Прямая, линия, луч, отрезок | Формулы с примерами

Что такое прямая?

Определение
Прямой линией принято называть линию, которую можно
бесконечно продолжить как в одну сторону, так и в другую.

Пример Прямая AB

Что такое линия?

Определение
Линия — это какая — либо черта на поверхности, либо на плоскости.
Бывают как замкнутые, так и разомкнутые.

Пример Линии

Пример Замкнутые линии

Что такое луч?

Определение

Лучом называется прямая которая имеет начало, но не имеет
ограничение с конца.

Пример луч AB

Пример луч BA
Пример лучи OA и OB — противоположные лучи

Что такое отрезок?

Определение
Отрезком называется прямая, ограниченная как с одной так и
с другой стороны.

Пример отрезок AB

Прямая: обозначение и свойства | Геометрия

Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.

Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:

Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.

Обозначение прямой

Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая  a,  или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая 

AB:

Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.

Свойства прямой

1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.

Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.

2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.

Точки  N  и  M  лежат на прямой  a.  Точка  L  не лежит на прямой  a.

Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности —  ∈.  Например, запись  M ∈ a  обозначает, что точка  M  принадлежит прямой  a.  Для того, чтобы указать что точка не принадлежит прямой можно использовать символ  ∉.  Например, запись  L ∉ a  обозначает, что точка  L  не принадлежит прямой  a.

5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.

На рисунке изображена прямая с тремя точками  A,  B  и  C,  лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:

точка  B  лежит между точками  A  и  C,  точка  B  разделяет точки  A  и  C

или

точки  A  и  C  лежат по разные стороны от точки  B.

Также можно сказать:

точки  B  и  C  лежат по одну сторону от точки  A,  они не разделяются точкой  A

или

точки  A  и  B  лежат по одну сторону от точки  C.

6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.

Прямая — Циклопедия

Прямая или прямая линия — одно из основных понятий геометрии, введено античными математиками для обозначения прямых объектов (то есть без кривизны) с несущественной шириной и глубиной. Прямые являются идеализацией таких объектов.

Евклид описывает прямую, как линию бесконечной длины, которая расположена одинаково по отношению к любой своей точке. Он определил набор постулатов, как основных свойств, принимаемых без доказательств, а уже из них делаются логические доказательства, которые и образуют всю геометрию, которая сейчас называется евклидовой геометрией. Начиная с конца XIX века в активном употреблении находятся и другие геометрии, такие как неевклидовы геометрии, проективная и аффинная геометрии.

В современной математике, в которой есть много геометрических концепций, понятие линии в основном зависит от способа, которым геометрия описывается. Например, в аналитической геометрии, прямая определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют линейное уравнение. В более абстрактных концепциях, таких, как геометрия инцидентности, прямая может быть независимым объектом, отличным от тех точек, из которых она состоит.

При аксиоматическом описании геометрии, понятие прямой линии обычно остается неопределенным, принимается за одно из исходных понятий (так называемое неопределенное понятие), которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии. Преимуществом такого подхода является гибкость в использовании такой геометрии. Так в дифференциальной геометрии, прямую можно понимать как геодезическую линию (кратчайший путь между двумя точками), а в проективной геометрии прямая является двумерным векторным пространством (все линейные комбинации двух независимых векторов). Такая гибкость полезна не только математикам, но и другим. Например, физики могут представить путь прохождения света как прямую линию.

[править] Определение и описание

Все определения в конце концов является циркулярными по своей природе, поскольку они зависят от понятий, которые также должны иметь определения, и эту цепь зависимостей нельзя продолжать бесконечно без возврата назад к исходной точке. Поэтому, чтобы избежать такого зацикливания, определенные понятия должны быть приняты как такие, которые не нуждаются в определении

[1]. В геометрии, таким понятием часто является понятие прямой, которое является одним из фундаментальных понятий^[2]. В тех случаях, когда прямая может быть определенным понятием, как в аналитической геометрии, за фундаментальные понятия избираются какие-то другие примитивы. Если понятие прямой является фундаментальным неопределенным понятием, тогда поведение и свойства прямой определяют с помощью аксиом, которым она должна удовлетворять.

При упрощенной трактовке геометрии, понятие или фундаментальное определение может быть слишком абстрактным. В таких случаях приводят описание или ментальный образ этого первоначального понятия, чтобы сформировать основу для выстраивания понятия, которое формально будет базироваться на неопределенных аксиомах. Некоторые авторы могут приводить такое описание вместо определения, пользуясь этим неформальным стилем представления. Но эти определения не являются верными, и не могут использоваться в формальных выводах утверждений. «Определение» прямой в математических трактатах Евклида подпадает под эту категорию

[3]. Даже при рассмотрении определенной системы геометрии (например, Евклидовой геометрии), между авторами не существует общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание прямой, и то, что оно не должно рассматриваться формально.

[править] Свойства прямой в евклидовой геометрии

• Через любую точку можно провести бесконечное множество прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести только одну прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или параллельны (следует из предыдущего).
• В трехмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельные;
  • прямые скрещивающиеся.

определение и обозначение, свойства линии и аксиомы геометрии

Определение прямой в математике является важным элементом и используется для построения фигур, графиков функций и необходимых расчетов для прямо пропорциональных величин. Однако не все учащиеся понимают, какой смысл ее применения в различных дисциплинах. В интернете проблематично найти систематизированную информацию на эту тему. Для качественного обучения нужно рассмотреть основные понятия и аксиомы.

Общие сведения

Точка — это базовая единица геометрии. Она обозначается заглавными литерами латинского алфавита (S, T, A и т. д. ) и предназначена для построения прямых (линий), отрезков, лучей, углов и прочих фигур.

Прямая — геометрическое место точек, при соединении которых образуется линия без искажений, неограниченная в пространстве. Она бесконечна, поскольку не имеет начала и конца, и обозначается прописными буквами (s, t, a, b и т. д. ).

С ее помощью получаются следующие фигуры и элементы:

1. Лучи.
2. Отрезки.
3. Треугольники.
4. Четырехугольники.
5. Многоугольники.
6. Плоскости.
7. Объемные фигуры: параллелепипед, куб и т. д.

Кроме того, она известна в дисциплинах с физико-математическим уклоном, как линейная зависимость величин. Луч — часть линии, исходящей из одной точки.

Алгоритм построения выглядит следующим образом:

1. Отмечается любая точка (M).
2. Из нее проводится прямая.

Из геометрического построения можно сделать вывод, что M — левая или правая граница, из которой исходит линия, устремляющаяся в бесконечность. Если на луче отметить еще одну точку, получится отрезок (часть линии или луча, ограниченная с двух сторон). Его обозначение состоит из двух букв (АВ). В этом случае прямую можно обозначить также двумя литерами АВ (АБ). Следует отметить, что она также бывает и ломаной линией.

Математики используют понятие аксиомы или утверждения, не требующие доказательства. Они применяются для решения задач, черчения фигур, доказательства тождеств и теорем.

Основные аксиомы

Аксиомы — правила, которые являются фактами и не требуют доказательства.

Для прямой можно выделить следующие:

1. Проводится только через 2 точки.
2. Точки классифицируются на лежащие и не лежащие.
3. На линии можно отметить произвольную точку.
4. Если для точек, лежащих на прямой, выполняется тождество «SU=ST+TU», это значит, что точка «Т» лежит между S и U.
5. Прямая может состоять из бесконечного количества отрезков и только двух лучей, направленных в разные стороны.
6. Если 2 линии не пересекаются, они параллельны (||).
7. Прямая, проходящая через другие || линии, называется секущей. Она образует две пары внутренних углов: односторонние (равны между собой) и накрест лежащие (сумма равна 180 градусам).
8. Если при пересечении двух линий образуется прямой угол, это указывает на перпендикулярность первых.
9. Прямая пересекает другую только в одной точке.

Эти 9 аксиом являются базовыми. На их основании и доказываются все теоремы. Однако существует еще и понятие плоскости, которая может быть образована двумя линейными отрезками или лучами.

Линия и плоскость

В геометрии можно встретить понятие плоскости.

К основным аксиомам для последней следует отнести:

1. Через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно построить плоскость.
2. Если даны 2 || прямые, через них можно провести только одну плоскость.
3. Два плоских пространства являются параллельными, когда содержат параллельные линии.

На основании утверждений можно сформулировать определение плоскости: геометрическая часть бесконечного пространства, ограниченная двумя || линиями.

Прямо пропорциональная зависимость

Существует понятие о прямой пропорциональности двух или нескольких величин. В качестве коэффициента пропорциональности выступает определенное число.

Прямо пропорциональную зависимость еще называют линейной функцией, графиком которой является луч или отрезок. Чтобы написать выражение, характеризующее ее, нужно знать формулу, имеющую следующий вид: s = k * t + m, где s — зависимая переменная, к — коэффициент пропорциональности, t — аргумент (независимый коэффициент) и m — константа (свободный член).

Коэффициент «m» может принимать любые значения. Расположения линии зависит от k и m. В этом случае нужно разобрать некоторые свойства:

1. При m=0 график будет проходить через начало декартовой системы координат.
2. Если k>0, значения угла наклона луча относительно оси аргументов находится в пределах от 0 до 90 градусов.
3. Когда k<0 и m эквивалентен некоторому значению (не равен 0), угол наклона, описанный во втором свойстве, будет тупым.
4. При равенстве к=0 линия || оси абсцисс (аргументов).

В геометрии величина «к» называется угловым коэффициентом и вычисляется через тангенс угла наклона (f) по формуле: tg (g)=(m/k)+(k-m)/2k.

Таким образом, прямая линия нужна не только для построения различных фигур, но и графиков прямо пропорциональности двух и более физических величин.

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] > 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] < 0 => [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] < 0. Аналогично
[M₁M₂, M₁P₁] * [M₁M₂, M₁P₂] < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.

Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.

Задача №7

Расстояние от точки до прямой.

Решение
Пусть прямая задана двумя точками P₁(x₁, y₁) и P₂(x₂, y₂).

В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому S_P1P2M = 0,5*[P₁P₂, P₁M]. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
S_P1P2M = 0,5*h*P₁P₂.
Приравнивая эти площади, находим

По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.

Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y — y₀) – b(x — x₀) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax₀ + by₀ + c)/√(a² + b²).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) < 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P₁M, P₁P₂) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч

Задача №9

Расстояние от точки до отрезка.

Решение
Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP₁P₂ либо угол MP₂P₁ будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
Если (P₁M, P₁P₂) < 0 или (P₂M, P₂P₁) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Определить количество точек прямой и окружности.

Решение
Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.

Задача №11

Взаимное расположение двух окружностей.

Решение
Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно — на первом курсе).

Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

Пересечение кругов состоит из двух сегментов O₁AB и O₂AB.

Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!

Рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ совпадает с точкой C. В этом случае d₂ = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR₂².

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Надеюсь, Вам понравилось.

Следы прямой

Следами прямой называют точки её пересечения с плоскостями проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает прямая в данной точке, различают горизонтальный, фронтальный и профильный след.

Прямые, занимающие общее положение, пересекают три плоскости проекций, линии уровня – две, а проецирующие прямые – одну.

Алгоритм построения следов на эпюре

Найдем следы прямой a, заданной отрезком AB. Как видно на рисунке ниже, AB занимает общее положение, поэтому для решения задачи необходимо построить проекции трех точек.

1. Горизонтальный след H_a. Продлим фронтальную проекцию прямой a до пересечения с осью X в точке H_a». Полученная точка – фронтальная проекция горизонтального следа. По линии связи на a’ найдем точку H_a‘. Она является горизонтальной проекцией горизонтального следа и совпадает с т. H_a.
2. Фронтальный след F_a. Продлим горизонтальную проекцию a’ до пересечения с осью X в точке F_a‘. Полученная точка – горизонтальная проекция фронтального следа*. По линии связи на прямой a» найдем точку F_a«. Она является фронтальной проекцией фронтального следа и совпадает с т. F_a.
3. Профильный след W_a строится аналогично. Для нахождения двух его проекций, W_a» и W_a‘, необходимо продлить a» и a’ до пересечения с осью Z.

На следующем рисунке показано построение следов горизонтали b​, заданной отрезком CD. Как и другие линии уровня, горизонталь пересекает только две плоскости проекций.

Несмотря на то, что рассмотренный нами алгоритм универсален, лучше понять смысл геометрических построений позволяет наглядное изображение прямой в пространстве.

Примечание

* Фронтальный след прямой по определению является точкой, которая лежит во фронтальной плоскости. Её координата Y равна нулю. Из этого следует, что горизонтальная проекция F’ фронтального следа находится на оси X.

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Содержание

1. Метод прямоугольного треугольника
2. Способ параллельного переноса
3. Поворот вокруг оси

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Пример построения

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»₁ и F»₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Пример построения

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

углов по прямой | Геометрия прямых линий

В этой главе вы изучить отношения между парами углов, которые создается, когда прямые линии пересекаются (встречаются или пересекаются). Ты будешь исследуйте пары углов, образованных перпендикулярными линиями, любыми двумя пересекающимися линиями и третьей линией, которая отрезает две параллельные линии. Вы поймете, что такое означает вертикально противоположные углы, соответствующие углы, чередующиеся углы и внутренние углы.Вы будете в состоянии определить различные пары углов, а затем использовать свои знания для поможет вам определить неизвестные углы геометрических фигур.

