Определенный интеграл формула – Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Определённый интеграл — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].[1] В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)[2].

Что такое определённый интеграл, анимация (нажмите для воспроизведения)

Пусть функция f(x){\displaystyle f(x)} определена на отрезке [a;b]{\displaystyle [a;b]}. Разобьём [a;b]{\displaystyle [a;b]} на части несколькими произвольными точками: a=x0<x1<x2<…<xn=b{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}. Тогда говорят, что произведено разбиение R{\displaystyle R} отрезка [a;b].{\displaystyle [a;b].} Далее, для каждого i{\displaystyle i} от 0{\displaystyle 0} до n−1{\displaystyle n-1} выберем произвольную точку ξi∈[xi;xi+1]{\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}.

Определённым интегралом от функции f(x){\displaystyle f(x)} на отрезке [a;b]{\displaystyle [a;b]} называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю λR→0{\displaystyle \lambda _{R}\rightarrow 0}, если он существует независимо от разбиения R{\displaystyle R} и выбора точек ξi{\displaystyle \xi _{i}}, то есть

∫abf(x)dx=limΔx→0∑i=0n−1f(ξi)Δxi{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}

Если существует указанный предел, то функция f(x){\displaystyle f(x)} называется интегрируемой на [a;b]{\displaystyle [a;b]} по Риману.

Обозначения[править | править код]

[a;b] Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции ∫abf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a{\displaystyle x=a} и x=b{\displaystyle x=b} и графиком функции f(x){\displaystyle f(x)}.[1]

  • Если функция f(x){\displaystyle f(x)} интегрируема по Риману на [a;b]{\displaystyle [a;b]}, то она ограничена на нем.

Далее приведены примеры расчёта определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

  1. ∫89x2dx=x33|89=7293−5123=2173=72,(3)≈72,3{\displaystyle \int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9}={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\approx 72{,}3}
  2. ∫1bdxx=ln⁡x|1b=ln⁡b{\displaystyle \int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b}
  3. ∫142dxx=2ln⁡x|14≈2,8{\displaystyle \int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8}

Формулы и уравнения определенных интегралов

Формулы и уравнения определенных интегралов
  1. Формула Ньютона-Лейбница:
    , где
  2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
  3. Замена переменной в определенном интеграле:
    Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
  4. Интегралы с бесконечными пределами:
  5. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
    1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
    сходимость

    из расходимости расходимость
    2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел ≠0, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.
    Эталоном сравнения служит интеграл:
    он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
  6. Интегралы от неограниченных функций:
    Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
    , то
    .
  7. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
    Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.
    Приложения определенного интеграла
  1. Площадь плоской фигуры
    1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
    .
    1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f1(x)≤2f2(x), и прямыми x=a, x=b:
    .
    1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
    , где f=x(t1), b=x(t2), y(t)≥0 на отрезке [t1; t2].
    1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
    .
  2. Длина дуги кривой
    2.1. Гладкая кривая задана явно,
    y=f(x)
    , a≤x≤b:
    .
    2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2:
    (для плоской кривой z(t)≡0).
    2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
    .
  3. Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
    3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
    .
    3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2:
    .
    3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
    .
  4. Объем тела
    4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
    .
    4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
    .
    4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
    .

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

На данном уроке мы познакомимся с определенным интегралом, рассмотрим формулу Ньютона-Лейбница.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

           

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции         

О площади  под кривой

Дано: .

Найти:

.

О массе стержня

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти: .

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.

           

Рис. 2. Метод решения

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок  на  равных частей:

Сосчитать , то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

Определение: Определенный интеграл от функции  по отрезку  – это предел интегральных сумм  при .

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

 площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции  в пределах от  до .

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

 (геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня,

.

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость,  (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

Теорема: Если  – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а  – ее первообразная на этом отрезке, то площадь  соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке

, то есть:

Обсудим полученную формулу (рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство: На отрезке зафиксируем  и найдем площадь под кривой на отрезке, то есть каждому  ставится в соответствие 

, введена новая функция.

Отсюда площадь криволинейной трапеции равняется приращению любой первообразной на отрезке .

           

 – непрерывная на отрезке .

           

Рис. 4. Непрерывная функция

           

          

           

Пример:

Вычислить:

Решение:

 .

Пояснение:

Геометрическая интерпретация:


Рис. 5. Площадь криволинейной трапеции

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mathprofi.ru (Источник).
  2. Energy.bmstu.ru (Источник).
  3. Math34.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Докажите, что равенство верно: .
  2. Вычислите интеграл:
  3. Вычислите интеграл:
  4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1021–1025

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.3

то будет справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.5

      Если ввести обозначения

Производная от определенного интеграла по верхнему пределуПроизводная от определенного интеграла по верхнему пределу

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределуПроизводная от определенного интеграла по верхнему пределу

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределуПроизводная от определенного интеграла по верхнему пределу

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределуПроизводная от определенного интеграла по верхнему пределу

      По определению производной функции   S (x)   имеем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона - Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница(10)

      Заметим, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

определенный интеграл площадь криволинейной трапецииопределенный интеграл площадь криволинейной трапеции

      Ответ.определенный интеграл площадь криволинейной трапеции

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.7

Вычислить интеграл

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачопределенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

      Ответ.определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x) - некоторая первообразная функции f(x), То:

Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:

12. Методы интегрирования определенного интеграла

1) Метод замены переменной. Пусть функция x=φ(t) имеет производную во всех точках отрезка [α;β] и отображает этот отрезок на отрезке [a,b] таким образом, что a= φ(α) и b=φ(β). Тогда

2) Интегрирование по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках отрезка [a,b]. Тогда:

3) Метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов:

1) ; 2); 3); 4), гдеm, n–натуральные числа (m≥2, n≥2, b2-4ac<0)

Дробь - правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменательP(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

=+…+…+++…++++…+,где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты Аi, Bi, Mi, Ni находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5)Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , гдеR – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t

В результате подстановки: sinx==cosx==x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)

Интегралы вида ,,. Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул:

13) Геометрические приложения определенного интеграла

а) Пусть f(x) положительна и непрерывна на [a;b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x) выражается определенным интегралом: (выше оси Ox)

б) Пусть функция y=f(x) отрицательна и непрерывна на [a;b], т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция лежат под осью Ох. Тогда:

в) Общий случай, когда некоторые части кривой лежат над осью Ох, а другие – под осью Ох. Площадь криволинейной трапеции - алгебраическая сумма площадей тех частей фигуры, которые расположены над Ох, и тех ее частей, которые под Ох, причем первые входят в сумму с «+», а вторые – с «-».

Тогда:

г) Пусть фигура ограничена сверху и снизу кривыми y1=f1(x), y2=f2(x) и f1(x)≤f2(x), a≤x≥b, где f1(x), f2(x) – непрерывные функции. Тогда:

f1(x), f2(x) – отрицательные значения

Объем тела вращения:

y=f(x), f(x) – непрерывна на [a;b]. Если соответственно ей криволинейную трапецию вращать вокруг оси Ох, то получим тело вращения. Каждое сечение тела плоскостью х=const – это круг радиуса R=│y(x)│

Vx

Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси Оy, то объем тела вращения по формуле:

Vy=π

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *