Решение задач по теме «Сфера и шар». Видеоурок. Геометрия 11 Класс
На данном уроке мы применим полученные теоретические знания по теме: «Сфера и шар» на практике. Решим задачи на эту тему
Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 и 2
Дано:
Решение:
(рис. 1. 
– центр круга, который является сечением). Пусть 
– произвольная точка на окружности сечения. 
– радиус шара.Рассмотрим треугольник 
. По теореме Пифагора:
, тогда 
Площадь сечения равна:
Ответ: площадь сечения равна 
.
Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16
см2. Найти радиус этого шара.
Дано:
Решение:
Смотри рис. 1.
(рис. 1. – центр шара, – центр круга, который является сечением).
Пусть – произвольная точка на окружности сечения.
Шар и сфера, их сечения
Напомним, что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.
Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.
Поверхность, образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность есть граница круга, так и сфера – это граница шара.
Назовём элементы сферы и шара.
Радиус сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.
Хорда сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.
Диаметр сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.
Радиус, хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Плоскость, которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Плоскость, проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
Признак касательной плоскости к сфере: плоскость, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.
Касательная плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.
Касательной прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой единственную общую точку.
Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.
Линией пересечения двух сфер является окружность.
Площадь
сферы радиуса 
: 
.
Объём
шара
радиуса : 
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Площадь боковой поверхности шарового сегмента:
.
Объём шарового сегмента:
,
где
–
радиус шара, –
высота шарового сегмента.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.
Площадь боковой поверхности шарового сектора:
.
Объём шарового сектора:
,
где
–
радиус шара, 
–
высота сегмента.
Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около шара
, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
Шар называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.
Шар называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.
Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра принадлежат поверхности шара.
Шар называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус (усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается основания (оснований) конуса и всех образующих.
Шар называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.
Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую пирамиду можно вписать шар.
Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.
Если боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.
В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.
Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задача
первая. Радиус шара увеличили в 
раза.
Во сколько раз увеличился объём шара?
Решение.
Задача
вторая. Объём шара равен 
см3.
Найдите диаметр шара.
Решение.
Задача
третья. Шар пересечен плоскостью. Площадь сечения равна 
см2.
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 
см.
Найдите площадь поверхности шара.
Решение.
Задача
четвёртая. В конус с радиусом основания, равным см,
и высотой, равной 
см,
вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади
поверхности шара.
Решение.
Задача
пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус
окружности его основания равен 
см,
а радиус шара – 
см.
Решение.
Задача
шестая. Шар с радиусом 
см
пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 
см
от центра шара. Найдите площадь сечения.
Решение.
Урок геометрии на тему «Сфера и шар. Уравнение сферы». 11-й класс
Цель: Определение шара и сферы (шаровой поверхности) и связанных с ним понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки). Рассмотреть уравнение сферы.
Оборудование: плакаты, модели шара, сферы.
План урока.
1.
1) Организационный момент.
2) Проверка домашнего задания.
3) Повторить определение окружности, уравнение окружности. Решить устно две задачи.
2. Изучение нового материала.
1) Определение сферы и шара (на моделях и рисунках) №574 (а).
2) Уравнение сферы.
3) Решение устных примеров.
3. Закрепление материала. № 576 (а), 576 (б)-С, 578 (г), 577 (а), 579 (а, б)
4. Домашнее задание: параграф 3. П 58,59. №576 (б), 577 (б), 579(в, г), 574(б).
5. Итог урока.
6. Решение задач повышенной сложности.
Ход урока
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания.
3) Учитель: Ребята, вам на дом было повторить определение окружности, круга, расстояние между двумя точками в пространстве. Уравнение окружности.
Показываю плакат окружности, круга и повторяем определение.
Ученики:
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Учитель: Напишите, пожалуйста, на доске уравнение окружности (x-x0)2+ (y-y0)2 = R2, где (x0; y0)- центр окружности, R- радиус, (x; y)- координата центра окружности.
Устно. Найти уравнение окружности?
1) (x-4)2+(y-3)2 =9. 2) x2+ y2=4. 3) (0-4)2+(0-3)2=R2. 4) 16+9=R2.
5)25=R2 . 6) R=5. 7)(x+4)2 +(y-3)2 =25.
Учитель: Найдите расстояние М1 М2, если М1 (-3; 0; 4), М2 (0; 6; 5). М1 М2 = (0-3)2+ (6-0)2 +(5-4)2 = 46.
Следовательно, d= (x-x)2 +(y-y)2+ (z-z)2.
2. Объяснение нового материала. Сфера.
1) Учитель: Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Мы живем в мире трех измерений.
Окружность и круг это пространственные тела или плоские?
В какое геометрическое тело превратится окружность (круг), если попадет в пространство?
Ученики: В сферу и шар.
Учитель: (показывает плакаты) Остановимся на сфере.
Определение.
1). Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг ее диаметра как оси.
2). Границы шара называется шаровой поверхностью или сферой.
3). Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Обозначение. (Рассказываю с помощью плаката) : Радиус, диаметр, центр сферы D=2R, обозначение сферы .
Шар. Определение.
1. Шар — может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра как оси.
2. Шаром называется тело, ограниченное сферой.
3. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.
Эта точка называется Центром шара. А данное расстояние – радиусом шара. Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через ее центр – называется диаметром.
А теперь запишем число, тему: п. 48. Шар. Сфера.
В тетрадях рисуем один чертеж, пишем определения и обозначения. Пишем три определения шара и сферы. (под диктовку)
3. Закрепление. №574 (а, б)
Дано: сфера, т О — центр, R — радиус т.А и В € . а) R= 50 см, АВ= 40 см б) R=15 мм, АВ=18 мм.
Найти: ОМ.
Решение. а) ОА=ОВ= R=50 см. Следовательно треугольник АОВ — равнобедренный —> ОМ — высота (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике). Рассмотрим треугольник АОМ (LО=900). По теореме Пифагора
ОМ= v АО2 – АМ2 = v 2500-400 = v 2100 =10 v21 (см).
Самостоятельно б) ОМ= v 225-81 = v 144= 12 (мм) Ответ: 10 v21 см; 12 мм.
Уравнение сферы. П 59.
Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность. Уравнение с тремя переменными х, у, z, называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки F и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на этой поверхности.
Дано: прямоугольная система координат Охуz сфера , h – радиус точка С (х0, у0, z0) — центр сферы.
Написать уравнение сферы.
Решение: Возьмем произвольную т М (x;y;z). Расстояние от М до С, МС= v (x-x0)2 +(y-y0)2+ (z-z0)2 если точка М € , то МС= R или МС2 = R2, т.е. координаты т. М удовлетворяют уравнению
(x-x0)2 +(y-y0)2+ (z-z0)2 =R2
Если М € , то МС2 = R2 и координаты (т. М) не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямолинейной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х0, у0, z0) имеет вид
(x-x0)2 +(y-y0)2+ (z-z0)2 =R2
5. Закрепление по теме: уравнение сферы №576(а, б), 578, 577 (а).
№576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в центре А, если а) А(2;-4; 7), R=3.
Ответ (x-2)2 +(y+4)2+ (z-7)2 =92 .
Б) А(0;0;0) R= v 2. Ответ: x2 +y2+ z2 =2.
№578 а) А(0;0;0) , R=7. Б) А(3; -2; 0), R= v 2.
№577 а) Дано: сфера , т. А - центр, N= ?, А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)
Найти: уравнение сферы.
Решение: (x-x0)2 +(y-y0)2+ (z-z0)2 = R2
(5-2)2+(0-2)2+ (-1-0)2 = R2.
49+4+1= R2.
54= R2.
(x+2)2 +(y-2)2+ z2 =54.
Учитель: Ребята, как записывается уравнение сферы, если ее центр лежит в т (х0, 0, 0), а радиус равен R.