Уголки на прямой

Сумма углов прямой

На рисунках ниже каждый угол присвоена метка от 1 до 5.

1. Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Пиши свой ответы на каждую цифру.{\ circ} \)

   ---

Сумма углов, которые образуется по прямой, равной 180 °. (Мы можно сократить это свойство как: \ (\ angle \) s на прямая линия.)

Два угла, сумма которых составляет 180 °, также являются называется дополнительными углами , например \ (\ hat {1} + \ hat {2} \).

Углы, имеющие общую вершину и общую сторону, равны Говорят, что это смежный .Таким образом, \ (\ hat {1} + \ hat {2} \) также называется дополнительными смежными углами .

Когда две строки перпендикулярны, их смежные дополнительные углы каждый равняется 90 °.

На рисунке ниже DC A и DC B смежные дополнительные углы, потому что они рядом друг с другом (рядом), и они в сумме составляют 180 ° (дополнительно).

Нахождение неизвестных углов на прямых

Определите размеры неизвестного углы ниже.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)

---

Рассчитать размер \(Икс\).

---

Рассчитать размер \ (У \).

---

Поиск новых неизвестных углов на прямых

1. Рассчитать размер из:
   1. \ (х \)

      ---

   2. \ (\ hat {ECB} \)

      ---

2. Рассчитать размер из:
   1. \ (м \)

      ---

   2. \ (\ hat {SQR} \)

      ---

3. Рассчитать размер из:
   1. \ (х \)

      ---

   2. \ (\ hat {HEF} \)

      ---

4. Рассчитать размер из:
   1. \ (к \)

      ---

   2. \ (\ hat {TYP} \)

      ---

5. Рассчитать размер из:
   1. \ (п \)

      ---

   2. \ (\ hat {JKR} \)

      ---

Вертикально противоположные углы

Что такое вертикально противоположные углы?

1. Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов на рисунке.Пиши свой ответы по фигуре.

2. Уведомление какие углы равны и как эти равные углы формируется.

Вертикально напротив углы ( верт. опп. \ (\ angle \) s ) углы, противоположные друг другу, когда две линии пересекаются.

Вертикально противоположные углы всегда равны .

Нахождение неизвестных углов

Рассчитайте размеры неизвестного углы на следующих рисунках.{\ circ} && \\ & = \ text {______} \\ \\ z & = \ text {______} && [\ text {верт. опп.} \ angle \ text {s}] \ end {align} \)

---

Вычислить \ (j, ~ к \) и \ (l \).

---

Вычислить \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).

---

Уравнения с вертикально противоположными углами

Вертикально противоположные углы всегда равны.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)

---

Рассчитать стоимость \ (Т \).

---

Рассчитать стоимость \(п\).

---

Рассчитать стоимость \ (Г \).

---

Рассчитать стоимость \ (У \).

---

Рассчитать стоимость \(р\).

---

Линии, пересекаемые трансверсалью

Пары углов, образованные трансверсалью

Поперечная — это линия, пересекает как минимум две другие линии.

Когда трансверсаль пересекает два линий, мы можем сравнить наборы углов на двух линиях глядя на их позиции.

Углы, лежащие на одной стороне поперечного сечения и находятся в совпадающих положениях, называются соответствующие углы ( корр. \ (\ angle \) s ). В на рисунке это соответствующие углы:

• \ (а \) и \ (е \)
• \ (б \) и \ (f \)
• \ (d \) и \ (h \)
• \ (c \) и \ (g \).

1. На рисунке, \ (a \) и \ (e \) оба лежат слева от трансверсали и над чертой.

   Запишите расположение следующих соответствующих углов. Первый сделан для тебя.

   \ (b \) и \ (f \): справа от поперечной и над строками

   ---

   \ (d \) и \ (h \):

   ---

   \ (c \) и \ (g \):

   ---

Альтернативные углы ( alt. \ (\ angle \) s ) ложь на противоположных сторонах поперечной, но не смежные и вертикально напротив.Когда альтернативные углы лежат между две линии, они называются альтернативными внутренними углами . В на рисунке это альтернативные внутренние углы:

• \ (d \) и \ (f \)
• \ (с \) и \ (е \)

Когда чередующиеся углы лежат снаружи из двух линий они называются альтернативным внешним видом углы . На рисунке это альтернативный экстерьер углы:

• \ (а \) и \ (g \)
• \ (б \) и \ (h \)

2. Запишите расположение следующих альтернативных углов:

   \ (d \) и \ (f \):

   ---

   \ (c \) и \ (e \):

   ---

   \ (a \) и \ (g \):

   ---

   \ (b \) и \ (h \):

   ---

Уголки внутренние ( совм. \ (\ угол \) с ) лежать на одной стороне поперечной и между двумя линий. На рисунке это внутренние углы:

• \ (с \) и \ (f \)
• \ (d \) и \ (е \)

3. Запишите расположение следующего совместного интерьера углы:

   \ (d \) и \ (e \):

   ---

   \ (c \) и \ (f \):

   ---

Обозначение углов

Две прямые пересекаются поперечный, как показано ниже.

Запишите следующие пары углы:

1. две пары соответствующих углы:

   ---

2. две пары альтернативных внутренние углы:

   ---

3. две пары альтернативных внешние углы:

   ---

4. две пары совмещенных салонов углы:

   ---

5. две пары вертикально противоположные углы:

   ---

Параллельные прямые, пересекаемые трансверсалью

Размеры исследовательского уголка

На рисунке внизу слева EF — это трансверсально к AB и CD.На рисунке внизу справа PQ — это поперек параллельных прямых JK и LM.

1. Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Написать замеры на рисунках.
2. Используйте свои измерения, чтобы заполните следующую таблицу.

   Corr.\ (\ угол \) с	\ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \) \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \) \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {4} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \) \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \) \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)
   Доп.внутр. \ (\ angle \) s	\ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {6} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)
   Доп.доб. \ (\ angle \) s	\ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \) \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \) \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)
   Co-int.\ (\ угол \) с	\ (\ hat {4} + \ hat {5} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} + \ hat {6} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {12} + \ hat {13} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} + \ hat {14} = \ text {_______} \)

3. Посмотрите на ваш завершенный таблица в вопросе 2.Что вы заметили в образованных углах когда трансверсаль пересекает параллельные прямые?

   ---

Когда линии параллельно:

• соответствующие углы равны
• альтернативные внутренние углы равны
• альтернативные внешние углы равны
• Общие внутренние углы в сумме составляют 180 °

Обозначение углов на параллельных линиях

1. Заполните соответствующий углы к указанным.

2. Заполнить альтернативный экстерьер углы.

3. 1. Заполнить альтернативный интерьер углы.
   2. Обведите две пары внутренней части углы на каждом рисунке.

4. 1. Без замера заполнить все углы на следующих рисунках равны \ (x \) и \ (У \).
   2. Объясните причины каждого \ (x \) и \ (y \), которые вы заполнили своему партнеру.

      ---

5. Укажите значение \ (x \) и \ (y \) ниже.

   ---

Нахождение неизвестных углов на параллельных прямых

Разработка неизвестных углов

Определите размеры неизвестного углы.{\ circ} && [\ angle \ text {s на прямой}] \ end {align} \)

Определить размеры \ (p, ~ q \) и \ (r \).

---

Найдите размеры \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).

---

Найдите размеры всех углов на этом рисунке.

---

Найдите размеры всех углов.(Вы видите две трансверсали и два набора параллельных линий?)

---

Добавочный номер

Два угла в следующая диаграмма обозначена как \ (x \) и \ (y \). Заполните все углы, равные \ (x \) и \ (y \).

Сумма углов четырехугольника

На приведенной ниже диаграмме предыдущая диаграмма.

1. Что за четырехугольник на схеме? Обоснуйте свой ответ.{\ circ} \)

   ---

   Вы можете придумать другой способ используйте диаграмму выше, чтобы вычислить сумму углов в четырехугольник?

Решение других геометрических задач

Угловые отношения на параллельных прямых

1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {7} \).

   ---

2. Рассчитать размеры \ (x, ~ y \) и \ (z \).

   ---

3. Рассчитать размеры \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).

   ---

4. Рассчитать размер \(Икс\).

   ---

5. Рассчитать размер \(Икс\).

   ---

6. Рассчитайте размер \ (x \).

   ---

7. Рассчитать размеры \ (a \) и \ (\ hat {CEP} \).

   ---

Включая свойства треугольников и четырехугольников

1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {6} \).

   ---

2. РГТУ — трапеция.Вычислите размеры \ (\ hat {T} \) и \ (\ hat {R} \).

