Определённый интеграл — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)^[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции^[⇨].^[1] В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)^[2].

Что такое определённый интеграл, анимация (нажмите для воспроизведения)

Пусть функция f(x){\displaystyle f(x)} определена на отрезке [a;b]{\displaystyle [a;b]}. Разобьём [a;b]{\displaystyle [a;b]} на части несколькими произвольными точками: a=x0<x1<x2<…<xn=b{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}. Тогда говорят, что произведено разбиение R{\displaystyle R} отрезка [a;b].{\displaystyle [a;b].} Далее, для каждого i{\displaystyle i} от 0{\displaystyle 0} до n−1{\displaystyle n-1} выберем произвольную точку ξi∈[xi;xi+1]{\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}.

Определённым интегралом от функции f(x){\displaystyle f(x)} на отрезке [a;b]{\displaystyle [a;b]} называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю λR→0{\displaystyle \lambda _{R}\rightarrow 0}, если он существует независимо от разбиения R{\displaystyle R} и выбора точек ξi{\displaystyle \xi _{i}}, то есть

∫abf(x)dx=limΔx→0∑i=0n−1f(ξi)Δxi{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}

Если существует указанный предел, то функция f(x){\displaystyle f(x)} называется интегрируемой на [a;b]{\displaystyle [a;b]} по Риману.

Обозначения[править | править код]

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции ∫abf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a{\displaystyle x=a} и x=b{\displaystyle x=b} и графиком функции f(x){\displaystyle f(x)}.^[1]

• Если функция f(x){\displaystyle f(x)} интегрируема по Риману на [a;b]{\displaystyle [a;b]}, то она ограничена на нем.

Далее приведены примеры расчёта определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. ∫89x2dx=x33|89=7293−5123=2173=72,(3)≈72,3{\displaystyle \int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9}={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\approx 72{,}3}
2. ∫1bdxx=ln⁡x|1b=ln⁡b{\displaystyle \int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b}
3. ∫142dxx=2ln⁡x|14≈2,8{\displaystyle \int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8}

Формулы и уравнения определенных интегралов

Формулы и уравнения определенных интегралов

1. Формула Ньютона-Лейбница:
   , где
2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
   
3. Замена переменной в определенном интеграле:
   Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
   
4. Интегралы с бесконечными пределами:
   
5. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
   1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
   сходимость
   ≤
   из расходимости расходимость
   2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел ≠0, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.
   Эталоном сравнения служит интеграл:
   он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
6. Интегралы от неограниченных функций:
   Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
   , то
   .
7. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
   Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.

Приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры
   1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
   .
   1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f₁(x) и y=f₂(x), f₁(x)≤2f₂(x), и прямыми x=a, x=b:
   .
   1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
   , где f=x(t₁),
   b=x(t₂), y(t)≥0 на отрезке [t₁; t₂].
   1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
   .
2. Длина дуги кривой
   2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
   .
   2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t₁≤t≤t₂:
   (для плоской кривой z(t)≡0).
   2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
   .
3. Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
   3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
   .
   3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t₁≤t≤t₂:
   .
   3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
   .
4. Объем тела
   4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
   .
   4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
   .
   4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
   .

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

На данном уроке мы познакомимся с определенным интегралом, рассмотрим формулу Ньютона-Лейбница.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

           

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции         

О площади  под кривой

Дано: .

Найти: .

О массе стержня

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти: .

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.

           

Рис. 2. Метод решения

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок

 на  равных частей:

Сосчитать , то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

Определение: Определенный интеграл от функции  по отрезку  – это предел интегральных сумм  при

.

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

 площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции  в пределах от  до .

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

 (геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня, .

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость,  (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

Теорема: Если

 – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а  – ее первообразная на этом отрезке, то площадь  соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке, то есть:

Обсудим полученную формулу (рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство: На отрезке зафиксируем  и найдем площадь под кривой на отрезке, то есть каждому  ставится в соответствие , введена новая функция.

Отсюда площадь криволинейной трапеции равняется приращению любой первообразной на отрезке .

           

 – непрерывная на отрезке .

           

Рис. 4. Непрерывная функция

           

          

           

Пример:

Вычислить:

Решение:

 .

Пояснение:

Геометрическая интерпретация:

Рис. 5. Площадь криволинейной трапеции

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathprofi.ru (Источник).
2. Energy.bmstu.ru (Источник).
3. Math34.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Докажите, что равенство верно: .
2. Вычислите интеграл:
3. Вычислите интеграл:
4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1021–1025

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   S (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

      Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

      По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона — Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e ^{– x},     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

      Ответ.

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x) — некоторая первообразная функции f(x), То:

Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:

12. Методы интегрирования определенного интеграла

1) Метод замены переменной. Пусть функция x=φ(t) имеет производную во всех точках отрезка [α;β] и отображает этот отрезок на отрезке [a,b] таким образом, что a= φ(α) и b=φ(β). Тогда

2) Интегрирование по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках отрезка [a,b]. Тогда:

3) Метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов:

1) ; 2); 3); 4), гдеm, n–натуральные числа (m≥2, n≥2, b²-4ac<0)

Дробь — правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменательP(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

=+…+…+++…++++…+,где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты А_i, B_i, M_i, N_i находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5)Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , гдеR – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t

В результате подстановки: sinx==cosx==x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n — нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m — нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)

Интегралы вида ,,. Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул:

13) Геометрические приложения определенного интеграла

а) Пусть f(x) положительна и непрерывна на [a;b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x) выражается определенным интегралом: (выше оси Ox)

б) Пусть функция y=f(x) отрицательна и непрерывна на [a;b], т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция лежат под осью Ох. Тогда:

в) Общий случай, когда некоторые части кривой лежат над осью Ох, а другие – под осью Ох. Площадь криволинейной трапеции — алгебраическая сумма площадей тех частей фигуры, которые расположены над Ох, и тех ее частей, которые под Ох, причем первые входят в сумму с «+», а вторые – с «-».

Тогда:

г) Пусть фигура ограничена сверху и снизу кривыми y₁=f₁(x), y₂=f₂(x) и f₁(x)≤f₂(x), a≤x≥b, где f₁(x), f₂(x) – непрерывные функции. Тогда:

f₁(x), f₂(x) – отрицательные значения

Объем тела вращения:

y=f(x), f(x) – непрерывна на [a;b]. Если соответственно ей криволинейную трапецию вращать вокруг оси Ох, то получим тело вращения. Каждое сечение тела плоскостью х=const – это круг радиуса R=│y(x)│

V_x=π

Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси Оy, то объем тела вращения по формуле:

Vy=π