(x-x0)2 +(y-y0)2+ (z-z0)2 =R2 — уравнение сферы.
(x-x0)2 +y2+ z2 =R2.
x2— 2xx0+x02+y2 +z2= R2.
x2— 2xx0 +y2 +z2= R2-x02- уравнение сферы.
5.4.3 Шар и сфера, их сечения
Видеоурок: Сфера и шар. Сечение шара плоскостью. Части шара
Лекция: Шар и сфера, их сечения
Шар и сфераСфера – это поверхность, которая образуется равноудаленными точками от некоторой одной точки.
А вот все пространство, которое ограничено сферой, называется шаром.
Вы уже помните, что окружность – это некий ободок в плоскости, а круг – это все, что внутри. Точно так же со сферой и шаром.
Любой отрезок, который соединит сферу с центром шара, будет называться радиусом сферы и шара.
Если же Вы пожелаете соединить произвольно любые две точки на сфере, то отрезок, соединяющий их, будет называться хордой.
Чтобы понять, как получить шар, следует представить некую полуокружность, которая будет вращаться вокруг своего диаметра.
Сечение
В шаре можно получить сечение различных размеров, но единственной формы – это окружность.
Чтобы получить радиус сечения, следует воспользоваться формулой:
d – это расстояние от центра сферы до центра сечения. R – радиус сферы. Чем меньше расстояние от центра сферы до сечения, тем больше радиус сечения. Обратите внимание на рисунок выше – данная формула получена из теоремы Пифагора (прямоугольный треугольник).
Если сечение проходит через центр сферы, то таким образом она делиться пополам.
Шар и сфера
Шар
Шар является геометрическим пространственным телом.
Вокруг нас очень много предметов, которые имеют форму шара: арбуз, горох, апельсин, стальной шарик и т.п. Форму шара имеет и планета Земля.
Шар имеет центр и характеризуется длиной радиуса и диаметра.
На рисунке изображен шар, который имеет центр в точке $O$. Все точки на поверхности шара расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Это значит, что если выбрать на поверхности любые точки, например, точки $A, B \ и \ C,$ соединить их с центром шара, то получим отрезки, которые будут равны между собой:
$OA=OB=OC.$
Определение 1
Отрезок, который соединяет любую точку поверхности шара с его центром, называется радиусом шара.
Следовательно, $OA, OB \ и \ OC$ – радиусы шара.
Очевидно, что центр шара можно соединить с бесконечным числом точек на поверхности шара. Из этого следует, что можно провести бесконечное множество радиусов шара.
На рисунке изображен отрезок $AB$, который проходит через центр шара и соединяет $2$ точки поверхности шара.
Отрезок $AB$ является диаметром шара. Причем отрезок $AB$ состоит из двух равных отрезков $OA$ и $OB$, которые являются радиусами шара.
Таким образом, длина диаметра шара равна двум его радиусам.
Определение 2
Диаметр шара – отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр.
Объем шара
Шар внутри не пустотелый, а заполненный, к тому же, с точки зрения математики является пространственным телом. Таким образом, можно найти его объем.
Замечание 1
Объем шара вычисляется по следующей формуле:
$V=\frac{4}{3} πR^3$.
Используя определение степени, формула объема шара может быть записана в следующем виде:
$V=\frac{4}{3} πR^3=\frac{4}{3} πR \cdot R \cdot R$.
Пример 1
Найти объем шара, если его радиус равен $5 \frac{3}{7}$ см.
Решение.
Воспользуемся формулой объема шара и подставим в нее значение радиуса и числа Пи:
$V=\frac{4}{3} πR^3=\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (5 \frac{3}{7})^3=\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (\frac{38}{7})^3=\frac{4 \cdot 3,14}{3} \cdot \frac{54872}{343}=\frac{689192,32}{1029}≈669,77 \ см^3$
Ответ: $V≈669,77 \ см^3$.
Пример 2
Вычислить радиус шара, если его объем равен $3 \frac{16}{27} \ см^3$.
Решение.
Воспользуемся формулой объема шара и выразим из нее радиус шара:
$V=\frac{4}{3} πR^3$;
$\frac{4}{3} πR^3=V$;
$πR^3=\frac{3}{4} V$;
$R^3=\frac{3V}{4π}$.
Подставим известное значение объема в полученную формулу:
$R^3=\frac{3V}{4π}=\frac{3 \cdot 3 \frac{16}{27}}{4 \cdot 3,14}=\frac{3 \cdot 3 \frac{16}{27}}{4 \cdot 3,14}=\frac{3 \cdot \frac{97}{27}}{12,56}=\frac{97}{9 \cdot 12,56}=\frac{97}{113,04}≈0,8581$
$R≈0,95 см$.
Ответ: $R≈0,95 см$.
Сфера
Древние мыслители и ученые с помощью сферической формы, совершенство которой издавна привлекало их внимание, пытались объяснить гармонию окружающего мира. Например, древние греки представляли вращающуюся хрустальную сферу, к которой были прикреплены звёзды. Древнегреческие ученые создавали космологические модели Земли, которые имели сферическую форму и к которым были прикреплены вращающиеся сферы – планеты.
Определение 3
Поверхность шара называется сферой.
Примерами сферы можно назвать волейбольный мяч, теннисный мяч.
Невозможно развернуть сферу на плоскости. Например, на географических картах видно, что полярные области растянуты, изображены с искажением.
Сфера, как и шар, имеет центр, радиус и диаметр.
Для сферы можно вычислить площадь ее поверхности.
Площадь сферы
Замечание 2
Площадь сферы вычисляется по формуле:
$S = 4πR^2$.
Для вычисления площади сферы нужно ознакомиться с понятием степени числа, зная определение которой формулу площади сферы можно переписать в следующем виде:
$S = 4πR^2= 4πR \cdot R$.
Пример 3
Вычислить площадь сферы, если её радиус равен $2 \frac{4}{5}$ см.
Решение.
Воспользуемся формулой площади сферы:
$S = 4πR^2$.
Подставим значение радиуса в формулу и, используя преобразование дробей и правила умножения дробей, найдем результат:
$S=4πR^2=4 \cdot 3,14 \cdot (2 \frac{4}{5})^2=4 \cdot 3,14 \cdot (\frac{14}{5})^2=4 \cdot 3,14 \cdot \frac{196}{25}=\frac{4 \cdot 3,14 \cdot 196}{25}=\frac{2461,76}{25}≈98,47 \ см^2$.
Ответ: $S≈98,47 \ см^2$.
Разработка урока геометрии по теме «Сфера и шар»
Урок по теме СФЕРА И ШАР. УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ.
Цели:
Образовательные: ввести понятия сферы и шара; вывести уравнение сферы; рассмотреть взаимное расположение сферы и плоскости.
Развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь.
Воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
Ход урока
I.Оргмомент
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня урок пройдет под девизом
Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий. (Слайд)
Мы весь урок будем рассуждать, высказывать свое мнение, анализировать, сравнивать, мыслить.
Интересная информация: Хорошими мыслителями всегда считались древние греки. Они занимались изучением различных предметов. В области геометрии особое внимание уделяли изучению предметов разной формы и всегда хотели найти предметы идеальной формы. Они заметили, что в природе многие плоды и ягоды одинаковой формы. Например, апельсин, арбуз, смородина и другие. Также такую же форму или близкую к ней имеют и планеты солнечной системы. Именно эту форму греки стали называть идеальной.
II. Актуализация знаний (Введение в тему)
Как вы думаете, о какой форме идет речь? (Сфера и шар)
Вы правы, шар и сферу греки считали идеальными формами.
Какие еще предметы в форме шара и сферы можно встретить в окружающем нас мире?
Действительно, многие спортивные снаряды в форме шара. А вспомните новогодний елочный шарик – на самом деле это сфера, так как сделан из тонкого стекла и внутри пустой. А еще многие резервуары для хранения нефти и газа тоже сферической формы, т.к. у резервуаров такой формы наименьшая поверхность и таким образом происходит экономия материала, которого изготавливаются резервуары. (Слайд )
А в технике, где можно встретиться с шаром и сферой? (Шарикоподшипники, которые ставят на осях велосипедах, мотоциклах, автомашин и во всех местах где происходит вращение.) Молодцы!
Ну а теперь назовите тему сегодняшнего урока.
Сегодня на уроке мы должны изучить понятие сферы, шара и дать их характеристики. А помогут нам ваши знания, которых достаточно, чтобы достичь цели урока.
Обратите внимание, что у вас на столах лежит карточка с заданиями, которые мы должны выполнить в течении урока.
III. Формирование новых понятий проводится с помощью презентации
Скажите, где располагаются сфера и шар?
(если не отвечают, добавляю: на плоскости или в пространстве).
(в пространстве)
Верно, а на плоскости аналогами сферы и шара, являются какие фигуры?
(на плоскости аналогами сферы и шара являются окружность и круг) (добиваться полного ответа)
Верно, окружность аналог сферы, а круг – шара.
Прочитайте задание 1.
Задание 1. Сформулируйте определение окружности и ее элементов. (Чертеж в тетради)
Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Данная точка – центр окружности. Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с ее любой точкой. Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр. (Слайд )
Задание 2. Сформулируйте определение круга и его элементов. (Чертеж)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр, радиус и диаметр окружности являются центром, радиусом и диаметром круга. (Слайд )
Мы выяснили, что на плоскости рассматриваем окружность и круг, а в пространстве – сферу и шар. (Слайд )
Выполним задание 3.
Необходимо сформулировать определение сферы и ее элементов, определение шара и его элементов.
(Вывод через слайд) (слайд 8-10)Как вы думаете, в чем сходство и в чем различие между сферой и шаром?
(Сфера – поверхность, шар – тело – это различие.
Сходство – в центре, радиусе и диаметре.)
Мы сформулировали определение сферы, шара и их элементов, а теперь перейдем к их характеристикам. Следующая наша задача вывести уравнение сферы, которое нам понадобится для решения задач на следующих уроках.
Мы уже говорили, окружность изучаем на плоскости, сферу в пространстве.
Окружность на плоскости имеет уравнение, значит, и сфера должна иметь свое уравнение.
Как вы считаете, сто должно быть известно, чтобы составить уравнение сферы?
(Если не отвечают, то спросить, что необходимо было знать для составления уравнения окружности)
(Дети говорят, координаты центра сферы и длину радиуса)
Назовите, получившееся уравнение сферы?
(Показать чертеж, уравнение)
Задание 5:
Запишите уравнение сферы.
Задание 6:
Используя, уравнение сферы ответьте на вопрос: Возможно ли составить уравнение сферы? Если возможно, то составьте. (Учащиеся работают)(слайд 12)
Молодцы.
Проверить с помощью слайда
IV. Первичное закрепление
Решить № 574 (а), № 576 (а), 578, 579 (а, б)
№ 574 (а)
№ 576 (а)
№ 577 (а, б).
а). (x+2)2 + (y — 2)2 + (z — 0)2 = R2;
(5+2)2 + (0 — 2)2 + (-1 — 0)2 = 49+4+1=54;
R2=54
(x+2)2 + (x — 2)2 + (x — 0)2 = 54;
б). (x+2)2 + (x — 2)2 + (x — 0)2 = R2;
(0+2)2 + (0 — 2)2 + (0 — 0)2 = 4+4=8;
R2 = 8;
(x+2)2 + (y — 2)2 + z2 = 8.
№ 579 (а, б)
а) 
O (2; 0; 0), R = 2.
г) 
O (0,5; –1,5; 1), R = 1.
2 –й урок
V. Самостоятельно № 574 (б), 576 (б, в), № 577 (в), 579 (в, г)
VI. Продолжение объяснения нового материала
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Задание 7:
Как по отношению к друг другу могут располагаться сфера и плоскость в пространстве?