3. JKLM — ромб. Рассчитайте размеры \ (\ hat {JML}, \ hat {M_2} \) и \ (\ hat {K_1} \).

4. ABCD — это параллелограмм. Вычислить размеры \ (\ hat {ADB}, \ hat {ABD}, \ hat {C} \) и \ (\ hat {DBC} \)

1. Посмотрите на рисунок ниже.название предметы, перечисленные рядом.
   1. пара вертикально противоположные углы

      ---

   2. пара соответствующих углы

      ---

   3. пара альтернативных внутренние углы

      ---

   4. пара совместно интерьер углы

      ---

2. На схеме AB \ (\ parallel \) CD.Вычислите размеры \ (\ hat {FHG}, \ hat {F}, \ hat {C} \) и \ (\ hat {D} \). Обоснуйте свои ответы.

   ---

3. На схеме ОК = ВКЛ, КН \ (\ Параллельно \)

.

Введение в линии в координатной геометрии

Введение в линии в координатной геометрии — Открытый справочник по математике

Прямо линии в координатной геометрии — это та же идея, что и в обычной геометрии, за исключением того, что они нарисованы на координатная плоскость и мы можем сделать с ними больше.

Как определить строку

Рассмотрим линию на рис. 1. Как бы я определил эту конкретную линию? Какую информацию я могу передать вам по телефону, чтобы вы могли провести точно такую ​​же линию на своем конце?

Рис 1.Как определить эту линию?

В координатной геометрии обычно используются три способа:

1. Дайте координаты любых двух точек на линии
2. Дайте координаты одной точки на линии, а наклон линии
3. Приведите уравнение, определяющее линию.

Неважно, говорим ли мы о линии, луче или отрезке. Во всех случаях любой из трех вышеуказанных методов предоставит достаточно информации для точного определения линии.

Используя две точки

На рис. 2 линия определяется двумя точками A и B. Задав координаты двух точек, мы можем провести черту. Никакая другая линия не может проходить через обе эти точки, поэтому определяемая ими линия уникальна. Я мог бы позвонить вам по телефону и сказать «Проведите линию через (9,9) и (17,4)» , и вы сможете полностью восстановить ее на своей стороне.

Рис. 2. A, B определяют уникальную линию

Для интерактивной демонстрации линий, определяемых двумя точками, см.

Использование одной точки и наклона

Рис 3.Точка и наклон определяют линию

Другой распространенный метод — дать вам координаты одной точки и наклон линии. На данный момент вы можете думать о наклоне как о направлении линии. Итак, когда вы знаете, что линия проходит через определенную точку и в каком направлении она указывает, вы определили одну уникальную линию.

На рис. 3 мы видим линию, проходящую через точку A в точке (14,23). Мы также видим, что его наклон равен +2 (что означает, что он увеличивается на 2 для каждого по ширине).с этими двумя фактами мы можем установить уникальную линию.

Величину уклона обычно обозначают буквой м. Для получения дополнительной информации о наклоне и о том, как его определить, см. Наклон линии.

Уравнение прямой

После того, как вы определили линию с помощью метода точечного уклона, вы можете написать уравнения алгебры, которые описывают линию. Применяя алгебраические процессы к этим уравнениям, мы можем решать задачи, которые иначе были бы трудными. Эти и многие другие методы построения графиков описаны в томе по алгебре, но общая идея описана здесь, в Координатной геометрии.

Для описания линии обычно используются уравнения двух типов:

Обе формы на самом деле являются вариациями одной и той же идеи. В обоих случаях вам нужно знать координаты одной точки и наклон линии.

• В форме пересечения наклона заданная точка всегда находится на оси y, и вы указываете координату y этой точки (Его координата x всегда равна нулю).
• В форме точка-уклон вы можете использовать любую точку.

Место, где линия пересекает ось y, называется точкой пересечения и обычно обозначается буквой b. Подробнее об этом см. Перехват линии.

y = м (x-P _x ) + P _y

Рис. 4. Точечный уклон

y = mx + b

Рис 5. Наклон-пересечение

Если вы внимательно посмотрите на две формулы, вы увидите, что они очень похожи. Если вы возьмете вариант точечного наклона на рис. 4 и решите поместить P на ось y, его Координата x равна нулю, а ее координата y такая же, как и точка пересечения.Если вы замените эти вещи, вы получите формулу пересечения наклона справа на рис.5.

Для чего используются уравнения?

