учитель: Выполняем задание №1651 на стр.251 учебника. (Слайд 30).

  Ученики выполняют задание, записывают результаты измерений в тетрадь.

  Проверить правильность выполнения задания можно по слайду 30.

  Учитель: Выполняем №1652 на стр.251 учебника. (Слайд 31).

  В случае затруднения можно показать подготовленную анимацию на слайде 30.

  5. Закрепление материала

  Слайд 32.

  • Как называется инструмент для измерения и построения углов?
  • Назовите составные части транспортира.
  • Что такое градус?
  • Какие углы называются острыми углами?
  • Какие углы называются тупыми углами?
  • Чему равна градусная мера прямого угла?
  • Чему равна градусная мера развернутого угла?
  • Какой из углов, представленных на слайде 32, является: прямым, острым или тупым углом? Объясните данный ответ, используя интерактивные возможности слайда.
  6. Домашнее задание

  Стр.255, №1682, 1683; стр. 256, 1692(а).

  Урок «Измерение углов. Транспортир» (5 класс) – Документ 1 – УчМет

  УРОК ПО ТЕМЕ

  «ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. ТРАНСПОРТИР»

  ЦЕЛИ УРОКА:

  дидактическая— научить измерять углы с помощью транспортира, дать понятие «градус», познакомить с другими единицами измерения углов, с приборами: теодолит, гониометр, нивелир, кипрегель, познакомить с историей возникновения градусной единицей измерения углов

  развивающая — развивать память, внимание, логическое мышление, уметь обобщать и делать

  выводы, развивать навыки сравнения

  воспитательная — воспитывать усидчивость, аккуратность выполнения построения, культуру общения

  ТИП УРОКА — Урок изучения новых знаний.

  ОБОРУДОВАНИЕ: заготовки для измерения углов, разноцветные макеты углов, часы, «мордочки» для определения настроения.

  МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

  1) словесный

  2. наглядный

  3. частично- поисковый

  4. репродуктивный

  5. практический
     ПРИНЦИПЫ: актуализации и проблемности.

  ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ:

  1. фронтальный

  2. работа в парах

  3. индивидуальный

  ХОД УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Активизация мыслительной деятельности.

  3. Объяснение новой темы

  4. Закрепление по ходу изложения нового материала.

  5. Домашнее задание.

  1.ВОПРОС Ы :

  1. Что называют углом?

  2. Какой угол называют развернутый?

  3. Какой угол называют прямым ?

  4. Сколько прямых углов содержит развернутый угол?

  5. какой угол называют острым?

  6. Какой угол называется тупым?

  7.Какое время показывают часы если угол между стрелками прямой, развернутый?

  
  2. С помощью чертежного угольника определить вид угла

  На правильные ответы на вопросы в течении урока раздавать жетоны.

  3. Работа в парах: Цветной набор моделей углов, разложить на парте в порядке их уменьшения. Повторить название видов углов.

  Как легко проверить, правильно ли вы выполнили задачу? (наложением)

  ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ:

  ПРОБЛЕМА: На доске начерчены углы и даны градусы . Установить соответствие между углами и градусами.

  
  

  180⁰, 30⁰, 150⁰, 90⁰.

  Вам знакома эта запись? Что она обозначает?

  Цель урока: Сегодня на уроке мы научимся измерять углы! Сейчас я предлагаю вам отгадать загадку.

  ЗАГАДКА:

  Согласно словарю Даля: этот прибор — угломер.

  Согласно словарю Ожегова: он — чертежный прибор — разделенный на градусы полукруг для измерения углов и нанесения их на чертеж

  Большая Советская Энциклопедия говорит: это -приспособление для построения и измерения углов на чертежах.

  Итак тема сегодняшнего урока «ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. ТРАНСПОРТИР».

  Рассмотреть шкалу транспортира. Мы уже знаем один измерительный инструмент- линейка. Положите рядом линейку и транспортир. Что общего между ними? Обратить внимание на центр транспортира. Послушаем сообщения об истории возникновения транспортира:

  Углы меряют в градусах, минутах и секундах. Эти угловые меры возникли в глубокой древности. Предполагают, что это было связано с созданием календаря. Древние математики нарисовали круг и разделили его на столько частей, сколько дней в году. Но они думали, что в году не 366 и не 365 дней, а 360. Поэтому круг они разделили на 360 частей. Такое изображение года было очень полезным: на нем можно было отметить любой день.

  Полукруглая шкала транспортира разделена на 180 частей. А на всей окружности таких делений 360, как на древнем календаре. Древние греки уже знали, что в году не 360 дней, а больше, но деление круга на 360 равных частей сохранили. Древние римляне дали каждой такой части название «градус». Обозначается специальным значком 1°.

  Слово «градус» — латинское слово, означает «шаг», «ступень». Измерение углов в градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне. В расчетах там использовалась шестидесятеричная система счисления, шестидесятеричные дроби. Поэтому вавилонские математики, а за ними и греческие и индийские, полный оборот делили на 360 частей — градусов. Градусная мера сохранилась до наших дней. Используются более мелкие единицы измерения угла: минута и секунда. 1 градус=60 минутам, 1минуга=60 секундам, обозначается так:

  1°= 60^/. 1^/=60″

  Прочитать определение градуса в учебнике .Итак : 1/180 часть развернутого угла называют градусом. В каких единицах измеряют углы ?

  На уроках математики мы с вами углы будем измерять только в градусах, а на уроках географии, астрономии будете измерять в других единицах: минутах и секундах. А сейчас ,ребята мы с вами научимся измерять углы с помощью транспортира. Транспортиры бывают с одной шкалой и двумя шкалами. Поднимите руки у кого транспортир с одной шкалой, а у кого с двумя.

  Измерим угол АОВ (уже начерчен на доске, учитель показывает как его измерять, и рассмотреть неправильное приложение транспортира).

  Ученики измеряют углы на заготовках, по рядам углы в 26, 60,154 градусов.

  ЗАДАНИЕ КЛАССУ : Измерить на заготовке прямые углы (по рядам: 1 ряд — угол 1, 2 ряд- угол 3. 3 ряд – угол 6. ВЫВОД: Прямой угол =90 градусам. Углы 1, 3, 6 равны 90 градусам

  Как не измеряя развернутый угол узнать его величину? Рассмотри рис. 183. Проверить угол МКР=180 градусов?

  На этом же рисунке:

  а) Назовите градусные меры углов АСЕ и FHL

  б) Назовите углы равные 180 градусам, 90 градусам. Прочитать определение прямого угла.

  Что можно сказать о градусных мерах равных углов? равные углы имеют равные градусные меры, больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру.

  ВЕРНЕМСЯ К ПРОБЛЕМЕ: найдем соответствие между углами и их градусными мерами.

  Ребята! Какой угол мы называли острым? Попробуйте дать определение острого угла, используя градусную меру; также тупого, прямого и развернутого.

  СОСТАВИМ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

  На заготовке самостоятельно измерить все углы кроме прямых углов (по одному). Ученики измеряют каждый угол, проговаривают алгоритм измерения.

  угол 2=133°, угол 4 =32°, угол 5= 112°, угол 7= 35°.

  ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

  В конце 8-го века при разработке метрической системы мер, французские ученые предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 частей. Такой угол называют «град»: 90° = 100 град.

  В градах измеряют углы в геодезии; в некоторых строительных расчетах, но широкого распространения она не получила. Для точного измерения углов созданы различные инструменты. Основная часть этих приборов — шкала, похожая на шкалу транспортира.

  Например: ТЕОДОЛИТ- для измерения углов при съемке ( круг- лимб, с угловыми делениями: градусы, полуградусы, грады и др.)

  ГОНИОМЕТР- небольшой, удобный при передвижении инструмент , служит для измерения углов, построения прямых углов.

  НИВЕЛИР -инструмент при помощи которого получается горизонтальная плоскость й-ти горизонтальный луч. позволяющий определять насколько точка находится выше или ниже другой.

  КИПРЕГЕЛЬ- для визирования на определяемые точки местности.

  Транспортир применяют и для построения углов.

  Построим угол АОВ=50 градусам. Учитель объясняет построение.

  Peбята! Кроме того, что мы должны научиться строить углы с помощью транспортира, но и строить их на глазок. Для этого проведем практическую работу: построим из одного узла клетки углы 10, 20, ….. 80 градусов.

  Строят. Находят узлы. Заполняют таблицу для своего угла. Проверяем вместе с помощью таблицы. Меняются табличками: теперь сосед используя координаты из соседней таблички строит угол и проверяет его с помощью транспортира.

  УГОЛ
  100	6	1
  200	8	3
  300	7	4
  400	6	5
  500	5	6
  600	4	7
  700	3	8
  800	1	6

  ИТОГ УРОКА:

  1) Для чего служит транспортир?

  2. На сколько делений разделена шкала транспортира?

  3. Что такое градус?

  4. Сколько градусов содержит развернутый угол?

  5. Сколько градусов содержит прямой угол?

  6. Какой угол называют острым?

  7. Какой угол называют тупым?

  8. Какой угол можно построить без транспортира?

  Кому понравился урок тот пусть возьмет зеленую улыбающуюся рожицу, а кому нет- желтую .

  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: п. 42 -выучить определения, № 1620, 1654, 1655.

  ПРИЛОЖЕНИЕ:

  АСТРОЛЯБИЯ

  
  

  Установка теодолита в вершине угла

  
  

  
  

  Гониометр

  
  

  
  

  Кипрегель

  
  

  
  

  Нивелир технический НВ-1

  
  

  
  

  ТЕОДОЛИТ

  Урок по теме: «Угол.Градусная мера угла».

  Краткосрочный план урока по математике

  Школа: КГУ ШГ №118

  Дата: 11.04.2018г.

  ФИО учителя: Курбанова Э.М.

  Класс: 5 «Б» класс.

  Количество присутствующих:

  отсутствующих:

  Тема урока:

  Угол. Градусная мера угла

  Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу):

  5.3.1.4

  усвоить понятия угла и его градусной меры, обозначать и сравнивать углы;

  5.3.1.5

  различать виды углов (острый, прямой, тупой, развёрнутый, полный);

  5.3.3.3

  решать задачи на нахождение градусной меры угла, на сравнение углов;

  Цели урока:

  Формулируют определение угла;

  Различают виды углов;

  Обозначают и сравнивают углы.

  Критерии оценивания:

  Все: — Формулируют определение угла

  — Различают виды углов

  — Обозначают и сравнивают углы

  Большинство:

  — Решают задачи на нахождение градусной меры угла

  Межпредметные

  Связи

  Взаимосвязь с предметами: геометрия, черчение, естествознание

  Навыки

  использования

  ИКТ

  На данном уроке учащиеся используют презентацию на интерактивной доске

  Предварительные

  Знания

  Выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями;

  Находят процент от данного числа, и число по его проценту.

  Ход урока

  Этапы урока

  Запланированная деятельность на уроке

  Ресурсы

  Начало урока

  1. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится…».

  Середина урока

  Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки.

  Задание: Выполните действия с дробями. Расположите полученные числа в порядке убывания и вы получите то понятие, которое будет интересовать нас сегодня на уроке.

  Ответ: угол.

  По методу «Снежный ком» изучают новый материал.

  Ученики работают над текстом. Демонстрируют свои знания, по изученной теме: “Угол. Градусная мера угла”.

  1-группа: Острый угол; Выполнение чертежа,

  2-группа: Прямой угол; обозначение угла,

  3-группа: Тупой угол; определение угла

  4-группа: Развернутый угол.

  Задание  

  . Исправьте ошибки в определениях.

  1. Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей.

  2. Градус – это  часть развернутого угла.

  3. Тупой угол меньше острого.

  4. Прямой угол составляет половину от развернутого.

  Задание 2. Не прибегая к измерениям, укажите угол, равный 90⁰, 50⁰,140⁰, 180⁰,

  Рисунок 2.

  Презентация

  Учебник:

  Рабочая тетрадь:

  Ресурсы

  Вывод: на рисунке изображены тупой, острый и прямой угол.

  Задание 3

  Вычислите величину угла.

  Рисунок 3.

  
  
  

  Дано:

  DAC =70⁰

  CAB = 60⁰

  Найти: DAB

  Дано:

  GEF =30⁰

  HEG В ТРИ РАЗА БОЛЬШЕ УГЛАGEF

  Найти: HEF

  Дано:

  КМS =150⁰

  KML =65⁰

  Найти: LMS

  Задание 4

  Задачи на часть от числа, число по части, проценты, связанные с понятием прямого угла, развернутого угла.

  1. Чему равен угол, градусная мера которого составляет  прямого угла?

  2. Прямой угол составляет  некоторого угла. Найдите этот угол.

  3. Какую часть угол в 60⁰ составляет от развернутого угла?

  4. Сколько процентов составляет угол в 45⁰ от развернутого угла

  Конец урока

  Подведение итогов урока. Проведение рефлексии урока.

  Домашнее задание: №1187, №1189

  Дифференциация

  Каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

  Оценивание

  Как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

  Здоровье и соблюдение техники безопасности

  1. Классификация: при формировании гетерогенной группы в начале урока

  2. Задания: По уровням сложности.

  3. Дифференциация по принципу углубления при закрепления изучаемого материала

  Диалог и поддержка: при выполнения групповых и парных работ, консультация учащихся друг другу, помощь учителя по необходимости

  1. Учащиеся в парах проводит взаимооценивание

  2. Самооценивание с помощью шаблона правильных ответов

  Формативное оценивание на протяжения всего урока

  Ребята давайте немного подвигаемся. Проведение физминутки.

  углов | Precalculus II

  Преобразование между градусами и радианами

  Разделение круга на 360 частей — выбор произвольный, хотя при этом создается знакомая величина в градусах. Мы можем выбрать другие способы разделить круг. Чтобы найти другую единицу, представьте себе процесс рисования круга. Представьте, что вы остановились до того, как круг завершился. Нарисованная вами часть называется дугой. Дуга может быть частью полного круга, полного круга или более чем полного круга, представленного более чем одним полным оборотом.Длина дуги вокруг всего круга называется окружностью этого круга.

  Окружность круга

  \ Displaystyle С = 2 \ пи р

  С = 2πr. Если разделить обе части этого уравнения на

  \ displaystyle r

  r, мы создаем отношение длины окружности к радиусу, которое всегда равно

  \ displaystyle 2 \ pi

  2π независимо от длины радиуса. Таким образом, длина окружности любого круга равна

  . \ displaystyle 2 \ pi \ приблизительно 6,28

  2π≈6.В 28 раз больше длины радиуса. Это означает, что если мы возьмем струну, равную радиусу, и будем использовать ее для измерения последовательных длин по окружности, то будет место для шести полных длин струны и чуть больше четверти седьмой, как показано на рисунке 10
  

  Рисунок 10

  Это подводит нас к нашей новой угловой мере. Один радиан — это мера центрального угла окружности, которая пересекает дугу, равную по длине радиусу этой окружности.Центральный угол — это угол, образованный в центре круга двумя радиусами. Поскольку общая окружность равна

  \ displaystyle 2 \ pi

  2π радиуса, полный круговой поворот равен

  \ displaystyle 2 \ pi

  2π радиан. Итак

  2π радиан = 360∘π радиан = 360∘2 = 180∘1 радиан = 180∘π≈57,3∘

  2π радиан = 360∘π радиан = 360∘2 = 180∘1 радиан = 180∘π≈57,3∘

  Обратите внимание, что когда угол описывается без конкретной единицы измерения, он относится к радианам. Например, величина угла 3 означает 3 радиана.Фактически, радиан безразмерен, так как он представляет собой частное деления длины (окружности) на длину (радиус) и сокращение единиц длины.

  Рис. 11. Угол t выметает величину в один радиан. Обратите внимание, что длина перехваченной дуги равна длине радиуса круга.

  Отношение длины дуги к радиусу

  Длина дуги

  \ displaystyle s

  s — длина кривой вдоль дуги.Так же, как полная длина окружности всегда имеет постоянное отношение к радиусу, длина дуги, образованная любым заданным углом, также имеет постоянную связь с радиусом, независимо от длины радиуса.

  Это отношение, называемое мерой радиан , одинаково независимо от радиуса круга — оно зависит только от угла. Это свойство позволяет нам определить меру любого угла как отношение длины дуги

  \ displaystyle s

  s к радиусу

  \ Displaystyle r

  р.

  \ Displaystyle \ begin {array} {l} s = r \ theta \\ \ theta = \ frac {s} {r} \ end {array}

  s = rθ θ = r s

  Если

  \ displaystyle s = r

  s = r, затем

  \ displaystyle \ theta = \ frac {r} {r} = \ text {1 радиан} \ text {.}

  θ = r r = 1 радиан.

  Рис. 12. (a) Под углом в 1 радиан длина дуги

  \ displaystyle s

  s равен радиусу

  \ Displaystyle r

  р. (б) Угол в 2 радиана имеет длину дуги

  . \ Displaystyle s = 2r

  s = 2r.(c) Полный оборот —

  \ displaystyle 2 \ pi

  2π или около 6,28 радиана.

  Чтобы развить эту идею, рассмотрим две окружности, одну с радиусом 2, а другую с радиусом 3. Напомним, что длина окружности равна

  . \ Displaystyle C = 2 \ pi r

  C = 2πr, где

  \ displaystyle r

  r — радиус. Тогда меньший круг имеет окружность

  . \ displaystyle 2 \ pi \ left (2 \ right) = 4 \ pi

  2π (2) = 4π, а больший имеет окружность

  \ Displaystyle 2 \ пи \ влево (3 \ вправо) = 6 \ пи

  2π (3) = 6π.Теперь мы рисуем угол 45 ° на двух окружностях, как показано на рисунке 13.

  Рис. 13. Угол 45 ° составляет одну восьмую длины окружности, независимо от радиуса.

  Обратите внимание, что произойдет, если мы найдем отношение длины дуги к радиусу круга.

  \ displaystyle \ begin {array} {c} \ text {Меньший круг:} \ frac {\ frac {1} {2} \ pi} {2} = \ frac {1} {4} \ pi \\ \ text { Большой круг:} \ frac {\ frac {3} {4} \ pi} {3} = \ frac {1} {4} \ pi \ end {array}

  Меньший круг: 2 2 1 π = 4 1 π Большой круг: 3 4 3 π = 4 1 π

  Поскольку оба отношения равны

  \ displaystyle \ frac {1} {4} \ pi

  4 1 π, размеры углов обеих окружностей одинаковы, хотя длина и радиус дуги различаются.