(Пересекаться, не пересекаться, касаться)
Верно, а от чего зависит взаимное расположение сферы и плоскости?
(Если не отвечают, спросить от каких величин зависело взаимное расположение окружности и прямой на плоскости)
Верно, от длины радиуса сферы и расстояния от центра сферы до плоскости.
Каково может быть соотношение между длиной радиуса сферы и расстоянием от центра сферы до плоскости, т.е. величин R и d? (Быть больше, меньше и равно)
Мы выяснили, каково взаимное расположение между сферой и плоскостью и от чего оно зависит.
Задание 8:
Соотнесите случаи взаимного расположения сферы и плоскости и соотношения между величинами R и d. Запишите в тетрадях
Еще раз, если …. (повторить все случаи) (слайд )
Задание 9:
Верно ли высказывание при данных значениях d и R:
«Сфера и плоскость имеют общие точки». Если верно, то почему?
1. d=5, R=2
2. d=3, R=3
3. d=3, R=2
4. d=2, R=4
VII. Формирование умений.
№589 (а).
Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α=30˚; б) R=5 м, α=45˚.
а) Дано: R=2 см
α=30˚
Найти: Ссечения = ?
Решение: С=2r;
если гипотенуза равна 2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен гипотенузы, значит он равен 1;
По теореме Пифагора находим r. r = = ; Ссечения = 2** = 2 см.
Ответ: 2 см.
VIII. Дома п. 64-66 № 589 (б), № 580
Итог урока
Сегодня вы познакомились с:
определением сферы, шара;
уравнением сферы;
взаимным расположением сферы и плоскости
Площадь сферы. Видеоурок. Геометрия 11 Класс
На этом уроке мы выведем формулу для нахождения площади сферы и решим несколько примеров на использование данной формулы.
Мы с вами живем на планете Земля, которая, с некоторыми допущениями, имеет форму шара. А сколько места на поверхности этой планеты? (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Планета имеет форму шара
Если мы очистим яблоко, поверхность какой пощади можно покрыть его кожурой? (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Очищенное яблоко
Сколько краски потребуется для того, чтобы покрасить какой-либо шарик? (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Шарик для покраски
Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, необходимо уметь находить площадь сферы.
Обычно мы находили площади объектов путем разбиения их на знакомые нам фигуры и складывали площади полученных фигур. (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Разбиение объекта на знакомые фигуры
Но сферу трудно разбить на какие-либо объекты: она, с одной стороны, объемная, а с другой стороны, мы хотим посчитать площадь, поэтому ни на «квадратики», ни на другие фигуры мы разбить ее не можем. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Сфера
Шаг 1. Опишем около сферы произвольный многогранник. (Сфера должна касаться всех граней многогранника). (См. Рис. 6.)
Рис. 6. Вписанная сфера
Шаг 2. Соединим центр сферы с каждой вершиной многогранника и получим разбиение многогранника ровно на столько пирамид, сколько у многогранника граней. (Заметьте: от многогранника не требуется не только равенство граней, но и одинаковое количество вершин на этих гранях.) (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Разбиение многогранника на пирамиды
Шаг 3. Объём каждой пирамиды мы можем выразить через её высоту (которая является радиусом сферы) и площадь основания 
. (См. Рис. 8.)
Рис. 8. Радиус сферы является высотой каждой пирамиды
Шаг 4. Поскольку объём многогранника равен сумме объёмов составляющих его пирамид, мы можем, произведя суммирование, выразить объём многогранника через площадь его поверхности и радиус вписанной сферы 
. (См. Рис. 9.)
Рис. 9. Площадь поверхности многогранника
Шаг 5. А теперь станем неограниченно увеличивать количество граней многогранника, одновременно уменьшая размеры самой большой из них. Тогда в пределе многогранник перейдёт в шар, а зависимость между его объёмом и площадью поверхности станет зависимостью между объёмом шара и площадью поверхности сферы. (См. Рис. 10.)