• Вы можете использовать их, чтобы построить линию: Возьмите различные значения x, а затем используйте уравнение, чтобы найти соответствующие значения y. Постройте пары, чтобы построить линию.
• Если вы знаете только одну координату точки на линии, вы можете найти другую.

Для получения дополнительной информации

Следующие страницы раскрывают каждую из концепций на этой странице:

Другие разделы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

линий и углов — определения и свойства | Geometry Tutorial

Вот несколько основных определений и свойств линий и углов в геометрии. Эти концепции проверяются на многих конкурсных вступительных экзаменах, таких как GMAT, GRE, CAT.

Линейный сегмент : Линейный сегмент имеет две конечные точки определенной длины.

Луч : Луч имеет одну конечную точку и бесконечно проходит в одном направлении.

Прямая : Прямая линия не имеет ни начальной, ни конечной точки и имеет бесконечную длину.

Острый угол : Угол между 0 ° и 90 ° является острым углом, ∠A на рисунке ниже.

Тупой угол : Угол между 90 ° и 180 ° является тупым углом, ∠B, как показано ниже.

Прямой угол : Угол 90 ° является прямым углом ∠C, как показано ниже.

Прямой угол : Угол, равный 180 °, является прямым углом, ∠AOB на рисунке ниже.

Дополнительные уголки :

На рисунке выше ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180 °

Если сумма двух углов равна 180 °, эти углы называются дополнительными углами.

Два прямых угла всегда дополняют друг друга.

Пара смежных углов, сумма которых равна прямому углу, называется линейной парой.

Дополнительные уголки :

∠COA + ∠AOB = 90 °

Если сумма двух углов равна 90 °, эти два угла называются дополнительными углами.

Соседние углы :

Углы, которые имеют общее плечо и общую вершину, называются смежными углами.

На рисунке выше ∠BOA и ∠AOC являются смежными углами.Их общая рука — О.А., а общая вершина — «О».

Вертикально противоположные углы :

Когда две прямые пересекаются, углы, образованные противоположно друг другу в точке пересечения (вершине), называются вертикально противоположными углами.

На рисунке выше

x и y — две пересекающиеся линии.

∠A и ∠C составляют одну пару вертикально противоположных углов, а

∠B и ∠D образуют еще одну пару вертикально противоположных углов.

Перпендикулярные линии: Когда есть прямой угол между двумя линиями, считается, что линии перпендикулярны друг другу.

Здесь прямые OA и OB перпендикулярны друг другу.

Параллельные линии :

Здесь A и B — две параллельные прямые, пересекаемые линией p.

Прямая p называется трансверсалью, которая пересекает две или более прямых (не обязательно параллельных) в разных точках.

Как видно на рисунке выше, когда трансверсаль пересекает две прямые, образуется 8 углов.

Давайте рассмотрим детали в табличной форме для удобства пользования.

Типы углов	Уголки
Внутренние углы	∠3, ∠4, ∠5, ∠6
Наружные углы	1, ∠2, ∠7, ∠8
Вертикально противоположные углы	(1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8)
Соответствующие углы	(1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8)
Внутренние альтернативные углы	(3, ∠5), (∠4, ∠6)
Внешние альтернативные углы	(∠1, ∠7), (∠2, ∠8)
Внутренние углы на той же стороне поперечного	(3, ∠6), (∠4, ∠5)

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые,

1. Соответствующие углы равны.
2. Вертикально противоположные углы равны.
3. Альтернативные внутренние углы равны.
4. Альтернативные внешние углы равны.
5. Пара внутренних углов на одной стороне поперечины является дополнительной.

Можно сказать, что прямые параллельны, если мы сможем проверить хотя бы одно из вышеупомянутых условий.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Решенные примеры

Пример 1. Если прямые m и n параллельны друг другу, определить углы ∠5 и ∠7.

Решение :

Определение одной пары может позволить найти все остальные углы. Ниже приводится один из многих способов решить этот вопрос.

∠2 = 125 °

∠2 = ∠4, так как их углы противоположны по вертикали.

Следовательно, ∠4 = 125 °

∠4 — один из внутренних углов на той же стороне трансверсали.

Следовательно, 4 + ∠5 = 180 °

125 + 5 = 180 → ∠5 = 180 — 125 = 55 °

∠5 = ∠7, т.к. углы противоположные по вертикали.

