Равнобедренная трапеция ℹ️ определение, свойства и признаки, доказательства теорем, формулы расчета площади, периметра и сторон геометрической фигуры

Равнобедренная трапеция, её ещё называют равнобокой, имеет равные боковые стороны. Кроме этого, у нее в арсенале есть еще множество интересных и полезных свойств, которые можно с легкостью применять на практике или при решении математических задач.

Определение, признаки и элементы трапеции

Трапецией в геометрии принято называть любой четырехугольник, у которого есть две параллельные друг другу стороны, при том что продолжения других двух сторон пересекаются.

Определение же равнобедренной трапеции идет от того, что у нее боковые стороны эквиваленты по длине.

Свойства равнобедренной трапеции

Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:

1. Прямая, которая проходит через середину оснований такой трапеции, является ее осью симметрии, а также она перпендикулярна ее основаниям.
2. Углы при основаниях трапеции равны.
3. У равнобедренной трапеции также равны и длины диагоналей. Если диагонали перпендикулярны, тогда высота трапеции будет равна сумме основания, деленной на 2.
4. Диагональ разбивает фигуру на 2 треугольника.
5. Биссектрисы углов, принадлежащих одной и той же боковой стороне, всегда перпендикулярны друг другу.
6. Если мы опустим высоту на большее из оснований трапеции, то получим в итоге 2 отрезка АЕ и ЕВ: 

Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ — разности, разделенной на 2:

Периметр равнобедренной трапеции

Эту величину найти очень просто. Простейшей формулой будет сложение всех ее сторон. Однако иногда составители задач не дают нам информацию обо всех из сторон.

В таком случае нам следует в первую очередь найти все стороны фигуры, а затем уже приступать к их сложению.

Как найти стороны трапеции?

Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.

В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:

Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:

Средняя линия

Средней линией в трапеции называется параллельный основаниям отрезок, который делит боковые стороны фигуры на равные части. 

У нее есть множество интересных свойств и теорем с нетрудным доказательством, таких как, например, решение задач на подобие, однако мы на них останавливаться не будем.

Высота трапеции

Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

Диагональ трапеции

Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.

А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:

Площадь равнобедренной трапеции

Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.

Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.

 

Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.

Вписанная и описанные окружности

Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны. 

Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.

А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.

Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:

Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами. 

Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.

nauka.club

Что такое трапеция и её признаки.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой. Элементы трапеции: Основы трапеции — параллельные стороны. Пример трапеции: <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/232768793_6a512adbe2e7b1e49ef61cc2e1b23e70_800.gif» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/232768793_6a512adbe2e7b1e49ef61cc2e1b23e70_120x120.gif» data-big=»1″>

Свойства и признаки равнобедренной трапеции — Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда углы при ее основании равны (диагонали равны) Трапеция Определение: Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией. Определение: Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой) , если ее боковые стороны равны. Определение: Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. Свойства трапеции: ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме; если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны; Признаки трапеции: Четырёхугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны Формулы площади: a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия. S = lh

touch.otvet.mail.ru

Определение, признаки и свойства произвольной, равнобедренной и прямоугольной трапеции

В курсе геометрии за 8-й класс подразумевается изучение свойств и признаков выпуклых четырёхугольников. К ним относятся параллелограммы, частными случаями которых являются квадраты, прямоугольники и ромбы, и трапеции. И если решение задач на различные вариации параллелограмма чаще всего не вызывает сильных затруднений, то разобраться, какой четырёхугольник называется трапецией, несколько сложнее.

Определение и виды

В отличие от других четырёхугольников, изучаемых в школьной программе, трапецией принято называть такую фигуру, две противоположные стороны которой параллельны друг другу, а две другие — нет. Существует и другое определение: это четырёхугольник с парой сторон, которые не равны между собой и параллельны.

Различные виды указаны на рисунке ниже.

На изображении под номером 1 изображена произвольная трапеция. Номером 2 обозначен частный случай — прямоугольная трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна её основаниям. Последняя фигура — тоже особый случай: это равнобедренная (равнобокая) трапеция, т. е. четырёхугольник с равными боковыми сторонами.

Важнейшие свойства и формулы

Для описания свойств четырёхугольника принято выделять определённые элементы. В качестве примера можно рассмотреть произвольную трапецию ABCD.

