Признаки параллельности двух прямых / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс
Рассмотрим две прямые 
и 
, которые пересекает в двух точках третья прямая 
(Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .
При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов
Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Признаки параллельности двух прямых
1. Теорема
| Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. |
Дано: прямые и , АВ — секущая, 
1 и 2 — накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).
Доказать: 
.
Доказательство:
1 случай
Предположим, что
2 = 900, т.е. эти углы прямые, получим 
АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). 2 случай
Предположим, что 1 и 2 — не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н1 (Рис. 5).
Получим 
ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к. О — середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 = 6, значит, 6 — прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).Получаем, НН1 и НН1, значит
(т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.2. Теорема
| Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. |
Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — соответственные,
2 (Рис.6).Доказать: .
Доказательство:
По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 =
(см. теорему 1). Что и требовалось доказать.3. Теорема
| Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. |
Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и
1 + 2 = 1800 (Рис.7).Доказать: .
Доказательство:
Углы 3 и 2 — смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 1800, откуда 3 = 1800 —
1 + 2 = 1800, откуда 1 = 1800 — 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.budu5.com
Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых
В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.
Параллельные прямые: основные сведения
Определение 1Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.
Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.
Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥. Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b. Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b, или прямая b параллельна прямой а.
Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.
АксиомаЧерез точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.
В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:
Теорема 1Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.
Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10-11 классов).
Параллельность прямых: признаки и у
zaochnik.com
Аксиома параллельных прямых / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Параллельные прямые
- Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую 
и точку М, не лежащую на ней (Рис.1).
Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой . Для этого проведем через точку М две прямые: сначала прямую 
перпендикулярно к прямой , а затем прямую 
перпендикулярно к прямой (Рис.2). А из того, что две прямые и перпендикулярны к третьей прямой следует, что они параллельны ().
Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой ?
Если прямую «повернуть» на какой-то угол вокруг точки М, то она пересечет прямую (прямая ‘ на рис.3).
То есть нам кажется, что через точку М нельзя провести прямую отличную от прямой , параллельную прямой . Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.
Аксиома параллельных прямых
| Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. |
Следствия из аксиомы параллельных прямых
| 10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. |
Дано: , 
= М (Рис.4).
Доказать: .
Доказательство:
Если мы предположим, что прямая не пересекает прямую , то прямая будет параллельна прямой , а по условию через точку М проходит прямая параллельная прямой , значит получим, что через точку М будут проходить две прямые и параллельные прямой (Рис.5).
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, наше предположение неверно, и прямая пересекает прямую , т.е. . Что и требовалось доказать.
| 20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. |
Дано: , 
(Рис.6).
Доказать: .
Доказательство:
Предположим, что прямые и не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рис.7).
Тогда получим, что через точку М проходят две прямые и параллельные прямой , т.к. по условию и . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, следовательно, наше предположение неверно, значит, прямые и параллельны, т.е. . Что и требовалось доказать.
Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Параллельные прямые
Признаки параллельности двух прямых
Практические способы построения параллельных прямых
Аксиомы геометрии
Теорема о накрест лежащих углах
Теорема о соответственных углах
Теорема об односторонних углах
Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
Параллельные прямые
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 198, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 218, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 282, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 568, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1148, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.com, 2019
Пользовательское соглашение
Copyright
budu5.com
Параллельные прямые / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Параллельные прямые
- Параллельные прямые
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Признаки параллельности двух прямых
Практические способы построения параллельных прямых
Аксиомы геометрии
Аксиома параллельных прямых
Теорема о накрест лежащих углах
Теорема о соответственных углах
Теорема об односторонних углах
Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
Параллельные прямые
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 202, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 220, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 284, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 558, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 804, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 826, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 872, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1286, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.com, 2019
Пользовательское соглашение
Copyright
budu5.com
2. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых
Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.
Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.
Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.
Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.
Аксиома, в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.
Другие свойства параллельных прямых.
1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.
Эти свойства в отличие от аксиомы нужно доказать.
Докажем 1. Свойство.
Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Верно ли, что если прямая \(c\) параллельна прямой \(a\), то она параллельна и прямой \(b\)?
Используем противоположное суждение.
Допустим, что возможна ситуация, когда прямая \(c\) параллельна одной из параллельных прямых — прямой \(a\) — пересекает другую прямую \(b\) в некоторой точке \(K\).
Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой \(a\). Такого не может быть, значит, прямые \(b\) и \(c\) пересекаться не могут.
Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.
Если некая прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и вторую параллельную прямую \(b\).
Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.
Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей, мы уже назвали в первой части теории.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
— накрест лежащие углы равны,
— соответственные углы равны,
— сумма односторонних углов равна \(180°\).
www.yaklass.ru
Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых [wiki.eduVdom.com]
Признаки параллельности двух прямых
Рис.1
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Рис.2
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное)
тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Рис.3
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
Рис.4
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Рис.5
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Рис.2
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
Рис.6
Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)
Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.
Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
х + 30° + х = 180°.
Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.
Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?
Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.
Рис.7
Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.
Найдем остальные углы (рис. 8):
Рис.8
∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.
Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.
wiki.eduvdom.com
Конспект «Параллельные прямые» — УчительPRO
«Параллельные прямые»
Параллельные прямые — две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, а || b.
Слово «параллельный» от греческого «parallelos» — идущий рядом. Знак параллельности || впервые встречается в трудах У. Оутреда (1677 г).
Аксиома параллельности:
Через точку, не лежащую на данной прямой, на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Выделенная синим цветом часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского. В геометрии Лобачевского через точку, лежащую за прямой, проходит множество прямых, которые не пересекают данную прямую.
Иногда Аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.
Примечание. В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.
Свойства и признаки параллельных прямых
Свойства и признаки параллельных прямых:
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
- Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
- Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
– сумма внутренних односторонних углов равна 180°,
– накрест лежащие углы равны,
– соответственные углы равны,
Теорема Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложено несколько равных отрезков и через их концы проведены параллельные прямые, не пересекающие другую прямую, то и на ней отложатся равные отрезки.
Это конспект по теме «Параллельные прямые». Выберите дальнейшие действия:
uchitel.pro