Следовательно, 5 = ∠7 = 55 °

Примечание : Иногда свойство параллельности линий может не упоминаться в формулировке проблемы, и линии могут казаться параллельными друг другу; но они могут быть не такими. Важно определить, параллельны ли две линии, проверяя углы, а не взглядом.

Пример 2. Если ∠A = 120 ° и ∠H = 60 °. Определите, параллельны ли линии.

Решение :

Дано ∠A = 120 ° и ∠H = 60 °.

Поскольку смежные углы являются дополнительными, A + ∠B = 180 °

120 + ∠B = 180 → ∠B = 60 °.

Принято, что ∠H = 60 °. Мы видим, что ∠B и ∠H — внешние альтернативные углы.

Когда внешние альтернативные углы равны, линии параллельны.

Следовательно, прямые p и q параллельны.

Мы можем проверить это, используя другие ракурсы.

Если ∠H = 60 °, ∠E = 120 °, поскольку эти два находятся на прямой линии, они являются дополнительными.

Теперь ∠A = ∠E = 120 °.∠A и ∠E — соответствующие углы.

Когда соответствующие углы равны, линии параллельны.

Точно так же мы можем доказать и другие углы.

Пример 3. Если p и q — две прямые, параллельные друг другу и ∠E = 50 °, найдите все углы на рисунке ниже.

Решение :

Дано ∠E = 50 °.

Две линии параллельны

→ Соответствующие углы равны.

Поскольку ∠E и ∠A — соответствующие углы, A = 50 °.

→ Вертикально противоположные углы равны.

Поскольку A и ∠C вертикально противоположны друг другу, C = 50 °.

Поскольку E и ∠G вертикально противоположны друг другу, G = 50 °.

→ Внутренние углы на одной стороне поперечины являются дополнительными.

∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠D = 180 ° → ∠D = 130 °

→ ∠D и ∠B — вертикально противоположные углы. Итак, ∠B = 130 °.

→ ∠B и ∠F — соответствующие углы. Итак, ∠F = 130 °.

→ ∠F и ∠H — вертикально противоположные углы. Итак, ∠H = 130 °.

∠D = ∠O + 90 ° → 130 = ∠O + 90 → ∠O = 40 °

---

Продолжить изучение:
— Свойства и формулы кругов
— Типы треугольников и свойства
— Свойства четырехугольников (параллелограммы, трапеции, ромб)

,

Line — математическое определение слова

Линия — определение слова в математике — Открытый справочник по математике

Геометрический объект, который является прямым, бесконечно длинным и бесконечно тонким.

Попробуй это Перетащите оранжевую точку на P или Q и посмотрите, как ведет себя линия PQ.

На рисунке выше линия PQ проходит через точки P и Q и уходит в обоих направлениях навсегда и является совершенно прямой. Линия, строго говоря, не имеет концов.

Линия одномерная. Он имеет нулевую ширину. Если вы проведете линию карандашом, осмотр под микроскопом покажет, что карандашная отметка имеет измеримую ширину. Линия карандаша — это просто способ проиллюстрировать идею на бумаге. В геометрия однако линия не имеет ширины.

Прямая линия — это кратчайшее расстояние между любыми двумя точками на плоскости.

Рисование линии

Вы можете нарисовать линию, которая просто идет за края страницы, как на рисунке выше.Чаще это отображается в виде линии со стрелкой на каждом конце, как показано ниже. Острие стрелок означает, что линия уходит в бесконечность в обоих направлениях.

Линии обычно называют двумя способами:

1. Любыми двумя точками на линии.
   На рисунке выше линия будет называться JK, потому что она проходит через две точки J и K. Напомним, что точки обычно обозначаются одними заглавными (заглавными) буквами. Есть быстрый способ написать это: Это читается как «линия JK».Две стрелки указывают, что это линия, проходящая через J и K. но продолжается вечно в обоих направлениях.
2. Одной буквой.
   Строку выше можно было бы назвать просто «y». По соглашению, это обычно одна строчная (строчная) буква. Этот метод иногда используется, когда линия не имеет двух точек для ее определения.

Если линия не прямая, мы обычно называем ее кривой или дугой. В плоской геометрии слово «линия» обычно означает прямую линию.

Если набор точек выстроен таким образом, что через все они можно провести линию, точки называются коллинеарными. См. Определение коллинеарности.

Координатная геометрия

В другом разделе математики, называемом координатной геометрией, точки, определяющие линию, расположены на плоскости, используя их координаты — два числа, которые показывают, где находится точка.
Подробнее см. Определение линии (Координатная геометрия).

Другие темы строки

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,