В её состав входят:

• основания BC и AD — две стороны, параллельные по отношению друг к другу,
• боковые стороны AB и CD — два непараллельных элемента,
• диагонали AC и BD — отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры,
• высота трапеции CH — перпендикулярный основаниям отрезок,
• средняя линия EF — линия, соединяющая середины боковых сторон.

Основные свойства элементов

Чтобы решить задачи по геометрии или доказать какие-либо утверждения, наиболее часто используют свойства, которые связывают различные элементы четырёхугольника. Они формулируются следующим образом:

1. Средняя линия всегда проходит параллельно обоим основаниям фигуры и численно равна их полусумме: EF = (BC + AD)/2.
2. Точка пересечения диагоналей фигуры разделяет их с таким же соотношением длины, с каким относятся основания трапеции: AD : BC = AO : CO = DO : BO.
3. Основание можно вычислить, зная длину второго основания и средней линии: BC = 2 · EF — AD, AD = 2 · EF — BC.
4. Боковые стороны вычисляются, если известна высота фигуры и синус угла при основании: AB = CH / sinA, CD = CH / sinD.
5. Для расчёта высоты необходимо знать, чему равна боковая сторона и прилегающий угол: CH = AB · sinA = CD · sinD.

Кроме того, часто полезно знать и применять следующие утверждения:

1. Биссектриса, проведённая из произвольного угла, отделяет на основании отрезок, длина которого равна боковой стороне фигуры.
2. При проведении диагоналей образуются 4 треугольника, из них 2 треугольника, образованных основаниями и отрезками диагоналей, обладают подобием, а оставшаяся пара имеет одинаковую площадь.
3. Через точку пересечения диагоналей O, середины оснований, а также точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон, можно провести прямую.

Вычисление периметра и площади

Периметр рассчитывается как сумма длин всех четырёх сторон (аналогично любой другой геометрической фигуре):

P = AD + BC + AB + CD.

Есть несколько способов, как можно рассчитать площадь трапеции по формуле. Следует выбрать из них наиболее подходящий вариант, опираясь на то, какие данные известны по условию задачи.

Вписанная и описанная окружность

Окружность возможно описать около трапеции только в том случае, когда боковые стороны четырёхугольника равны.

Чтобы вычислить радиус описанной окружности, необходимо знать длины диагонали, боковой стороны и большего основания. Величина p, используемая в формуле, рассчитывается как полусумма всех вышеперечисленных элементов: p = (a + c + d)/2.

Для вписанной окружности условие будет следующим: сумма оснований должна совпадать с суммой боковых сторон фигуры. Радиус её можно найти через высоту, и он будет равен r = h/2.

Частные случаи

Рассмотрим часто встречаемый случай — равнобокую (равностороннюю) трапецию. Её признаки — равенство боковых сторон или равенство противолежащих углов. К ней применимы все утверждения, которые характерны для произвольной трапеции. Другие свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований фигуры, пересекает их под углом 90 градусов.
2. Углы, лежащие при любых основаниях, попарно равны.
3. Длины диагоналей совпадают.
4. Высота будет равна средней линии, если диагонали проходят перпендикулярно друг к другу.
5. Высота, опущенная из вершины к основанию, делит его на 2 отрезка, длина большего вычисляется как половина суммы оснований, а длина меньшего — как половина разности.

Прямоугольная трапеция встречается в задачах не так часто. Её признаки — наличие двух смежных углов, равных 90 градусов, и наличие боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Высота в таком четырёхугольнике одновременно является одной из его сторон.

Все рассмотренные свойства и формулы обычно используются для решения планиметрических задач. Однако также их приходится применять в некоторых задачах из курса стереометрии, например, при определении площади поверхности усечённой пирамиды, внешне напоминающей объёмную трапецию.

tvercult.ru

Трапеция — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны^[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения[ | ]

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны^[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения[ | ]

Элементы трапеции[ | ]

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций[ | ]

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой^[4] или равнобочной^[5] трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 

  Равнобедренная трапеция

• 

  Прямоугольная трапеция

Общие свойства[ | ]

Основной источник: ^[6]

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2xyx+y{\displaystyle {\frac {2xy}{x+y}}} среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
• Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей,

encyclopaedia.bid