  ОБЩЕЕ ПРИМЕЧАНИЕ: РАДИАНЫ

  Один радиан — это мера центрального угла окружности, при которой длина дуги между начальной и конечной сторонами равна радиусу окружности. Полный оборот (360 °) равен

  . \ displaystyle 2 \ pi

  2π радиан. Половина оборота (180 °) эквивалентна

  \ displaystyle \ pi

  π радиан.

  радиан. угла — это отношение длины дуги, образованной этим углом, к радиусу окружности.Другими словами, если

  \ displaystyle s

  s — длина дуги окружности, а

  \ displaystyle r

  r — радиус круга, тогда центральный угол, содержащий эту дугу, равен

  . \ displaystyle \ frac {s} {r}

  r s радиан. В круге радиуса 1 радианная мера соответствует длине дуги.

  Вопросы и ответы

  ИЗМЕРЕНИЕ 1 РАДИАН ВЫГЛЯДИТ НА 60 °. ЭТО ВЕРНО?

  Да. Это примерно 57.\ circ

  2π 360 ∘ ≈57,3 ∘.

  Использование радианов

  Поскольку радиан мера — это отношение двух длин, это безразмерная мера. Например, на рисунке 12 предположим, что радиус составляет 2 дюйма, а расстояние по дуге также составляет 2 дюйма. Когда мы вычисляем радианную меру угла, «дюймы» отменяются, и мы получаем результат без единиц измерения. Следовательно, нет необходимости писать метку «радианы» после радианной меры, и если мы видим угол, который не отмечен «градусами» или символом градуса, мы можем предположить, что это радианная мера.

  Рассматривая самый простой случай, единичный круг (круг с радиусом 1), мы знаем, что 1 поворот равен 360 градусов, 360 °. Мы также можем отследить один оборот по окружности, найдя длину окружности

  . \ displaystyle C = 2 \ pi r

  C = 2πr, а для единичной окружности

  \ Displaystyle C = 2 \ pi

  C = 2π. Эти два разных способа вращения по окружности дают нам возможность преобразовывать градусы в радианы.

  1 оборот = 360∘ = 2πрадиан 12 поворот = 180∘ = πрадиан 14 поворот = 90∘ = π2радиан

  1 оборот = 360∘ = 2πрадиан 12 поворот = 180∘ = πradians 14 поворот = 90∘ = π2radians

  Определение особых углов, измеряемых в радианах

  Помимо знания измерений в градусах и радианах четверти оборота, половины оборота и полного оборота, есть и другие часто встречающиеся углы в одном обороте окружности, с которыми мы должны быть знакомы.Часто встречаются кратные 30, 45, 60 и 90 градусов. Эти значения показаны на рисунке 14. Запоминание этих углов будет очень полезно при изучении свойств, связанных с углами.

  Рисунок 14. Часто встречающиеся углы, измеряемые в градусах

  Теперь мы можем перечислить соответствующие значения в радианах для общих мер круга, соответствующие перечисленным на рисунке 14, которые показаны на рисунке 15. Убедитесь, что вы можете проверить каждую из этих мер.

  Рисунок 15. Часто встречающиеся углы, измеряемые в радианах

  ПРИМЕР 2: ПОИСК ИЗМЕРЕНИЯ РАДИАНА

  Найдите одну треть полного оборота в радианах.

  РЕШЕНИЕ

  Для любой окружности длина дуги при таком повороте составляла бы одну треть окружности. Мы знаем, что

  \ Displaystyle 1 \ текст {поворот} = 2 \ pi r

  1 поворот = 2πr

  Итак,

  с = 13 (2πr) = 2πr3

  s = 13 (2πr) = 2πr3

  Радиан представляет собой длину дуги, деленную на радиус.{R}} {\ pi}

  180 θ = π θ R

  Эта пропорция показывает, что величина угла

  \ displaystyle \ theta

  θ в градусах, деленное на 180, равняется измерению угла

  . \ displaystyle \ theta

  θ в радианах, деленное на

  \ Displaystyle \ пи.

  π. Другими словами, градусы равны 180, а радианы —

  . \ Displaystyle \ пи

  π.

  \ displaystyle \ frac {\ text {Degrees}} {180} = \ frac {\ text {Radians}} {\ pi}

  180 градусов = π Radians

  Преобразование радианов в градусы

  Чтобы преобразовать градусы в радианы, используйте пропорцию

  . {R}} {\ pi}

  180 θ = π θ R

  ПРИМЕР 3: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДИАНОВ В ГРАДУСЫ

  Преобразование радианов в градусы.

  а.

  \ Displaystyle \ frac {\ pi} {6}

  6 π

  г. 3

  РЕШЕНИЕ

  Поскольку нам даны радианы и нам нужны градусы, мы должны установить пропорцию и решить ее.

  а. Используем пропорцию, подставляя данную информацию.

  θ180 = θRπθ180 = π6π θ = 1806 θ = 30∘

  θ180 = θRπθ180 = π6π θ = 1806 θ = 30∘

  г. Используем пропорцию, подставляя данную информацию.

  θ180 = θRπθ180 = 3π θ = 3 (180) π θ≈172∘

  θ180 = θRπθ180 = 3π θ = 3 (180) π θ≈172∘

  ПОПРОБОВАТЬ 3

  Конвертировать

  \ displaystyle — \ frac {3 \ pi} {4}

  — 4 3π радиана в градусы.

  Решение

  ПРИМЕР 4: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТЕПЕНИ В РАДИАНЫ

  Конвертировать

  \ displaystyle 15

  15 градусов в радианах.

  РЕШЕНИЕ

  В этом примере мы начинаем с градусов и хотим радиан, поэтому мы снова устанавливаем пропорцию и решаем ее, но мы подставляем данную информацию в другую часть пропорции. {\ circ} = \ frac {\ pi} {6}

  30 ∘ = 6 π.{\ circ} \ right)

  15 ∘ = 2 1 (30 ∘), мы можем найти, что

  \ Displaystyle \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)

  2 1 (6 π) равно

  \ Displaystyle \ frac {\ pi} {12}

  12 π.

  ПОПРОБОВАТЬ 4

  Преобразование 126 ° в радианы.

  Решение

  Посмотрите следующее видео, чтобы узнать о единицах измерения в радианах и о примерах преобразования радианов в градусы.

  Как найти недостающий угол треугольника (видео и примеры)

  Углы в треугольнике

  Треугольник — это простейший многоугольник.Это двухмерная (плоская) форма с тремя прямыми сторонами, образующими внутреннее замкнутое пространство. Он имеет трех внутренних углов . Одна из первых концепций геометрии состоит в том, что треугольники имеют внутренние углы, составляющие в сумме 180 °. Но откуда ты знаешь? Как вы можете доказать, что это правда? Давай выясним!

  1. Углы в треугольнике
  2. Как найти угол треугольника
• Формула угла треугольника
• Углы в треугольнике суммируются с доказательством 180 °

Как найти угол треугольника

У вас может быть треугольник, в котором помечены и измерены только два угла.Теперь, когда вы уверены, что все треугольники имеют внутренние углы в сумме 180 °, вы можете быстро вычислить недостающее измерение. Вы можете сделать это одним из двух способов:

1. Вычтите два известных угла из 180 °.
2. Подставьте два угла в формулу и используйте алгебру: a + b + c = 180 °

Как найти недостающий угол треугольника

Два известных угла треугольника: 37 ° и 24 °. Какой недостающий угол?

Мы можем использовать два разных метода, чтобы найти недостающий угол:

1. Вычтите два известных угла из 180 °:

180 ° — 37 ° = 143 °

143 ° — 24 ° = 119 °

с = 119 °

2. Подставьте два угла в формулу и используйте алгебру: a + b + c = 180 °

37 ° + 24 ° + c = 180 °

61 ° + с = 180 °

с = 119 °

Формула угла треугольника

Нарисуем треугольник и обозначим его внутренние углы тремя буквами a, b и c.У нашего образца сторона ac будет горизонтальной внизу и b вверху.

Теперь, когда мы обозначили наши углы, у нас есть формула, на которую мы можем ссылаться для углов. Это a + b + c = 180 °, что говорит нам, что если мы сложим все наши углы, они всегда будут равны 180.

Теперь давайте проведем линию, параллельную стороне ac, которая проходит через точку b (в которой также находится ∠b).

Эта новая параллельная линия создала два новых угла по обе стороны от ∠b. Обозначим эти два угла ∠z и ∠w слева направо.Сторона ab нашего треугольника теперь может рассматриваться как поперечная, линия, пересекающая две параллельные линии.

Теорема об альтернативных внутренних углах

По теореме об альтернативных внутренних углах мы знаем, что a конгруэнтно (равно) ∠z, а ∠c конгруэнтно w.

Мы тебя потеряли? Не отчаивайся! Теорема об альтернативных внутренних углах говорит нам, что поперечный разрез по двум параллельным линиям создает совпадающие альтернативные внутренние углы. Альтернативные внутренние углы лежат между параллельными линиями на противоположных сторонах трансверсали.В нашем примере a и ∠z являются альтернативными внутренними углами, как и ∠c и ∠w.

Теперь у нас есть три угла нашего треугольника, тщательно перерисованные и разделяющие точку b как общую вершину. У нас есть ∠z в качестве замены для thena, затем ∠b и, наконец, asw в качестве замены для ∠c. И смотрите, они образуют прямую линию!

Длина прямой составляет 180 °. Это тот же тип доказательства, что и доказательство параллельных прямых. Три угла любого треугольника всегда составляют 180 ° или прямую линию.

Теорема о сумме углов треугольника

Наша формула для этого — a + b + c = 180 °, где a, b и c — внутренние углы любого треугольника.

Углы в треугольнике суммируются с доказательством 180 °

Чтобы выполнить этот удивительный математический трюк, вам понадобятся четыре вещи. Вам понадобятся линейка, ножницы, бумага и карандаш. Нарисуйте на листе бумаги аккуратный большой треугольник. Треугольник любой — разносторонний, равнобедренный, равносторонний, острый, тупой — как хотите.

Обозначьте внутренние углы (вершины, образующие внутренние углы) тремя буквами, например R-A-T. Вырежьте треугольник, оставив небольшую границу вокруг него, чтобы все три стороны были видны

Теперь оторвите три угла вашего треугольника.Не используйте ножницы, потому что вам нужны неровные края, которые помогут вам не перепутать их с прямыми сторонами, которые вы нарисовали. У вас будет три треугольных бита поменьше, каждый с внутренним углом, обозначенным R, A или T. У каждого маленького кусочка есть две аккуратные стороны и неровный край.

У вас также будет грубый шестиугольник, который является оставшейся частью исходного большего треугольника.

Возьмите три маленьких помеченных уголка и расположите их вместе так, чтобы необработанные края находились подальше от вас.Единственный способ сделать это — выровнять их, образуя прямую линию. Три внутренних угла, RAT, в сумме составляют прямой угол, также называемый прямой линией.

Там; ты сделал это!

Краткое содержание урока

Если вы внимательно изучили этот урок, теперь вы можете определить и обозначить три внутренних угла любого треугольника, и вы можете вспомнить, что внутренние углы всех треугольников складываются в 180 °. Вы также можете продемонстрировать доказательство суммы внутренних углов треугольников и применить формулу a + b + c = 180 °, где a, b и c — внутренние углы треугольника.Кроме того, вы можете рассчитать недостающее измерение любого внутреннего угла любого треугольника, используя два разных метода.

Следующий урок:

Сумма внутренних и внешних углов

Как найти процент сектора под углом

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Или заполните форму ниже:

Углы в многоугольниках — объяснение и примеры

Многоугольник не ограничивается только сторонами. Возможны сценарии, когда у вас есть несколько фигур с одинаковым количеством сторон.

Как же тогда их различать?
УГЛОВ!

Простейший пример — прямоугольник и параллелограмм имеют по 4 стороны, а противоположные стороны параллельны и равны по длине. Разница заключается в углах, где прямоугольник имеет углы 90 градусов на всех 4 сторонах, а параллелограмм имеет противоположные углы одинаковой меры.

Из этой статьи вы узнаете:

• Как найти угол многоугольника?
• Внутренние углы многоугольника.
• Внешние углы многоугольника.
• Как рассчитать размер каждого внутреннего и внешнего угла правильного многоугольника.
  

Как найти углы многоугольника?

Мы знаем, что многоугольник — это двумерная многосторонняя фигура, составленная из отрезков прямых . Сумма углов многоугольника — это сумма всех внутренних углов многоугольника.

Так как все углы внутри многоугольников одинаковые.Таким образом, формула для определения углов правильного многоугольника имеет вид;

Сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

Где n = количество сторон многоугольника.

Примеры

треугольник имеет 3 стороны, поэтому

n = 3

Подставьте n = 3 в формулу нахождения углов многоугольника.

Сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (3 — 2)

= 180 ° * 1

= 180 °

• Углы четырехугольника:

A четырехугольник — это 4-сторонний многоугольник, поэтому

n = 4.

Путем подстановки

сумма углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (4-2)

= 180 ° * 2

= 360 °

Пятиугольник равен 5 — двусторонний многоугольник.

n = 5

Заменитель.

Сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (5-2)

= 180 ° * 3

= 540 °

Восьмиугольник — это 8-сторонний многоугольник

n = 8

При замене

Сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (8-2)

= 180 ° * 6

= 1080 °

Углы a Hectagon:

a Hectagon — это 100-сторонний многоугольник.

n = 100.

Заменитель.

Сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (100-2)

= 180 ° * 98

= 17640 °

Внутренний угол многоугольников

Внутренний угол равен угол, образованный внутри многоугольника, между двумя сторонами многоугольника.

Количество сторон в многоугольнике равно количеству углов, образованных в конкретном многоугольнике. Размер каждого внутреннего угла многоугольника определяется выражением;

Измерение каждого внутреннего угла = 180 ° * (n — 2) / n

, где n = количество сторон.

Примеры

• Размер внутреннего угла десятиугольника.

Десятиугольник — это 10-сторонний многоугольник.

n = 10

Измерение каждого внутреннего угла = 180 ° * (n — 2) / n

Замена.

= 180 ° * (10-2) / 10

= 180 ° * 8/10

= 18 ° * 8

= 144 °

• Внутренний угол шестигранника.

Шестигранник имеет 6 сторон. Следовательно, n = 6

Заменитель.

Измерение каждого внутреннего угла = 180 ° * (n — 2) / n

= 180 ° * (6-2) / 6

= 180 ° * 4/6

= 60 ° * 2

= 120 °

• Внутренний угол прямоугольника

Прямоугольник является примером четырехугольника (4 стороны)

n = 4

Измерение каждого внутреннего угла = 180 ° * (n — 2) / n

= 180 ° * (4-2) / 4

= 180 ° * 1/2

= 90 °

• Внутренний угол пятиугольника.

Пятиугольник состоит из 5 сторон.

n = 5

Размер каждого внутреннего угла = 180 ° * (5-2) / 5

= 180 ° * 3/5

= 108 °

Внешний угол многоугольников

Внешний угол равен угол, образованный вне многоугольника между одной стороной и расширенной стороной. Мера каждого внешнего угла правильного многоугольника определяется выражением;

Размер каждого внешнего угла = 360 ° / n, где n = количество сторон многоугольника.

Одним из важных свойств внешних углов правильного многоугольника является то, что сумма размеров внешних углов многоугольника всегда равна 360 °.

Примеры

• Внешний угол треугольника:

Для треугольника n = 3

Заменить.

Измерение каждого внешнего угла = 360 ° / n

= 360 ° / 3

= 120 °

• Внешний угол пятиугольника:

n = 5

Измерение каждого внешнего угла = 360 ° / n

= 360 ° / 5

= 72 °

ПРИМЕЧАНИЕ: Формулы внутреннего и внешнего углов работают только для правильных многоугольников.Неправильные многоугольники имеют разные внутренние и внешние размеры углов.

Давайте рассмотрим другие примеры задач о внутренних и внешних углах многоугольников.

Пример 1

Внутренние углы неправильного 6-стороннего многоугольника равны; 80 °, 130 °, 102 °, 36 °, x ° и 146 °.

Вычислить размер угла x в многоугольнике.

Решение

Для многоугольника с 6 сторонами n = 6

сумма внутренних углов = 180 ° * (n — 2)

= 180 ° * (6-2)

= 180 ° * 4

= 720 °

Следовательно, 80 ° + 130 ° + 102 ° + 36 ° + x ° + 146 ° = 720 °

Упростить.

494 ° + x = 720 °

Вычтите 494 ° с обеих сторон.

494 ° — 494 ° + x = 720 ° — 494 °

x = 226 °

Пример 2

Найдите внешний угол правильного многоугольника с 11 сторонами.

Решение

n = 11

Измерение каждого внешнего угла = 360 ° / n

= 360 ° / 11

≈ 32,73 °

Пример 3:

Внешние углы многоугольник; 7x °, 5x °, x °, 4x ° и x °.Определите значение x.

Решение

Сумма внешнего вида = 360 °

7x ° + 5x ° + x ° + 4x ° + x ° = 360 °

Упростите.

18x = 360 °

Разделите обе стороны на 18.

x = 360 ° / 18

x = 20 °

Следовательно, значение x равно 20 °.

Пример 4

Как называется многоугольник, каждый внутренний угол которого равен 140 °?

Решение

Размер каждого внутреннего угла = 180 ° * (n — 2) / n

Следовательно, 140 ° = 180 ° * (n — 2) / n

Умножьте обе стороны на n

140 ° n = 180 ° (n — 2)

140 ° n = 180 ° n — 360 °

Вычтите обе стороны на 180 ° n.

140 ° n — 180 ° n = 180 ° n — 180 ° n — 360 °

-40 ° n = -360 °

Разделите обе стороны на -40 °

n = -360 ° / -40 °

= 9.

Следовательно, количество сторон равно 9 (неугольник).

Практические вопросы
1. Первые четыре внутренних угла пятиугольника — это все, а пятый угол равен 140 °. Найдите размер четырех углов.
2. Найдите размер восьми углов многоугольника, если первые семь углов равны 132 ° каждый.
3. Вычислить углы многоугольника, которые задаются как; (x — 70) °, x °, (x — 5) °, (3x — 44) ° и (x + 15) °.
4. Отношение углов шестиугольника равно; 1: 2: 3: 4: 6: 8. Вычислите величину углов.
5. Как называется многоугольник, каждый внутренний угол которого равен 135 °?
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Азимуты и пеленги при съемке — разница и определение

Азимуты и пеленги — это горизонтальные углы, измеряемые для обозначения или определения линии относительно меридиана.Здесь кратко объясняются важные особенности азимута и пеленга при съемке, а также их сравнение.

Что такое азимут при съемке?

Азимутов определяются как горизонтальные углы, которые измеряются от опорного меридиана в направлении по часовой стрелке. Азимуты также называют системой пеленга полного круга (W.C.B). Азимуты используются при компасной съемке, при съемке на плоскости, где обычно отсчитывается от севера. Но азимуты измеряются с юга астрономами и военными.

Рисунок 1. Система подшипников в целом или азимуты

На рисунке 1 выше показано измерение азимута с северного направления. Из рисунка видно, что каждая линия имеет значение азимута от 0 до 360 градусов.

В зависимости от используемого меридиана азимуты могут быть геодезическими, астрономическими, предполагаемыми, рекордными или магнитными по своей природе. Перед началом геодезических работ всегда рекомендуется указывать опорный меридиан, чтобы избежать недоразумений.

Прямое направление линии задается прямым азимутом, а обратное направление линии задается обратным азимутом.Прямой азимут преобразуется в задний азимут путем добавления или вычитания 180 градусов.

Если линия AB имеет азимут? 1 = 70 градусов, который является прямым азимутом, то задний азимут равен 70 + 180 = 250 градусов. Если азимут линии AD равен 230 градусам, то обратный азимут равен 230-180 = 50 градусов (из рисунка 1).

Азимут используется при граничной, контрольной, топографической и других съемках.

Что такое пеленг в геодезии?

Пеленг определяется как острый угол, который измеряется между опорным меридианом и заданной линией.Линия измеряется либо от севера, либо от юга к востоку или западу, что дает угол менее 360 градусов. Угол представлен сначала буквой N или S, затем значением угла и направлением E или W, например N60E.

Рис 2. Квадрантные подшипниковые системы или подшипники

На рисунке 2 азимут линии AB равен? который составляет менее 90 градусов, так как он находится в первом квадранте северо-востока.

Магнитный пеленг измеряется от местного магнитного меридиана, пеленг по сетке от соответствующего меридиана сетки, предполагаемый пеленг от соответствующего произвольного меридиана, геодезический пеленг от геодезического меридиана и астрономический пеленг от астрономического меридиана.Магнитный меридиан определяется по стрелке компаса.

Разница между азимутами и пеленгами при съемке

один набор измерений берется либо с севера, либо с юга

S L.No	Азимуты	Подшипники
1	Значение варьируется от 0 до 360 0	9096 градусов Значение изменяется от 0	2	Представлено числовым значением	Представлено двумя буквами и числовым значением
3	Углы измеряются только по часовой стрелке	Углы измеряются как по часовой стрелке, так и против нее
4	Углы могут быть измерены либо с севера, либо с юга для одной съемки

Таблица.1. Сравнение пеленгов и азимутов при съемке

Вычисление азимутов и пеленгов

Учитывая квадрант, в котором расположена линия, и указанное значение азимута или пеленга, может помочь определить другое значение.

Квадрант	Преобразование пеленга в азимут
I (NE)	пеленг = азимут
II (SE)

азимут 909 III (SW)

Пеленг = Азимут — 180 0
IV (NW)	Пеленг = 360 — Азимут

Таблица.1. Преобразование пеленга в азимут


Также прочтите: Меридианы и обозначение пеленга при съемке

Также читайте: Оборудование, используемое для измерения углов и возвышений при геодезии

Как определить геометрию круга

Круг — это двухмерная форма, созданная путем рисования кривой на одинаковом расстоянии от центра. Окружность состоит из множества компонентов, включая окружность, радиус, диаметр, длину дуги и градусы, площади секторов, вписанные углы, хорды, касательные и полукруги.

Лишь некоторые из этих измерений включают прямые линии, поэтому вам необходимо знать как формулы, так и единицы измерения, необходимые для каждого из них. В математике концепция кругов будет возникать снова и снова, начиная с детского сада и заканчивая расчетами в колледже, но как только вы поймете, как измерять различные части круга, вы сможете со знанием дела говорить об этой фундаментальной геометрической форме или быстро завершить ее. ваше домашнее задание.

Радиус — это линия от центральной точки круга до любой части круга.Это, вероятно, самая простая концепция, связанная с измерением кругов, но, возможно, самая важная.

Напротив, диаметр круга — это наибольшее расстояние от одного края круга до противоположного края. Диаметр — это особый тип хорды, линия, соединяющая любые две точки окружности. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому, например, если радиус составляет 2 дюйма, диаметр будет 4 дюйма. Если радиус составляет 22,5 сантиметра, диаметр будет 45 сантиметров.Думайте о диаметре, как если бы вы разрезали идеально круглый пирог прямо по центру, так что у вас есть две равные половинки пирога. Линия, по которой вы разрезаете пирог пополам, будет диаметром.

Окружность круга — это его периметр или расстояние вокруг него. В математических формулах он обозначается буквой C и имеет единицы измерения расстояния, такие как миллиметры, сантиметры, метры или дюймы. Окружность круга — это измеренная общая длина окружности, которая при измерении в градусах равна 360 °.«°» — это математический символ градусов.

Чтобы измерить длину окружности круга, вам нужно использовать «Пи» — математическую константу, открытую греческим математиком Архимедом. Пи, которое обычно обозначается греческой буквой π, — это отношение длины окружности к ее диаметру, или приблизительно 3,14. Пи — это фиксированное соотношение, используемое для вычисления длины окружности.

Вы можете рассчитать длину окружности любого круга, если знаете радиус или диаметр.Формулы следующие:

С = πd
С = 2πr

где d — диаметр круга, r — его радиус, а π — число пи. Итак, если вы измерите диаметр круга, равный 8,5 см, у вас будет:

C = πd
C = 3,14 * (8,5 см)
C = 26,69 см, которое следует округлить до 26,7 см.

Или, если вы хотите узнать окружность горшка с радиусом 4,5 дюйма, у вас будет:

C = 2πr
C = 2 * 3.2

А = 3,14 * (4,5 * 4,5)

А = 3,14 * 20,25

A = 63,585 (округляется до 63,56)

A = 63,56 квадратных сантиметра

Дуга круга — это просто расстояние по окружности дуги. Итак, если у вас есть идеально круглый кусок яблочного пирога, и вы разрезаете кусок пирога, длина дуги будет равна расстоянию по внешнему краю вашего ломтика.

Вы можете быстро измерить длину дуги с помощью веревки.Если вы намотаете отрезок нити вокруг внешнего края среза, длина дуги будет равна длине этой нити. Для расчетов на следующем слайде предположим, что длина дуги вашего кусочка пирога составляет 3 дюйма.

Угол сектора — это угол между двумя точками на окружности. Другими словами, угол сектора — это угол, образующийся при соединении двух радиусов окружности. В примере с пирогом угол сектора — это угол, образующийся, когда два края ломтика яблочного пирога соединяются и образуют точку.Формула для определения угла сектора:

Угол сектора = Длина дуги * 360 градусов / 2π * Радиус

360 представляет собой 360 градусов по кругу. Используя длину дуги 3 дюйма из предыдущего слайда и радиус 4,5 дюйма из слайда № 2, вы получите:

Угол сектора = 3 дюйма x 360 градусов / 2 (3,14) * 4,5 дюйма

Угол сектора = 960 / 28,26

Угол сектора = 33,97 градуса, который округляется до 34 градусов (из 360 градусов).

Сектор круга похож на клин или кусок пирога.2)

А = 0,094 * (63,585)

Округление до ближайшей десятой дает:

А = 0,1 * (63,6)

A = 6,36 квадратных дюймов

После повторного округления до ближайшей десятой ответ:

Площадь сектора составляет 6,4 квадратных дюйма.

Вписанный угол — это угол, образованный двумя хордами в окружности, имеющими общую конечную точку. Формула для определения вписанного угла:

вписанный угол = 1/2 * пересекаемая дуга

Пересеченная дуга — это расстояние кривой, образованной между двумя точками, где хорды касаются окружности.Mathbits дает этот пример для поиска вписанного угла:

Угол, вписанный в полукруг, — это прямой угол. (Это называется теоремой Фалеса, названной в честь древнегреческого философа Фалеса Милетского. Он был наставником знаменитого греческого математика Пифагора, который разработал множество математических теорем, в том числе некоторые из них, упомянутые в этой статье.)

Теорема Фалеса утверждает, что если A, B и C — разные точки на окружности, где прямая AC — диаметр, то угол ∠ABC является прямым углом.Поскольку AC — это диаметр, длина перехваченной дуги составляет 180 градусов, или половину от общей суммы 360 градусов по окружности. Так:

Вписанный угол = 1/2 * 180 градусов

Таким образом:

Вписанный угол = 90 градусов.

Угол треугольника

. Калькулятор | Формула

Калькулятор угла треугольника — беспроигрышный вариант, если вы хотите знать, как найти угол треугольника. Независимо от того, есть ли у вас три стороны треугольника, две стороны и угол или только два угла, этот инструмент является решением ваших геометрических проблем.Ниже вы также найдете объяснение основных законов, касающихся углов треугольника: теоремы о сумме углов треугольника, теоремы о внешнем угле треугольника и теоремы о биссектрисе угла. Прочтите, чтобы понять, как работает калькулятор, и попробуйте — поиск недостающих углов в треугольниках никогда не был таким простым!

Как найти угол треугольника

Есть несколько способов найти углы в треугольнике, в зависимости от заданного:

1. Даны три стороны треугольника

Используйте формулы, преобразованные из закона косинусов:

• cos (α) = (b² + c² - a²) / 2bc ,

  , поэтому α = arccos [(b² + c² - a²) / (2bc)]

• cos (β) = (a² + c² - b²) / 2ac ,

  , поэтому β = arccos [(a² + c² - b²) / (2ac)]

• cos (γ) = (a² + b² - c²) / 2ab ,

  , поэтому γ = arccos [(a² + b² - c²) / (2ab)]

2. Даны две стороны треугольника и один угол

Если угол находится между заданными сторонами, вы можете напрямую использовать закон косинусов , чтобы найти неизвестную третью сторону, а затем использовать приведенные выше формулы, чтобы найти недостающие углы, e.грамм. учитывая a, b, γ:

• вычислить c = √ [a² + b² - 2ab * cos (γ)]
• заменить c на α = arccos [(b² + c² - a²) / (2bc)]
• , затем найдите β из теоремы о сумме углов треугольника: β = 180 ° - α - γ

Если угол не между заданными сторонами, вы можете использовать закон синусов. Например, предположим, что мы знаем a, b, α:

• a / sin (α) = b / sin (β) , поэтому β = arcsin [b * sin (α) / a]
• Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 °.Из этой теоремы можно найти недостающий угол: γ = 180 ° - α - β
3. Даны два угла

Это самый простой вариант. Просто используйте теорему о сумме углов треугольника, чтобы найти недостающий угол:

• α = 180 ° - β - γ
• β = 180 ° - α - γ
• γ = 180 ° - α - β

Во всех трех случаях вы можете использовать наш калькулятор угла треугольника — вы не будете разочарованы.

Сумма углов в треугольнике —

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что внутренних углов треугольника складываются с 180 ° :

α + β + γ = 180 °

Откуда мы это знаем? Посмотрите на картинку: углы, обозначенные одними и теми же греческими буквами, совпадают, потому что они являются альтернативными внутренними углами. Сумма трех углов α, β, γ равна 180 °, так как они образуют прямую линию. Но это же три внутренних угла в треугольнике! Поэтому α + β + γ = 180 °.

Внешние углы треугольника —

Теорема о внешних углах треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме противоположных внутренних углов .

• Каждый треугольник имеет шесть внешних углов (по два в каждой вершине равны по мере).
• Сумма внешних углов, взятых по одному в каждой вершине, всегда составляет 360 °.
• Внешний угол является дополнительным к внутреннему углу смежного треугольника.

Биссектриса угла треугольника —

Теорема биссектрисы угла

Теорема о биссектрисе угла утверждает, что:

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Или, другими словами:

Отношение длины BD к длине DC равно отношению длины стороны AB к длине стороны AC:

| BD | / | DC | = | AB | / | AC |

Нахождение недостающих углов в треугольниках — пример

Хорошо, давайте попрактикуемся в том, что мы только что прочитали. Предположим, мы хотим найти недостающие углы в нашем треугольнике. Как это сделать?

1. Узнайте, какие формулы вам нужно использовать . В нашем примере у нас есть две стороны и один угол.Выберите вариант угол и 2 стороны .
2. Введите указанные значения . Например, мы знаем, что a = 9 дюймов, b = 14 дюймов и α = 30 °.